MATEMÁTICA FINANCEIRA

MAT FIN

© [email protected] (abr/10)

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JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

SIMPLES COMPOSTOS Juros � capital inicial Juros � montante anterior

CinJ =

)1( inCJCM +=+=

niCM )1( +=

]1)1[( −+=−=n

iCCMJ

Juros Exatos � modalidade de juros simples • taxa calculada diariamente • ano: 365 dias; mês: 28 (fev) ou 30 ou 31 dias

memorizar: 5

4

365

292;

5

3

365

219;

5

2

365

146;

5

1

365

73====

Convenção Linear � aproximação para aplicação de juros compostos e simples (Ex: n = 2,3)

)3,0.1()1(2

iiCM ++=

DESCONTO SIMPLES

Desconto (D) = Valor Nominal (N) – Valor Atual (A)

• Valor Nominal = Valor de Face

• Valor Atual = Valor Descontado RACIONAL (Por Dentro) COMERCIAL (Por Fora)

Sobre o Valor Atual (A) Sobre o Valor Nonimal (N)

AND −=

niADR

..=

ANniA −=..

)1( in

NA

+

=

AND −=

niNDC

..=

ANniN −=..

)1( inNA −=

DESCONTO COMPOSTO

RACIONAL COMERCIAL Sobre o Valor Atual (A) Sobre o Valor Nonimal (N)

ni

NA

)1( +

=

nRi

NND

)1( +

−=

+

−=nR

iND

)1(

11

ni

NA

)1( −

=

nRi

NND

)1( −

−=

−

−=nR

iND

)1(

11

Questão omissa sobre tipo de Desconto:

• Falou “taxa de juros” � Desconto Racional • Não falou nada � Desconto Comercial

VALOR ATUAL E VALOR FUTURO

SIMPLES COMPOSTOS

in

VFVA

+

=

1

)1( inVAVF +=

ni

VFVA

)1( +

=

n

iVAVF )1( +=

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

SIMPLES COMPOSTOS

z

z

in

N

in

N

in

N

+

==

+

=

+ 1...

112

2

1

1

zn

z

nni

N

i

N

i

N

)1(...

)1()1( 21

21

+

==

+

=

+

Equivalência Simples � • Trazer todos os capitais para o Valor Atual • Capitalizá-lo até a data da questão • Cuidado! qdo pedir Desconto Comercial

(fórmula do desconto diferente da equivalência) Equivalência Composta � quando não há data focal estabelecida, colocar na data mais à direita (para multiplicar os valores e poupar tempo)

TAXAS DE JUROS 1. Taxa Nominal: indicada na questão: 10% ao mês taxa falsa � 10% ao ano, capitalizada mensalmente em regime composto (transformada em tx efetiva através da tx proporcional)

2. Taxa Efetiva: descapitaliza no regime simples e

recapitaliza no regime de juros compostos. 3. Taxa Real: taxa nominal descontada a inflação

JS: txreal = txnom - π JC: (1- txreal) = (1- txnom)/(1-π)

4. Taxa Proporcional: mesma relação para os

períodos a que as taxas se referem. JS: 1% a.m. é proporcional a 12% a.a. JC: 1% a.m. é proporcional a 12,68% a.a.

5. Taxa Equivalente: mesmo montante no mesmo

período JS: kii

k/= � iaa = iam.12 = ias.2

JC: k

kii )1( += � (1+iaa) = (1+iam)12 = (1=ias)

2

1 2 3 ... z

N1 N2 N3 ... Nz

multiplica

divide

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RENDAS CERTAS Cálculo do Montante de uma série, através do Fator de Acumulação de Capital (Sn|i):

i

in

in

n

iiis1)1(2

|)1(...)1()1(

−+

=++++++=

insTM

|.=

Se tiver lacunas entre as parcelas de pagamento e o montante, adicionar “parcelas fictícias” e retirar o montante delas do montante final.

Exemplo:

iisTsTM

|2

*

|7.. −=

AMORTIZAÇÃO

Cálculo do Valor Atual de uma série através do Fator de Valor Atual (an|i):

n

n

nii

i

iiina

)1.(

1)1(

)1(

111

|...

+

−+

++=++=

RENDAS POSTECIPADAS: final de período

n

n

i

T

i

T

i

TA

)1(...

)1()1(2

21

+

++

+

+

+

= � in

aTA|

.=

RENDAS ANTECIPADAS: início do período

inaTTA

|.+= � )1.(

|inaTA +=

RENDAS DIFERIDAS: início após um nº períodos: fazer igual ao cálculo do montante: adicionar “parcelas fictícias” ao problema e retirá-las do cálculo final. RENDA CERTA PERPÉTUA: sem fim definido

Postecipada Antecipada

i

TA =

i

iTA

)1( +=

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Prestação � amortização + juros Amortização � variável, de acordo com o sistema. Juros � sobre o saldo devedor Saldo Devedor � financiamento – amortizações. Exemplo: Financiamento = 100.000; i=3%; n=3 Sistema AmortizaçãoConstante (SAC)

1) Amortização: Financiamento / nº prestações 2) Juros: sobre o saldo devedor período anterior 3) Prestação: amortização + juros

Sdo. Dev. Amort. Juros Prestação 1 100.000 33.333 3.000 36.333 2 66.667 33.333 2.000 35.333 3 33.334 33.334 1.000 34.333

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF)

1) Prestação: P = Financiamento / an|i 2) Juros: sobre o saldo devedor período anterior 3) Amortização: Prestação – Juros

Sdo Dev. Amort. Juros Prestação 1 100.000 32.353 3.000 35.353 2 67.647 33.324 2.029 35.353

3 34.323 34.323 1.030 35.353

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

1) Prestação: PrestaçãoSAC + PrestaçãoSAF / 2. 2) Juros: sobre o saldo devedor (período anterior) 3) Amortização: Prestação – Juros

Sdo Dev. Amort. Juros Prestação 1 100.000 32.843 3.000 35.843 2 67.156 33.328 2.015 35.343 3 33.828 33.828 1.015 34.843

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) 1) Juros: sobre o saldo devedor 2) Prestação: Juros 3) Amortização: somente ao final do período

Sdo Dev. Amort. Juros Prestação 1 100.000 - 3.000 3.000 2 100.000 - 3.000 3.000

3 100.000 100.000 3.000 103.000

COMPARAÇÃO

Amortização Juros Prestação SAF PG ↑ sequência ↓ constante SAC Constante PA ↓ PA ↓ SAM sequência ↑ sequência ↓ PA ↓ SAA prestação final constante variável

0 1 2 3 4 5 6 7

T T T T T T* T*

T0 T1 T2 Tn-1

0 1 2 ... n-1 n

amortização

juros

prestação prestação

amortização

juros

SAC SAF

juros prestação

SAA

amortização

SAM

T0 T1 T2 T3 ... Tn-1 Tn

0 1 2 3 ... n-1 n

0 1 2 3 ... n-1 n

A

M

T1 T2 T3 ... Tn-1 Tn

A

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3

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS VALOR ATUAL LÍQUIDO (VAL): confronta Investimentos/Despesas (In) e Retornos (Rn)

∑∑+

−

+

=n

n

n

n

i

I

i

RVAL

)1()1(

VAL > 0: retornos superiores ao investimento (viável) VAL < 0: retornos inferiores ao investimento (inviável)

TAXA INTERNA DE RETORNO: aquela que zera o VAL

0)1(

...)1()1(

2

2

1

1=

+

++

+

+

+

+−=n

n

TIR

R

TIR

R

TIR

RIVAL

TIR > i esperada: investimento viável (superior a outro) TIR < i esperada: investimento inviável (inferior a outro)

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