matematica_-_etapa_3

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Fone: (0xx47) 3281-9000/3281-9090Home-page: www.uniasselvi.com.br

Curso de Nivelamento de MatemáticaCentro Universitário Leonardo da Vinci

OrganizaçãoCristiane Bonatti

Reitor da UNIASSELVIProf. Malcon Anderson Tafner

Pró-Reitor de Ensino de Graduação a DistânciaProf. Janes Fidélis Tomelin

Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a DistânciaProf. Hermínio Kloch

Diagramação e CapaDavi Schaefer Pasold

Revisão:

Diógenes SchweigertJosé RodriguesMarina Luciani Garcia

Todos os direitos reservados à Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVI

Fone/Fax: (47) 3281-9000/ 3281-9090

Copyright © Editora GRUPO UNIASSELVI 2011.

Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.



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Copyright © Editora GRUPO UNIASSELVI 2011. Todos os direitos reservados.

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Números racionais podem ser apresentados na forma

fracionária , na forma decimal (0,5) ou percentual (50%).

Iniciaremos os estudos na forma fracionária. Números Fracionários são todos os números resultantes

da divisão de dois números inteiros. Como 0, 1, -2, -27, 35,, ..., podemos observar que dentro dos números racionais

estão os números inteiros.

Isso nos mostra de onde surgiram as frações. As frações

são representadas por um número fracionário, ou seja, aparte de um todo, cada parte da fração representa o todo emdiversas partes iguais.

Fração como parte de um todo



4


Analisando o quadro anterior, ele foi dividido em 8 partesiguais e três dessas partes estão pintadas. Dizemos que este

quadro todo representa um inteiro. Se representarmos suaparte pintada, temos , ou seja, três oitavos do quadro estão

pintadas e

(cinco oitavos) não.

Na representação da fração , temos que o número 3

representa o numerador, o número 8 o denominador, e o traçode fração (divisão). Eles são chamados de termos da fração.

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO EVICE-VERSA

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO

1ª maneira

Observe a representação gráfica anterior, o númerode vezes em que o todo está dividido é representado pelo



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denominador, por este motivo, mesmo na forma de númeromisto, o denominador não se altera.

2ª maneira

Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o númerointeiro que a fração representa, o divisor continua

sendo o denominador e o resto é o numerador.

Então:

Transformação de número misto em fração



6


1ª maneira

2ª maneira

AtençãoObserve que foi efetuada a operação inversa da divisão

do caso anterior, pois antes se dividia denominador por

numerador e encontrava-se a forma do número misto. Agoramultiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamoso numerador; lembrando que o denominador não se altera,pois ele continua dividindo o todo em partes iguais.

Novamente observe que o denominador não se altera, poisa quantidade de partes em que o todo está dividido é a mesma.



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FRAÇÕES EQUIVALENTES

Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor emrelação a uma fração para a outra, só que representada deforma equivalente (igual, mesmo valor).

Exemplo:

, essas frações são frações equivalentes, pois todas

equivalem à metade.

Vejamos isso em uma representação gráfica, cada parterepresenta uma parte de um todo.Assim:

Para podermos entender um pouco melhor essasituação, vamos conhecer a simplificação de fração.

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO

Simplificar uma fração é poder dividir o numerador e o



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denominador por um mesmo número natural, diferente dezero e de um, tornando essa fração mais simples. A fração

já está na sua forma mais simples e percebermos que não émais possível dividi-la, deixando-a em sua forma irredutível.

Exemplo:

(b) , a fração não pode ser simplificada, pois não existe

um mesmo número que divida o 4 e o 7 simultaneamente.Sendo assim, é uma fração irredutível.

NÚMERO RACIONAL (Q)

Número Racional é todo número que pode ser representado por uma fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisãopor zero).

O símbolo dos números racionais Q vem dainicial da palavra quociente, que signifi ca razão oufração.



9


Exemplo:3 é um número racional, pois 3 = etc.

1

3 ,

3

9 ,

2

6

-12,75 é um número racional, pois -12,75 =

Todo número racional pode ser escrito na forma de umnúmero decimal, por meio de uma decimal exata ou de uma

dízima periódica.

Exemplo:

= 0,333...

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

O conjunto formado pelos números racionaisé indicado pela letra Q:



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Então, para ser um número racional, deve ser um valor de x tal que x seja igual a uma fração com numerador e

denominador inteiro e que o denominador seja diferente dezero.

A RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS

Observe através do diagrama a relação entre conjuntos

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais;

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dosnúmeros inteiros;

Q =

∈∈= *Z beZa| b

a Q , indica o conjunto dos números

racionais.

Com isso podemos dizer que todo número naturalé também um número inteiro e todo número inteiro éum número racional, ou ainda, que N está contido em

Z e que N e Z estão contidos em Q.



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COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS

Comparar dois números racionais significa dizer se oprimeiro é maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo.

Exemplo:

, pois todo número negativo é menor que um número

positivo.

, pois 0 é maior do que qualquer número negativo.

, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número

negativo.A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NARETA NUMÉRICA

Como todo número racional pode ser representado nasua forma decimal, existe uma relação de ordem em Q e,portanto, podemos localizá-lo na reta real.

Lembrando que primeiramente precisamos localizar o

ponto de origem na reta e, como acabamos de ver, os númerosinteiros estão dentro do conjunto dos números racionais.

12



12


Depois de marcados os números inteiros na reta,podemos localizar os números racionais.

Exemplo:(a)

é um número racional entre 1 e 2, pois = 0,75

(b)- 0,27 é um número racional entre – 1 e 0, pois – 0,27

= -

13



13


MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERORACIONAL

Já estudamos módulo nos números inteiros. Só pararelembrar: módulo é a distância do ponto que representa essenúmero até a origem.

Exemplo:

A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada

por que é de da unidade.

A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é

representada por que é de da unidade.

Então:

é um número racional, pois = – 1 = – 1,125

é um número racional, pois = 1 = 1,125

14



14


NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Nesse mesmo exemplo, podemos identificar também osnúmeros opostos ou simétricos, que são representadospor dois pontos que estão à mesma distância da origem.

INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL

De todos os números racionais, o único que não teminverso é o zero.

Exemplo:

, o inverso de .

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

A adição de números inteiros pode ser realizada pelaredução das frações ao mesmo denominador positivo e pelasoma dos numeradores, conservando o denominador.

Exemplo:

No entanto, se observarmos a fração , é uma fração

equivalente a , ou seja, a primeira fração foi multiplicada por

15



15


2, por esse processo chegamos num mesmo denominador e,então, podemos fazer a soma dos numeradores, conservando

o denominador.

16



16


PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

COMUTATIVANuma adição de números racionais, a ordem dasparcelas não altera seu resultado.

Exemplo:

ASSOCIATIVANa adição de mais de dois números racionais, não

importa a ordem em que forem feitas as adições, pois podemosagrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.

Exemplo:

ou

ELEMENTO NEUTRO

Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta

nele mesmo.

17



17


ou

OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Qualquer número racional somado ao seu oposto resultaem zero.

Exemplo:

ou

SUBTRAÇÃO

A subtração dos números racionais pode ser realizadasomando o primeiro número com o oposto do segundo, desse

modo resolvemos pelo mesmo método da adição.

Exemplo:

21 1

18




OPERAÇÕES DE NÚMEROS RACIONAIS COMDECIMAIS

Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar entre duas formas de resolução:

1ª maneira

Transformar todos os valores em fração

Exemplo:

Utiliza-se a simplifi cação de frações para tornar asoperações mais fáceis.

2ª maneira

Transformar todos os valores em decimal (usamos aregra do arredondamento no caso dos números decimais.

Exemplo:

Observe:

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Toda fração é uma divisão, então transformar umafração em número decimal é dividir o seu numerador pelo seu denominador.

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação de números racionais, multiplicamosos numeradores e os denominadores da seguinte forma.Numerador multiplica numerador e denominador multiplicadenominador.

Exemplo:

ou

ou

Para multiplicação de números racionais na formadecimal, basta multiplicar seus valores absolutos.

Exemplo:

(-0,876) . (-0,87) = +0,76212 ou (0,87) . (0,876) = +0,76212

20




(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = -0,76212

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

COMUTATIVA

Na multiplicação de números racionais, a ordem dosfatores não altera o produto

Exemplo:

(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 0,76212

ASSOCIATIVA

Na multiplicação de números racionais com mais dedois fatores, não importa a ordem em que efetuamos asmultiplicações.

Exemplo:

DISTRIBUTIVA

O produto de um número racional por uma soma

ou

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de racionais é igual à soma dos produtos resultantes damultiplicação entre o primeiro racional e cada uma das

parcelas.

Exemplo:

ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO

Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Jána multiplicação, o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.

Exemplo:

ou 35 . 1 = 35

INVERSO

Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1.

Exemplo:

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Através da multiplicação de fração, multiplicamos onumerador pelo numerador. Assim, obtemos o produtodo numerador e, multiplicando denominador pelodenominador, obtemos o produto do denominador,ou seja, a segunda fração deve ser invertida, veja osexemplos a seguir:

Exemplo:

Divisão com sinais iguais, o quociente será positivo.

ou

Divisão com sinais diferentes, o quociente será negativo.

, para cada fração pertencente aos números

inteiros, representamos seu inverso por = 1

DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicaçãoinversa. Você deve estar se perguntando: se é uma divisão,como vou resolver uma multiplicação?

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ou

POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Para elevarmos uma fração a um expoente, basta

elevarmos o numerador e denominador a esse expoente.

Exemplo:

RADICIAÇÃO

A palavra Radical vem do latim radix , que signifi ca

raiz. O símbolo √ de radical foi introduzido em 1525,por Christoff Rudolff.

Raiz enésima de um número

Se considerarmos um número real x, para a raiz enésimadesse número será representada da seguinte maneira:

Índice radicando

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QUANDO O ÍNDICE FOR PAR

Exemplo:, pois 9.9 = 9² = 81 e (-9) . (-9) = 81

, pois 3.3.3.3 = 34 = 81 e ( -34) = 81

, pois 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 e ( -28) = 256

A raiz quadrada dos números negativos não existe.Isto também se estende a todas as raízes pares. Qualquer

número elevado ao quadrado resulta em um número positivo.

Exemplo:

( é o oposto de ) e não existePARA ÍNDICES PARES!

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QUANDO O ÍNDICE FOR ÍMPAR

Exemplo:

= 3, pois 3.3.3 = 3³ = 27

= 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128

= -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)³ = - 27

, pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-27)= - 128

Qualquer raiz de índice ímpar com radicando positivo ounegativo existe. RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO

Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, oresultado sempre será zero.

Exemplo:

, pois 0 . 0 = 0

POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita

na forma de radical e todo radical pode ser escrito na formade uma potência com expoente fracionário.

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Exemplo:

ou ouTodos os números racionais podem ser representados

na forma de fração , em que a é o numerador e b odenominador; b ≠ 0

Assim, podemos reescrever 3,75 como .

Os números inteiros também são racionais, por

isso as propriedades estudadas para expoentes inteirosdevem ser preservadas quando se amplia o campo doexpoente para os racionais.

Exemplo:, ou seja,

27




Propriedades das potências com expoente fracionário

Multiplicação de potências de mesma base; conserva abase e soma os expoentes.

Exemplo:

Divisão de potências de mesma base; conserva a basee subtrai os expoentes.

Exemplo:

Potência de potência

Exemplo:

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

No conjunto dos números reais existem expressõesque apresentam um radical no denominador, nesse caso

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precisamos racionalizar os denominadores. Para racionalizar,precisamos transformar o denominador em um denominador

racional, mantendo o valor da expressão. Lembre queuma expressão em forma de fração não se altera quandomultiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número, diferente de zero.

Exemplo:

(a)=

(b)=

Potência de um produtoExemplo:

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REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE

Reduzir ao mesmo índice significa descobrir doisradicais, de mesmo índice, de tal forma que o primeiro sejaequivalente ao segundo.

Exemplo:

Ou seja,

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

1ª Propriedade

Se um radical tem o índice igual ao expoente doradicando, seu valor é igual à base do radicando.

Exemplos:

= 9, pois 9.9.9 = 9³ = 729 e a = 9

30




= 3, pois .3.3.3 = 3³ = 27 e a = 3

Não se esqueça, porém, das condições impostas àexistência dos radicais envolvidos.

Exemplo:

não é igual a -1, (-1)4 = 1, ou seja, = 1 pois

2ª Propriedade

O valor do radical não se altera quando multiplicamosou dividimos o índice e o expoente do radicando pelo mesmonúmero.

Exemplos:

(a)

(b)

(c)

1 3

31




3ª PropriedadeUm radical que tem um produto no radicando pode ser

decomposto em um produto de radicais de mesmo índice,com cada fator do primeiro produto em um radical.

Exemplo:

4ª PropriedadeSe um radical tem um quociente em seu radicando, ele

pode ser decomposto em um quociente de dois radicais como mesmo índice.

Exemplo:

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OPERAÇÕES COM RADICAIS





SIMPLIFICANDO RADICAISSe o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos doradicando e escritos como fatores externos.

Exemplo:737².37.9 ==

555².5³5 ==

Lembrando também que um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para issoescrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.

Exemplo:7.97².373 ==

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃONa adição e subtração de radicais, só podemos escrever

o resultado num só radical se os termos forem semelhantes,pois, então, podemos usar a propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição e subtração.

33

E l




Exemplo:

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Exemplo:Se os índices forem iguais, basta usar a 3ª e a 4ª

propriedades.

Se os índices forem diferentes, devemos inicialmentereduzir os radicais ao mesmo índice para depois resolver.

RESUMO DO TÓPICO

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Número Racional é todo número que pode ser

34

representado por uma fração com numerador e denominador




representado por uma fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisãopor zero).

Q =

∈∈= *Z beZa| b

a Q

FRAÇÕES EQUIVALENTESFrações equivalentes são as que têm o mesmo valor em relação a uma fração, só que representada de formaequivalente (igual, mesmo valor).

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃOSimplificar uma fração é poder dividir o numerador e odenominador por um mesmo número natural, diferente dezero e de um, tornando-a na sua forma irredutível.

COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAISComparar dois números racionais significa dizer se oprimeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) aosegundo.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

A adição de números inteiros pode ser realizada pela

redução das frações ao mesmo denominador positivo e pelasoma dos numeradores, conservando o denominador.

35

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO




PROPRIEDADES DA ADIÇÃOComutativa: a ordem das parcelas não altera seu

resultado.Associativa: não importa a ordem em que forem feitas

as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aosmesmos resultados.

Elemento Neutro: qualquer número racional somado ao

0 (zero), resulta nele mesmo.Oposto ou Simétrico: qualquer número racional somadoa seu oposto resulta em zero.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃONa multiplicação de números racionais, multiplicamos

os numeradores e os denominadores da seguinte forma:numerador multiplica numerador e denominador multiplica

denominador.PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.

Associativa: não importa a ordem em que efetuamos asmultiplicações.Distributiva: o produto pela soma dos racionais é igual

à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre oprimeiro racional e cada uma das parcelas.

Elemento Neutro: na multiplicação o elemento neutro éo 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele

36

mesmo




mesmo.Inverso: todo número multiplicado pelo seu inverso resulta

em 1.

RADICIAÇÃO

Se considerarmos um número real x, para a raiz enésimadesse número será representada da seguinte maneira:

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Para racionalizar, precisamos transformar o denominador em um denominador racional, mantendo o valor da expressão.


SIMPLIFICANDO RADICAIS: quando o valor doradicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical,esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritoscomo fatores externos.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: só podemos escrever oresultado num só radical se os termos forem semelhantes.

37

A UTOATIVIDADE




1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico:

a) Seu valor seráb) Seu valor serác) Seu valor será -3d) Seu valor será 3

2. São dadas as igualdades:

I.

II.

III.

IV.

De acordo com as igualdades, é correto afirmar que:( ) Todas as igualdades são verdadeiras.

( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.( ) Somente as igualdades II são verdadeiras.( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.

3. O resultado de )64).(46( +− é:

a) 0b)

A UTOATIVIDADE

38

c) 2




c) 2

d) 24. Simplificando o Radical , obtém-se:

a)

b)

c)

d)

5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:

a)

b)

c)

d)

39




6. Se você dividir por , obterá:

a)

b)

c)

d)

7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração,assinale a opção correta:

a)

b)

c)

d)

8. O número racional fica entre quais os inteirosconsecutivos?

40

a) Entre os consecutivos -4 e -3.




)b) Entre os consecutivos -4 e -5.c) Entre os consecutivos 4 e 3.d) Entre os consecutivos 4 e 5.

9. A expressão numérica , pode ser simplificada por qual expressão?

a)

b)

c)

d)

10. Determine o radical corresponde à potência 20,3,assinalando a opção correta:

a)

b)

c)d)

41

G ABARITO




1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico:

a) Seu valor será

b) Seu valor será

c) Seu valor será

d) Seu valor será 3

2. São dadas as igualdades:

I.

II.

III.

IV.

De acordo com as igualdades, é correto afirmar que:

( ) Todas as igualdades são verdadeiras.( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.( ) Somente a igualdade II é verdadeira.

( x ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.

G ABARITO

42

3 O res ltado de )64) (46( + é




3. O resultado de )64).(46( +− é:

a) 0

b)

c) 2

d) 2

4. Simplificando o Radical , obtém-se:

a)

b)

c)

43




d)

5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:

a)

b)

c)

d)

44




6. Se você dividir por , obterá:

a)

b)

c)

d)

45

7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a opçãocorreta:




correta:

a)

b)

c)

d)

8. O número racional fica entre quais os inteiros consecutivos?

a) Entre os consecutivos -4 e -3.b) Entre os consecutivos -4 e -5.c) Entre os consecutivos 4 e 3.

d) Entre os consecutivos 4 e 5.

9. A expressão numérica, pode ser simplificada, assinale

a sentença verdadeira:

46

a)




a)

b)

c)

d)

10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, assinalando a opção correta:

a)

b)

c)

d)

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