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1. NÚMEROS NATURAIS

1. Conjunto dos números Naturais (I)I = { 0, 1, 2, 3 ... }

1.1 Operações com números Naturais

1.1.1 Adição

x + y = z x e y parcelas z soma ou total

Propriedades da adição

a) Fechamento: a soma de dois números naturais é um número natural.Ex.: 5 + 12 = 17

b) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.Ex.: 3 + 8 = 11

3 + 8 = 8 + 3 8 + 3 = 11

c) Elemento Neutro: o número zero.Ex.: 0 + 5 = 5 5 + 0 = 5

d) Associativa: a adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as últimas parcelas.Ex.:(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 (2 + 3) + 5 =2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 2 + (3 + 5)

Exercício Resolvido: Numa adição de 5 parcelas, a 1ª e a 2ª são respectivamente, 600 e 700; a 3ª é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4ª é igual à soma da 1ª com a 3ª e a 5ª é igual à diferença entre a 4ª e a 3ª. Calcule a soma.

1ª = 6002ª = 7003ª = 700 – 600 = 1004ª = 600 + 100 = 7005ª = 700 – 100 = 600

Total: 2700

1.1.2 Subtração

x minuendox - y = z y subtraendo z resto ou diferença

Exercício Resolvido: Numa subtração, o dobro do minuendo é 160. Calcule o resto, sabendo que o subtraendo vale 20.

2x = 160 x = 80

y = 20 z = 80 – 20 = 601.1.3 Multiplicação

x . y = z x e y fatores z produto

Propriedades da multiplicação

a) Fechamento: o produto de dois números naturais é um número natural.Ex.: 5 . 8 = 40

b) Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.Ex. 2 . 7 = 14

2 . 7 = 7 . 27 . 2 = 14

c) Elemento Neutro: o número um.Ex. 8 . 1 = 8 ou 1 . 8 = 8

d) Associativa: a multiplicação de três números naturais pode ser feito associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.Ex. (3 . 5) . 2 = 15 . 2 = 30 (3.5).2=3 . (5.2)3 . (5 . 2) = 3 . 10 = 30

e) Distributiva em relação à adição: na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplica-se cada um dos termos por esse número.Ex. 5 (3 + 2) = 5 . 5 = 25

5(3+2)=5.3+5.25.3+ 5.2 = 15+10 = 25

Exercício Resolvido: O produto de dois números é 96. Qual é o produto de um número 2 vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o segundo?

a . b = 962a . 5b = 10 . ab = 10 . 96 = 960

1.1.4 Divisão

D | d r q ou D = d . q + r

D Dividendo d Divisor q quociente r Resto

Obs.: Divisão exata: r = 0. Maior resto possível: R = d – 1 Não existe divisão por zero (0).

Parte integrante da apostila do NUCE. Todos os direitos reservados ao professor Paulo Valença © Copyright. Proibida a reprodução total ou parcial desta obra.


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Exercício Resolvido: O quíntuplo de um número, dividido por este número aumentado de duas unidades, dá quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este número?

5x x + 2

2 3

5x = 3 . (x + 2) + 25x = 3x + 6 + 22x = 8

x =

82 = 4

1.1.5 Potenciação

x basexy = z y expoente z potência

Propriedades da potenciação

a) x0 = 1, x 0100 = 1

b) x1 = x101 = 10

c) xm . xn = xm+n

32 . 33 = 32+3 = 35 = 243

d)

xm

xn= xm-n

, x 037

33=37−3=34=81

e) (xm)n = xm . n (32)3 = 36 = 729

f) (x . y)m = xm . ym

(2 . 3)3 = 23 . 33 = 8 . 27 = 216

g)( xy )

m

= xm

ym , y 0

(102 )

3=103

23 =10008

=125

Obs.: x23≠(x2)3

Exercícios Resolvidos

Calculea) 23 = Resp.: 8b) 30 = Resp.: 1c) 51 = Resp.: 5d) 23 . 22 = Resp.: 25

e) 54 : 52 = Resp.: 56

f) (23)2 = Resp.: 26

g) 232= Resp.: 29

h) (2 . 3)3 = Resp.: 23 .33

i)( 2

3 )2

= Resp.:

49

j) 2315271550

= Resp.: 8

k) 250720570925

= Resp.: 2

l)

5232

[ (517 )3 ]10 ¿

Resp.:25

m)

(24⋅ 35 )7⋅( 26⋅ 34 )5

(229⋅ 327 )2=

Resp.: 3

1.1.6 Radiciação

n√ x= y x Radicando n índice y Raiz

Exercícios Resolvidos

a) √36 Resp.: 6

b) √144 Resp.:12

c) √1024 Resp.:32

d) 3√729 Resp.: 9

e) 4√625 Resp.: 5

1.2 Expressões numéricas envolvendo as operações estudadas.1. Resolvemos as potências e raízes /

eliminamos os parênteses.2. Resolvemos as multiplicações e

divisões / eliminamos os colchetes.3. Resolvemos adições e subtrações /



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eliminamos as chaves.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

01. Abaixo está representada uma adição onde os algarismos A, B e C são desconhecidos. Qual o valor da soma A + B + C?

A 3 C + 5 B 8 1 3 3 3

(A) 16(B) 19(C) 21(D) 26(E) 25

02. Um escritor escreveu, em certo dia, as vinte primeiras páginas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas páginas havia escrito no dia anterior, mais 5 páginas. Se o escritor trabalhou 4 dias ele escreveu:

(A) 80 páginas.(B) 85 páginas.(C) 95 páginas.(D) 110 páginas.(E) 200 páginas.

03. A diferença entre o maior número de três algarismos diferentes e o menor número também de três algarismos diferentes é:

(A) 864(B) 885(C) 887(D) 899(E) 888 04. Um pai tem 35 anos e seus filhos, 6, 7 e 9

anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos três filhos menos a idade do pai será de:

(A) 2 anos.(B) 3 anos.(C) 11 anos.(D) 13 anos.(E) 15 anos.

05. Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora. A partir da segunda o valor é de R$ 2,00. Quanto pagará um proprietário de um carro que esteve estacionado durante 7 horas?

06. Em uma festa existem 4 homens e 3 mulheres. O numero de casais diferentes que podem ser formados é:

(A) 4(B) 6(C) 7(D) 12

(E) 20

07. Se numa divisão o divisor é 30, o quociente é 12 e o resto é o maior possível, então o dividendo é:

(A) 390 (B) 389 (C) 381(D) 361(E) 350

08. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos. Como existem 450 alunos matricula-dos, uma delas ficará incompleta. Para completar esta turma, ela deverá matricular:

(A) 6 alunos.(B) 11 alunos.(C) 12 alunos.(D) 32 alunos.(E) 8 alunos.

09. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a:

(A) 10(B) 12(C) 15(D) 18(E) 20

10. Um vendedor de vinhos quer reduzir o preço de seu vinho de R$ 5,00 para R$ 4,00 o litro, sem reduzir sua receita de vendas. Para isso ele quer adicionar água ao seu vinho. Tendo um estoque de 320 litros, o vendedor deverá adicionar:

(A) De 50 a 100 litros de água;(B) de 150 a 200 litros de água;(C) menos de 50 litros de água;(D) exatamente de 50 litros de água;(E) exatamente 100 litros de água.



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Gabarito01. C 02. D 03. B 04. B 05. R$ 15,0006. D 07. B 08. A 9. C 10. A2. MULTIPLOS E DIVISORES

Dados os números naturais A e B, dizemos que A é múltiplo de B, se e somente se, a divisão de A por B for exata, ou seja, deixar resto zero. Então dizemos que A é múltiplo de B. Em contrapartida, B é divisor de A.

Ex.: 6 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 6.

Obs.: O número zero (0) é múltiplo de qualquer número, mas não é divisor, pois não existe divisão por zero.

O QUE É NÚMERO PRIMO?

Um número natural é primo quando só possui dois divisores, 1 e ele mesmo. Caso ele tenha mais de dois divisores, então esse número é chamado de número composto.

O número 1 não é primo nem composto.P= {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , . .. } Aqui temos alguns números primos. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Um número será divisível por:

a) Dois, quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6, 8.

Ex.: 60, 86, 92, 1298.

b) Três, quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 3.

Ex.: 123 (1+2+3=6), 702(7+0+2=9), 1836(1+8+3+6=18).

c) Quatro, quando seus dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.

Ex.: 104 (04 é divisível por 4) 524 (24 é divisível por 4) 1384 (84 é divisível por 4)

d) Cinco, quando terminar em zero ou em cinco.

Ex.: 100, 625, 1005.

e) Seis, quando for divisível por dois e por três simultaneamente.

Ex.: 102, 324, 82314.

f) Sete, quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos algarismos restantes for um número divisível por sete.

Ex.: 238

(8 x 2 = 16 → 23 – 16 = 7: como 7 é divisível por 7, 238 também é divisível).

693

(3 x 2 = 6 → 69 – 6 = 63; 63: 3 x 2 = 6; 6 – 6 = 0: como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível).g) Oito, quando os três últimos algarismos formar um

número divisível por oito.

Ex.: 12240, é divisível por 8 pois 240 é divisível por 8.95880, é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8.

h) Nove, quando a soma dos algarismos for um número divisível por nove.

Ex.: 567 (5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9).2124 (2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9).

i) Dez, quando terminar em zero.

Ex.: 10, 100, 120, 2490.

j) Onze, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar for um número divisível por onze.

Ex.: 7.973.207 S(ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23. S(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferença = 11.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Todo número natural maior que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos. Decompor em fatores primos significa escrever o número como um produto de fatores primos.

Ex.: decompor os números 16, 40, 240, 108.Temos que começar dividindo o número pelo menor número primo caso este seja divisível e continuamos dividindo por ele até que não seja mais divisível e assim passamos para o próximo primo que seja divisor do quociente.

NÚMERO DE DIVISORES NATURAIS

Admitamos que um certo número é representado na forma fatorada da seguinte maneira:



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N = ax. by. cz. dw então:

n.d.n. = (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)n.d.i. = 2. (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)Quantos divisores naturais possui o número 240?Primeiro fatoramos 240. Temos que:

240 = 24 . 31 . 51

n.d.n. = (4 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 5 . 2 . 2 = 20

Então, o número 240 possui 20 divisores positivos (naturais). E, por sua vez, o dobro disso ( 2 . 20 ) de divisores inteiros (positivos e negativos).

20 divisores naturais 40 divisores inteiros

OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO

Encontre os divisores de 108:

Fatoramos o número dado.

Anotamos o número 1, que é divisor universal.

Multiplicamos o 1º fator primo pelo 1 e anotamos o resultado.

Multiplicamos os próximos fatores pelos divisores já obtidos e anotamos os resultados.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O maior divisor comum (mdc) de dois números A e B é o maior número diferente de um, na qual divide A e B ao mesmo tempo. Por exemplo: se considerarmos os números 36 e 24, podemos perceber que os números 2, 3, 4, 6, 12 são divisores comuns, ou seja, dividem tanto o 24 como o 36. Porém, o maior deles, que é o 12, será o mdc.

Nesse exemplo, fica fácil de encontrar o maior divisor comum. Quando passamos para números um tanto grandes, por esse método torna-se cansativo e muito trabalhoso. Partimos então para métodos mais práticos.

O MDC de vários números naturais é o produto dos fatores primos comuns elevados aos seus menores expoentes.

A exemplo, vamos calcular o mdc (108, 180):

Fatorando 108 e 180:

O mdc será o produto dos fatores comuns, quem é comum? O 2 e o 3. Elevados aos menores expoentes, no caso: 22 e 32. O 5 não participa pois não é comum.

mdc (108, 180) = 22 . 32 = 4 . 9 = 36

OBSERVAÇÃO: Se o mdc de dois números for igual a 1, então dizemos que esses números são primos entre si. Por exemplo, os números 25 e 36 são primos entre si, pois o único número que divide os dois ao mesmo tempo é o número 1.

Também podemos usar o método das divisões sucessivas, chamado vulgarmente de jogo da velha.Procedemos da seguinte forma: dividimos o maior dos números pelo menor, colocando na parte de cima o quociente e o resto na parte debaixo:



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Esse resto é colocado ao lado do número 108 e faremos a divisão de 108 pelo resto, no caso 72, colocando o quociente na parte de cima e o resto na parte debaixo:

Esse resto 36 é colocado ao lado do 72 e será feita a divisão de 72 por 36, o quociente será colocado na parte de cima e o resto na parte debaixo e procedemos assim até que o resto seja igual a zero:

Chegamos ao fim, obtendo como mdc o número 36.

APLICANDO MDC A PROBLEMAS

a) Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate e 60 balas de leite. Quero formar pacotes de balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas e essa quantidade deve ser a maior possível. Quantas balas devo colocar em cada pacote? Quantos pacotes devo formar?

Percebemos que a questão é de mdc porque o problema fala em formar pacotes, ou seja, dividir as balas. O problema diz “mesma quantidade de balas”, ou seja, a divisão tem que ser exata. O divisor é comum. E o xeque-mate, “essa quanti-dade deve ser a maior possível”, pronto é mdc. Toda vez que o problema se referir a “dividir”, “repartir”, “distribuir”, “em partes iguais”, “quantidades iguais”, “sem sobras”, “com a maior quantidade possível”, estamos diante de um problema de mdc.Podemos usar qualquer um dos dois métodos

acima:

Os fatores primos comuns com os menores expoentes são:mdc (84, 60, 144) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas, sem misturar sabores, logo:devemos ter em cada pacote 12 balas.Iremos formar:84 : 12 = 7 pacotes de sabor coco60 : 12 = 5 pacotes de sabor leite144 : 12 = 12 pacotes de sabor chocolate7 + 5 + 12 = 24 pacotes no total

Podemos usar o método das divisões sucessivas, para isso, começamos achando o mdc de dois deles.

Feito isso, calculamos o mdc do número que sobrou, no caso 60, com o mdc encontrado.

MÉTODO PRÁTICOO método prático consiste em fatorar simulta-neamente os números 60, 84, 144 apenas pelos divisores comuns, vejam:

Percebam que só dividimos pelos divisores comuns e paramos em 5, 7, 12, pois não há divisores comuns entre eles a não ser o 1. Logo



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eles são primos entre si.5, 7 e 12, são as quantidades de pacotes que iremos formar de sabores respectivamente, leite, coco e chocolate. No total de 5 + 7 + 12 = 24 pacotes.b) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três

vigas, cujos comprimentos são respectivamente, 30 dm , 42 dm e 54 dm, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. Qual a medida de cada uma das partes? Qual a quantidade de partes irá formar?

Pelo método prático:

Cada uma das partes terá 6 dm e iremos formar 5 + 7 + 9 = 21 pedaços.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Calcular o mmc de dois números A e B é encon-trar o menor número diferente de zero, tal que seja ao mesmo tempo divisível por A e B.

A exemplo disso, vamos considerar os números 24 e 36. Olhando para os múltiplos de 24 em sequência temos: (24, 48, 72, 98,...) e os múltiplos de 36 (36, 72, 108, ...) percebamos que o número 72 é o menor múltiplo existente de 24 e 36. Existem outros múltiplos de 24 e 36 ao mesmo tempo como, 144, 216..., entre outros. Mas 72 é o menor deles.

Quando passarmos para outros números, sucumbiremos na dificuldade e morosidade dos cálculos. Iremos adotar assim métodos mais simpli-ficados. Vejamos:

O MMC de vários números naturais é o produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes. A exemplo, vamos calcular o MMC (108, 180):

Os fatores comuns 2 e 3. Com os maiores expoentes 22 e 33. O 5 não é comum, mas no mmc ele participa.

MMC (108, 180) = 22 . 33 . 5 = 4 . 27 . 5 = 540Podemos utilizar um método prático, que é a fatoração simultânea. Nesse caso fatoramos 108 e

180 ao mesmo tempo.

Obs.: a . b = mmc (a, b) . mdc (a, b) Veja que:108 . 180 = mmc (108, 180) . mdc (108, 180)108 . 180 = 540 . 36 = 19.440

APLICANDO MMC A PROBLEMASa) Fazer lição dá uma fome... Luciana comeu muitos

doces e tomou vários refrigerantes. Era dia 1º de maio. Luciana decidiu que, a partir de então, para não engordar, só comeria doces de 4 em 4 dias e só tomaria refrigerantes de 6 em 6 dias. Em que dias do mês de maio ela voltaria a comer doces e tomar refrigerantes no mesmo dia?

Vamos analisar o problema da seguinte forma:

dias que ela toma refrigerante a partir de hoje6º, 12º, 18º, 24º, ...

dias que ela come doces a partir de hoje4º, 8º, 12º, 16º, 20º, 24º, ...

Verifique que no 12º ela toma refrigerante e come doces. Logo, ela coincide o refrigerante com os doces de 12 em 12 dias. Então se hoje é dia 1º de maio, ela comerá doces e tomará refrigerantes nos dia 13 de maio e 25 de maio.

Pelo mmc também chegamos na resposta, veja:

Usamos mmc em problemas que desejam descobrir encontros, como, por exemplo, “em que dia se encontrarão”, “depois de quantos dias volta a acontecer”, assim por diante.b) Dois ciclistas largaram juntos numa pista,

percorrendo-a com velocidade constante. Alberto completa cada volta em 18 minutos. Barreto leva 22 minutos em cada volta. Depois de quantas horas os dois cruzarão juntos pela primeira vez o ponto de largada? E pela segunda vez?



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Logo, transformando os 198 minutos em horas temos:198 min = 3 . 60 min + 18 min = 3 horas e 18 minutos (1ª vez) 2 x (3 h 18 min) = 6 h 36min6 horas e 36 minutos (2ª vez)


01. (T.T.N) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída?

(A) 66, 60 e 55.(B) 62, 58 e 54.(C) 60, 55 e 50.(D) 60, 55 e 45.(E) 50, 45 e 40.

02. Sabe-se que o número A=23.3x tem 20 divisores naturais. Nestas condições, x é um número:

(A) primo. (B) divisível por 3.(C) múltiplo de 5. (D) quadrado perfeito. (E) cubo perfeito.

03. Uma senhora possui 3 filhas em idade escolar. O produto da sua idade com as idades de suas 3 filhas é 16555. A diferença entre a idade de sua filha mais velha e a idade de sua filha mais nova é:

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

04. Hoje, dois amigos encontraram-se num mesmo cinema que costumam frequentar sistematicamente; um, a cada 18 dias, e o outro, a cada 24 dias. A próxima vez que ambos se encontrarão em tal cinema ocorrerá daqui a:

(A) 36 dias.(B) 48 dias.(C) 72 dias.(D) 94 dias.(E) 96 dias.

05. No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequên-cias diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto, e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simulta-neamente?

(A) 12(B) 10(C) 20(D) 15(E) 30

06. Um colecionador possui mais de 2500 selos e menos de 3000. Contando o número de selos de 15 em 15, de 25 em 25, e de 35 em 35, sempre sobram 13. O número de selos do colecionador é:

(A) 2963(B) 2918(C) 2715(D) 2638(E) 2625

07. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segun-dos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:

(A) 150(B) 160(C) 190(D) 200

08. (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi:

(A) 4(B) 6(C) 8(D) 9

09. (UFPE) Uma escola deverá distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado,



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qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá?

(A) 38(B) 39(C) 40(D) 41(E) 42

10. No almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é:

(A) 8(B) 10(C) 12(D) 14(E) 16

Gabarito1. A 2. D 3. C 4. C 5. A6. D 7. D 8. B 9. D 10. C

3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

(d) Conjunto dos números inteiros positivosZ* + = {1, 2, 3, ...}

(e) Conjunto dos números inteiros negativosZ* = {..., -3, -2, -1}

1.1.Reta Numérica

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e pôr os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita.

1.2.Operação com Números Inteiros



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1.2.1. Adição / SubtraçãoPara melhor entendimento desta operação,

associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)

perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)

perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4(d) -6 + 3 = -3

Propriedades da Adição

Fechamento: A soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a, b, c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a, b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 09 + (-9) = 0

1.2.2. Multiplicação / DivisãoPara realizar a multiplicação e também a

divisão de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

Sinais dos números Resultado

iguais positivo

diferentes negativo

Exemplo:a) (-2) . (+3) = - 6

b) (+5) . (+2) = +10c) (-15) : (-5) = +3d) (+20) : (-4) = - 5

Propriedades da MultiplicaçãoFechamento: A multiplicação de dois números

inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a, b, c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a, b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7

Distributiva: Para todos a, b, c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5)

1.3.Potenciação de Números Inteiros

Para trabalhar a potenciação dos inteiros, devemos observar o sinal da base e trabalhar com a seguinte regra:

Sinal da base Resultado positivo Positivonegativo Positivo se o expoente for par

Negativo se o expoente for impar

Exemplo:(a) 32 = 9(b) (-3)2 = 9(c) 33 = 27(d) (-3)3 = -27

OBS: (-3)2 = 9 -32 = - 9



ÉticaMatemática

EXERCÍCIOS

01. Qual o valor da expressão: [ - 3 + 3 . (-7 + 3) – 10] . (-2)?(A) 35(B) 40(C) 45(D) 50(E) 55

02. O intervalo da reta numérica compreendidos entre -72 e -18 foi dividido em 9 partes iguais, como mostrado na figura abaixo.

O numero inteiro que corresponde ao ponto A assinalado nesta reta numérica é:

(A) – 60(B) – 54(C) – 45 (D) – 42 (E) – 36

03. Após uma nevasca sofrida por toda Gravatá, a temperatura que era de 12 graus centí-grados, caiu o triplo. Então, a temperatura nesse momento era de:

(A) 12 graus(B) 12 graus negativos(C) 24 graus(D) 24 graus negativos(E) 0 graus

04. Amplitude térmica é a diferença entre a tem-peratura máxima e mínima registrada em um lugar. Num dia de inverno em Berlim (Alema-nha), a temperatura mínima registrada foi de -3ºc e a temperatura máxima foi de 2ºc. Qual foi a amplitude térmica registrada nessa cidade?

(A) 5ºc

(B) 1ºc(C) 6ºc(D) - 5ºc (E) -1º c

05. No planeta Marte, a temperatura média na superfície é de -53ºc, enquanto que na superfície da terra essa temperatura é de, em média, +14ºc. Qual a diferença entre a temperatura média na terra e na superfície de Marte?

(A) 67ºc(B) 57ºc(C) 41ºc(D) 39ºc(E) 28ºc

06. Calcule o valor das expressões?

(A) – [ ( 11 - 12) – ( - 7 + 9)] – [( 3 - 6) + 14] =

(B) – { - [ 7 – ( 2 + 5 + 7 )] + 11 } + 13 =

(C) (-3 + 2)2 . ( - 1 - 1)3 – [( - 2 + 3)3 . ( - 2)2] =

(D) (- 4 + 3 - 2) . (- 2 + 1 + 3)2 – ( - 5 - 1)2 =



ÉticaMatemática

(E) (- 4 - 3)2 : [( - 1 - 7)0 + (- 2 - 6)3 : (- 1 - 7)2] =

Gabarito01. D 02. B 03. D 04. A 05. A06. a) - 8 b) -5 c) -12 d) -48 e) -74. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Um número racional é o que pode ser escrito na

forma

ab onde a e b são números inteiros, sendo que

b deve ser diferente de zero. Freqüentemente usamos ab para significar a divisão de a por b.

Fração: número que representa pedaços de um inteiro.

Generalidades sobre Frações

Fração Própria:

Fração imprópria:

Fração decimal:

Fração ordinária:

Fração irredutível:

Obs.: Complemento de uma fração própria para um inteiro.

De

xy tomados, faltam tomar para

completar um inteiro.

Ex.: Tomando-se

27 , faltam tomar ___ para

completar um inteiro.

Operações com Frações

Adição / Subtração

Denominadores iguais: mantemos o denomina-dor e operamos com os numeradores.

Ex.:

35+ 2

5 - 1

5=

Denominadores diferentes: reduzimos as frações ao mesmo denominador através do cálculo do MMC dos denominadores e, em seguida, aplicamos a regra anterior.

Ex.:

23

- 34+ 1 =

Multiplicação: multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

Ex.:

23⋅7

5=

Divisão: repetimos a primeira fração e multipli-camos pelo inverso da segunda fração.

Ex.:

23÷7

5=

Potenciação: devemos elevar o numerador e o

denominador ao expoente em questão.

Ex.: ( 3

2 )4

=

Potência de expoente negativo: a−n= 1

an Ex.:2-5 =

Potencia de expoente fracionário: apq=

q√ap

Ex.: 223=

Exercício. Calcule o valor das seguintes expressões

a) [1 - ( 1

2 )2 ]⋅[1 - ( 1

3 )2]⋅[1 - ( 1

4 )2]

Resp.:

58

b)

1+{154

- [( 12 )

2÷(12+ 3

4 )]} Resp.:

12928

c)

1+ 12

1 - 12

÷1 + 1

4

1 - 14 Resp.:

95

d) ( 20 - 2-1

2−1 - 2 )−1

Resp.: -3



ÉticaMatemática

e) (

12+ 1

3+ 1

612+ 2

3)2

+1349

Resp.: 1

f)

( 14 )−

32⋅( 2

5 )−3

( 1125 )−

13⋅( 1

36 )0

Resp.: 25

Operações com números decimais

Adição e Subtração. Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:

Igualar a quantidade de casas decimais dos nú-meros decimais a serem somados ou subtraí-dos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais.

Exemplos: 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723 Escrever os numerais de tal modo que fique

vírgula sob a outra vírgula e, em seguida, realiza-se a operação.

Exemplos:

2,400

+ 1,723

4,123

2,400

- 1,723

0,677

Multiplicação de Números Decimais. Podemos multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas decimais quantas forem o total de casas dos fatores envolvidos no cálculo.

Exemplo:

2,25 2 casas decimais fatorx 3,5 1 casa decimal fator

1125

+ 675 7,875 3 casas decimais Produto

Divisão de Números Decimais. Para dividirmos dois números decimais devemos igualar o número de casas decimais e, em seguida, efetuar a divisão como se fossem números inteiros.

Exemplo: 1,2975 : 0,15 12.975 : 1500 = 8,65

Geratriz de uma dízima periódica

Dízima simples. A geratriz de uma dízima sim-ples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

0 ,777⋯=79

0 ,2323⋯=2399

Dízima Composta. A geratriz de uma dízima

composta é uma fração da forma

nd , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:0,1252525 ...= 125 – 1 = 124 = 62 990 990 445

0 ,047777⋯=047 - 04900

=43900

Exercício. Encontre a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimasa) 0,666 . . . d) 0,25666 . . . b) 0,252525 . . . e) 0,3222 . . . c) 1,333 . . . f) 0,23141414 . . .

Exemplos:

1º Em uma casa comercial, metade dos empregados

são homens,

13 são mulheres e os 6 restantes são

meninos. Quantos empregados há na casa?2º Uma pessoa dá a metade do seu salário para a esposa. Em seguida dá um terço do que sobrou para

o filho mais velho. Depois dá

15 do que restou para a

caçula. Sabendo-se que sobraram R$ 640,00, calcular o seu salário.

3º

23

dos 34

dos 45

dos 56 de um número é 9. Qual

é esse número?



ÉticaMatemática


01. (B.N.B) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração

irredutível mn , então m + n é igual a:

(A) 88(B) 89(C) 90(D) 91(E) 92

02. (T.R.T) O valor da expressão

0,6 x

13+ 4

5+ 0 ,333 .. . x3

2−1 ,98 + 12 é:

(A) 51(B) 52(C) 53(D) 54(E) 55

03. (T.R.F) Certo dia, uma equipe de técnicos especializados em higiene dental trabalhou em um programa de orientação aos funcionários do tribunal, sobre a prática de

higiene bucal. Sabe-se que

13 do total de

membros da equipe atuou no período de 8 às

10 horas e

25 do número restante, das 10 às

12 horas. Se no período da tarde a orientação foi dada pelos últimos 6 técnicos, o total de membros da equipe era:

(A) 12(B) 15(C) 18(D) 21

(E) 24

04. (T.R.T) Do total de processos arquivados por

um técnico Judiciário, sabe-se que

38 foram

arquivados numa primeira etapa e

14 numa

segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era:

(A) 34(B) 30(C) 27(D) 24(E) 18

05. (CORREIOS) Uma dona de casa foi a um

supermercado e gastou

29 do que possuía

em compras e depois foi à feira e gastou

37

do resto do que tinha em frutas e ainda lhe sobrou R$ 8,00 a quantia que ela tinha antes de fazer essas compras era:

(A) R$ 12,40(B) R$ 15,20(C) R$ 18,00(D) R$ 18,20(E) R$ 19,40

06. (T.R.T) Do total de ingressos para um

espetáculo,

25 foram comprados por homens

e

38 por mulheres. Se ainda restaram 135

ingressos para serem vendidos, o número de ingressos comprados por homem foi:

(A) 240(B) 270(C) 320(D) 450(E) 600

07. (T.S.T) Depois de gastar a metade do meu

dinheiro, gastei

34 do que sobrou e recebi

uma quantia igual a

75 do que restava.

Quanto tinha se agora tenho R$ 30,00?(A) R$ 50,00(B) R$ 60,00(C) R$ 80,00(D) R$ 90,00(E) R$ 100,00



ÉticaMatemática

08. (T.T.N) Os

23 de

53 do preço de uma moto

equivalem a

32 de

25 do preço de um

automóvel, avaliado em R$ 9.600,00. O preço da moto é de:

(A) R$ 5.760,00(B) R$ 8.640,00(C) R$ 6,400,00(D) R$ 16.000,00(E) R$ 5.184,00

09. Um operário gasta

13 do seu salário com

alimentação,

15 com moradia e

415 com

passeios, e o restante R$300,00 aplica na poupança. O operário recebe um salário de:

(A) R$ 2000,00(B) R$1800,00(C) R$ 1700,00(D) R$ 1600,00(E) R$ 1500,00

10. Uma certa porção de líquido foi distribuída igualmente pelos recipientes A, B, e C. Poste-riormente, os conteúdos de B e C foram de partidos igualmente pelos recipientes A , B, C, D e E. Que fração de porção total ficou contida no recipiente A?

(A)

23

(B)

715

(C)

512

(D)

15

(E)

59

Gabarito01. B 02. B 03. B 04. D 05. C06. A 07. E 08. E 09. E 10. B5. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

5.1. Definição:

Sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que tem por base o metro.

5.2. Principais Unidades

Metro: Para as medidas de comprimento.Metro Quadrado: Para as medidas de área ou

superfície.Are: Para as medidas agrárias, isto é, medidas de

grandes extensões de terra.Metro Cúbico: Para as medidas de volume.Grama: Para as medidas de massa.

Obs.: 1m3 = 1000 1dm3 = 11t = 1000Kg 1ha = 10.000 m2

Unidades Múltiplos Unid. Principal Submúltiplos

Comprimento Km, Hm, Dam

M dm, cm, mm

Superfície Km2,Hm2,Dam2

M2 dm2,

cm2, mm2

Agrária Há a CaVolume Km3,

Hm3,Dam3

M3 dm3,

cm3, mm3

Capacidade K, H, Da

d,c,m

Massa Kg,Hg,Dag

G dg,cg,MG

1ª. A relação nas medidas de comprimento, capacidade e massa é decimal. As mudanças de unidades são feitas, deslocando-as a vírgula de uma em uma casa.

2ª. A relação nas medidas de superfície a agrária; é centesimal. As mudanças de unidades são: feitas



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deslocando-se a virgula de duas em duas casas.

3ª. A relação nas medidas de volume é milesimal. As mudanças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de três em três casas.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Exprimir em dm, a adição abaixo:8,5 m + 0,75 Dam + 300mm + 10cm.

Resp.: 164 dm

02. Exprimir em m2, expressão:12 Dam + 0,3 Hm2 – 450 m2.

Resp.: 3750 m2

5.3. MEDIDAS DE TEMPO

O Sistema para medida do tempo é sexagesimal, ou seja, as unidades variam tendo como base o número 60.

Assim, a hora é a principal unidade e, minuto e segundo são seus submúltiplos.

1 h = 60 min1 min = 60 seg1 h = 3600 seg

5.4. SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO

No Brasil, atualmente, a nossa unidade monetária é o Real. O principal submúltiplo do real é o centavo.

Obs.: A conversão da moda de um país, da moeda de outro país é denominada cambio.


01. Se um dólar vale R$ 3,15 quanto valem, em reais, 420 dólares?

Resp.: R$ 1.323,00

02. A cotação do dólar, em um dia, era R$ 2,50 para um dólar. Sendo assim R$ 8.000,00 valem quantos dólares?

Resp.: US$ 3.200

EXERCÍCIOS

01. Uma caixa de água tem dimensões 50cm, 1m e 2m. Ao encher totalmente a caixa, faz-se um furo na sua base que provoca uma vazão de 5 litros por minuto. Em quanto tempo ela ficará totalmente vazia?

(A) 2h(B) 3h 20min(C) 4h(D) 8h(E) 4h 40min

02. As dimensões internas de uma geladeira são de 6dm de largura, 50cm de profundidade e 0,8m de altura. Determine em litros a capaci-dade total desta geladeira.

(A) 200(B) 220(C) 240(D) 260(E) 280

03. Vinte e quatro metros cúbicos de certo produto devem ser acondicionados em fras-cos de 800ml. Quantos frascos serão necessários?

(A) 300 frascos(B) 3000 frascos(C) 30.000 frascos(D) 300.000 frascos(E) 3 frascos

04. Calcular o volume de água contida numa caixa que tem 120cm de altura, 18dm de lar-gura e 0,22dam de comprimento.

(A) 4.456 litros(B) 4.549 litros(C) 4.654 litros(D) 4.752 litros(E) 4.890 litros

05. Um reservatório contém 1,8m3 de óleo. Calcule quantas latas de 150dl estão contidas



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nesse reservatório, se está cheio até os 5/6 de sua altura.

(A) 32 latas(B) 45 latas(C) 52 latas(D) 67 latas(E) 100 latas

06. Em um temporal que aconteceu em junho,a chuva caiu com intensidade de 200 milíme-tros de precipitação. Isso significa que se deixarmos a chuva cair em uma caixa cujo fundo tem um metro por um metro, a água atinge, em uma hora, uma altura de 20 centímetros. Essa quantidade corresponde a quantos litros de água de chuva?

(A) 100 litros

(B) 200 litros(C) 400 litros(D) 600 litros(E) 800 litros07. O eclipse lunar ocorrido em janeiro de 2001

começou às 19h 42min, terminando às 22h 59min. Qual a duração total desse eclipse?

(A) 2h 17min(B) 2h 18min(C) 2h 35min(D) 3h 17min(E) 3h 18min

08. Uma prova de matemática começa às 12h

35min e tem duração de

456 horas. A que

horas termina a prova?(A) 17h(B) 17h e 25min(C) 20h e 5min(D) 16h e 40min(E) 16h e 80min

09. Dona Tida comprou: 5 pacotes de açúcar de 2kg cada um; 10 pacotes de maisena com 600g cada um; 20 pacotes de margarina de 250g cada um. Qual a massa total dessa compra?

(A) 2,1kg(B) 21kg(C) 11.100g(D) 2.100g(E) 855g

10. (Tec. Cont. – SC) A caixa de água de uma casa tem capacidade de armazenamento de 2000 litros. Sabendo que ela possui base quadrada, com 1 metro de lado, assinale a alternativa que indica a altura desta caixa de água.

(A) 2 metros(B) 20 metros(C) 2 centímetros(D) 2 decímetros

(E) 20000 centímetros

6. RAZÃO E PROPORÇÃO

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles.

Indica-se a razão de a para b por

ab .

Exercício. Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão).

Resp.:

45 Razão =

2025

=45

Exercício. Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes.

Resp.:

54 Razão =

2520

=54

Lendo Razões25 , lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5.

Termos de uma Razão

Na razão

58 , o número 5 é o antecedente e o

número 8 é o conseqüente.

Grandezas EspeciaisEscala é a razão entre a medida no desenho e o

correspondente na medida real.

Escala=Medida do desenhoMedida real

Exercício. Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de


Gabarito01. B 02. C 03. C 04. D 05. E06. B 07. D 08. C 09. B 10. A


ÉticaMatemática

4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.

Resp.:

7,2432 . 000 .000

= 160 . 000. 000

Velocidade média é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)

Velocidade=DistânciaTempo

Exercício. Um carro percorre 320km em 4h. Deter-mine a velocidade média deste carro.

Resp.: Vm =

3204

=80km /h

PROPORÇÕES

Proporção é a igualdade entre duas razões. A

proporção entre

ab

e cd é a igualdade:

ab= cd .

Propriedade Fundamental das Proporções

Numa proporção:

ab= cd os números a e d são

chamados de extremos enquanto os números b e c são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: a .

d = b . c..

Outras Propriedades das Proporções

Numa proporção, a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro termo.ab= cd

⇒ a + ba

=c + dc

ou a - ba

=c - dc

Numa proporção, a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o quarto termo.ab= cd

⇒ a + bb

=c + dd

ou a - bb

=c - dd

Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente.ab= cd

⇒ a + cb + d

=ab= cd

ou ab= cd

⇒ a - cb - d

=ab= cd

Exercícios

01. Numa escola, a razão do número de professores para o número de alunos é de 1 para 5. Se nessa

escola há 40 professores, qual é o número de alunos

PA

=15→40A

=15

A = 200

02. Aplicando as propriedades estudadas, calcule os valores desconhecidos em cada caso:

a) {ab =2

3 ¿¿¿¿

2+3=510÷5=2

a=2⋅2=4b=3⋅2=6

b) {53 =a

b ¿¿¿¿

5−3=28÷2=4

a=5⋅4=20b=3⋅4=12

c) {a5 =b

10 ¿¿¿¿ a=3 e b=6

d) {x2 = y

3=z

4 ¿ ¿¿¿

2+3+4=9135÷9=15

x=2⋅15=30y=3⋅15=45z=4⋅15=60

01. A soma de dois números é 60. Encontre esses números, sabendo que a razão entre o triplo do maior e o menor é 9.

a+b=603ab

=9→ a9= b

3

9+3=1260÷12=5

a=9⋅5=45b=3⋅5=15

DIVISÃO PROPORCIONAL

1. Diretamente Proporcionais: Duas seqüên-cias são diretamente proporcionais quando é cons-tante o quociente entre os termos correspondentes. (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3)

Dir. Prop.:

a1

b1=a2

b2=a3

b3= k



ÉticaMatemática

Ex.: Determine x e y para que as seqüências (1, x, 5) e (2, 6, y) sejam diretamente proporcionais.12= x

6=5y→ 1

2⋅x

6→ x=3

12=5y→ y=10

Ex.: Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 6.

{a2 =b3

=c6 ¿ ¿¿¿

2+3+6=11121÷11=11

a=2⋅11=22b=3⋅11=33c=6⋅11=66

2. Inversamente Proporcionais: Duas seqüên-cias são inversamente proporcionais quando é constante o produto entre os termos correspondentes (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3)

Inv. Prop.: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = k

Ex.: Determine x e y de modo que as seqüências (x, 8, 10) e (20, 5, y) sejam inversamente proporcionais.

x⋅20=8⋅5=10⋅y→ x⋅20=40⇒ x=2 10⋅y=40⇒ y=4

Ex.: Dividir 450 em partes inversamente proporcionais a 3, 6 e 8

M.M.C.(3, 6, 8) =24

a+b+c=450a13

=b16

=c18

⇒a8

=b4

=c3

8+2+3=15450÷15=30a=8⋅30=240b=4⋅30=120c=3⋅30=90

3. Direta e Inversamente Proporcionais: Divide-se pelo produto dos dois, ou seja, diretamente pelo próprio número e inversamente, pelo inverso dos números.

Ex.: Dividir 93 em partes ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente proporcionais a 3, 6 e 9.

M.M.C. (2, 3, 9) = 18

a+b+c=93a

2⋅13

=b

3⋅16

=c

5⋅19

⇒a23

=b12

=c59

⇒a12

=b9

=c10

12+9+10=31

93÷31=3a=12⋅3=36b=9⋅3=27c=10⋅3=30

EXERCÍCIOS

01. Para equilibrar as contas de seu estado, um governador resolveu cortar drasticamente o número de cargos de confiança. Serão demitidos 2.400 funcionários sem concurso, e o corte será diretamente proporcional ao orçamento de cada Secretaria. Por exemplo, a Secretaria que tem o maior orçamento terá o maior número de cortes. O quadro abaixo mostra o orçamento das 4 Secretarias que terão corte de funcionários.

Secretaria A B C DOrçamento (em milhões de reais)

22 15 18 25

De acordo com esses dados, quantos funcio-nários não concursados serão demitidos da Secretaria C?

(A) 450 funcionários.(B) 540 funcionários.(C) 660 funcionários.(D) 750 funcionários.(E) 800 funcionários.

02. Dividindo 700 em partes diretamente pro-porcional a 2 e 3 e inversamente propor-cional a 4 e 8, obtemos dois números cujo produto é igual a

(A) 120000(B) 130000(C) 140000(D) 150000(E) 160000

03. Se os termos da seqüência (10, x, 5) são inversamente proporcionais aos termos da sequência (20, 50, y), então:

(A) x – y = 4(B) x + y = 40(C) x – y = 30(D) x + y = 54(E) x + y = 44



ÉticaMatemática

04. Dois recipientes de igual volume estão cheios de uma mistura de álcool e gasolina na proporção de 2:5 e 3:4, respectivamente. Juntando-se seus conteúdos em um terceiro recipiente, obtém-se uma mistura de álcool e gasolina na proporção de:

(A) 5 para 9(B) 3 para 8(C) 8 para 7(D) 5 para 6(E) 7 para 9

05. Analise as seguintes afirmações:I. Se duas grandezas x e y variam de tal modo que

o seu produto permanece constante, as grande-zas são inversamente proporcionais.

II. Se os termos da seqüência (10, x, 5) são inversamente proporcionais aos da seqüência (20, 50, y) então x + y = 44.

III. 30 é a quarta proporcional dos números 12, 5 e 2.

Estão corretas:(A) II e III(B) Somente I(C) Somente II(D) I e III(E) I e II

06. A sequência (2, 3, 5, x) é diretamente pro-porcional a (4, x, 10, y). O valor de x + y é

(A) 12(B) 6(C) 16(D) 18(E) 20

07. Eliane, engenheira química de uma indústria, ao estudar certa liga metálica, percebe que esta é composta de cobre, estanho e zinco. Nela existem 2 partes de estanho para 5 partes de cobre e 3 partes de zinco para 15 partes de cobre. Com base neste estudo, ela precisa determinar a razão entre a quantidade de zinco e a de estanho na liga. Ajude-a neste novo estudo.

(A) 2/1(B) 2/3(C) 1/2(D) 3/2(E) 3/4

08. Uma substância é constituída de uma mistura das substâncias A e B, na proporção de 3 litros de A para 5 litros de B. Quantos litros da substância B devemos adicionar à mistura

para que esta passe a conter

34 da

substância B?(A) 7(B) 6(C) 5(D) 4

(E) 3

09. Atualmente, a “gasolina” que abastece nossos carros é, na verdade, uma mistura, em que a cada quatro litros de gasolina é adicionado um litro de álcool. O tanque de um posto de abastecimento está com 60 mil litros dessa mistura. Nessas condições, quantos litros de álcool existem nesse tan-que?

(A) 12 mil litros.(B) 13 mil litros.(C) 20 mil litros.(D) 40 mil litros.(E) 48 mil litros.

10. Para a cobertura da última Copa do Mundo, disputada na França, a FIFA, Federação Internacional de Futebol Association, distri-buiu 1.880 credenciais às imprensas argen-tina, brasileira e colombiana. Tal distribuição foi feita nessa ordem, mas em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 6, e, inversamente proporcionais a 12, 15 e 30, respectivamente. Perguntou-se a um estudante do 1º período do Ensino Médio da ETFPE: quantas credenciais a imprensa brasileira teve a mais que a colombiana? O aluno pensou e prontamente respondeu:

(A) 300(B) 320(C) 260(D) 240(E) 220

11. Em um desenho de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6m, está representado por um segmento de 3 cm. A escala utilizada foi de

(A) 1 : 50(B) 1 : 100(C) 1 : 200(D) 1 : 500(E) 1 : 10

12. O Sr. João Carlos depositou uma pequena parcela do seu salário numa poupança. No mês de dezembro, o saldo dessa poupança era de R$ 3.330,00. Ele repartiu essa quantia, como presente de natal, entre seus filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades. Júnior tem 15 anos, Beatriz 12 e Natália 10 anos. Quanto recebeu o mais velho?

(A) R$ 1.330,00(B) R$ 1.335,00(C) R$ 1.340,00(D) R$ 1.345,00(E) R$ 1.350,00



ÉticaMatemática

7. REGRA DE TRÊS

Chama-se “Regra de Três” a certos problemas nos quais, sendo dados valores de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo três, propôs-se determinar o valor de uma, e somente uma grandeza desconhecida.

Regra prática: O termo que se relaciona com x (termo desconhecido) fica sempre no numerador. Compara-se cada razão com a razão que tem x. A pergunta é para saber qual termo da razão que vai para o numerador. Se a resposta for mais (+), o que vai para o numerador é o maior termo da razão. Se a resposta for menos (-), é o menor.Existem dois tipos de Regra de Três.

1º Regra de Três Simples.Quando envolver apenas duas grandezas.

Ex.:1º Com 4.800kg de farinha de trigo Lúcia fez 8 bolos em sua confeitaria. Quantos bolos inteiros conseguirá fazer com 16.800kg de farinha de trigo, usando a mesma receita (mesmas medidas e mesma forma)?kg Bolos4.800 8

÷ x=2816.800 X

2º Um total de 3.000 insetos destrói uma lavoura em 18 horas. Em quantas horas 3.600 insetos destruiriam a mesma lavoura?

Insetos Tempo3000 18

x=15h3600 x

2. Regra de Três Composta: Quando envolver mais de duas grandezas.Ex.:1º Uma máquina funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia, deveria funcionar, para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?H/D Pregos Dias4 12.000 6

x 20.000 20

2º Vinte e quatro operários fazem

25 de determinado

serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia?

OP ServiçosDias H/D

24

25 10 7

20

35 x 6

x=10⋅24⋅3⋅720⋅2⋅6 x=21dias

EXERCÍCIOS

01. Um aluno resolve passar os quinze dias de seu recesso escolar na casa de um amigo no interior e, para isto, ele leva uma quantidade em dinheiro suficiente para tal período. Chegando à casa do amigo, ele se empolga com as novidades e resolve passar vinte dias e não mais quinze. Como não tem acesso a mais dinheiro, deve fazer uma redução dos gastos para se manter nos cinco dias a mais. Nestas condições, o seu gasto fora reduzido em

(A) 30%(B) 25%(C) 20%(D) 15%(E) 10%

02. Uma família resolve passar 18 dias do verão, na praia de Tamandaré/PE. Para tal, reserva uma quantidade de dinheiro x para a tempo-rada, estimando, assim, uma quantidade de dinheiro por dia. Chegando ao local, decide ampliar a temporada que se estende para 30 dias; nessa condição, o dinheiro gasto por dia fica reduzido em

(A) 70%(B) 60%(C) 50%(D) 40%(E) 30%

03. Um automóvel, com velocidade de 60km/h, percorre 900km em 3 dias, viajando 5 horas por dia. Então, a velocidade média necessária para percorrer 1200 km em 2 dias, viajando 8 horas por dia é de:

(A) 75 km/h(B) 78 km/h(C) 80 km/h(D) 85 km/h


-

+ -

+++ + +

Gabarito01. B 02. A 03. E 04. A 05. E06. D 07. C 08. D 09. A 10. B11. C 12. E

⇒ x=8⋅168004800

⇒ x=18⋅30003600

2h/dx=4⋅20 . 000⋅612 .000⋅20

=


ÉticaMatemática

(E) 88 km/h

04. Para alimentar 12 crianças durante 20 dias são necessários 400Kg de alimentos. Assinale a alternativa abaixo que indica a quantidade de crianças que podem ser alimentadas, durante 24 dias com 600Kg de alimentos.

(A) 13(B) 15(C) 12(D) 6(E) 14

05. Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 36m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60m do mesmo muro, trabalhando 8h por dia?

(A) 22 dias(B) 20 dias(C) 16 dias(D) 18 dias(E) 25 dias06. Se um trem leva 2 minutos para percorrer o

trajeto entre duas estações, o esperado é que outro trem, cuja velocidade média é 80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo trajeto em:

(A) 2 minutos e 40 segundos.(B) 2 minutos e 30 segundos.(C) 2 minutos e 20 segundos.(D) 2 minutos e 15 segundos.(E) 2 minutos e 5 segundos.

07. Numa gráfica, 7 máquinas do mesmo rendi-mento imprimem 50.000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas maquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas farão o mesmo serviço em

(A) 3 horas e 10 minutos(B) 3 horas(C) 2 horas e 55 minutos(D) 2 horas e 50 minutos(E) 2 horas e 48 minutos

08. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, operando 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria

(A) 1000(B) 2000(C) 4000(D) 5000(E) 8000

09. Um motor de avião consome 450 litros de gasolina em duas horas de vôo, quando funciona a 3.000 rotações por minuto, na altitude de 2.500 metros. Sabendo-se que quanto maior é a altitude, maior é o consumo, em uma hora de vôo a 3.000 metros de altura, funcionando a 4.500 rotações por minutos, o consumo será de

(A) 405 litros

(B) 540 litros(C) 1.000 litros(D) 500 litros(E) 300 litros

10. Em um plantão de 4 horas, 5 médicos aten-dem 40 pacientes. Supondo que os médicos gastam o mesmo tempo para atender um paciente e que o plantão passou a ser de 6 horas, o número de médicos necessários para atender 60 pacientes é igual a

(A) 7(B) 5(C) 6(D) 8(E) 4

Gabarito01. B 02. D 03. A 04. B 05. E06. B 07. E 08. C 09. A 10. B

8. PORCENTAGEM

1. Razão Centesimal é a razão cujo conseqüente é igual a 100.

Ex.:

30100

15100

2. Taxa Percentual é a taxa equivalente à razão centesimal

Ex.:

15100

= 15% 27100

= 27%

3. Transformação de Porcentagem em Fração Irredutível

Ex.: 25% =

25100

=14 40% =

40100

=25

50% =

50100

=12

4. Transformação de Fração Irredutível em Porcentagem

Ex.:

15=20 % 3

4=75 % 5

2=250 %

5. Percentual de uma Quantidade

Exercício. Calcule 45% de 1600

x=45⋅1600100

=720

Exercício. Calcule 20% dos 30% dos 40% dos 50% de 6000

20100

⋅30100

⋅40100

⋅50100

⋅6000=72



ÉticaMatemática

6. Fator de Aumento (100% + i);i taxa percentual.

Exercício. O preço de uma calça é de R$ 80,00. Se ela sofresse um reajuste de 25% qual seria seu novo preço?

x=125⋅80100

= 100 ,00

7. Fator de Desconto (ou Redução)(100% - i)

Exercício. O preço de um rádio é R$ 150,00. Quanto devo pagar por esse rádio se o vendedor concedeu-me um desconto de 20%?

x=80⋅150100

=120

8. Aumentos Sucessivos (1 + i1) (1 + i2) (1 + in) – 1

Exercício. Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% no primeiro mês e, no mês seguinte, um novo aumento de 40%. Qual foi o aumento acumulado nesses dois meses?

100 aum . 20 %+20

120 aum . 40 %+48

=168

Aumento = 68%

Exercício. Três aumentos consecutivos de 20%, 25% e 30% correspondem a um único aumento de:

100 aum . 20 %+20

120 aum . 25 %+30

=150 aum . 30 %+45

=195

Aumento = 95%

9. Descontos Sucessivos 1 – (1 – i1 (1 – i2) (1 – i3) (1 – in)

Exercício. Dando-se um desconto de 20% e, em seguida, outro de 40%. Qual será o desconto total acumulado?

100 desc . 20 %−20

=80 desc . 40 %−32

=48

Desconto = 52%

Exercício. Três descontos consecutivos de 20%, 25% e 30% equivalem a um só desconto de:

100 desc . 20 %−20

=80 desc . 25 %−20

=60 desc . 30 %−18

=42

Desconto = 58%

EXERCÍCIOS

01. Num supermercado, um produto foi posto em promoção com 20% de desconto sobre o seu preço de tabela, por um período de 5 dias. Concluído esse período, o preço promocional foi elevado em 10%. Com esse aumento, o desconto em relação ao preço de tabela passou a ser

(A) 8% (D) 15%(B) 10% (E) 15%(C) 12%

02. Depois de dois descontos sucessivos de 4% e de 5%, uma mercadoria passou a custar R$ 27,36. Qual era o valor de mercadoria, antes de serem aplicados os descontos?

(A) R$ 30,80(B) R$ 30,60(C) R$ 30,40(D) R$ 30,20(E) R$ 30,00

03. Se Ana ganha 25% a mais que Beatriz, Carla 25% a menos que Ana, e a diferença entre os salários de Ana e Carla são de R$ 1.250,00, quanto ganha Beatriz?

(A) R$ 3.200,00(B) R4 3.400,00(C) R$ 3.600,00(D) R$ 3.800,00(E) R$ 4.000,00

04. Na eleição para prefeito de uma cidade, os candidatos A e B foram para o 2º turno. Em uma pesquisa de opinião sobre intenção de voto no segundo turno da eleição, uma amostra de eleitores revelou que

360 votariam no candidato A 480 votariam no candidato B e eram contra a lei. 44% dos eleitores estavam indecisos.



ÉticaMatemática

A porcentagem de eleitores que votariam no candidato A, em relação ao total de entrevistados, foi

(A) 21% (D) 23%(B) 22% (E) 25%(C) 24%

05. Numa turma mista de certo colégio, 40 estu-dantes inscreveram-se para uma excursão. No dia da viagem, faltaram 25% dos rapazes, diminuindo para 36 o número de estudantes presentes para a viagem. Assim, é correto afirmar que, dentre os inscritos, viajaram:

(A) 15 rapazes(B) 14 rapazes(C) 13 rapazes(D) 12 rapazes(E) 11 rapazes

06. O preço de venda de um eletrodoméstico é de R$ 700,00. Sabendo que o ganho é de 40% sobre o preço do custo do eletrodoméstico. O valor do preço de custo é:

(A) R$ 350,00(B) R$ 400,00(C) R$ 500,00(D) R$ 550,00(E) R$ 600,00

07. Em um relatório sobre as atividades desenvo-lvidas em um dado mês pelos funcionários lotados em certa estação do Metrô, foi registrado que:

- 25% do total de funcionários eram do sexo feminino e que, destes, 45% haviam cumprido horas-extras;

- 60% do número de funcionários do sexo masculino cumpriram horas-extras;

- 70 funcionários não cumpriram horas-extras.

Com base nessas informações, nesse mês, o total de funcionários lotados em tal estação era:

(A) 120 (D) 180(B) 150 (E) 190(C) 160

08. O salário de um profissional da Empresa Pernambuco S/A é reajustado semestral-mente. No primeiro semestre de 2003, o aumento salarial foi de 10%, e, no segundo semestre do mesmo ano, foi de 22%. O percentual de aumento salarial do citado profissional, no ano de 2003, foi de

(A) 32,2%(B) 33,2%(C) 34,0%(D) 32,0%(E) 34,2%

09. Do faturamento anual de uma indústria, 7 milhões de reais foram utilizados para o pagamento dos empregados e para aquisi-ção de matéria prima. Do que sobrou, 25% foram gastos com publicidade, sobrando 3 milhões de reais para outras despesas, incluindo pagamento dos impostos. Nestas

condições, qual o faturamento dessa indús-tria?

(A) 10,0 milhões de reais.(B) 11,0 milhões de reais.(C) 11,5 milhões de reais.(D) 12,0 milhões de reais.(E) 12,5 milhões de reais.

10. Dentre os inscritos num concurso, 60% são homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já têm emprego?

(A) 60%(B) 40%(C) 30%(D) 24%(E) 12%

Gabarito01. C 02. E 03. E 04. C 05. D06. C 07. C 08. E 09. B 10. A9. MÉDIAS

1. Média Aritmética

É o quociente entre a soma dos termos e o número de termos.

MA =

a1+a2+a3+. . .+ann

Ex.: Calcule a média aritmética dos números 3,5 e 7.

2. Média Ponderada

É o quociente da soma do produto dos termos por seus respectivos pesos e a soma dos pesos.

MP =

a1⋅p1+a2⋅p2+a3⋅p3+. ..+an⋅pnp1+ p2+p3+. ..+ pn

Ex.: Numa equipe de futebol temos três jogadores com 21 anos, 4 com 22 anos, 2 com 24 anos e 2 com 27 anos. Qual a idade média dos jogadores dessa equipe?

Ex.: Um copo de suco de limão custa R$3,40 e um copo de água custa R$ 0,40. Misturam-se 10 copos



ÉticaMatemática

de suco de limão e 20 copos de água. Quanto custará o copo dessa limonada?


01. A média aritmética de um conjunto de 11 números é 45. Se o número 8 for retirado do conjunto, a média aritmética dos números restantes será:

(A) 48,7(B) 48(C) 47,5(D) 42(E) 41,5

02. A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a média aritmética dos restantes será:

(A) 7 (D) 17(B) 10 (E) 18(C) 12

03. Numa turma com igual número de moças e rapazes foi aplicada uma prova de Mate-mática. A média aritmética das notas das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a média aritmética das notas de toda a turma nesta prova?

(A) 7(B) 8,9(C) 9(D) 9,1(E) 9,2

04. Aplicou-se um teste aos alunos de uma disciplina ao qual compareceram 180 alunos foram distribuídos em 3 turmas com 55, 60 e 65 estudantes, e que as médias aritméticas das notas obtidas, em cada uma das turmas, foram 5,2, 6,6 e 6,8, respectivamente, indique qual foi a média das notas do referido teste:

(A) 6,12(B) 6,16

(C) 6,20(D) 6,24(E) 6,28

05. As bebidas L, V, R possuem teor alcoólico de 24%, 44% e 36%, respectivamente. Qual o teor alcoólico de um coquetel consistindo de 50 ml de L, 25 ml de V, 25 ml de R e 100 ml de água?

(A) 15% (D) 17%(B) 20% (E) 19%(C) 16%

06. No concurso para cabo de uma Instituição Militar, o candidato é submetido a 4 avalia-ções: Matemática e Português com peso 2,0, Avaliação Física com peso 3,0 e Conhe-cimentos Específicos com peso 1,0. O soldado Marcelo se submeteu ao concurso e obteve os seguintes resultados:

Português: Nota 5,0Matemática: Nota 8,0Avaliação Física: Nota 3,0Conhecimentos Específicos: Nota 5,0

A média ponderada do soldado Marcelo, no concurso, foi de

(A) 4,0 (D) 5,5 (B) 5,0 (E) 3,8(C) 4,5

07. A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advogados é 40 anos. A média aritmética das idades dos médicos é 35 anos e a dos advogados é 50 anos. Pode-se, então, afirmar que:

(A) O número de advogados é o dobro do número de médicos no grupo.

(B) O número de médicos é o dobro do número de advogados no grupo.

(C) Há um médico a mais no grupo.(D) Há um advogado a mais no grupo. Existem as

mesmas quantidades de médicos e advogados no grupo.

(E) Existem as mesmas quantidades de médicos e advogados no grupo.

08. Um automobilista desenvolve as velocidades seguintes:

75 km/h durante 2 horas80 km/h durante 3 horas90 km/h durante 1 hora

A velocidade média alcançada foi de:(A) 85 km/h(B) 70 km/h(C) 90 km/h(D) 80 km/h(E) 82 km/h

09. A prova de um concurso é formada pelas disciplinas Português, Matemática, Informá-tica e Administração, que têm pesos respec-



ÉticaMatemática

tivos 1,5; 2,0; 2,5 e 4,0. Se um candidato obteve média ponderada 7,1 e suas notas respectivas em Português, Matemática e Informática foram 7,0; 8,0 e 9,0, qual foi a nota do candidato em Administração?

(A) 5,4 (D) 5,7(B) 5,5 (E) 5,8(C) 5,6

10. Em uma repartição, trabalham seis mulheres e quatro homens. A média das idades das mulheres é de 45 anos, e a média das idades dos homens é de 40 anos. Qual a média das idades dos trabalhadores da repartição?

(A) 42 anos(B) 43 anos(C) 44 anos(D) 45 anos(E) 46 anos

Gabarito01. A 02. A 03. C 04. D 05. C06. B 07. B 08. D 09. B 10. B

10. JUROS SIMPLES

JurosPode-se dizer que juros é uma compensação ou

prêmio que se recebe quando se empresta uma quantia, por certo tempo, a alguém. Na Matemática temos, basicamente, dois tipos de juros: os Simples e os Compostos. Neste capítulo estudaremos os Juros Simples.

Juros Simples (Fórmulas)Para trabalhar as questões de Juros Simples

devemos aplicar as seguintes fórmulas:

J=C⋅i⋅t100 e M=C+J

J Juros M MontanteC Capital C Capitali taxa J Jurost tempo

Ex.: Calcular os juros (simples) produzidos pelo capital de R$ 1.500,00 à taxa de 20% ao ano, em 3 anos.

Solução: pelos dados do problema, temos: C=1 .500, i=20 % , t=3 anos. Aplicando direto na fórmula, vem:

J=C⋅i⋅t100

=1 .500⋅20⋅3100

=15⋅20⋅3=900⇒ J=900, ou seja,

os juros simples serão de R$ 900,00.

Ex.: Voltando ao exemplo anterior, quanto dará o montante daquela aplicação? Em outras palavras, quanto você retiraria do banco, caso se tratasse de uma poupança?

Solução: basta aplicar diretamente na fórmula do montante:

M=C+J⇒M=1 .500+900⇒M=2. 400 .

Ex.: Qual o capital que, aplicado a 40% ao ano, rende, em 4 anos, juros de R$ 2.000,00?

Solução:

J=C⋅i⋅t100

⇒2 .000=C⋅40⋅4100

⇒

2 .000=C⋅1610

⇒16⋅C=20. 000⇒C=1 . 250

O capital aplicado foi de R$ 1.250

EXERCÍCÍOS COMPLEMENTARES

01. (B.B) Um capital de R$ 100.000,00 rendeu R$ 10.800,00 de juros, em 90 dias. Quanto renderia em 12 meses, a uma taxa mensal 0,1% maior que a primeira?

(A) R$ 26.400,00(B) R$ 42.000,00(C) R$ 44.400,00(D) R$ 55.200,00(E) R$ 79.200,00

02. Carlos Eduardo colocou metade do seu capital a 5% a.m. e a outra metade a 8% a.m., durante 2 meses, obtendo um rendimento de R$ 26.000,00. Determinar o capital total.

(A) R$ 100.000,00(B) R$ 150.000,00(C) R$ 200.000,00(D) R$ 250.000,00(E) R$ 180.000,00

03. (CEF) Um capital qualquer, empregado a juros simples de 10,5% a.m., produzirá um rendi-mento igual a 70% do seu próprio valor, se ficar aplicado durante:

(A) 140 dias.(B) 175 dias.(C) 180 dias.(D) 200 dias.(E) 210 dias.

04. (B.B) Em quantos meses um capital duplica de valor à taxa de 60% a.a.?

(A) 10(B) 15(C) 18(D) 20(E) 25



ÉticaMatemática

05. (C.E.F) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1000,00 ou em duas parcela, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

(A) 6%(B) 5%(C) 4%(D) 3%(E) 2%

06. Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12.800,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14.400,00 esse capital deve ficar aplicado por um período de:

(A) 8 meses.(B) 10 meses.(C) 1 ano e 2 meses.(D) 1 ano e 5 meses.(E) 1 ano e 8 meses.

07. (CEF) Um capital foi aplicado a juros simples, e ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 75 de seu valor. A taxa mensal dessa aplica-ção foi de:

(A) 2%(B) 2,2%(C) 2,5%(D) 2,6%(E) 2,8%

08. Três oitavos de um capital foram empregados a 6% a.a. e o restante a 12% a.a.. No final de um ano obteve-se um total de R$ 975,00, de juros. O capital empregado foi de:

(A) R$ 10.000,00(B) R$ 9.000,00(C) R$ 8.500,00(D) R$ 8.000,00(E) R$ 7.000,00

09. Paulo resolveu aplicar uma parte de seu salário a juros simples de 2,1% ao mês. Qual foi o valor aplicado, sabendo que ele recebe no final de 1 ano e 3 meses, juros de R$ 472,50?

(A) R$ 1.464,75(B) R$ 1.730,70(C) R$ 1.150,00(D) R$ 1.730,00(E) R$ 1.500,00

10. Um capital aplicado a juros simples triplica em 3 anos e 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples correspondente?

(A) 10%(B) 8%(C) 2,5%(D) 5%

(E) 7,5%

Gabarito01. C 02. C 03. D 04. D 05. B06. B 07. C 08. A 09. E 10. D11. JUROS COMPOSTOS

Determinado capital está submetido ao regime de juros compostos, quando no final de cada período de capitalização, os rendimentos do período são incor-porados ao capital, gerando um montante (M = C + J), que se transforma em novo capital, que será a base para o cálculo do período seguinte; este processo se repete até o final do último período.

Obs.: No sistema de capitalização simples os juros de cada período são calculados sempre com base no capital inicial.

Na solução de problemas de juros compostos, devemos observar o seguinte:

1) Quando a questão não indicar o período de capitalização, será utilizado aquele ao qual se refere à taxa.

2) A taxa e o período de capitalização devem, rigorosamente, estar na mesma unidade.

3) Trabalharemos sempre com a taxa na forma unitária.

Ex.: 20% =

20100 = 0,2

Comparação entre os regimes de juros simples e juros compostos.

Suponha a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.m., no fim de 4m, com capitalização mensal.

C = R$ 1000,00

i = 10% =

10100 = 0,1

n = 4m n = 4



ÉticaMatemática

Juros Simplesn Juros por período Montante1 1000 x 0,1 = 100 11002 1000 x 0,1 = 100 12003 1000 x 0,1 = 100 13004 1000 x 0,1 = 100 1400

Juros Compostosn Juros por período Montante1 1000 x 0,1 = 100 11002 1100 x 0,1 = 110 12103 1210 x 0,1 = 121 13314 1331 x 0,1 = 133,10 1.464,10

Obs.: n = 1 MC = MS n > 1 MC > MS o < n < 1 MC < MS

Gráficos do Montante

Juros Simples Juros Compostos M = C + Cin M = C (1 + i)n

Cálculo do Montante em Juros CompostosM1 = C(1 + i)M2 = M1.(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2

M3 = M2.(1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3

M4 = M3.(1 + i) = C(1 + i)3 . (1 + i) = C(1 + i)4

M = C(1 + i)n

(1 + i)n, é chamado de fator de acumulação de capital.

Obs.: Se n for superior a 5, devemos resolver com auxílio de: TABELAS FINANCEIRAS.


01. Calcular o Montante que aplicado a juros compostos de 6% a.a., capitalizados semestralmente durante 1 ano e 6 meses atingirá um capital de R$ 200.000,00.

C = R$ 200.000,00i = 6% a.a. = 3% a.s.n = 1a 6m n = 3

M = ?M = C(1 + i)n

M = 200.000 (1 + 0,03)3

M = 200.000 (1,03)3

M = 200.000 x 1,0927 M = R$ 218.540,00

02. Calcular o capital que aplicado a juros compostos, capitalizados bimestralmente a taxa de 12% a.a. durante 8 meses, produziu um montante de R$ 108.240,00.

C = ?

i = 12% a.a. =

126 = 2% a.b.

n = 8 m n = 4 bim.

M = R$ 108.240,00M = C(1 + i)n

108.240 = C(1 + 0,02)4

108.240 = C(1,02)4

108.240 = C x 1,0824

C =

108 .2401 ,0824 C = R$ 100.000,00

03. Um banco remunera mensalmente as aplica-ções, incorporando os juros obtidos ao investimento. O valor de certa aplicação aumentou 21% em 2 meses. Assinale, em percentagem, a taxa mensal de juros com que o banco opera?

M = 121% C.n = 2M = C(1 + i)n

121%C = C(1 + i)2

121C100 = C (1 + i)2

1 + i = √121100 1 + i =

1110 1 + i = 1,1

i = 1,1 – 1 0,1

i = 10% a.m

04. Um montante de R$ 3.600,00 foi resultado de uma aplicação de R$ 2.500,00 à taxa efetiva mensal de 20%. Quantos períodos mensais durou essa aplicação?

M = R$ 3.600,00C = R$ 2.500,00i = 20% a.m = 0,2n = ?3600 = 2500 (1 + 0,2)n

3625 = (1,2)n 1,2n = 1,44 1,2n = 1,22

n = 2



ÉticaMatemática


01. No regime de juros compostos, após um ano de aplicação a uma taxa de 10% ao semestre obteve-se um montante de R$ 8.470,00. Qual foi o capital aplicado?

(A) R$ 6.500,00(B) R$ 7.500,00(C) R$ 8.000,00(D) R$ 8.500,00(E) R$ 7.000,00

02. Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compos-tos, rendendo 7% a cada bimestre quanto teremos após 3 anos?

(A) R$ 25.000,00 x (1,70)6

(B) R$ 25.000,00 x (1,07)18

(C) R$ 25.000,00 x (0,93)3

(D) R$ 25.000,00 x (1,70)3

(E) R$ 25.000,00 x (0,07)18

03. Se desejo comprar um apartamento no valor de R$ 600.000,00, quanto devo aplicar hoje, num investimento cuja rentabilidade é de 10% a.s., para que possa efetuar a compra daqui a 2 anos?

(A) R$ 409.808,10(B) R$ 419.808,10(C) R$ 429.808,10(D) R$ 432.808,10(E) R$ 439.808,10

04. Uma pessoa recebe uma proposta de invés-timento para hoje, quando uma quantia de R$ 200,00 fará com que, no final do segundo ano, o valor do montante seja R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa de rentabilidade anual desse investimento é: de:

(A) 5% (D) 12,5%(B) 7,5% (E) 15%(C) 10%

05. Num regime de capitalização composta o montante M, resultante da aplicação de um capital C, à taxa percentual i, por n período, é dado pela lei M = C(1 + i)n. Assim, dados, M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela expressão:

(A) i = ( n+CC )

(B) i = (MC )

1n

(C) i = (M−CC )

1n

(D) i =

M1n−C

1n

C1n

(E) i =

M n−Cn

Cn06. Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juros

simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% a.m. ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de:

(A) R$ 560,00(B) R$ 585,70(C) R$ 593,00(D) R$ 616,00(E) R$ 617,40

07. Um técnico judiciário aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, à taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicação é:

(A) R$ 333,00(B) R$ 326,22(C) R$ 334,18(D) R$ 324,00(E) R$ 315,00

08. Um investidor aplicou R$ 10.000,00, por 2 anos, à taxa de juros compostos anuais de 10%. Com base no texto, é correto afirmar que, ao final do período de 2 anos, o juro obtido nesse investimento foi:

(A) superior a R$ 1.300,00 e inferior a R$ 1.600,00.(B) superior a R$ 1.600,00 e inferior a R$ 1.900,00.(C) superior a R$ 1.900,00 e inferior a R$ 2.200,00.(D) superior a R$ 2.200,00.(E) inferior a R$ 1.300,00.

09. Um cartão de crédito cobra juros cumulativos de 14% ao mês. Em quantos anos, um débito de R$ 1,00 neste cartão se transforma em uma dívida de R$ 12. 500,00?



ÉticaMatemática

Dado: use a aproximação 1,1472

≈ 12.500(A) 10 anos(B) 9 anos(C) 8 anos(D) 7 anos(E) 6 anos

10. O setor de cultivo de flores no Brasil cresceu 20% ao ano, cumulativamente, em relação ao ano anterior, desde 1996. Qual foi o crescimento percentual total deste setor nos 14 anos, de 1996 a 2010?

Dado: use a aproximação 1,214

≈ 12,84.(A) 1284%(B) 1184%(C) 280%(D) 128,4%(E) 118,4%

Gabarito01. E 02. B 03. A 04. C 05. D06. E 07. C 08. C 09. E 10. B


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