Matematica Discreta Para BCC

Matemtica Discreta para Cincia da Computao - P. Blauth Menezes 1

Matemtica Discreta paraCincia da Computao

P. Blauth Menezes

[email protected]

Departamento de Informtica Terica

Instituto de Informtica / UFRGS


Matemtica Discreta para Cincia da Computao

P. Blauth Menezes

1 Introduo e Conceitos Bsicos2 Lgica e Tcnicas de Demonstrao3 lgebra de Conjuntos4 Relaes5 Funes Parciais e Totais6 Endorrelaes, Ordenao e Equivalncia7 Cardinalidade de Conjuntos8 Induo e Recurso9 lgebras e Homomorfismos10 Reticulados e lgebra Booleana11 Concluses


8 Induo e Recurso

8.1 Princpio da Induo Matemtica8.2 Prova Indutiva8.3 Segundo Princpio da Induo Matemtica8.4 Definio Indutiva8.5 Expresses Regulares8.6 Computaes de um Autmato Finito8.7 Leitura Complementar: Gramtica e BNF8.8 Recurso8.9 Leitura Complementar: Funes Recursivas

Parciais


8 Induo e Recurso

8.1 Princpio da Induo Matemtica

Princpio da Induo Matemtica

tcnica para lidar com tipos de dados que tm uma relao de boa-ordem

Relao de Boa-Ordem todo conjunto no-vazio de elementos do tipo de dado tem um elemento mnimo segundo esta relao de ordem exemplo: N


Dada uma boa ordem

pode-se aplicar induo para provar propriedades que valem para todo elemento

Por simplicidade

tipo de dados considerado: N ou qq outro conjunto isomorfo a N

Exemplo simples que ilustra o Princpio da InduoMatemtica

efeito domin


Efeito Domin

ao derrrubar a primeira pea todas as demais peas sero derrubadas em cadeia


Para estar certo que ocorrer primeira pea derrubada (direo das demais) (1) se qq pea est suficientemente prxima da seguinte, ento, ao ser

derrubada, far com que a seguinte tambm seja derrubada (2)

Ento por (1), a primeira pea derrubada por (2), a segunda pea derrubada por (2), a terceira pea derrubada e assim sucessivamente

Portanto, para i to grande quanto se queira i-sima pea derrubada

Logo, para qq n n-sima pea derrubada


Princpio da Induo Matemtica

pode ser resumido como

se o incio correto e se coisa alguma pode dar errada,ento sempre ser correto


Def: Princpio da Induo Matemticap(n) uma proposio sobre M = {n N n m e m N }Princpio da Induo Matemtica

p(m) verdadeira para qq k M, p(k) p(k + 1) ento, para qq n N, p(n) verdadeira

Base de induo p(m)

Hiptese de induo p(k)

Passo de induo p(k) p(k + 1)


Na definio

forma mais tradicional denominada de Primeiro Princpio da Induo Matemtica formulaes alternativas: adiante

Duas aplicaes da Induo Matemtica destacam-se

Prova Indutiva ou Prova por Induo tcnica de demonstrao comum na CC & Informtica no do domnio da lgica pura

Definio Indutiva ou Definio Recursiva comum na CC & Informtica j usada anteriormente de forma informal


Recurso

conceito prximo ao de induo e presente na grande maioria daslinguagens de programao o de recurso.

Exemplos de construes baseadas em induo erecurso e de especial interesse para CC e Informtica

Computaes de um autmato finito Gramticas de Chomsky e a Forma de Backus Naur (ou BNF) Expresses Regulares Funes Recursivas Parciais ou Funes Recursivas de Kleene


8 Induo e Recurso


Parciais


8.2 Prova Indutiva

Prova Indutiva ou Prova por Induo

tcnica de demonstrao baseada no Princpio da Induo Matemtica no do domnio da lgica pura

limita-se a confirmar se p(n) correta

Demonstrao por induo

demonstrar a base de induo p(m) fixado um k

supor verdadeira a hiptese de induo p(k) demonstrar o passo de induo p(k) p(k + 1)


Exp: Prova por Induo - p(n): n < 2n

para qq n N, tem-se que n < 2n

Base de Induo. k = 00 < 1 = 20

Hiptese de Induo. Suponha que, para k Np(k): k < 2k verdadeira

Passo de Induo. Prova para p(k + 1): k + 1 < 2k+1

k + 1 < hiptese de induo 2k + 1 2k + 2k = 2 * 2k = 2k+1

Logo, para qq n N, tem-se que n < n2


Exp: Prova por Induo - p(n): 2n < n!

para qualquer n N, se n > 3, ento 2n < n!

Base de Induo. k = 442 = 16 < 24 = 4!

Hiptese de Induo. Suponha para k > 3p(k): 2k < k! verdadeira

Passo de Induo. Prova para p(k + 1): 2k+1 < (k + 1)!

2k+1 = 2 * 2k < hiptese de induo 2 * k! < (k + 1) * k! = (k + 1)!

Logo, para qq n N, se n > 3, ento 2n < n!


Exp: Prova por Induo - 1 + 2 + + n = (n2 + n)/2para qualquer n N, tem-se que1 + 2 + + n = (n2 + n)/2

Base de Induo. k = 0(02 + 0)/2 = (0 + 0)/2 = 0/2 = 0

Hiptese de Induo. Suponha para k Np(k): 1 + 2 + + k = (k2 + k)/2 verdadeira

Passo de Induo. p(k+1): 1+2++k+(k+1) = ((k+1)2+k+1)/2 1 + 2 + + k + (k + 1) = (1 + 2 + + k) + (k + 1) = pela hiptese de induo (k2 + k)/2 + (k + 1) = (k2 + k)/2 + (2k + 2)/2 = (k2 + k + 2k + 2)/2 = ((k2 + 2k + 1) + (k + 1))/2 = ((k + 1)2 + (k + 1))/2


Exp: Prova por Induo - #2A = 2#AFoi afirmado que

se o cardinal de um conjunto A n ento o cardinal de 2A 2n, o que justifica a notao 2A.

Teorema (verso limitada a conjuntos finitos)

para qq conjunto finito A, se #A = n, ento tem-se que #2A = 2n

Considere o seguinte exemplo motivacional:

P() = { } P({ a }) = { , { a } } P({ a, b }) = { , { a }, { b }, { a, b } } P({ a, b, c }) =

{ , { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c } }


Observe P({ a, b }) e P({ a, b, c }) (por exemplo)

metade dos elementos de P({ a, b, c }) corresponde a P({ a, b })

P({ a, b, c }) = P({ a, b }) { { c }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c } }

outra metade de P({ a, b, c }) corresponde a P({ a, b }),adicionando-se c a cada conjunto

P({ a, b, c }) = P({ a, b }) { { c }, { a } { c }, { b } { c }, { a, b } { c } }

Ou seja, #P({ a, b, c }) possui o dobro de elementos de #P({ a, b })

cada elemento adicionado a um conjunto duplica o cardinal docorrespondente conjunto das partes


Base de Induo. Seja k = 0 (#A = 0). Ento A =

P() = { }

p(0) verdadeira pois

#P() = 1 = 20 = 2#

Hiptese de Induo. Suponha que, para algum k N (#A = k)

p(k): #P(A) = 2#A verdadeira


Passo de Induo. p(k + 1). Sem perda de generalidade, suponha osseguintes conjuntos (conjuntos com o mesmo cardinal so isomorfos)

A = { 1, 2, 3, , k } B = { 1, 2, 3, , k, k + 1 }

Por hiptese de induo #P(A) = 2k

P(A) so todos subconjuntos de B que no possuem o elemento k + 1

demais subconjuntos B so aqueles que contm o elemento k + 1 a unio de cada conjunto de P(A) com { k + 1 } resultando em outros 2k conjuntos

#P(B) = 2k + 2k = 2k+1

Logo, para qq conjunto finito A, se #A = n, ento tem-se que #2A = 2n


8 Induo e Recurso


Parciais


8.3 Segundo Princpio da InduoMatemtica

Freqentemente conveniente trabalhar com outrasformulaes do Princpio da Induo Matemtica

Primeiro Princpio da Induo Matemtica princpio introduzido

Segundo Princpio da Induo Matemtica formulao especialmente importante considera no apenas o resultado anterior p(k) mas todos os

anteriores para concluir p(k + 1)


Lembrando

Def: (Primeiro) Princpio da Induo Matemticap(n) uma proposio sobre M = {n N n m e m N }Princpio da Induo Matemtica

p(m) verdadeira para qq k M, p(k) p(k + 1) ento, para qq n N, p(n) verdadeira


Def: Segundo Princpio da Induo MatemticaSeja p(n) proposio sobre M = {n N n m e m N }.

Primeira Verso.

p(m) verdadeira para qq k M: p(m) p(m + 1) p(k) p(k + 1) ento, para qq n N, p(n) verdadeira

Segunda Verso. Suponha t N

p(m), p(m + 1),,p(m + t), so verdadeiras; para qq k M tq k m + t: p(m) p(m + 1) p(k) p(k + 1) ento, para qq n N, p(n) verdadeira

Segunda verso: prova os t primeiros casos em separado para verificara base de induo


Aplicao usual do Segundo Princpio

definio e prova de propriedades de expresses frmulas rvores, etc.

razo pela qual freqentemente denominado de induo em estrutura induo estruturada


Exp: Segundo Princpio: Proposio Lgica

Suponha que p uma proposio lgica a qual contmexclusivamente os conetivos lgicos , e . Se o valor verdade

de todos os tomos de p V, ento o valor verdade de p V

Uma prova por induo (no nmero de tomos, primeira verso):

Base de Induo. Seja k = 1

p um tomo portanto, por hiptese, p V

Hiptese de Induo. Suponha que, para algum k N, e para qq u Ntal que u k

se o nmero de tomos de p u, ento o valor verdade de p V


Passo de Induo. Seja p uma proposio com k + 1 tomos

p pode ser reescrita (q e r possuem individualmente no mximo ktomos e, conjuntamente, k + 1 tomos): q r q r q r

por hiptese de induo q e r so V portanto, em qualquer dos casos, p V


Exp: Segundo Princpio: Postagem

Qualquer valor de postagem igual ou maior que 12 reais pode serformado usando exclusivamente selos de 4 e de 5 reais

Uma prova por induo (no nmero de selos, segunda verso):

Base de Induo. Seja k { 12, 13, 14, 15 }

12 reais: 3 selos de 4 13 reais: 2 selos de 4 e 1 selo de 5 14 reais: 1 selo de 4 e 2 selos de 5 15 reais: 3 selos de 5


Hiptese de Induo. Suponha que, para algum k N, e para qq u Ntal que 15 u k

se o valor u, ento pode ser formado usando selos de 4 e 5

Passo de Induo. Seja uma postagem cujo valor k + 1 reais

tal postagem pode ser formada usando uma postagem de k - 3 reais mais um selo de 4 reais


8 Induo e Recurso


Parciais


8.4 Definio Indutiva

Princpio da induo Matemtica

pode ser usado em definies

Definio Indutiva ou Definio Recursiva

Base de induo explicita os casos elementares (os mais simples)

Passo de induo/recurso demais casos so definidos em termos dos anteriores

Definio Indutiva ja foi usado informalmente

Fecho transitivo


Exp: Definio Indutiva Fecho TransitivoEndorrelao R: A A. Fecho Transitivo

Se a, b R, ento a, b R+ (1)

Se a, b R+ e b, c R+, ento a, c R+ (2)

Os nicos elementos de R+ so os construdos como acima (3)

(1) base de induo

(2) passo de induo (hiptese?)

(3) garante que, de fato, definio indutiva (3) pode ser omitido (subentendido)


Exp: Def. Indutiva Conjunto de Todas as PalavrasAlfabeto = { a, b }

* = { , a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, }

Base de Induo. * qq x , tem-se que x *

Passo de Induo. se u e v so palavras de *, ento a concatenao u v palavra de *


Exp: Definio Indutiva Frmula LgicaSimplificada, no incluindo quantificadores, variveis, etc.

Base de Induo qq proposio atmica (incluindos V e F) frmula

Passo de Induo. Se q e r so frmulas ento tambm so frmulas

(q) (q r) (q r) (q r) (q r)


Exp: Definio Indutiva Princpio da Induo MatIlustrao da relao entre o Princpio da Induo e a definio indutiva

definio indutiva (no nmero de conetivos) de frmula lgicausando o Segundo Princpio

Base de Induo. Seja k = 0 qq proposio atmica (incluindo V e F) uma frmula;

Hiptese de Induo. Suponha que, para algum k N, e para qq i Ntal que i k

se p uma frmula com i conetivos, ento p uma frmula lgica


Passo de Induo. Seja p uma frmula com k + 1 conetivos

p pode ser reescrita q e r so frmulas e possuem conjuntamente k conetivos

(q) (q r) (q r) (q r) (q r)


8 Induo e Recurso


Parciais


8.5 Expresses Regulares

Autmato Finito

j introduzido especialmente importante

define a classe das linguagens regulares possui diversas aplicaes na Computao e Informtica

Expresses Regulares

alternativa para definir linguagens regulares

definio indutiva que segue Segundo Princpio da Induo Matemtica (segunda verso)


Def: Expresso Regular (ER) sobre um alfabeto

Base de Induo. ER e denota a linguagem vazia ER e denota a linguagem { } qq smbolo x ER e denota a linguagem { x }

Passo de Induo. Se r e s so ER e denotam as ling. R e S, ento

Unio. (r + s) ER e denota a linguagem R S

Concatenao. (rs) ER e denota a linguagem

R S = { uv u R e v S }

Concatenao Sucessiva. (r*) ER e denota a linguagem R*


Exp: Expresso RegularOmisso de parnteses em uma ER usual

concatenao sucessiva: precedncia sobre concatenao e unio concatenao: precedncia sobre unio

ER Linguagem Representada

aa somente a palavra aaba* todas palavras iniciam por b seguido por 0 ou mais a(a + b)* todas as palavras sobre { a, b }(a + b)*aa(a + b)* todas as palavras contendo aa como subpalavraa*ba*ba* todas as palavras contendo exatamente dois b(a + b)*(aa + bb) todas as palavras que terminam com aa ou bb(a + )(b + ba)* todas as palavras sem dois a consecutivos


8 Induo e Recurso


Parciais


8.6 Computaes de um AutmatoFinito

Exemplos de modelos computacionais introduzidos

Rede de Petri, definida como uma relao Autmato Finito, definido como uma funo parcial

Definidos sintaticamente

definies formais de sua forma

Semntica ??

interpretao do funcionamento ou processamento introduzida textualmente, de forma informal


Autmato Finito

processamento de um Autmato Finito a sucessiva aplicao decomputaes atmicas (transies)

q 0

q 1 q 2

a b

b

a

a,b

a bq f

q f

q 1

q 0

a b b a

q 2

q f


Programa de um Autmato Finito: funo parcial

: Q Q

(q, a) = p no estado q, ao ler o smbolo a, assume o estado p

Para dar semntica sintaxe de um Autmato Finito

estender a definio da funo programa argumento: um estado e uma palavra

definida indutivamente


Funo Programa Estendida

base de induo: entrada vazia (palavra vazia) permanece no mesmo estado

passo de induo: entrada no-vazia (palavra no-vazia) processa o primeiro smbolo da entrada, usando mesmo raciocnio sucessivamente ao resto da palavra

Funo Programa Estendida definio formal

: Q * Q

(q, ) = q (q, aw) = ((q, a), w)


Exp: Funo Programa Estendida

q 0

q 1 q 2

a b

b

a

a,b

a bq f

q f

q 1

q 0

a b b a

q 2

q f

(q0, abba) = ((q0, a), bba) = (q1, bba) = ((q1, b), ba) = (q2, ba) = ((q2, b), a) = (qf, a) = ((qf, a), ) = (qf, ) = qf


8 Induo e Recurso


Parciais


8.7 Gramtica e BNF

Gramticas de Chomsky

formalismo universalmente aceito e usado em Computao eInformtica e outras reas

Linguagens Formais definio e estudo das propriedades das linguagens

Teoria da Computao limites da solucionabilidade de problemas e propriedades

Linguagens Naturais linguagens como o portugus

Sistemas Biolgicos simulao do desenvolvimento de sistemas vivos


Prova-se: gramtica equivalente a Mq. de Turing

poder computacional

Hiptese de Church

qq funo computvel pode ser especificada por uma gramtica gramtica: aceita como definio formal de algoritmo

Gramticas em Computao e Informtica

especialmente importantes para definir a sintaxe de linguagens Pascal, C, definidas usando gramticas


8 Induo e Recurso

8.1 Princpio da Induo Matemtica8.2 Prova Indutiva8.3 Segundo Princpio da Induo Matemtica8.4 Definio Indutiva8.5 Expresses Regulares8.6 Computaes de um Autmato Finito8.7 Leitura Complementar: Gramtica e BNF

8.7.1 Gramtica8.7.2 BNF

8.8 Recurso8.9 Leitura Compl.: Funes Recursivas Parciais


8.7.1 Gramtica

Gramtica , basicamente

conjunto finito de regras aplicadas sucessivamente, geram palavras

Gerao de palavra

indutivamente definida

Linguagem

conjunto de todas as palavras geradas forma finita de expressar sintaxe de linguagens eventualmente

infinitas


Gramticas para linguagens naturais ???

mesmas

Definio de Semntica ???

podem ser usadas gramticas

em geral, so usados outros tipos de formalismos


Def: GramticaGramtica de Chomsky ou simplesmente Gramtica

V - conjunto finito de smbolos variveis ou no-terminais

T - conjunto finito de smbolos terminais disjunto de V

P: (V T)+ (V T)* relao finita P finito regra de produo: par da relao

S - elemento distinguido de V smbolo inicial ou varivel inicial


Notao

regra de produo ,

grupo de regras da forma 1, 2, ..., n

1 2 n

Regras de produo

definem as condies de gerao das palavras da linguagem

Derivao

aplicao de uma regra de produo par de uma relao


Def: Relao de DerivaoG gramtica tq P: (V T)+ (V T)* e S o smbolo inicialDerivao um par da Relao de Derivao

: (V T)+ (V T)* , da relao denotado de forma infixada

Relao indutivamente definida

qq regra S de P, ento S derivao

qq derivao se regra de P ento


Def: Linguagem Gerada (por uma Gramtica)G gramtica tq S smbolo inicialLinguagem Gerada pela gramtica G

Linguagem(G) = { w T* S + w }

+ denota o fecho transitivo da relao de derivao

portanto: palavra de uma linguagem no pode conter variveis


Exp: Gramtica e Derivao - Nmeros NaturaisGramtica G

V = { N, D }, sendo que N o smbolo inicial T = { 0, 1, 2,, 9 } P contm as regras

N D N DN D 0 1 9

Derivao de 243 (existe mais alguma gerao?)

N DN 2N 2DN 24N 24D 243

Distingue zeros esquerda:123 0123


Interpretao indutiva

Base de Induo todo dgito um natural

Passo de Induo Se n um natural ento a concatenao de n com qq dgito tambm natural


Exp: Gramtica e Derivao - Expresso AritmticaGramtica G

V = { E }, sendo que E o smbolo inicial T = { +, , (, ), x } P contm as regras (interpretao indutiva?)

E E+E E EE E (E) E x

(x + x)x Linguagem(G) ???E E E (E) E (E + E) E

(x + E) E (x + x) E (x + x) x


8 Induo e Recurso

8.1 Princpio da Induo Matemtica8.2 Prova Indutiva8.3 Segundo Princpio da Induo Matemtica8.4 Definio Indutiva8.5 Expresses Regulares8.6 Computaes de um Autmato Finito8.7 Leitura Complementar: Gramtica e BNF

8.7.1 Gramtica8.7.2 BNF

8.8 Recurso8.9 Leitura Compl.: Funes Recursivas Parciais


8.7.2 BNF

Forma de Backus Naur ou simplesmente BNF

(do ingls, Backus Naur Form)

BNF

variveis so delimitas por e por

palavras no-delimitas: smbolos terminais

representao de uma regra de produo ,

::=


Exp: BNF - Identificador em Pascal

BNF - ident o smbolo inicial

ident ::= letra identletra identdgito letra ::= a b z dgito ::= 0 1 9

Base de Induo

toda letra um identificador

Passo de Induo

se S identificador ento a concatenao de S com qq letra/dgito identificador


8 Induo e Recurso


Parciais


8.8 Recurso

Recurso

conceito prximo ao de induo

presente na grande maioria das linguagens de programao

Inspirado nas Funes Recursivas de Kleene

equivalente: Mquina de Turing e Gramtica de Chomsky

Hiptese de Church qq algoritmo pode ser expresso usando recursividade


Induo Recurso

qq definio indutiva pode ser simulada por recurso

nem toda recurso possui uma correspondente definio indutiva no necessariamente respeita a boa ordem da induo

recomendvel programar recurso respeitando os princpios dadefinio indutiva garante que o programa pra e atinge o resultado esperado


Exemplo importante para o entendimento da recurso

Exp: Definio Indutiva FatorialFatorial n!

n! = 1, se n = 0 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * 1, se n > 0

Para n > 0

n * (n 1)! sendo que (n 1)! = (n - 1) * (n - 2) * 1

Da mesma forma, (n 1)!

(n 1) * (n - 2) !, sendo que (n 2)! = (n - 2) * (n - 3) * 1e assim sucessivamente


Base de Induo

0! = 1

Passo de Induo

n! = n * (n 1)!

Fatorial de 4

4! = 4 * (4 1)! = 4 * 3! = passo de induo 4 * 3 * (3 1)! = 4 * 3 * 2! = passo de induo 4 * 3 * 2 * (2 1)! = 4 * 3 * 2 * 1! = passo de induo 4 * 3 * 2 * 1 * (1 1)! = 4 * 3 * 2 * 1 * 0! = base de induo 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 24


Exp: Funo Recursiva em Pascal Fatorial

function fatorial(n: integer): integer;beginif n = 0then fatorial := 1else fatorial := n * fatorial(n 1)end

Exp: Funo recursiva em Haskell Fatorial

fatorial(0) = 1fatorial(n) = n * fatorial(n 1)


Nem toda programao recursiva corresponde a umadefinio indutiva

Exp: Funo Recursiva

function ciclo_infinito(x: real): real;beginciclo_infinito := x * ciclo_infinito(x)end

no corresponde a noo de boa ordem no caracteriza definio indutiva


Obs: Eficincia da RecursoProcessamento de recurso em linguagens imperativas: C, Pascal

considervel demanda do recurso memria

recurso expressa certos programas de forma mais elegante mas no muito recomendado

recurso escrita de forma iterativa (while, for) em geral, mais eficiente


Obs: Eficincia da Recurso

Recurso em Linguagens funcionais, como Haskell

tcnica padro de aplicar uma operao sucessivamente

base da maioria dos programas funcionais

Otimizaes no-usadas em linguagens imperativas

estudo de tais tcnica no detalhado


8 Induo e Recurso


Parciais


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1 Introduo e Conceitos Bsicos2 Lgica e Tcnicas de Demonstrao3 lgebra de Conjuntos4 Relaes5 Funes Parciais e Totais6 Endorrelaes, Ordenao e Equivalncia7 Cardinalidade de Conjuntos8 Induo e Recurso9 lgebras e Homomorfismos10 Reticulados e lgebra Booleana11 Concluses


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