Matematica_aplicada

5/14/2018 Matematica_aplicada - slidepdf.com

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Caderno de Atividades

Administração

Disciplina

Matemática Aplicada

Coordenação do Curso

Fernando Conter Cardoso

Autora

Andrea Hamazaki Feitosa



3

© 2012 Anhanguera Publicações

Proibida a reprodução nal ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica,resumida ou modicada em línguaportuguesa ou qualquer outro idioma. Diagramado no Brasil 2012

Como citar esse documento:

Feitosa, Andrea Hamazaki. Matemática Aplicada. Valinhos, pp. 1-115, 2011. Disponível em: <www.anhanguera.edu.br/cead>. Acesso em: 01 fev. 2012.

Chanceler Ana Maria Costa de Sousa

Reitor Guilherme Marback Neto

Vice-Reitor

Leocádia Agláe Petry Leme

Pró-Reitores

Pró-Reitor Administrativo:

Antonio Fonseca de Carvalho

Pró-Reitor de Extensão, Cultura e Desporto:

Eduardo de Oliveira Elias

Pró-Reitor de Graduação:Leocádia Agláe Petry Leme

Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação: Eduardo de Oliveira Elias

Diretor-Geral de EAD

José Manuel Moran

Diretora de Desenvolvimento de EADThais Costa de Sousa

Anhanguera Publicações

Diretor

Luiz Renato Ribeiro Ferreira

Núcleo de Produção de Conteúdo eInovações Tecnológicas

Diretora

Carina Maria Terra Alves

Gerente de Produção

Rodolfo Pinelli

Coordenadora de Processos Acadêmicos

Juliana Alves

Coordenadora de Ambiente Virtual

Lusana Veríssimo

Coordenador de Operação

Marcio Olivério



4

Legenda de Ícones

Glossário za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e

Leitura Obrigatória

Agora é a sua vez

Vídeos

Links Importantes

Ver Resposta

Finalizando

Referências

Início



5

Desde sua fundação, em 1994, os fundamentos da “Anhanguera Educacional” têm sido o principalmotivo do seu crescimento.

Buscando permanentemente a inovação e o aprimoramento acadêmico em todas as ações eprogramas, ela é uma Instituição de Educação Superior comprometida com a qualidade do ensino,pesquisa de iniciação cientíca e extensão, que oferecemos.

Ela procura adequar suas iniciativas às necessidades do mercado de trabalho e às exigências domundo em constante transformação.

Esse compromisso com a qualidade é evidenciado pelos intensos e constantes investimentosno corpo docente e de funcionários, na infraestrutura, nas bibliotecas, nos laboratórios, nasmetodologias e nos Programas Institucionais, tais como:

· Programa de Iniciação Cientíca (PIC), que concede bolsas de estudo aos alunos para odesenvolvimento de pesquisa supervisionada pelos nossos professores.

· Programa Institucional de Capacitação Docente (PICD), que concede bolsas de estudospara docentes cursarem especialização, mestrado e doutorado.

· Programa do Livro-Texto (PLT), que propicia aos alunos a aquisição de livros a preçosacessíveis, dos melhores autores nacionais e internacionais, indicados pelos professores.

· Serviço de Assistência ao Estudante (SAE), que oferece orientação pessoal,psicopedagógica e nanceira aos alunos.

· Programas de Extensão Comunitária, que desenvolve ações de responsabilidade social,permitindo aos alunos o pleno exercício da cidadania, beneciando a comunidade noacesso aos bens educacionais e culturais.

A m de manter esse compromisso com a mais perfeita qualidade, a custos acessíveis, a Anhanguera privilegia o preparo dos alunos para que concretizem seus Projetos de Vida e obtenhamsucesso no mercado de trabalho. Adotamos inovadores e modernos sistemas de gestão nas suasinstituições. As unidades localizadas em diversos Estados do país preservam a missão e difundemos valores da Anhanguera.

Atuando também na Educação a Distância, orgulha-se de oferecer ensino superior de qualidadeem todo o território nacional, por meio do trabalho desenvolvido pelo Centro de Educação a Distânciada Universidade Anhanguera - Uniderp, nos diversos polos de apoio presencial espalhados por todo o Brasil. Sua metodologia permite a integração dos professores, tutores e coordenadoreshabilitados na área pedagógica com a mesma nalidade: aliar os melhores recursos tecnológicose educacionais, devidamente revisados, atualizados e com conteúdo cada vez mais amplo para odesenvolvimento pessoal e prossional de nossos alunos.

A todos bons estudos!

Prof. Antonio Carbonari NettoPresidente do Conselho de Administração — Anhanguera Educacional

Nossa Missão, Nossos Valores



6

Sobre o Caderno de Atividades

Caro (a) aluno (a),

O curso de Educação a Distância acaba de ganhar mais uma inovação: o caderno de atividadesdigitalizado. Isso signica que você passa a ter acesso a um material interativo, com diversos linksde sites, vídeos e textos que enriquecerão ainda mais a sua formação. Se preferir, você tambémpoderá imprimi-lo.

Este caderno foi preparado por professores do seu Curso de Graduação, com o objetivo de auxiliá-lona aprendizagem. Para isto, ele aprofunda os principais tópicos abordados no Livro-texto, orientandoseus estudos e propondo atividades que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos dasaulas. Todos estes recursos contribuem para que você possa planejar com antecedência seu tempoe dedicação, o que inclusive facilitará sua interação com o professor EAD e com o professor tutor a distância.

Assim, desejamos que este material possa ajudar ainda mais no seu desenvolvimento pessoal eprossional.

Um ótimo semestre letivo para você!

José Manuel Moran

Diretor-Geral de EAD

Universidade Anhanguera – Uniderp

Thais Sousa

Diretora de Desenvolvimento de EAD

Universidade Anhanguera – Uniderp



7

Este roteiro tem como objetivo orientar seu percurso por meio dos materiais disponibilizados no Ambiente

Virtual de Aprendizagem. Assim, para que você faça um bom estudo, siga atentamente os passos

seguintes:

1. Leia o material didático referente a cada aula.

2. Assista às aulas na sua unidade e depois disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem para

você; (sugestão: Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem).

3. Responda às perguntas referentes ao item “Habilidades” deste roteiro.

4. Participe dos Encontros Presenciais e tire suas dúvidas com o tutor local.

5. Após concluir o conteúdo dessa aula, acesse a sua ATPS e verique a etapa que deverá ser

realizada.

Caro Aluno,Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada

à Administração, Economia e Contabilidade, do autor Afrânio Murolo e Giácomo

Bonetto, Editora Cengage, 2004, PLT 59.

Roteiro de Estudo Profª. ANDREA HAMAZAKI FEITOSA Matemática Aplicada

Tema 1REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS

ícones:



8

Conteúdo

Nesta aula, você estudará:

• Os conceitos básicos de álgebra elementar, através da resolução de equações, fatoração eprodutos notáveis.

• Representar geometricamente a reta dos números reais para futura apresentação de grácos.

• Como realizar de forma correta as operações aritméticas fundamentais.

Habilidades

Ao nal, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três delas são mulheres. Aconta, dee R$72,00, foi inicialmente dividida entre todos, mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres não deveriam pagar. Então cada homem contribuiu com mais R$4,00e a conta foi paga. Quantas pessoas haviam no grupo?

• Em uma sala há 100 pessoas, sendo que 26 delas usam óculos. Sabe-se que 20% dos homens e40% das mulheres dese grupo usam óculos. Quantos homens há na sala?

• A planta de um terreno está na escala . Se a frente desse terreno mede 4,5 cm, quanto vale narealidade?

AULA 1

Assista às aulas na sua unidade e depois disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem

para você.

REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS

No estudo deste tema, são abordadas situações-problema que contêm expressões numéricas

envolvendo as operações aritméticas nos diversos conjuntos numéricos.

Os conceitos da álgebra elementar são tratados a partir de expressões algébricas, produtos notáveis e

fatoração. As equações serão abordadas em situações simples de fácil compreensão.

Para alcançar os objetivos propostos, acompanhe a seguir os conceitos matemáticos fundamentais:

I. Para que a revisão das operações aritméticas que completa, é necessário, inicialmente, identicar


Conteúdos e Habilidades



9

os principais conjuntos numéricos:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,� = conjunto dos números naturais.

{, 2, 1, 0, 1, 2,� = � �

conjunto dos números inteiros.

, , , 0 p

Q p q sendo qq

� �= � � ��

� �

conjunto dos números racionais (são os números que podem ser

escritos como uma fração).

conjunto formado pelos números racionais e irracionais.

Todos os números que não podem ser escritos como forma de fração, isto é, aqueles que têm innitas

casas decimais não periódicas conjunto dos números irracionais.

II. A realização das operações aritméticas fundamentais torna-se possível pela aplicação das seguintes

regras:

Adição e subtração de números inteiros

1. Se os números têm o mesmo sinal, somam-se os valores absolutos das parcelas, e conserva-

se o sinal.

Exemplos:

2+6 = 8

–8-9=–17

2. Se os números têm sinais diferentes, subtraem-se os valores absolutos, e o sinal do resultado

é o mesmo do maior valor absoluto.

Exemplos:

–5+7=2

2–3=–1

Multiplicação e divisão de números inteiros

1. Se os números tiverem o mesmo sinal, o produto e o quociente serão positivos.

Exemplos:

Para a multiplicação ()()5 6 30+ × + = + e

para a divisão ()()5 4 20� × � = +

Para a multiplicação ()()5 4 20� × � = + e

para a divisão ()()12 3 4� � � = +

2. Se os números tiverem os sinais contrários, o produto e o quociente serão negativos.



10

Exemplos:

Para a multiplicação ()()5 2 10� × + = � e

para a divisão ()()5 2 10� × + = �

Para a multiplicação ()()5 2 10� × + = � e

para a divisão ()()12 6 2� � + = �

Potenciação de números inteiros

1. Se o expoente for par, a potência será positiva.

2. Se o expoente for ímpar, a potência será negativa.

Exemplos:

()()

()

()

2

2

5

5

3 93 9

3 243

3 243

+ = +

� = +

+ = +

� = �

Operações com números racionais - Números que podem ser representados por frações

Duas frações são denominadas equivalentes quando representam a mesma quantia do todo

considerado.

Exemplos:

2 1

4 2= ;

Frações equivalentes são aquelas em que , 0, 0a c

com b d b d

= � �

Para encontrar frações equivalentes:a c

b d = , sendo x= × e d x b= ×

Operações com frações

· Adição e Subtração

·

, 0a c a c

bb b b

±± = � , 0, 0

a c a cb d

b d b d

±± = � �

×

Exemplos:

1) 1 3 5 18 23

6 5 30 30

++ = =

2)1 3 5 18 23

6 5 30 30

++ = = 3)

1 3 5 18 13

6 5 30 30

� �� = =

· Multiplicação

·

, 0, 0a c a c

b d b d b d

×× = � �

×



11

Exemplo:1 3 3

5 5 25× =

·

· Divisão

, 0, 0a c a d ad

b cb d b c bc

� = × = � �

Exemplo:

2 3 2 4 8

5 4 5 3 15� = × =

· Potenciação

·()

m n m n

m n m n

nm m n

a a a

a a a

a a

+

+

× =

� =

=·

Propriedades de potência de mesma base:

()

m n m n

m n m n

nm m n

a a a

a a a

a a

+

+

× =

� =

=

Lembrando:

Todo número elevado a zero é igual a um: 0 1a� =

Se o expoente for negativo:

Expressões numéricas

Ordem das operações: quando existem várias operações em uma mesma expressão numérica, a

primeira operação a ser realizada é a potenciação; depois, multiplicação; seguida de divisão; e, por

último, a adição e a subtração (na ordem em que aparecem).

Exemplo:



12

3 6 5 2 4 3 30 2 4 3 15 4 16� + × � + = � + � + = � + + =

Sinais de associação: são sinais de associação os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }.Esses sinais indicam as prioridades das operações; isto é, deverão ser resolvidas primeiramente

as que estiverem dentro dos parênteses, seguidas das que estiverem dentro dos colchetes e,

nalmente, as que estiverem dentro das chaves.

Exemplo:

( ) ( ) () [2

24 2 8 32 1 3 2 4 6 32 16

4 2 2

� �� × � � � + = × � � � =� � � ��

= � � = �

III. Para a compreensão dos fatos da álgebra elementar, é necessário entender que um número pode ser

representado por uma letra com as mesmas propriedades operatórias. Portanto, uma expressão

algébrica é toda sentença matemática que contenha letras, números ou ambos.

Exemplos: 42 ; 2 5; 8 3; 15 7 x x x xy z+ � �

Para se simplicarem as expressões, devem ser obedecidas as seguintes regras operatórias:

· Para se somarem ou subtraírem as expressões algébricas, reduzem-se termos semelhantes

(são semelhantes os termos que possuem a mesma parte literal).

·

Exemplo: 5 2 7 3 6 3 20 8 11 5 27 5 xy x y z xy x y z xy x y z+ + � + + + + = + + +

· Multiplicação

·

6 3 94 2 8 y y y× = � Multiplicam-se os números (conhecidos como coecientes da expressão), conserva-

se a variável e somam-se os expoentes.

( )( )3 2 4 5 12 15 8 10 x y xy x y+ × + = + + + � Aplica-se a propriedade distributiva.

· Divisão4 2 215 3 5 x x x� = � Dividem-se os números (coecientes) e conserva-se a variável, subtraindo-se seus

expoentes.

Produtos Notáveis

Alguns casos de produtos notáveis:

· Quadrado da soma/diferença de dois termos:·



13

()2 2 22a b a ab b+ = + + (quadrado do primeiro termo, mais a multiplicação do primeiro pelo segundo

termo, mais o quadrado do segundo termo).

(quadrado do primeiro termo, menos a multiplicação do primeiro pelo

segundo termo, mais o quadrado do segundo termo).

· Produto da soma pela diferença de dois termos:

()() (2 2a b a b a b+ × � = � � (quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo).

Fatoração

Signica transformar em fatores uma determinada expressão.

Casos de fatoração:Fator comum em evidência: (ay by y a b+ = +

Agrupamento: ( ) ( ) ( )( )ax ay bx by a x y b x y a b x y+ + + = + + + = + +

Trinômio do quadrado perfeito: (22 22a ab b a b+ + = +

Diferença de quadrados: ()2 2 ( )a b a b a b� = + �

IV. Equações. Resolver uma equação signica encontrar o valor da variável em uma sentença aberta. O

que determina o grau da equação é o valor do maior expoente nela contido. Assim, se o expoente

for 1, a equação será do primeiro grau, se o expoente for 2, a equação será do segundo grau, eassim sucessivamente.

Uma equação do primeiro grau, em sua forma genérica, é dada por: 0ax b+ = e sua resolução é

dada

por:b

xa

= .

Exemplo:1

5 1 0 5 1 5 x x x+ = � = � � =

A equação em que o expoente é 2, conhecida como equação do segundo grau, tem em sua forma

genérica: 2 0ax bx c+ + = . Pode ser resolvida pela fórmula de Báskara:

2 4 3 0 x x� + =

Exemplo:

2 4 3 0 x x� + = . Temos: a=1; b=–4 e c=3. Aplicando na fórmula:



14

()()2

1

2

4 4 4 1 3 4 4 4 2

2 1 2 24 2

32

4 21

x

x

x

� � ± � � × × ± ±= = =

×+

= =

= =



15

Agora é a sua vezINSTRUÇÕES

Para uma aprendizagem eciente serão

necessários estudos individuais. Para facilitar

a revisão do conteúdo, retome a leitura do item

“Leitura Obrigatória” que resume conceitos

importantes da disciplina e apresenta exemplos

práticos que servem de roteiro para elaborar as

atividades propostas.

Ponto de Partida

Para solucionar problemas como o que segue,

é necessário o conhecimento de regras básicas

operatórias para o conjunto de números racionais,

resolução de equações e a discussão de suas

soluções. Caso sinta diculdade em resolvê-lo,

retome os passos da revisão proposta e, ao nal,tente novamente, comparando a sua solução

com as respostas corretas que o tutor presencial

apresentará.

Situação-problema: O Lucro L na venda de

um produto é dado por 2 20

45 5

p L p= � �

(em

milhares de reais), sendo p o seu preço. Sabendo

que o lucro, em determinado mês, foi de R$ 24

(em milhares de reais), descubra a que preço foi

comercializado o produto no referido mês.

Agora é com você! Responda às questões

a seguir para conferir o que aprendeu!

Calcule o valor das expressões exponenciais:

a) 32

b) (

32

c) 52

d) 52

e)

32

3

� �� ÷� �

f)2

32

g)3

1

2

� �� ÷� �

h)7

4

3

3

i) 3 414 3

2� �

j) 3 414 3

2� �

Calcule:

a)()

81 6 2

31

22

5 * 5 5

5 * 5

� � �

� �

� ÷� �

b)()

122 5 8

11 8

24

2 2 * 2

2 * 2� �

� ÷� �

Questão 01

Questão 02

Verifque seu desempenho nesta

questão, clicando no ícone ao lado.





16

Calcule o valor das expressões numéricas,expressando, ao nal, a resposta em forma de

fração, simplicando-a sempre que possível:

a)5 7

b)3 4

5 7

c)

112 9 3

37 5 5� + +

d)3 31

*5 4

e)3 31

*5 4

f)1 3

3 * 14 7

� �� ÷

� �

g)1 3

3 * 14 7

� ��

� ÷� �

h) 4 1

5 2

� �

� �

i)4 1

5 2

� �� ÷� �

j)5 1

2 4

� �� ÷� �

k)8 9 7

* * 4

7 2 3

l)1 1 1 2

* 52 6 5 3

� � � �+ � �� ÷ � ÷

� � � �

m)5 5

2 2 *3 6

� � � �+ �� ÷ � ÷

� � � �

n)5 5

2 2 *3 6

� � � �+ �� ÷ � ÷

� � � �

o) 4 2 1* 3 8 * 25

7 7 2

� � � �� ÷ � ÷� � � �

� � � ��

ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA

Calcule o valor da expressão numérica de

acordo com o x dado:

a) 3 2 1 ; 1 y x x x= � + = �

b)3 4

1 ; 1

5 6

x x y x= + � =

c) ()()3 2

1 1 1 ; 1 y x x x= � + � + = �

d) ()()2 234 1

* 1 1 ; 13 2

y x x x= � + � � =

e)34 2 1

; 23 2

x x y x

x

� += = �

ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU

Duas pessoas, distantes 30 m, caminham uma

em direção à outra. Uma pessoa caminhou 12

m para o sul; a outra, 5 m para o norte. Qual adistância que separa essas duas pessoas?

a) 7 m

b) 13 m

c) 17 m

d) 60 m

e) 119 m



Questão 03

Questão 04



Questão 05





17

O valor inicial de um carro é de R$ 25.000,00 e,

a cada ano, esse é depreciado em R$ 1.562,50.

Dado pela expressão V = 25.000 – 1.562,50 t,

em que t é o número de anos passados após

a compra. Após quanto tempo o carro vale a

metade do valor inicial?

A receita R é denida como preço de venda

multiplicado pela quantidade vendida. Se uma

determinada fábrica vende o seu produto ao preço

de R$ 56,00, qual é a receita se são vendidas 40

unidades?

Na produção de peças, uma indústria tem um

custo xo de R$ 8,00, mais um custo variável

de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o

número de unidades produzidas, determine o

custo total de 100 peças.

Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm

fabricado, respectivamente, 3.000 e 11.009 pares

de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a

fábrica A aumentar sucessivamente a produção

em 70 pares por mês, e a fábrica B aumentar

sucessivamente a produção em 290 pares

por mês, a produção da fábrica B superará a

produção de A a partir de qual mês?

ASSUNTO: TRINÔMIO DO QUADRADO

PERFEITO

Assinale a resposta correta onde a expressão

16x² − 49 é equivalente:

a) (4x + 7) (4x – 7)

b) (4x + 7) (4x +7)

c) (−4x – 7) (4x +7)

d) 4x(4x + 7)

e) 4x(4x – 7)





Questão 07



Questão 09



Questão 10



Questão 08

Questão 06



18

LINKS IMPORTANTESQuer saber mais sobre o assunto? Então:

Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm>.

Nesse link, você encontra um resumo conceitual de todos os temas relacionados à Matemática

necessários para os assuntos desenvolvidos neste curso. Acesso em 23/11/2011.

Visite o site <http://www.somatematica.com.br/soexercicios.php>. Esse site traz diversos exercícios de

aritmética e álgebra elementar. Acesso em 23/11/2011.

Nessa aula, você viu os conceitos das operações fundamentais, os conceitos básicos de álgebra

elementar, assim como a resolução de equações , fatoração e produtos notáveis. Entendeu que todos

os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano, e para uma melhor compreensão e xaçãodos exercícios e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Álgebra Elementar: é uma forma básica e fundamental da álgebra. Enquanto na aritmética se usamapenas os números e suas operações (como +, −, ×, ÷), na álgebra também se usam símbolos (como x

e y, ou a e b) para designar números. Esses símbolos são chamados variáveis.

Expressões Algébricas: são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números.

São também denominadas expressões literais.

Produtos Notáveis: no cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de

expressões algébricas aparecem com muita frequência. Pela importância que têm no cálculo algébrico,essas expressões são denominadas Produtos Notáveis.

FINALIZANDO

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

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ln

st

u

v

x w

x yi

q e



19

Fatoração: termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos

que integram um produto; ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma

das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada elemento que integra o produto.Com a fatoração, busca-se a simplicação das fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação,

especialmente das chamadas equações.

Expressões numéricas: sequência de números associados por operações.

Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS

e verifcar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!

Tema 2Conceito de Função e Função de Primeiro Grau

ícones:


Conteúdo


• O conceito de função matemática como uma relação estabelecida entre duas grandezas ou

variáveis e a sua aplicação para a resolução de situações práticas nas áreas nanceiras e

administrativas.

• Por meio de exemplos práticos, os tipos e as características de uma função como função

crescente, decrescente, limitada e composta.

• As funções de primeiro grau.



20

Habilidades


• Numa loja, o salário xo mensal de um vendedor é R$ 500. Além disso, ele recebe de

comissão R$ 50 por produto vendido?

• O valor que iremos pagar no nal do mês na conta de água e energia de nossas casas está em

função (está dependendo) de quanto iremos gastar de 3m de água e quantos KW de energia

consumidos durante o mês?

• Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamentosmensais:

Plano A: um valor xo de R$110,00 mais R$20,00 por consulta dentro do período.

Plano B: um valor xo de R$130,00 mais R$15,00 por consulta dentro do período.

Analisando os planos qual seria o mais vantajoso?

AULA 2

Assista às aulas nos pólos presenciais e também disponíveis no Ambiente Virtual de

Aprendizagem para você.

Conceito de Função e Função de Primeiro Grau

Para se compreender o conceito de função, é necessário entender que essa “ferramenta” permite

analisar o comportamento de duas grandezas ou variáveis interdependentes.

Em um exemplo simples, o vendedor de materiais elétricos Carlos recebe salário de R$ 1.200,00 mais

uma comissão de R$ 3,00 por material vendido. A função matemática que representa o salário de

Carlos é dada por 1200 3S x= + , onde S representa o salário de Carlos e x , a quantidade vendida de

material.

As grandezas ou variáveis relacionadas são salário e quantidade, sendo que o salário é dado em

função da quantidade vendida de material.




21

Analisando-se esse exemplo, percebe-se que a função é crescente, pois quanto maior a quantidade

de material vendida por Carlos (ou seja, x ) maior será o salário S de Carlos.

Outro exemplo: O valor inicial de um carro é de R$ 25.000,00 e, a cada ano, esse valor é depreciado

em 10% do valor pago. A função matemática que representa o valor do carro é 25.000 2500V t = � ,

onde V representa o valor do carro e t , o tempo de uso do carro.

As grandezas ou variáveis relacionadas são valor e tempo, sendo que o valor do carro é dado em

função do tempo.

Analisando esse exemplo, percebe-se que a função é decrescente, pois, à medida que o tempo

aumenta, o valor deste carro tende a diminuir.

Uma função pode ser limitada, ou seja, o estudo pode ser realizado em um determinado período de

tempo, ou a partir de um determinado custo, ou da limitação de capacidade produtiva.

Exemplo: Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R$ 2,59 por litro. A função

matemática que representa o valor a ser pago de combustível é 2,59V q= , onde V representa o valor

a ser pago e q , a quantidade de litros abastecidos pelo consumidor.

As grandezas ou variáveis relacionadas são: valor e quantidade, sendo que o valor a ser pago pelo

combustível é dado em função da quantidade de gasolina abastecida pelo consumidor. Supondo que

o tanque de combustível de um carro comporte somente 52 litros e que o consumidor pretenda encher

o tanque, mas sabe de antemão que no tanque existe ¼ de combustível, quanto seria o gasto deste

consumidor para “completar” o tanque? Você poderá perceber que o consumidor irá gastar somente

R$ 101,01.

Analisando-se esse exemplo, percebe-se que a função é limitada, pois o tanque de combustível tem

uma capacidade máxima de armazenagem.

Para a aplicação de funções em áreas nanceiras, administrativas ou contábeis, torna-se necessário

conhecer o conceito de oferta, demanda, receita, custos, lucros, ponto de equilíbrio (break-even point),

além de cálculos de juros simples.

DEMANDA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço), e seja D a demanda ou procura demercado desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os compradores

de mercados estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P em determinado período de tempo (que



22

pode ser um dia, uma semana, um mês etc.). Vale reforçar que a demanda ou procura a que se refere

o texto é a de todos os compradores da utilidade, e não a de um comprador individual. Geralmente,

é uma função do tipo D b aP = � , onde P corresponde à demanda ou procura da utilidade P ao seu

preço. Já analisada anteriormente, tem-se uma função do tipo decrescente, pois um aumento nos

preços faz com que a demanda ou procura da utilidade diminua.

OFERTA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta

utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e

aptos a vender ao preço P em determinado período de tempo (que pode ser um dia, uma semana,

um mês etc.). Vale ressaltar que a oferta a que se refere o texto é a de todos os produtores da

utilidade e não a de um produtor individual. Geralmente, é uma função do tipo S aP b= + , onde S

corresponde à oferta da utilidade P ao seu preço. Já analisada anteriormente, tem-se uma função

do tipo crescente, pois um aumento nos preços faz com que a oferta da utilidade também tenda a

aumentar.

PONTO DE EQUILIBRIO (break-even point): É o ponto onde a oferta e a demanda de uma

determinada utilidade são iguais, ou seja, onde toda utilidade oferecida é vendida. Determina-se

aqui o preço de equilíbrio de mercado (PE) para a dada utilidade. Portanto, é o preço para o qual a

demanda e a oferta de mercado desta utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de

equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado (QE).

RECEITA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) cujo preço de venda seja um preço

unitário p . A função dada para a receita é , RT pq= onde p é o preço e q a quantidade da utilidade.

CUSTO: No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de calças.

Quantidade (q) 0 10 20 40 100

Custo (C) R$ 120 150 180 240 420

Nota-se que, com um aumento de 10 unidades na quantidade, o custo aumentará R$ 30,00; se

há um aumento de 20 unidades na quantidade, o custo aumenta em R$ 60,00; ou, ainda, com um

aumento de 60 unidades, o custo aumenta em R$ 180,00. Conclui-se que uma variação na variável

independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma

função do 1° grau. Para uma melhor compreensão, podemos calcular a taxa de variação média, que

consiste em dividir a variação em C pela variação em q. Isto é,30 60 180

310 20 60

m = = = = = .

Neste exemplo, a razão 3m = dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade



23

na quantidade. Nota-se, ainda, que, se não for produzida qualquer quantidade de

calças, haverá um custo xo de R$120,00. Tal custo é atribuído à manutenção de

máquinas, impostos, despesas com folha de pagamento etc.

De modo geral, a função custo pode ser determinada com a fórmulav f C C C = + , onde vC é o

custo variável e f C

o custo xo. Do exemplo aqui apresentado, a função custo relacionada é

3 120v f C C C q= + = + .

LUCRO: para obter-se a função lucro de uma determinada utilidade (bem ou serviço) deve-se fazer:

L R C = � , ou seja, o lucro é “receita menos custo”.



24

unidade. Quantas unidades, aproximadamente,

são o ponto de equilíbrio da empresa?

a) zero.b) 200.

c) 300.

d) 600.

e) 3.000.

Uma empresa fabrica e vende um produto. O

Departamento de Marketing da empresa trabalha

com a Equação da Demanda apresentada a seguir,

onde YD e XD representam, respectivamente, o

preço e a quantidade da demanda.

YD = –2XD + 10.100

Como um primeiro passo para a elaboração do

Plano de Produção dessa empresa, indique a

opção que responde à pergunta:

“Quantas unidades produzir, para o preço de $

2.000,00?”

a) 5.000.

b) 4.050.

c) 5.100.

d) 5.150.

e) 5.200.

O gráco a seguir descreve o estoque de blusas

de uma loja:

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 02

INSTRUÇÕES

Observe no enunciado de cada questão as

atividades que deverão ser realizadas de

forma individual. Para auxiliar na resolução

dos problemas propostos retome os conceitos

específcos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

O proprietário de uma fábrica de brinquedos

verifcou que o custo fxo da empresa era

de R$ 5.600,00, e o custo unitário para a

produção de cada unidade era de R$ 6,10.

Determine a função custo C , dada por uma

função de primeiro grau em relação ao

número x de brinquedos fabricados.

O que se pede neste problema é a relação

matemática entre o número de brinquedos

fabricados e seu custo. Caso ainda não

lhe seja possível, sugere-se acompanhar

as atividades a seguir propostas e, então,

tentar novamente a sua resolução.

Agora é com você! Responda às questões a

seguir para conferir o que aprendeu!

Suponha que o Guaíba Pôster, um pequeno

varejista de pôsteres, tenha custos operacionais

xos de R$ 3.000,00, que seu preço de venda por

unidade (pôster) seja de R$ 15,00, e seus custosoperacionais variáveis sejam de R$ 5,00 por



Questão 03





25

42 70

44 60

46 30

e)Tamanho da blusa Quantidade

40 40

42 42

44 44

46 46

O gráco a seguir representa o valor (em R$)

de uma ação negociada na bolsa de valores no

decorrer dos meses.

Considerando-se t = 1 o mês de janeiro, t = 2

o mês de fevereiro, e assim sucessivamente, a

média dos valores das ações é de:a) 2,90.

b) 2,78.

c) 3,01.

d) 2,96.

e) 2,99.

Questão 04

Observe:

Para construir esse gráco, o gerente fez

inicialmente uma tabela com o resultado do

levantamento do número de blusas de cada

tamanho que havia no estoque. Assinale a

alternativa que apresenta a tabela que o gerente

pode ter feito.

a)Tamanho da blusa Quantidade

40 30

42 40

44 60

46 70

b)Tamanho da blusa Quantidade

40 30

42 60

44 70

46 40

c)Tamanho da blusa Quantidade

40 30

42 60

44 40

46 70

d)Tamanho da blusa Quantidade

40 40







26

Pipoca, em sua última partida, acertou x

arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3

pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou

55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele

acertou? Qual seria a tradução dessa situação

por meio de duas equações:

a)25

2 3 55

x y

x y

+ =

+ =

b) 252 3 55 x y x y

� =

� =

c)2 3 25

55

x y

x y

+ =

+ =

d)2 3 25

55

x y

x y

+ =

+ =

e) n.d.a.

Entre 9h e 17h, Rita faz uma consulta pela internet

das mensagens de seu correio eletrônico. Se

todos os instantes desse intervalo são igualmente

prováveis para a consulta, a probabilidade de ela

ter iniciado o acesso ao seu correio eletrônicoem algum instante entre 14h35min e 15h29min

é igual a:

a) 13,25%.

b) 10,25%.

c) 11,25%.

d) 19,58%.

e) 23,75%.

Uma pesquisa realizada com pessoas com

idade maior ou igual a sessenta anos residentes

na cidade de São Paulo, publicada na revista

Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que,

entre os idosos que nunca frequentaram a escola,

17% apresenta algum problema cognitivo (perda

de memória, de raciocínio e de outras funções

cerebrais). Se, entre 2.000 idosos pesquisados,

um em cada cinco nunca foi à escola, o número

de idosos pesquisados nessa situação e queapresentam algum tipo de problema cognitivo é:

a) 168.

b) 60.

c) 40.

d) 68.

e) 50.

Um botânico mede o crescimento de uma planta,

em centímetros, todos os dias. Ligando os

pontos colocados por ele num gráco, resulta a

gura a seguir. Se for mantida sempre a relação

entre o tempo e a altura, a planta terá, no 30º

dia, uma altura igual a:

Questão 05



Questão 06



Questão 07



Questão 08



27

a) 4 cm.

b) 5 cm.

c) 3 cm.

d) 6 cm.

e) 30 cm.

Um pintor de uma casa pretende comprar tinta e

verniz e dispõe de R$ 1.800,00. Na loja de Tintas

“Dois Irmãos”, o litro da tinta custa R$ 40,00 e do

verniz, R$ 30,00. Obtenha expressão da restrição

orçamentária e a represente gracamente.

Um comerciante compra produtos ao preço

unitário de R$ 5,00, gasta sua condução diária

de R$ 45,00 e vende seu produto a R$ 8,00.

Determine seu custo diário C em função da

quantidade comprada q. Determine também a

sua receita R em função da quantidade vendidaq, que se supõe igual à quantidade comprada.

Além disso, expresse seu lucro diário L em





Questão 10

Questão 09

função da quantidade q.





28


Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/nanceira/matn.htm>. Acesso em: 13 dez.2011. Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas e exemplos sobre a matemáticananceira.

Acesse o site <http://www.somatematica.com.br/nanceira.php>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site,

você encontrará denições detalhadas sobre o estudo da matemática nanceira.

Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de primeiro grau. Viu também

como realizar a representação gráca de uma função. Aprendeu como analisar, por meio de situações

práticas, os conceitos de taxas de variação, função de receita, custo e lucro; ponto de equilíbrio, restrição

orçamentária e juros simples. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso

cotidiano. Para uma melhor compreensão e xação das questões e exemplos, resolva os exercícios

propostos no Livro-Texto.

Demanda: seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja D a demanda ou procura de

mercado desta utilidade a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os compradoresde mercados estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P , em determinado período de tempo (que

pode ser um dia, uma semana, um mês etc.).

Oferta: seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta utilidade

a um preço P , isto é, a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e aptos a

vender ao preço p , em determinado período de tempo (que pode ser um dia, uma semana, um mês

etc.).

Ponto de Equilíbrio: (break-even point): É o ponto onde a oferta e a demanda de uma determinada

FINALIZANDO

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e



29

Conteúdo


• A função do segundo grau, suas características e a sua aplicação para a resolução de problemas

e situações nas áreas nanceiras e administrativas.

• Como construir e analisar o gráco da função de segundo grau.

• Por meio de situações práticas, aplicadas às áreas de administração, os conceitos de receita,

utilidade são iguais.

Receita: seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) cujo preço de venda seja um preço unitário p .

Custo: de modo geral, a função custo pode ser determinada por meio da fórmulav f C C C = +

, onde f C é o custo variável e f C

o custo xo. Do exemplo anterior, a função custo relacionada é

v f C C C = + .

Lucro: para obtermos a função lucro de uma determinada utilidade (bem ou serviço), fazemos:

L R C = � , ou seja, o lucro é “receita menos custo”.



Tema 3Função de Segundo Grau

ícones:




30

custos, lucros, ponto de equilíbrio (break even point), além de outras

situações, cujos modelos podem ser determinados por uma função de

segundo grau.

Habilidades


• Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior ou igual a dele mesmo?

• Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo numero e o que restou

dividi ainda pelo mesmo número.O resultado que achei foi igual ao numero menos 1.

Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 245m de parede. Qual é a medida

do lado de cada azulejo.

AULA 3



Função de Segundo Grau

Ao estudar a função de segundo grau por meio de suas características, você poderá resolver

problemas práticos, como o do conhecimento da receita, que relaciona o preço e a quantidade de

produtos comercializados.

Pela interpretação do gráco da função de segundo grau, denominada parábola (curva), você

observará aspectos importantes, como sua concavidade, que depende do sinal de a , seus vértices e

raízes.

Uma das situações práticas é a obtenção da função receita, quando consideramos o preço e a

quantidade comercializada. Sabe-se que a receita R é dada por R p q= × , onde p representa o preço

unitário e q , a quantidade comercializada do produto. Por exemplo: se o preço das bolas de uma

marca variar de acordo com a relação 4 400 p q= � + , pode-se, então, obter a receita para a venda

de bolas pela equação 2( 4 400) 4 400 R q q q q= � + � � + . Nessa parábola, convém observar alguns




31

aspectos importantes associados à função 24 400 R q q= � + :

Como o coeciente de 2q , o número 4 , que, por ser negativo, implica ter a concavidade voltada para

baixo.

O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo 0q = , o que nos dá 24 0 400 0 0 R = � × + × = .

Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou raízes da função, são obtidos fazendo 0 R = :20 4 400 0 0 100 R q q q ou q= � � + = � = = .

O vértice ( )(. 50, 10.000v vV q R= =

da parábola em que 50vq = é a média aritmética das raízes e

10.000v R = é a receita correspondente:

0 10050

2v

q+

= = . Substituindo em R , obtemos: 24 50 400 50 10.000v R = � × + × = .

Especicamente para esta função, o vértice é importante, pois informa a quantidade 50vq = que

deve ser comercializada para que se tenha a receita máxima 10.000v R = . Embora se tenha obtido

a coordenada 50vq = vq =pela média aritmética das raízes da função, existem outras maneiras de se

encontrar tal coordenada. É importante lembrar que a coordenada 50vq = determina o eixo de simetria

da parábola, isto é, quantidades maiores que 10.000v

R = proporcionam receitas menores que 10.000v R =

. Isto é natural, pois a receita está associada ao preço 4 400 p q= � + , que decresce à medida que a

demanda q aumenta.

Outra aplicação muito usada da função de segundo grau é a determinação do Lucro de uma

empresa. Por exemplo: considerando-se a receita 24 400 R q q= � + da venda de bolas e supondo-se

o custo de produção C dado por 80 2.800C q= + , então o Lucro L da comercialização de bolas é( )2 24 400 80 2800 4 320 2.800 L R C L q q q L q q= � � = � + � + � = � + � .

Para a obtenção do gráco, nota-se que:

Como o coeciente de 2q é o número 4 , que, por ser negativo, implica ter a concavidade voltada

para baixo.

O ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo 0q = , o que nos dá2

4 0 320 0 2.800 2.800 L= � × + × � = �

.Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou raízes da função, são obtidos fazendo 0 L = :20 4 320 2.800 0 70 10 L q q q ou q= � � + � = � = = .



32

O vértice ( )(. 40, 3.600v vV q L= = da parábola em que

2

2

v

coeficiente de qq

coeficiente de q

=

×

, ou seja,

()320

402 4

vq = =× �

e v L é o lucro correspondente, 24 40 320 40 2800 3.600v L = � × + × � = .

Com esses dados, pode-se vericar que o lucro é positivo 0 L > quando se vendem entre 10 e

70 bolas. O lucro é zero quando se vendem 10 ou 70 bolas, e o lucro é negativo 0 L < quando se

vendem entre 0 e 10 bolas ou quantidades superiores a 70 bolas. A partir do vértice e do eixo de

simetria, nota-se que, para a quantidade de 40 bolas, o lucro máximo é de 3.600 e que o lucro cresce

para quantidades menores que 40 e decresce para quantidades maiores que 40.

A caracterização geral de uma função de segundo grau é dada por: () 2 y f x a x b x c= = × + × + , onde

0a .

Para a obtenção do gráco, conhecido como parábola, observam-se os seguintes passos:

O coeciente a determina a concavidade da parábola; se 0a > (positivo), a concavidade é voltada

para cima e se 0<a (negativo), a concavidade é voltada para baixo.

O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y , e pode ser obtido fazendo

() 20 0 0 0 x y f a b c y c= � = = × + × + � = .

Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função, que são

obtidas fazendo 0 y = . Para a resolução dessa equação, utiliza-se a fórmula de Báskara, em que:

2

b x

a

� ± �=

×, onde 2 4b a c� = � × × .

O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x , depende do :

Se 2 4b a c� = � × × for positivo, 0� > , têm-se duas raízes reais e distintas2

2

b x

a

� � �=

×e

22

b x

a

� � �=

×.

Se 2 4b a c� = � × × for nulo, 0� = , têm-se duas raízes reais e iguais0

2 2

b b x

a a

� + �= =

× ×.

Se

2

4b a c� = � × × for negativo, 0� <

, não existem raízes reais.



33

O vértice da parábola é dado por ( ), ,2 4

v v

bV x y

a a

� � �� = = � ÷

× ×� �

.

Exemplos de Funções de Segundo Grau

1. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 2 14 32 E t t = � � + , onde E é dado em kWh, e ao tempo associa-se 0t = a janeiro, 1t = a fevereiro, e

assim sucessivamente. Determine a quantidade de energia máxima consumida pela residência.

Solução:

Os coecientes da função são 1a= �

, 14b= �

e 32c=

. A concavidade é voltada para baixo, pois 0a < .

A parábola corta o eixo E em 32c = , pois quando 0t = , temos 21 0 14 0 32 32 E = � × � × + = .

A parábola corta o eixo t quando 0 E = , o que nos leva a: 2 14 32 0 E t t = � � + = , cujas raízes, se

existirem, são obtidas por Báskara: ()()22 4 14 4 1 32 324 0b a c� = � × × = � � × � × = � � > .

Vamos obter duas raízes reais e distintas:

()

()2

14 3242

2 2 1

bt

a

� � �� + �= = = �

× × �

e()

()2

14 3242

2 2 1

bt

a

� � �� + �= = = �

× × �

Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos1 16t = e

2 2t = � .


v v

bV x y

a a

� � �� = = � ÷

× ×� �

, isto é:

( )()() ()

(14 324

, , , 7, 812 4 2 1 4 1

v v

bV t E

a a

� �� = = = =� ÷� ÷ � ÷× × × � × ��

.

Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada ao eixo de simetria 7vt = indica que

o consumo é crescente para os meses entre 0 e 7, e decrescente para os meses superiores a 7. Da

mesma forma, o consumo máximo desta residência é de 81 kWh.

2. Um vendedor anotou as vendas de carro nos 30 dias em que trabalhou na loja, e notou que o

número de vendas deste carro, dado por V em função de t (número de dias), pode ser obtido por 2 2 1V t t = � + . Vamos estudar como essa função se comporta.

Os coecientes da função são 1a = , 2b = � e 1c = .

A concavidade é voltada para cima, pois 0a > .

A parábola corta o eixo V em 1c = , pois, quando 0t = , temos 20 2 0 1 1V = � × + = .



34

A parábola corta o eixo t quando 0V = , o que nos leva a: 2 2 1 0V t t = � + = , cujas raízes, se

existirem, são obtidas por Báskara: ()22 4 2 4 1 1 0 0b a c� = � × × = � � × × = � � = .

Vamos obter duas raízes reais e iguais:()2 0

12 2 1

bt

a

� � +� + �= = =

× ×.

Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos 1t = .


v v

bV x y

a a

� � �� = = � ÷

× ×� �

, isto é:

( )()

(2 0

, , , 1, 02 4 2 1 4 1

v v

bV t V

a a

� �� = = = =� ÷� ÷

× × × ×� � � �

Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria 1vt = , ou seja,

ao se esboçar o gráco, ele irá “tocar” o eixo t neste ponto.

3. Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses,

indicados em t , é dado pela expressão 2 10 30v t t = � + . Sabendo que o valor da ação é dado em R$,

como caria a análise do comportamento desta função? Veja a seguir:

Os coecientes da função são 1a=

, 10b= �

e 30c=

. A concavidade é voltada para cima, pois 0>a .

A parábola corta o eixo v em 30c = , pois, quando 0=t , temos20 10 0 30 30v = � × + = .

A parábola corta o eixo t quando 0v = , o que nos leva a:2 10 30 0v t t = � + = , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara:

()22 4 10 4 1 30 20 0b a c� = � × × = � � × × = � � � < .

Não existem raízes reais, pois o discriminante é negativo, ou seja, a parábola não corta o eixo t .


v v

bV x y

a a

� � �� = = � ÷

× ×� �

, isto é:

( )()()

(10 20

, , , 5, 52 4 2 1 4 1

v v

bV t v

a a

� �� = = = =� ÷� ÷

× × × ×� � � �

.

Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria 5vt = ,

indicando que o valor da ação é decrescente do momento em que a ação é negociada (0t = ao nal

do 5° mês (5t = , e crescente, do nal do 5° mês (5t = ao nal do 12° mês (12t = .



35

Agora é a sua vezINSTRUÇÕES

Observe, no enunciado de cada questão, as



dos problemas propostos, retome os

conceitos específcos necessários em cada

situação.

Ponto de Partida

Além das aplicações anteriormente

mencionadas, a análise fnanceira de um

investimento pode ser realizada a partir

de um modelo em que a função representa

determinada aplicação, como uma função

de segundo grau, como mostra o problema

a seguir.

Situação-problema: Uma pessoa

investiu em ações na bolsa durante um

determinado período de tempo, em meses.

O valor das ações variou de acordo com a

função ()22 8 20V t t t = � + . Considere 0t =

o momento da compra das ações; 1t =

após 1 mês, e assim por diante. Considere

também o valor em milhares de reais. Apartir desses dados, auxilie o investidor

a acompanhar os movimentos das suas

ações, analisando as seguintes questões:

a) Qual o valor desembolsado na compra?

b) Se ele vender as ações depois de dois

meses terá lucro ou prejuízo?

c) Em que meses as ações tiveram seusmaiores e menores valores?

d) De quantos meses o investidor necessita

para recuperar o capital empregado?



O número N de apólices vendidas por

um vendedor de seguros pode ser obtido

pela expressão 22 28 64 N t t = � + + , onde t

representa o mês da venda. Qual o mês em que

foi vendido o número máximo de apostas?

a) 5.

b) 4.

c) 1.

d) 7.

e) 6.

O valor em reais (R$) de uma ação negociada

na bolsa de valores no decorrer dos dias de

pregão é dado pela expressão 2 3 2v t t = � +

. Considere 0t = o momento inicial de análise,1t = após 1 dia, 2t = após 2 dias, e assim

sucessivamente. Para quais dias as ações são

crescentes?

a) 1,5 a 2.

b) 1 a 1,5.

c) 1 a 2.

d) 0,25 a 1.

e) 0,25 a 2.



Questão 01

Questão 02





36

produção máxima desse trabalhador?

a) 500.

b) 400.c) 100.

d) 700.

e) 600.

O preço de uma garrafa de vinho varia de

acordo com a relação 2 400 p q= � + , onde

q representa a quantidade de garrafas

comercializadas. Sabendo que a receita R é

dada pela relação R p q= × , obtenha a função

receita. Qual a quantidade de garrafas a ser

comercializada para que a receita seja máxima?

Um comerciante de cosméticos compra

sabonetes e creme para revenda, e tem um

orçamento limitado para a compra. A quantidade

de sabonetes é representada por x , a de creme

por y , e a equação que nos dá a restriçãoorçamentária é

220 20 2000 x y+ = . Expresse a

quantidade de cremes em função da quantidade

de sabonetes comprados. Em seguida,

responda: se forem comprados seis sabonetes,

quantos cremes é possível comprar?

Questão 03O lucro na venda, por unidade, de umproduto depende do preço p em que ele é

comercializado, e tal dependência é expressa

por 2 9l p= � + . Qual o lucro para o preço,

variando de 0 a 5?

a) –9, –8, –5, 0, –7 e –16.

b) 9, 10, 13, 18, 25 e 34.

c) –9, –10, –13, –18, –25 e –34.

d) –9, –8, –5, 0, 7 e 16.

e) 9, 8, 5, 0, –7 e –16.[

O valor em reais (R$) de uma ação negociada

na bolsa de valores no decorrer dos dias de

pregão é dado pela expressão 2 3 2v t t = � +

. Considere 0=t o momento inicial de análise,

1t = após um dia, 2t = após dois dias, e assim

sucessivamente. Qual a variação percentual do

valor da ação após 20 dias?

a) 90%.

b) 88%.

c) 98%.

d) 100%.e) 89%.

A produção de um funcionário, quando

relacionada ao número de horas trabalhadas,leva à função 24 48 256 P t t = � + + . Qual a



Questão 05



Questão 04



Questão06

Questão07







37

Para a comercialização de parafusos, um lojista

nota que a receita é dada por 29 360 R q q= � + e

o custo é dado por 2

6 60 1125C q q= + + .

Determine a equação do lucro e qual a

quantidade comercializada de parafusos para

que o lucro seja máximo.

O preço do trigo varia no decorrer dos meses,

de acordo com a função 2 10 240 p t t = � + para

o período de um ano; e 0t = o momento inicial

de análise; 1t = após um mês; 2t = após dois

meses; e assim sucessivamente. Determine o

mês em que o preço é mínimo e qual seria esse

preço.

Uma empresa produz detergente e sabonete

líquido em uma das suas linhas de produção,

sendo que os recursos são os mesmos paratal produção. As quantidades de detergentes

e sabonetes líquidos produzidos podem ser

representadas, respectivamente, por x e y . A

interdependência dessas variáveis é dada por 2

45 45 405 x y+ = . Aproximadamente, quanto

se deve produzir de detergente para que tal

quantidade seja igual à metade da quantidade

de sabonete líquido? Considere que as

quantidades são dadas em milhares de litros.



Questão 09



Questão10



Questão08



38


Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm>. Acesso em: 13 dez.

2011. Nesse site, você encontrará denições dos conceitos da teoria de conjuntos e relações e

funções, além de uma série de exercícios com exemplos de aplicações.

Acesse o site <http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse

site, você encontrará denições dos conceitos das equações de segundo grau, além de uma série deexercícios com exemplos de aplicações.

Acesse o site <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx>. Acesso

em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos das equações de

segundo grau.

Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de segundo grau. Viu também

como realizar a representação gráca de uma função. Aprendeu como analisar, por meio de situações

práticas, os conceitos de receita, custos, lucros, ponto de equilíbrio (break-even point), além de outras

situações cujos modelos podem ser determinados por uma função de segundo grau. Entendeu que

todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão e

xação dos exercícios e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Função de segundo grau: a função de segundo grau tem como característica ter a sua variável

elevada ao quadrado. A função de segundo grau é denida por ()2 f x ax bx c= + + , onde 0a .

Vértice: é o valor onde a função de segundo grau atinge seu máximo ou seu mínimo, dependendo do

FINALIZANDO

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e



39

sinal de a . O cálculo do vértice se dá pela fórmula : ,2 4

bV

a a

� � �� = � ÷

� �

Báskara: No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao

mundo suas descobertas.

O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um

x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou princípios básicos, porém

inteligentes, para nalmente achar um valor denitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula,

diversas outras fórmulas se derivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes

ou os valores dos Vértices de uma função quadrática.

Área nanceira: nanças, corresponde ao conjunto de recursos disponíveis circulantes em espécie

que serão usados em transações e negócios com transferência e circulação de dinheiro. Analisando-

se apuradamente verica-se que as nanças fazem parte do cotidiano, no controle dos recursos para

compras e aquisições, tal como no gerenciamento e própria existência da empresa, nas suas respectivas

áreas, seja no marketing, na produção, na contabilidade e, principalmente na administração geral de

nível estratégico, gerencial e operacional em que se toma dados e informações nanceiras para a

tomada de decisão na condução da empresa.

Tal área, pode ser considerada como o “sangue” ou a gasolina da empresa que possibilita o funcionamento

de forma correta, sistêmica e sinérgica, passando o “oxigênio” ou vida para os outros setores, sendo

preciso circular constantemente, possibilitando a realização das atividades necessárias, objetivando

o lucro, maximização dos investimentos, mas acima de tudo, o controle ecaz da entrada e saída

de recursos nanceiros, podendo ser em forma de investimentos, empréstimos entre outros, mas

sempre visionando a viabilidade dos negócios, que proporcionem não somente o crescimento mas o

desenvolvimento e estabilização.





40

Tema 4

Função Exponencial

ícones:

Conteúdos e HabilidadesConteúdo


• A função exponencial a partir do fator multiplicativo e em sua forma geral.• As aplicações da função exponencial no cálculo de juros compostos, na depreciação de uma

máquina e no crescimento populacional.• O logaritmo como uma operação inversa da potenciação e que permite conhecer o valor

desconhecido do expoente.

Habilidades


• Qual o montante gerado sobre um capital aplicado a uma determinada taxa de juroscompostos.

• Qual o crescimento populacional de uma cidade em determinado período de tempo• Quanto vale uma máquina após 10 anos de uso, com uma taxa depreciação de 2% ao ano,

cujo valor pago no ato da compra foi de R$ 50.000,00?

AULA 4





41

Função Exponecial

Ao estudar a função exponencial por meio de suas características, você poderá resolver problemas

práticos, como cálculo de juros compostos. Nesta modalidade, o valor apurado a cada mês incorpora-

se ao capital. Assim, se um capital de R$ 1.200,00 for aplicado a juros de 10% ao mês, ao nal de

um mês, o valor de R$ 120,00 será incorporado ao capital para o cálculo dos juros no mês seguinte.Portanto, os juros serão calculados sobre R$ 1.320,00, gerando um valor de R$ 132,00. E assim,

sucessivamente, os valores podem ser calculados mês a mês.

No entanto, para um período indenido, torna-se importante conhecer a função matemática que

possibilite estabelecer a relação entre o montante, o capital, a taxa de juros acumulados em um

período de tempo. Essa função é dada por (1n

M C i= × + , onde M denimos como montante, C é

o capital inicial, a taxa (escrita de forma decimal) e n o tempo (período) de aplicação. Voltando ao

exemplo citado, pode-se obter a função exponencial por: () (1 1200 1 0,12n n M C i= × + = × + .

De uma forma geral, a função exponencial é denida por () (, 0 1 x

f x b a a e a= × > � , sendo que

a variável é o expoente. Podem-se determinar os coecientes a e b por meio de razões entre dois

valores conhecidos da função. Já a função exponencial pode ser determinada a partir de um fator

multiplicativo, para se obter o aumento percentual em uma quantidade. É importante ressaltar sua

utilidade nos aumentos sucessivos, na caracterização da base da função exponencial, bem como

nos decréscimos sucessivos, e a sua utilidade para estabelecer a depreciação de uma máquina nodecorrer do tempo. O fator multiplicativo, que é a base da função exponencial, é obtido simplesmente

pela soma de 1 à porcentagem de aumento escrita na forma decimal, isto é, 1100

ibase = + , onde i é

a taxa. E, para a obtenção da diminuição, basta diminuir 1 da porcentagem de diminuição escrita na

forma decimal, isto é, 1100

ibase = � , onde i é a taxa.

Um exemplo de função exponencial é dado quando se considera uma máquina cujo valor é

depreciado no decorrer do tempo a uma taxa xa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior.

Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00 e a depreciação é de 12% ao ano,




42

vamos obter o fator multiplicativo e, na sequência, a função que representa o valor da máquina ao

longo do tempo.

Usando o fator multiplicativo, obtemos:12

1 1 0,88100 100

ibase = � = � = .

Como o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00, dene-se, então, a função exponencial como:

() 35.000 0,88 x x f x b a= × = × .

Outro exemplo de aplicação é o aumento populacional. Considere que uma cidade tem uma

população de 550.000 habitantes e cresce a uma taxa de 1,45% ao ano. Considerando como tempo

t, podemos encontrar a função que determina o aumento populacional P em função do tempo, isto é,

P f t = . Usando o fator multiplicativo1,45

1 1 1, 01100 100

ibase = + = + = , conseguimos determinar a função

exponencial: 550.000 1,01t P = × .

Existem outras maneiras de obtenção da função exponencial:

1° Caso: Identicando a evolução exponencial

Quando são fornecidos dados relativos às variáveis independentes x e às correspondentes

variáveis dependentes y período a período (isto é, dia a dia, mês a mês, ano a ano), deve-se dividir

a variável dependente pela variável dependente do período anterior e comparar os resultados.

Se os quocientes 32 4

1 2 3

y y y

y y y= = = forem iguais, tem-se um fenômeno que pode ser representado

por uma função exponencial, sendo a base a da função x y b a= × o resultado das divisões assim

realizadas. Para a obtenção de b , utiliza-se um dos valores de x , e substituem-se tais valores em x y b a= × , e, assim, se obtém b .



43

Considere este exemplo: a população de uma cidade nos anos de 2008 a 2011 é dada na tabela a

seguir.

Realizando-se as divisões, obtém-se:

960.1591, 017879916 1, 02

943.293= �

960.1591, 017879916 1, 02

943.293= �

977.3611, 017915783 1, 02

960.159= �

Vericando-se que os resultados são iguais, tem-se neste exemplo uma função exponencial cuja base

é dada por 1,02a = ; o coeciente b será obtido substituindo-se em x y b a= × o valor de 1,02a = em

um dos pares de valores de x e y dados, por exemplo, ()(, 8, 926.758 x y = , onde 8 representa o ano

de 2008.

8926.758 1,02

790.979,0294 790.979

b

b

= ×

= �

Assim, a função exponencial da população é dada por 790.979 1,02 x y = × .

2° Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos

O procedimento consiste em substituir os dois pares de valores xab y ×= em que x

ab y ×= , formandoum sistema de duas equações e duas variáveis, cuja solução nos fornece os coecientes b e b .

Por exemplo, em um armazém, os grãos de milho armazenados, com o tempo, começam a estragar,

sendo que a quantidade de grãos ainda em condições de consumo começa a decair segundo um

modelo exponencial. A tabela a seguir relaciona os dois momentos e as respectivas quantidades de

grãos em condições de uso.



44

Também é possível obter-se uma função exponencial que relaciona a quantidade

de grãos em função do ano de estocagem.

Pela tabela, verica-se que o modelo é exponencial e que os pontos

( )(, 2, 760 x y = e ( )(, 5, 580 x y = satisfazem à equação x y b a= × ; então, substituindo:

2= x e 760 y = em2760 x y b a b a= × � = ×

5= x e 580 y = em 5580 x y b a b a= × � = ×

Com isso, é obtido o sistema5

2

580

760

b a

b a

×=

×

, que se resolve dividindo a primeira equação pela segunda:

5

2

580

760

b a

b a

×=

×

3 30, 763158 0, 763158 0,91a a a= � = � =

Substituindo-se 91,0=a em 2 760b a× = , tem-se b: 20,91 760 918b b× = � � .

Assim, a função exponencial que fornece a quantidade de grãos sem função do tempo é dada por 918 0,91

x y = × .



45

e) R$ 1.308.083,64.

Uma máquina copiadora, após a compra, tem

seu valor depreciado a uma taxa de 10,6% ao

ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por

uma função exponencial e que o valor da compra

é de R$ 97.000,00, obtenha o valor V como uma

função dos anos x após a compra, e o valor da

máquina após cinco anos.

a) 97.000 10,6 xV = × e $197.277,53 R

b) 97.000 9,6 xV = × e $57.277,53 R

c) 97.000 0,1060 xV = × e $96.277,53 R

d) 97.000 0,90 xV = × e $77.277,53 R

e) 97.000 0,90 xV = × e $57.277,53 R

Uma pessoa faz empréstimo de R$ 40.000,00,

que será corrigido a uma taxa de 2,5% ao mês

a juros compostos. Qual seria a equação que

determina o montante M da dívida em funçãodos meses (tempo) x , isto é, M f x= . E qual

seria o montante da dívida após 16 meses?

a) 40.000 1, 025 ; 59.380,22 x M = ×

b) 40.000 1,025 ; 59.380,22 x M = ×

c) 40.000 1, 25 ; 1.421.085, 22 x M = ×

d) 40.000 1, 025 ; 1.059.380, 22 x M = ×

e) 40.000 1, 025 ; 51.203,34 x M = ×

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 03

INSTRUÇÕES

Observe, no enunciado de cada questão,

as atividades que deverão ser realizadas

individualmente. Para auxiliar na resolução

dos problemas propostos, retome os

conceitos específcos necessários em cada

situação.

Ponto de Partida

Além das aplicações anteriormente

mencionadas, a análise exponencial pode

ser feita para a simulação do lucro obtido

em uma aplicação fnanceira. Supondo que

um investidor fará uma aplicação no valor de

R$ 25.000,00 a juros compostos, com taxa

de 2,5% ao mês, pergunta-se: após quantos

meses essa aplicação dobrará o valor do

capital?



O montante de aplicação nanceira no decorrer

dos anos é dado por ()120.000 1,09 x M x = × , onde

x representa o ano após a aplicação, e 0 x = é o

momento em que foi realizada a aplicação. Qual o

montante, 10 anos após a aplicação?

a) R$ 284.083,64.

b) R$ 130.000,00.

c) R$ 1.200.000,00.

d) R$ 130.800,00.



Questão 02







46

Com base nesses dados, responda:

a) Qual a função exponencial que relaciona a

quantidade consumida de água em função do

tempo (ano)?

b) Qual o aumento percentual anual no consumo

de água?

A população de uma cidade no decorrer dos anos

de 2005 a 2008 é dada pela tabela a seguir:

Obtenha uma função que forneça a população

como uma função do ano, considerando que o

ano de 2001 foi o ano inicial e que, em 2001 a

2005, o crescimento da população foi similar ao

da tabela.

O montante de uma dívida, no decorrer de

t meses, é dado por ()25.000 1,03t M t = × .

Determine depois de quanto tempo o montante

será de R$ 68.000,00

O preço médio dos componentes de um remédioaumenta conforme uma função exponencial.

O preço médio inicial é de R$12,50, e a taxa

percentual de aumento é de 1,10% ao mês. A

função que determina o preço em função do

tempo é dada por 12,50 1.011t P = × . Após quanto

tempo o preço médio dos componentes duplicará?

a) 10 meses.

b) 50,36 meses.c) 65,36 meses.

d) 63,36 meses.

e) 73,36 meses.

Dada uma função exponencial 46,98 1,56 xV = ×

, determine qual o aumento percentual desta

função.

a) 50%.

b) 40%.

c) 56%.

d) 76%.

e) 98%.

Estudos mostram que é exponencial o consumo

de água em uma cidade. Foram computados os

valores de consumo após o início do estudo, e doisdesses valores são dados na tabela a seguir:

Questão 07Verifque seu desempenho nesta




Questão 04



Questão 08

Questão 05



Questão 06





47

Questão 09O valor de uma conta de celular é dado por uma

tarifa xa, mais uma parte que varia de acordo com

o número de ligações. A tabela a seguir fornece os

valores das contas dos últimos meses:

a) Determine a expressão que relaciona valor emfunção das ligações.

b) Identique qual a tarifa xa e o preço por

ligação.

Uma cidade, no ano de 2006, tem 870.500 carros

e, a partir de então, o número de carros cresce de

forma exponencial a uma taxa de 10% ao ano.

a) Determine a função que relaciona o número de

carros C em função do ano t , isto é, C f t = .

b) Determine em quanto tempo vamos ter a

quantidade de 1.100.000 carros, para o

Governo poder estruturar-se para que o sistemarodoviário não entre em colapso.

Questão 10







48


Acesse o site <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm>. Acesso em: 23

nov. 2011. Nesse site, você encontrará os conceitos de função exponencial de forma didática.

Acesse o site <http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-exponencial.html>. Acesso em:

13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará denição da função exponencial e uma série de exercícios

com exemplos de aplicações.

Assista ao vídeo sobre função exponencial, disponível em: <http://www.youtube.com/

watch?v=VTIXdWSJ_u0>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse vídeo, você encontrará a denição de

função exponencial, além de alguns exemplos.

Nessa aula, você viu os conceitos e aplicações da função exponencial. Viu também como identicar a

função exponencial por meio de um fator multiplicativo. Aprendeu como analisar, com situações práticas,

os conceitos de juros compostos, depreciação de uma máquina e crescimento populacional. Entendeu

que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. Para uma melhor compreensão

e xação das questões e exemplos, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Funções Exponenciais: são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Chama-se

FINALIZANDO

VÍDEOS IMPORTANTES

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e



49

função exponencial a função ƒ:R→R+

*, tal que () x f x a= , em que () x f x a= , 0<a≠1. O a é chamado

de base e o x de expoente.

Logaritmo: sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e 1b , chama-se logaritmo de a

na base b o expoente x tal que bx a=

log xb a x b= × .

Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez,

a render juros. Também conhecidos como “juros sobre juros”.

Depreciação: podemos entender como sendo o custo ou a despesa decorrente do desgaste ou da

obsolescência dos ativos imobilizados (máquinas, veículos, móveis, imóveis e instalações) da empresa.

Taxa: é a exigência nanceira à pessoa privada ou jurídica para usar certos serviços fundamentais, ou

é uma das formas de tributo.

Montante: Também conhecido como valor acumulado, é a soma do Capital Inicial com o juro produzido

em determinado tempo.



Tema 5Função Potência, Polinomial, Racional e Inversa

ícones:



50

Conteúdo


• Os conceitos matemáticos e seus desenvolvimentos na prática do dia a dia.

• As Funções Potência, Polinomial, Racional e Inversa.

• As funções racionais explorando algumas ideias relacionadas à teoria do limite.

Habilidades


• Ângela resolveu criar coelhos e comprou quatro casais. Na primeira gestação, cada um dos

quatro casais gerou outros quatro casais, totalizando 16 coelhos. Qual seria o número de

coelhos após quatro gestações?

Qual a produção de um determinado produto, por exemplo, a produção de bolsa de uma

determinada fábrica, considerando P a quantidade de bolsas produzidas e q a quantidade de

capital aplicado na compra de equipamentos?

Qual a receita obtida se aplicarmos certa quantia de valores em propaganda, onde a receita é dada

por ()100 400

5

x R x

x

+=

+?


AULA 5 Assista às aulas nos pólos presenciais e também disponíveis no Ambiente Virtual de


Função Potência, Polinomial, Racional e Inversa




51

FUNÇÃO POTÊNCIA

De uma forma geral a função potência é denida por () (, 0n

y f x k x k = = × �, onde k e x são constantes. Embora o expoente possa assumir qualquer valor

real, é interessante estudar três casos:

1° caso. Potências inteiras e positivas.

Exemplos: 8 7 3 240 , 24 , 90 0, 44 , 600 y x y x y x y x e y x= = = � = =

Ao analisar o comportamento das potências inteiras e positivas de x nota-se que:

A) Potências ímpares:(

3 5 7

, , , , y x y x y x y x= = = =

) são funções crescentes para todos osvalores do domínio e seus grácos são simétricos em relação à origem dos eixos. Nota-se ainda

que para 3 5, , y x y x= = os grácos têm concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes)

quando 0 x < e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando 0> x . Para x y= ,

cujo gráco é uma reta, a taxa é constante (não há concavidade).

B) Potências pares: ( 2 4 8 10, , , , y x y x y x y x= = = = ) são funções decrescentes para 0 x < e

crescentes para 0 x > e seus grácos são simétricos em relação ao eixo y.

2° caso. Potências fracionárias e positivas.

Exemplos:1 2 4 1 2

3 5 7 5 76 , 4 , 9 0,12 , 60 y x y x y x y x e y x= = = � = =

Você deve lembrar que a caracterização geral da função potência é dada por

, ;n q e p qq

= � > >, onde , 0 0; 0

pn q e p q

q= � > > , para tanto, lembre-se de que pode

escrever a potência fracionária em forma de raiz, isto é, ()

p

qn pq y f x k x y k x y k x= = × � = × � = × .

Por exemplo:5

3 53 y x y x= � = ou ainda1

122 y x y x y x= � = � = , lembre-se de que este último

exemplo também é conhecido como raiz quadrada e é denida somente para 0 x . De modo

análogo, inúmeras potências fracionárias de x são denidas somente se 0 x .

As potências fracionárias são crescentes a taxas decrescentes se o expoente é maior do que 0 e

menor do que 1 (concavidade para baixo) e crescente a taxas crescentes se o expoente é maior do

que 1 ( concavidade para cima).

3° caso. Potências inteiras e negativas.



52

Exemplos: 2 3

2 3

1 110 ,

10 y x ou y y x ou y

x x

� �= = = =

As potências inteiras e negativas x são denidas para 0 x , pois ao escrevê-las na forma de fração

tem-se x como denominador.

Tais funções são conhecidas como hiperbólicas, pois seus grácos no domínio x � � e 0 x são

hipérboles.

Potências negativas impares 1 3 5 7, , , , y x y x y x y x� � � �= = = = são funções decrescentes

para todos os valores do domínio e, nos grácos, os ramos de hipérbole são simétricos em relação à

origem dos eixos. Note ainda que tem concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando

0< x e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando 0> x .

Potências negativas pares 2 4 6 8, , , , y x y x y x y x� � � �= = = = são funções crescentes para

0 x < , decrescentes para 0 x > e, nos grácos, os ramos de hipérbole são simétricos em relação ao

eixo y . Por ser a concavidade voltada para cima, as taxas são crescentes tanto para o crescimento

como para o decrescimento da função.

Algumas aplicações das funções potência: no processo de produção de um produto são utilizados

vários fatores como matéria-prima, energia, equipamentos, mão de obra e dinheiro. Tais fatores

são chamados de insumos de produção. Na análise matemática da produção de um produto, é

interessante estabelecer a quantidade produzida em correspondência com a quantidade de apenas

um dos componentes do insumo, considerando xas as demais quantidades de outros insumos.

Por exemplo, a quantidade produzida P , dependendo apenas da quantidade q de matéria-prima

utilizada na produção, considerada xa a quantidade de mão de obra disponível, de energia utilizada,de dinheiro disponível etc.

Resumindo, a quantidade produzida P depende apenas da quantidade q de um insumo, isto é,

a produção pode ser escrita como função da quantidade de um insumo, n P k q= × . Em situações

práticas, para alguns processos de produção nota-se que a produção é proporcional a uma potência

positiva da quantidade de insumo, ou seja, n P k q= × , onde k e n são constantes positivas.

Por exemplo: em uma determinada fábrica, na produção de sacolas plásticas, considerando P aquantidade de sacolas produzidas e q a quantidade de capital aplicado na compra de equipamentos,



53

estabeleceu-se a função da produção 30,03 P q= ( P medida em milhares de unidades e q em

milhares de reais). Pode-se construir uma tabela que dá a produção para alguns valores de insumos

aplicados na compra de equipamentos.

A partir da tabela acima, nota-se que aumentos de R$ 5.000,00 acarretam diferentes aumentos em P

, portanto:

Analisando mais detalhadamente, percebe-se que para aumentos iguais em q , os aumentos em P

são cada vez maiores, ou seja, os aumentos em P são crescentes. Nessa situação, pode-se dizer

que a função P cresce a taxas crescentes.

Em outro exemplo, verica-se o crescimento a uma taxa decrescente: em uma determinada linha

de produção, o número P de aparelhos telefônicos produzidos por um grupo de operadores que

trabalham uma quantidade q de horas, estabeleceu-se uma função desta produção por 3

42.000 P q=

. A partir dessa função consegue-se determinar uma tabela que nos dá a quantidade produzida em

função de algumas horas trabalhadas.



54

Observa-se que a função3

42.000 P q= é crescente e que os aumentos de 2 horas em q acarretam

diferentes aumentos em P , como se vê na tabela a seguir:

Analisando mais detalhadamente, percebe-se que para aumentos iguais em q , os aumentos em P

são cada vez menores, ou seja, os aumentos em P são decrescentes. Nessa situação, diz-se que a

função P cresce a taxas decrescentes.

Outro exemplo prático da função polinomial é denominado Lei de Pareto, na qual se estuda adistribuição de rendas para os indivíduos de uma população de tamanho a . Notou-se que, na maioria

dos casos, o número y de indivíduos que recebem uma renda superior a x é dado aproximadamente

por (

b

a y

x r = , onde r é a menor renda considerada para a população e b um parâmetro positivo

que varia de acordo com a população estudada.

Por exemplo, se a população estudada é de 1.500.000 habitantes , a renda mínima considerada for de

R$ 250,00 e o parâmetro 3,1=b , então o número de indivíduos y que tem renda superior a x é dado

por () (

1,3

1.500.000

250b

a y y

x r x= � =

� �

.

Se quiser uma estimativa de quantos indivíduos têm renda superior a R$ 1.200,00, basta fazer

1.200 x = , assim:

() ( )1,3

1.500.000 1.500.000202

74311.200 250b

a y y

x r = � = = �

� �

habitantes.

FUNÇÃO POLINOMIAL



55

De um modo geral, pode-se denir a função polinomial da seguinte maneira:

()

1 2 2

1 2 2 1 0

n n n

n n n y f x a x a x a x a x a x a� �

� �

= = × + × + × + + × + × + , onde n N e 0n

a .

Características:

O número n é denominado o grau da função polinomial.

Os coecientes 6 5 4 3 25 7 2 9 10 8 9 y x x x x x x= � + � + � + + ®

são números reais.

Exemplos:

6 5 4 3 25 7 2 9 10 8 9 y x x x x x x= � + � + � + + ® função polinomial de grau 6.

4 3 25 17 2 8 10 y x x x x= + � � + ® função polinomial de grau 4.

()3 27 9 20 p t t t t = � + + função polinomial de grau 3.

Aplicação: o preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser

aproximado pela função ()3 27 9 20 p t t t t = � + + , onde t representa o numero de meses. Construindo

uma tabela para alguns meses, conseguiu-se:

Tempo t 0 1 2 3 4 5

Preço p 20 23 18 11 8 15

Note que para 1=t , tem-se o preço máximo do produto e em 4=t tem-se o preço mínimo. Mais

adiante, você verá que esses pontos são denominados pontos de “máximo local” e “mínimo local”.

FUNÇÃO RACIONAL

Denição de uma função racional é dada por: () P x

y f xQ x

= = , onde

P x e Q x são polinômios e

(

0Q x . Para analisar esta função, siga os seguintes passos:

1° passo. Analisar onde () P x

y f xQ x

= = é denida, investigando assim se há assíntotas verticais.

Se há assíntota vertical em a x = , analisar o comportamento da função quando a x ® , ou seja,

estudar os limites laterais lim x a+

®e lim

x a®.



56

2° passo. Descobrir onde () P x

y f xQ x

= =

corta o eixo y fazendo 0 x = .

3° passo. Descobrir onde ()

P x y f x

Q x= = corta o eixo x fazendo 0 y = .

4° passo. Analisar o comportamento de () P x

y f xQ x

= = quando x ® � � .

5° passo. Analisar o comportamento de ()

P x y f x

Q x= = quando x ® +� .

Exemplo: Considerando a função que dá a receita R para certo produto em função da quantia x

investida em propaganda, foi estabelecido que: ()200 500

5

x R x

x

+=

+. São apresentados os seguintes

passos:

1° passo. Analisar onde5 0 5 x x+ � � � �

é denida, isto é: 5 0 5 x x+ � � � � ,

Assim,

R x existe para 5 x � � , analise o comportamento de x R quando 5® x , ou seja, analise

os limites x R x +

® 5lim e

5lim

xR x

® �. Para estimar os valores de

5lim

xR x+

® �, monte uma tabela

tomando valores próximos a –5, porém maiores que –5.

Pela tabela, percebe-se que, quando 5 x ® � , tem-se R x assumindo valores cada vez maiores.

Conclui-se, então que ()5

lim x

R x+® �

= � � .

Para estimar os valores de5

lim x

R x® �

, monte uma tabela tomando valores próximos a –5, porém

menores que –5.



57

Pela tabela, percebe-se que, quando 5 x ® � , tem-se x R assumindo valores cada vez maiores.

Conclui-se, então que ()5

lim x

R x+® �

= +� .

Conclui-se que, a partir dos limites calculados, em 5= x tem-se duas assíntotas verticais.

2° passo. Descobrir onde ()200 5005

x R x x

+=+

corta o eixo y fazendo 0= x

Isto é, () ()200 500 200 0 500

0 1005 0 5

x R x R

x

+ × += � = =

+ +, assim

R x corta o eixo R em ()1000 = R ,

em

termos práticos R$ 100.000,00 representa a receita quando nada é investido em propaganda.

3° passo. Descobrir onde ()200 500

5

x R x

x

+=

+corta o eixo x fazendo (

0 R x = .

Isto é,200 500

0 200 500 2,505

x x x

x

+= � = � � = �

+. Assim, R x corta o eixo x em 2,50 x = � .

4° passo. Analisar o comportamento de ()200 500

5

x R x x

+

= + quando x � � .



58

Monte uma tabela para investigar o limite lim x R x® � �

:

Pelos cálculos, observa-se que, se x assume valores cada vez menores, x R assume valores cada

vez mais próximos de 200, então para ()lim 200 x R x® � �

= .

5° passo. Analisar o comportamento de () P x

y f x

Q x

= =

quando x ® +� .

Monte uma tabela para investigar o limite lim x

R x® +�

:

Pelos cálculos, observa-se que, se x assume valores cada vez maiores, R x assume valores cada

vez mais próximos de 200, então para ()lim 200 x R x® +�

= . Em termos práticos, por maior que seja a

quantidade investida em propaganda a receita obtida não ultrapassa o valor de R$ 200.000,00.



59

FUNÇÃO INVERSA

No início do Tema 2, a função de primeiro grau foi estudada em uma situação

que relaciona o custo para a produção de q calças , onde conseguiu-se a

função 3 120C q= + . Se for dada a quantidade q produzida, obtém-se o custo de

produção. A partir de tal função pode-se obter outra função, em que, de maneira inversa, se é dado o

custo C , obtém-se a quantidade q produzida. Para isso, basta “isolar” q na relação:

3 120

3 120

3 120

120

3

C q

q C

q C

C q

= +

+ =

= �

=

A função120

3

C q = é conhecida como a função da função 3 120C q= + . Simbolicamente: 1q f C =



60

O custo variável420vC q= , onde q representa

a unidade de um produto e vC medidos em

reais. Quais são os custos de produção para as

quantidades de 0, 2, 3, 5, 9 ?

a) 0, 320.000, 1.620.000, 12.500.000, 131.220.000

b)0 40.960.000 12.960.000 100.000.000 1.049.760.000

c) 0, 32.000, 1.620.000, 1.2500.000, 131.200.000

d) 0, 40.960, 12.960, 100.000, 1.049.760 .

e) 0, 40.960, 12.960, 100.000, 1.049.760 .

Em uma empresa, no decorrer do expediente,

para um grupo de colaboradores, nota-se

que o número P de telefones montados é

de aproximadamente4

7520 P q= × , onde q

representa o numero de horas trabalhadas a

partir do inicio do expediente. Quantas horas

devem se passar, aproximadamente, desde o

início do expediente para que sejam produzidos5.200 telefones?

a) 19 horas.

b) 6,31 horas.

c) 10 horas.

d) 20 horas.

e) 3,73 horas.

Agora é a sua vez

Questão 01INSTRUÇÕES

Observe no enunciado de cada questão as



dos problemas propostos retome os conceitos

específcos necessários em cada situação.

Ponto de Partida

Veja a importância do conhecimento do

ponto de máximo e de mínimo de um

polinômio. Imagine que uma empresa

venda seus produtos de modo que o

preço unitário dependa da quantidade de

unidades adquiridas pelo comprador. Por

exemplo, se, sob determinadas restrições,

para cada x unidades vendidas o preçounitário é de (50 x reais, então a receita

total obtida pela venda é de () 250 R x x x= �

. Em economia, R x é chamada função

receita (preço unitário versus quantidades

vendidas).

Uma análise da função receita permite

tomar decisões acertadas no sentido deaperfeiçoar a lucratividade da empresa. Por

exemplo, de acordo com a na função R x

acima, qual seria a receita máxima obtida

com a venda de seus produtos?





Questão 02





61

indivíduos com renda superior a x é dado por

1,5

1.000.000

y x=

, onde x é dado em reais por dia

(R$/dia). Qual o número de pessoas que tem

renda entre R$ 25,00 e R$ 100,00 por dia?

a) 100 pessoas.

b) 1.000 pessoas.

c) 700 pessoas.

d) 7.000 pessoas.

e ) 8.000 pessoas.

Dada a função 60.000 1,10 x M = × , M = montante

de uma aplicação nanceira e x = ano após

o ano de aplicação. Obtenha a função inversa

explicando o seu signicado.

O custo C na produção de um produto depende

da quantidade q produzida e tal custo é dado

por 5 315 90 20C q q q= � + + , em que o custo émedido em milhares de reais e a quantidade em

milhares de unidades. Construa uma tabela que

dê o custo quando são produzidas 0, 1,2,...,9 e

10 unidades e depois determine as diferentes

variações do custo C para variações de mil

unidades produzidas ( 1)q� = , com q de 0 a 1,

1 a 2, 2 a 3, ..., 9 a 10.

Em uma safra, a quantidade q ofertada pelos

produtores e o preço p de uma fruta estão

relacionados de acordo com

5

250.000q p= ×

, onde q é dada em quilos e p em reais por

quilo (R$/kg). Qual o preço da fruta quando os

produtores estão dispostos a ofertar 54.678 kg?

a) R$ 1,45.

b) R$ 1,25.

c) R$ 1,09.d) R$ 1,04.

e ) R$ 1,25.

Em uma fábrica, o número(0= x

de peças

produzidas por um operário depende do número

de horas trabalhadas a partir do início do turno

(0= x e tal função e dada por 3 22 15 y x x= � +

Quantas peças foram produzidas na primeira e

na terceira hora de trabalho?

a) 13 e 31 peças.

b) 13 e 37 peças.

c) 31 e 37 peças.

d) 13 e 44 peças.e) 44 e 81 peças.

Analisando a distribuição de rendas para

um grupo particular, pela Lei de Pareto,estabeleceu-se que o número x de



Questão 04



Questão 05



Questão 06



Questão 07



Questão 03



62

Questão 08Os colaboradores de uma empresa recebem

um salário mensal de acordo com a expressão

S=900+15n, onde S representa o salário e n o

número de horas extras mensais. Determine1n f S = e para que um colaborador dessa

empresa consiga um salário mensal de R$

1.680,00 quantas horas extras ele deverá

trabalhar?

A receita R para certo produto, em função da

quantia x investida em propaganda, é dada por

()10 400

2

x R x

x

+=

+

, onde tanto receita quanto

quantia investida em propaganda são medidas

em milhares de reais. Determine para quais

valores de x a função existe e qual o valor de

lim x® � �e lim x® +�

.

Em uma fábrica, o número y de peças produzidas

por um operário depende do número de horas x

trabalhadas a partir do início do turno (0 x = e

tal produção é dada por 3 220 y x x= � + , onde x

é dada em horas e y em unidades. Quais são os

intervalos de crescimento (diferentes taxas) para

a produção, de acordo com o tempo trabalhado a

partir do inicio do turno, considerando a produção

nas dez primeiras horas ?



Questão 09

Questão 10







63


Leia o artigo de Carlos Ramos de Souza-Dias, The intimate nature of oculomotor muscles contracture,

que trata sobre as características das células musculares e suas inuências. Disponível em: <http://

www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0004-27492010000200022>. Acesso em: 20

dez. 2011.

Nessa aula, foram tratados os conceitos relacionados à Função Potência, Polinomial, Racional e

Inversa. No Livro-Texto (Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, do autor

Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto, Editora Cengage, 2004 , PLT 59), esses conceitos encontram-

se no Capítulo 5. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver, além dos

problemas propostos, os demais.

Funções potência: toda função do tipo y f x= , onde “n” é um número natural, é chamada Função

Potência.

Função polinomial: é uma função dada por um polinômio, ou seja, para todo x pertencente ao

domínio da função, encontra-se o valor de y na imagem da função calculando o valor de um

polinômio no valor de x do domínio.

Função racional: y f x= ,é uma função que pode ser expressa como uma razão (quociente)

de dois polinômios P x e Q x

() P x

f xQ x

=

Estimativa: aproximação, arbítrio, avaliação, cálculo, consideração, cômputo e parecer.

FINALIZANDO

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e



64

Conteúdo


• O conceito de taxa de variação média e instantânea.• O conceito de derivada como a inclinação da reta tangente à curva num determinado ponto, ou

mesmo, como taxa de variação instantânea.• Como encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus pontos, bem como aplicar

o conceito de derivada em seus cálculos.

Habilidades

Ao nal, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:• Qual a taxa de variação da produção para intervalos de tempo?

• Qual a taxa de variação instantânea da função produção em um determinado instante?

• Estimar numericamente a demanda de um determinado produto.



Tema 6Conceito de Derivada

ícones:


AULA 6





65

Conceito de Derivada

TAXA DE VARIAÇÃO

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Seja C o custo para a produção de uma quantidade q de bolsas, estabelecida por C f q= . Para tal

função uma variação na quantidade q de bolsas determina uma variação correspondente nos custosde produção e, portanto, pode-se denir a taxa de variação média, ou simplesmente, taxa de variação

da variável dependente C , em relação a variável independente

q , dada pela razão:

var

var

iação em C m

iação em q=

Em tal exemplo, por se tratar de uma função de primeiro grau, é importante salientar que a taxa de

variação média representa o coeciente angular da reta que representa gracamente essa função. A

equação de tal reta é dada por y mx b= + .

De fato, o conceito de taxa de variação média não é exclusividade da função de primeiro grau;

ela pode ser obtida para qualquer função. Se y representa a variável dependente e x a variável

independente, então a taxa de variação média de y em relação ao x é calculada pela razão:

var var

var

iação em y ytaxa de iação média

iação em x x

= =

TAXA DE VARIAÇÃO EM UM INTERVALO

Seja P a quantidade de alimentos produzidos por operários em uma indústria em relação às horas

x trabalhadas a partir do início do expediente e tal produção é dada por 2 P x= , onde P é dada em

toneladas.

O inicio do expediente é representado por 0= x , ou seja, 0 h. Determina-se, então, a taxa de variação




66

média da produção para o intervalo de 2 h até as 3 h e também das 3 h até as 4 h. Isto é, para

2 3 x� � e 3 4 x� � . De acordo com a denição dada anteriormente, pode-se dizer que a taxa de

variação média é dada por:

var var

var

iação em P P taxa de iação média

iação em x x= =

Para o intervalo de 2 h a 3 h ( 2 3 x� � ).

()()2 23 2 3 2var 5 /

3 2 1

f f taxa de iação média ton h= = =

Para o intervalo de 3 h a 4 h ( 3 4 x� � ).

()()2 24 3 4 3var 7 /

3 2 1

f f taxa de iação média ton h= = =

Note que, com o passar do tempo, as taxas de variação médias da produção aumentam e como a

produção é crescente, conclui-se que a produção é crescente às taxas crescentes.

A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos da variável independente. Se escrever

de maneira geral um intervalo a até b , a taxa de variação média é dada por:

()()var

f b f ataxa de iação média

b a=

Para esse modo de denir a taxa de variação média, pode-se ainda considerar o “tamanho” do

intervalo como sendo h , ou seja, abh = . Ao isolar a, obtém-se hab += e o intervalo a até b ,passa a ser de a até ha + . Então, pode-se escrever a taxa de variação média como:

()()var

f a h f ataxa de iação média

h

+ �=

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA

Você estudou até agora a variação da produção para intervalos de tempo, como 2 h até as 3 h

ou ainda das 3 h até as 4 h, e a taxa de variação média em um intervalo foi útil para analisar ocomportamento da produção, pois dizer que a produção está variando a uma taxa de 5ton/h, signica



67

que em uma hora, foram produzidas 5 toneladas. De modo análogo, dizer que a produção varia a uma

taxa de 7ton/h signica que em uma hora, são produzidas 7 toneladas – produções essas referidas a

intervalos de tempos distintos do processo de produção.

Mas, pode-se calcular taxa de variação em determinado instante? Por exemplo, pode-se calcular a

produção exatamente para 5 horas?

Sim, é possível e será feito da seguinte forma: calculando várias taxas de variação médias para

intervalos de tempo “muito pequenos”, cada vez mais próximos do instante 5 x = .

Considere o instante 5 x = , tome cálculos das taxas de variação média o intervalo de 5 até 5 h+ , onde

h representa o tamanho do intervalo, então:

()()5 5var

f h f taxa de iação média

h

+ �=

Fazendo 1,0=h , tem-se o intervalo 5 até 5 0,1+ .

( )() 2 25 0,1 5 5,1 5var 10.10

0,1

f f taxa de iação média

h

+ �= = =

Fazendo 5 0, 01+ , tem-se o intervalo 5 0,+ até 5 0,01+ .

( )() 2 25 0,01 5 5, 01 5var 10.01

0,01


h

+ �= = =

Fazendo 001,0=h , tem-se o intervalo 5 até 5 0,001+ .

( )()2 2

5 0,001 5 5,001 5var 10.000,001

f f taxa de iação médiah

+ �= = =

Assim, calcula-se as taxas de variação média para os intervalos de “5 até um instante pouco maior do

que 5”. Note que todos os valores encontrados para h variando dentre 0,1, 0,01 e 0,001 os valores da

taxa de variação estão cada vez mais próximo de 10.

Já para calcular as taxas de variação média para os intervalos de “5 até um instante pouco menor do

que 5”, serão considerados valores negativos para h . Isto é:

Fazendo 0,1h = � , tem-se o intervalo 5 até 5 0,1 .



68

( )() 2 25 0,1 5 4,9 5var 9.90

0,1


h

� �= = =


( )() 2 25 0,01 5 4, 99 5var 9,99

0,01


h

� �= = =


( )() 2 25 0,001 5 4,999 5var 9,999

0,001


h

� �= = =

Você pode perceber que a taxa de variação média também se aproxima de 10.

Então, para o instante 5 x = tem-se:

var tan 10, 00 /taxa de iação ins tânea ton h=

Considerando a taxa de variação instantânea assim denida, os três primeiros cálculos da taxa de

variação média, com 0>h , resumem a tentativa de determinar o limite lateral

()()0

5 5lim 10

h

f h f

h+

®

+ �=

Os três últimos cálculos da taxa de variação média, com 0<h , resumem a tentativa de determinar o

limite lateral:

()()0

5 5lim 10

h

f h f

h®

+ �=

Conclui-se então que:

()()0

5 5lim 10h

f h f

h®

+ �=

Caso os limites laterais resultem em números diferentes, diz-se que o limite que dá origem aos limiteslaterais não existe, ou seja, a taxa de variação instantânea não existe.



69

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMO TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA

A taxa de variação instantânea da função produção no instante 5 x = é muito importante e também

recebe o nome derivada da função produção no ponto 5 x = . A taxa de variação instantânea é

simbolizada, ou derivada, no ponto 5 x = por ' 5 f .

Assim, de um modo geral, a derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea

da função no ponto, ou seja,

()()()'

0limh

f a h f a f a

h®

+ �=



70

d) 300.

e) 700.

O custo C para a produção de uma quantidade

q de componentes elétricos é representado

pela função C f q= . O custo é dado em reais

(R$) e a quantidade é dada em milhares de

unidades. Qual o signicado de (' 10 5

f = ?

a) Signica que a taxa de variação do custo

é de R$ 5,00 milhares de reais para uma

produção de 10 mil unidades.

b) Signica que a taxa de variação do custo

é de R$ 10,00 milhares de reais para uma

produção de 5 mil unidades.

c) Signica que a taxa de variação das unidades

é de 5 milhares para um custo de R$ 10.000,00.

d) Signica que a taxa de variação do custo é

decrescente para uma variação crescente nas

unidades

e) N.d.a.

Para um produto, a receita R , em reais (R$),

ao se comercializar a quantidade q , em

unidades, é dada pela função 25 3.000 R q q= � +

. Determine a taxa de variação média para osintervalos 100 200q� � ; 200 300q� � .

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 03

INSTRUÇÕESPara auxiliar na resolução dos problemas

propostos retome os conceitos específcos

necessários em cada situação.

Ponto de Partida

Uma fábrica tem seu custo

total representado pela função()3 25 4 40 10.000C q q q q= � � + , onde q

representa a quantidade produzida e

C o custo total em reais. Para obter a

equação do custo marginal, você deve

encontrar a derivada dessa função.

Determine o custo marginal assim como o

custo marginal para uma produção de mil

unidades?



Em uma indústria química, considerou-se a

produção de sabão como função do capital

investido em equipamentos e estabeleceu-se

()25 P q q= , onde a produção P é dada em

milhares de litros e o capital q investido é dado

em milhares de reais. Determine a taxa de

variação média para a produção no intervalo

6 8q� � .

a) 350.

b) 35.

c) 70.



Questão 02





71

Em uma linha de produção, o número P de

aparelhos eletrônicos montados por um grupo

de funcionários depende do número q de horas

trabalhadas em1

42.000 P q= , onde P é medida

em unidades montadas aproximadamente

por dia. Estime numericamente a derivada da

função para 1q = .

a) 2.000.

b) 500.

c) 8.000.

d) 7.000.

e) 125.

Dada a função 50.000 1,08 x M = × , na qual M =

montante de uma aplicação nanceira e x = ano

após o ano de aplicação. Determine a taxa de

variação média para o intervalo 2 6q� � ?

a) R$ 5.000,00.

b) R$ 5.255,93.

c) R$ 4.847,44.

d) R$ 8.307,66.

e) R$ 6.985,60.

A produção de um funcionário quando relacionada

ao número de horas trabalhadas leva a função24 48 256 P t t = � + + . Utilizando ' P t , em que

a) Para o intervalo de 100 200q� � , a taxa de

variação média é de 1.500 unidades; para o

intervalo de 200 300q� � , a taxa de variaçãomédia é de 500 unidades.

b) Para o intervalo de 100 200q� � , a taxa de

variação média é de 500 unidades; para o

intervalo de 200 300q� � , a taxa de variação

média é de 1.500 unidades.

c) Para o intervalo de 100 200q� � , a taxa de


intervalo de 200 300q� � , a taxa de variaçãomédia é de 1.500 unidades.

d) Para o intervalo de 100 200q� � , a taxa de



média é de 500 unidades.

e) Para o intervalo de 100 200q� � , a taxa de



média é de 15.500 unidades.

Determine a equação da reta tangente à curva22 5 7 y x x= + � no ponto (0, 7 .

a) 5 7 y x= � + .

b) 5 7 y x= � + .

c) 7 y x= � .

d) 7 y x= +

e) 7 y = � .



Questão 04





Questão 06



Questão 07

Questão 05



72

Em uma safra a quantidade q demandada pelos

consumidores e o preço p de uma fruta estão

relacionados de acordo com2160.000q p=

, onde a demanda é dada em quilos e opreço em reais por quilo (R$/kg). Estime,

numericamente, a derivada da demanda para

2,00 p = . (Utilize para as estimativas do limite

0,1, 0, 01, 0, 001h h h= ± = ± = ± ; para tais

cálculos, considere todas as casas decimais da

sua calculadora.)

O preço do trigo varia no decorrer dos meses

de acordo com a função 2 10 240 p t t = � + para

o período de um ano, onde 0t = representa o

momento inicial de análise, 1t = após um mês,

2t = após dois meses e assim por diante.

Determine, numericamente, a taxa de variação

instantânea do preço para 10t = meses.



Questão 09





momento a produção é máxima e qual o valor

dessa produção?

Questão 08

Verifque seu desempenho nestaquestão, clicando no ícone ao lado. Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por

um operário depende do número de horas x

trabalhadas a partir do inicio do turno (0 x = e

tal produção é dada por 3 220 y x x= + , onde x

é dada em horas e y em unidades. Determine

algebricamente a função de derivada de y em

função de x .

Questão 10



73


Acesse o link <http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/TaxasVariacao/saibamais.html>.

Acesso em 12 dez. 2011. O site mostra dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das taxas de

variação médias.

Acesse o link< http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.pdf>. Acesso em 30 nov. 2011.

O site traz dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das taxas de variação instantânea, assim

como exemplos de aplicações.

Assista ao vídeo sobre deverivada. Disponível em: <http://www.youtube.com/

watch?v=Nwy4NILJDxw>. Acesso em 30 nov. 2011. Este vídeo mostra uma aula de derivada que irá

auxiliá-lo nas resoluções dos exercícios.

Nessa aula, você viu o conceito de taxa de variação média e instantânea, assim como o conceito de

derivada e estudou também o conceito de derivada como a inclinação da reta tangente à curva num

determinado ponto. Aprendeu como encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus

pontos, bem como aplicar o conceito de derivada em seus cálculos. O Livro-Texto e os sites de pesquisa

indicados complementam-se para que você possa resolver todos os problemas propostos e os demaistambém.

Derivada: representa a taxa de variação instantânea de uma função.

Ponto tangente: em matemática, a palavra tangente tem dois signicados distintos, mas

epistemologicamente relacionados: um em geometria, sendo o que toca uma curva ou superfície sem

cortá-la, compartilhando um único ponto, e o outro em trigonometria, onde a tangente é o coeciente

FINALIZANDO

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e

VÍDEOS IMPORTANTES



74

angular de uma reta (y = ax + b, a é o coeciente angular ou inclinação e b é o coeciente linear).

Equação da reta: pode-se representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação.

Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x A, y A) e do coeciente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não vertical, de coeciente angular m, que passa pelo ponto A(x A, y

A). Obtém-se

a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamental da reta é:



Tema 7Conceito de Derivada

ícones:



75

Conteúdo


• As técnicas de derivação e suas aplicações.

• Os vários tipos de funções e suas maneiras de derivação.

• Como analisar as aplicações da derivada.

Habilidades


• Qual a produção em toneladas de um cereal por hectare, em função da quantidade de um

fertilizante usado no plantio?

• Qual a Elasticidade Preço da Demanda ou a Elasticidade Preço da Procura?

• Qual o montante de uma aplicação nanceira após determinado ano de aplicação?


AULA 7



Conceito de Derivada

REGRAS DE DERIVAÇÃO

FUNÇÃO CONSTANTE

Seja a função ( f x k

= , onde k é uma constante; então a sua derivada será ('

0 f x = . De modo

simplicado tem-se: ' 0 y k y= � =




76

Exemplo: Derive as funções:

a) 10.000 y =

b) 23 y = �

Solução:

a) '10.000 0 y y= � =

b) '23 0 y y= � � =

FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

Seja a função () f x mx b= + , onde m é uma constante diferente de zero; então a sua derivada será

()' f x m= . De modo simplicado, tem-se: ' y mx b y m= + � =


a) 10 7 y x= +

b) 2 9 y x= � +

Solução:

a) '10 7 10 y x y= + � =

b) '2 9 2 y x y= � + � = �

CONSTANTE MULTIPLICANDO FUNÇÃO

Seja a função () f x k u x= × , onde m é uma constante diferente de zero.

Sendo xu derivável, então a sua derivada será ()' ' f x k u x= × . De modo simplicado tem-se:

()' ' y k u x y k u x= × � = ×

Exemplo: Dada a função ()6 f x u x= × , onde ()4 5u x x= + , obtenha ' f x .



77

Solução:

Se ()6 f x u x= × , então ()' '6 f x u x= × Para ()4 5u x x= + , tem-se ('

4u x = . Logo,

() ()' ' 6 4 24 f x k u x= × = × =

SOMA OU DIFERENCA DE FUNÇÕES

Seja a função f x obtida pela soma das funções u x e v x , isto é: ()() f x u x v x

= + , sendo

v x e v x deriváveis, então: ()()' ' ' f x u x v x= + .

De modo simplicado .

É possível proceder de modo análogo para a diferença de funções, ou seja, ()() f x u x v x

= � , sendo

u x e v x deriváveis, então: ()()' ' ' f x u x v x= + .

De modo simplicado f x u x v x= + .

Exemplo: Dada a função ()() f x u x v x

= + , onde ()7 9u x x= + e ()3 8v x x= + , obtenha ' f x .

Solução:

Se ()()' ' ' f x u x v x= + , então ()()' ' ' f x u x v x= + . Se ()7 9u x x= + , então ('

7u x = e se

()3 8v x x= + a sua derivada é ('

3v x = . Portanto ()()() ()' ' ' ' 7 8 15 f x u x v x f x= + � = + = .

POTÊNCIA DE x

Seja a função ()n f x x= , onde n é um número real; então a sua derivada será ' 1n n y x y n x= � = × . De

modo simplicado tem-se: ' 1n n y x y n x= � = ×

Exemplo 01: Derive as funções:

a) 5 y x=

b) 315 y x=

c)4

2 y x= �



78

d) 65 y x=

Solução :

a) 5 ' 5 1 ' 45 5 y x y x y x= � = � =

b) 3 ' 3 1 ' 215 15 3 45 y x y x y x= � = × × � =

c) 4 ' 4 1 ' 32 2 4 8 y x y x y x= � � = � × × � = �

d) ()6 ' 6 1 ' 75 5 6 30 y x y x y x� � � �= � = × � × � = �

Exemplo 02: Derive o polinômio ()6 4 2 24 3 5 3 10 5 p x x x x x x= + + � + + .

Solução:

()6 4 2 24 3 5 3 10 5 p x x x x x x= + + � + +

() ()()

' 6 1 2 1 2 1

1 5 3

4 6 5 2 3 2 10 0

24 10 6 10

p x x x x

p x x x x

� � � �

= × × + × × � × � × + +

= + + +

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Seja a função () x f x a= , onde 0>a e 1a então a sua derivada será () aa x f x ln'×= . De modo

simplicado, tem-se : ' ln x x y a y a a= � = ×


a) 2 x y =

b) ()20.000 1,08 x M x = ×

Solução:

a) '2 2 ln 5 x x y y= � = ×



79

b) () () ('20.000 1, 08 20.000 1, 08 ln1, 08 x x M x M x= × � = × ×

FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE e

Seja a função () x f x e= , então a sua derivada será ()' x f x e= . De modo simplicado tem-se:' x x y e y e= � =


a) 20

x

y e=

b) 4 4 x e y e x e= � + +

Solução:

a) '20 20 x x y e y e= � =

b) ' 1 ' 14 4 4 0 4 x e x e x e y e x e y e ex y e ex� �= � + + � = � + + � = � +

LOGARITMO NATURAL

Seja a função ()ln f x x= , então a sua derivada será ()' 1 f x

x= . De modo simplicado tem-se:

' 1ln y x y

x= � =


a) 10ln y x=

b) 45,999 ln 200,23 y M = × �

Solução:

a) ' '1 1010ln 10 y x y y

x x= � = × � =



80

b)' '1 45,999

45, 999 ln 200, 23 45, 999 y M y y M M = × � � = × � =

PRODUTO DE FUNÇÕES

Seja a função x f obtida pela multiplicação das funções xu e xv , isto é: ()() f x u x v x

= × ,

sendo xu e xv deriváveis, então: ()()()()' ' ' f x u x v x u x v x

= × + × .

De modo simplicado ' ' ' y u v y u v u v= × � = × + ×

Exemplos: Derive:

a) ()( )(36 1 9 f x x x= + × +

b) () 4 x f x e x= ×

Solução:

a) Considerando ()() f x u x v x

= × , com u x e xv deriváveis, então:

()()()()' ' ' f x u x v x u x v x

= × + × . Fazendo ()(6 1u x x= + , então ('

6u x = e' 23v x x= , então

()' 23v x x= . Substituindo em ()' 3 224 3 54 f x x x= + + , você obtém:

()()( )

()

()

' 3 2

' 3 3 2

' 3 2

6 9 6 1 3

6 54 18 3

24 3 54

f x x x x

f x x x x

f x x x

= × + + + ×

= + + +

= + +

b) Considerando ()() f x u x v x

= × , com xu e()()()()' ' '

f x u x v x u x v x

= × + ×

deriváveis, então :

()()()()' ' ' f x u x v x u x v x

= × + × . Fazendo () xu x e= , então ()' xu x e= e ()4v x x= , então ()' 34v x x= .

Substituindo em ()()()()' ' ' f x u x v x u x v x

= × + × , você obtém:

()

()(

' 4 3

' 4 3

4

4

x x

x

f x e x e x

f x e x x

= × + ×

= +



81

QUOCIENTE DE FUNÇÕES

Seja a função x f obtida pela multiplicação das funções xu e xv , isto é: xu , sendo

xu e xv deriváveis, então: ()()()()

()

' '

'

2

u x v x u x v x

f xv x

× � ×=

� ��

.

De modo simplicado' '

'

2

u v u v y u v y

v

× � ×= × � =

(6 f x =

.

Exemplos: Derive:

a) ()6 90

8

x f x

x

+=

+

b) ()7,5

3.000 f x

x=

Solução:

a) Considerando ()

u x f x

v x

= , com xu e xv deriváveis, então :

()6 90u x x= + .

Fazendo ()6 90u x x= + , então ('

6u x = e () 8v x x= + , então ('

1v x = . Substituindo em

()()()()

()

' '

'

2

u x v x u x v x

f xv x

× � ×=

� ��

, você obtém:

()()( )

()()

()

'

2

2

'

2

6 8 6 90 1

86 48 6 90

'16 64

42

16 64

x x f x

x x x

f x x x

f x x x

× + � + ×=

+

+ � �=

+ +

=+ +

b) Considerando

xu , com xu e xv deriváveis, então: 3.000u x = .

Fazendo ()3.000u x = , então ('

0u x = e ()' 6,57,5v x x= , então ()' 6,5

7,5v x x= . Substituindo em



82

()()()()

()

' '

'

2

u x v x u x v x

f xv x

× � ×

=� ��

, você obtém:

()()

()

()

7,5 6,5'

27,5

6,5

15

' 8,5

0 3.000 7,5

22.500'

22.500

x x f x

x

x f x

x

f x x

× � ×=

=

= �

FUNÇÃO COMPOSTA

Seja a função

xu obtida pela composição das funções xu e xv , isto é: () f x v u x� �=� �

, sendo

xv e xv deriváveis, então: () ()' ' ' f x v u x u x� �= ×� �

.

De modo simplicado () (' ' '

y v u y v x u= � = ×

Exemplo: Derive ()(3

3 5 f x x= + .

Solução:

Primeiramente, identique a composição das funções em ()3 5u x x= + , sendo ()3 5u x x= + e

() f x v u x� �= � �, de tal forma que, () f x v u x� �=

� �, então: () ()' ' ' f x v u x u x� �= ×

� �.

Calculando uv , ou seja, obtendo uv ' a partir de ()3v u u= , então:

()' 23v u u= . Lembrando que , escreve-se uv ' em função de x :

() (2' 3 3 5v u x x� � = × +

� �.

Deve calcular (

3'= xu . Portanto, substituindo em () ()' ' ' f x v u x u x� �= ×� � , tem-se:

()( )

()(()

2'

' 2

' 2

3 3 5 3

9 9 30 25

81 270 225

f x x

f x x x

f x x x

= × + ×

= × + +

= + +



83

A NOTAÇÃO DE LEIBNIZ

Para representar a derivada de y f x= , você utilizou até o momento a notação ' y ou . Seráapresentada agora outra notação, que foi desenvolvida primeiramente pelo matemático alemão

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) e que, por esse motivo, é conhecida como notação de Leibniz.

A derivada de y em relação a x será representada por: dy .

Você deve entender dy como um único símbolo e não como uma divisão de dy por dx . Por ora, tal

símbolo, não deve ter signicado se escrito isoladamente.

O símbolody

dxé sugestivo, pois remete a divisão de uma “pequena” variação em x por uma

“pequena” variação em x :

dy

dx“lembra” (com y e x ”pequenos”).

De fato, na derivada ()()'

0limh

f x h f x f x

h®

+ �= , ao considerar () y f x h f x� = + � e h x = ,

reescreve-se()'

0limh

y f x

x®

=por:

()'

0limh

y f x

x®

= .

A notação de Leibniz é útil, pois, de certa forma, lembra que a derivada é obtida pela divisão de uma

variação de y associada a uma variação em x quando a variação em x tende a zero.

Exemplo: Considere o custo C como função de uma quantidade produzidaC f q=

, ou seja, C f q= , na

qual o custo é dado em reais (R$) e a quantidade é dada em unidades. Usando a notação de Leibniz,

represente a derivada do custo em relação à quantidade produzida.

Solução: a derivada do custo será obtida pelo limite do quociente da variação do custo q pela

variação da quantidade q , quando dq , pela notação de Leibniz será escrita comodC

dq

.

DERIVADA SEGUNDA E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Dada uma função f x , você obtém a derivada ' f x e tal função representa a taxa de variação de

x f . A derivada segunda de x f é obtida simplesmente derivando a derivada x f ' , ou, em outras

palavras, a derivada segunda é a derivada da derivada da função.

Simbolicamente: '' '' y f x= .

Observação: x f ' conhecida como derivada primeira, ou derivada de primeira ordem de x f .



84

x f '' conhecida como derivada segunda, ou derivada de segunda ordem de x f .

x f ''' conhecida como derivada terceira, ou derivada de terceira ordem de x f .

x f n conhecida como derivada n-ésima, ou derivada de ordem n de x f .

Exemplo: Dada a função ()7 f x x= , obtenha a derivada de quarta ordem.

Solução: Você deve derivar ()7 x x f = quatro vezes, ou seja, vai obter a sequência das derivadas de

primeira, segunda, terceira e quarta de () ()7 ' 67 f x x f x x= � =.

() ()7 ' 67 f x x f x x= � =

() () ()'' 6 '' 5 '' 5

7 7 6 42 f x x f x x f x x= � = × � =

() () ()''' 5 ''' 4 ''' 442 42 5 210 f x x f x x f x x= � = × � =

() () ()'''' 4 '''' 3 '''' 3210 210 4 840 f x x f x x f x x= � = × � =



85

10. ()2

2

3 2

1

x x f x

x

+=

+

Qual a taxa de variação da reta tangente à

curva ()37 f x x= , no ponto 5 x = ?

a) 525.

b) 875.

c) 42.875.

d) 1.728.

e) N.d.a.

Sabendo que o preço de um produto é dado por 5

345 P q= , onde q é dado em reais(R$) e q em

unidades. Determine a segunda derivada da

função preço.

a)1'' 350 P q= .

b)2

'' 375 P q= .

c)2

'' 350 P q= .

d)1

'' 375 P q= .

e)

1

'' 345 P q= .

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 03

INSTRUÇÕES

Para auxiliar na resolução dos problemas



Ponto de Partida

Determine a equação da reta tangente à

curva da equação ()3

f x x=

, no ponto 2 x=

.



Aplicando as regras de derivação, encontre a

derivada das funções:

1. ()3 26 4 5 10 f x x x x= � + +

2. ()5 45 3 8 f x x x x= + �

3. ()7 26 8 20 f x x x x= � +

4. ()( )(4 2 52 5 4 3 f x x x x x= � × �

5. ()( )(4 2 52 5 4 3 f x x x x x= � × �

6. ()()(5 2 41 7 3 f x x x x= + × �

7. ()()(5 2 41 7 3 f x x x x= + × �

8. ()2

2 7

1

x f x

x

+=

+

9. ()9

2

2 7 x f x

x x

+=

+



Questão 02







86

A equação da reta tangente é dada por

()()(00

'

0 x x x f x f y ×+= , onde tal reta

passa pelo ponto (( 00 , x f x P = . Determine

a equação da reta que passa pelo ponto

(4,2= P da função ()2 x x f = .

Dada a denição de elasticidade comody x

E dx y

= × . Calcule o valor da elasticidade

da procura 12 0,4q p= � ao nível de preço

5,00 p = .

A função 24 0,2 5 y x x= � + mede a produção

em toneladas de um cereal por hectare, em

função da quantidade de um fertilizante usado

no plantio. Calcular e interpretar o valor da

elasticidade da produção em relação ao uso do

fertilizante, ao nível atual de 0,25 ton/ha.

Seja 2 31,05 10 0,02 P K K K = + � a produção

P de uma empresa em função do insumo

capital dK . Calcule o produto marginaldP

dK e

interprete em valor o nível 10 K = .

Questão 07Para função (

43

5 2 y x x= + , determine aderivada, usando a regra da cadeia.

Usando as regras de derivação, encontre a

derivada das seguintes funções:

1. () 65.000 1,10 M x = ×

2. ()5 4ln x f x e x= +

Dada a função 50.000 1,08 x M = × ,na qual x

= montante de uma aplicação nanceira e x

= ano após o ano de aplicação. Determine a

derivada da função e quanto será o montante

após cinco anos de aplicação?

a) () ( )' 50.000 ln1,08 1,08 x M x = × × e R$ 5.654,05.

b) () ( )'

50.000 ln1,08 1,08

x x

M x= × ×

e R$10.654,05.

c) () ( )' 50.000 ln1, 08 1, 08 x M x = × × e R$ 4.155,90.

d) () ( )' 50.000 ln1,08 1,08 x M x = × × e R$

55.654,05.

e) () ( )' 50.000 ln1,08 1,08 x M x = × × e R$

50.654,05.



Questão 04

Verifque seu desempenho nestaquestão, clicando no ícone ao lado.



Questão 06

Questão 05





Questão 08

Questão 09



Questão 10





87


Acesse o site <http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php>. Acesso em 30 nov. 2011.

Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das derivadas.

Acesse o site <http://www.colegioweb.com.br/matematica/derivada-de-funcoes.html>. Acesso em 30

nov. 2011. Nesse site, você encontrará dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das derivadas

de funções assim como mais alguns exemplos de aplicações.

Acesse o site <http://www.mundodoslosofos.com.br/leibniz.htm#ixzz1fBLtCO5z>. Acesso em 30 nov.

2011. Nesse site, você encontrará mais detalhes da vida do matemático e lósofo Leibniz assim como

a sua importante contribuição para a matemática.

Assista ao vídeo <http://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw>. Acesso em 30 nov. 2011. Essevídeo mostra uma aula de derivada que irá auxiliá-lo nas resoluções dos exercícios.

Nessa aula, você viu as técnicas de derivação e suas aplicações, reconheceu vários tipos de funções e

suas formas de derivação e aprendeu a analisar as aplicações da derivada. O Livro-Texto e os sites depesquisa indicados ajudarão você a resolver, além dos problemas propostos, os demais.

Derivação: O termo derivação se refere a um conjunto de diversos processos de formação de novas

palavras a partir de um único radical.

FINALIZANDO

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x w

x yi

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VÍDEOS IMPORTANTES



88

Leibniz: Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig, 1° de julho de 1646, lho de um

professor de losoa moral. Desde muito cedo, teve contato, na biblioteca paterna,com lósofos e escritores antigos, como Platão (428-347 a.C.), Aristóteles (384-322

a.C.) e Virgílio (c. 70-19 a.C.), e com a losoa e a teologia escolásticas. Ainda aluno da Universidade de

Leipzig, escreveu, em 1663, a Dissertação Sobre a Arte Combinatória. Nesse trabalho procurou encontrar

para a losoa leis tão certas quanto as matemáticas e esboçou as premissas do cálculo diferencial,

que inventaria ao mesmo tempo que Newton. Por outro lado, no estudo da lógica aristotélica, Leibniz

encontrou os elementos que o levaram à ideia de uma análise combinatória losóca, vislumbrando a

possibilidade de cria um alfabeto dos pensamentos humanos, com o qual tudo poderia ser descoberto.

Polinômio: entende-se por polinômio em C à função:

P(x) = aoxn + a

1xn-1 + a

2xn-2 + ... + a

n-1x + a

n, onde os números reais a

o, a

1, ... , a

nsão os coecientes, n

é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

Função exponencial: são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Chama-se função

exponencial a função ƒ:R→R+

* tal que ƒ(x)= ax em que a € R, 0<a≠1. O a é chamado de base e o x de

expoente.



Tema 8Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

ícones:



89

AULA 8



Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

MAXI E MÍNIMOS

No estudo de situações práticas ou fenômenos econômicos, administrativos e contábeis, é muitocomum surgirem perguntas como: qual a quantidade que devo comercializar para que o lucro seja


Conteúdos e HabilidadesConteúdo


• Como identicar pontos críticos e estabelecer a relação de máximo e mínimo de uma função.

• Como relacionar o conhecimento às áreas administrativas e contábeis tendo uma visão de custos,receitas, demandas e elasticidade.

• Como aplicar o aprendizado de forma segura nas práticas do dia a dia.

Habilidades


• Qual o custo marginal de uma função Custo?

• Qual a receita marginal de uma função Receita? Ou Qual o lucro marginal dada uma funçãoLucro?

• Qual a propensão marginal considerando como Poupança = Renda – Consumo?



90

máximo? Qual a quantidade que devo estocar para que o custo de estoque seja mínimo? Quanto

devo aplicar em propaganda para que a receita seja máxima?

Nas perguntas citadas, se o lucro, custo, receita, forem funções, então as respostas dessas perguntasenvolvem pontos especiais, como os pontos de máximo, de mínimo e ponto de inexão.

MÁXIMO E MÍNIMOS LOCAIS

Para uma função f x , diz-se que o ponto c é o ponto de máximo local se o valor f c for o maior

valor que a função assume para x em uma vizinhança de c . Se c é máximo local, então () f c f x

para todo x na vizinhança de c .

Para uma função f x , diz-se que o ponto c é o ponto de mínimo local se o valor f c for o menor valor que a função assume para x em uma vizinhança de c . Se c é mínimo local, então () f c f x

para todo x na vizinhança de c .

MÁXIMO E MÍNIMOS GLOBAIS

Para uma função f x , diz-se que o ponto c é o ponto de máximo global se o valor f c for o maior

valor que a função assume para x do domínio da função. De modo análogo, para uma função f x

, diz-se que o ponto x é o ponto de mínimo global se o valor f c for o menor valor que a função

assume para x do domínio da função. Se c é mínimo local, então () f c f x para todo x na

vizinhança de c .

DERIVADA E CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO

Uma propriedade muito importante que será utilizada para a análise das funções e construção de

seus grácos relaciona o sinal da derivada de uma função e o comportamento de tal função em umintervalo. Resumidamente você terá:

Se (

0'

> x f em um intervalo, então x f é crescente nesse intervalo.

Se ('

0 f x < em um intervalo, então x f é decrescente nesse intervalo.

Se ('

0 f x = em um intervalo, então x f é constante intervalo.

PONTOS CRITICOS

Note que os pontos de máximo ou de mínimo ocorrem em pontos especícos chamados pontoscríticos.



91

Um ponto c é chamado ponto crítico se ('

0 f c = ou se' f c não existir.

TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

1° Passo: determine os pontos críticos de ('

0 f x =- resolvendo a equação ('

0 f x = ou encontrando os

pontos onde' f x não existe.

2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica. Nos diferentes intervalos obtidos,

escolha pontos para teste à direita e à esquerda de cada ponto crítico. Calcule a derivada primeira

nos diferentes pontos de teste, determinando seu sinal ( ' 0 f > ) ou ( '0 f < ). Nos pontos de teste

onde ( ('

0 f x > ) tem-se f x é crescente e, nos pontos de teste onde ('

0 f x < ) tem-se f x é

decrescente.

3° Passo: Analisando o crescimento ou decrescimento de à esquerda e à direita de cada ponto crítico

conclui-se que o ponto é:

Máximo local – se nele a função passa de crescente para decrescente à medida que x aumenta.

Mínimo local – se nele a função passa de decrescente para crescente à medida que x aumenta.

Nem Máximo e nem Mínimo local – se antes e depois dela a função permanecer crescente ou

decrescente.

Exemplo: Para usar o teste da derivada primeira na busca de máximos ou mínimos de

()3 26 9 100 p t t t t = � + + , deve-se primeiramente encontrar ()' 23 12 9 p t t t = � + . Seguindo o teste da

derivada primeira:

1° Passo: determine os pontos críticos de f x - resolvendo a equação ('

0 p t = , isto é:

()' 23 12 9 0 1 3 p t t t t ou t = � + = � = =

Logo os pontos 1 3t e t = = são os pontos “candidatos” a máximo ou mínimo.

2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica. Nos diferentes intervalos obtidos, escolha

pontos para teste à direita e à esquerda de 1 3t e t = = . Aqui, serão escolhidos para teste os pontos

0, 2 5t t e t = = = , pois estão à direita e à esquerda dos pontos críticos.

0t = : () () ()' 2 ' '0 3 0 12 0 9 0 9 0 0 p p p p t = × � × + � = � > � crescente em 0t =



92

2t = : () () ()' 2 ' '2 3 2 12 2 9 2 3 0 0 p p p p t = × � × + � = � � < � decrescente em 2t =

5t = : () () ()' 2 ' '5 3 5 12 5 9 5 24 0 0 p p p p t = × � × + � = � > � crescente em 5t =

3° Passo: Analisando o crescimento ou decrescimento à esquerda e à direita de cada ponto crítico

conclui-se que o ponto é:

O ponto 1t = é máximo local, pois a função dele passa de crescente para decrescente à medida que t

aumenta.

O ponto 3t = é mínimo local, pois a função dele passa de decrescente para crescente à medida que taumenta.

O valor de máximo local é conseguido substituindo 1t = na função t p :() ()3 2 3 26 9 100 1 1 6 1 9 1 100 104 p t t t t p= � + + � = � × + × + =

O valor de mínimo local é conseguido substituindo 3t = na função t p :() ()3 2 3 26 9 100 1 3 6 3 9 3 100 100 p t t t t p= � + + � = � × + × + =

FUNÇÕES MARGINAIS

CUSTO MARGINAL

Note que para cada nível de produção há um custo marginal, o que motiva a determinação da função

Custo Marginal. Assim, em análises econômicas e administrativas, dene-se a Função Custo Marginal

como a derivada da função custo e denota-se por:'

mg C C q=.

Exemplo: Se o custo é dado por ()3 22 7 15 100C q q q q= + � + , então a função custo marginal será

()' 2

6 14 15C q q q= + � .

Em diversas análises, economistas e administradores têm o interesse em lidar com o custo marginal,

pois é interessante saber como variam os custos em determinados níveis de produção na medida em

que ocorrem variações nas quantidades produzidas. Em outras palavras, além de conhecer os custos

envolvidos em um nível de produção, também é importante saber a que taxa tal custo está variando

nesse nível de produção.

RECEITA MARGINAL

A receita marginal nos dá a variação da receita correspondente ao aumento de uma unidade na venda



93

de um produto. A função Receita Marginal é obtida pela derivada da Função Receita e é denotada por:'

mg R R q=

LUCRO MARGINAL

O lucro marginal nos dá a variação do lucro correspondente ao aumento de uma unidade na venda

de um produto. A função Lucro Marginal é obtida pela derivada da Função Lucro e é denotada por:'

mg L L q=.

CUSTO MÉDIO MARGINAL

Considerando Custo Médio como me

C qC

q= , o custo médio marginal é obtido por meio da derivada

do custo médio e denotado por '

memg meC C q= .

Exemplo: Em um fábrica de móveis, o custo ao produzir q unidades de uma cadeira é dado

()22 500 300C q q q= + + . Obtenha as funções custo marginal, custo médio e custo médio marginal:

Solução:

a) Custo marginal será obtido derivando a função custo:()' 4 500mg mg C C q C q= � = +

b) Custo médio é obtido dividindo-se a função custo por q :

()22 500 300 3002 500

me

C q q qC q

q q q

+ += = = + +

c) Custo médio marginal é obtido derivando a função custo médio:

' 2

2

3002 300 2

mg mg me me meC C C qq

= � = � = �



94

b) 0 e 0.

c) 10 e 2.000.

d) 30 e 6.000.

e) 15 e 3.000.

Na fabricação de um produto, o custo em

reais, para produzir q unidades é dado por

() 3 20,30 9 108 300C q q q q= � + + . Determine o

custo marginal para produção de 12 unidades.a) $21,60 R

b) $300,00 R

c) $300,00 R

d) $216,00 R

e) $31,60 R

Em uma fábrica de ventiladores, a receita da

venda de um tipo de ventilador é dada por

() 24 1600 R q q q= � + , onde 0 800q� � . Suponha

que o custo para a produção dos ventiladores

seja dado por ()400 50.000C q q= + . Qual seria

a quantidade que daria o lucro máximo?a) 250

b) 600

c) 200

d) 200

e)150

Agora é a sua vez

Questão 01

Questão 02



INSTRUÇÕES

Para auxiliar na resolução dos problemas



Ponto de Partida

Toda quantidade comercializada gera uma

receita que é dada por uma função. Nocaso, há () 2500 25 R q q q= � . Por intermédio

dessa função, é possível encontrar uma

quantidade a se comercializada para que a

receita seja máxima. Observação: faça os

testes da primeira e segunda derivada.



Dada a função ()3 22 18 30 100 f x x x x= � + + ,

usando teste da primeira derivada identique os

pontos de máximo e mínimo (local), se existirem,

bem como os valores da função nesses pontos.

Dada a equação do lucro ()3 230 L q q q= � + lucro

para quantidade q vendida, onde. A quantidade e

o lucro máximo seriam respectivamente:a) 20 e 4.000.



Questão 03



Questão 04





95

O custo de para produzir x

unidades é() 20, 03 0, 02 55C x x x= + + reais, sendo a

produção diária igual a 20 unidades. Qual seria

o custo adicional quando o nível de produção

aumentar de 20 para 21 unidades?a) $2,50 R

b) $6,00 R

c) $3,00 R

d) $2,00 R

e) $1,25 R

A demanda para certo produto é dada por

500 25q p= � , onde p varia no intervalo

0 20 p� � . Determine a equação da elasticidade-preço demanda para cada preço, obtenha a

elasticidade para os preços 5 p = e 10 p = e

interprete os resultados.

Para certa população, a função consumo é

dada por 7 2.100c y= + , onde y é a renda dos

consumidores. Considerando como Poupança =

Renda – Consumo, determine a função poupança

s . Em seguida determine a propensão marginal a

consumir e a propensão marginal a poupar.

Para certo produto, a demanda p e o preço p

são relacionados por 50q p= � , com 0 50 p� �

. Obtenha os intervalos de preços para os

quais a demanda é inelástica, elástica e tem

elasticidade unitária.

A demanda para certo produto é dada por

2 180.000q r = + , onde r é renda do consumidor.

Obtenha a elasticidade para as rendas 300r =

, 600r = e 600r = e, conforme as elasticidades

obtidas, interprete os resultados.

Em uma fábrica de peças automotivas, o preço

de um tipo de peça é dado por 20 8.000 p q= � +

, onde 0 4.000q� � . Encontre os intervalos nos

quais a receita marginal é positiva ou negativa.

Questão 05



Questão 06



Questão 07



Questão 08



Questão 09



Questão 10





96


Acesse o site Wikilivros. Disponível em: <http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/

Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_derivadas>. Acesso em 30 nov. 2011. O site mostra dicas e

explicações detalhadas sobre as aplicações dos estudos das derivadas. Assim como alguns exemplos

explicativos.

Leia o estudo Aplicações das derivadas ao estudo do gráco de Funções. Disponível em: <http://www.aim.estt.ipt.pt/~manuela/AnMatI/Acetatos/ApliDerF.pdf>. Acesso em 30 nov. 2011. O site traz dicas

e explicações detalhadas sobre a aplicação das derivadas nos estudos de grácos de funções, assim

como alguns exemplos explicativos.

Consulte o Blog Estudando Física. Disponível em: <http://elisiosica.blogspot.com/2010/05/derivadas-

exercicios-resolvidos.html>. Acesso em 30 nov. 2011. O site reúne dicas e exercícios resolvidos no

estudo das derivadas.

Nessa ula, você viu como identicar pontos críticos e estabelecer a relação de máximo e mínimo

de uma função. Viu também como relacionar o conhecimento às áreas administrativas e contábeis,

tendo uma visão de custos, receitas, demandas e elasticidade. O Livro-Texto e os sites de pesquisa

indicados ajudarão você a resolver, além dos problemas propostos, os demais.

Vizinhança: x está numa vizinhança do ponto c se x pertence ao intervalo aberto ],a b , ao qual

c também pertence.

Domínio da função: seja : f D CD® uma função, o conjunto D , chamado de domínio da função, é

o conjunto onde a função é denida, ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a funçãodeve ser denida ou existir.

FINALIZANDO

GLOSSÁRIO za bd l

m

k h

g f

pc

ji

or i

ln

st

u

v

x w

x yi

q e



97

Contra domínio de função: seja : f D CD® uma função, o contradomínio representado por CD, é o

conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outraspalavras, é o conjunto no qual a função toma valores. Dentro do contradomínio, dene-se o conjunto

imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois,

sempre um subconjunto do contradomínio.



Equação do Segundo Grau. Disponível em: <http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/>. Acesso

em: 13 dez. 2011.

Matemática Didática. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/

EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx>. Acesso em: 13 dez. 2011.

Matemática Essencial. Site. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/

medio.htm>. Acesso em: 13 dez. 2011.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo Augusto. Matemática Aplicada à Administração,

Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para

os cursos de economia, administração, ciências contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999.

REFERÊNCIAS



98

GABARITO

TEMA 1Ponto de partida

Resposta: No referido mês, o preço comercializado foi de R$40,00.

ASSUNTO: POTÊNCIA DE NÚMEROS

Questão 1

Resposta:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Questão 2

Resposta:

a)

b)

ASSUNTO: FRAÇÕES

Questão 3

Resposta:

a)

b)

8

32

1

27

8

64

1

162

102



99

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

35

581

2

20

93

53

28

53

16

15

1

1

2

1



100

ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA

Questão 4

Resposta:

a) 2

b)

c) -3

d) 0

e)

ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU

Questão 5

Resposta: B.

Questão 6

Resposta: 8 anos.

Questão 7

Resposta: R$ 2.240,00.

19

27



101

Questão 8

Resposta: R$ 58,00.

Questão 9

Resposta: setembro.

ASSUNTO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO

Questão 10Resposta: A.


Resposta:

Questão 1

Resposta: C.

Questão 2

Resposta: B.

Questão 3

Resposta: B.

Questão 4

Resposta: D.

56106 += x x R



102

Questão 5

Resposta: A.

Questão 6

Resposta: B.

Questão 7

Resposta: D.

Questão 8

Resposta: D.

Questão 9

Resposta: 40x+30y = 1800.

Questão 10

Resposta: C = 5q+45; R = 8q; L = 3q – 45.

TEMA 3

Ponto de partida

Resposta:

a) O valor desembolsado na compra foi de R$ 20 milhares de reais.

b) Se ele vender as ações depois de 2 meses, terá lucro de R$ 12 milhares de reais.

c) As ações tiveram seus maiores valores em abril, e os menores valores em fevereiro.

d) O investidor necessita de 4 meses para recuperar o capital empregado.

Questão 1

Resposta: D.



103

Questão 2

Resposta: A.

Questão 3

Resposta: E.

Questão 4

Resposta: E.

Questão 5

Resposta: B.

Questão 6

Resposta: e a receita máxima é de R$ 40.000,00.

Questão 7

Resposta: e 64 cremes.

Questão 8

Resposta: e Lucro máximo para a quantidade de 10 parafusos.

Questão 9

Resposta: Mês 5, e valor mínimo é de R$ 215,00.

Questão 10

Resposta: Devem-se produzir aproximadamente 2,76 milhares de litros.

qq R 4002

2+=

2

10020

202000 x y ==

1130015 2+= qq L



104

Ponto de partida

Resposta: Após 23,45 meses.

Questão 1

Resposta: A.

Questão 2

Resposta: E.

Questão 3

Resposta: B.

Questão 4

Resposta: D.

Questão 5

Resposta: C.

Questão 6

Resposta:

a)

b) 300%

TEMA 4

C 25,506.91 ×=



105

Questão 7

Resposta:

Questão 8

Resposta: Aproximadamente 34 meses.

Questão 9

Resposta:

a)

b) tarifa xa de 6% e preço por ligação de R$ 3,94.

Questão 10

Resposta:

a) .

b) 2,46 anos.

Ponto de partida

Resposta : receita máxima de R$ 625 milhares de reais

Questão 1

Resposta : A

Questão 2

Resposta: E

P 167,938.277 ×=

L 94,3 ×=

C 1,1500.870 ×=

TEMA 5



106

Questão 3

Resposta: E

Questão 4

Resposta: B

Questão 5

Resposta: D

Questão 6

Resposta : e seu signicado é : essa função fornece o tempo M que

deverá durar a aplicação para obter um montante M .

Questão 7

Resposta :

q ( milh.. unid.) C ( milh. De R$ )

0 20 1-0=1

1 96 2-1=1

2 112 3-2=1

3 128 4-3=1 020.11281148 =

4 1.148 5-4=1

5 1.720 6-5=1

6 5.096 7-5=17 12.312 8-5=18 25.828 9-5=1

9 48.944 10-5=110 85.920

43,115ln49,10 ×= M x

q C

762096 =

1696112 =

=

=

37.3720.1096.5 =

=

=

.23828.25944.48 =

60828.25920.85 =



107

Questão 8

Resposta : e deverá fazer 52 horas extras.

Questão 9

Resposta : A função existe para 2 x .

Para calcular ® xlim , monte a tabela:

x

-100 6,12

-1.000 9.62

-1.000.000 9,999620

-1.000.000.000 10,000000

-1.000.000.000 10,000000

Veja que para valores cada vez menores de x , R assume valores próximos de 10, então

x

-100 13,725490

-1.000 10.379242

-1.000.000 10,000380

-1.000.000.000 10,000000

-1.000.000.000 10,000000

Veja que para valores cada vez maiores de x , R assume valores próximos de 10, então .

Questão 10

Resposta:

90=

S n

() 4010 +=

x x R

10lim =® x

() 4010 += x x R

10lim =® x



108

x ( horas ) y ( unidades ) y ( produção a cada hora )

0 01 19 192 72 533 153 814 256 1035 375 1196 504 1297 637 1338 768 1319 891 12310 1.000 109

O intervalo de crescimento é de , pois com aumentos em x houve aumentos em y

E intervalo de decrescimento é para 7> x , pois aumentos em y , os valores de y estão cadavez menores.

Resposta : Custo marginal:

Custo marginal de 1000 unidades é :

Questão 1

Resposta: C

Questão 2

Resposta: A

Questão 3

Resposta: A

0 << x

TEMA 6

815 2'=C

()

1499191000

815

'

2'

=

=

C

qqqC



109

Questão 4

Resposta: A

Questão 5

Resposta: B

Questão 6

Resposta: B

Questão 7

Resposta: Valor máximo é de 400 unidades em 6 horas de trabalho.

Questão 8

Resposta: Estimativa é de -40.000.

Questão 9

Resposta:

A taxa de variação instantânea para é dada por

Para calcular tal taxa, o aluno deve estimar os limites laterais de acordo com:

Fazendo , obtém-se :


10=t

( )()h

f h f xeminst iaçãodeTaxa h

1010lim10.var 0

+==

®

1,0=h

( )()10,10

1,0

101,010.var =

+=

f f inst iaçãodeTaxa

01,0=h



110


Fazendo 1,0=h , obtém-se :


Fazendo 001,0=h , obtém-se :

Isto signica que a variação instantânea para t=10 é de R$ 10,00.

Questão 10

Resposta : Por denição .Aplicando a função em ()heh x + ,obtém-se

Logo :

Como então

000=h

( )()00,1010001,010

.var =

+

=

f f inst iaçãodeTaxa

00=h

( )(),9

101,010var ==

f f médiaiaçãodeTaxa

( )(

91001,010

var ==f f

médiaiaçãodeTaxa

( )()9,9

10001,010var ==

f f médiaiaçãodeTaxa

() ( yh x y x y h

+=

® 0

' lim

() ()() ()h

h x

h

x yh x y x y hh

2

00

' 2020limlim

+=

+=

®®

() ( ) x

h xh xh xh x x y hhh =

+=

++=

®®®2lim

2lim

20220lim 0

2

0

222

0

'

'=



111


Resposta :

Questão 01

Aplicando as regras de derivação, encontre a derivada das funções:

1) Resposta:

2) Resposta:

3) Resposta:

4) Resposta:

5) Resposta:

6) Resposta:

7) Resposta:

8) Resposta:

9) Resposta:

10) Resposta:

1612= x y

() 5818 2'+= x x x f

81225 34'+= x x x f

201642 6'+= x x x

1418 68' += x x x

468'451846178 x x x x x +=

23'=

x x x x 1412321324'

++=

() 214224

2' +

=x x

x f

()98

' 142022 x x x x f =

() 22624

2' +

=x x

x f



112

Questão 2

Resposta: A

Questão 3

Resposta: A

Questão 4

Resposta:

Questão 5

1) Resposta:

2) Resposta:

Questão 6

Resposta: A

Questão 7

Resposta: 44= x y

Questão 8

Resposta: .

() 57911' 64528560.1900.1500.7 x x x x x f ++++=

x x M 10,110,1ln000.5'××=

()e x f x5'+=

=



113

Questão 9

Resposta: 1628,0= E ; interpretação : um aumento no uso do fertilizante corresponde a um aumento

percentual menor na produção ( 16% )

Questão 10 )

Resposta: ; interpretação : ao nível , a tendência da produção é aumentar 25 vezes o

acréscimo em K .


Resposta : quantidade que tornaria a receita máxima é 10 unidades.

Questão 1

Resposta: Pontos são os candidatos

5=t Ponto de máximo e valor máximo local é 114.

5=t Ponto de mínimo e valor mínimo local é 50.

Questão 2

Resposta: A

Questão 3

Resposta: A

Questão 4

Resposta: E

25=dP

51 == t et



114

Questão 5

Resposta: E

Questão 6

Resposta: ; 333,05 == E p signica que, para um aumento de 1% para o preço de

, a demanda diminuirá 0,33%.

signica que, para um aumento de 1% para o preço de , a demanda

diminuirá 1%.

Questão 7

Resposta: 100.26= y s ; propensão marginal a consumir: propensão marginal a poupar .

Questão 8

Resposta: Inelástica para , elástica para , elástica unitária

Questão 9

Resposta:

r R E

300 0,67400 0,94600 1,33

Para , tem-se a elasticidade 400=r signica que para um aumento de 1% para a renda a

demanda aumentará 0,67%.

Para 400=r , tem-se a elasticidade signica que para um aumento de 1% para a renda ademanda aumentará 0,94%.

p

p E

25500

25=

= p

333010 == E 10=

=mg s

=

mc

250 < 5025 << 25= p

=

=



Para , tem-se a elasticidade signica que para um aumento de 1% para a renda a

demanda aumentará 1,33%.

Questão 10

Resposta: em 2000 <q e em 000.4200 < q .>m R m R

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