Matemticas 1

Matemticas

El teorema de Pitgoras es uno de los resultadosms conocidos de las matemticas.

Las matemticas o la matemtica[1] (del latn mathematca, y este delgriego , derivado de , conocimiento) es unaciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamientolgico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractascon nmeros, figuras geomtricas o smbolos, pese a que tambin esdiscutido su carcter cientfico. Las matemticas se emplean paraestudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geomtricas ylas magnitudes variables. Los matemticos buscan patrones,[2]

formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemticamediante rigurosas deducciones. stas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dichofin.[3] Algunas definiciones clsicas restringen las matemticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo unaparte de las matemticas actuales usan nmeros, predominando el anlisis lgico de construcciones abstractas nocuantitativas.

Existe cierta discusin acerca de si los objetos matemticos, como los nmeros y puntos, realmente existen osimplemente provienen de la imaginacin humana. El matemtico Benjamin Peirce defini las matemticas como "laciencia que seala las conclusiones necesarias".[4] Por otro lado, Albert Einstein declar que:" cuando las leyes de lamatemtica se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".[5]

Para explicar el mundo natural se usan las matemticas, tal como lo expres Eugene Wigner (premio Nobel en1963):[6]

La enorme utilidad de las matemticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hayexplicacin para ello. No es en absoluto natural que existan leyes de la naturaleza, y mucho menos queel hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de lasmatemticas para la formulacin de las leyes de la fsica es un regalo maravilloso que no comprendemosni nos merecemos.

Mediante la abstraccin y el uso de la lgica en el razonamiento, las matemticas han evolucionado basndose en lascuentas, el clculo y las mediciones, junto con el estudio sistemtico de la forma y el movimiento de los objetosfsicos. Las matemticas, desde sus comienzos, han tenido un fin prctico.Las explicaciones que se apoyaban en la lgica aparecieron por primera vez con la matemtica helnica,especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemticas siguieron desarrollndose, con continuasinterrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemticas interactuaron con los nuevosdescubrimientos cientficos. Como consecuencia, hubo una aceleracin en la investigacin que contina hasta laactualidad.Hoy en da, las matemticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre losque se encuentran las ciencias naturales, la ingeniera, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que,aparentemente, no estn vinculadas con ella, como la msica (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armnica).Las matemticas aplicadas, rama de las matemticas destinada a la aplicacin de los conocimientos matemticos aotros mbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemticos y, en ocasiones, conducen aldesarrollo de nuevas disciplinas. Los matemticos tambin participan en las matemticas puras, sin tener en cuenta laaplicacin de esta ciencia, aunque las aplicaciones prcticas de las matemticas puras suelen ser descubiertas con elpaso del tiempo.

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EtimologaLa palabra matemtica (del griego , cosas que se aprenden) viene del griego antiguo (mthma), que quiere decir campo de estudio o instruccin. El significado se contrapone a (musik) loque se puede entender sin haber sido instruido, que refiere a poesa, retrica y campos similares, mientras que se refiere a las reas del conocimiento que slo pueden entenderse tras haber sido instruido en lasmismas (astronoma, aritmtica). Aunque el trmino ya era usado por los pitagricos (matematikoi) en el sigloVIa.C., alcanz su significado ms tcnico y reducido de estudio matemtico en los tiempos de Aristteles (sigloIVa.C.). Su adjetivo es (mathmatiks), relacionado con el aprendizaje, lo cual, de manera similar,vino a significar matemtico. En particular, (mathmatik tkhn; en latn ars mathematica),significa el arte matemtica.La forma ms usada es el plural matemticas, que tiene el mismo significado que el singular y viene de la formalatina mathematica (Cicern), basada en el plural en griego (ta mathmatik), usada por Aristtelesy que significa, a grandes rasgos, todas las cosas matemticas. Algunos autores, sin embargo, hacen uso de laforma singular del trmino; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado lements de mathmatique (Elementos dematemtica), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visin axiomtica moderna, aunquetambin hace uso de la forma plural como en lments d'histoire des mathmatiques (Elementos de historia de lasmatemticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificacin de lasmatemticas. As mismo, en el escrito L'Architecture des mathmatiques (1948) plantea el tema en la seccinMatemticas, singular o plural donde defiende la unicidad conceptual de las matemticas aunque hace uso de laforma plural en dicho escrito.

Controversia sobre la matemtica como cienciaSe ha discutido el carcter cientfico de las matemticas debido a que sus procedimientos y resultados poseen unafirmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser la fsica, la qumica o la biologa. As, lamatemtica sera tautolgica, infalible y a priori, cuando los ejemplos antes citados y otras, como la geologa o lafisiologa, seran falibles y a posteriori. Son estas caractersticas lo que hace dudar de colocarse en el mismo rangoque las disciplinas antes citadas. John Stuart Mill afirmaba:

La lgica no observa ni inventa ni descubre, pero juzga.As, los matemticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolver integrales o teoremas, pero se muestranincapaces de descubrir un suceso que ponga en duda el Teorema de Pitgoras o cualquier otro, como s sucedeconstantemente con las ciencias de la naturaleza.

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La inspiracin, las matemticas puras, aplicadas y la esttica

Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte conLeibniz la autora del desarrollo del clculo

integral y diferencial.

Es muy posible que el arte del clculo haya sido desarrollado antesincluso que la escritura, relacionado fundamentalmente con lacontabilidad y la administracin de bienes, el comercio, en laagrimensura y, posteriormente, en la astronoma.

Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiadospor matemticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemasdentro de las propias matemticas. Por ejemplo, el fsico RichardFeynman propuso la integral de caminos como fundamento de lamecnica cuntica, combinando el razonamiento matemtico y elenfoque de la fsica, pero todava no se ha logrado una definicinplenamente satisfactoria en trminos matemticos. Similarmente, lateora de cuerdas, una teora cientfica en desarrollo que trata deunificar las cuatro fuerzas fundamentales de la fsica, sigue inspirandoa las ms modernas matemticas.

Algunas matemticas solo son relevantes en el rea en la que estabaninspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sinembargo, a menudo las matemticas inspiradas en un rea concretaresultan tiles en muchos mbitos, y se incluyen dentro de losconceptos matemticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemtica ms pura habitualmentetiene aplicaciones prcticas es lo que Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemticasen las Ciencias Naturales.[7]

Como en la mayora de las reas de estudio, la explosin de los conocimientos en la era cientfica ha llevado a laespecializacin de las matemticas. Hay una importante distincin entre las matemticas puras y las matemticasaplicadas. La mayora de los matemticos que se dedican a la investigacin se centran nicamente en una de estasreas y, a veces, la eleccin se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias reas de las matemticas aplicadasse han fusionado con otras reas tradicionalmente fuera de las matemticas y se han convertido en disciplinasindependientes, como pueden ser la estadstica, la investigacin de operaciones o la informtica.

Aquellos que sienten predileccin por las matemticas, consideran que prevalece un aspecto esttico que define a lamayora de las matemticas. Muchos matemticos hablan de la elegancia de la matemtica, su intrnseca esttica ysu belleza interna. En general, uno de sus aspectos ms valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple ycontundente demostracin, como la demostracin de Euclides de la existencia de infinitos nmeros primos, y en unelegante anlisis numrico que acelera el clculo, as como en la transformada rpida de Fourier. G. H. Hardy en AMathematician's Apology (Apologa de un matemtico) expres la conviccin de que estas consideraciones estticasson, en s mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemticas puras. Los matemticos con frecuencia seesfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excntrico matemticoPaul Erds se refiere a este hecho como la bsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito susdemostraciones favoritas. La popularidad de la matemtica recreativa es otra seal que nos indica el placer queproduce resolver las preguntas matemticas.

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Notacin, lenguaje y rigor

Leonhard Euler. Probablemente el ms prolficomatemtico de todos los tiempos.

La mayor parte de la notacin matemtica que se utiliza hoy en da nose invent hasta el siglo XVIII.[8] Antes de eso, las matemticas eranescritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba el avancematemtico. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de lasnotaciones empleadas en la actualidad. La notacin moderna hace quelas matemticas sean mucho ms fcil para los profesionales, pero paralos principiantes resulta complicada. La notacin reduce lasmatemticas al mximo, hace que algunos smbolos contengan unagran cantidad de informacin. Al igual que la notacin musical, lanotacin matemtica moderna tiene una sintaxis estricta y codifica lainformacin que sera difcil de escribir de otra manera.

El smbolo de infinito en diferentestipografas.

El lenguaje matemtico tambin puede ser difcil para los principiantes.Palabras tales como o y slo tiene significados ms precisos que en lenguajecotidiano. Adems, palabras como abierto y cuerpo tienen significadosmatemticos muy concretos. La jerga matemtica, o lenguaje matemtico,incluye trminos tcnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La raznque explica la necesidad de utilizar la notacin y la jerga es que el lenguajematemtico requiere ms precisin que el lenguaje cotidiano. Losmatemticos se refieren a esta precisin en el lenguaje y en la lgica como elrigor.

El rigor es una condicin indispensable que debe tener una demostracinmatemtica. Los matemticos quieren que sus teoremas a partir de losaxiomas sigan un razonamiento sistemtico. Esto sirve para evitar teoremaserrneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la

historia de esta ciencia.[9] El nivel de rigor previsto en las matemticas ha variado con el tiempo: los griegosbuscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los mtodos empleados eran menos rigurosos.Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un anlisiscuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemticos continan apoyndose entre ellosmediante demostraciones asistidas por ordenador.[10]

Un axioma se interpreta tradicionalmente como una verdad evidente, pero esta concepcin es problemtica. En elmbito formal, un axioma no es ms que una cadena de smbolos, que tiene un significado intrnseco slo en elcontexto de todas las frmulas derivadas de un sistema axiomtico.

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La matemtica como ciencia

Carl Friedrich Gauss, apodado el "prncipe de losmatemticos", se refera a la matemtica como "la

reina de las ciencias".

Carl Friedrich Gauss se refera a la matemtica como la reina de lasciencias.[11] Tanto en el latn original Scientirum Regna, as comoen alemn Knigin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe serinterpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que laciencia es el estudio del mundo fsico, entonces las matemticas, o porlo menos las matemticas puras, no son una ciencia.

Muchos filsofos creen que las matemticas no son experimentalmentefalseables, y, por tanto, no es una ciencia segn la definicin de KarlPopper. No obstante, en la dcada de 1930 una importante labor en lalgica matemtica demuestra que las matemticas no puede reducirse ala lgica, y Karl Popper lleg a la conclusin de que la mayora de lasteoras matemticas son, como las de fsica y biologa,hipottico-deductivas. Por lo tanto, las matemticas puras se han vueltoms cercanas a las ciencias naturales cuyas hiptesis son conjeturas, asha sido hasta ahora.[12] Otros pensadores, en particular Imre Lakatos,han solicitado una versin de Falsacionismo para las propiasmatemticas.

Una visin alternativa es que determinados campos cientficos (como la fsica terica) son matemticas con axiomasque pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el fsico terico, J. M. Ziman, propone que la ciencia esconocimiento pblico y, por tanto, incluye a las matemticas.[13] En cualquier caso, las matemticas tienen muchoen comn con muchos campos de las ciencias fsicas, especialmente la exploracin de las consecuencias lgicas delas hiptesis. La intuicin y la experimentacin tambin desempean un papel importante en la formulacin deconjeturas en las matemticas y las otras ciencias. Las matemticas experimentales siguen ganando representacindentro de las matemticas. El clculo y simulacin estn jugando un papel cada vez mayor tanto en las cienciascomo en las matemticas, atenuando la objecin de que las matemticas no se sirven del mtodo cientfico. En 2002Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemtica computacional merece serexplorada empricamente como un campo cientfico.

Las opiniones de los matemticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemticos consideran que llamar asu campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil esttico, adems supone negar su historia dentro de lassiete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexin con las ciencias supone ignorar laevidente conexin entre las matemticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniera, que ha impulsadoconsiderablemente el desarrollo de las matemticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relacin con el anterior,es si la matemtica fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas deincumbencia de la filosofa de las matemticas.Los premios matemticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El ms prestigioso premio dentro de las matemticas es la Medalla Fields,[14][15] fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro aos. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemtica, creado en 1978, que reconoce los logros en vida de los matemticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos ltimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigacin innovadora o la solucin de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los Problemas de Hilbert, fue recopilada en 1900 por el matemtico alemn David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada Problemas del milenio, se public en 2000. La solucin de cada uno de los problemas ser recompensada con 1 milln de dlares.

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Curiosamente, tan solo uno (la hiptesis de Riemann) aparece en ambas listas.

Ramas de estudio de las matemticasLa Sociedad Estadounidense de Matemtica distingue unas 5000 ramas distintas de matemticas.[16] En unasubdivisin amplia de las matemticas se distinguen cuatro objetos de estudio bsicos: la cantidad, la estructura, elespacio y el cambio[citarequerida] que se corresponden a la aritmtica, lgebra, geometra y clculo.[citarequerida]

Adems, hay ramas de las matemticas conectadas a otros campos como la lgica y teora de conjuntos, y lasmatemticas aplicadas[citarequerida].

Matemticas puras

Cantidad

Nmeros naturales Enteros Nmeros racionales Nmeros reales Nmeros complejos

Estructura

Combinatora Teora de nmeros Teora de grupos Teora de grafos Teora del orden lgebra

Espacio

Geometra Trigonometra Geometra diferencial Topologa Geometra fractal Teora de la medida

Cambio

Clculo Clculo vectorial Ecuaciones diferenciales Sistemas dinmicos Teora del caos Anlisis complejo

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Matemticas aplicadas

Matemtica computacional

Fsica matemtica Dinmica defluidos

Anlisis numrico Optimizacin Teora de laprobabilidad

Estadstica Criptografa

Matemticasfinancieras

Teora de juegos Biologamatemtica

Qumicamatemtica

Economa matemtica Teora decontrol

Referencias[1] matemtica (http:/ / lema. rae. es/ drae/ ?val=matemtica), Diccionario de la lengua espaola (avance de la vigsima tercera edicin).

Consultado el 20 de enero de 2013.[2] Steen, LA, (29 de abril de 1988). Mathematics:The Science of Patterns (Scientific American Library, 1994) Science, 240: 611-616.[3][3] Jourdain[4][4] Peirce, p.97[5] Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a la pregunta: "Cmo puede ser que las matemticas, siendo despus de todo un producto

del pensamiento humano independiente de la experiencia, estn tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad? (http:/ / www.epsilones. com/ paginas/ definiendo/ definiendo-einstein. html)"

[6][6] Libro "Del tomo a la mente", 2002, de Ignacio Martnez y Juan Luis Arsuaga. Captulo 1 "La carta de Dios", subttulo "El Libro de laNaturaleza", aproximadamente en el sitio 5.5% del libro.

[7] Eugene Wigner, 1960, " La irracional eficacia de las matemticas en la de Ciencias Exactas y Naturales (http:/ / www. dartmouth. edu/ ~matc/MathDrama/ reading/ Wigner. html)" Communications on Pure and Applied Mathematics'13 '(1): 1-14.

[8] Utilizacin de diversos smbolos matemticos (http:/ / www. doe. virginia. gov/ Div/ Winchester/ jhhs/ math/ facts/ symbol. html) (VaseAnexo:Smbolos matemticos)

[9] Vase falsa demostracin para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostracin oficial. Elteorema de los cuatro colores contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemticos del momento.

[10] Ivars Peterson,La matemtica turstica, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Algunos se quejan de que el programa de ordenador nopuede ser verificado correctamente," (en referencia a la Haken de Apple la prueba de color Teorema de los Cuatro).

[11][11] Waltershausen[12][12] Popper 1995, p. 56[13][13] Ziman[14][14] Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y el ms influyente premio en las matemticas. Monastyrsky[15][15] Riehm[16] Clasificacin bibliogrfica de la Sociedad Americana de Matemticas de 2010 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet/ msc/ pdfs/

classifications2010. pdf)

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linearassocalgeb00pierrich). Van Nostrand. Digitalizado por University of California Libraries. Pgs. 97-229. Einstein, Albert (1923). Geometry and experience, en Sidelights on relativity (http:/ / www. ibiblio. org/

ebooks/ Einstein/ Sidelights/ Einstein_Sidelights. pdf). P. Dutton., Co. Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books.

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Fuentes y contribuyentes del artculo 9

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