MATEMÁTICA

FUNDAMENTOS

BÁSICOS

Potenciação

Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos:

Definição:

n fatores

Propriedades:

Exemplos:

1) 2³=2.2.2=8

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Álgebra Básica - Racionalização de frações

Como dito anteriormente (na lição retrasada), não se costuma deixar uma fração com raiz de qualquer ordem no denominador, ou seja, não pode ter raízes na parte de baixo de uma fração.

Para corrigirmos isso, usamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações".

Um tópico bem simples. Se você já tem conhecimento desta matéria pode passar adiante e fazer os exercícios de Potenciação de Radiciação.

Racionalização de Frações (Introdução)

Esta técnica consiste em multiplicar a fração dada por um número que não altere o seu valor (apenas a sua apresentação).

Pense comigo, qual o número que pode ser multiplicado por qualquer outro e não altera o valor deste outro número?

- Isso mesmo, 1 (um) :)

Qualquer número multiplicado por 1 continua com o mesmo valor, veja os exemplos:

5 · 1 = 5

123 · 1 = 123

Também sabemos que qualquer fração que tenha o numerador (parte de cima da fração) igual ao denominador (parte de baixo da fração) vale 1:

Agora sim vamos ver Racionalização de Frações.

Racionalização de Frações (1o caso)

O primeiro caso é quando temos apenas uma raiz sozinha no denominador. Vamos ver como se racionaliza uma fração aplicando em um exemplo. Temos a

fração e queremos saber uma representação para este mesmo valor, mas sem nenhuma raiz em baixo.

A técnica diz que devemos multiplicar esta fração por outra fração que tenha valor 1 para não alterar seu valor.

Esta fração deve ter seu denominador igual ao seu numerador e ambos igual ao denominador da fração a ser modificada, no caso .

Agora, efetuando esta multiplicação de frações (numerador de uma multiplica o numerador de outra, denominador de uma multiplica o denominador de outra):

Pronto, achamos a fração procurada:

Mais exemplos:

fração racionalização

Tivemos que fatorar o 12

Racionalização de Frações (2o caso)

O segundo acontece quando, além da raiz temos outro número somado à ela no denominador. Exemplo:

Para racionalizar este tipo de fração devemos, novamente, multiplicar por uma fração de valor 1. Formada pelo denominador da primeira apenas com o sinal do meio trocado.

Veja os exemplos:

Note que a fração grifada em azul nos cálculos acima que é a fração que você deve multiplicar.

Ela é igual à parte de baixo da fração que estamos racionalizando, mas com sinal do termo que tem raiz, trocado.

Racionalização de Frações (3o caso)

O terceiro caso ocorre quando temos uma raiz dentro de outra raiz no denominador. Veja os exemplos:

Para resolver estes casos, vamos ter que calcular dois passos. Primeiro devemos multiplicar pela fração formada pela raiz do denominador com o sinal do meio trocado. Veja os exemplos abaixo:

Ué, mas ainda tem uma raiz no denominador.

- Isso mesmo, agora a gente aplica o 1° caso nesse resultado.

Note que até agora só trabalhamos com raízes quadradas.

Veja no próximo tópico como fazer se for uma raiz diferente de quadrada.

Racionalização de Frações (4o caso)

Este último caso é o menos comum de todos, mas não quer dizer que não caia no vestibular também.

Ele ocorre quando temos uma raiz diferente de raiz quadrada no denominador. Veja uns exemplos:

Para resolver este tipo de questão, novamente devemos multiplicar esta fração por uma que valha 1 e nos seja conveniente (que retire a raiz do denominador).

Esta fração conveniente será achada através da seguinte propriedade:

Sendo que o expoente do resultado , deve ser 1.Vamos ver um exemplo:

Este será o exemplo que iremos desenvolver. Primeiro iremos transformar a raiz do denominador em potência

Pronto, agora em cima deste devemos achar um expoente que somado a ele resulte 1.

O expoente que procuramos é , agora vamos multiplicar.

Esta é a resposta final. Pois o 4225, ao ser fatorado, não ajuda em nada.

Agora faça os exercícios sobre potênciação e radiciação para testar se você obteve êxito neste estudo inicial.

FRAÇÕES IRRACIONAIS

Definição

Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.

Exemplos:

RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS

As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.

Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Definições

Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.

Exemplos

Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.

Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:

Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:

1) a2 - b2 = (a + b)(a - b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

3) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).

Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes

T1. Frações irracionais do tipo:

têm como fator racionalizante:

Exemplos:

T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

têm como fatores racionalizantes:

respectivamente.

Demonstração do segundo tipo:

Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:

A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.

Exemplos

T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.

Demonstração:

Exemplo:

T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):

têm como fator racionalizante:

A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.

Radiciação Resolvido

Exercício 1: A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

O que a propriedade diz? Diz que o resultado é o mesmo se você calcula a raiz de índice n de a e depois a raiz de índice m do valor obtido dessa operação ou se você calcula, diretamente, a raiz de índice mn de a. Faça esses cálculos com a raiz cúbica da raiz quadrada de 64 e a raíz sexta de 64, e veja que o resultado obtido é igual a 2 em ambos os casos.

Solução 1:

Primeiro, lembro a seguinte propriedade de potenciação: em uma igualdade ao se elevar ambos os seus membros à uma potência de grau m ela não se altera. Desse fato e supondo que:

vem (elevando ambos os membros à potência m) que:

e pela definição de radiciação:

o que conclui a demonstração.

Solução 2:

Uma outra maneira de demonstrar a propriedade (P5) é através da aplicação da propriedade P7:

Exercício 2: Calcular

Solução: Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:

Assim de 1, 2 e 3 obtemos:

Exercício 3: (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

Exercício 4: Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

Exercício 5: Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Solução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

Exercício 6: Efetuar

Solução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável - PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

EQUÇÕES ESPONENCIAIS

INTRODUÇÃO Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Observações, Propriedades e Exemplos:

• A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;

• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;

• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;

• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;

• Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);

• Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2); • No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E

descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;

• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;

• Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;

• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;

• Exemplos de funções exponenciais:

b) Teoremas Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Demonstração:

Daqui, pelo teorema T1 temos:

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Demonstração:

Pelo teorema T1, vem que:

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS a) Definição

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

• Método de redução a uma base comum; • Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

Trataremos neste artigo apenas do primeiro método. O segundo será visto em outro artigo sobre logaritmo.

b) Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

c) Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

PROGRESSÕES (P.A e P.G)

Sequências ou Sucessões

Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.

Um conjunto ordenado é um conjunto que possui uma relação de ordem.

E uma relação de ordem é definida para pares de elementos de um conjunto S, e têm que, necessariamente, possuir três características:

• anti-simetria: para todo e , ou ;

• se e , então ;

• transitividade: se e , então .

São exemplos de sequências:

• sequência dos dias da semana: domingo; segunda-feira; terça-feira; quarta-feira; quinta-feira; sexta-feira; sábado;

• sequência dos 100 primeiros números inteiros positivos: 1; 2; 3; … ; 98; 99; 100;

• Os números de Fibonacci (esta seqüência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (c. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Note que todos os exemplos possuem as três características definidas na relação de ordem.

A título de ilustração, abrindo um parênteses, apresento a seguir a fórmula recursiva que define os números de Fibonacci (n pertencente ao conjunto dos números Naturais):

Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores.

A representação de uma sequência é feita escrevendo-se seus elementos, ou termos, entre parênteses. Assim, o segundo exemplo acima, é representado por:

(1; 2; 3; … ; 98; 99; 100)

Da definição de sequência, onde a ordem de seus elementos é uma condição necessária, temos que:

( 1; 3; 5; 7; 9; 11) é diferente de (1; 3; 7; 5; 9; 11)

Genericamente, sua representação pode ser escrita como:

(a1; a2; a3; …; an-1; an; …)

onde n pertence ao conjunto dos números naturais positivos. Os índices indicam a posição dos termos na sequência (a1 representa o primeiro termo, an representa o enésimo termo, …).

Formalmente, uma sequência ou sucessão numérica pode ser definida como uma função dos números naturais menos o zero em R:

Uma sequência numérica é finita se o domínio de f é finito, isto é, i varia de 1 a n pertencente ao conjunto dos números Naturais (i = 1, 2, …, n), também conhecida como n-upla. E infinita quando o domínio é o próprio conjunto dos números Naturais positivos (i = 1, 2, …., n-1, n, …).

Três termos consecutivos qualquer de uma sequência podem ser representados por:

an-1, an, an+1

onde an-1 é o antecessor de an e an+1 é o sucessor de an.

Lei de Formação

Interessam à Matemática as sequências numéricas para as quais é possível estabelecer uma lei de formação, ou seja uma fórmula que permita calcular qualquer um de seus termos. Ou em outras palavras as sequências numéricas em que seus termos se sucedem obedecendo a uma regra.

Estas leis de formação podem ser apresentadas das maneiras a seguir:

a) Por Recorrência

São dadas duas ou mais regras: uma (ou mais) que define os termos iniciais da sequência e outra para calcular os demais termos a partir de antecessores.

Exemplos:

• Os números de Fibonacci: definidos a1 = 0 e a2 = 1 e a regra F(n-1) + F(n-2) que corresponde à soma dos dois antecessores para definir os demais termos;

• a1 = 5, an = an-1 + 3 e n = 5: a1 = 5, a2 = a1 + 3 = 8, a3 = a2 + 3 = 11, a4 = a3 + 3 = 14, a5 = a4 + 3 = 17 => (5; 8; 11; 14; 17)

b) Em função do índice da sequência (posição)

Exemplos:

• an = 2n + 3, n = 1, 2, 3, 4, 5: (5; 7; 9; 11; 13); • an = 2n, n Natural diferente de zero: (2; 4; 8; 16; …).

c) Por propriedade dos termos

Exemplos:

• A sequência cujos termos são os primeiros cinco números primos: (2; 3; 5; 7; 11);

• A sequência dos números inteiros ímpares menores do que 20: (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19).

Progressões Aritméticas (PA)

Define-se progressão aritmética como toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor por um número constante r. r é denominado a razão da PA. Em símbolos:

an = an-1 + r (n >= 2)

As PA são classificadas em três tipos:

Uma PA é crescente quando r > 0, ou seja, quando cada termo é maior do que seu antecessor (claro, a partir do segundo). De fato, da definição decorre que:

an - an-1 = r > 0 <==> an - an-1 > 0 <==> an > an-1

Uma PA é constante quando r = 0, ou seja, quando cada termo é igual ao antecessor:

an - an-1 = r = 0 <==> an - an-1 = 0 <==> an = an-1

Uma PA é decrescente quando r < 0, ou seja, quando cada termo é menor do que seu antecessor:

an - an-1 = r < 0 <==> an - an-1 < 0 <==> an < an-1

Fórmula do Termo Geral de uma PA

Seja (a1; a2; a3; …; an-1; an; …) uma PA qualquer de razão r. Então seu enésimo termo (an) é:

an = a1 + (n - 1)r

Demonstração:

Sabemos, da definição de uma PA, que a diferença entre cada termo e seu antecessor é igual a razão, isto é:

a2 - a1 = r, a3 - a2 = r, a4 - a3 = r, …, an - an-1 = r

Somando, membro a membro, estas n - 1 igualdades, obtemos:

a2 - a1 + a3 - a2 + a4 - a3 + … + an - an-1 = (n - 1)r

Cancelando os termos comuns:

-a1 + an = (n - 1)r => an = a1 + (n - 1)r

Observações:

• Da definição decorre que uma PA fica determinada quando conhecemos o primeiro termo e a razão;

• Em uma PA finita a1 e an são denominados os seus extremos e os demais termos os meios aritméticos;

• A fórmula do termo geral de uma PA nos diz que para calcular o termo de ordem n é suficiente somarmos (n - 1) vezes a razão ao primeiro termo;

• Do mesmo modo, essa fórmula permite calcular o número de termos de uma PA finita conhecendo-se seus extremos e a razão.

Termos Equidistantes dos Extremos

Dados os dois termos ap e aq de uma PA finita com n termos, dizemos que eles são equidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem ap - (p - 1) termos - é igual ao número de termos que sucedem aq - (n - q) termos.

Da definição vem que:

p - 1 = n - q => p + q = n + 1

Essa relação nos permite dizer, por exemplo, que em uma PA finita com 30 termos, o termo 6 é equidistante do 25, uma vez que 6 + 25 = 30 + 1.

Soma dos termos de uma PA finita

Antes de deduzir a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita, vamos demonstrar a seguinte propriedade:

PA1. Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Demonstração:

Sejam ap e aq dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita com n termos. O que vamos provar é:

ap + aq = a1 + an

Pela fórmula do termo geral:

ap = a1 + (p - 1)r e aq = a1 + (q - 1)r

Somando os membros das igualdades obtemos:

ap + aq = a1 + (p - 1)r + a1 + (q - 1)r = a1 + a1 + (p + q - 2)r

Substituindo p + q (veja definição acima):

ap + aq = a1 + a1 + (n + 1 - 2)r = a1 + a1 + (n - 1)r

E pela definição do termo geral de uma PA:

ap + aq = a1 + an

PA2. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:

Demonstração:

Pela propriedade PA1 temos que (note que a soma de todos os índices de cada parcela é igual a n + 1, e portanto, equidistantes dos extremos):

a2 + an-1 = a3 + an-2 = … = a1 + an

Por outro lado:

Sn = a1 + a2 + … + an

=> Sn + Sn = 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an + a1)

onde ordenamos as parcelas convenientemente, primeiro termo do primeiro Sn com o último do segundo, e assim por diante, de modo a obter n parcelas iguais a a1 + an. Logo:

2Sn = (a1 + an)n => Sn = [(a1 + an)n]/2 c.q.d.

PA3. A soma dos n primeiros inteiros positivos é:

Demonstração:

Consequência direta de PA2, uma vez que a1 = 1 e an = n.

Progressões Geométricas (PG)

Definição

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:

an = an-1.q (n >= 2)

Observe que se a1 e q são diferentes de zero podemos escrever q = an/an-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.

Exemplos:

1. (1; 2; 4; 8; 16; …) onde a1 = 1 e q = 2; 2. (-2; -6; -18; -54; …) onde a1 = -2 e q = 3; 3. (9; 9; 9; 9; …) onde a1 = 9 e q = 1; 4. (1; -3; 9; -27; …) onde a1 = 1 e q = -3; 5. (20; 0; 0; 0; …) onde a1 = 20 e q = 0.

Classificação

As PG são classificadas em cinco categorias de acordo com os valores do seu primeiro termo a1 e de sua razão q.

a) Crescentes:

São as PG em que cada termo é maior do que o seu antecessor (exemplo 1. acima) e ocorre nas duas situações seguintes:

1. a1 > 0 e q > 1 (termos positivos e razão maior do que 1); 2. a1 < 0 e 0 < q < 1 (termos negativos e a razão entre zero e um).

Demonstração de 1:

Como a1 e q são diferentes de zero, temos

an/an-1 = q > 1 <==> an > an-1

b) Decrescentes

São as PG em que cada termo é menor do que o seu antecessor (exemplo 2.) e ocorre nas duas situações abaixo indicadas:

1. a1 < 0 e q > 1 (termos negativos e razão maior do que 1); 2. a1 > 0 e 0 < q < 1 (termos positivos e a razão entre zero e um).

c) Constantes

São as PG em que cada termo é igual ao anterior (exemplo 3.):

1. a1 = 0 e q qualquer; 2. a1 = c e q = 1, onde c é um número real qualquer.

d) Alternantes

São as PG em que cada termo tem o sinal contrário ao de seu antecessor (exemplo 4.). Ocorre quando q < 0 e a1 é diferente de zero.

e) Estacionárias

São as PG em que seu termo inicial a1 é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero (exemplo 5.). Ocorre quando q = 0, e, claro, a1 é diferente de zero.

Fórmula do Termo Geral de uma PG

Seja (a1; a2; a3; … ; an-1; an; …) uma PG de razão q, então seu enésimo termo (an) é:

an = a1.qn-1

Demonstração:

Pelo princípio da indução finita:

i) Verdadeira para n = 1:

a1 = a1.q1-1 => a1 = a1.qo = a1.1 = a1

ii) Suponhamos que a fórmula é verdadeira para n = p (hipótese da indução) e mostremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é:

ap = a1.qp-1 => ap+1 = a1.qp+1-1 = a1.qp

Da definição de PG:

ap+1 = ap.q

Da hipótese, vem:

ap+1 = a1.qp-1.q => ap+1 = a1.qp+1-1 = a1.qp

Interpolação Geométrica

Interpolar k meios geométricos entre dois números a e b, é o mesmo que determinar uma PG de n = k + 2 termos, onde seus extremos sejam iguais a esses números, ou seja, onde a1 = a e an = b.

Como temos os extremos definidos, para interpolar meios em uma PG basta calcular sua razão. Assim, da definição de PG temos:

Note que se o índice da raiz é par, teremos como solução duas PG distintas correspondente a q positivo e q negativo, respectivamente.

Soma dos Termos de uma PG Finita

A soma dos n primeiros termos de uma PG é:

Demonstração:

Temos:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an

Multiplicando os membros da igualdade por q obtemos

qSn = a1q + a2q + a3q + … + an-1q + anq = a2 + a3 + … + an + an+1

Na última passagem foi utilizada a definição de PG. Subtraindo membro a membro esta igualdade da anterior e cancelando os termos comuns:

qSn - Sn = -a1 + an+1 = -a1 + a1.qn

Colocando Sn e a1 em evidência vem:

(q - 1)Sn = a1(qn - 1)

Dessa última igualdade se obtem a fórmula da soma.

Soma dos Termos de uma PG Infinita (Limite da Soma)

Inicialmente, deixemos claro que a fórmula da soma a seguir só se aplica quando -1 < q < 1. Isto porque, somente nessas condições, uma PG infinita converge, ou seja, à medida que n tende para infinito, qn tende a zero.

Caso contrário, quando q > 1 ou q < -1, qn cresce indefinidamente à medida que n cresce, e, portanto, é impossível calcular a soma dos termos da PG. Lembre-se que em uma PG seus termos crescem ou decrescem em função da razão.

Para clarear, tome como exemplo a PG infinita definida por:

cuja soma dos seus n primeiros termos, aplicando-se a fórmula é (deixo os cálculos para você):

Conforme n aumenta indefinidamente (na fração) o seu denominador aumenta da mesma forma e, em consequência, a fração assume valores cada vez mais próximos de zero e Sn se aproxima de 1. Ou seja:

Dessa forma, podemos agora estabelecer a definição da soma dos termos de uma PG infinita.

Seja (a1; a2; a3; … ; an-1; an; …) uma PG infinita de razão q, -1 < q < 1, então a soma de seus termos é dada por:

Demonstração:

Como em Sn, qn tende a zero quando n tende a infinito temos:

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 - 4 => r = 4q - 2

(4) => 4 + 2(4q - 2) = 4q2 => 4 + 8q - 4 = 4q2 => 4q2 - 8q = 0

=> q(4q - 8) = 0 => q = 0 ou 4q - 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q - 2 => r = 8 - 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 - 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2

(2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2

=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e

primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i - 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

• Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; • se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar

an = 8 + (n/2) - 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22

e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37

E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) ac = b2 b) a + c = 2 c) a + c = b2 d) a = b = c e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:

(1) b = a + r = aq => r = a(q - 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q - 1)

De (1) e (2) vem:

a(q - 1) = b(q - 1) => (a - b)(q - 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a - b = 0 ou q - 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1 b) 3,9 c) 3,99 d) 3,999 e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5 e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48 b) -96 c) 48 d) 96 e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.

Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a - 6 e c = a - 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a2 = b2 + c2 => a2 = (a - 6)2 + (a - 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 - 12a + 36 + a2 - 6a + 9 = 2a2 - 18a + 45

=> a2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

Questão

Quantos números inteiros compreendidos entre 1 e 500 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?

Condições - O que se tem:

O primeiro passo é o estabelecimento das condições iniciais da questão, as quais podem ser extraídas facilmente do enunciado:

1. Os números inteiros são divisíveis por 3 e 7 ao mesmo tempo; 2. E estão compreendidos entre 1 e 500.

Parece óbvio esse passo, e é na maioria das vezes, mas se trata de um procedimento essencial da solução.

Tese - O que se quer:

A quantidade de números inteiros que satisfazem as condições iniciais.

Solução:

a) Analisando a Condição 1:

Para que um número inteiro seja divisível por outros dois números inteiros ao mesmo tempo é suficiente que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum entre eles. Como os números 3 e 7 são primos entre si, uma vez que o m.d.c.(3,7) = 1, os números que satisfazem essa condição devem ser múltiplos de 3 x 7 = 21 = m.m.c.(3,7).

Desse fato concluimos que os números formam a sequência:

(21, 42, 63, …, an)

e que essa sequência é uma PA de razão r = 21, pois a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecedente é sempre 21 e onde, por enquanto, desconhecemos

quanto valem an e n, os quais serão determinados a partir da condição 2. Note que n é a quantidade procurada.

b) Analisando a condição 2:

Como os números devem estar compreendidos entre 1 e 500 temos que:

a1 = 21 > 1 e an < 500

Para concluir a solução do problema basta, então, determinar o valor de n.

E isso é feito a partir da fórmula do termo geral de uma PA:

an = a1 + (n - 1)r = 21 + (n - 1)21 = 21 + 21n - 21 = 21n < 500

Da desigualdade acima obtemos que:

n < 500/21 => n < 23,809…

E, finalmente, que o maior termo (an = 21 x 23 = 483) da seqüência que satisfaz a condição 2 é o obtido quando n = 23, que é a quantidade de números procurada.

POTENCIAÇÃO

I. DEFINIÇÕES

Vamos começar do começo - eita que frase arretada! - definindo, de maneira simples e direta, que potenciação de um número relativo a nada mais é do que a multiplicação reiterada de a por ele mesmo um número n de vezes, n inteiro e positivo. Ou seja:

onde se estabeleceu a notação (ou representação simbólica) an para indicar de forma resumida e simplificada (e, diga-se, criativa) esse produto, denominando-se a a base da potência e n o expoente ou grau da potência. Se lê a representação simbólica an como “potência n de a” ou “potência enésima de a” ou “a elevado a n“.

Potência de grau n de a é o produto de n fatores iguais a a. Assim:

• a0 é a potência de grau zero de a ou potência de expoente zero, a um número real diferente de zero;

• a1 é a potência de grau 1 de a, sendo igual ao próprio a. Neste caso é dispensável escrever o expoente;

• a2 é a potência de grau 2 de a, conhecida como quadrado de a ou a ao quadrado; • a3 é a potência de grau 3 de a, conhecida como o cubo de a ou a ao cubo.

II. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

a) A potência de grau n de um produto é igual ao produto das potências de grau n dos fatores deste produto. Ou seja:

[1] (abc)n = an.bn.cn [2]

A recíproca também é verdadeira.

Antes de apresentar a demonstração vale explicitar o que significa recíproca. Tomando a igualdade acima, a justificação da propriedade deve ser feita partindo-se de [1] para obter [2]. A recíproca (como o próprio nome diz) é feita partindo-se de [2] para obter [1].

Demonstração:[1] -> [2]

Por definição:

Como a ordem dos fatores de um produto não altera o produto, temos:

Reciprocamente ([2] -> [1]):

b) O produto de potências de uma mesma base é igual à potência desta base, cujo expoente é a soma dos expoentes dos fatores:

am.an = am+n

Em outras palavras, em um produto de potências com a mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes. A recíproca é verdadeira.

Demonstração:

A recíproca deixo por conta do leitor.

c) O quociente de potências de um mesma base é igual à potência desta base, cujo expoente é a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor; isto é:

am/an = am-n, a diferente de zero

Em outras palavras, em um quociente de potências com a mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. A recíproca é verdadeira.

Demonstração:

Suponhamos que m > n. Então:

Eliminando o fator comum ao dividendo e divisor [(a.a … a) n vezes], obtemos:

A demonstração da recíproca é fácil, como o de resto, e fica para o leitor se exercitar.

d) A potência n da potência m de um número relativo a é igual a potência de a cujo expoente é o produto dos expoentes m e n, ou seja:

(am)n = amn

A recíproca é verdadeira.

Se você chegou até aqui, obrigado pelo interesse. Em vez da demonstração aproveito para colocar algumas considerações:Matemática se aprende com o entendimento dos seus conceitos, de saber interpretar as questões, dos porquês da verdade de cada assertiva (as demonstrações) e, principalmente, muita transpiração. Por isso pratique e pratique, pois sómente assim você desenvolve melhor sua capacidade de raciocínio para solucionar problemas e fixar os conceitos.

É com este espírito que deixo como exercício a demonstração desta propriedade. Caso tenha dificuldades entre em contato ou deixe seu comentário. Estarei por aqui pronto para atendê-lo.

e) Potência de expoente negativo de um número relativo a diferente de 0:

a-m = 1/am

A recíproca é verdadeira.

Demonstração:

Antes de demonstrar esta propriedade, farei a demonstração do fato que originou este artigo, i.é, a0 = 1, a diferente de zero. Vamos lá.

Por um lado temos que am/am = 1. E por outro, pela propriedade c) que am/am = am-m = a0 => a0 = 1. Trivial, não.

Agora, fica mais fácil demonstar a propriedade. Primeiro:

a-m = a0-m

Pela propriedade c:

a-m = a0/am = 1/am c.q.d. (como queríamos demonstrar).

A recíproca, mais uma vez deixo como exercício.

E, finalmente, sem entrar no mérito, apresento algumas regras de como proceder com o cálculo de potências em que a base é um número negativo.

• Se o expoente é par, o resultado é positivo; • Se o expoente é ímpar, o resultado é negativo.

Exercício 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Solução:

Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:

• 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 • 42 = 4 x 4 = 16 • 4-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação) • (-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um

número positivo) • (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem) • (-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)

Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

Exercício 2: (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:

a) 1 b) -5/6 c) -5/3 d) -5/2

Solução:

Todos sabem, após a leitura atenta do artigo sobre potenciação - propriedade e) -, que (-2)-1 = -1/2. Logo:

A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) - [3/(2 x 3)]

Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes - lembram-se!):

A = (-2) - 1/2 = (-4 - 1)/2 = -5/2

Resposta d).

Exercício 3: (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:

a) 206 b) 2 . 106 c) 2 . 109 d) 20 . 10-4

Solução:

Como em um produto a ordem dos fatores não altera o resultado, podemos reescrever B como:

B = 5 . 4 . 108 . 10-3 = 20 . 108 . 10-3 = 20 . 108-3

Na última passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade:

B = 2 . 10 . 105 = 2 . 101+5 = 2 . 106

Resposta b).

Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:

a) 10 b) 1000 c) 10-2 d) 10-3

Solução:

Novamente, pela propriedade b) vem que:

C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105

E, pela propriedade c) temos:

C = 102-5 = 10-3

Resposta d).

Exercício 5: Se 53a = 64, o valor de 5-a é:

a) 1/4 b) 1/40 c) -1/4 d) 1/20

Inicialmente, observe que pela propriedade d):

53a = (5a)3 e que 64 = (22)3

Como os expoentes das potências são iguais, necessariamente também são suas bases. Ou se você preferir, extraindo-se a raiz cúbica dos termos, obtemos:

5a = 22 = 4

Invertendo os membros da igualdade vem:

1/5a = 1/4

E finalmente, pela propriedade e):

5-a = 1/4

Resposta a).

FRAÇÕES

Definição

Fração é um número que designa uma ou mais partes iguais de uma unidade e sua representação genérica é:

onde a é o numerador e b o denominador e indicam os termos da fração.

O denominador (b) de uma fração estabelece em quantas partes iguais foi dividida a unidade e o numerador (a) quantas destas partes contém a fração.

Assim, se dividirmos a unidade em 5 partes iguais e tomarmos 1, 2, 3 ou 7 partes teremos as frações a seguir representadas:

Observe que, ainda considerando esse exemplo, se tomarmos 5 partes obtemos como resultado a própria unidade.

Leitura das Frações

Para se ler uma fração, enuncia-se primeiro seu numerador e depois o denominador de acordo com as seguintes regras:

• Quando o denominador é igual a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 lêem-se meio, terço,

quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo ou nono, respectivamente. Exemplo : lê-se dois terços;

• Quando o denominador é maior do que 9 acrescenta-se a terminação avos. Por

exemplo, , lê-se cinco onze avos; • Os denominadores múltiplos ou potências de 10 podem ser lidos, por exemplo,

como décimo - ou dez avos -, vigésimo, centésimo, milésimo. Exemplo : lê-se dois décimos. As frações cujos denominadores é uma potência de 10 - isto é, a

unidade seguida de um ou mais zeros - são denominadas decimais: (sete

décimos), (setenta e oito centésimos), (duzentos e trinta e dois milésimos);

• Costuma-se também, na leitura, intercalar a palavra sobre, depois de enunciar o

numerador. A fração pode ser lida como duzentos e trinta e dois sobre cinco mil, quatrocentos e setenta e sete.

Comparação das frações com a unidade

Uma fração é inferior à unidade - menor do que 1 - quando seu numerador é menor do

que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas próprias. Exemplos: ,

e .

Uma fração é superior à unidade - maior do que 1 - quando seu numerador é maior do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas impróprias. Exemplo:

, e . Um caso particular de fração imprópria, denominada de aparente, ocorre

quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo: .

Comparação das frações entre si

Da definição de fração resulta:

• De duas frações de mesmo denominador a maior é a que tem o numerador

maior. Exemplo: . Porque tendo as frações o mesmo denominador significa que a unidade foi dividida no mesmo número de partes iguais. Como a primeira tem o numerador maior - 8 - significa que ela tem mais partes do que a segunda, cujo numerador é 5.

• De duas frações de mesmo numerador a maior é a que tem o denominador

menor. Exemplo: . Nesse caso - e de forma geral -, como as frações têm o mesmo numerador (5), elas possuem o mesmo número de partes da unidade, e como o nono da unidade é maior do que o treze avos segue-se que a primeira fração é maior do que a segunda.

• De duas frações próprias entre cujos termos existe a mesma diferença, a maior é

aquela cujos termos são maiores. Exemplo: . Observe que na primeira fração faltam 2/9 para igualar a unidade e na segunda, 2/7. Pela regra anterior 2/9 é menor do que 2/7, logo 7/9 é a fração maior pois lhe falta menos para completar a unidade.

Propriedades das Frações

Propriedade 1. Uma fração representa o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Utilizaremos um exemplo prático para demonstrar a propriedade. Seja a fração 2/5, que segundo a propriedade deve representar o quociente de 2 por 5.

Observe inicialmente que 1/5 somado 5 vezes reproduz a unidade - decorrência da definição de fração. Logo, 2/5 somado 5 vezes darão 2 unidades, e, portanto a fração 2/5 representa o quociente de 2 por 5, pois multiplicada por 5 tem como resultado 2.

Propriedade 2. Quando uma divisão deixa um resto, pode-se completar o quociente por uma fração que tem por numerador o resto da divisão e por denominador o divisor.

Seja dividir 37 por 4 (= 37/4). Essa divisão tem como quociente 9 e resto 1. Assim podemos escrever:

37 = (9×4) + 1 = 36 + 1

Logo:

Observações:

• Na expressão acima na passagem da segunda igualdade foi utilizada a propriedade distributiva da divisão;

• A representação assinalada dentro do retângulo é denominada de número misto ou fração mista e lê-se nove inteiros e um quarto e, como o próprio nome sugere, é composta de uma parte inteira e outra fracionária;

• Uma fração mista é uma outra forma de representar uma fração imprópria; • A operação inversa - transformar uma fração mista em uma fração imprópria - é

feita multiplicando-se o número inteiro (9) pelo denominador (4) e somando o resultado ao numerador (1) para obter o numerador da fração imprópria (37) e o seu denominador é o mesmo da parte fracionária do número misto (4).

Propriedade 3. O valor de uma fração é o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Na definição geral de fração o numerador a e o denominador b podem ter qualquer valor. Assim, as expressões a seguir são consideradas como frações:

e são designadas geralmente como frações compostas. E o valor de uma fração composta é a fração simples que lhe é igual. Nos exemplos acima as frações compostas tem como valor 16/15 e 21/40, respectivamente.

Propriedade 4. Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número

Propriedade 5. Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração e dividida ou multiplicada pelo número.

Propriedade 6. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos - numerador e denominador - por um mesmo número a fração não se altera.

De fato, multiplicando o numerador de uma fração qualquer pelo número c, a fração é multiplicada por c pela propriedade 4, e, multiplicando-se o denominador por c a fração é dividida por c pela propriedade 5. Logo a fração não muda ou não se altera uma vez que é multiplicada e dividida pelo mesmo número c.

Por raciocínio analógo demonstra-se a propriedade para o caso da divisão. Esta propriedade é bastante utilizada na solução de problemas, em especial na racionalização de denominadores de frações irracionais.

Redução de Frações

Reduzir uma fração é transformá-la em uma outra equivalente.

Tá legal. Mas o que são frações equivalentes? São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração, ou seja, é a fração obtida, de uma outra, multiplicando-se ou dividindo-se o seu numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 da primeira parte).

Exemplo: . Veja que a segunda fração é obtida a partir da primeira multiplicando-se o seu numerador e seu denominador por 3. Inversamente, a primeira é obtida da segunda dividindo-se o seu numerador e seu denominador, também, por 3.

Os principais procedimentos de redução de frações são:

1. Reduzir inteiros a frações impróprias; 2. Reduzir números mistos a frações impróprias; 3. Extrair inteiros de frações impróprias; 4. Simplificar frações; 5. Reduzir frações ao mesmo denominador.

1. Reduzir inteiros a frações impróprias

Simples. É suficiente multiplicar o número inteiro escolhido por outro número inteiro - de preferência diferente de um - e compor a fração imprópria com o numerador igual ao produto obtido e o denominador igual ao multiplicador - o outro número.

Exemplo. Seja reduzir 7 inteiros a terços:

2. Reduzir números mistos a frações impróprias

Para se reduzir um número misto a fração imprópria, multiplica-se a sua parte inteira pelo denominador da parte fracionária e, ao produto adiciona-se o numerador da parte fracionária. Ao total obtido dá-se por denominador o da parte fracionária.

Exemplo. Seja reduzir 5 inteiros e 3/8 (três oitavos) a oitavos.

Como a unidade vale 8 oitavos, 5 unidades valem 5×8 ou 40 oitavos, os quais adicionados aos três oitavos dão 43 oitavos:

3. Extrair inteiros de frações impróprias

Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, isto é, transformá-la em um número misto, divide-se primeiro o numerador pelo denominador. O quociente dessa divisão representa os inteiros - parte inteira do número misto - e, caso haja resto, este será o numerador da parte fracionária cujo denominador é o da fração original.

Exemplo. Extrair os inteiros da fração imprópria 43/8.

Como a unidade vale 8 oitavos (8/8), temos na fração dada 5 unidades que cabem em 43 (5 x 8 = 40) e sobram 3 oitavos. Em outras palavras, a divisão de 43 por 8 tem como quociente o inteiro 5 e resto 3. Portanto, pela regra, vem;

4. Simplificar frações

Simplificar uma fração é reduzir esta fração à uma fração mais simples mantendo-se a proporção da fração original. E o princípio que norteia a simplificação de frações é: uma fração não se altera quando dividimos seus termos por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 do artigo anterior).

Observe que para simplificar frações é necessário que haja um divisor comum, além da unidade, aos seus termos. E, torná-la irredutível é obter a fração equivalente em que o único divisor comum aos seus termos é a unidade, ou seja, quando o mdc - máximo divisor comum - entre o numerador e o denominador é igual a 1, o que é o mesmo que os seus dois termos serem primos entre si.

Exemplo. Simplificar a fração 6/18.

Primeiro observe que seus termos são múltiplos de 2. E, portanto, ela pode ser simplificada efetuando-se a divisão de seus termos por 2:

O procedimento acima é, de fato, uma simplificação, uma vez que houve a redução a uma fração mais simples em que a proporção foi mantida. No entanto, ainda não se encontra em sua forma irredutível, pois o 3 é um divisor comum aos termos da fração resultante. Assim, efetuando mais uma simplificação, dividindo-se os termos por 3, vem:

obtendo-se a sua forma irredutível, uma vez que o mdc(3,1) = 1, isto é, 1 e 3 são primos entre si.

Teorema 1. Para reduzir uma fração à sua forma irredutível, é suficiente dividir os seus dois termos pelo seu mdc.

De fato, ao se dividir os dois termos de uma fração pelo seu mdc, obtem-se quocientes primos entre si, e portanto formam uma fração irredutível. Além do mais, essa fração é igual à fração original uma vez que foi obtida dividindo-se seus dois termos por um mesmo número.

No exemplo anterior o mdc(18,6) = 6 = 2 x 3, os fatores utilizados para se determinar a forma irredutível da fração dada. O mesmo resultado, claro, seria obtido se efetuassemos a divisão por 6.

5. Reduzir frações ao mesmo denominador

Reduzir frações ao mesmo denominador é determinar frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.

Novamente, o princípio em que se baseia a redução de frações ao mesmo denominador é o estabelecido na propriedade 6 do artigo anterior: Uma fração não se altera quando os seus dois termos são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Regra 1. A regra mais simples de se reduzir várias frações ao mesmo denominador é multiplicar os dois termos de cada uma pelo produto dos denominadores de todas as outras.

Exemplo 1. Reduzir ao mesmo denominador as frações 3/5 e 6/7.

Aplicando a regra 1, vem:

e

Como você é esperto deve ter notado que as frações obtidas são equivalentes às primitivas, pois resultaram da propriedade acima apontada e têm o mesmo denominador, igual ao produto dos denominadores das frações originais.

Exemplo 2. Reduzir ao mesmo denominador as frações 1/2, 2/3, 3/4.

Pela regra 1:

Regra 2. Redução de frações ao mesmo denominador comum utilizando-se o mmc (mínimo múltiplo comum). Pela própria definição de mmc o denominador assim obtido será o menor denominador comum das frações equivalentes, o que só ocorrerá pela regra 1 se os denominadores das frações dadas forem primos entre si. Passos:

• Simplificar as frações (não necessário, mas recomendado, pois facilita os cálculos);

• Determinar o mmc dos denominadores das frações originais ou simplificadas. Este será o denominador comum das frações equivalentes;

• Multiplicar o numerador de cada fração pelo quociente entre o mmc e o denominador desta fração. Este procedimento determina o numerador das frações equivalentes.

Exemplo. Reduzir ao mesmo denominador as frações do exemplo 2 da regra 1.

Primeiro passo: não se faz necessário pois todas as frações estão na forma irredutível.

Segundo passo: O mmc(2,3,4) = 12. Este será o denominador comum.

Terceiro passo: N1 = (12/2)x1 = 6; N2 = (12/3)x2 = 8; N3 = (12/4)x3 = 9, onde N1, N2 e N3 são os numeradores das frações equivalentes.

Logo as frações equivalentes são: 6/12; 8/12 e 9/12.

Adição

É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza.

Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem as mesmas partes da unidade, ou seja, que tenham o mesmo denominador, também conhecidas como homogêneas (2/8, 3/8 e 5/8 é um exemplo de tais frações).

Distinguem-se três casos na adição de frações.

A1. Soma ou adição de frações homogêneas ou de mesmo denominador.

Como fazer - Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

Como o denominador representa em quantas partes a unidade foi dividida, lembram-se, basta, para obter o número das partes, somar os numeradores.

Na figura a seguir temos uma pizza - prato comum em Brasília - servida para você e um amigo dividida em oito partes iguais (faça um esforço!). Se você come dois pedaços e seu amigo três, os dois juntos consumiram cinco partes em oito, ou seja, cinco oitavos da pizza.

A2. Adição de frações que não têm o mesmo denominador comum (frações heterogêneas).

Inicialmente, atente que não podemos somar quantidades de “coisas” diferentes e expressar o resultado em uma dessas “coisas”. Clareando: não podemos somar 5 maçãs e 3 bananas e dizer que o resultado é 8 maças ou 8 bananas.

Assim para somar frações heterogêneas é necessário, primeiro, transformar cada parcela nas mesmas partes da unidade, isto é, em frações que tenham o mesmo denominador comum.

Em resumo:

Como fazer - Para somar frações que não tenham o mesmo denominador, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador e aplicar, então, a regra do primeiro caso A1.

Exemplo: Somar as frações 2/3, 5/8 e 1/6.

Utilizando-se da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 e:

A3. Somar números mistos.

Como fazer:

• Método 1: Para somar números mistos, somam-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras, acrescentando-lhes também os inteiros obtidos na adição das partes fracionárias;

• Método 2: Para somar números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso A2.

Exemplo: Somar os números mistos e , pelo método 1. E você resolve pelo método 2, ok :-).

Pelo dito no método 1, temos:

Subtração

É a operação que tem por objetivo tirar de um número dado todas as unidades e partes da unidade de outro número de mesma natureza.

Observação: No que se segue não serão considerados os casos em que o minuendo é menor do que o subtraendo, pois requer o conhecimento da teoria dos números relativos. Mas as regras em si permanecem válidas para quem é detentor do assunto.

Da mesma forma que na adição temos três casos que se distinguem na subtração.

S1. Subtração de duas frações com o mesmo denominador.

Como fazer - Subtrai-se o numerador da menor do numerador da maior e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

S2. Subtração de duas frações que não têm o mesmo denominador.

Lembrem-se, como colocado para a adição, que somente podemos subtrair quantidades de mesma natureza.

Como fazer - Da mesma forma que na adição, para se obter a subtração de frações heterogêneas, é preciso, primeiro, reduzi-las ao mesmo denominador, e, então, aplicar o caso S1.

Exemplo:

S3. Subtração de números mistos

• Método 1: Para subtrair dois números mistos, subtraem-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras e somam-se os resultados;

• Método 2: Para subtrair dois números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso S2.

Exemplo (método 2): Convertendo os números mistos dados na subtração para frações impróprias:

E reduzindo ao mesmo denominador comum - mmc(3,5)=15:

Multiplicação

A multiplicação de frações é a operação na qual partindo-se de duas frações dadas se obtem uma terceira que corresponde ao produto das duas anteriores.

M1. Multiplicar uma fração por outra.

Como fazer. Para se multiplicar uma fração por outra, multiplicam-se seus numeradores para obter o numerador da fração produto e seus denominadores para obter o denominador da fração produto.

Exemplo:

Observação: Para se multiplicar um inteiro por uma fração ou uma fração por um inteiro basta multiplicar esse inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração por esse inteiro. É só notar que um numero inteiro pode ser representado por uma fração cujo denominador é um, por exemplo, 5 = 5/1, e chegamos no caso M1, em que o denominador não se altera uma vez que é multiplicado por um.

M2. Produto de várias frações: É o resultado obtido multiplicando a primeira fração pela segunda; depois este produto pela terceira, e assim sucessivamente, até a última fração.

Observe que o produto de frações se faz da mesma forma que o produto de números inteiros e que o resultado, no caso das frações, é obtido pela aplicação repetida do caso M1.

Como fazer - Multiplicam-se os numeradores entre si para obter o numerador do produto e os denominadores entre si para obter o denominador do produto.

Exemplo:

Os cálculos acima poderiam ser simplificados, suprimindo-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-los, como indicado a seguir:

Divisão

Divisão de frações é a operação que tem por fim, dadas duas frações, dividendo e divisor, achar uma terceira, o quociente, tal que multiplicada pelo divisor, reproduza o dividendo.

D1. Dividir uma fração por um inteiro

Como fazer - Para se dividir uma fração por um inteiro multiplica-se o denominador pelo iinteiro.

Exemplo:

D2. Dividir um inteiro por uma fração.

Como fazer - Multiplica-se o inteiro pela fração invertida.

Exemplo:

D3. Dividir uma fração por outra.

Como fazer - Multiplica-se a fração do dividendo pela fração do divisor invertida. Em outras palavras conserva-se a primeira (dividendo) e multiplica-se pelo inverso da segunda (divisor).

Exemplo:

Observações Finais

• O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é 5/3 e o de 1/5 é 5;

• Duas frações são inversas quando o numerador de cada uma é o denominador da outra;

• Quando duas frações têm o mesmo denominador, o quociente entre elas é igual à fração formada pelo numerador da primeira sobre o da segunda. Exemplo (1/5):(3/5) = 1/3;

• O produto de dois números inversos é sempre 1; • Dois números são recíprocos quando o seu produto é igual à unidade.

SEMELHANÇA ENTRE TRIANGULOS

Congruência entre Triângulos

Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.

Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro, como você observará daqui em diante.

Definição de Semelhança entre Triângulos

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Traduzindo a definição em símbolos:

Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.

Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).

Razão de Semelhança

Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos:

Para uma idéia melhor dos conceitos acima sugiro uma visita ao programa em Java de Karlos Gomes. A imagem inicial da página é apresentada a seguir, onde temos dois triângulos entre um feixe de três retas com origem no ponto C. Ao arrastar o triângulo rosa para cima ou para baixo, o ponto em vermelho no segmento de reta indica o valor da razão de semelhança correspondente. Ao colocar o triângulo rosa exatamente sobre o verde você observará que a razão de semelhança é igual a 1, como era de se esperar (você sabe dizer o significado deste fato?).

O único problema é que o programa demora a carregar. Tenha um pouco de paciência, e espere, vale a pena. Após, por favor, retorne a este artigo :-).

Exemplo

Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas dos lados e e d do segundo triângulo.

Solução:

Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que:

c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2

De forma análoga:

a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16

b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12

Propriedades

a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.

b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.

c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critérios de semelhança definidos abaixo (fica como exercício).

Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.

Demonstração do Teorema Fundamental:

A demonstração da congruência dos ângulos dos triângulos ABC e ADE (figura abaixo) decorre do fato de que ângulos correspondentes determinados por duas paralelas são congruentes. Assim, o ângulo B é congruente ao D e o ângulo C é congruente ao E. Como o ângulo A é comum aos dois triângulos concluímos a primeira parte da demonstração.

Pelo Teorema de Tales temos que:

m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]

Por E construímos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales:

m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2]

De [1] e [2] vem que os lados homólogos são proporcionais, o que conclui a demonstração.

Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação correta conforme indicado anteriormente.

Critérios de Semelhança de Triângulos

Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Demonstração:

No caso dos dois triângulos serem congruentes, nada há a demonstrar, pois por definição de congruência os triângulos são necessariamente semelhantes. Suponhamos, então, como indicado na figura, o triângulo ABC maior que o triângulo DEF e construamos o triângulo AGH tal que a medida do lado AG seja igual à medida do lado DE, o ângulo G congruente ao ângulo E e H sobre o lado AC.

Além disso, como o ângulo A é congruente ao ângulo D, por hipótese, o triângulo AGH é congruente ao triângulo DEF (critério ALA da congruência entre triângulos) e portanto semelhantes.

Por outro lado, pelo Teorema Fundamental, temos que o triângulo AGH é semelhante ao triângulo ABC, já que o lado GH é paralelo ao lado BC. E, finalmente, como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AGH, e AGH, por sua vez, é semelhante a DEF, concluímos, pela propriedade transitiva, que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

As demonstrações dos demais critérios ficam como exercício.

Critério AAA => Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Critério LAL => Lado-Ângulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Critério LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Teorema de Pitágoras

Um triângulo é denominado retângulo se um de seus ângulos é reto, ou seja, tem 90 graus. O lado de maior medida é denominado hipotenusa (a) e os outros dois lados de catetos (b e c).

Pitágoras estabeleceu, então, em seu mais famoso teorema que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, i.e.:

a2 = b2 + c2

Para finalizar o artigo com chave de ouro vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras com o uso dos critérios de semelhança.

Demonstração:

Observe que os triângulos ABH e ABC são semelhantes como decorrência do critério AA, uma vez que ambos possuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Daí tiramos a seguinte relação entre os lados homólogos:

c/a = m/c => c2 = a.m => c2 = a.(a - n) => c2 = a2 - an [1]

Pela mesma razão os triângulos AHC e ABC são semelhantes. Logo:

b/a = n/b => b2 = an [2]

Substituindo [2] em [1] vem que:

c2 = a2 - b2 => a2 = b2 + c2.

PRODUTOS NOTÁVEIS

Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.

Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.

Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.

Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.

Propriedades da Multiplicação em R

• Comutativa - A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;

• Associativa - O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;

• Distributiva - O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b - c) = a.b - ac;

• Elemento Neutro - O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;

• Elemento Opositor - O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;

• Fechamento - O produto de dois números reais é, sempre, um número real; • Anulação - O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.

Produtos Notáveis Mais Comuns

PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer - a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demonstração:

Pela definição de potenciação temos que:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2

E, finalmente pela propriedade comutativa vem:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer - a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Demonstração:

Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:

(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2

PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer - a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Demonstração:

Da definição de potenciação:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

Pela propriedade PN1:

(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Da propriedade distributiva da multiplicação vem:

(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)

=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer - a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

PN6. Produto de Stevin:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

PN7. Produtos de Warring:

[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

[2] a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Demonstração de [1]:

Da propriedade PN4 temos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por outro lado:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Substituindo na igualdade anterior vem:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) - 3a2b - 3ab2

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) - 3ab(a + b)

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 - 3ab) = (a + b)(a2 - ab + b2)

LOGARITIMO

Logaritmo foi o assunto escolhido, com 13 votos, na pesquisa realizada pelo VICHE. Para ver o resultado e os detalhes basta clicar no link Consultar Pesquisas localizado na barra lateral de navegação.

Antes de prosseguir com a abordagem do tema vencedor registro os nossos agradecimentos a todos os leitores participantes.

No artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

• o de redução a potências de mesma base, e • o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.

O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.

Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor entre 1 e 2, pois 3 < 3x = 7 < 9, não sabemos qual é exatamente esse valor e nem o processo para determiná-lo, tomando-se por base os conceitos publicados até aqui no VICHE.

Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos logaritmos.

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

Observações e consequências da definição:

1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;

2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;

3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;

4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;

5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab =

b; 6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alog

ac) e do fato

acima (alogac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se

e somente se os logaritmandos são iguais; 7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o

logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera; 8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a

(a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a; 9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente

importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de

logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);

10. O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por logex ou ln x;

11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;

12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é o antilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

Exemplos:

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Demonstração:

Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:

az = b.c

Daqui, obtemos pela observação 5. acima:

az = alogab.alog

ac => az = alog

ab+log

ac => z = logab + logac

Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = loga(b.c), x = logab e y = logac

vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

az = bc, ax = b e ay = c

Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:

az = axay => az = ax+y => z = x + y

A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabn

A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

• demonstrar que é verdadeira para n = 2 - já feita; • supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.

L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

Demonstração:

De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

cologab = -logab = loga(1/b)

L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

Demonstração:

Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:

Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.

Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;

• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou loga(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.

Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.

Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.

Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.

L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

Demonstração:

Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:

Como consequência da propriedade L4 temos:

1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro da igualdade;

2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):

Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t

Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:

LOGARITIMO E MANTISSA

Característica de um logaritmo decimal

Antes de estabelecer o conceito de característica de um logaritmo decimal, vamos “tentar” calcular o logaritmo de 127. Pela definição de logaritmo temos que:

log 127 = x => 10x = 127

Claramente se observa que não existe nenhum x inteiro que satisfaça essa igualdade. No entanto, podemos inferir facilmente que:

102 < 10x (= 127) < 103

E daqui, que o valor de x está entre 2 e 3, ou seja:

2 < x < 3 => 2 < log 127 < 3

Desta forma, podemos estabelecer uma relação semelhante para qualquer logaritmo de um número inteiro positivo maior que 1. E, no caso, por exemplo, de log 0,0127. Por raciocínio análogo, vemos que:

log 0,0127 = x => 10x = 0,0127

Ou seja:

0,01 < 0,0127 < 0,1 => 10-2 < 10x < 10-1 => -2 < x (= log 0,0127) < -1

A partir dos exemplos, que é consequência do fato de que qualquer número real positivo está necessariamente entre duas potências de 10 de expoentes inteiros consecutivos, pode-se concluir que o log b (b um número maior do que 0) está situado entre dois números inteiros e consecutivos, isto é, podemos sempre determinar um número inteiro c tal que:

c < = log b < c + 1

Ao número c damos o nome de característica de log b. Ou, alternativamente, podemos definir a característica como o maior número inteiro que não supera o logaritmo decimal.

Dos exemplos, podemos, então, estabelecer as duas seguintes regras para determinar a característica de log b:

Regra 1:

Se b > 1, a característica de log b é o número de algarismos que antecedem a vírgula subtraído de uma unidade.

Exemplos:

1. log 127 => c = 3 - 1 = 2 2. log 12,756 => c = 2 - 1 = 1 3. log 3756,12 => c = 4 - 1 = 3

Regra 2:

Se 0 < b < 1, a característica de log b é o simétrico da quantidade de zeros que antecedem o primeiro algarismo diferente de zero.

Exemplos:

1. log 0,0127 => c = -2 2. log 0,00056 => c = -4 3. log 0,83 => c = -1

Fica claro dos fatos anteriores que o logaritmo decimal de um número b > 0 pode ser escrito como:

log b = c + m

onde c é um número inteiro (a característica) e m (a mantissa) um número decimal maior ou igual a zero e menor do que 1 (0 =< m < 1).

Mantissa

A mantissa m, em geral um número irracional, é obtida da tabela logarítmica a seguir, que fornece, apenas, os valores aproximados dos logaritmos de 10 a 309.

Voltando ao exemplo inicial vamos determinar a mantissa de log 127 com o uso da tabela: se encontra na interseção da linha com o número 12 com a coluna com o número 7, cujo valor é 1038, o que significa que m = 0,1038 e portanto:

log 127 = 2 + 0,1038 = 2,1038

Compare com o valor obtido com o uso da calculadora e veja que corresponde ao valor até a quarta casa decimal.

Propriedade da Mantissa:

A mantissa do logaritmo decimal de b não se altera se multiplicarmos b por um potência de 10 com expoente inteiro.

A propriedade é decorrência de:

log b.10x = log b + log 10x = log b + x.log 10 = log b + x

Note que, na expressão acima, o que muda no cálculo do logaritmo é o valor da característica que é acrescida (ou decrescida) do valor x correspondente ao expoente da potência. Por exemplo:

log 12 = 1 + 0,0792 e log 120 = 2 + 0,0792 = 1 + 0,0792 + 1

Veja na tabela que a mantissa de log 12 e log 120 são iguais.

Uma consequência dessa propriedade é: Os logaritmos de números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula têm mantissas iguais.

Exemplo:

Os logaritmos decimais de 127, 1270, 0,127, 12,7 e 0,0127 têm mantissa igual a 0,1038 e caracaterísticas 2, 3, -1, 1 e -2 respectivamente.

Tabela Logarítmica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788

2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624

3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911

4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902

5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709

6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388

7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976

8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494

9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106

13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430

14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732

15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014

16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279

17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529

18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765

19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404

22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598

23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784

24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962

25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133

26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298

27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456

28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609

29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

Exercício 1: Se logaba = 4, calcule:

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

logaba = 4 => a = (ab)4 => a = a4b4 => b4 = 1/a3 => b = (1/a3)1/4 = 1/a3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)

Substituindo o valor de b em logabb na expressão [1]:

Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:

logab = logacb(1 + logac)

Solução:

Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:

Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:

E, substituindo [2] em [1]:

Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x2 - px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:

logqaa + logqbb + logqab + logqba = p

Solução:

Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:

A = alogqa + blogqb + blogqa + alogqb

Colocando os termos comuns em evidência:

A = (a + b)logqa + (a + b) logqb => A = (a + b)( logqa + logqb)

E, pela propriedade L1:

A = (a + b) logqab [1]

Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx2 + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:

S = -n/m e P = k/m

vem, pelas condições iniciais do exercício, que:

a + b = p e a.b = q

Substituindo esses valores em [1]:

A = plogqq = p

Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a - b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:

loga+bc + loga-bc = 2loga+bc.loga-bc

Solução:

Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:

Efetuando a mudança de base (de a + b para a - b) da primeira parcela:

E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:

E, por fim, de [1] e [2] vem que:

Exercício 5: Demonstrar que:

Solução:

A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):

O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.

Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:

Solução:

Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:

Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:

logba = logbbc = logbb + logbc = 1 + logbc [2]

Substituindo [2] em [1]:

ANALISE COMBINATÓRIA

Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.

Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama. Veja abaixo uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO, BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).

O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o número de possibilidades é igual a 24 (4 x 6). Adiante, veremos que a solução é bastante simples, não havendo necessidade de montar um diagrama como o acima, a menos que se queira saber quais são os anagramas, para estabelecer com precisão o resultado.

Mesmo esse caso exige um pouco de trabalho e interpretação para se obter o valor. Agora imagine se você necessitasse determinar a sua chance de ganhar na Mega Sena ou saber quantas placas de carros podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos?

É óbvio que o método utilizado acima seria totalmente impraticável para solucionar essas questões. São situações desse tipo, em que se exige a organização e a contagem de grupos, que serão o objeto deste artigo.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer.

Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a1, a2, …, am, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, representadas por b1, b2, …, bn, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.

Para demonstrar o princípio é suficiente observar que para cada ocorrência ai, i = 1, 2, …., m do evento A existem n maneiras de ocorrer o evento B, ou seja, para cada ocorrência ai de A existem n maneiras em que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro. Simbolicamente temos que

(ai, b1), (ai, b2), …., (ai, bn)

onde cada par ordenado representa a ocorrência simultânea dos dois eventos (n vezes) para cada maneira ai de A. Como i varia de 1 a m, teremos n + n + …. + n (m vezes), que é igual a mn.

Acima consideramos, apenas, a ocorrência de dois eventos distintos. E se fossem iguais, onde uma maneira não pudesse ocorrer, com ela mesma, simultaneamente? E se ocorressem r eventos (r > 2), com maneiras n1, n2, …, nr, respectivamente?

A resposta à primeira pergunta seria m(m - 1), uma vez que m = n e a ocorrência simultânea dos dois eventos é m - 1, para cada maneira ai, pois, por hipótese, não pode haver repetições do tipo (ai, ai).

Para a segunda, a resposta é n1.n2. … .nr e a demonstração pode ser feita pelo princípio da indução finita sobre r, ou seja, provar que é válida para r = 2 (feito acima), supor que é verdadeira para r = p e demonstrar que é verdadeira para r = p + 1 (fica como exercício).

Exemplo 1: Com base no princípio apresentamos, a seguir, outro método para se determinar o número de anagramas formados com a palavra BLOG.

Solução:

• Há quatro (4) maneiras para a escolha da primeira letra; • Para cada escolha da primeira letra, há três (3) possibilidades para a escolha da

segunda; • Para cada escolha do primeiro par de letras, há duas (2) possibilidades para a

escolha da terceira; • E, finalmente, para cada escolha das primeiras três letras, há somente uma (1)

possibilidade para a escolha da quarta.

Portanto, podemos concluir, pelo princípio fundamental da contagem, que o número de anagramas é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Exemplo 2: Determinar o número de placas de carros que podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos.

Solução:

Para resolver o problema, primeiro vamos determinar quantas possibilidades existem para combinar as três letras. Como sabemos que o alfabeto possui 26 letras e é permitida a repetição há 26 maneiras para a escolha da primeira letra, 26 para a segunda e 26 para a terceira. Portanto, existem, pelo princípio fundamental da contagem:

26 x 26 x 26 = 17.576

combinações possíveis.

De forma análoga pode-se afirmar que existem 10.000 combinações possíveis que podem ser estabelecidas com os quatro algarismos. Como a cada escolha de três letras se constroem 10.000 placas, vem que o total de placas é:

10.000 x 17.576 = 175.760.000

A título de curiosidade: Segundo o DENATRAN - Departamento Nacional de Trânsito, do Ministério das Cidades, existiam em 2003, 36.658.501 veículos automotores em todo Brasil, cuja distribuição por região era de 1.184.259 na Norte, 4.448.287 na Nordeste, 20.083.423 na Sudeste, 7.928.580 na Sul e 3.013.952 na Centro-Oeste. E que em 1990 o total era de 18.267.245, mostrando que foram necessários 13 anos para dobrar a frota nacional. Como se vê tem placa para aproximadamente uns 30 anos, na hipótese de que ocorra a mesma evolução mencionada e sem considerar a reutilização.

Exemplo 3: Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7?

Solução:

Note que não é condição do problema que os números sejam distintos, mas sómente que sejam ímpares. Desses fatos podemos afirmar que:

• Há três possibilidades de escolha para o algarismo das unidades - algarismos 1, 5 e 7;

• Há cinco possibilidades de escolha para o algarismo das demais casas decimais (milhar, centena e dezena);

para concluir que o total de números ímpares é:

5 x 5 x 5 x 3 = 375

A partir das informações e exemplos pode-se concluir que o princípio fundamental da contagem se constitui em um instrumento básico para a Análise Combinatória. Entretanto, em algumas situações pode se tornar trabalhosa a resolução de problemas com sua aplicação direta. Assim, vamos, a seguir, detalhar as várias maneiras de formarmos agrupamentos e deduzir as fórmulas que permitam a sua contagem.

Permutações Simples ou Sem Repetição

Dado o conjunto A = {a1, a2, …, an} com n elementos distintos, chamamos permutação dos n elementos de A qualquer sequência formada por esses n elementos.

Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4}, as sequências (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3), etc. são permutações dos quatro elementos de A. Do mesmo modo, também são, os anagramas formados pela palavra BLOG, onde cada um dos 24 anagramas é uma permutação das letras (elementos) B, L, O e G.

Fórmula do Número de Permutações

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos e Pn o número de permutações dos n elementos de A. Então Pn é dado por:

Pn = n.(n - 1).(n - 2). … . 3.2.1

Demonstração:

Basta analisar quantas possibilidades de escolha existem para o primeiro, segundo, …, e n-ésimo termo das sequências, sem repetição dos elementos. Assim, para o primeiro há n possibilidades de escolha, para o segundo (n - 1), para o terceiro (n - 2), …, e para o n-ésimo 1. Logo, pelo princípio fundamental da contagem podemos concluir que o número de permutações de n elementos distintos é dado pela fórmula acima.

Exemplo 4: Com relação a palavra VICHE:

1. Quantos anagramas existem? 2. Quantos anagramas começam por V? 3. Quantos anagramas começam por V e terminam com E? 4. Quantos anagramas começam por vogal? 5. Quantos anagramas têm as vogais juntas?

Solução:

1. Cada anagrama é uma permutação das letras V, I, C, H e E. Logo o número procurado é P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

2. Como V é fixo, temos que somente permutar as letras I, C, H e E. Logo o número procurado é P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

3. Neste caso temos que permutar as letras I, C e H. Logo o número procurado é P3 = 3 x 2 x 1 = 6.

4. Na palavra VICHE temos as vogais I e E. Assim, para cada uma delas fixas (início dos anagramas) temos P4 = 24 permutações (veja item b). Logo o número procurado é 2 x 24 = 48.

5. Como as vogais têm que estar juntas elas funcionam como se fosse uma única, que deve ser permutada com as letras V, C e H. Daqui vem que existem P4 = 24 permutações. No entanto, as vogais em cada uma dessas permutações podem se permutar entre si. Logo o número procurado é 2 x 24 = 48.

Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através da seguinte relação:

n! = n.(n - 1).(n-2). … .3.2.1 para n maior ou igual 2

1! = 1 e 0! = 1

Com a definição acima podemos escrever, de forma simplificada, a fórmula do número de permutações como:

Pn = n! (n pertencente a N*)

O cálculo do fatorial de n, isoladamente, se torna extremamente trabalhoso, à medida que n cresce. Porém, em determinadas situações muitos cálculos podem ser simplificados se utilizamos a seguinte igualdade, de fácil comprovação:

(n + 1)! = (n + 1).n.(n - 1).(n - 2). … .3.2.1 = (n + 1).n!

Por exemplo, para calcular 11!/9!, ao invés de calcularmos 11! e depois 9! e daí obter o resultado da divisão, com a utilização da igualdade acima o processo se torna muito simples, uma vez que:

11!/9! = 11.10.9!/9! = 11.10 = 110

Permutações com Repetição

Até o momento tratamos apenas de casos em que os cálculos de permutações ocorriam entre um determinado número de elementos distintos. Como fazer, então, para calcular o número de anagramas formados com as letras da palavra MARIA (nome de minha saudosa e muito querida mãe), onde temos duas letras A?

O natural seria esperar que o número de anagramas fosse P5 = 5! = 120. Note, no entanto, que a troca das duas letras iguais (A) em cada anagrama não resulta em um novo. E como a letra A ocupa duas posições a cada permutação (P2 = 2! = 2), temos que cada anagrama gera dois anagramas iguais, ou seja, cada anagrama é computado duas vezes no cálculo de P5. Logo, o número de anagramas formados com as letras de MARIA é igual a:

P5(2) = P5/P2 = 5!/2! = 120/2 = 60

onde, em P5(2), o 5 indica o total de letras e o (2) mostra que uma letra se repete duas

vezes.

E com a palavra ODORIDES (segundo nome de solteira de Mamãe, que ela abominava, com razão, e retirou quando se casou) quantos anagramas podem ser formados com suas letras?

Por raciocínio análogo, teríamos P8 = 8! = 40.320 anagramas se não houvesse repetições. Como temos duas letras repetidas O e D, temos P2.P2 = 4 anagramas iguais para cada anagrama computado em P8. Logo o número de anagramas é:

P8(2,2) = P8/P2.P2 = 8!/2!.2! = 40.320/4 = 10.080

De forma análoga podemos definir a fórmula geral para o cálculo das permutações com repetição (a demonstração não é feita) como sendo:

onde temos n elementos, em que um deles se repete n1 vezes, outro n2 vezes, …, e outro nr vezes.

Exemplo 5: Quantos anagramas existem com as letras da palavra BLOGOBORGES.

Solução:

Aplicação direta da fórmula, com n = 11, n1 = 2 (letra B), n2 = 3 (letra O) e n3 = 2 (letra G):

Arranjos com Repetição

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo com repetição dos n elementos p a p a toda sequência formada com p elementos de A não necessariamente distintos.

Fórmula do Número de Arranjos com Repetição

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos, então o número de arranjos com repetição dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

(AR)n,p = n.n. … .n (p fatores iguais a n) => (AR)n,p = np

Demonstração:

A demonstração é consequência do princípio fundamental da contagem e da definição de arranjos com repetição. Da definição segue que cada arranjo é formado por p elementos de A não necessariamente distintos. Desse fato, temos que para cada posição da sequência existem n possibilidades de escolha e a demonstração é concluída pelo princípio, uma vez que teremos o produto de p fatores iguais a n.

Arranjos Simples ou Sem Repetição ou Arranjos

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo simples (ou arranjo) dos n elementos p a p, com p maior ou igual a 1 e menor ou igual a n, a qualquer sequência formada com p elementos de A todos distintos.

Fórmula do Número de Arranjos

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos, então o número de arranjos dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

An,p = n.(n - 1).(n - 2). … .[n - (p - 1)]

Demonstração:

Para demonstrar a fórmula é suficiente determinar quantas sequências, com p elementos distintos de A, é possível formar. Para tanto, bastará determinar os números de possibilidades de escolha para cada um dos elementos da sequência e depois multiplicá-los. Para o primeiro temos n possibilidades de escolha, para o segundo (n - 1), …, e para o p-ésimo n - (p - 1).

Daqui, aplicando o princípio fundamental da contagem obtemos a fórmula do número de arranjos.

Note, a fórmula do número de arranjos diz que para calcular An,p basta você fazer o produto do número n por seus sucessivos antecessores até completar p fatores.

Exemplo 6: Calcular A6,3.

Pelo dito acima vem: A6,3 = 6 x 5 x 4 = 120.

A fórmula do número de arranjos pode ser simplificada utilizando-se a notação fatorial:

Dessa última fórmula podemos concluir facilmente que se n = p, Pn = An,n = n!. Lembre-se da definição de fatorial que 0! = 1.

Exemplo 7: Calcular, agora, A6,3 utilizando a fórmula simplificada.

A6,3 = 6!/(6 - 3)! = 6×5x4×3!/3! = 120

Combinações

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos. Chamamos de combinações dos n elementos, tomados p a p, aos subconjuntos de A constituídos de p elementos, que denotamos por Cn,p.

Veja que na difinição de combinações os agrupamentos formados são conjuntos, diferentemente dos arranjos, onde temos sequências. Portanto, nas combinações a ordem não importa, uma vez que em se tratando de conjuntos {a, b} = {b, a}, o que já não é o caso dos arranjos onde a sequência (a, b) é diferente de (b, a). Na resolução de problemas o fato é determinante para estabelecer o procedimento de cálculo a se adotar.

Cálculo do Número de Combinações

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos. Então o número de combinações dos n elementos de A, tomados p a p é:

onde é apresentada outra notação utilizada para o número de combinações, no final das igualdades.

Demonstração:

Vimos como calcular o número de arranjos e a diferença entre arranjos e combinações. Assim, efetuado o cálculo do número de arranjos dos n elementos p a p, é suficiente eliminarmos o número de repetições existentes (determinados pela ordem de cada agrupamento de p elementos de A) para obtermos o número de combinações.

Em outras palavras, como em qualquer subconjunto de p elementos de A é gerado p! repetições correspondente às permutações desses p elementos, basta, portanto, dividir o número de arranjos por p!, ou seja:

Cn,p = An,p/p!

Substituindo An,p na igualdade acima obtemos a fórmula do número de combinações.

Para finalizar o artigo seguem mais alguns exemplos de problemas com as respectivas soluções.

Exemplo 8: De uma lista de 10 ministeriáveis, todos com capacidade administrativa comprovada e honestidade ilibada, indicados pela base aliada, o Presidente da República precisa escolher o Ministro da Educação, o Ministro da Cultura e o Ministro dos Esportes. De quantas maneiras diferentes podem ser feitas as escolhas?

Solução:

Primeiro observe que escolhidos três ministeriáveis da lista eles podem ser designados para ocupar os cargos de maneiras diferentes. Assim, cada agrupamento escolhido é regido por uma relação de ordem. Ou seja, cada agrupamento possível é um arranjo de dez ministeriáveis, tomados três a três. Logo:

A10,3 = 10 x 9 x 8 = 720

Exemplo 9: Quais são as chances de um apostador acertar a sena, a quina ou a quadra com uma aposta simples de seis números da Mega Sena.

Solução:

Os cálculos dessas probabilidades são feitos utilizando-se de:

P(i) = casos prováveis/casos possíveis

Calculemos, primeiro, os casos possíveis. Como a ordem não importa, estamos diante de um caso clássico de combinações. Portanto, como na Mega Sena existem 60 números vem que:

Como para acertar a sena existe uma única possibilidade (C6,6= 1):

P(sena) = 1/50.063.860

ou seja, sua chance é de 1 em 50.063.860.

No caso da quina os casos prováveis é dado por:

C6,5.C54,1 = 6 x 54 = 324

onde C6,5 é o número de combinações entre os 6 de uma aposta premiada da quina (5 números de uma aposta) e C54,1 corresponde ao número de possibilidades para se jogar o sexto (para completar a aposta). Portanto,

P(quina) = 324/50.063.860 = 1/154.518

e sua chance é de 1 em 154.518.

Por raciocínio semelhante ao usado para a quina, os casos prováveis de acertar a quadra é determinado por:

C6,4.C54,2 = 15 x 1431 = 21465

e, portanto:

P(quadra) = 21465/50.063.860 = 1/2332

e sua chance é de 1 em 2332.

TABUADA DE PITÁGORAS

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.

Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:

• O de uma composição tabular (matriz) - não estou dizendo que uma criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;

• Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;

• Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.

A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante.

RADICIAÇÃO

INTRODUÇÃO

No artigo publicado em 23 de fevereiro de 2006, aqui no VICHE, abordei a definição e propriedades da potenciação. Caso você não tenha o domínio desse assunto, sugiro a sua leitura, visando uma melhor compreensão do que será exposto a seguir. O interesse demonstrado pelo tema foi e ainda permanece considerável, tomando-se por base o número de visitas ao artigo (1030 até o momento em que escrevia este post, segundo dado estatístico fornecido pelo software Webalizer). Agora, dando continuidade, trataremos da radiciação de números relativos e expressões algébricas.

Serão tratados os conceitos e propriedades da radiciação sob o ponto de vista primordialmente teórico, como no da potenciação, acrescidos de alguns exemplos. No entanto, caso seja demonstrado interesse, estarei criando uma seção específica (aceito sugestões para o seu nome) com o objetivo de responder, com o devido detalhamento, a questões e dúvidas colocadas nos comentários ou enviadas para o E-Mail nghorta@brturbo.com.br. As soluções serão fornecidas dentro do mesmo padrão aqui adotado, uma vez que é praticamente inviável de serem apresentadas diretamente no formulário dos comentários, devido às restrições ali impostas.

Apenas uma ressalva: por limitação de tempo, pois tenho que ganhar o pão nosso de cada dia, do trabalho que dar escrever artigos de matemática (estou “matutando” escrever um post sobre este fato) e em função da demanda, talvez não tenha condições de responder a todas as dúvidas e questões. Porém, prometo fazer todo o esforço necessário para não deixar nenhuma de fora. Por último, solicito que as questões sejam elaboradas da forma mais clara possível e se reportem, preferencialmente, ao assunto que está sendo tratado - no caso radiciação.

DEFINIÇÃO

Radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Ou seja,

Em outros termos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz enésima de a (ou raiz de índice n de a),

representada pelo símbolo , tal que b elevado a n seja igual a a.

Antes de partir para o próximo tópico - as propriedades da radiciação - algumas observações importantes e exemplos:

• O símbolo <=> indicado na fórmula acima significa se e sómente se. Isto é, se a expressão antes desse símbolo é verdadeira então a segunda também é, e vice-versa;.

• Na definição acima, temos que bn = a. Substituindo o valor de b (segunda

igualdade), obtemos que , i.e., a potência de grau n da raiz enésima de a é igual a a;

• é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical; • Radical, além de ser o símbolo acima indicado, é também, por extensão, a raiz

de um número relativo ou de uma expressão algébrica; • Raiz de índice 1 (n = 1) de a é o próprio número a; • Raiz de índice 2 (n = 2) de a é denominada de raiz quadrada de a. Neste caso

não é necessário escrever o índice n no radical; • Raiz de índice 3 (n = 3) de a é denominada de raiz cúbica de a; • Extração da raiz enésima de a é o cálculo dessa raiz; • O valor da raiz enésima de a nem sempre é um número racional (inteiro ou

fracionário), uma vez que nem sempre a é uma potência de grau n, n inteiro, de b (por exemplo: raiz quadrada de 2);

• Mesmo nesses casos é possível representar a raiz como uma potência de expoente fracionário (detalhes serão fornecidos mais a frente), embora sem significado como operação (exemplo: a raiz quadrada de 2 é expressa como 21/2);

• Erro de aproximação, é o erro cometido na extração da raiz enésima de a, em que não existe uma potência de grau n, n inteiro, de b que seja igual a a (por exemplo: raiz quadrada de 2 cujos valores aproximados podem ser 1; 1,4; 1,41; 1,414; …);

• Raízes de índice par pode não ter solução válida no conjunto dos números reais (por exemplo: a raiz quadrada de -1, uma vez que a potência de grau par de um número é sempre positiva);

• Para dar consistência ao cálculo de raízes de índice par e radicando com valor negativo, foi criado o conjunto dos números complexos, com a introdução da unidade imaginária i, cujo valor corresponde à raiz quadrada de -1;

• Valor aritmético ou valor absoluto de um radical é o valor positivo desse radical (exemplo: o valor aritmético da raiz quadrada de 4 é +2, embora -2 também satisfaça a definição);

• No cálculo dos radicais, conjunto de operações com números irracionais e com expressões algébricas, são considerados sempre apenas o seu valor aritmético, ou seja, seu valor positivo. Os valores positivos e negativos, quando é o caso,

são adotados principalmente na resolução de equações polinomiais, como por exemplo, em uma equação do segundo grau;

• Radicais equivalentes são os que têm o mesmo valor aritmético (exemplo: raiz cúbica de 8 e raiz quadrada de 4 são equivalentes por que ambas têm valor aritmético igual a 2);

• Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Veja exemplo abaixo.

Exemplos:

PROPRIEDADES

Apenas algumas das propriedades abaixo serão demonstradas, deixando a verificação das demais como exercício. Havendo manifestação de interesse poderei publicar um post específico com a verificação das propriedades não apresentadas.

P1. A raiz enésima do produto a.b é igual ao produto das raízes enésimas de a e b:

Demonstração:

Da definição de radiciação, temos que:

Por outro lado, utilizando-se a propriedade da potência de grau n de um produto, e, novamente, a definição de radiciação, obtemos:

Como se vê dos passos anteriores, foi demonstrado que ambos os lados da igualdade da propriedade elevado ao expoente n é igual ao produto a.b. Portanto, a base dessas potências são necessariamente iguais e a verificação da propriedade está concluída.

Aplicação prática da Propriedade (simplificação de radicais):

P2. O produto das raízes de a e de b com o mesmo índice n é igual a raiz enésima do produto a.b (note que esta propriedade é a recíproca de P1. Nas demais propriedades a recíproca também é válida. Esclarecimentos do que se entende por recíproca você pode obter no artigo sobre Potenciação ):

A demonstração de P2 é semelhante à de P1.

P3. O quociente de raízes de mesmo índice n é igual a raiz enésima do quociente dos radicandos:

P4. A potência de grau m da raiz de índice n de a é igual a raíz de índice n de a elevado à potência m:

Demonstração:

Para demonstrar a propriedade P4 utilizarei a técnica de demonstração por indução sobre m, considerando n fixo, que consiste em:

1. A propriedade é verdadeira para m = 0, pois

2. Considerando que P4 é verdadeira para m = p, m > 0, isto é:

provemos que é verdadeira para m = p + 1, ou seja:

De fato:

Observe que na expressão acima utilizamos a hipótese (verdadeira para m = p), a propriedade P2 e a propriedade de produtos de potências de mesma base.

3. Considerando agora m < 0 façamos -m = q > 0, então:

Na expressão acima foram utilizadas a propriedade de potência de expoente negativo, a hipótese, a propriedade P3 e regra de divisão de frações.

P5. A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

P6. A raiz enésima de a elevado a m é igual a raiz de índice p.n de a elevado a p.m obtida multiplicando-se o índice e radicando por p. A mesma propriedade é válida para a divisão:

Exemplo: Redução de radicais ao mesmo índice

P7. A raiz de índice n da potência de grau m de a é igual à potência de grau m/n de a:

Demonstração:

Da propriedade P6, dividindo-se o índice e o radicando por n:

Exemplos:

É interessante observar que todas as propriedades de potências para expoentes inteiros positivos são válidas, também, para as potências de expoentes fracionários.

Exercício 1: A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

O que a propriedade diz? Diz que o resultado é o mesmo se você calcula a raiz de índice n de a e depois a raiz de índice m do valor obtido dessa operação ou se você calcula, diretamente, a raiz de índice mn de a. Faça esses cálculos com a raiz cúbica da raiz quadrada de 64 e a raíz sexta de 64, e veja que o resultado obtido é igual a 2 em ambos os casos.

Solução 1:

Primeiro, lembro a seguinte propriedade de potenciação: em uma igualdade ao se elevar ambos os seus membros à uma potência de grau m ela não se altera. Desse fato e supondo que:

vem (elevando ambos os membros à potência m) que:

e pela definição de radiciação:

o que conclui a demonstração.

Solução 2:

Uma outra maneira de demonstrar a propriedade (P5) é através da aplicação da propriedade P7:

Exercício 2: Calcular

Solução: Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:

Assim de 1, 2 e 3 obtemos:

Exercício 3: (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

Exercício 4: Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

Exercício 5: Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Solução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

Exercício 6: Efetuar

Solução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável - PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

Aplicações das relações e funções no cotidiano

O Plano Cartesiano

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.

Segundo quadrante

Primeiro quadrante

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

Quadrantesinal de xsinal de yPonto não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4) Segundo - + (-4,2) Terceiro - - (-3,-7) Quarto + - (7,-2)

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): x A e y B }

Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Relações no Plano Cartesiano

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:

1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e Contradomínio de uma Relação

As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}

Representações gráficas de relações em AxB:

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Relações Inversas

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:

R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de Relações

Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.

Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:

R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.

Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.

Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.

Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) } Relação de equivalência

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) } Funções no Plano Cartesiano

Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.

Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:

f:A B

Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:

§ O domínio A da relação.

§ O contradomínio B da relação. § Todo elemento de A deve ter correspondente em B. § Cada elemento de A só poderá ter no máximo um

correspondente no contradomínio B.

Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.

Exemplo: A circunferência definida por

R={(x,y) R²: x²+y²=a²}

é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].

Relações que não são funções

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }

não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais

Funções afim e lineares

Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos:

1. f(x)=-3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4

Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).

Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax.

Exemplos:

1. f(x)=-3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2

O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).

Função Identidade

É uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.

Funções constantes

Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.

Exemplos:

1. f(x)=1 2. f(x)=-7 3. f(x)=0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

Funções quadráticas

Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos:

1. f(x)=x² 2. f(x)=-4 x² 3. f(x)=x²-4x+3 4. f(x)=-x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.

Funções cúbicas

Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

Exemplos:

1. f(x)=x³ 2. f(x)=-4x³ 3. f(x)=2x³+x²-4x+3 4. f(x)=-7x³+x²+2x+7

O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos.

Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0, ), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais.

Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é:

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas.

1. f:R R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, )

2. f:[0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]

3. A função modular é definida por f:R R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:

4. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R R, definida por

Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:

Funções injetoras

Uma função f:A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:

x1 x2 implica que f(x1) f(x2)

ou de forma equivalente

f(x1)=f(x2) implica que x1=x2

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).

2. A função f:R R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.

Funções sobrejetoras

Uma função f:A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.

2. A função f:R (0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertecente a (0, ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.

3. A função f:R R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.

Funções bijetoras

Uma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f:R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.

Funções Pares e Ímpares

Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.

Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).

Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.

Funções crescentes e decrescentes

Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.

Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.

Funções Compostas

Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é a função definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).

Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:

(f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14 (g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10

Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:

(g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10

Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.

Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:

(f©g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17 (g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2

Funções Inversas

Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.

Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações:

g©f=IA e f©g=IB

onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x).

Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A B definida por f(x)=2x e g:B A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.

Obtenção da inversa: Seja f:R R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.

Operações com Funções

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:

§ (f+g)(x) = f(x)+g(x) § (f-g)(x) = f(x)-g(x) § (f.g)(x) = f(x).g(x) § (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0.

Funções Polinomiais

Uma função polinomial real tem a forma

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao

sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f.

Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.

Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa.