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Completando Aula 03

9. (AFTN) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 15% a .a, pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação, ao final do prazo, era de R$ Dado: (1,15) 3 = 1.5209 a) 16.590 b) 16.602 c) 16.698 d) 16.705 e) 16.730 10. (ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer período de tempo maior do que zero e a uma certa taxa, chamarmos: M1- Montante calculado no regime de juros simples. M2 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial M3 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear Teremos: a) M3 > M1 para qualquer t > 0; b) M3 = M1 para qualquer 0 < t < 1; c) M3< M2 para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro; d) M3 < M2 quanto t é inteiro; e) M 2 > M1 para qualquer t > 0. Completando Aula 04 III. TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA (TDM) A inflação representa uma elevação nos níveis de preços. A taxa de desvalorização da moeda (TDM) mede a queda no poder de compra da moeda causada por estes aumentos de preços. A TDM, para diferentes taxas de inflação, pode ser obtida a partir da seguinte fórmula:

sendo j a taxa de inflação do período. IV. TAXA DE JUROS APARENTE E REAL i = taxa aparente j = taxa de inflação r = taxa real

8.A taxa de juros para aplicações de curto e médio prazos, em um banco, é de 40 % a.a.. Se a inflação for de 30%, então a remune-ração real recebida pelo cliente será: a) igual a 10 % b) superior a 10 % c) igual a 8,12 % d) igual a 7,69 % e) inferior a 7 % 9. Julgue os itens.

Se em determinado período os preços em geral dobrarem (inflação de 100%), conclui-se que a capacidade de compra das pessoas reduziu-se em 100%.

Quanto maior a inflação, maior será a taxa de desvalorização da moeda, definindo em conseqüência uma menor capacidade aquisitiva.

Admita que a inflação em determinado período tenha alcançado a taxa de 40%. Este percentual indica uma queda na capacidade de compra geral de 34,13%.

Se em determinado período a inflação atingir 4,8% a reposição salarial necessária para que um assalariado mantenha a mesma capacidade de compra é 4,8%.

Admita que a inflação em determinado período tenha alcançado a taxa de 30%. Este percentual indica que ao final do período somente podem ser consumidos aproximadamente 77% dos bens e serviços originais.

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10. (CESPE) Julgue os itens. 1) Se um banco paga uma taxa nominal de juros compostos de 10% a.a. e a capitalização é semestral, então a taxa efetiva é superior a 10%. 2) Sabe-se que aplicando $ 10.000,00 por 3 anos a uma taxa de juros compostos de 30% a.a. obtém-se um montante igual a $ 21.970,00. Neste caso, para se obter o mesmo montante aplicando-se a mesma quantia pelos mesmos 3 anos, mas com os juros sendo compostos semestralmente, a taxa de juros semestral deve ser de 15 %. 3) Se, em um determinado período, a taxa de juros aparente foi de 23,20 % a.a. e a taxa real de juros foi de 10 %a.a., então a taxa de inflação do período foi de 12%.

SÉRIES DE CAPITAIS RESUMO TEÓRICO

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS

I. AS RENDAS PODEM SER CLASSIFICADAS SOB DIVERSOS ASPECTOS: 01) Quanto ao número de termos: a) renda temporária: o número de termos é finito b) renda perpétua: o número de termos é infinito 02) Quanto ao valor de cada termo: a) renda constante ou uniforme: os valores dos termos são todos iguais b) renda variável: os valores dos termos não são todos iguais 03) Quanto à periodicidade de seus termos: a) renda periódica: quando os pagamentos ocorrem a intervalos de tem-pos iguais b) renda não-periódica: quando os pagamentos não ocorrem a intervalos de tempos iguais

04) Quanto à data de vencimento do primeiro termo: a) antecipada: vencimento do primeiro termo ocorre no dia da compra ou na assinatura do contrato b) postecipada: vencimento do primeiro termo ocorre no fim do primeiro período, a contar da data da compra ou da assinatura do contrato c) diferida (ou com carência): após certo número de períodos a contar da data da compra ou do contrato OBSERVAÇÕES: 01) As rendas temporárias, constantes e periódicas damos o nome de rendas certas; 02) Quando o enunciado de um problema não mencionar o tipo de renda em relação ao vencimento do primeiro termo, assume-se a renda como sendo postecipada. II. MODELO BÁSICO DE ANUIDADE: Como modelo básico de anuidade entendemos as anuidades que são simultaneamente: - temporárias - constantes - imediatas e postecipadas - periódicas III. VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO

A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por:

...

P

R1

R2

R3

R4

R5

Rn

Períodos

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FÓRMULAS PARA CÁLCULO DO VALOR DA PRESTAÇÃO EM FUNÇÃO DO PRINCIPAL (P)

ou ou

= sendo: R= valor da prestação (constante) P= principal i = taxa de juros n = número de prestações IV.VALOR FUTURO DO MODELO BÁSICO

FÓRMULAS PARA CÁLCULO DO VALOR DA PRESTAÇÃO EM FUNÇÃO DO MONTANTE (S)

ou

Ou sendo: R= valor da prestação (constante) S = montante i = taxa de juros n= número de prestações OBSERVAÇÃO: O montante (S) do modelo básico é igual ao principal (P) capitalizado por n períodos à taxa de juros i. Assim,

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (CESPE) Um bem foi adquirido, através de um plano de três presta-ções de $ 200,00 mensais iguais e consecutivas, sem entrada, e

...

S

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

N

Períodos

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a primeira prestação ocorre a 30 dias da data de sua aquisição. A taxa é de 3% ao mês e o regime é de capitalização composta. O valor do bem na data da aquisição é, em reais: a) $ 551,90 b) $ 600,00 c) $ 526,30 d) $ 546,00 e) $ 565,72 2. (ESAF) Um automóvel foi vendido por $ 5.000,00, em duas parcelas iguais e semestrais, não sendo exigido entrada. Qual o valor dos pagamentos, aproximadamente, se a taxa de juros compostos considerada foi de 10% ao semestre? a) 2.995,00 b) 2.890,00 c) 2.980,00 d) 2.881,00 e) 2.180,00 3. (AFRF) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de $ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam $ 2.300,00 e $ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) $ 1.405,51 b) $ 1.418,39 c) $ 1.500,00 d) $ 1.512,44 e) $ 1.550,00 4. (CESPE) Paulo quer comprar um refrigerador e tem as seguintes alternativas: I à vista, por $ 900,00; II em duas prestações mensais e iguais a $ 500,00, vencendo a primeira no ato da compra;

III em três prestações mensais e iguais a $ 350,00, vencendo a primeira no ato da compra. Supondo que ele possa aplicar o dinheiro a uma taxa de 4% ao mês, assinale a opção que indica as formas de pagamento, em ordem crescente de vantagem para Paulo: a) I – II – III b) II – I – III c) III – I – II d) III – II – I e) II – III – I 5. (PUC-RJ) João deposita mil reais no dia 1º de cada mês, em um fundo de inves-timento. Sabendo que o investimento rende juros mensais de taxa de 5%, pode-mos afirmar que, imediatamente após o 12º depósito, João terá acumulado: a) 12,6 mil reais b) 16 mil reais c) 18 mil reais d) 19,2 mil reais e) 21,6 mil reais 6. (AFRF) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente $ 1.000,00 do primeiro ao quarto mês, $ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, $ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos). a) $ 21.708,00 b) $ 29.760,00 c) $ 35.520,00 d) $ 22.663,00 e) $ 26.116,00 7. (BACEN) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de $ 10.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de $ 727,09, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador um pagamento para quitar o

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resto da dívida. Calcule o valor mais próximo do pagamento do consumidor que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do financiamento original. a) $ 3.840,00 b) $ 3.938,00 c) $ 4.025,00 d) $ 4.178,00 e) $ 4.362,00 8. (TF-AL) Um terreno foi anunciado em um jornal por uma imobiliária nas seguintes condições: entrada de $ 10.000,00, acrescida de uma parcela de $ 12.000,00, a ser paga um mês após a entrada. Um interessado propôs pagar à imobiliária uma entrada de $ 6.000,00, mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Com base nessa situação e considerando a taxa de juros compostos de 4% ao mês em ambas as propostas, julgue os itens a seguir. 1) O valor à vista que seria equivalente ao anunciado pela imobiliária seria inferior a $ 21.800,00. 2) Na forma de pagamento proposta pelo interessado, se cada prestação fosse igual a $ 8.000,00, o valor atual desse financiamento no ato da compra seria maior que $ 22.000,00. 3) O valor dos juros pagos na forma proposta pela imobiliária é inferior a $ 420,00. 4) A taxa efetiva bimestral de 8% é equivalente à taxa cobrada pela imobiliária. 5) Existe um valor de prestação entre $ 8.200,00 e $ 8.300,00 para o qual as duas formas de pagamento apresentam o mesmo valor atual.

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO RESUMO TEÓRICO

DEFINIÇÕES BÁSICAS

♦ Encargos (despesas) financeiros: representam os juros da operação, caracterizando-se como custo para o devedor e retomo para o credor.

♦ Amortização: a amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, através de parcelas periódicas (mensais, semestrais, etc). ♦ Saldo devedor: representa o valor do principal da divida, em determinado momento, após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. ♦ Prestação: é composta do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado período de tempo. Assim: PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + ENCARGOS FINANCEIROS ♦ Carência: equivale ao prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento e a que efetivamente foi feita a primeira amortização. É importante acrescentar, ainda, que a carência significa a postergação só do principal, não sendo incluídos necessariamente os juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais estabelecidas, serem pagos ou não durante a carência. TRATAREMOS DOS SEGUINTES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: a) Sistema de Amortização Constante - SAC b) Sistema de Amortização Francês (Price) - SAF c) Sistema de Amortização Misto - SAM d) Sistema de Amortização Americano - SAA e) Sistema de Amortizações Variáveis - Parcelas Intermediárias I. SISTEMA DE AMORTIZACÃO CONSTANTE - SAC A característica básica desse sistema é que as amortizações serão iguais (constantes) em todo o prazo da operação.

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II. SISTEMA DE AMORTIZACÃO FRANCÊS – SAF

prestações são constantes, periódicas e sucessivas

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras, no SAF os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação.

FÓRMULAS PARA CÁLCULO DO VALOR DA PRESTAÇÃO Se o principal vai ser devolvido em „n‟ prestações iguais e postecipadas, temos exatamente uma anuidade que se conforma ao nosso modelo básico.

Ou

Ou

sendo: R= valor da prestação (constante) P= principal i= taxa de juros n= número de prestações III. SISTEMA DE AMORTIZACÃO MISTO – SAM Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) o e o sistema de amortização constante (SAC), dai explicando-se sua denominação.

OBSERVAÇÃO: COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM. Graficamente, o comportamento das prestações para os critérios de amortização considerados é:

Prestação

Períodos

juro

amortização

Prestação

Períodos

amortização

juro

juro

amortização

Prestação

Períodos

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ALGUMAS CONSIDERAÇÕES: 1) Pelo SAC, o mutuário começa a pagar valores (prestações) maiores que no SAF. Este comportamento se mantém até o momento em que as duas retas descritas acima se cruzam, indicando o momento da reversão. 2) No que se refere à parcela de amortização, os valores são constantes no SAC e crescentes no SAF. 3) No que se refere aos saldos devedores, o decréscimo no SAC é mais acentuado que nos demais sistemas. 4) As parcelas de juros apuradas para os três sistemas são definidas com base no comportamento dos respectivos saldos devedores. O total de juros calculados no SAF é bastante superior ao do SAC, ficando os valores do SAM numa posição intermediária. 5) A prestação inicial no SAM é menor que a do SAC, porém maior que a do SAF. O inverso ocorre com a última prestação. IV. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA A devolução do capital emprestado é efetuada no final do período contratado da operação de uma só vez (única amortização).

EXERCÍCIOS DE SALA 1. Um banco concede um financiamento de $ 60.000,00 para ser liquidado em 5 pagamentos mensais pelo sistema de amortizações constantes. Para uma taxa de 10% ao mês, elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento.

2. A dívida de $ 20.000,00 será paga pelo sistema de amortizações constantes em 25 prestações semestrais à taxa de 20% ao semestre. Calcular o valor da décima oitava prestação. 3. Para ser quitado em 10 prestações anuais pelo sistema de amortizações constantes, um banco concedeu um empréstimo de $ 800.000,00 a uma taxa de 60% ao ano. Qual a diferença entre as duas primeiras prestações? Qual o saldo devedor após o pagamento da sexta prestação? 4. (TCM-RJ) Considere um financiamento de $ 10.000,00, em cinco prestações mensais e consecutivas, a uma taxa de juros de 5% ao mês, com a primeira prestação vencendo ao

Prestação

Períodos

SAF

SAC

SAM

Prestação

Principal

Períodos

juro

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final do primeiro mês, no Sistema de Amortização Constantes – SAC. A alternativa que define uma característica correta deste sistema é: f) a diferença entre duas parcelas consecutivas será a mesma, determinada pela aplicação da taxa de juros sobre a amortização. g) As amortizações contidas nas prestações são determinadas pela aplicação da taxa de juros sobre o valor do empréstimo. h) As amortizações contidas nas prestações devidas a cada período dependem dos juros gerados nos períodos anteriores. i) A quantidade de juros contida em cada uma das parcelas é constante. 5. (BNDES) O Sistema Francês de Amortização é caracterizado por: a) juros decrescentes e prestação crescente; b) prestação decrescente e juros crescentes; c) amortização e juros decrescentes; d) juros e amortização crescentes; e) amortização crescente e prestação constante. 6. Uma empresa tomou emprestado em um banco $ 44.962,40 para ser pago pelo sistema de amortização francês em 24 prestações mensais a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor da prestação? 7. (BACEN) Um banco abre uma linha de crédito para microempresas, oferecendo empréstimos que deverão ser pagos em seis prestações mensais postecipadas, utilizando-se o sistema Price, à taxa nominal de juros compostos de 12% ao ano. A Tabela Price correspondente a um empréstimo de $ 50.000,00 nessas condições é apresentada abaixo; nela, exceto na coluna “meses”, todos os valores são dados em reais (R$).

Com base nessas informações julgue os seguintes itens: De acordo com a taxa de juros estabelecida para esse empréstimo, o valor re-presentado na coluna “prestação” da linha “totais” deveria ser de $ 53.000,00. 1) Para , o valor, em reais, de Pk é igual a .

2) Para o valor, em reais, de Pk é

igual a 3) O saldo devedor SDk no k-ésimo mês, para

comporta-se de acordo com a regra

4) O valor representado na linha correspondente ao sexto mês da coluna “saldo devedor” indica que o banco receberá $ 0,01 a menos do que deveria pelos termos contratados. 5) À medida que k, representando os meses de pagamento, cresce, os valores de Jk decrescem a uma taxa mensal constante. 8. (F.R.-MS) Com relação ao Sistema de Amortização Constante (SAC) e ao Siste-ma Price(SP), podemos afirmar que: a) No SAC as prestações são constantes ao longo do tempo. b) No SP as amortizações são constantes ao longo do tempo. c) No SAC os juros são crescentes ao longo do tempo.

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d) No SP as amortizações são crescentes ao longo do tempo. 9. O empréstimo de $ 283.620,00 deverá ser pago em 50 prestações semestrais pelo sistema SAM, a uma taxa, de 2,5% ao semestre. Qual o valor da vigésima primeira prestação? 10. O empréstimo de $ 100.000,00 deverá ser pago pelo sistema americano de amortização através de uma única parcela ao final do trigésimo mês. Os juros serão pagos semestralmente à taxa de 15% ao semestre. Construir a planilha do financiamento.

11. (AN.ORÇ.-RJ) Em sistemas de amortização, onde a taxa de juros seja de 5% a.m. e o prazo de amortização mensal de 12 meses, para liquidar a dívida, comparando-se o Sistema de Amortização Constante (S.A.C.), o Sistema de Amortização Americano e o Sistema de Amortização Francês, o devedor: a) Terá a prestação do empréstimo sem alterações, no Sistema de Amortização Constante. b) Fará maior desembolso destinado à amortização se for adotado o Sistema Americano. c) Fará desembolso de maior quantia para pagamento de juros se o Sistema de Amortização for o Americano e o menor desembolso para pagamento de juros se o Sistema adotado for o S.A.C. d) Fará o maior desembolso referente à primeira prestação no Sistema Francês.

12. (CESPE) Para um empréstimo de $ 100.000,00 a ser pago em 5 parcelas anuais e postecipadas, com juros compostos de 12% a.a., julgue os itens. a) Se for adotado o sistema americano de amortização, então o valor total do pagamento, incluindo os juros e o principal, será maior que $ 170.000,00. b) Se o tomador do empréstimo pretende formar um fundo por meio de 5 depósitos anuais, ao final de cada ano, em uma instituição financeira que paga juros com-postos de 10% a.a., de tal forma que no fim do financiamento ele possua $ 100.000,00 para quitar o principal pelo sistema americano, então, considerando (1,1)5 = 1,6105, ele deverá fazer um depósito anual maior que $ 17.000,00. c) Se for usado o sistema francês (tabela price), então, considerando , a prestação anual será menor que $ 28.000,00 d) Pela tabela price, a primeira amortização terá um valor menor que $ 16.000,00. e) Pela tabela price, o total de juros pagos ao término da amortização será igual a $ 60.000,00. 13.Um banco concede um empréstimo de $ 480.000,00 para ser amortizado de acordo com as seguintes condições: 1º parcela: $ 130.000,00 2º parcela: $ 50.000,00 3º parcela: $ 100.000,00 4º parcela: $ 90.000,00 5º parcela: $ 110.000,00 O empréstimo é realizado com uma carência de um semestre. Sendo de 8% a taxa de juros paga semestralmente, determinar os desembolsos periódicos exigidos por este empréstimo.

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