MATEMATICA-MOD04-VOL02

MATEMTICAe suas TECNOLOGIAS

Volume 1 Mdulo 4 Matemtica

Professor

GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Governador

Sergio Cabral

Vice-Governador

Luiz Fernando de Souza Pezo

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAO

Secretrio de Educao

Wilson Risolia

Chefe de Gabinete

Srgio Mendes

Secretrio Executivo

Amaury Perlingeiro

Subsecretaria de Gesto do Ensino

Antnio Jos Vieira De Paiva Neto

Superintendncia pedaggica

Claudia Raybolt

Coordenadora de Educao de Jovens e adulto

Rosana M.N. Mendes

SECRETARIA DE ESTADO DE CINCIA E TECNOLOGIA

Secretrio de Estado

Gustavo Reis Ferreira

FUNDAO CECIERJ

Presidente

Carlos Eduardo Bielschowsky

PRODUO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)

Diretoria Adjunta de ExtensoElizabeth Ramalho Soares Bastos

Coordenadora de Formao ContinuadaCarmen Granja da Silva

Diretoria Adjunta de Material DidticoCristine Costa Barreto

Coordenadores de MatemticaAgnaldo Esquincalha

Filipe IorioGisela Pinto

Wallace Vallory Nunes

ElaboraoAndr Luiz Cordeiro dos Santos

Andr Luiz Martins PereiraAndr Luiz Silva

Cleber Dias da Costa NetoCleber Fernandes

rika Silos de Castro (coordenao)Gabriela dos Santos Barbosa

Heitor Barbosa Lima de Oliveira Josemeri Araujo Silva Rocha

Luciana Felix da Costa SantosLuciane de Paiva Moura Coutinho

Patrcia Nunes da SilvaRenata Cardoso P. de Abreu

Telma Alves

Reviso de Lngua PortuguesaPaulo Cesar Alves

Coordenao de Desenvolvimento Instrucional

Flvia BusnardoPaulo Vasques de Miranda

Desenvolvimento InstrucionalJuliana Bezerra da Silva

Coordenao de ProduoFbio Rapello Alencar

Projeto Grfico e CapaAndreia Villar

Imagem da Capa e da Abertura das Unidadeshttp://www.sxc.hu/photo/475767

DiagramaoAlexandre d' OliveiraAlessandra Nogueira

Andr GuimaresAndreia VillarBianca LimaBruno Cruz

Carlos Eduardo VazJuliana Fernandes

IlustraoBianca Giacomelli

Clara GomesFernando RomeiroJefferson Caador

Sami Souza

Produo GrficaVernica Paranhos

SumrioUnidade 1 Anlise Combinatria 1 5

Unidade 2 Probabilidade 1 35

Unidade 3 Estatstica: Tabelas e Grficos 73

Unidade 4 Polinmios e Equaes Algbricas 117

Unidade 5 Geometria Analtica 1 143

Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 5

Volume 1 Mdulo 4 Matemtica Unidade 1

Anlise Combinatria 1 Andr Luiz Cordeiro dos Santos, Gabriela dos Santos Barbosa, Josemeri Araujo Silva

Rocha (coordenadora) e Luciane de Paiva Moura Coutinho

Introduo A parte inicial da unidade 1 do material do aluno traz situaes cotidianas

que envolvem o conceito de Anlise Combinatria. So usados como exemplos

as possibilidades de criao de senhas, de escolha de roupas, os possveis resulta-

dos de um lanamento de dados, etc.

Com o intuito de ampliar as opes de explorao do tema em suas aulas,

preparamos para voc um material complementar. A ideia que os recursos e

atividades apresentados sejam utilizados para enriquecer a abordagem dos obje-

tivos do mdulo do aluno, que reapresentamos a seguir:

Calcularofatorialdenmerosnaturais;

Utilizaroprincpiofundamentaldacontagem;

Calcularpermutaosimples;

A nossa sugesto que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma

atividade disparadora e, para isso, trazemos quatro propostas. Na atividade Mu-

dando o celular, os alunos lero dois textos relacionados ao acrscimo de um

dgitononmerodecelulare,emseguida,faroumacorrelaoentreesseas-

sunto e o tema Anlise Combinatria. J na atividade Caixeiro viajante, os alunos

ouviro um udio relacionado ao problema do caixeiro viajante e devero orde-

narpercursospossveisparatrscidadesfictcias.AatividadeAcartomante,co-

mea com os alunos assistindo a um vdeo em que uma cartomante usa a anlise

combinatriaparaexplicarseuofciosobrinha.Emseguida,elesdeverofazer

umasntese,destacandoasprincipaiscaractersticasediferenasentrearranjo,

permutaoe fatorial.Almdisso,htambmaatividadeJogocombinatrio,

emqueosalunosfaro,demaneiraintuitiva,atividadesonlinerelacionadasaos

conceitosdearranjo,permutaoecombinao.Escrevemos,ainda,aatividade

ApresentandoahistriadaAnliseCombinatria,queconvidaosalunosafaze-

rem uma apresentao no Power Point a partir de uma pesquisa sobre a histria

da Anlise Combinatria.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

6Para dar sequncia ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns recursos complementares, tambm vin-

culadosaocontedodomaterialdidticodoaluno.Sugerimosquesejamutilizadosnasaulassubsequentesaula

inicial,deacordocomarealidadedasuaturma.muitoimportantequevocfaaalteraeseadaptaesnestes

recursos sempre que julg-las necessrias.

Aseo1contempladapelaatividadeDemalasprontas,elaboradaapartirdeumvdeoquemostraumfun-

cionrio de uma empresa area utilizando conceitos combinatrios para ajudar Raquel a colocar suas roupas na mala.

Temos, tambm, a atividade Memria dos Fatoriais, cuja ideia central a mesma do jogo da memria tradicional.

Porm,ascartasqueformamparesnosoasidnticas,masasquecorrespondemadiferentesrepresentaespara

expressesnumricasenvolvendofatoriais.

Para a seo 2, propomos a atividade O princpio multiplicativo e os modos de se vestir,que permite a resoluo

deproblemasrelacionadosaoprincpiomultiplicativoeaatividadeUmaencenaoparaoprincpiomultiplicativo,em

que os alunos so convidados a escrever e a encenar uma pea de teatro que envolva a tomada de decises sucessivas

e a contagem das maneiras como isso pode se dar.

Naseo3,temosaatividadeFotografandopermutaes,queconvidaosalunosarefletirsobreasdiversas

maneirasqueumgrupode5pessoastemdeseorganizarparatirarumafotografialadoalado.Temostambmaati-

vidade As permutaes num passeio de automvel pelo Rio, onde os alunos podero vivenciar as vrias maneiras de

que um grupo de 5 pessoas dispe para se acomodar num automvel de 5 lugares.

Porfim,aconselhamosquealtimaauladestaunidadesejadivididaemdoismomentos.Oprimeirodedica-

do a uma reviso geral do estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da

retomada de questes que surgiram durante o processo. J o segundo momento consiste numa avaliao do estu-

dante,priorizandoquestionamentosreflexivosquecomplementemasatividadeseexercciosresolvidosduranteas

aulas.

Umadescriodestassugestesestcolocadanastabelasaseguir,eseudetalhamentonotextoquesegue.


Apresentao da unidade do material do aluno

Caroprofessor,apresentamos,abaixo,asprincipaiscaractersticasdestaunidade:

Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemtica 1 4 1 4 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Anlise Combinatria 1 Anlise Combinatria

Objetivos da unidade

Calcularofatorialdenmerosnaturais

Utilizaroprincpiofundamentaldacontagem

Calcular permutao simples

SeesPginas no material do

aluno

Para incio de conversa... 5 e 7

Seo1Fatorialdeumnmero 7 a 9

Seo 2 Princpio Fundamental da Contagem 9 a 18

Seo 3 Permutao simples 18 a 21

Resumindo 21

Veja ainda... 22

O que perguntam por a? 25 a 26

Emseguida,serooferecidasasatividadesparapotencializarotrabalhoemsaladeaula.Verifiqueacorrespon-

dnciadiretaentrecadaseodoMaterialdoAlunoeoMaterialdoProfessor.

Serumconjuntodepossibilidadesparavoc,caroprofessor.

Vamos l!

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Paradarsuportesaulas,seguemosrecursos,ferramentaseideiasnoMaterialdoProfessor,correspondentes

8Unidadeacima:

Atividades em grupo ou individuais

Soatividadesquesofeitascomrecursossimplesdisponveis.

Ferramentas

Atividadesqueprecisamdeferramentasdisponveisparaosalunos.

Applets

So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponveis

para os alunos.

Avaliao

Questesoupropostasdeavaliaoconformeorientao.

Exerccios

Proposies de exerccios complementares


Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio

Descrio SucintaDiviso da

TurmaTempo

Estimado

Mudando o

celular

Computador

com Datashow

eacesso

internet

Os alunos lero dois tex-

tos relacionados ao tema

Acrscimo de um dgito no

nmerodecelulare,emse-

guida,faroumacorrelao

entre esse assunto e o tema

Anlise Combinatria

Grupos de 4

alunos40 minutos

Aspectos operacionais

Professor,projeteparaaturmaostextosqueestonosendereosaseguir.Peaparaqueseusalunosoleiam.

Sugerimos uma leitura coletiva, onde cada aluno pode ler uma parte do texto.Os endereos so http://www.anatel.

gov.br/Portal/exibirPortalNoticias.do?acao=carregaNoticia&codigo=27685e http://www.brasil.gov.br/infraestrutu-

ra/2012/07/acrescimo-de-um-digito-em-numeros-de-celulares-de-sao-paulo-vai-dobrar-capacidade

Apsaleitura,peaaseusalunosparadestacaremnostextosapresentadosostrechosondeidentificarama

presenadetemasrelacionadosanlisecombinatria.

Aspectos pedaggicos

Professor,essaatividadetemtrsobjetivos.OprimeiroabordaroassuntoAnliseCombinatriademaneirain-

trodutria e correlacionada ao cotidiano. O segundo ressaltar a importncia da leitura de jornais, revistas, reportagens

eminternet,etc.,mostrandoqueoincentivo,oresgateeoestmuloleituranodevemserestringirsmatriasdelin-

guagens e cdigos,mas ocupar um espao de destaque tambm nas matrias de cincias exatas e da natureza. A leitura

de textos dirios, de certo, permite ressaltar de maneira natural a relao entre a Matemtica e os assuntos do cotidiano.

Outroobjetivodessaatividadefazercomqueosalunosconsigamperceber,nostextosdados,aanlisecom-

binatriaentrelaadacomumassuntocorriqueiro.importanteverificarseaturma,apsaleitura,conseguiuperce-

berqueainclusodeumnovodgitovaiajudararesolveroproblema,umavezquegerarumagamadenovosn-

meros. Caso os alunos no consigam perceber essa situao, tente dar exemplos, como o que apresentamos a seguir:

Imagineonmerofictcio84567867.Comanovadeterminaoeleviraria98456-7867,oque,aparente-

mente,nogerarianovasalternativas. Masalerteaosalunosque,aoadicionaronmero9comoprimeirodgito,

10

poderemosgeraronmero93546-7810,queseriaaversonovadonmero35467810,caractersticodeumalinha

fixa.Amesmacoisavaleriaparaosnmerosquecomeassempor2,4e5.Vocpodepediraosalunosquepensem,

apartirdotexto2,emoutrosexemplosdenmerosqueestariamimpossibilitadosdeseremusadoseque,comessa

mudana,ficariamdisponveisparaautilizao.

Nessemomento,noconvenientequesefaaoclculoparasaberonmerodetelefonesamaisquepo-

dero ser gerados com esse acrscimo. Voc pode pedir apenas para que os alunos imaginem ou tentem criar alter-

nativas para chegar ao resultado, deixando o clculo em aberto e retornando a esse assunto nas sees posteriores.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Caixeiro

viajante

Computador

com Datashow

eacesso

internet

Os alunos ouviro um udio

relacionado ao problema

docaixeiroviajante.Emse-

guida, eles devero ordenar

percursos possveis para 3

cidadesfictcias

Grupos de 4

alunos40 minutos


Professor,primeiramente reproduzaoudiodisponvel emhttp://www.uff.br/sintoniamatematica/grandestemase-

problemas/grandestemaseproblemas-html/audio-caixeiro-br.html. Pea, ento, para que os alunos se dividam em grupos.

Emseguida,peaparaquecadagrupocrie3cidadesfictcias,listeeordeneasmaneiraspossveisdepercorr-las.

Aspectos pedaggicos

Professor,osalunossempresesentemmuitomotivadosquandorelacionamosoestudodaMatemticaagran-

destemaseproblemas,mesmoaquelesqueaindanoforamresolvidos.Quemsabe,comessanossaatividade,estare-

mosestimulandograndestalentos,comoomatemticoAndrewWiles?Wiles,queresolveuoltimoTeoremadeFermat,

foiapresentadoaoproblemaquandoaindaestavanaescolae,apesardemuitojovem,fezdaresoluodesseproblema

um objetivo de vida.Caso a turma se interesse, que tal propor um seminrio abordando esses temas interessantes? Voc

podeencontrarmaisalgunstemasemhttp://www.uff.br/sintoniamatematica/grandestemaseproblemas/grandestema-

seproblemas-html/grandestemaseproblemas-br.html ou recomendar ainda a leitura de O ltimo Teorema de Fermat,

escritoporSimonSinghepublicadopelaEditoraRecord.


EmrelaoAnliseCombinatria,nesteproblemaintrodutrio,podemosfazerumapermutaosimplesainda

demaneiraintuitiva,semanecessidadededefinirpermutaoouaapresentaodefrmulas.Essaformaderesoluo

prvia de um problema sem a apresentao da metodologia tradicionalpermite ao aluno criar suas prprias estratgias.

Issoajuda-emuito!-adesmistificaroassunto.

importanteverificar seos alunos, ao criaremas cidades fictciasA,BeC, conseguirammontaros6

seguintes percursos:

A-BC,A-C-B,B-AC,B-CA,C-ABeC-B-A.

Comoestratgia,vocpodemontarumarvoredepossibilidadesparafacilitaravisualizaodoresul-

tado pela turma.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

A cartomante

Computador

com Datashow

eacesso

internet.

Os alunos assistiro a um

vdeo em que uma cartoman-

te usa a anlise combinatria

para explicar sua atividade

sobrinha.Emseguida,os

alunosdeverofazerumasn-

tese destacando as principais

caractersticasediferenas

entre os conceitos depermu-

tao, arranjo e combinao

Grupos de 4

alunos40 minutos


Professor,essaatividadesercompostapor3etapas:

1a etapa: Primeiramente, exiba o vdeo disponvel em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1065.

2aetapa:Apsaexibio,peaparaqueosgruposfaamumabrevesntesesobreosconceitosde:

Permutao;

Arranjo;

Combinao

12

Assntesesdevemdestacarasprincipaisdiferenasentreastrssituaeseoscasosemquepodemosutiliz-las.

3aetapa:Porfim,peaparaquecadagrupoapresenteparaaturmaasdefinieselaboradas.

Aspectos pedaggicos

Oobjetivodessaatividadefazercomqueosalunospesquisempreviamenteocontedoqueseraprofun-

dadonasseesseguintes.Dessamaneira,nasfuturasaulas,oaprendizadopoderserrealizadoemparceria,em

vezdeconsistirnumavianicadoprofessorparaoaluno.Almdisso,pretendefacilitaroentendimentodaAnlise

Combinatria de maneira terica.

Por isso, na pesquisa importante que os alunos destaquem:

.Arranjo:Arranjodepelementos,nan,onmerodeconjuntosdenelementosquesepodefazercomosp elementos. Nesses conjuntos, a ordem dos elementos importante. Por exemplo, nas situaes em que 10 corredores disputam o 1o, 2o e 3o lugares.

.Permutao:Permutaodepelementosonmerodearranjosquesepode fazercomessespele-mentos, trocando a ordem deles. Por exemplo, nas situaes em que 3 corredores disputam o 1o, 2o e 3o lugares.

.Combinao:Combinaodepelementos,nan,onmerodeconjuntosdenelementosquesepodefazercomospelementos.Nessasituao,aordemdesseselementosnosconjuntosformadosnoimpor-tante.Porexemplo,formargruposde8estudantesemumaturmade40alunos.

Nessemomento,importantequeosalunoscompreendamasdefiniesdearranjo,permutaoecombina-

onosparaperceberemassemelhanasediferenasentreelas,mastambmparaentenderememquaissitua-

escadaumadelasdeverserutilizada.Nofundamental,pelomenosporenquanto,aapropriaodefrmulas.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Jogo

combinatrio

Computador

com Datashow

eacesso

internet /

Laboratrio de

informtica

Osalunosfaro,demaneira

intuitiva, atividades online

relacionadas a arranjo, per-

mutao e combinao

Duplas ou con-

formeadispo-

nibilidade de

computadores

na escola

40 minutos



Professor,dividaaturmaemduplasouconformeadisponibilidadedecomputadoresdo laboratriode

informticadesuaescola.Casonosejapossvelutilizarolaboratriodesuaescola,projeteasimagensdocom-

putadorcomoDatashowevdiscutindocomaturmaaspossveisrespostasparacadadesafio.Permitaqueeles

faamsuascolocaes,indague-osquantoaoqueestsendoproposto.

Peaparaosalunosacessaremoendereohttp://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedaggicos/Matemtica/

tabid/428/language/pt-BR/Default.aspx

A atividade est dividida em 3 etapas:

1 etapa: Primeiramente, peaparaqueos alunos cliquemna atividade relacionada a arranjo. Em se-

guida,peaparaclicarememAtividadesedepoislevaremocursoratoBancoDindin,clicandosobreaporta.

Agora, basta que eles respondam a questo proposta.

Quantassenhasde3algarismosdistintosvocpoderformarcomosalgarismos0,1,2,3,4?

A dupla ou grupo pode continuar explorando os problemas que surgem pela cidade, clicando em cima

dos pontos sinalizados, como no carro amarelo, por exemplo.

2 etapa:Emseguida,peaparaqueosalunoscliquemnaatividaderelacionadacombinao.Oriente

os alunos a clicarem em Atividades e depois, na seta para comear o jogo. Pea para que os alunos cliquem nos

ciclistas e respondam a questo proposta.

14

Quantasduplasdiferentesvocpoderformarcomumgrupode6ciclistas?

3 etapa:Por fim,peaparaqueosalunoscliquemnaatividaderelacionadapermutao.Orienteos

alunos a clicarem em Atividades e depois na seta para comear o jogo. Pea para que os alunos cliquem na placa

"Pare e respondam a questo proposta.

Quantosanagramassoformadoscomapalavra"Pare"?

Aspectos pedaggicos

As atividades disponveis no endereo que sugerimos permitem a resoluo de problemas relacionados

aarranjo,permutaoecombinaosemautilizaodefrmulas.Issofunciona,novamente,comoumaprvia

docontedoepermitequeosalunossefamiliarizemcomosassuntosdasprximassees,facilitandooenten-

dimento da Anlise Combinatria de maneira prtica.


Essesexercciosfuncionamdemaneirabemldica,umavezquepossvelqueosalunosgerem,na1

atividade, exemplos de senhas de banco.

Alguns exemplos vm explicitados no canto esquerdo e o aluno usar o teclado do jogo para gerar outras

senhas,comofoifeitonoexemploacimaforamgeradas123e401.Quandooalunoencontrararespostaequiser

saber se acertou, s colocar no espao reservado e dar ok.

Jnaatividade2,possvelformarasvriasduplasdeciclistas.

Cadaciclistatemumnmeroquevaide1a6.Aoclicarnosciclistas,osnmerosaparecemnoquadrofor-

mardupla,comonoexemploacima(foramgeradasduplascomosciclistas1e4ecomosciclistas1e2).Quando

oalunosouberoresultado,bastacolocarovalornoquadrodestinadoaonmerodeduplasedarok.Vocpode

aproveitarepedirparaqueosalunospensemeconcluamqueadupla2-1correspondemesmadupla1-2.

16

Porfim,ecriarpossveisplacasaopermutarasletrasna3aatividade.

Nessaatividade,bastaarrastarasletraseorden-lasnanovaplaca.Naimagemusadacomoexemplo,foi

geradaaplacaAERPeestsendogeradaaplacaARPE.Quandooalunosouberoresultado,bastacolocarovalor

no quadro destinado a respostas e dar ok.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Apresentando

a histria

da Anlise

Combinatria

Osalunosfaro

uma apresenta-

o sobre a his-

tria da Anlise

Combinatria

A atividade prope um

jogo de bingo, onde sero

estudadas algumas pro-

priedades e operaes com

logaritmos.

Grupos de 4

alunos40 minutos



Divida a turma em grupos de 4alunos e pea para que cada grupo escolha um dos temas a seguir. Se achar mais

conveniente,faaumsorteio.Ostemaspodemserepetir,dependendodonmerodealunosquevoctemnaturma.

1. Arquimedes

2. Niccolo Tartaglia

3. Girolamo Cardano

4. PierreFermateBlaisePascal

5. Gian Carlo Rota

Emseguida,vparaolaboratriodeinformticadaescolaepeaparaqueosgrupospesquisemdeforma

sucinta a vida e as contribuies desses Matemticos para anlise combinatria.

Pea para que os alunos montem 3 apresentaesnoPower Point com:

Vida

Contribuies para a anlise combinatria

Fontes

Peaparaqueosalunosenviemparaoseuemailasapresentaes.Faaumacorreodoportugusedasinfor-

maesemonteumnicoarquivocomaspesquisas.Faaumslidedeintroduoeumdefinalizao,comasfontes

pesquisadas.Insiratambmumslideosnomesdosalunos(divididosporgrupos)eotemaquecadagrupopesquisou.

Exibao resultado finalparaa turma.Seaescola tiversiteoublog,voctambmpodedisponibilizaro

resultado por l.

AlgunsalunospodemencontrardificuldadesemmontarasapresentaesnoPowerpointporfaltadehabi-

lidadecomosoftware.Nestecaso,paraqueoresultadofinaldaturmasejahomogneo,peaatodosquefaamo

trabalho em cartolina. Organize uma exposio com esse material.

Aspectos pedaggicos

importantequeaspesquisasrealizadaspelosalunosfaamrefernciaaosseguintesaspectos.

A anlise combinatria surge da necessidade de clculos seguros para jogos de azar.

Arquimedes(Grego,287a.C.-212a.C.).ElaborouoStomachion,aparentementeumjogoconstitudodequatorzepeasquedevemserencaixadasparaformarumquadrado.

18

Emdezembrode2003,ohistoriadordeMatemticaRevielNetzpublicouumtrabalhoafirmandoqueoStoma-

chionnoeraummeropassatempo,masumobjetodesenvolvidoporArquimedesparafinsdeAnliseCombinatria.

NiccoloTartaglia(Italiano,1500-1557)foiumdosprimeirosadesenvolverestudossobreonmerodecom-binaespossveisparaumdeterminadofenmeno.Elaborouumatabelacontendoonmerodecombi-naes possveis no lanamento de dois dados.

GirolamoCardano(Italiano,1501-1576)fezestudosimportantessobrejogosdeazar.Almdecontribuircomelementosbsicosaoclculodeprobabilidades,Cardanodesenvolveumaisprofundamenteastcni-cas de contagem de combinaes.

BlaisePascal(Francs,1623-1662)ePierredeFermat(Francs,1601-1665)desenvolveramemseustraba-lhos teorias de contagem que vieram representar as primeiras grandes sistematizaes da Anlise Combi-natria e constituiras bases do estudo probabilidades.

GianCarloRota(ItalianonaturalizadonosEstadosUnidos,1932-1999)ajudouaformalizaroestudodaAnlise Combinatria.

Seo 1FatorialdeumnmeroPginas no material do aluno

7 a 9

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

De malas

prontas

Cpiasdafo-

lha de ativida-

des, compu-

tador com

Datashow e

acessointer-

net, cartolina,

calculadora,

caneta pilot

Os alunos assistiro a um

vdeo, que mostra um

funcionriodeumaempresa

area utilizando conceitos

de anlise combinatria para

ajudarumapassageiraafazer

a mala. Depois de assistir o

vdeo, a turma ir elaborar um

cartazcomclculosfatoriais

Grupos de 4 25 minutos



Exibaovdeodisponvelemhttp://m3.ime.unicamp.br/recursos/1083.Sugiraaosgruposquerealizemosse-

guintesclculosfatoriais.Seacharconveniente,peaqueosalunosutilizemcalculadora,quepodeseradocelular.

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!

Emseguida,peaparaqueaturmaorganizeumcartazcomosclculosrealizadoseexponhaessecartazna

saladeaula.Issofacilitararealizaodosprximosexerccios.

Aspectos pedaggicos

Professor,oclculofatorialimportanteparaoestudodaAnliseCombinatria.Porisso,antesdaatividade,

vocpodecomeardefinindofatorialdeumnmeron,representadoporn!,comooprodutodetodosos inteiros

positivosmenoresouiguaisanefazerumexemploparaaturma.

Exemplo:Calcular12!

12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 479 001 600

Sefornecessrio,faaoutrosexemplos.Emseguida,peaparaosgruposfazeremosclculos.Seencontrarem

dificuldadesnesteprocesso,poderousaracalculadora.

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040

8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320

9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362 880

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800

Mostreaelesque,serespeitaremaordemdada,oclculodeumdadofatorialficarfacilitadopeloclculodo

exemplo anterior.

Naelaboraodocartaz(quepoderserumnicoporturma)peabastantecapricho,umavezquesuaexpo-

sioemsalafacilitarosclculosnecessriosparaaresoluodosproblemasdasprximassees.Aorganizao

docartazpodeserfeitadeacordocomasugestodosalunos,maspossvelsugerirosnmerosdecoresdiferentes

(todosos1comamesmacor,os2comoutracor,etc)eosresultadosempreto.Seronecessrias11coresdistintas.

20

Seo 1FatorialdeumnmeroPginas no material do aluno

7 a 9

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Memria dos

fatoriais

Umconjunto

de cartas para

cada dupla,

feitasapartir-

do modelo dis-

ponibilizado

no pendrive /

DVD

Nesta atividade, a ideia a

mesma do jogo da memria

tradicional, porm as cartas

queformamparesnosoas

idnticas,mas as que corres-

pondemadiferentesrepre-

sentaes para expresses

numricas que envolvem.

Duplas 40 minutos


Semelhantementeaoquefoipropostoemoutrasunidades,recomendamosaquiumjogodamemria.Como

mencionamos nas ocasies anteriores, no jogo da memria tradicional, os participantes arrumam as cartas viradas

sobre a mesa, de modo que no seja possvel ver o que est desenhado ou escrito em cada uma. Cada jogador desvira

duascartaseobservaseuscontedos.Seestesforemdiferentes,ascartassoviradasnovamenteeavezdooutro

jogadorfazeromesmo. Porm,seoscontedosdascartasforemidnticos,ojogadorrecolheparasiasduascartas

edesviraoutrasduas.Ganhaojogoojogadorquetiveromaiornmerodeparesdecartasidnticas.

Nestaatividade,aideiaamesmadojogodamemriatradicional,masocritrioparaaformaodepares

diferente:ascartasqueformamparesnosoasidnticasesimasquecorrespondemadiferentesrepresentaes

paraexpressesnumricasenvolvendofatoriais.

Paracomear,professor,vocpodedistribuirumconjuntodecartas,comoasdisponibilizadasnopendrive,

para cada dupla. necessrio recort-las. Na dupla, um ser adversrio do outro. Pea-lhes que observem atentamen-

teascartase,antesdeiniciaremojogo,identifiquemosparescorrespondentes.Senecessrio,faaumapequena

revisosobreos fatoriaisdeumnmeroeaspossibilidadesdesimplificaodefraesquepossuemfatoriaisno

numerador e no denominador. Voc pode ainda propor aos alunos que criem novas cartas, incrementando o jogo. Ao

final,peaqueosalunosexponhamosraciocnioseestratgiasqueusaramparajogar.

Aspectos pedaggicos

Repetindo o que ressaltamos nas outras situaes em que sugerimos um jogo como recurso didtico,

importanteque,almdejogar,osalunostenhamoportunidadederefletirsobreaspropriedadesdosconceitos

trabalhados no jogo. Por isso pedimos que voc solicitasse aos alunos a exposio dos raciocnios e estratgias que

empregaram enquanto jogaram.


Aprimeirapropriedadedosfatoriaisqueojogopermiteperceberaigualdadeentre0!e1!.Aigualdadeentre

estesfatoriaispodecausarcertoestranhamentoumavezque0diferentede1.Outrapropriedadesereferemulti-

plicaodeumnmeronaturalpelofatorialdeoutronmero-porexemplo,algunsalunospodempensarque2x5!

iguala10!.Paradesfazerestaideiaequivocada,recomendamosquevocdesenvolvaasduasexpresseseefetue

osclculos,preferencialmentenumacalculadora,comprovandoqueos resultadossodiferentes.Entretanto,vale

lembrarque,mesmofazendoisso,nasimplificaodefraes,equvocosdestetipopodemserepetir.Noseespante

se,inicialmente,algumalunoassociarascartasecarta1!.Sendoassim,maisumavez,vocdeveinsistirnodesen-

volvimentodasexpresseseefetuarosclculos.

Professor,aconselhamosqueassimplificaesdestacadassejambastanteanalisadasequetodasasdvidas

arespeitodelassejamsanadas.Afinal,osalunosteroquelidarcomelasnoestudodosarranjosedascombinaes.

Seassituaesdascartasnoforemsuficientes,vocpodeproporoutras.Acriaodenovascartaspelosalunos

tambmpodesertilnessesentido.Estimule-os!

Seo 2PrincpiofundamentaldacontagemPginas no material do aluno

9 a 18

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

O princpio

multiplicativo

e os modos de

se vestir

Cpias da

folhadeativi-

dades

Atividade de resoluo de

problemas relacionados ao

princpio multiplicativo

Duplas 40 minutos


Estaumaatividadederesoluodeproblemasrelacionadosaoprincpiomultiplicativo.Antesdeinici-la,

interessante que voc dialogue com seus alunos sobre as diversas circunstncias do dia a dia em que temos mais de

umamaneiradetomardeciseseprecisamoscont-las.Emseguida,professor,vocpodeentregarumafichacomo

aqueestemanexoparacadaduplaler,interpretaretentarresolverassituaesproblemapropostas.Aofinal,su-

gerimosquevoceseusalunosfaamumagranderodaparaqueosproblemassejamdebatidos.Durantetodoeste

processo,estejaatentoaosprocedimentosempregadosporeles,ssuasformasdeinterpretaoelembre-se:no

bastaoferecerrespostasprontas,fundamentalestimularatrocadeideiaseaexposiodosmodosdepensar.

22

Aspectos pedaggicos

Analisandoosproblemaspropostosnaficha,vocperceberquesetratadeumasituaocorriqueira,muito

recorrentenoslivrosdidticosemuitousadapelamaioriadosprofessoresquandointroduzoprincpiomultiplicativo.

Nossa inteno ao coloc-la privilegiar os conhecimentos adquiridos pelos alunos, uma vez que, certamente, a maioria

delesnoterdificuldadesnaresoluodecadaitem.Acreditamosquerefletindosobresituaesquejdominame

sobre os procedimentos que empregaram para resolv-las, os alunos conseguiro aprimorar suas capacidades de com-

pararsituaesproblemaemgeraleidentificaraquelasque,apesardeaparentementedistintas,podemserresolvidas

com o emprego de um mesmo tipo de raciocnio ou princpio. Sendo assim, aconselhamos que voc, ao longo da ativi-

dade,procurefazerestetipodecomparao.Vocpode,porexemplo,compararasituaodafichaemquenecessrio

contartodasaspossibilidadesqueumapessoatemdesearrumar,dispondodecertonmerodepeasderoupa,com

aquela em que a pessoa est num restaurante e pretende saber de quantas maneiras distintas ela pode compor uma

bandeja colocando um prato quente, uma salada e uma sobremesa. importante que os alunos percebam que apesar

deosenredosdassituaesseremdistintos-umfalasobremodosdesevestireooutrofalasobremodosdesealimen-

tar - o princpio multiplicativo pode ser empregado na soluo das duas. As duas situaes requerem a obteno do

nmerodemaneirasdesetomartrsdecisessucessivamente,tendocomopontodepartidaonmerodemaneiras

desetomarcadadecisoseparadamente.Nessesentido,aconselhvelquevocinsistanaidentificaodasdecises

aseremtomadasemcadasituao.Nocasodasituaodaficha,podemosdizerqueaescolhadosapatoaprimeira

deciso, a escolha da cala a segunda e a escolha da camisa a terceira. Se existem, respectivamente, 3, 2 e 6 maneiras

de tom-las, ento existem 36 modos distintos da pessoa se arrumar, como mostra o esquema a seguir:

Jseficarestabelecidoqueapessoavestiracamisarosa,elasterentoqueescolherosapatoeacala.

Ter, portanto, 6 maneiras de se arrumar:

Professor, como jdissemosanteriormente, apesardea situao ser simplesebastanteconhecida, alguns

alunospodemterdificuldadesparaconcluirqueaoperaoaserefetuadaamultiplicao.Se issoacontecer,

adequado recorrer a outras representaes para a mesma situao. O desenho de uma rvore de possibilidades ou de

umatabeladeduplaentrada(noscasosemqueasituaosexigiratomadadeduasdecises)podeajudarmuito.


Porfim,noltimoitemdaficha,invertemosonmerodecamisasedecalasparapromoverumareflexomais

amplasobreasaplicaesdosconhecimentosmatemticosnocotidiano.Noteque,apesardeonmerodemaneiras

queapessoatemdesearrumarseromesmodasituaoanterior,navidaprtica,amaioriadaspessoasprefereter

2calase6camisasdoqueter6calase2camisas.Questioneseusalunossobreoqueelespreferemeascausasde

suaspreferncias.Nodeixepassaraoportunidadede,maisumavez,trazerodiaadiaparaasaladeaula.

Seo 2PrincpiofundamentaldacontagemPginas no material do aluno

9 a 18

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Uma

encenao

para o

princpio

multiplicativo

Cpias da

folhadeativi-

dades,folhas

de rascunho e

sucatas

A proposta desta atividade

que os alunos, divididos em

grupos, escrevam e atuem

em cenas curtas que envol-

vam a tomada de decises

sucessivas e a contagem dos

modos como isso pode se dar

Grupos com 5

a 6 alunos2 tempos de 40 minutos


Apropostadestaatividadequeseusalunos,divididosemgrupos,escrevamefaampequenasencenaes.

No se trata de uma encenao qualquer, mas de cenas que envolvam a tomada de decises sucessivas e a contagem

dosmodoscomoissopodesedar.Emoutraspalavras,ascenasdevemabordarumasituaoproblemaqueenvolva

o princpio multiplicativo na sua soluo.

Paracomear,professor,vocpodepediraosalunosqueseorganizememgrupoe,nestecaso,sugerimosque

estaorganizaoocorracombasenasafinidadespessoais.Afinal,numasituaoemqueelesprecisaroseexpor

maisdoqueestoacostumados,precisoqueestejamvontadee,entreamigos,tudosetornamaisfcil.

Depoisqueestiveremdivididos,sorteieotemaquecaberacadagrupo.Nossassugestesdetemaso:a)

decisodomododesearrumar,escolhendoumsapato,umacalaeumacamisaentrevrios;b)decisodomodo

comomontarumabandejaparaumarefeio,sabendoquenecessrioescolherumpratoquente,umasaladae

umasobremesaec)decisodomodocomopodempintarumabandeiraformadaporcertonmerodefaixas,dispon-

dodeumnmerodecoresdistintasequenopodemserepetir.Notemimportnciaseotemaserepetiremmais

de um grupo, mas voc pode, ainda, pedir outras sugestes aos prprios alunos ou deix-los livres para escolherem

asituaoquequiserem.Apenasreforceaideiadeque,qualquerquesejaasituao,necessrioquesuasoluo

envolva o princpio multiplicativo.

24

Dandoprosseguimento,vocpodedistribuirasfolhasderascunhoepediraosalunosqueescrevamahistria

eafaladospersonagens.Peatambmquerealizemumpequenoensaioantesdefazeremsuasapresentaes.Se

forpreciso,avise-ospreviamentedaatividadeesugiraquetragamparaaaulavestimentas,sucataseoutrosadereos

quepoderoservirparacomporocenrioouofigurinodascenas.

Procuredaroportunidadeparaquetodosseapresenteme,aofinaldasapresentaes,analisecoletivamente

assituaes,procurandoidentificarosconceitosmatemticosqueasassemelham.

Aspectos pedaggicos

EmboraencenarnumaauladeMatemticapareaestranho,estatarefapodedargrandescontribuiesaos

processosdeconstruodosconceitosestudados.Acreditamosqueoesforodecriarumasituaoproblema,me-

diada pelo uso da lngua materna e com determinadas caractersticas conceituais (neste caso, o princpio multiplicati-

vo),levaoalunoaorganizarmentalmenteseusconhecimentossobreoassunto,fazendo-oreconheceraquiloquej

compreende e o que est em vias de ser compreendido. Alm disso, inevitvel que, na encenao, os indivduos en-

volvidosrecorramaoutraslinguagenscomoosgestos,asexpressesfaciais,desenhosnocenrioeoutrossmbolos

sociais.Estadiversidadedelinguagensoutroaspectofavorvelconstruodeconceitos.Comojmencionamos

em aulas anteriores, o uso de vrias linguagens e a converso, quando possvel, de uma representao para outras,

levaoalunoaaprofundarseusconhecimentossobreosobjetos(matemticosouno)queestosendorepresenta-

dos. Por isso, uma recomendao que voc, em suas avaliaes, retome as situaes problema encenadas.

Vale lembrar que esta atividade permite que os alunos busquem as aplicaes daquilo que estudam no

diaadiaecontribuiparaaintegraodaMatemticacomaEducaoArtstica.Seforpossvel,envolvaoprofessor

destadisciplinanoseutrabalhoenoseassustesetudofortomandoumaproporomaiordoqueaquelaquevoc

esperavainicialmente.Casoosalunosseinteressem,faareapresentaesdascenasforadasaladeaula,paraqueos

alunos de outras turmas possam assistir. Coragem!

Seo 3 Permutao simplesPginas no material do aluno

18 a 21

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Fotografando

permutaes

Cpias da

folhadeativi-

dades

A atividade traz uma pro-

postadereflexocomseus

alunos sobre as diversas

maneiras que um grupo de

5 pessoas tem de se orga-

nizar lado a lado para tirar

umafotografia.

Duplas 40 minutos



Professor,nestaatividade,apresentamosumasituaoproblemabaseadanoroteirodeao6,quecompe

ocursodeformaocontinuadaparaprofessoresdo3anodoEnsinoMdio1bimestre,daredeestadualdoRio

deJaneiro,emparceriacomaFundaoCECIERJ.Estaatividadepermitirqueseusalunosreflitamsobreasdiversas

maneirasqueumgrupode5pessoastemdeseorganizarladoaladoparatirarumafotografia.

Paracomear,antesmesmodedistribuirasfichas,interessantequevocestabeleaumaconversacomatur-

ma sobre as circunstncias do nosso cotidiano em que precisamos ordenar objetos ou pessoas. Convide um grupo

dealunosparavirfrentedaturmaeseorganizaremfila.Peaaosdemaisalunosqueregistremcadaorganizaoe

quesugiramnovasorganizaes,diferentesdaqueforapresentadainicialmente.Faaosalunostrocaremdelugarna

organizao,dandovidaaestassugestes.Tudoissopodeajud-losaatribuirsignificadossituaespropostasnaficha.

Aodistribuirasfichas,aconselhvelquevocpeaaosalunosqueprocuremidentificarsemelhanasentreas

situaesalipropostaseasqueacabaramdevivenciarcomoscolegas,frentedaturma.Enquantoelesresolvem,esteja

atentoaosraciocniosempregados.Quandotodasasduplasconclurematarefa,pea-lhesqueexponhamsuassolues.

Aspectos pedaggicos

Pararespondersquestespropostasnaficha,osalunosdevemperceberque,emcadafoto,sonecessrias5

posiesdiferentes,umaaoladodaoutra.Apartirda,elesprecisamidentificarquecadaposiodeverserocupada

porapenasumapessoadogrupoequeestapessoanopoderocuparoutraposionamesmafoto.Estes,inclusive,

soaspectosquetornamsemelhantesassituaesdafichaeaquelasvivenciadasemaula,imediatamenteantesda

distribuiodasfichas.

Para resolver o item 1, eles podem usar o Principio Fundamental da Contagem. Assim temos:

Outraformaderesolveresseproblemaverificarqueso5pessoasocupando5posiesequesetratade

uma permutao simples P5 5 5 4 3 2 1 120= = =! . . . . .Pararesolveroitem3,esperamosqueseusalunosconcluamqueAna,BernardoeCarla,osalunosdahistria,

devemestardispostosalternadamentenafoto.Assimtemos:

26

J,pararesolveroitem4,seusalunosdevemconcluirquea1ea5posiosodestinadasaosprofessores,

Jonas e Gabriela, e que as restantes destinam-se aos trs alunos. Assim teremos:

Umencaminhamentocomumparaquestesdestetipo,equepodeserapresentadoporalgunsalunos,divi-

dirasituaoemdoiscasosepermutarapenasosalunos.Assim,umcasooqueoprofessorestnaprimeiraposio

eaprofessoraestnaltimaeoutrooqueaprofessoraestnaprimeiraposioeoprofessorestnaltima.Para

cadacaso,temos6possibilidades(nmerodemaneirasqueostrsalunospodemtrocardelugarentresi)earesposta

esperada a soma dos resultados obtidos nos dois casos.

Deixamosoitem2paracomentarporltimo,poisacreditamosqueelesejaodemaisdifcilcompreensopara

os seus alunos. Nossa experincia tem mostrado que, para questes deste tipo, os alunos geralmente tratam o grupo

quedevepermanecerjuntocomoumnicoindivduo.Destaforma,ostrsalunosseriamumindivduoaserpermutado

comosdoisprofessores,oqueresultaem6possibilidades(3!).Porm,comoostrsalunospodemtrocardelugarentre

si, cada uma destas possibilidades se desdobra em outras seis e a resposta da questo , ento, 6 x 6 = 36 possibilidades.

Quandoosalunosexpuseremseusraciocnios,procureidentificarospontosemcomumentreasvriasduplas

e,seforpreciso,listealgumaspossibilidadesquecontemplemasrestriesimpostasemcadaitem:osalunosfica-

remalternados,osprofessoresestaremnasextremidades,osalunospermaneceremjuntos,etc.Lembre-sederefletir

comseusalunosque,quandonohrestries,onmerodepossibilidadesaumenta.Desenhetambmasrvores

depossibilidades.Emboravoctenhaavanadonoassuntoejestejaabordandoumafrmulaparapermutaes

simples,muitosalunosaindapoderoprecisardeexemplosederepresentaesgrficasparafazergeneralizaes.


Seo 3 Permutao simplesPginas no material do aluno

18 a 21

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

As

permutaes

num passeio

de automvel

pelo Rio

Cpias da

folhadeativi-

dades

Os alunos podero vivenciar

as vrias maneiras de que

um grupo de 5 pessoas dis-

pe para se acomodar num

automvel de 5 lugares

Duplas 2 tempos de 40 minutos


Nestaatividade,professor,tambmapresentamosumasituaoproblemaadaptadadoroteirodeao6,que

compeocursodeformaocontinuadaparaprofessoresdo3anodoEnsinoMdio1bimestre,daredeestadualdo

RiodeJaneiro,emparceriacomaFundaoCECIERJ.Nela,voceseusalunospoderovivenciarasvriasmaneirasdeque

um grupo de 5 pessoas dispe para se acomodar num automvel de 5 lugares.

Para comear, aconselhamos novamente que voc estabelea uma conversa com a turma sobre as situaes do

nosso cotidiano em que precisamos ordenar objetos ou pessoas. Sugerimos ainda que voc desenhe no quadro o esboo

deumautomvelsemelhanteaoquecitadonafichaeescrevaonomede5alunos,oquepreenchertodososlugares

disponveis.Emseguida,convideoutrosalunosaviraoquadroparadesenharnovosesboos,queatribuamnovoslugares

aosmesmosocupantes.importantequecadaesboofiqueregistrado,paraquevocpossaanalis-losemconjunto

comseusalunos.Nestaanlise,procurecompararcadaorganizaoeestabelecerrestriesquepermitamturmaagru-

p-las.Umexemploseriaogrupodasorganizaesquetmdeterminadapessoacomomotoristaou,ainda,ogrupodas

organizaesquetmdeterminadapessoacomomotoristaeoutrapessoaespecficanocaronaqueseriaumsubgrupo

do primeiro exemplo. Se julgar necessrio, em vez de desenhar um esboo do automvel, pegue as cadeiras da sala de

aula, organize-as de maneira a simular a disposio dos assentos e pea a 5 alunos para se sentarem e trocarem de lugar

entresi.Insistimosnestasaes,poisacreditamosqueelaspodemajudarseusalunosaatribuirsignificadossituaes

propostasnaficha.

Sugerimosque,somenteapsestavivnciacomaturma,vocdistribuaasfichasepeaaosalunosqueidenti-

fiquemassemelhanasentreassituaesalipropostaseasqueacabaramdevivenciar.Enquantoelesresolvem,esteja

atentoaosraciocniosempregados.Quandotodasasduplasconclurematarefa,pea-lhesqueexponhamsuassolues.

Aspectos pedaggicos

Professor,naapresentaodestaatividade,apresentamosorientaessobreamaneiradevivenciar,comseus

alunosemsala,umasituaosemelhantepropostanaficha.Nossaintenotornarasituaoomaisfamiliarpos-

28

svel,facilitandoassimsuainterpretao.Novamente,vocpodeadequarnossasorientaessnecessidadesdasua

turma.Enquantoparaalgunsalunos,estavivnciapodeserdesnecessria,paraoutros,podeservircomoexcelente

recurso no caminho da abstrao das ideias.

Pararesolverositenspresentesnaficha,esperamosqueosalunospercebamquecadalugardoautomvel

refere-seaumaposiodiferente.Teremos,portanto,5posiesdiferentes,sendo2nafrentee3atrs.Apartirda,

elesprecisamidentificarquecadapessoaspoderocuparumlugarnoautomvel.Combasenestasobservaes,

facilmenteconcluiroque,nohavendorestrioparaomotoristaouparaocarona,h5!-ouseja,120maneiras-de

o grupo ocupar o automvel.

No item 2, os alunos precisam perceber que, se somente Jonas puder ocupar o lugar do motorista, ento s h

uma possibilidade de ocupao deste lugar e cada um dos outros lugares poder ser ocupado por qualquer um dos

outros 4 membros do grupo. Assim teremos:

Seguindo a mesma linha de raciocnio, no terceiro item, tendo as restries de que o motorista ser Jonas e que

Gabriela ocupar o lugar do carona, os alunos devem reconhecer que s h uma possibilidade para ocupao destes

lugaresequecadaumdosoutrospoderserocupadoporqualquerumdosalunos,ficando:

Aquidestacamosquevocpodeaproveitarestasoluopararefletircomseusalunossobrearesoluodo

item seguinte, o item 4, em vez de iniciar isoladamente o estudo da situao. No item 4, Gabriela e Jonas podem trocar

delugarentresieissoconduzduplicaodas6possibilidadesqueacabamosdeobter,permitindoconcluirqueh,

neste caso, 12 possibilidades.


Porfim,noitem5,temos:

Nestasituao,recomendvelalertarseusalunosque,apesardeosgruposdeprofessoresedealunosserem

abordadosseparadamenteparaasposiesdemotoristaedecarona,paraaocupaodasposiesdetrs,oprofes-

sorquenofoiescolhidoparamotoristasejuntaaosdoisalunosquenosentaramnaposiodocarona.Issonosd

3possibilidadesparaaocupaodadireita,2paraomeioe1paraaesquerda.Nodeixederefletirtambmque,em

problemas como estes, mesmo que no saibamos quem vai ocupar uma posio, possvel contar as possibilidades

de ocupao das demais posies. Muitas vezes, isto no uma ideia simples para alguns alunos, que insistem em

querer listar os casos para cont-los.

Avaliao

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Avaliao da

Unidade

Cpiasdafo-

lha de ativida-

des, material

do aluno

Estaatividadesugereum

instrumento avaliativo para

a unidade, dividido em duas

etapas: a primeira consiste

no registro de aprendiza-

gens e a segunda em ques-

tes objetivase dissertativas,

a serem escolhidas a critrio

doprofessor

Individual 40 minutos


Paraomomentodeavaliao,sugerimosautilizaodoltimotempodeauladestinadounidade1doM-

dulo 4. A seguir, apresentamos sugestes para a avaliao das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos

nossassugestesavaliativasemduasetapas,conformeexplicitadasaseguir.

30

Etapa 1: Registros de aprendizagens (Momento de Reflexo)

Aqui,vocpoderproporqueoalunoregistreindividualmente,nafolhadeatividades(disponvelpararepro-

duonestematerial),asaprendizagensmatemticasadquiridascomoestudodestaunidade.Esseregistroserfeitoa

partir de questes elaboradas por ns, e que reproduzimos a seguir. No entanto, importante ressaltar que estas ques-

tes devem complementar as que voc j usa para avaliar o desenvolvimento das habilidades matemticas pretendidas.

1. Qualocontedomatemticoestudadonestaunidade?

2. Complete a tabela a seguir:

n (n-1)! n!7 ? ?

6 120 ?

? 24 120

? 6 ?

3. Umaconcessionriaoferececincocoresdiferentesparaomesmomodelodeveculo,almdeduasopesdiferentesdekitsdeacessriosexternos.Dequantosmodosdiferentespode-seescolherumcarronovo?

4. Otcnicode futsaldoHabilidososEsporteClubepossuicinco jogadoresconsiderados titulares.Todosjogamemqualquerposio.Umavezescolhidasasposiesdosjogadoresemquadra,diz-sequeumaformaoestdefinida.Nestascondies,quantasformaessopossveis?


5. EscrevaaprximalinhadotringulodePascal:

Sugerimos, tambm, que este material seja recolhido para uma posterior seleo de registros, a serem entre-

guesaoseuformador,duranteocursodeformaopresencial.Destaforma,esperamosacompanharcomvoccomo

osalunosestoreagindoaoscaminhosqueescolhemosparadesenvolverestetrabalhoe,semprequeforocaso,

repens-los de acordo com as questes e sugestes apresentadas.

Etapa 2: Questes objetivas e discursivas

Para compor o instrumento avaliativo, sugerimos, nesta etapa, a escolha de pelo menos uma questo obje-

tivaeumadiscursiva.Elasdevemcontemplarumadashabilidadesquesedesejadesenvolvernestaunidade.Nosso

objetivonestaetapafazercomqueoalunocompreendaumasituaoreal,apliqueoprincpiomultiplicativoouo

conceitodepermutaoefaaumareflexomaisprofundasobreprocedimentosparacontagem.

Sugesto de questo objetiva para a avaliao:

Questo 1: (FUVEST)

Numprogramatransmitidodiariamente,umaemissoraderdiotocasempreasmesmasdezmsicas,masnunca

namesmaordem.Paraesgotartodasasprovveissequnciasdessasmsicasseronecessriosaproximadamente:

a. 10 dias

b. Umsculo

c. 10 anos

d. 100 sculos

e. 10 sculos

32

Sugesto de questo discursiva para a avaliao:

Questo 1: Dispondo-sede5coresdistintas,dequantosmodosdiferentespossvelpintarabandeiraase-

guir, sem repetio de cores?

Gabarito

Registros de Aprendizagem

1. Anlise combinatria.

2.

n (n-1)! n!7 720 5040

6 120 720

5 24 120

4 6 24

3. Primeiramente,escolhe-seacordoveculo. Istopodeser feitodecincomodosdiferentes.Emsegundolugar,escolhe-seoacessrioexterno.Istopodeserfeitodedoismodosdiferentes.Peloprincpiomultipli-cativo, h 5 x 2 = 10 modos distintos de escolher o veculo.

4. Comea-seescolhendoojogadorqueocuparaposio1. Istopodeserfeitodecincomodosdistintos.Feitaaescolhadaposio1,paraaposio2,restamquatropossibilidadesparaaposio2.Esteraciocniorepetidoataposio1.Destaforma,haver5x4x3x2x1=5!=120formaesdistintas.

5. 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Resposta e comentrios da questo discursiva sugerida:

Questo 1:

Voc pode sugerir, inicialmente, que os alunos escolham as cores usadas para pintar a bandeira - por exemplo,

azul, verde, vermelho, rosa e marrom. Apesar de ser irrelevante para o resultado, essa escolha pode ser muito im-

portanteparaosalunos,poisajudaaconcretizarasideias.Aseguir,peaquedeemnmerossregies:1,2,3e4(a

distribuiodosnmerospelasregiestambmirrelevanteparaproblema).


Finalmente, voc pode indicar que eles comecem pintando a regio 1, perguntando de quantos modos isto

podeserfeitoerepetindooprocedimentoparaasregiesseguintes.Lembre-osdequenopodehaverrepetio!

Aregio1podeserpintadadecincomodosdistintos.Escolhidaacordaregio1,restamquatropossibilidades

decoresparaaregio2.Escolhidaacordaregio2,restamtrspossibilidadesparaaregio3.Escolhidaacorda

regio 3, restam duas possibilidades de cores para a regio 1. Pelo princpio multiplicativo, existem 5x4x3x2 = 120

modos distintos de pintar a bandeira.

Resposta da questo objetiva sugerida

Sugere-sequevocpergunteinicialmentesobrearelevnciadaordemdasmsicas.Umavezqueelestenham

notadoque importante, induza-osacalcularonmeroprocurado,semnecessariamente,escolherumafrmula

aseraplicada.Pea-osqueescolhamaprimeiramsica,asegundamsicaeassimsucessivamente.Apartirda,

possvelqueelescheguemresposta.Apesardenosernecessrio,ousodiretodafrmulapossvel,desdeque

argumentos minimamente embasados sejam apresentados.

Aprimeiramsicapodeserescolhidade10modosdistintos;feitaestaescolha,asegundamsicapodeser

escolhida de 9 modos distintos e assim por diante. Logo, pelo princpio multiplicativo, h 10x9x8x...x2x1 = 10! modos

distintosdeescolheralistademsicas.Consequentemente,seronecessrios10!(fatorialde10)dias,paraesgotar

todasaspossibilidades.Vamosconverteressenmeroemanose,paraisto,vamosdividirpor360dias(omaisexato

seriadividirpor365dias=1ano,masoproblemapedeumasoluoaproximada).Seguequeanos.Logo,serone-

cessrios 100 sculos para esgotar todas as possibilidades.


Volume 1 Mdulo 4 Matemtica Unidade 2

Probabilidade 1 Cleber Dias da Costa Neto, Heitor Barbosa Lima de Oliveira, Patrcia Nunes da Silva e

Telma Alves

Introduo Na unidade 2 do mdulo 4 do material do aluno so apresentadas diversas

situaes e atividades que envolvem o conceito de probabilidade.

Para auxili-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos

que podem complementar a exposio deste tema em suas aulas. A descrio e o

detalhamento destas sugestes esto registrados na tabela e nos textos a seguir.

Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade

disparadora. uma atividade que tem por objetivos iniciar a exposio do tema e

promover uma dinmica entre os alunos. Nesse momento, espera-se que os alunos

consigam identificar o espao amostral e os eventos envolvidos em um problema de

probabilidade, bem como calcular probabilidades simples em situaes cotidianas.

Para dar sequncia ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-

cursoscomplementares, vinculados ao contedo do material didtico. Eles esto

relacionados ao uso da anlise combinatria para determinar o nmero de ele-

mentos dos espaos amostrais e dos eventos, distino entre evento certo e

evento improvvel,ao reconhecimento de medidas de tendncia central e tam-

bm resoluo de problemas que envolvam os conceitos de desvio padro e de

coeficiente de variao. Sugerimos a utilizao destes recursos nas aulas subse-

quentes aula inicial, de acordo com a realidade da sua turma. Recomendamos

que voc faa alteraes e adaptaes sempre que achar necessrio. Por fim,

aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em dois momen-

tos. O primeiro momento deve ser dedicado resoluo de problemas que pro-

movam uma reviso do estudo realizado, consolidando o aprendizado do aluno

a partir da retomada de questes que surgiram durante o processo. O segundo

momento deve promover uma avaliao do estudante, priorizando questiona-

mentos reflexivos em detrimento da mera reproduo de exerccios feitos ante-

riormente. Tambm disponibilizaremos algumas questes de avaliaes de larga

escala, como o ENEM, os vestibulares, os concursos pblicos, entre outros.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

36

Apresentao da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:

Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemtica 1 4 2 6 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Probabilidade 1 Probabilidade

Objetivos da unidade

Determinar espao amostral e evento

Calcular probabilidades simples

Utilizar a anlise combinatria em clculos do nmero de elementos de espaos amostrais e evento

Distinguir evento certo e improvvel

SeesPginas no material do

aluno

Para incio de conversa... 33 a 34

Seo 1 Lanando moedas e dados 35 a 37

Seo 2 Afinal, quais as minhas chances de vencer? 38 a 43

Resumo 42 a 43

Veja ainda 43

Referncias Bibliogrficas 43

Em seguida, sero oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dncia direta entre cada seo do Material do Aluno e o Material do Professor.

Ser um conjunto de possibilidades para voc, caro professor.

Vamos l!


Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.

Applets

So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponveis

para os alunos.

Avaliao

Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.

Exerccios

Proposies de exerccios complementares

38

Atividades Iniciais

Descrevemos a seguir situaes motivadoras, que tm por objetivo estimular os alunos a realizar uma discus-

so coletiva sobre o tema. Dessa forma, tero a oportunidade de se familiarizarcom o contedo antes da etapa de

formalizao, de forma emprica e a partir de atividades de fcil compreenso. Sugerimos que voc escolha a que seja

mais adequada sua realidade - ou, se preferir, utilize uma atividade prpria.

Atividade Inicial 1

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Lanamento

de dois dados

Software Probabilida-

de: Dois Dados,que

pode ser acessado

em http://www.

uff.br/cdme/prob-

-doisdados/prob-

-doisdados-html/

prob-doisdados.html

Nesta atividade, atravs

do uso de um software

interativo, os conceitos

de espao amostral e

eventossero trabalha-

dos e algumas probabili-

dades sero calculadas.

Duplas ou

trios30 minutos

Logaritmo e

Msica

Lousa, caneta para

quadro, computador

conectado a Internet

ou Data show

A partir da exibio de

um vdeo, relacionando

msica e Matemtica,

sero propostas algu-

mas reflexes sobre os

logaritmos.

Duplas 40 minutos


Esta uma atividade exploratria. Os alunos devero identificar alguns eventos associados ao lanamento

de dois dados. Leve os alunos at o laboratrio de informtica, divida-os em duplas ou trios e pea que cada grupo

ocupe um computador. Oriente os alunos acompanhando a folha de atividades.


Aspectos pedaggicos

Professor, os alunos podem apresentar dificuldades na manipulao dos instrumentos de informtica como o

mouse. Alguns precisaro ser acompanhados mais de perto nessa hora. Recomendamos que voc, inicialmente, dis-

ponibilize um tempo para que eles entendam o funcionamento do software e, em seguida, estabelea o momento de

compreenso do contedo matemtico.

comum os alunos apresentarem dificuldades com a linguagem matemtica utilizada. Fique atento a isso e au-

xilie os alunos.

Tambm pode acontecer de algum aluno questionar o porqu da utilizao de uma razo para determinar a

probabilidade de um evento. Enfatize que isso facilitado devido obteno de um espao amostral equiprovvel

esclarea o que significa essa palavra.

Folha de atividades Lanamento de dois dados

Nome da escola: ________________________________________________________

Nome do aluno: ________________________________________________________

Voc est acessando um software chamado Probabilidade: Dois Dados. No incio de cada problema, voc

enxerga a seguinte interface:

Em cada problema proposto, voc deve observar a definio do evento A, selecionar os resultados que perten-

cem a este evento e calcular as probabilidades de ocorrncia e de no ocorrncia do evento A.

40

Por exemplo, no evento A da figura, a soma das faces obtidas nos lanamentos de um dado azul e um verde

deve ser menor do que 7. Nesse caso, vamos selecionar os quadradinhos indicados na figura abaixo:

Para selecionar os resultados, use o mouse e clique nos quadradinhos desejados. Caso voc deseje desmarcar uma

escolha, basta clicar novamente no quadradinho. Se quiser recomear, clique no boto

Ao terminar a marcao, clique no boto

Se suas escolhas no estiverem corretas, faa as correes necessrias.

Aps a marcao correta dos resultados associados ao evento A, voc deve calcular a probabilidade P(A) de ocor-rncia do evento A e a probabilidade P(A) de no ocorrncia do evento A. Preencha os campos indicados e clique

no boto

Quando seus clculos estiverem corretos, use o link para selecionar um novo problema.


Atividade Inicial 2

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Meninas e

Meninos

Software Probabilidade:

Eventos Equiprovveis

que pode ser acessado

em http://www.uff.br/

cdme/prob-bonecos/

prob-bonecos-html/

prob-bonecos.html

Nesta atividade, atravs do

uso de um software intera-

tivo, os conceitos de espao

amostral e ocorrncia de

dois eventos simultanea-

mente sero trabalhados

e algumas probabilidades

sero calculadas

Duplas ou

trios40 minutos


Esta uma atividade exploratria. Ela realizada em duas etapas. Na primeira, os alunos devero identificar quais so

os resultados associados a ocorrncias de dois eventos A e B. Na segunda, eles devem utilizar a anlise anterior para definir as

ocorrncias associadas a um terceiro evento D, resultado de alguma operao envolvendo os eventos A e B.Leve os alunos at

o laboratrio de informtica, divida-os em duplas ou trios e pea que cada grupo ocupe um computador. Oriente os alunos

acompanhando a folha de atividades.

Aspectos pedaggicos

Professor, os alunos podem apresentar dificuldades na manipulao dos instrumentos de informtica como o

mouse. Alguns precisaro ser acompanhados mais de perto nessa hora.

Na primeira etapa, sugira que os alunos procurem separadamente as ocorrncias associadas a cada um dos even-

tos (A e B).Note que nem sempre o evento D ser a ocorrncia simultnea de A e B. Pea aos alunos que prestem bastante

ateno descrio do evento D.

Para aproveitar melhor a atividade, use o quadro para descrever um exemplo similar, utilizando a linguagem de

conjuntos: utilize os alunos da turma como espao amostral e enumere os elementos do espao amostral que usam

culos.Em seguida, enumere os elementos do espao amostral que so mulheres e, por fim, enumere os elementos do

espao amostral que so mulheres e usam culos. Mostre que tal conjunto a interseo dos dois anteriores. A expecta-

tiva que, aps o trabalho discursivo no quadro, a atividade interativa seja mais bem explorada pelos alunos.

42

Folha de atividades Meninas e Meninos

Nome da escola: ________________________________________________________

Nome do aluno: ________________________________________________________

Voc est acessando um software chamado Probabilidade: Eventos Equiprovveis. No incio de cada proble-

ma, voc enxerga a seguinte interface:

Em cada problema proposto, voc deve observar a definio dos eventos A e B, indicar se a ocorrncia corresponde ou no aos eventos. Alm disso, voc tambm deve identificar as ocorrncias associadas a um terceiro evento D, resultado de alguma operao envolvendo os eventos A e B,e calcular a probabilidade de ocorrncia do evento D.

Por exemplo, no evento A da figura, devemos ter a ocorrncia de uma menina. J no evento, B, devemos sele-

cionar ocorrncias em que algum item do vesturio seja azul. Nesse caso, vamos selecionar os quadradinhos indica-

dos na figura abaixo:


Para selecionar os resultados, use o mouse e clique nos quadradinhos desejados. Caso voc deseje desmarcar uma

escolha, basta clicar novamente no quadradinho. Se quiser recomear, clique no boto

Ao terminar a marcao, clique no boto

Se suas escolhas no estiverem corretas, faa as correes necessrias.

Aps a marcao correta dos resultados associados aos eventos A e B, voc deve agora identificar as ocorrncias associadas ao evento D, resultado de alguma operao envolvendo os eventos A e B:

Voc deve expressar (atravs de operaes de conjuntos) as ocorrncias do evento D em termos das ocorrncias dos eventos A e B.

44

Aps a conferncia, calcule a probabilidade P(D) de ocorrncia do evento D. Preencha os campos indicados e

clique no boto

Quando seus clculos estiverem corretos, use o link para selecionar um novo problema.


Seo 1 Lanando Moedas e DadosPginas no material do aluno

35 a 37

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Jankenpon

Folha de

atividades, 3

dados de cores

diferentes

preparados

previamente,

fita crepe, ca-

neta hidrocor,

calculadora

Neste jogo, cada um dos

participantes do grupo

escolhe e lana um dos trs

dados, quetm faces nume-

radas diferentes dos dados

que conhecemos. So feitas

perguntas sobre as probabi-

lidades de vitria associada a

cada dado

Grupos de 4 a

5 jogadores30 minutos

1 Atividade adaptada de JANKENPON

Unicamp. Disponvel em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1016.


Primeiramente, apresente a pergunta inicial para a turma: a princpio, o dado B tem mais chances de ganhar

que o dado A, e o dado A tem mais chances de ganhar que o dado C. Dessa forma, pergunta-se: o dado B tem mais

chances de ganhar que o dado C?

Em seguida, divida a turma em grupos de 4 a 5 jogadores.

Distribua a folha de atividades para cada grupo, juntamente com 3 dados de seis faces numerados conforme

a figura a seguir.

Dentro de cada grupo, constituir duas equipes adversrias.


Em seguida, explique para os alunos as regras do jogo.

1. Cada uma das duas equipes escolhe um dos trs dados para utilizar at o m do jogo;

2. As equipes lanam seus dados simultaneamente;

3. Marca um ponto a equipe que obtiver a face maior;

4. Ganha o jogo a equipe que completar 10 pontos primeiro.

Em seguida, pea que respondam a seguinte pergunta: existe o melhor dado entre os trs?

Os alunos podero ficar jogando e marcando seus pontos durante cerca de 20 minutos, o que gera algo em tor-

no de 10 a 15 partidas. Pea aos alunos que registrem, na tabela a seguir, as informaes e resultados de cada partida.

Dados EscolhidosMarcou Pontos

Dado ______ Dado ______

Equipe vencedora

Em seguida, ter incio a segunda etapa da atividade: a anlise das informaes.

Pea aos alunos que preencham a tabela a seguir com os valores referentes dados obtidos na primeira etapa

da atividade.

48

Dado Face Frequncias

A1

10

B 4

C0

6

De posse dessas frequncias, os alunos iro calcular as probabilidades de o dado X vencer o dado Y. A pergunta

principal da atividade O dado B tem mais chances de ganhar do que o dado C?. Como possvel que algum grupo

no tenha escolhido esses dois dados e, por isso, no esteja em condies de responder imediatamente a pergunta,

coloque as informaes de cada grupo no quadro, para que todos vejam e possam pensar juntos nestes clculos.Caso

no haja qualquer discrepncia, esperado um resultado similar em todos os grupos.

Aspectos pedaggicos

natural esperar que as frequncias observadas estejam prximas da proporo de faces com o resultado no

respectivo dado. No entanto, a variabilidade da frequncia observada em torno do valor terico pode ser grande se

o nmero de lanamentos for pequeno. Por exemplo, para o dado A, esperamos que 2/6 = 33,3% dos lanamentos

apresentem face 10. No exemplo acima, ao lanar um dado balanceado, obtivemos 13/25 = 52% de faces 10. Isso

pode acontecer e faz parte das caractersticas dos fenmenos aleatrios.

Podemos assumir que os resultados obtidos em cada dado so independentes dos resultados obtidos nos

outros, ou seja, saber que obtivemos face 10 no dado A no afeta a probabilidade de obter face 6 no dado C, por

exemplo. Para cada par de dados, denotemos por (i, j) o resultado i obtido no primeiro dado e o resultado j obtido no

segundo dado. Com a suposio acima, a probabilidade de obter o resultado (i, j) o produto das probabilidades de

obter o resultado i e o resultado j, nos respectivos dados. Por exemplo:

Soluo comentada:

Para cada par de dados, denotemos por (i, j) o resultado i obtido no primeiro dado e o resultado j obtido no

segundo dado. Com a suposio acima, a probabilidade de obter o resultado (i, j) o produto das probabilidades de

obter o resultado i e o resultado j, nos respectivos dados. Para os dados A e B, os possveis resultados so {(1, 4); (10,

4)}, com probabilidades.


Como o dado B marca um ponto com o resultado (1, 4), B tem mais chances de ganhar de A, ento, B melhor

que A. Para os dados A e C, os possveis resultados so:

com probabilidades:

O dado A ganha com os resultados (1, 0), (10, 0) ou (10, 6),ou seja, com probabilidade:

Portanto, A melhor que C. Finalmente para os dados B e C, os possveis resultados so {(4, 0); (4, 6)} com pro-

babilidades:

Como o dado C marca um ponto sobre B com o resultado (4, 6), C tem mais chances de ganhar que B, logo, C

melhor que B.

Dessa forma, podemos entender que o fato de um dado ser melhor que outro depende do dado de compara-

o: no h algum que seja melhor que todos, para cada dado h sempre outro melhor.

50

Folha de atividades Jankenpon

Nome da escola: ________________________________________________________

Nome do aluno: ________________________________________________________

Regras do Jogo:

1. Cada equipe escolhe um dos trs dados, que ser usado at o fim do jogo;

2. As equipes lanam seus dados simultaneamente;

3. Marca um ponto a equipe que obtiver a face maior;

4. Ganha o jogo a equipe que completar 10 pontos primeiro.

PRIMEIRA ETAPA: Jogar e Coletar Informaes

Preencha uma tabela para cada partida anotando os dados escolhidos no cabealho e, em cada linha, as faces

obtidas e quem marcou ponto em cada rodada.

Dados EscolhidosMarcou Pontos

Dado ______ Dado ______

Equipe vencedora


SEGUNDA ETAPA: Anlise das Informaes

Considerando todos os jogos realizados preencha a tabela de frequncias abaixo.

Dado Face Frequncias

A1

10

B 4

C0

6

Agora, siga as orientaes do(a) professor(a) e responda pergunta:

O dado B tem mais chances de ganhar que o dado C? Justifique.

R: _______________________________________________________________


35 a 37

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Corrida de

cavalos

Cpias da

folha de

atividades,

dois dados por

grupo

Atividade de lanamento

de dados, que determinam

o nmero do cavalo que vai

pular uma casa no tabuleiro.

Desenvolve raciocnio lgi-

co, conceito de probabilida-

de e raciocnio combinatrio

Grupos de 4

ou 5 jogadores40 minutos


Divida os alunos em grupos de 4 a 5 componentes e distribua uma folha de atividades para cada grupo.

Nesta folha, ocorrer a corrida de cavalos.

Para iniciar o jogo, cada aluno dever lanar o dado uma vez. Quem tirar o maior resultado no dado co-

mear o jogo. As jogadas seguintes seguem o sentido horrio. O primeiro jogador escolhe dois nmeros, de 1

52

a 13, que representam os cavalos que esto na disputa. Segue-se a ordem dos jogadores at que todos tenham

escolhido seus cavalos.

O primeiro jogador inicia a disputa lanando os dois dados. A soma dos resultados obtidos nos dois dados

determina o cavalo que ir dar o primeiro passo no tabuleiro. Exemplo: o primeiro dado mostra a face 2 e o se-

gundo mostra a face 4. Ento, como 2+4=6, o cavalo de nmero 6 avana uma casa no tabuleiro.Ganha o jogador

cujo cavalo chegar primeiro ao final do tabuleiro. Oriente os alunos acompanhando a folha de atividades.

Aspectos pedaggicos

Em caso de falta de dados para realizar a atividade, imprima vrias cpias do molde do dado abaixo e monte-os.

Os cavalos representados pelos nmeros 1 e 13 possuem probabilidade zero de ocorrer, pois a soma dos

dois dados varia de 2 a 12.

Aps o jogo, compare os resultados dos demais grupos registrando os trs cavalos mais bem colocados

em cada grupo.

Demonstre a probabilidade de cada cavalo ser sorteado com o lanamento dos dados.

Cavalo 1 - nunca;

Cavalo 2 - uma chance (1+1);

Cavalo 3 - duas chances (1+2) e (2+1);

Cavalo 4 - trs chances (1+3), (3+1) e (2+2);

Cavalo 5 - quatro chances (1+4), (4+1), (2+3) e (3+2);

Cavalo 6 - cinco chances (1+5), (5+1), (2+4), (4+2) e (3+3);

Cavalo 7 - seis chances (1+6), (6+1), (2+5), (5+2), (3+4) e (4+3);

Cavalo 8 - cinco chances (2+6), (6+2), (3+5), (5+3) e (4+4);


Cavalo 9 - quatro chances (3+6), (6+3), (4+5) e (5+4);

Cavalo 10 - trs chances (4+6), (6+4) e (5+5);

Cavalo 11 - duas chances (5+6) e (6+5);

Cavalo 12 - uma chance (6+6);

Cavalo 13 - nunca.

Pea aos alunos que escrevam a razo entre o nmero de chances e o total de possibilidades (36). Compa-

re os resultados obtidos na corrida de cavalos com os obtidos no clculo do percentual de chance de cada um.

Se a brincadeira fosse novamente proposta, em quais cavalos apostariam agora?

Folha de atividades Corrida de Cavalos

Nome da escola: ________________________________________________________

Nome do aluno: ________________________________________________________

Segue abaixo o tabuleiro para realizar o jogo da Corrida de Cavalos

Jquei/Cavalos

Distncia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

100m

200m

300m

400m

500m

600m

700m

800m

900m

1000m

1100m

1200m

1300m

1400m

1500m

1600m

1700m

1800m

1900m

2000m

54


35 a 37

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Roda

Matemtica

Arquivo em flash Roda

Matemtica, disponvel em

http://portaldoprofessor.

mec.gov.br/storage/recur-

sos/917/probabilidades/

mat5_ativ1b.htm

Este recurso trabalha

com o conceito de

probabilidade a partir do

jogo de roleta. Tambm

so discutidos, por

intermdio de fraes,

os clculos de probabili-

dades

Grupos de

3 ou 415 minutos


Divida a turma em equipes de 3 ou 4 alunos.Exiba o recurso para a turma, mostrando alguns exemplos

de jogadas.

Cada equipe dever jogar as 10 rodadas separadamente. Ao final, a equipe que conseguir o maior saldo, vence.A

diviso da turma em grupos de 3 ou 4 para que no haja muitas equipes, pois cada uma delas dever cumprir as 10

rodadas antes de dar a vez para a segunda equipe.

O aluno tem sua disposio as possibilidades de escolha de aposta. Primeiro ele escolhe sua opo de aposta,

em seguida identifica em uma tabela de fraes quais as suas chances de acerto e, conforme o resultado obtido, deve

calcular sua pontuao conquistada ou perdida.


Aspectos pedaggicos

Professor, os alunos podem apresentar dificuldades no clculo das probabilidades. Como o jogo no tem o

fator tempo, voc pode utilizar as dvidas que surgirem em cada rodada para tecer as explicaes que julgar neces-

srias ao grupo.

O critrio de pontuao do jogo inversamente proporcional probabilidade de acerto. Isto , quanto maior

a probabilidade de acerto, menos pontos sero conquistados e, quanto maior a probabilidade de acerto, mais pontos

sero conquistados. Dessa maneira, alguns alunos podem demonstrar dificuldades no entendimento deste tipo de

pontuao. Auxilie-os para que possam utilizar esse critrio de pontuao como estratgia para ganhar o jogo.

56


35 a 37

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Troca ou no

troca

Trs copos

opacos de

plstico e uma

moeda

A atividade visa mostrar uma

situao prtica no caso,

um jogo - em que se aplica o

conceito de probabilidade de

acerto

Individual 35 minutos


O professor dispe de trs copos opacos e de uma moeda, colocados sobre uma mesa.Utilizando alguns livros

ou outros objetos, faz uma barricada, para que coloque a moeda em um dos copos sem que ningum da turma possa

ver. Depois disso, a barricada retirada e somente os copos ficam visveis aos alunos.

Em seguida, o professor pedir que um aluno escolha aleatoriamente o copo em que acha que a moeda foi

colocada. Diante da escolha, o professor far a seguinte alterao no cenrio da atividade: alm do copo escolhido

pelo aluno que poder conter a moeda ou no - certamente ainda haver pelo menos um copo vazio (sem moeda).

Um destes copos sem moeda, ento, eliminado da atividade.

Far-se-, ento, uma nova indagao ao aluno: Diante dos dois copos que restaram sobre a mesa, voc prefere

permanecer com a sua escolha ou quer trocar de copo?

Aps a opo do aluno, o professor revelar a localizao da moeda e preencher o seguinte quadro que de-

ver ser escrito no quadro.

Preferiu trocar Acertou?


A atividade finalizada quando todos da turma participarem da brincadeira. Aps a compilao do todos os

dados na tabela, os alunos em conjunto com o professor calcularo o percentual de acerto daqueles que preferiram

trocar e daqueles que no preferiram trocar.

Aspectos pedaggicos

Professor, esta atividade muito intrigante para os alunos. Com efeito, quando um dos copos retirado, o

aluno fica com a sensao de que as chances que lhe restaram para ganhar passam de 33,33% para 50%. Esta uma

sensao, porm, equivocada. Na escolha do copo ainda no incio da atividade, o aluno tinha 1/3 de chances de

acertar e, consequentemente, 2/3 de chances de errar. Quando um dos copos que no contm a moeda foi retirado,

restaram sobre a mesa apenas dois copos: o que foi escolhido pelo aluno inicialmente e o outro copo. Dessa forma,

o copo que foi escolhido inicialmente ainda mantm a probabilidade de 1/3 de chances de ser o correto, por ter sido

escolhido ainda quando havia sobre a mesa 3 copos. Ao passo que o outro copo que ficou sobre a mesa assume a

probabilidade do erro, isto , 2/3.

Sendo assim, os dados na tabela mostraro que aproximadamente 2/3 dos alunos que quiseram trocar de

copo tero acertado e 1/3 tero errado. Alm disso, 1/3 dos alunos que no quiserem trocar de copo tero acertado

e 2/3 errado.

A justificativa apresentada na orientao anterior deve ser exposta de maneira muito clara para os alunos,

sobretudo no que diz respeito aos resultados aproximados. Afinal, este uma excelente oportunidade para explicar

como o tamanho da amostra influencia na preciso do clculo das probabilidades.

Seo 2 Afinal, quais as minhas chances de vencer?Pginas no material do aluno

38 a 43

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Urnas

vdeo Coisa de passa-

rinho, disponvel em

http://m3.ime.unicamp.

br/recursos/1070,

calculadoras cientficas

e cpias dafolha de

atividades

a atividade discute o concei-

to de probabilidade de um

evento atravs de um vdeo.

No problema proposto, os

alunos devem determinar o

espao amostral e calcular a

probabilidade de um evento

dado

Duplas 25 minutos

2 Fonte

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1070

58


Exiba o vdeo para a turma.

Divida a turma em duplas e distribua as calculadoras e as folhas de atividades.

Depois que as duplas trabalharem com o problema proposto, promova uma discusso com toda a turma sobre

as resolues propostas.

Aspectos pedaggicos

Valorize a relao entre o vdeo assistido e o problema proposto. Estimule a comparao entre eventos com

chances maiores e menores de ocorrncia e, se quiser, proponha esta mesma atividade com variaes do tipo: mais

bolinhas, bolinhas identificveis, mais bolinhas e mais urnas.

Soluo comentada:

As urnas e bolinhas podem ser representadas por smbolos. Vamos usar a barra | para representar a lateral da

urna ou uma divisria entre duas urnas, e * para representar uma bolinha. Com esta representao, a sequncia

|*||**|

nos diz que uma bola foi colocada na primeira urna, nenhuma na segunda e duas na terceira.

Queremos determinar a probabilidade de obter a sequncia

|*|*|*|

com uma bolinha em cada urna.

Como temos 3 asteriscos e 4 barras (duas das quais so fixas pois so extremos e nenhuma bolinha fica fora

das urnas), para determinar todos os resultados possveis, basta permutarmos os asteriscos e as barras intermedirias.

Isto , devemos calcular todas as possibilidades de trocarmos as posies de duas barras em uma sequncia de 5

smbolos. Isto , devemos calcular a combinao de 5 elementos dois a dois. (caso os alunos tenham dificuldade com

combinatria, as possibilidades podem ser obtidas manualmente). Isto

possibilidades.

Como a sequncia |*|*|*|

corresponde a uma dessas possibilidades, a probabilidade de sua ocorrncia igual a .

Folha de atividades Urnas

Nome da escola: ________________________________________________________

Nome do aluno: ________________________________________________________


Problema:

Suponha que voc tem 3 bolinhas indistinguveis entre si que sero colocadasaleatoriamente (sem nenhum

critrio estabelecido) em 3 urnas. Em cada urnapodem ser colocadas no mximo 3 bolinhas.Qual a probabilidade

de que nenhuma urna fique vazia?

Seo 2 Afinal, quais as minhas chances de vencer?Pginas no material do aluno

38 a 43

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Problema dos

Pontos

vdeo Cara ou coroa

disponvel em http://

m3.ime.unicamp.

br/recursos/1062,

calculadoras cientfi-

cas, moedas e cpias

dafolha de atividades

Os alunos devem retomar

um problema exposto no v-

deo, em que Pascal e Fermat

discutem sobre a maneira

mais justa de dividir o prmio

de um jogo que foi interrom-

pido antes de seu trmino.

Duplas 40 minutos


Exiba o vdeo para a turma. Em seguida, divida a turma em duplas e distribua as moedas, as calculadoras e as

folhas de atividades. Depois que as duplas trabalharem com o problema proposto, promova uma discusso com toda

a turma sobre as resolues propostas.

Aspectos pedaggicos

Discuta as regras de realizao das partidas. Deixe claro que cada dupla est simulando a continuao do jogo

de Pascal e Fermat, que foi interrompido com o placar de 87 favorvel a Fermat.

Certifique-se de que, em cada partida, a moeda seja lanada apenas o nmero de vezes necessrio para que

Pascal ou Fermat completem 10 pontos. Lembre-se de que no incio de cada partida, Pascal j tem 7 pontos e Fer-

mat, 8 pontos. Alm disso, se o resultado for cara, Pascal marca um ponto e se o resultado for coroa, Fermat marca

um ponto.Enfatize que a simulao pode no condizer com as chances calculadas em cada caso. s uma forma de

experimentao da situao.

60

Folha de atividades Problema dos pontos

Nome da escola: ________________________________________________________

Nome do aluno: ________________________________________________________

Vamos verificar se a soluo terica obtida pelospersonagens coerente com as probabilidades reais de vitria

de cada um deles.

Em cada dupla, decidam que ser o Pascal e quem ser o Fermat.

Em cada partida, a moeda deve ser lanada se o resultado for cara, Pascal marca um ponto. Se o resultado for co-roa, Fermat marca um ponto.

Cada partida termina quando um jogador completar 10 pontos.

As duplas devem disputar 10 partidas e anotar o vencedor em cada uma delas. Sempre lembrando que vamos admitir que Pascal j marcou 7 pontos e Fermat, 8 pontos.

Use a tabela abaixo para anotar os vencedores

PartidaResultado do primeiro lanamento

Resultado do segundo lanamento

Resultado do terceiro lanamento

Resultado do quarto lanamento

Vencedor(Fermat ou Pascal)

123456789

10

Informe ao professor quantas vitrias foram de Fermat e quantas de Pascal.

Utilizando os dados de todas as duplas anotados pelo professor no quadro, calculem a chance de vitria de cada um dos personagens.

Soluo comentada

Para facilitar a visualizao, algumas partidas foram simuladas na tabela abaixo. Indicamos, a ocorrncia de

cara na moeda por R e de coroa por C. na ltima coluna, foram feitos alguns comentrios.


PartidaResultado do primeiro lanamento

Resultado do segundo lanamento

Resultado do terceiro lanamento

Resultado do quarto lanamento

Vencedor(Fermat ou Pascal)

1 C C FERMAT

Com dois lanamentos da mo-

eda, Fermat marcou 2 pontos.

Juntamente com seus 8 iniciais

totalizou 10 pontos e venceu

essa partida.

2 R C C FERMAT

Em trs lanamentos da moeda,

Pascal marcou 1 ponto e Fermat

marcou 2 pontos. Juntamente

com seus 8 iniciais, Fermat to-

talizou 10 pontos e venceu essa

partida.

3 R R C R PASCAL

Em quatro lanamentos da mo-

eda, Pascal marcou 3 ponto e

Fermat marcou 1 pontos. Junta-

mente com seus 7 iniciais, Pascal

totalizou 10 pontos e venceu

essa partida.

MATEMATICA-MOD04-VOL02

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