MATEMATICA-MOD02-VOL02

MATEMTICAe suas TECNOLOGIAS

Professor

Volume 2 Mdulo 2 Matemtica

GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Governador

Sergio Cabral

Vice-Governador

Luiz Fernando de Souza Pezo

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAO

Secretrio de Educao

Wilson Risolia

Chefe de Gabinete

Srgio Mendes

Secretrio Executivo

Amaury Perlingeiro

Subsecretaria de Gesto do Ensino

Antnio Jos Vieira De Paiva Neto

Superintendncia pedaggica

Claudia Raybolt

Coordenadora de Educao de Jovens e adulto

Rosana M.N. Mendes

SECRETARIA DE ESTADO DE CINCIA E TECNOLOGIA

Secretrio de Estado

Gustavo Reis Ferreira

FUNDAO CECIERJ

Presidente

Carlos Eduardo Bielschowsky

PRODUO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)

Diretoria Adjunta de ExtensoElizabeth Ramalho Soares Bastos

Coordenao de Formao ContinuadaCarmen Granja da Silva

Coordenao Geral de Design InstrucionalCristine Costa Barreto

Coordenao GeralAgnaldo Esquincalha

Gisela Pinto

Coordenador Geral de Material DidticoWallace Vallory Nunes

ElaboraoAndr Luiz Cordeiro dos Santos

Andr Luiz Martins PereiraCleber Fernandes

rika Silos de CastroGabriela dos Santos Barbosa

Heitor Barbosa Lima de OliveiraJosemeri Araujo Silva Rocha

Leo Akio YokoyamaLuciana Felix da Costa Santos

Luciane de Paiva Moura CoutinhoPatrcia Nunes da Silva

Telma Alves

Coordenao de Design InstrucionalFlvia Busnardo

Paulo Vasques de Miranda

Design InstrucionalJuliana Bezerra

Coordenao de ProduoFbio Rapello Alencar

Projeto Grfico e CapaAndreia Villar

Imagem da Capa e da Abertura das UnidadesSami Souza

DiagramaoAlessandra NogueiraAlexandre d' Oliveira

Andr GuimaresAndreia VillarBianca Lima

Carlos Eduardo VazJuliana Fernandes

IlustraoBianca Giacomelli

Clara GomesFernando RomeiroJefferson Caador

Sami Souza

Produo GrficaVernica Paranhos

SumrioUnidade 6 Vamos poupar dinheiro! 5

Unidade 7 Trigonometria do tringulo retngulo 49

Expanso Funo Polinomial do 1 grau Parte 2 79

Expanso Funo Polinomial do 2 grau Parte 2 119

Expanso Trigonometria na circunferncia 147

Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 5

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Volume 2 Mdulo 2 Matemtica Unidade 6

Vamos poupar dinheiro!rika Silos de Castro (coordenao), Andr Luiz Martins Pereira e Luciana Felix da Costa Santos.

IntroduoNa Unidade 18 do material do aluno, so apresentadas vrias situaes co-

tidianas em que podemos utilizar a funo exponencial. Nesta unidade, o aluno

ter a oportunidade de ampliar as discusses realizadas no Mdulo 2, compreen-

dendo as funes exponenciais por meio de problemas prticos como os juros

compostos de uma poupana, por exemplo.

Com o objetivo de oferecer a voc, professor, recursos para complementar

a discusso deste tema em sala de aula, pesquisamos e elaboramos algumas ativi-

dades. Disponibilizamos tambm alguns recursos didticos para facilitar o desen-

volvimento destas atividades. O resumo e o detalhamento de nossas sugestes

sero apresentados nas tabelas e textos das prximas pginas. A proposta que

voc as utilize de acordo com a realidade de cada turma, fazendo alteraes e

adaptaes sempre que julgar necessrio.

Sugerimos que a primeira aula desta unidade inicie-se com uma atividade

disparadora. Esta uma atividade proposta para ser realizada em grupo, promo-

vendo uma dinmica entre os alunos. Neste momento, esperado que eles de-

senvolvam algumas noes bsicas relacionadas funo exponencial.

Por fim, aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em dois

momentos: o primeiro momento deve ser dedicado a uma reviso geral do estudo

realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da

retomada de questes que surgiram durante o processo. J o segundo momento

um momento de avaliao do estudante, priorizando questionamentos reflexivos

que complementem as atividades e exerccios resolvidos durante as aulas.

6Apresentao da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:

Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemtica 2 2 6 4 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Vamos poupar dinheiro! Funo Exponencial

Objetivos da unidade

Identificar fenmenos que podem ser modelados por uma funo exponencial;

Identificar a representao algbrica, grfica e as principais propriedades da funo exponencial;

Resolver problemas, utilizando a funo exponencial;

Resolver equaes exponenciais simples.

SeesPginas no material do

aluno

Para incio de conversa... 225 e 226

Seo 1 Aprendendo um pouco sobre o clculo de juros compostos 227 a 235

Seo 2 Analisando grficos e definindo a funo exponencial 235 a 238

Resumo 238

Veja ainda... 238

O que perguntam por a? 241 a 242

Caia na rede! 243 a 245

Em seguida, sero oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dncia direta entre cada seo do Material do Aluno e o Material do Professor.

Ser um conjunto de possibilidades para voc, caro professor.

Vamos l!


Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.

Applets

So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponveis

para os alunos.

Avaliao

Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.

Exerccios

Proposies de exerccios complementares

8Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio

Descrio SucintaDiviso da

TurmaTempo

Estimado

Jogo de xadrez e a

exponencial

Folha de atividades e calculadora

A atividade inicialmente prope a leitura e a interpre-tao de um dilogo entre o imperador e um sdito sobre o jogo de xadrez. Com os da-dos apresentados na histria, os alunos sero convidados

a resolver um problema, cuja soluo dada, usando a

ideia de crescimento de uma funo exponencial.

Em grupos de trs ou quatro

alunos30 minutos

Torre de Hani

Folha de ativi-dades, compu-

tadores com acesso Inter-net, software

Torre de Hani (disponvel no

material do professor) e

software Geo-Gebra

Esta atividade prope a utilizao do jogo Torre de

Hani para a observao de um crescimento exponencial.

Primeiro, apresentamos a histria do surgimento deste

jogo e apresentamos um aplicativo interativo. Depois, sugerimos questes e refle-xes que levem os alunos a observarem e interpretarem as informaes contidas no

desafio apresentado.

Duplas ou trios, prefe-

rencialmente. Grupos de quatro ele-mentos ou

participao coletiva da

turma tambm so possveis.

40 minutos


Seo 1 Aprendendo um pouco sobre o clculo de juros compostos

Pginas no material do aluno

227 a 235

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Usando grficos na previso de

rendimentos em aplicaes

financeiras

Computadores com acesso Internet, sof-

tware GeoGe-bra instalado,

lousa, caderno ou folhas para

anotaes e lpis/caneta

Usaremos aqui o software GeoGebra para fazer a anli-se da representao grfica de uma funo exponencial.

Ela ser usada para calcu-lar o rendimento de uma determinada quantia em

dinheiro, quando aplicada na poupana. Esse rendimento

estabelecido pela aplicao de juros compostos.

Turma dividida em duplas ou

trios30 minutos

Desmistifican-do o estudo de juros compos-tos com apoio

de grficos

Computado-res, software GeoGebra, datashow, folha para

anotaes dos alunos e lousa

Usaremos aqui o software GeoGebra, para fazer a

representao grfica de uma funo exponencial no software. A partir do

grfico, faremos a anlise do rendimento de uma

determinada quantia em dinheiro, quando aplicada a

juros compostos.

Duplas ou trios 40 minutos

10

Seo 2 Analisando grficos e definindo a funo exponencial


235 a 238

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Acidente com Csio-137

Folha de atividades,

computado-res, software GeoGebra e calculadora

Essa atividade tem por objetivo estudar a funo exponencial que modela o comportamento do de-

caimento radioativo de um istopo do Csio, a partir da leitura de um texto sobre o episdio que ficou conheci-do como Acidente com C-sio-137. Far uso do softwa-re GeoGebra, para explorar as caractersticas grficas

e analticas do conceito de funo exponencial.


Epidemia de Dengue

Cpias da folha de

atividades, computado-

res, softwares GeoGebra e

Winplot e cal-culadora

Esta atividade prope-se a mostrar como a Matem-

tica, por meio da teoria de funes exponenciais, pode auxiliar no entendimento e no combate de epidemias.


O que perguntam por a?Pginas no material do aluno

241 a 242

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

UNESP

Imagem para projeo, dis-ponvel neste

material; mate-rial do aluno

Os alunos resolvero uma questo que envolve a

anlise de uma funo expo-nencial.

Duplas 15 minutos


Avaliao

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Avaliao da Unidade

Cpias da folha de atividades,

material do aluno

Esta atividade sugere um instrumento avaliativo para a unidade. Ele est dividido em duas etapas: a primeira con-siste no registro de aprendi-zagens e a segunda consiste em questes objetivas e dis-sertativas, cuja escolha fica a

critrio do professor.

Individual 40 minutos

Atividade Complementar

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Exerccios de fixao com-plementares

Folhas de ativi-dades

Duplas ou em trios 15 minutos

12

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Jogo de xadrez e a

exponencial

Folha de atividades e calculadora

A atividade inicialmente prope a leitura e a interpre-tao de um dilogo entre o imperador e um sdito sobre o jogo de xadrez. Com os da-dos apresentados na histria, os alunos sero convidados

a resolver um problema, cuja soluo dada, usando a

ideia de crescimento de uma funo exponencial.

Em grupos de trs ou quatro

alunos30 minutos

Aspectos operacionais

Professor, importante que voc reproduza a folha de atividades, com antecedncia, de acordo com o nmero

de alunos da sua turma. Em seguida, solicite que a turma divida-se em grupos de trs ou quatro alunos, distribua a

folha para os grupos e leia com eles a histria.

Aps a leitura, apresente o formato do tabuleiro de xadrez, para ajudar os alunos que no estiverem familiari-

zados com o jogo. importante destacar que o tabuleiro possui 64 casas e definir uma ordem para a contagem das

casas. Sugerimos que sejam contadas da esquerda para a direita e de baixo para cima. Logo, a casa 22 estar na posi-

o (f,3), a casa 59 na posio (c,8) etc.


Oriente os alunos a responderem s questes propostas na folha de atividades, pedindo que descrevam a

forma como esto procedendo para resolver o problema.

Ao final da atividade, promova um debate a partir dos resultados obtidos pelos alunos, discutindo as questes

apresentadas na prxima seo.

Aspectos pedaggicos

Na seo Para incio de conversa..., que abre a Unidade 8 do Mdulo 2 do material do aluno, apresentada

uma histria em quadrinhos que recorre matemtica financeira para motivar o estudo de funes exponenciais.

Na tentativa de trazer novas opes para voc, professor, elaboramos esta atividade, utilizando agora a histria do

jogo de xadrez como ponto de partida e contexto para a elaborao do problema. A soluo dada, usando a ideia

de crescimento de uma funo exponencial e permite explorar um pouquinho o conceito de progresso geomtrica.

Primeiro, propomos a leitura e a interpretao de um dilogo entre o imperador e um sdito sobre o jogo de

xadrez. Com os dados apresentados na histria, os alunos sero convidados a responderem s questes propostas na

folha de atividades, disponvel neste material, e posteriormente, a ampliarem as discusses para as situaes propos-

tas no material do aluno.

Para auxiliar os alunos nas questes propostas na folha de atividades, voc pode dar uma dica de como escre-

ver o nmero de moedas de ouro, usando potncias de 3. Isto , lev-los a observar que 1 moeda pode ser representa-

da por 30, 3 moedas por 31, 9 por 32 e assim por diante. Alm disso, este exerccio permite o entendimento da genera-

lizao proposta na questo 3, atravs da obteno de um frmula matemtica que representa o nmero de moedas

de ouro em cada casa x. Ou seja, ao observar que na casa 1 h 30 moedas, que na casa 2 h 31 moedas, que na casa 3

h 32 moedas e assim por diante, acreditamos que os alunos conseguiro perceber que na casa x haver 3x-1 moedas.

A atividade fica mais interessante se for permitido o uso de calculadora, j que a cada casa o nmero de moe-

das aumenta exponencialmente, conforme uma PG de razo 3.

Outra oportunidade a de se trabalhar propriedades de potncias, como o produto de potncias de mesma

base. Isso permite que o aluno observe a relao entre o nmero de moedas contidas em duas casas consecutivas do

tabuleiro e ainda obtenha os resultados desejados com muito mais rapidez. Desta forma, calcular 320, por exemplo,

fica muito mais fcil, quando ele observa que 320=310.310

Na questo desafio, ajude os grupos, apresentando uma maneira de calcular esse valor, aplicando apenas pro-

priedades de potncias ou pela soma de n termos de uma PG.

Ao final da atividade, promova um debate sobre, baseado nos resultados obtidos pelos alunos, discutindo:

A possibilidade de se preencher o tabuleiro com moedas de ouro, conforme exposto no problema;

Se os alunos pudessem chutar um nmero de moedas para este preenchimento, quantas moedas eles achariam que so suficientes para satisfazer ao sdito?

Voc pode reproduzir e distribuir uma cpia com a figura de um tabuleiro de xadrez para cada grupo (ela est

disponvel neste material) e instig-los a imaginar quantas moedas seriam necessrias para o preenchimento daquele

tabuleiro de acordo com o singelo pedido do sdito.

14

Folha de atividades Jogo de xadrez e a exponencial

Nome da escola: ____________________________________________________________

Nome do aluno: ____________________________________________________________

Vamos interpretar a situao apresentada a seguir, respondendo s questes propostas:

H muitos e muitos anos, na China, ocorreu um fato inusitado. O imperador, entediado de travar guerras es-

pecialmente aquelas que perdia -, props um desafio a seus sditos.

Imperador: Estou cansado de ficar pensando na guerra que perdi. Quero algo novo para ocupar meu tempo!

Ching Lin, um engenhoso inventor, criou um jogo para acabar com o tdio do seu imperador. Ele chamou esse

jogo de xadrez. Confiante em sua criao, Ching Lin foi ao palcio real para apresentar o jogo.

Ching Lin: Consegui! Imperador, inventei um jogo para o senhor passar o seu tempo e esquecer as batalhas.

O imperador e Ching Lin comearam ento a jogar. Ao final do jogo, o imperador, encantado pela inveno de

seu sdito, decidiu dar-lhe uma recompensa.

Imperador: O que posso fazer para te recompensar por esse magnfico jogo?

Ching Lin: Imperador, d-me uma moeda de ouro pela primeira casa do tabuleiro, trs pela segunda casa, nove

pela terceira, vinte e sete pela quarta e assim por diante, at a ultima casa do tabuleiro.

Imperador: Muito bem! Chamem meu tesoureiro para contar a quantidade de moedas.

Ser que o imperador tem noo do que est fazendo? Ching Lin ser agora um homem rico?

Questo 1: Preencha o quadro a seguir, relacionando o nmero de casas e o nmero de moedas de ouro, at

o nmero que conseguir encontrar no tabuleiro. Obs.: Para auxili-lo, utilize uma calculadora.

Nmero da Casa Nmero de Moedas de Ouro por Casa

1

2

3

5

10

20

25

50

60

64


Questo 2: O que ocorre com o nmero de moedas em cada casa consecutiva do tabuleiro? Podemos obser-

var alguma regularidade a partir do quadro construdo? Justifique a sua resposta.

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

Questo 3: Determine uma frmula matemtica que represente o nmero de moedas de ouro em cada casa

em funo do nmero x da casa correspondente no tabuleiro.

____________________________________________________________________________________

Questo 4: Determine a quantidade de moedas do ouro:

na 20 casa. __________________________________________________________________

at a 20 casa.________________________________________________________________

Questo Desafio: Quanto o imperador teria de pagar a Ching Lin, em moedas de ouro? Ching Lin ficaria rico?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Torre de Hani

Folha de ativi-dades, compu-

tadores com acesso Inter-net, software

Torre de Hani (disponvel no

material do professor) e

software Geo-Gebra

Esta atividade prope a utilizao do jogo Torre de

Hani para a observao de um crescimento exponencial.

Primeiro, apresentamos a histria do surgimento deste

jogo e apresentamos um aplicativo interativo. Depois, sugerimos questes e refle-xes que levem os alunos a observarem e interpretarem as informaes contidas no

desafio apresentado.

Duplas ou trios, prefe-

rencialmente. Grupos de quatro ele-mentos ou

participao coletiva da

turma tambm so possveis.

40 minutos

16


A atividade foi planejada para ser aplicada no laboratrio de informtica e com os alunos divididos em duplas.

No entanto, caso o laboratrio de informtica no tenha computadores suficientes, possvel aplicar a atividade com

os alunos organizados em grupos de, no mximo, quatro componentes. Em caso de grupos com mais de dois alunos,

sugerimos que haja um revezamento entre os componentes do grupo, para que todos possam participar ativamente.

A mesma atividade poder ser aplicada em sala de aula com um computador ligado a um projetor multimdia ou a

uma TV. Neste caso, os alunos podero interagir com o aplicativo de maneira indireta e coletiva.

Assim, antes de conduzir seus alunos at o laboratrio ou de usar o computador da sala, certifique-se de que

o aplicativo Torre de Hani e o GeoGebra foram devidamente instalados e testados, para que no seja necessrio rea-

lizar tais procedimentos durante a aula. Quando tudo estiver preparado, apresente o aplicativo disponvel em http://

www.matematica.br/programas/hanoi/index.html e resolva um dos desafios como exemplo.

Solicite que os alunos organizem-se em grupos e apresente o jogo, descrevendo sua histria e suas regras,

de acordo com o proposto na seo Aspectos pedaggicos. Convide-os a interagir com o aplicativo e, em seguida,

a responder s questes da folha de atividades. Convide-os tambm a realizarem registros das suas aprendizagens.

Ao final da atividade, promova um debate a partir dos resultados obtidos pelos alunos, discutindo as questes

propostas na seo seguinte.

Aspectos pedaggicos

Para iniciar a atividade, seria interessante apresentar o problema da Torre de Hani de uma forma mais ldica.

Para isso, podemos contar a histria do seu surgimento e, em seguida, apresentar o aplicativo interativo com o jogo

originado do problema.

O problema das Torres de Hani foi proposto pelo matemtico francs Edouard Lucas, em 1883. Lucas elaborou

para seu invento uma lenda curiosa sobre uma torre muito grande: a torre de Brama, que foi criada no incio dos

tempos, com trs hastes, contendo 64 discos concntricos (mesmo centro). O criador do universo tambm criou uma

comunidade de monges cuja nica atividade seria mover os discos da haste original (A) para uma de destino (C).


O criador estabeleceu que o mundo acabaria, quando os monges terminassem sua tarefa. Porm, os monges

deveriam respeitar trs regras na sua execuo:

1) pode-se mover um nico disco por vez;

2) um disco maior no pode ser colocado sobre um disco menor;

3) um disco deve estar sempre numa das trs hastes, ou em movimento.

A tarefa do jogo, disponvel em http://www.matematica.br/programas/hanoi/index.html, encontrar a regra

de movimentao tima (que atinja o objetivo com um nmero mnimo de movimentos) e com isso estimar quanto

tempo ainda nos resta.

Voc pode iniciar com 2 discos e mostrar a eles que o menor nmero de movimentos, neste caso, 3. Os alunos po-

dero reproduzir a jogada com dois discos e aumentar gradativamente o nmero de discos sempre que atingirem a meta.

Para auxiliar os alunos nas questes propostas na folha de atividades, voc pode dar uma dica de como escre-

ver o nmero mnimo de movimentos, usando potncias de 2. Isto , lev-los a observar que, com 2 discos, o menor

nmero de movimentos pode ser representado por 22-1; com 3 discos, esse nmero 23-1; com 4 discos, o nmero

24-1 e assim por diante. Alm disso, este exerccio permite o entendimento da generalizao proposta na questo 3,

atravs da obteno de uma frmula matemtica que representa o nmero mnimo de movimentos com um nmero

x de discos, ou seja, ao observar que com 2 discos so necessrios pelo menos 22-1 movimentos; que com 3 discos

so necessrio 23-1 movimentos; que com 4 discos, 24-1 movimentos e assim por diante, acreditamos que os alunos

conseguiro perceber que com x discos so necessrios, no mnimo, 2x-1 movimentos.

18

Na questo 5, se necessrio, oriente os alunos a inserirem a lei A(n)=2n-1 na caixa de entrada, localizada na

parte inferior da tela do GeoGebra, conforme figura a seguir:

Ao resolverem a questo 6, oriente-os alunos a inserirem a lei A(n)=2n-1 na caixa de entrada da mesma tela,

para que possam realizar a comparao proposta.

Esta atividade permite que os alunos recorram s potencialidades do software, como o zoom. Para isso, basta

clicar em Ampliar e depois clicar sobre o objeto na tela, at que ele atinja o tamanho desejado.

Ao final da atividade, promova um debate com os alunos, discutindo:

As maneiras como esto procedendo para resolver o problema, sem se preocupar com o rigor matemtico.

Se a maneira escolhida por eles utiliza o menor nmero de movimentos possvel.

Caso os alunos apresentem dificuldades nesta otimizao, voc pode auxili-los na obteno destes nmeros

mnimos de movimentos e instig-los a observarem algum tipo de regularidade.

Os domnios e as imagens das funes dadas pela mesma lei A(n)=2n-1. Aqui, cabe ressaltar que no caso da

funo que representa o nmero de movimentos da Torre de Hani, o domnio, representado pelo nmero de discos,

dado pelo conjunto discreto {1, 2, 3, 4, 5...}, enquanto o grfico dado pelo GeoGebra considera D = R.


Folha de atividades Torre de Hani

Nome da escola: ____________________________________________________________

Nome do aluno: ____________________________________________________________

O problema das Torres de Hani foi proposto pelo matemtico francs Edouard Lucas, em 1883. Lucas elaborou

para seu invento uma lenda curiosa sobre uma torre muito grande: a torre de Brama, que foi criada incio dos tempos,

com trs hastes, contendo 64 discos concntricos (mesmo centro). O criador do universo tambm criou uma comuni-

dade de monges cuja nica atividade seria mover os discos da haste original (A) para uma de destino (C).

O criador estabeleceu que o mundo acabaria, quando os monges terminassem sua tarefa. Porm, os monges

deveriam respeitar trs regras na sua execuo:

1) pode-se mover um nico disco por vez;

2) um disco maior no pode ser colocado sobre um disco menor;

3) um disco deve estar sempre numa das trs hastes, ou em movimento.

Sua tarefa encontrar a regra de movimentao tima (que atinge o objetivo com um nmero mnimo de

movimentos) e com isso estimar quanto tempo ainda nos resta! Suponha que cada disco leve 1 segundo para ser

movido. Tente encontrar uma frmula que, a partir de um determinado nmero inteiro n, devolva o nmero mnimo

de movimentos para mover completamente uma torre com n discos.

Questo 1: A partir do jogo interativo, tente preencher a tabela com o menor nmero de movimentos neces-

srios para atingir o objetivo deste desafio.

Nmero de Discos Nmero Mnimo de Movimentos

2

3

4

5

6

7

20

Questo 2: possvel sempre chegar ao objetivo desejado, isto , determinar um nmero mnimo de movi-

mentos que permita transferir todos os discos da primeira para a terceira haste, seguindo as regras do jogo? Caso

positivo, justifique a sua resposta.

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

Questo 3: Existe, nesta atividade, alguma relao matemtica entre o nmero n de peas da torre e o nmero

mnimo A(n) necessrio, para efetuar a sua transferncia da haste de origem para a haste final? Existe uma funo

matemtica A(n), da varivel n que possa representar esta situao?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

Questo 4: O que acontece com o nmero de movimentos, quando o nmero de discos aumenta em uma

unidade? E em duas unidades? E em trs? E em n? Que tipo de funo descreve este comportamento?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

Questo 5: Usando uma ferramenta grfica, como GeoGebra, faa o grfico da funo A(n) obtida na questo

3. Para isto, digite na caixa de entrada, localizada na parte inferior da tela do software GeoGebra a lei de formao,

obtida na questo anterior.

Questo 6: Analisando o grfico obtido na questo 5 e o grfico da funo de primeiro grau f(n) = 2n-1, para n

natural, qual a funo que cresce mais rpido? Para que valores de n estas funes coincidem? Justifique com suas

palavras:

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________




227 a 235

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Usando grficos na previso de

rendimentos em aplicaes

financeiras

Computadores com acesso Internet, software

GeoGebra instalado,

lousa, caderno ou folhas para

anotaes e lpis/caneta

Usaremos aqui o software GeoGebra para fazer a anli-se da representao grfica de uma funo exponencial.

Ela ser usada para calcu-lar o rendimento de uma determinada quantia em

dinheiro, quando aplicada na poupana. Esse rendimento

estabelecido pela aplicao de juros compostos.

Turma dividida em duplas ou

trios30 minutos


Esta atividade foi elaborada para aplicao em laboratrio de informtica, onde, a partir da modelagem de um

problema, ser feito uso da representao grfica de uma funo exponencial.

Para executar a construo da representao grfica da funo exponencial, voc dever sugerir aos seus alu-

nos o uso do software GeoGebra. Portanto, antes de comear, certifique-se de que o software est instalado nos com-

putadores que sero usados. Leve, ento, os seus alunos at o laboratrio de informtica, pea para que eles formem

duplas ou trios e que cada grupo se posicione em frente a um computador.

Proponha aos seus alunos que tentem resolver o problema que consta da seo aspectos pedaggicos (voc

poder projetar a imagem contendo o texto do problema, que est disponvel em seu material, ou, simplesmente,

escrev-lo na lousa). Faa com eles uma leitura e uma rpida discusso do problema proposto.

Eles devero estabelecer as expresses algbricas das funes f(x) e g(x). Em seguida, pea que abram o sof-

tware GeoGebra e o apresente rapidamente. Passe, ento construo das funes:

Uma vez aberto o software, pea os alunos que escolham, dentro do menu Disposies, a opo lgebra e

Grficos.

Em seguida, pea para que escrevam na barra de Entrada a expresso da primeira funo (f ). O grfico da fun-

o aparecer na Janela de visualizao. Ento, pea para que ajustem a escala do grfico para uma melhor visualiza-

o (podemos fazer isso clicando com o boto direito do mouse sobre uma parte qualquer da Janela de visualizao

e escolhendo a opo Eixo X : Eixo Y. Provavelmente, a escala mais apropriada ser a 1 : 50).

22

Eles podero ento responder ao primeiro questionamento quanto teremos daqui a cinco anos? inserin-

do uma segunda equao, x = 60 (lembrando que a taxa MENSAL e que cinco anos correspondem a 60 MESES), e

determinando o ponto de interseo dos dois grficos. Para fazer isso, basta selecionar a ferramenta Interseo de

dois objetos e, em seguida, clicar sobre os grficos em questo. As coordenadas do par ordenado, correspondente ao

ponto criado, aparecero na Janela de lgebra. E o valor de y nesse par ordenado corresponde ao valor procurado.

Para responder ao segundo questionamento se depositarmos dez mil reais hoje na poupana, em quanto

tempo, aproximadamente, teremos doze mil reais? , primeiro pea aos alunos que escondam os objetos com os

quais acabaram de trabalhar (para isso, basta clicar com o boto direito do mouse sobre cada objeto e desmarcar a

opo Exibir objeto). Eles podero proceder da mesma forma para a segunda funo, inserindo a expresso da segun-

da funo na barra de Entrada, inserindo, em seguida, a equao y = 12000 e, finalmente, determinando o ponto de

interseo dos dois grficos. Para fazer isso, basta selecionar a ferramenta Interseo de dois objetos e, em seguida,

clicar sobre os grficos em questo. As coordenadas do par ordenado correspondente ao ponto criado aparecero na

Janela de lgebra. E o valor de x nesse par ordenado corresponde ao valor procurado (para a segunda funo a escala

mais apropriada ser a 1: 100).

Caso a sua unidade escolar no disponha de um laboratrio de informtica, a mesma atividade poder ser

aplicada em sala de aula com auxlio de um computador ligado a um projetor multimdia ou a uma TV. Neste caso, os

alunos podero interagir com o software de maneira indireta e coletiva.

Aspectos pedaggicos

Esta atividade foi elaborada, tomando como base os questionamentos a respeito do rendimento de uma de-

terminada quantia em dinheiro na poupana, levantados no material do aluno, na seo Para incio de conversa

(pgina 2).

Existem muitas maneiras de calcular o rendimento que se estabelece pela aplicao de juros compostos. Uma

delas passa pela modelagem do problema atravs da noo de funo exponencial. Mas a anlise, baseada apenas

na representao algbrica da funo, passaria pela resoluo de equaes exponenciais e, em alguns casos, pela

resoluo de equaes logartmicas.

Uma vez que, at aqui, seus alunos provavelmente no tiveram a oportunidade de desenvolver essas habi-

lidades e competncias principalmente em relao resoluo de equaes logartmicas pensamos no uso da

representao grfica de uma funo exponencial para, a partir da modelagem do problema, realizar esse tipo de

anlise de rendimento.

Mas, por que lanar mo de um software de geometria dinmica e construo de grficos, como o GeoGebra?

O uso desse software, alm de agilizar o processo de construo de grficos, permitir a resoluo grfica das equa-

es exponenciais que citamos anteriormente as que dependem da resoluo de equaes logartmicas uma vez

que ser possvel marcar pontos de interseo de curvas e determinar suas coordenadas cartesianas.

Os questionamentos propostos na seo Para incio de conversa levam-nos ao seguinte problema (que dever

ser proposto aos alunos durante a aplicao da atividade):


Problema: Se colocarmos dois mil reais hoje na poupana, como fez Leon, voc saberia dizer quanto teremos

daqui a cinco anos? Ou, ento, se depositarmos dez mil reais hoje na poupana, em quanto tempo, aproximadamen-

te, teremos doze mil reais?

Para ajudar os seus alunos a modelar esse problema a partir do estudo de funes exponenciais, sugira os

seguintes questionamentos:

Qual a taxa mensal de rendimento da poupana atualmente?

Como podemos escrever esse valor em sua forma percentual e decimal?

Usando a frmula apresentada na pgina 5 do material do aluno, M = C.(1 + i), e sabendo que i) esse tipo de

aplicao feita a juros compostos e que ii) a taxa mensal de rendimento da poupana se manter constante durante

todo o tempo da aplicao, qual seria a expresso algbrica da funo estabelecida entre o montante acumulado do

rendimento e o tempo de aplicao de um capital de R$2.000,00? E para R$ 10.000,00?

Para que seus alunos descubram qual a taxa mensal de rendimento da poupana atualmente, voc poder

sugerir a eles que procurem por essa informao por intermdio de um site de busca (por exemplo, o Google).

Para referncia dessa busca, os alunos podero usar expresses como taxa da poupana 2013. Dentre os sites que

certamente aparecero como resultado estar o site de Remunerao dos Depsitos de Poupana do Banco Cen-

tral. Nesse site, os alunos encontraro os valores atualizados para a taxa de rendimento da poupana no ms de

aplicao dessa atividade.

Aps esta etapa, voc poder lembr-los da frmula apresentada na pgina 5 do material do aluno, M = C.(1

+ i)n , e tambm que a taxa mensal de rendimento da poupana se manter constante durante todo o tempo da apli-

cao. A partir da, procure conduzi-los a descobrir a expresso algbrica da funo estabelecida entre o montante

acumulado do rendimento e os tempos de aplicao de um capital de R$2.000,00 e de um capital de R$ 10.000,00.

importante neste momento relembrar rapidamente as condies para que algumas relaes sejam conside-

radas funes. Durante a realizao da atividade, eles trabalharo, por exemplo, com o grfico da equao x = 60, que

no representa uma funo e cujo grfico uma reta vertical.

Tambm importante enfatizar a relao existente entre o perodo de rendimento e a taxa. Se a taxa MENSAL

o perodo de rendimento dever ser contado em MESES, j se a taxa ANUAL, o perodo de rendimento dever ser

contado em ANOS.

Os grficos obtidos pelos alunos sero bem prximos dos que se seguem:

24

f(x) = 2000.(1+i)x e x = 60


g(x) = 10000.(1+i)x e y = 12000

26

Trabalhando com a taxa de rendimento da poupana do incio do ms de maio de 2013, 0,4273% ou 0,004273

ao ms, o montante acumulado do investimento de um capital de R$2.000,00 em cinco anos (60 meses) ser de,

aproximadamente, R$2.587,25. J em um investimento de um capital de R$10.000,00, sero necessrios 43 meses,

aproximadamente, para obter um montante de R$12.000,00.



227 a 235

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Desmistifican-do o estudo de juros compos-tos com apoio

de grficos

Computado-res, software GeoGebra, datashow, folha para

anotaes dos alunos e lousa

Usaremos aqui o software GeoGebra, para fazer a

representao grfica de uma funo exponencial no software. A partir do

grfico, faremos a anlise do rendimento de uma

determinada quantia em dinheiro, quando aplicada a

juros compostos.



Esta atividade foi elaborada para ser aplicada em laboratrio de informtica, tomando como base o problema

apresentado na seo Aspectos pedaggicos.

Antes de levar seus alunos ao laboratrio de informtica de sua unidade escolar, certifique-se de que o softwa-

re GeoGebra j est devidamente instalado nos computadores que sero usados durante a execuo da atividade.

Uma vez que tudo esteja preparado, leve os alunos at o laboratrio, divida-os em duplas ou em trios e pea que cada

grupo posicione-se em frente a um computador.

Proponha o problema e deixe que os alunos reflitam sobre ele por alguns minutos. Voc poder projetar a

imagem, contendo o texto do problema, que est disponvel em seu material, ou, simplesmente, escrev-lo na lousa.

Pea, ento, que seus alunos abram o software GeoGebra e apresente-o rapidamente.

Pea que tentem utilizar o software para resolver o problema. Para isto, pea para que eles insiram as expres-

ses das funes do problema no software, procedendo da seguinte forma:

Pea para que escolham, dentro do menu Disposies, a opo lgebra e Grficos e no menu Exibir, que esco-

lham a opo Malha.


Em seguida, pea que escrevam, na barra de Entrada, a expresso das funes que auxiliaro na resoluo do

problema. Os grficos das funes aparecero na Janela de visualizao.

Da eles podero responder ao questionamento do problema, determinando o ponto de interseo dos dois

grficos (para fazer isso basta selecionar a ferramenta Interseo de dois objetos e, em seguida, clicar sobre os grficos

e questo). As coordenadas do par ordenado correspondente ao ponto criado aparecero na Janela de lgebra e o

valor de x nesse par ordenado corresponde ao valor procurado.


aplicada em sala de aula com auxlio de um computador ligado a um projetor multimdia ou a uma TV. Neste caso, os


Aspectos pedaggicos

Proponha aos seus alunos o seguinte problema:

Problema: Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros produzidos por determinado capital so

iguais metade deste, se usarmos a taxa de 8% a.a, com capitalizao anual? Pensar neste problema com a aplicao

a juros compostos.

Seus alunos devem utilizar a frmula introduzida na pgina 5 do material do aluno, na seo Aprendendo um

pouco sobre o clculo de juros compostos. Depois de substituir os dados do problema na frmula, eles vo ento se

deparar com a equao (1 + 0,08)n = 32

.

Sem utilizar o logaritmo como ferramenta para resoluo dessa equao, uma vez que esse contedo pro-

vavelmente ainda no foi trabalhado por eles, podemos lanar mo dos grficos das funes reais f(x) = (1 + 0,08)x

(exponencial) e da y = 32

(constante) para obter tal resoluo.

Oriente seus alunos sobre a escrita de nmeros decimais no software GeoGebra. Nesse ambiente, a separao

da parte inteira da parte decimal de um nmero se d atravs de um ponto e no de uma vrgula, como o usual. A

escrita de decimais usando vrgulas na expresso das funes far com que o grfico no aparea.

O valor obtido como resposta para o problema proposto ser expresso pelo software em sua forma decimal:

5,27. Ser interessante discutir com seus alunos o que esse nmero representa no contexto do problema. 5,27 repre-

senta 5 anos mais 0,27 ou 27 centsimos do ano, que corresponde, aproximadamente a 5 anos, 3 meses e 7 dias.

28



235 a 238

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Acidente com Csio-137

Folha de atividades,

computado-res, software GeoGebra e calculadora

Essa atividade tem por objetivo estudar a funo exponencial que modela o comportamento do de-

caimento radioativo de um istopo do Csio, a partir da leitura de um texto sobre o episdio que ficou conheci-do como Acidente com C-sio-137. Far uso do softwa-re GeoGebra, para explorar as caractersticas grficas

e analticas do conceito de funo exponencial.



Esta atividade foi elaborada para ser aplicada em laboratrio de informtica, onde cada aluno poder interagir

diretamente com o software GeoGebra, que dar a apoio a construo do grfico proposto. Por isto, antes de comear,

certifique-se de que o software GeoGebra est instalado nos computadores do laboratrio de informtica de sua uni-

dade escolar. Caso a sua unidade escolar no disponha de um laboratrio de informtica, a mesma atividade poder

ser aplicada em sala de aula, com auxlio de um computador ligado a um projetor multimdia ou a uma TV. Nesse caso,

os alunos podero interagir com o software de maneira indireta e coletiva.

Uma vez que tudo esteja preparado no laboratrio ou na sala de aula, distribua uma folha de atividade para

cada grupo. Professor, importante que voc reproduza a folha de atividades com antecedncia.

Pea para que os alunos abram o software GeoGebra e apresente-o rapidamente. Deixe que os alunos leiam o

texto proposto na folha de atividades. Essa parte da atividade no deve ultrapassar 10 minutos.

Depois da leitura do texto, deixe que os alunos respondam s questes propostas na folha de atividades.

Aspectos pedaggicos

A atividade parte da leitura de um texto sobre o que ficou conhecido como Acidente com Csio-137. Esse

acidente, ocorrido aqui no Brasil em 1987, em Goinia, teve grande repercusso e foi considerado como um dos

maiores acidentes radioativos do mundo. Aps o acidente, os trabalhos de descontaminao produziram toneladas


de lixo radioativo que foram armazenados em caixas, tambores e contineres em um bunker revestido de concreto e

chumbo, e l devem ficar por pelo menos 180 anos.

O questionamento levantado nessa atividade, logo aps a leitura do texto informativo sobre o acidente, refere-se

justamente ao tempo de 180 anos que se deve aguardar at que esse lixo radioativo no oferea mais riscos ao ambien-

te. Esse perodo de tempo indicado no texto informativo pode ser diretamente verificado a partir do estudo da funo

exponencial que modela o decaimento radioativo do Csio-137.

Esse radioistopo do Csio apresenta umameia-vidade aproximadamente 30 anos. Meia-vida ou perodo de se-

midesintegrao de um radioistopo como chamamos o perodo de tempo necessrio para desintegrao de metade

de uma massa qualquer desse radioistopo em um decaimento exponencial. Cada radioistopo possui uma meia-vida,

que pode variar de segundos a bilhes de anos, dependendo da maior ou menor instabilidade do elemento.

Voc poder propor aos seus alunos que, depois de algumas reflexes iniciais, deduzam uma expresso anal-

tica para a funo que descreve esse decaimento e, a partir dela, construam o grfico dessa funo usando o software

GeoGebra.

Durante as reflexes, eles devem comear a perceber que a cada meia-vida no caso 30 anos a massa do is-

topo torna-se igual metade ou da anterior. Ou seja, se inicialmente temos uma amostra de b gramas do istopo,

depois de transcorrida a primeira meia-vida restaro . b12

gramas; depois da segunda, 2

. b12

gramas; depois

da terceira, 3

. b12

gramas, e assim sucessivamente. Dessa forma, ao se passarem n meias-vidas, restaro . n

b 12

gramas do radioistopo.

Depois dessas consideraes, acreditamos que os alunos tero ferramentas suficientes para fazer a generali-

zao dessa observao e criar uma expresso algbrica que representar a funo entre a quantidade restante do

istopo (f(x) ou y) e a quantidade de anos passados (x).

Neste momento, necessrio lembr-los de que a massa restante depende do nmero n de meias-vidas pas-

sado e que, para obter esse nmero a partir do nmero x de anos decorrido, necessrio dividi-lo por 30 (o nmero

de anos correspondente meia-vida do Csio-137), isto , n = x

30.

Assim, devero obter a funo f(x) = 200. x

3012

. Mas deve ficar claro que essa funo depende da massa da

amostra do istopo (nesse caso, 200 g) e de sua meia-vida (nesse, caso 30 anos). No caso de outro istopo ou de outro

elemento qumico, esses valores podero variar.

Uma vez estabelecida a expresso algbrica dessa funo, pea para que os alunos escolham dentro do menu Dis-

posies a opo lgebra e grficos. Depois pea para que escolham dentro do menu Exibir a opo Malha. Em seguida,

pea que escrevam na barra de Entrada a expresso da funo (f). O grfico da funo aparecer na Janela de visualizao.

30

Alguns alunos tero dificuldades para visualizar o grfico, pois, na tela padro, os valores dos eixos variam en-

tre -5 e 5. Neste caso, oriente-os a modificar o zoom, se afastando do grfico e colocando a variao dos eixos de -40

a 240. Desta forma, a visualizao ficar mais adequada.

Da eles podero responder aos demais questionamentos como calcular o restante da amostra de 200g de-

pois de passados 180 anos inserindo uma segunda equao, x = 180 e determinando o ponto de interseo dos dois

grficos. Para fazer isso, basta selecionar a ferramenta Interseo de dois objetos e, em seguida, clicar sobre os grfi-

cos em questo. As coordenadas do par ordenado correspondente ao ponto criado aparecero na Janela de lgebra.

E o valor de y nesse par ordenado corresponde ao valor procurado.

Para responder questo 7, que pergunta sobre porcentagem, eles devero verificar o valor obtido na questo

anterior e encontrar que porcentagem da massa inicial no caso, 200 gramas esse valor representa. Para fazer os

clculos sem que se perca muito tempo, encoraje seus alunos a utilizar a calculadora do prprio sistema operacional.

Ao final da atividade, voc pode promover um debate a partir dos resultados obtidos na folha de atividades

em relao ao risco de contaminao por radiao e discutir o comportamento dessa funo exponencial que

decrescente, mas cujo grfico no corta o eixo dos x. O eixo dos x uma assntota ao grfico.

Folha de atividades Acidente com Csio-137

Nome da escola: ____________________________________________________________

Nome do aluno: ____________________________________________________________

Leia o texto a seguir e depois faa o que se pede:

O texto Csio 137: O brilho da morte, publicado por Lorena Verli no Guia do Estudante da editora Abril1, relem-

bra o segundo maior acidente radioativo do mundo, que aconteceu em 13 de setembro de 1987, em Goinia, atrs

apenas de Chernobyl, na Ucrnia.

Dois catadores de lixo de Goinia arrombaram um aparelho radiolgico, encontrado nos escombros de um an-

tigo hospital, expondo o Csio-137, um elemento radioativo criado em laboratrio. Por se tratar de um p branco que

emitia um estranho brilho azul quando colocado no escuro, o Csio foi, na poca, considerado sobrenatural e passou

pelas mos de muitas pessoas, contaminando o solo, o ar e centenas de moradores da capital goiana.

A contaminao espalhou-se na cidade e foram necessrios 16 dias para perceberem que a substncia estava

deixando muitas pessoas doentes. A autora explica que, aps o desastre, os trabalhos de descontaminao produ-

ziram 13,4 toneladas de lixo radioativo, entre roupas, utenslios, plantas, animais, restos de solo e materiais de cons-

truo. Explica tambm que tudo isso foi armazenado em cerca de 1200 caixas, 1900 tambores e 14 contineres,

guardados em um depsito construdo na cidade de Abadia de Goinia, a 24 quilmetros da capital e l deve ficar

por pelo menos 180 anos.

Centenas de vtimas foram afetas pelo brilho da morte, nome dado ao csio por Devair Alves Ferreira, primeira

pessoa a entrar em contato direto com o elemento. Quatro morreram cerca de um ms aps a exposio, entre elas

uma criana de 6 anos, considerada a maior fonte humana radioativa do mundo. Atualmente, as vtimas ainda sofrem

1 http://guiadoestudante.abril.com.br/aventuras-historia/cesio-137-brilho-morte-435543.shtml


e reclamam do descaso do governo, afirmando que esto sem assistncia mdica e medicamentos. O governo nega

a acusao e afirma que as vtimas usam o acidente para justificar todos os seus problemas de sade. Em 1996, trs

scios e um funcionrio daquele hospital abandonado foram condenados pela justia por homicdio culposo, porm

as penas foram trocadas por prestao de servios.

Questes:

Meia-vida ou perodo de semidesintegrao de um radioistopo como chamamos o perodo de tempo ne-

cessrio para desintegrao de metade de uma massa qualquer desse radioistopo, em um decaimento exponencial.

Cada radioistopo possui uma meia-vida, que pode variar de segundos a bilhes de anos, dependendo da maior ou

menor instabilidade do elemento. O Csio-137 apresenta umameia-vidade aproximadamente 30 anos.

1. Partindo de uma amostra genrica de 200 gramas de Csio-137, determine a quantidade desse istopo que ainda restaria depois de passados 30 anos.

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

2. Ainda partindo de uma amostra genrica de 200 gramas de Csio-137, determine a quantidade desse is-topo que ainda restaria depois de passados 60 anos.

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

3. Ainda partindo de uma amostra genrica de 200 gramas de Csio-137, determine a quantidade desse is-topo que ainda restaria depois de passados 90 anos.

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

4. Qual a expresso analtica da funo exponencial que descreve o decaimento de uma amostra de 200 gra-mas de Csio-137 ao longo do tempo?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

5. Construa do grfico dessa funo, fazendo uso do software GeoGebra.

6. Usando o grfico construdo no item anterior, indique qual a quantidade de Csio-137 restante da amostra de 200g depois de passados 180 anos?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

32

7. Pela anlise do grfico, qual a porcentagem da massa do Csio-137 que resta depois de passados 180 anos?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

8. Podemos dizer que a massa do istopo em algum momento ser igual a zero? Por qu?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________



235 a 238

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Epidemia de Dengue

Cpias da folha de

atividades, computado-

res, softwares GeoGebra e

Winplot e cal-culadora

Esta atividade prope-se a mostrar como a Matem-

tica, por meio da teoria de funes exponenciais, pode auxiliar no entendimento e no combate de epidemias.



Esta atividade foi elaborada para ser aplicada em laboratrio de informtica, onde os alunos podero interagir

diretamente com o software que dar a apoio construo do grfico proposto: o GeoGebra ou o Winplot, de acordo

com a preferncia do professor.


aplicada em sala de aula, com auxlio de um computador ligado a um projetor multimdia ou a uma TV. Neste caso, os


Certifique-se de que o software GeoGebra ou o Winplot est instalado nos computadores do laboratrio de

informtica de sua unidade escolar ou no computador da sala de aula. Uma vez que tudo esteja preparado, distribua

uma folha de atividade para cada grupo. Professor, importante que voc reproduza a folha de atividades com ante-

cedncia e que discuta os textos com os alunos antes de fazer a explorao do software.


Pea ento que os alunos abram o software ou abra o software voc mesmo, caso esteja usando o computa-

dor de sala de aula e apresente-o, rapidamente. Deixe que os alunos leiam os textos propostos na folha de ativida-

des. Depois da leitura do texto, deixe que os alunos respondam s questes propostas na folha de atividades.

Aspectos pedaggicos

A atividade parte da leitura de dois textos sobre a epidemia de dengue que ocorreu na cidade de Goinia, em

1993. Os textos mostram como a Matemtica pode ajudar a combater as epidemias, assim como o modelo matem-

tico que descreveu a epidemia de dengue em Goinia.

Oriente os alunos na resoluo das questes propostas, chamando a ateno para o fato de a letra t ter sido

usada para representar a varivel independente na frmula apresentada no texto 2 e que, no contexto do problema,

ela representa o nmero de dias transcorridos. Lembre-os, tambm, dos procedimentos de substituio de uma vari-

vel por um valor numrico em uma frmula matemtica.

necessrio considerar que os alunos podem no estar habituados ao uso da calculadora como recurso na re-

soluo de problemas. Ento, ajude-os, esclarecendo a funo de cada tecla. Ao final da atividade, voc pode, a partir

dos resultados obtidos na folha de atividades, promover um debate em relao ao risco de epidemias e discutir sobre

os modelos matemticos, envolvidos nestas questes. Esta atividade sugere um trabalho interdisciplinar que pode

ser planejado juntamente com o professor de Biologia.

Folha de atividades Epidemia de dengue

Nome da escola: ____________________________________________________________

Nome do aluno: ____________________________________________________________

Leia os textos a seguir e depois faa o que se pede:

Texto 1

A histria da sociedade humana marcada por diversas adversidades e desafios na busca pela sobrevivncia.

O clima, as guerras, os predadores sempre foram uma preocupao da humanidade. Porm, nenhum outro fator traz

tanto temor sociedade quanto as epidemias. O nmero de mortes, provocado pelas maiores epidemias de todos os

tempos, impreciso, mas incomparavelmente maior do que o nmero de mortes provocado por todas as guerras.

Doenas infecciosas afligem a sociedade humana desde tempos remotos. Nenhum outro exemplo sintetiza

melhor o efeito desastroso de doenas infecciosas do que a peste negra que levou a morte de um quarto da popula-

o da Europa, durante os anos de 1347 a 1350. Tambm na Europa, doenas infecciosas trazidas por estrangeiros, tais

como: sarampo, varola, gripe e peste bubnica foram responsveis pela exterminao de grupos tnicos, os quais

34

no haviam entrado em contato com estas doenas anteriormente, portanto no haviam adquirido imunidade. Ou-

tras epidemias causaram milhes de mortes, como a epidemia mundial da gripe, que morreram cerca de 20 milhes

de pessoas.

Em tempos mais recentes, o vrus HIV passou a ter um significante impacto nos ndices de mortalidade, tanto

em pases ricos quanto em pases pobres. Estima-se 18 milhes de mortes causadas pela AIDS e o aparecimento de

mais de 30 mil novos casos a cada ano .

No Brasil, desde a identificao do primeiro caso de AIDS, em 1980, at junho de 2007, j foram identificados

cerca de 474 mil casos da doena.

Atualmente, a epidemia de dengue um dos principais problemas de sade pblica no mundo. A Organiza-

o Mundial da Sade (OMS) estima que 80 milhes de pessoas infectem-se anualmente. Cerca de 550 mil doentes

necessitam de hospitalizao e 20 mil morrem em consequncia da dengue. Portanto, mtodos que possam auxiliar

no desenvolvimento de estratgias de preveno e de controle de doenas de forma a aumentar sua eficcia e reduzir

custos tornam-se cada vez mais necessrios.

Fonte: Modelagem de epidemias atravs de modelos baseados em indivduos.

Dissertao de Mestrado de Lucymara de Resende Alvarenga UFMG. Disponvel em http://www.cpdee.ufmg.

br/documentos/Defesas/778/Dissertacao-Lucymara-final.pdf

Texto 2

O Instituto Gauss de Matemtica afirma que, durante a ltima epidemia de dengue, de 1993, o nmero de

pessoas que adoeceram no setor Coimbra, em Goinia, aps t dias, foi modelada pela funo:

Fonte: http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=708:funcoes-elementares&catid=98:calculo1

Questo 1: Usando o modelo descrito no texto 2 e uma calculadora, calcule o nmero de pessoas ficaram

doentes no primeiro dia da epidemia (Considere e @ 2,718).

Questo 2: Usando o modelo descrito no texto 2 e uma calculadora, calcule o nmero de pessoas que ficaram

doentes aps 25 dias? (Considere e @ 2,718).

Questo 3: Usando o GeoGebra ou outro software grfico, faa o grfico da evoluo dos afetados pela dengue:


O que perguntam por a?Pginas no material do aluno

241 a 242

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

UNESP

Imagem para projeo, dis-ponvel neste

material; mate-rial do aluno

Os alunos resolvero uma questo que envolve a

anlise de uma funo expo-nencial.

Duplas 15 minutos


Na seo O que perguntam por a? , na pgina 17 do material do aluno, h uma questo da UNESP que envolve

a anlise de uma funo exponencial. Voc poder trabalhar esta questo a partir da projeo da imagem que est

disponvel neste material.

Ento, pea aos alunos que discutam e resolvam a seguinte questo:

a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e.10

Aspectos pedaggicos

Aps a resoluo desta questo em aula, voc pode promover uma anlise coletiva das respostas encontradas

pelos alunos, com uma breve discusso a respeito dos possveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.

36

Analisando as alternativas

Soluo comentada:

Consideremos o instante t = 0, o momento em que o golfinho saiu da gua, e o instante t = T, o exato momento

em que o golfinho retorna gua. Nesses dois momentos, a altura do golfinho em relao ao nvel da gua igual a

zero, pois no est nem sob e nem sobre a gua. Com isso, temos que:

4t t.20,2t = 0

t.(4-20,2t)=0

Temos duas possibilidades:

1 possibilidade:

t=0 (J espervamos por essa possibilidade, pois o momento inicial em que o golfinho sai da gua para efe-

tuar o salto.)

2 possibilidade:

(4 20,2t ) = 0

20,2t = 4= 22

0,2.t = 2

t = 10

Logo, a resposta correta a letra e.

As escolhas pelas demais alternativas podem ter sido motivadas por diversos erros comuns que tentamos

identificar a seguir:

a. O aluno pode ter se confundido ao resolver a equao 20,2t=22, considerando indevidamente 2t=2, e a partir da obtido t=1.

b. O aluno pode ter se confundido a partir da equao 0,2t=2,, considerando indevidamente t=2, motiva-do pelo 2 membro da igualdade.

c. O aluno pode ter se confundido a partir da equao 20,2t=4, considerando indevidamente t=4, motiva-do pelo 2 membro da igualdade.

d. No foi encontrado nenhum indcio que tenha levado o aluno a marcar esta opo. Ele pode ter escolhi-do esta alternativa de forma aleatria.


Avaliao

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Avaliao da Unidade

Cpias da folha de atividades,

material do aluno

Esta atividade sugere um instrumento avaliativo para a unidade. Ele est dividido em duas etapas: a primeira con-siste no registro de aprendi-zagens e a segunda consiste em questes objetivas e dis-sertativas, cuja escolha fica a

critrio do professor.

Individual 40 minutos


Para o momento de avaliao, sugerimos a utilizao do ltimo tempo de aula destinado Unidade 8. A seguir

apresentamos sugestes para a avaliao das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestes

avaliativas em duas etapas, explicitadas a seguir.

Etapa 1: Registros de aprendizagens (Momento de Reflexo)

Aqui, voc poder propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, as aprendizagens ma-

temticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliao, apresentamos algumas questes que

tm por objetivo avaliar o desenvolvimento das habilidades matemticas pretendidas, a saber:

Modelar e resolver problemas que envolvam funo exponencial.

Analisar grficos de funes exponenciais.

A ideia que sejam usadas de forma a complementar as questes que voc apresentar aos alunos. Sugeri-

mos, tambm, que este material seja recolhido para uma posterior seleo de registros, a serem entregues ao seu

formador no curso de formao presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com voc como os alunos esto

reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho e, se for o caso, repens-los de acordo com

as sugestes apresentadas.

Etapa 2: Questes objetivas e discursivas

Sugerimos, para compor esta etapa do instrumento avaliativo, a escolha de pelo menos uma questo objetiva

que contemple uma habilidade pretendida nesta unidade.

38

Sugestes de questes objetivas para a avaliao:

Questo 1: (Enem 2011)

Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas trs possi-

bilidades de investimento, com rentabilidades lquidas garantidas pelo perodo de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao ms

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do perodo anterior. O quadro fornece algu-

mas aproximaes para a anlise das rentabilidades:

n 1,03n

3 1,093

6 1,194

9 1,305

12 1,426

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa dever

a. escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais so iguais a 36%.

b. escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais so iguais a 39%.

c. escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual maior que as rentabilidades anuais dos in-vestimentos B e C.

d. escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% maior que as rentabilidades de 3% do inves-timento A e de 18% do investimento C.

e. escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.


A populao mundial est ficando mais velha, os ndices de natalidade diminuram e a expectativa de vida

aumentou No grfico seguinte, so apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organizao das Naes

Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os nmeros da coluna


da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950, havia 95 milhes de pessoas com 60 anos ou mais

nos pases desenvolvidos, nmero entre 10% e 15% da populao total nos pases desenvolvidos.

Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao

ano 2001, e assim sucessivamente, e que y a populao em milhes de habitantes no ano x, seja usado para estimar

essa populao com 60 anos ou mais de idade nos pases em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, con-

siderando e0,3= 1,35, estima-se que a populao com 60 anos ou mais estar, em 2030, entre

a. 490 e 510 milhes.

b. 550 e 620 milhes.

c. 780 e 800 milhes.

d. 810 e 860 milhes.

e. 870 e 910 milhes.

Questo 3: (UFC 1998)

A populao de uma cidade X aumenta 1500 habitantes por ano e a populao de uma cidade Y aumenta 3%

ao ano. Considere os seguintes grficos:

40

Analisando os grficos acima, assinale a opo que indica aqueles que melhor representam os crescimentos

populacionais P das cidades X e Y, respectivamente, em funo do tempo T.

a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 1 e 4 d) 2 e 4 e) 3 e 4

Questo 4: (UNIFES 2007)

Uma forma experimental de insulina est sendo injetada a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O orga-

nismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga presente no corpo. O grfico que melhor representa a quantidade

Y da droga no organismo como funo do tempo t, em um perodo de 24 horas, :

a) b)


c) d)

e)

Sugestes de questes discursivas para a avaliao:


A durao do efeito de alguns frmacos est relacionada sua meia-vida, tempo necessrio para que a

quantidade original do frmaco no organismo se reduza metade. A cada intervalo de tempo correspondente a

uma meia-vida, a quantidade de frmaco existente no organismo no final do intervalo igual a 50% da quantidade

no incio desse intervalo.

O grfico acima representa, de forma genrica, o que acontece com a quantidade de frmaco no organismo

humano ao longo do tempo.

A meia-vida do antibitico amoxicilina de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibitico for injetada s 12 h

em um paciente, o percentual dessa dose que restar em seu organismo s 13 h 30 min ser aproximadamente de:

42

Questo 2: (UERJ 1998)

Uma empresa acompanha a produo diria de um funcionrio recm-admitido, utilizando uma funo f(d),

cujo valor corresponde ao nmero mnimo de peas que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir

da data de sua admisso. Considere o grfico auxiliar, que representa a funo y = ex .

Utilizando f(d) = 100 100.e-0,2d e o grfico acima, responda: qual deve ser o valor de d para que o funcionrio

alcance a produo de 87 peas?

Questo 3: (MACK 2008)

Um aparelho celular tem seu preo y desvalorizado exponencialmente em funo do tempo (em meses) t,

representado pela equao y = p . q-t, com p e q constantes positivas. Se, na compra, o celular custou R$500,00 e, aps

4 meses, o seu valor 1/5 do preo pago, 8 meses aps a compra, qual ser o valor do aparelho?

Questo 4: (UFRJ 2005)

O nmero de bactrias em uma certa cultura dobra a cada hora. A partir da amostra inicial, so necessrias 24

horas para que o nmero de bactrias atinja uma certa quantidade Q. Calcule quantas horas so necessrias para que

a quantidade de bactrias nessa cultura atinja a metade de Q.

Questo 5:

Devido ao uso frequente, a bateria de um telefone celular descarrega, de acordo com a funo q(t) = b.2-0,1t,,

sendo b a quantidade inicial de carga e q(t) a carga aps t horas de uso. Considere que a bateria est totalmente car-

regada, em quantas horas a carga da bateria se reduzir a 25% da carga inicial?


Aspectos pedaggicos

Respostas comentadas das questes objetivas sugeridas

1. Letra (C). Para responder a esta questo, basta observar que os investimentos so aplicados a juros compos-tos. Analisando as trs opes para o mesmo perodo de 1 ano, obtemos:

Investimento A: (1,03)12=1,426. Isto , 42,6% ao ano;

Investimento B: 36% ao ano;

Investimento C: (1,18)2=1,3924. Isto , 39,24% ao ano.

2. Letra (E). Para responder a esta questo, basta resolver y=363.e0.03.30 e observar que esta igualdade pode ser escrita da forma y=363.(e0,3)3 e a partir do dado do problema obter 3363.1,35 893= y milhes

3. Letra (D). Nesta questo, basta observar que o crescimento populacional da cidade X ocorre linearmente, isto , a uma taxa de variao constante, enquanto o crescimento da populao da cidade Y dado por uma exponencial, j que a taxa de crescimento incide sobre a populao do ano anterior.

4. Letra (E). Nesta questo, basta observar a informao de que a cada 6 horas o organismo usa ou elimina 50% da droga. Isto implica que a meia-vida deste medicamento de 6 horas, o que sugere que quantidade de droga no corpo em cada um desses intervalos apresenta um comportamento de uma exponencial de-crescente. Isso pode ser observado somente na opo (E).

Respostas comentadas das questes discursivas sugeridas:

Questo 1: 35%. Nesta questo, basta observar o grfico dado e analisar o que acontece com a quantidade do

antibitico no organismo humano aps 1h e 30min.

Questo 2: 10. Nesta questo, basta resolver a equao exponencial 100 100.e-0,2d = 87, obtendo a partir da,

100. e-0,2d = 13, isto , e-0,2d = 0,13. Logo, usando o grfico auxiliar, temos e-0,2d = e-2, ou seja,

-0,2d = -2, assim d=10.

Questo 3: R$ 20,00. Para resolver a questo, basta observar que na igualdade y = p .q-t, para t=0, y=500, da

obtm-se p=500. Logo, precisamos encontrar o valor de y que satisfaa y = 500 .q-8. Como para t=4, y =100, 100 =

500 .q-4, q-4=1/5 . Portanto, fazendo (q-4)2=1/25 , o que implica y= 500.1/25 = 20.

Questo 4: 23 horas. Para resolver esta questo, basta observar que o crescimento da cultura de bactrias

obedece lei y = Q0.2t , onde Q0 o nmero de bactrias consideradas na amostra inicial. Deseja-se obter t para que

a cultura atinja Q/2, isto , Q/2 = Q0.2t. Tomando Q = Q0.2

24, obtemos 24

00

.2 .22

=tQ Q , obtendo assim 2

23=2t , ou seja t =

23 horas.

Questo 5: 20 horas. Para resolver esta questo, basta resolver a equao exponencial b/4=b.2-0,1t, da, 1/4=2-

0,1t, isto , 2-2=2-0,1t . Logo, 0,1.t = 2, ou seja t = 20 horas.

44

Folha de atividades Avaliao

Nome da escola: ____________________________________________________________

Nome do aluno: ____________________________________________________________

Neste momento, propomos que voc retome as discusses feitas na Unidade 8 e registre as aprendizagens

matemticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajud-lo nos seus registros, tente responder s questes

a seguir:

Questo 1:

Determine os grficos das seguintes funes exponenciais:

a. f(x) = 3x

b. g(x) = 3-x

c. Identifique e descreva diferenas entre as funes f(x) e g(x)

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

d. Qual das funes acima crescente e qual decrescente? Justifique a sua resposta.

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

e. Pelos itens b e c, podemos concluir alguma relao do expoente da funo com o fato de ser crescente ou decrescente?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________


Atividade Complementar

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Exerccios de fixao com-plementares

Folhas de ativi-dades

Duplas ou em trios 15 minutos

Aspectos operacionais:

Pea que os alunos organizem-se em duplas ou em trios e procure distribuir uma folha de atividades para cada

aluno. Assim, todos podero ficar com uma cpia do material e us-lo como fonte de consulta.

Escolha previamente os exerccios que se adquam mais realidade de sua turma e abordagem escolhida

para apresentao dos conceitos introduzidos na Unidade 8.

Depois de os alunos conclurem o conjunto de exerccios que voc escolheu aplicar, procure discutir as solues

apresentadas pelos alunos, valorizando cada estratgia mesmo que esta no tenha conduzido a uma resposta verdadeira.

Procure incentivar os alunos a realizar os exerccios sem a sua interveno. Isso pode favorecer o desenvolvi-

mento da autonomia deles no que diz respeito habilidade de resolver problemas.

Aspectos pedaggicos

A seguir, apresentamos alguns exerccios que podem auxiliar voc, professor, na fixao das principais noes

ligadas ao conceito de funo exponencial, trabalhadas tanto no material do aluno quanto nas atividades sugeridas

no presente material. As noes so expresso analtica da funo exponencial, grfico de uma funo exponencial,

anlise do comportamento da funo exponencial na observao de seu crescimento ou decrescimento e da relao

existente entre os seus termos.

Esses exerccios foram distribudos nas Folhas de atividades, que se encontram disponveis para a reproduo

no pendrive do professor. Elas podero ser aplicadas ao trmino de cada seo do material do aluno ou todas juntas,

no momento reservado para a consolidao dos contedos trabalhados. Voc tambm poder encontrar as solues

desses exerccios em um arquivo no Grid de aula de seu pendrive.

46

Respostas da Folha de atividades Exerccios Complementares

1. Podemos contar 6 bimestres no perodo de um ano. Ento, para um capital C aplicado a uma taxa bimestral de 20%, teramos o montante M = C (1 + 0,2)6 ao final de um ano. Assim temos, M = C (1,2)6 = C . (2,985984) = C. (1 + 1,985984). Assim a taxa anual ser de 1,985984 ou 198,5984%, que podemos indicar aproximadamente por 198,60%. Logo, a opo correta a letra C.

2. Podemos contar 6 bimestres no perodo de um ano. Ento, para um capital C aplicado a uma taxa anual de 131,3060%, teramos o montante M = C (1 + 1,313060) ao final de um ano. Assim temos, M = C (1 + 1,313060) = C (1 + i)6. Da podemos concluir que 2,313060 = (1 + i)6. Como a raiz sexta de 2,313060 aproximadamente igual a 1,15 , o valor de i ser aproximadamente 0,15 ou 15%. Assim, a taxa bimestral ser de aproximadamente 15%. Logo, a opo correta a letra D.

3. Podemos contar 3 meses no perodo de um trimestre, ento, para um capital C aplicado a uma taxa trimes-tral de 9,2727%, teramos o montante M = C (1 + 0,092727) ao final de um trimestre. Assim, temos M = C (1 + 0,092727) = C (1 + i)3. Podemos ento concluir que 1,092727 = (1 + i)3. Como a raiz cbica de 1,092727 aproximadamente igual a 1,03 , o valor de i ser aproximadamente 0,03 ou 3%. Assim a taxa bimestral ser de aproximadamente 3%. Logo, a opo correta a letra A.

4. Sabemos que M = C (1 + i)n. Como, nesse contexto, M = 3 804 708,60; C = 600 000 e t = 24 (lembre-se que 2 anos possuem 24 meses; tal converso necessria uma vez que a taxa mensal, no anual), ento te-mos: 3 804 708,60 = 600 000 (1 + i)24. Assim, (1 + i)24 = 6,341181. Como a raiz vigsima quarta de 6,341181 aproximadamente igual a 1,08, ento o valor de i aproximadamente 0,08 ou 8%. Logo, a opo correta a letra A.

5.

a. f(x) decrescente, pois 0 < 15

< 1.

b. g(x) crescente, pois 2,03 > 1.

c. h(x) decrescente, pois 7-x = x1

7e 0 <

17

< 1.

d. j(x) crescente, pois 3-3 + x = (3-3). 3x e 3 > 1.

6. a)


b. O conjunto domnio de f

(conjunto dos nmeros reais).

c. O conjunto imagem de f Im(f ) = {y | y > 2} ou Im(f ) = ]-2, +[

7. Letra A

8. Letra A

9. De acordo com as dicas, temos: c = 6, pois o grfico da funo exponencial em questo uma translao vertical para cima do grfico da funo y = a. bx, cuja assntota horizontal o eixo x. Como (0, 4), (1, 0) so pontos do grfico, temos que f(0) = a . b0 + c = 4 e f(1) = a . b1 + c = 0. Assim, a + c = 4 e a.b +c = 0. Sendo c = 6 e substituindo os valores nas equaes anteriores, temos: a = 2 e b = 3. Logo, a alternativa correta a letra E.

Folha de atividades Avaliao

Nome da escola: ____________________________________________________________

Nome do aluno: ____________________________________________________________

1. Qual a taxa anual aproximada, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre?

a) 120% b) 150% c) 198,60% d) 180% e) 210,6%

2. Qual a taxa bimestral aproximada, equivalente para juros compostos, a 131,3060% ao ano?

a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% e) 20%

3. Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determine a taxa de juros compostos mensal equivalente.

a) 3% b) 3,1% c) 3,01% d) 2,8% e) 3,5%

4. Um investidor aplicou R$600 000,00 a juros compostos mensais durante 2 anos e recebeu um montante de R$3 804 708,60. Qual foi a taxa da operao?

a) 8% a.m b) 9% a.m c) 10% a.m d) 5% a.m e) 6% a.m

5. Indique se as funes reais a seguir so crescentes ou decrescentes a partir de cada uma de suas expresses analticas.

a) f(x) = x1

5 b) g(x) = (2,03)x c) h(x) = 7-x d) j(x) = 3-3 + x

6. Considere a funo real f, cuja expresso analtica dada por f(x) = x

1-2

2, e faa o que se pede:

a. Esboce o grfico de f.

b. Indique o domnio de f.

c. Indique o conjunto imagem de f.

48

7. (PUC-RS) Os grficos das funes definidas por f(x) = 2x1 e g(x) = 4x encontram-se no ponto de coordenadas:

a) 11,4

b)

11,2

c) (1, 2) d) (0, 1) e) (2, 4)

8. (PUC-RS) Sejam as funes reais f e g definidas por f(x) = x3

2 e g(x) =

x23

e as afirmaes:

I. Os grficos de f e g no se interceptam.

II. f e g so funes crescentes.

III. f(-2) . g(-1) = 23

IV. Pela anlise dos dados, conclui-se que est correta a alternativa:

a) somente I e II so falsas. b) somente I e III so falsas. c) somente II e III so falsas.

d) I, II e III so verdadeiras. e) I, II e III so falsas.

9. De acordo com o grfico da funo exponencial f a seguir, determine sua expresso analtica. Dica: lembre-se de que uma funo exponencial possui expresso analtica na forma f(x) = abx+ c. Observe tambm que (0, 4), (1, 0) so pontos do grfico e que y = 6 uma assntota ao grfico, isto , o grfico de f aproxima-se indefi-nidamente do grfico de y = 6 sem cort-lo ou toc-lo.

a) f(x) = 32x b) f(x) = 3x+ 24 c) f(x) = 42x 2

d) f(x) = 23x+ 6 e) f(x) = 23x+ 6


Volume 2 Mdulo 2 Matemtica Unidade 7

Trigonometria no tringulo retnguloCleber Dias da Costa Neto, Heitor Barbosa Lima de Oliveira e Patrcia Nunes da Silva

IntroduoNa unidade 9 do material do aluno, so apresentadas diversas situaes e

atividades que abordam razes trigonomtricas no tringulo retngulo.

Para auxili-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos

que podem complementar a exposio deste tema em suas aulas. A descrio e o

detalhamento destas sugestes esto nas tabelas e pginas seguintes.

Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade

disparadora. uma atividade que tem por objetivos iniciar a exposio do tema

e promover uma dinmica entre os alunos. Nesse momento, espera-se que os

alunos consigam utilizar as razes trigonomtricas para calcular o valor do seno,

cosseno e tangente dos ngulos de 30, 45 e 60, que resolvam problemas do

cotidiano envolvendo as razes trigonomtricas e que utilizem as leis do seno e

do cosseno para resolver problemas.

Para dar sequncia ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-

cursos complementares, vinculados ao contedo do material didtico. Tais recur-

sos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste ma-

terial. Sugerimos a sua realizao nas aulas subsequentes aula inicial, de acordo

com a realidade da sua turma. Recomendamos que voc faa alteraes e adap-

taes sempre que achar necessrio.

Por fim, aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em

dois momentos. O primeiro momento deve ser dedicado a uma reviso geral do

estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno

a partir da retomada de questes que surgiram durante o processo. O segundo

momento consiste numa avaliao do estudante, priorizando questionamentos

reflexivos em detrimento da mera reproduo de exerccios feitos anteriormente.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

50

Apresentao da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:

Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemtica 2 2 19 4 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

A trigonometria no tringulo retngulo Razes Trigonomtricas

Objetivos da unidade

Utilizar as razes trigonomtricas para calcular o valor do seno, cosseno e tangente dos ngulos de 30, 45

e 60;

Resolver problemas do cotidiano, envolvendo as razes trigonomtricas;

Utilizar as Leis do seno e do cosseno para resolver problemas.

SeesPginas no material do

aluno

Para incio de conversa... 247 a 248

Seo 1 O tringulo retngulo e as razes trigonomtricas 249 a 262

Seo 2 A lei dos senos e a lei dos cossenos 262 a 267

Veja ainda 268

O que perguntam por a? 271 a 272

Em seguida, sero oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dncia direta entre cada seo do Material do Aluno e o Material do Professor.

Ser um conjunto de possibilidades para voc, caro professor.

Vamos l!


Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.

Applets

So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponveis

para os alunos.

Avaliao

Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.

Exerccios

Proposies de exerccios complementares

52

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Ttulo da Atividade

Material Necessrio


TurmaTempo

Estimado

Comparando

tringulos

Rgua, calcu-

ladora e cpias

da folha de

atividades

Nesta atividade, os alunos

iro medir o comprimento

dos la

MATEMATICA-MOD02-VOL02

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