1 Dictado Del Curso de Matematica Discreta 2014

MAESTRA EN INFORMTICA

M. Sc. Paco Wilson Marconi Quispe

FINESI

ESTRUCTURAS DISCRETAS

Que es Matemtica Discreta Es la parte de la matemtica que se dedica al estudio de los objetos discretos, donde, discreto se refiere a la forma particular de codificacin que toma un smbolo o un paquete de informacin.

Por ejemplo,

el valor discreto en lenguaje binario para el carcter ASCII A es 01000001.

La matemtica discreta es una rama de las matemticas que trata de las estructuras finitas y numerables, lo discreto es lo finito por lo que presenta el aspecto de los nmeros naturales, dndole fundamentos matemticos para la ciencia de la computacin en donde la informacin en los ordenadores se manipula en forma discreta (palabras formadas por ceros y uno).

Por ejemplo,

En matemticas discretas son contables, como por ejemplo, los nmero, naturales, enteros, grafos y sentencias de lgica.

M.Sc. P. Wilson Marconi Q.

E S T R U C T U R A S D I S C R E TA S

Porque estudiar matemtica discreta?

Hay varias razones importantes para estudiar

matemtica discreta donde, a travs de este curso

se puedes desarrollar la madurez en matemticas,

es decir tu habilidad para entender y crear

argumentos matemticos.



Desde las primeras calculadoras hasta los computadores

modernos, no hay duda que se ha perseguido y se viene

alcanzando el objetivo de realizar clculos rpidos y seguros. El

desarrollo de las interfaces tambin ha contribuido a obtener

cada vez mejores representaciones grficas y se puede preveer

que la tecnologa aplicada tanto a los problemas de clculo como

a lo visual brindar cada vez herramientas ms potentes para

asistir en la solucin de problemas en diferentes reas. Por otro

lado, sabemos que los problemas que dependen del

razonamiento humano, nunca podrn prescindir del mismo. En

pocas palabras: las computadoras computan (calculan), pero

nunca van a llegar a razonar

En resumen

PREGUNTAS FRECUENTES

de cuantas formas se puede elegir una clave de

acceso a un equipo informtico?

hay algn enlace entre dos ordenadores en una red?

Cul es el camino mas cortos entre dos ciudades

usando un sistema de transporte?

Cmo se puede ordenar una lista de nmeros

enteros para que se dispongan en orden creciente?

Cmo se puede demostrar que un algoritmo,ordena

correctamente una lista?

Cuntas direcciones validas de internet existen?



Aplicaciones y modelos la matemtica discreta se puede aplicar en casi cualquier rea concebible de estudio.

Como:

La qumica (optimizacin)

La botnica (optimizacin)

La zoologa (optimizacin)

La geografa (optimizacin)

Las ciencias empresariales e internet. (optimizacin)

Estas aplicaciones son usos naturales e importantes de la matemtica discreta.



Aplicaciones y modelos la matemtica discreta se puede aplicar en casi cualquier rea concebible de estudio.

Como:

La qumica (optimizacin)

La botnica (optimizacin)

La zoologa (optimizacin)

La lingstica

La geografa (optimizacin)

Las ciencias empresariales e internet. (optimizacin)

Estas aplicaciones son usos naturales e importantes de la matemtica discreta.



Aplicaciones y modelos Criptografa

El campo de la criptografa, que es el estudio de cmo crear estructuras de seguridad y contraseas de las computadoras y otros sistemas electrnicos, se basa totalmente en la matemtica discreta. Esto es en parte porque las computadoras envan informacin en bits discretos, o separados y distintos.

La teora de nmeros, una parte importante de la matemtica discreta, permite a los criptgrafos crear y romper contraseas numricas. Debido a la cantidad de dinero y la informacin confidencial implicada, los criptgrafos primero deben tener una slida formacin en teora de nmeros para demostrar que pueden proporcionar contraseas seguras y mtodos de cifrado



Aplicaciones y modelos Bases de datos relacionales

Las bases de datos relacionales desempean un papel en casi todas las organizaciones que deben llevar un registro de empleados, clientes o recursos. Una base de datos relacional conecta los rasgos de una determinada pieza de informacin. Por ejemplo, en una base de datos que contiene informacin de clientes, el aspecto relacional de esta base de datos permite que el sistema informtico sepa cmo vincular el nombre del cliente, direccin, nmero de telfono y otra informacin pertinente. Todo esto se hace a travs del concepto de matemticas discretas de conjuntos. Los conjuntos permiten que la informacin se agrupe y se ponga en orden.



Aplicaciones y modelos Logstica

La logstica es el estudio de la organizacin del flujo de informacin, bienes y servicios. Sin matemtica discreta, la logstica no existira. Esto se debe a que la logstica hace uso intensivo de grficos y teora de grafos, un subcampo de la matemtica discreta. La teora de grafos permite que complejos problemas logsticos se simplifiquen en grficos que constan de nodos y lneas. Un matemtico puede analizar estos grficos de acuerdo con los mtodos de la teora de grafos para determinar las mejores rutas para el transporte o la solucin de otros problemas logsticos.



Aplicaciones y modelos Algoritmos

Los algoritmos son las reglas por las que una computadora opera. Estas reglas se crean a travs de las leyes de la matemtica discreta. Un programador de computadoras usa la matemtica discreta para disear algoritmos eficientes. Este diseo incluye la aplicacin de matemtica discreta para determinar el nmero de pasos de un algoritmo necesita para completar, lo que implica la velocidad del algoritmo. Debido a las aplicaciones de matemtica discreta en los algoritmos, las computadoras de hoy en da corren ms rpido que nunca.



El curso de matemtica discreta es importante

porque ensea como trabajar con estructuras

discretas, que son las estructuras abstractas

matemticas usadas para representar objetos

discretos y relaciones entre ellos. Estas

estructuras discretas engloban:

lgica, conjuntos, relaciones, funciones,

grafos, arboles y maquinas de estados finitos.

CONCLUSIN



LGICA Las reglas de la lgica le dan un significado preciso a

los enunciados matemticos o sentencias

matemticas. Estas reglas se usan para distinguir

entre argumentos validos y no validos.

ARGUMENTOS Y PROPOSICIONES LGICAS

Es importante distinguir entre argumentos que son

vlidos lgicamente y los argumentos que no lo son.

Los argumentos lgicos constan de ciertas

proposiciones que no pueden subdividirse. Donde

estas proposiciones se mantienen unidas mediante

conexiones lgicas.



PROPOSICIN

Una proposicin es una oracin declarativa o

informativa que es correcta o falsa, pero no ambas

cosas a la vez

EJEMPLO 01: Los siguientes enunciados son

Proposiciones.

1. Lima es la capital de Per.

2. Puno es la capital de Bolivia.

3. 1+1 =2

4. 2+2=3

Las proposiciones 1y3 son correctas, mientras que

la 2 y 4 son falsas.



Carmen es prima de Jos. (Este enunciado puede ser,

en efecto, verdadero o falso.)

Sofa est cansada. (Como en el ejemplo anterior, este

enunciado puede ser verdadero o falso.)

Los nios necesitan jugar.

Scrates es un hombre.

La x + 4 = 26 (Ntese que segn el valor que adopte la

variable x, este enunciado puede ser verdadero o

falso).



EJEMPLO 02: Los siguientes enunciados no son

Proposiciones.

1. Qu hora es?

2. Lee esto con atencin.

3. X+1=2

4. X+y=z

Las frases 1 y 2 no son proposiciones por que no

son declarativas. Las frases 3 y 4 no son

proposiciones por que no son verdaderas ni falsas

ya que no se les han asignado valores a las

variables.



LA NEGACIN

Sea p una proposicin de donde el enunciado:

No se cumple p

Es otra proposicin llamada la negacin de p. la

negacin de p se denota mediante

Donde la proposicin p se lee ( no p )

p

Ejemplo .

El dinero no es la felicidad.

Es falso que el dinero sea la felicidad.

No es el caso que el dinero es la felicidad.



CONEXIONES LGICAS

Conjuncin.

sean p y q dos proposiciones p y q, denota por:

p q

es la proposicin que es verdadera cuando p y el

valor de q son verdaderas y falsas en cualquier otro

caso.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplo.

La persona es espritu y cuerpo.

La persona es espritu pero corporal.

La persona es espritu adems de ser cuerpo.

La persona es espritu aunque es tambin

cuerpo.

La persona es espritu; sin embargo, es

corporal



Disyuncin inclusiva.

Sean p y q dos proposiciones de donde la

proposicin p o q denotada por p v q, es la

proposicin que es la falsa cuando p y el valor q

son falsas y verdadera en cualquier otro caso.

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Ejemplo.

Carlos es informtico o matemtico

Los estudiantes que hayan cursado calculo o

ciencias de la computacin pueden

matricularse.

Hoy es sbado o domingo



Disyuncin Exclusiva.

Sean p y q proposiciones. El conectivo lgico o

exclusivo de p y q denotada por p q, es la

proposicin que es verdadera cuando exactamente

una de las proposiciones de p y q es verdadera y es

falsa en cualquier otro caso.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplo.

Nos vamos o nos quedamos

Como ambas cosas no pueden ser ciertas al

mismo tiempo, la proposicin ser siempre

verdadera



Implicacin material o condicional

Sean p y q proposiciones. El condicional material

p q es una funcin de verdad que toma dos valores

de verdad (por lo general los valores de

proposiciones) y devuelve falso cuando el primer

valor es verdadero y el segundo falso, y verdadero en

cualquier otro caso.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

En la condicional en el lenguaje ordinario tiene

trminos como:

Puesto que, ya que, porque, si, cuando, etc.

Ejemplo.

Si llueve, entonces voy al cine.

Cuando llueve, voy al cine.

Si hace sol, entonces iremos a la playa.



1. Q si P.

2. Q siempre que P. 3. Q es necesario para P. 4. Q es implicada por P.

Todas estas

expresiones son

equivalente.



Si la demanda crece, entonces las compaas se

expanden.

Esta afirmacin tiene dos partes; que son

afirmaciones por derecho propio.

Son la demanda crece y las compaas se

expanden.

Estas dos afirmaciones estn conectadas mediante SI

... ENTONCES.

La construccin si entonces se usa en muchos lenguajes de programacin de forma diferente que en lgica. La mayora de los lenguajes de programacin contienen sentencias como:

if p then s

Donde p es una proposicin y s un segmento de programa

Ejemplo. Cul es el valor de la variable x tras la sentencia?

If 2+2=4 then x:= x+1

Si x=0 antes de llegar a la sentencia? (el smbolo:= corresponde a la

asignacin. La sentencia x:=+1 significa que a x se le asigna el valor

x+1).

Solucin: Como 2+2=4 es verdadera, se ejecuta la sentencia de

asignacin x;=x+1. Por tanto, x toma el valor 0+1=1 tras la sentencia.



EQUIVALENCIA MATERIAL O BICONDICIONAL.

Sean p y q proposiciones. La bicondicional, o doble

implicacin, p q es la proposicin que es verdadera

cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y

falsa en los otros casos.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplo.

Sea p la afirmacin puedes tomar el vuelo y

sea q la afirmacin compras un billete,

entonces p q es le enunciado.

puedes tomar el vuelo si, y solo si. Compras el

billete



FORMULAS Y ESQUEMAS DE FORMULAS.

Formulas. En la lgica proposicional las formulas son

los que estn constituidos por variables y operadores

proposicionales donde cada uno de estos smbolos

cumplen funciones definidas.

Esquema de frmulas. Son las interpretaciones que

se hacen a los esquemas moleculares mediante

variables metalingsticos.

Ejemplo.

p q p q

Este esquema es

llamado esquema

molecular condicional.

Ejemplo.

p q p q p q Este esquema es llamado

esquema molecular

Bicondicional.



TRADUCCIN DE FRASES DEL LENGUAJE NATURAL.

Hay muchas razones para traducir frases del

lenguaje natural a expresiones con variables

proposicionales y conectivos lgicos. Todos los

lenguajes del ser humano son a menudo ambiguos.

Trasladar frases a expresiones lgicas trae consigo

evitar estas ambigedades.

Ejemplo. Puedes acceder a internet desde el campus solo si,

estudias ciencias de la computacin o no eres

alumno de primero

p q r



Es falso que, Luis sea futbolista y obtenga buenas notas.

El gato toma leche y el perro come croquetas

Berta es atractiva o Claudia es atractiva, pero no ambas.

INFERENCIAS LGICAS

La inferencia es el proceso de pasar de un conjunto

de proposiciones llamadas premisas a otra

proposicin llamada conclusin el cual formalmente

se expresa como:



1

2

3

n

p

p

p

p

C

Si la conclusin se deduce correctamente del

conjunto de premisas la inferencia es vlida;

pero si la conclusin no se deduce

correctamente del conjunto de premisas la

inferencia no es vlida, podemos determinar

los valores de una inferencia representado

simblicamente en un sistema molecular de la

forma:

1 2 3 np p p p C

INFERENCIAS LGICAS



Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo

tanto, Si Vicente viaja al norte del pas entonces no se quedar en la

capital.

Ejemplo.

Si Juan gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Juan

gan el concurso de poesa. Luego Juan obtendr una beca.

Ejemplo.

INFERENCIAS LGICAS



INFERENCIAS LGICAS



Ejemplo.

INFERENCIAS LGICAS



INFERENCIAS LGICAS



MTODO ABREVIADO

Es un procedimiento que evita estar construyendo la tabla de valores

de verdad para determinar la validez de la inferencia.

Este mtodo consiste en suponer la conjuncin de premisas

verdaderas y la conclusin falsa, nica posibilidad que invalidad la

implicacin.

La prueba de este mtodo consiste en aplicar las siguientes reglas de

operacin:

Asignar el valor de verdad a cada una de las premisas y de falsedad a la conclusin.

Deducir el valor de cada una de las variables proposicionales en funcin de las reglas ventativas.

Si cada una de las variables cumplen una sola funcin ventativa, se abra demostrado que la premisa es verdadera y la conclusin falsa, por lo tanto la

inferencia ser invlida.

Basta que una variable tenga los valores de verdad y falsedad a la vez para demostrar que es imposible que la premisa o la conjuncin de premisas sea

verdadero y la conclusin falsa, por lo tanto la inferencia ser vlida.

INFERENCIAS LGICAS



Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo

tanto, Si Vicente viaja al norte del pas entonces no se quedar en la

capital.

Ejemplo.

Si Juan gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Juan

gan el concurso de poesa. Luego Juan obtendr una beca.

Ejemplo.

INFERENCIAS LGICAS



BSQUEDAS BOOLEANAS

Los conectivos lgicos tienen un amplio campo de

aplicacin en las bsquedas en grandes colecciones

de informacin como, por ejemplo, los ndices de

pginas web.

Como estas bsquedas emplean tcnicas de lgica

proposicional. Se denominan bsquedas booleanas.

En las bsquedas booleanas se usa de conexin AND

para emparejar datos almacenados que contengan

los dos trminos de bsqueda, la conexin OR se usa

para emparejar uno o ambos trminos de la

bsqueda y la conexin NOT (a veces escrita AND

NOT) se usa para excluir un trmino particular de

bsqueda.



Ejemplo.

Bsquedas de paginas web. La mayora de los

programas de bsqueda en la web emplean

tcnicas de bsqueda booleana. Las cuales nos

puedan ayudar a encontrar pginas web sobre

temas particulares. Por ejemplo. Usando una

bsqueda booleana para encontrar pginas web

sobre una universidad en el Per, Podemos buscar

pginas que concuerden con Per AND

Universidad. El resultado de esta bsqueda incluir

todas las paginas que contengan las dos palabras

(Per AND Universidad).



LGICA Y OPERACIONES CON BITS

Los ordenadores representan la informacin usando

bits donde un bit tiene dos valores posibles: 0 (cero)

y 1 (uno).

Las operaciones con bits en el ordenador,

corresponden a los conectivos lgicos. Remplazando

el valor verdadero por 1 y el valor falso por 0.

Para realizar operaciones con bits se utiliza:

OR: Representa a V

AND: Representa a XOR: Representa a



Cadena de Bits.

una cadena de bits es una sucesin de cero o ms bits. La longitud

de esta cadena es el nmero de bits de la cadena.

Ejemplo.

aplica las operaciones bits OR, AND Y XOR a las cadenas

01 1011 0110 y 11 0001 1101.

Solucin:

01 1011 0110

11 0001 1101

11 1011 1111 operacin OR

01 0001 0100 operacin AND

10 1010 1011 operacin XOR



PROBLEMAS VARIOS

Pag.14



EQUIVALENCIAS PROPOSICIONALES.

Una formula que es siempre verdadera, no importa

los valores de verdad de las proposiciones que la

componen se denomina tautologa. Una formula que

es siempre falsa se denomina contradiccin.

Finalmente, una proposicin que no es una

tautologa ni una contradiccin se le denomina

contingencia.

Dos frmulas son equivalentes si y solo si es una

tautologa.



Ejemplo.

Verificar si las proposiciones

son lgicamente equivalentes por tabla de

valores.

( ( )) y p p q p q



E Q U IVALEN CIA S L G I CAS



Donde:

T: tautologa.

C: contradiccin.

P: proposicin.

T T T

T P P

C P C C C C

C P P

T C T

Normas formales:

E Q U IVALEN CIA S L G I CAS



Ejemplo.

Demuestra que:

Es una tautologa usando propiedades.

( ) ( )p q p q



PROBLEMAS VARIOS

Pag. 24

Problemas: 06; 08; 12; 15; 21-25; 45





C I RCUITO S L G ICO S

El valor de verdad de una proposicin puede asociarse al pase

de corriente en un circuito elctrico controlado por un interruptor.

En efecto, para representar un interruptor mediante una

proposicin p, se tiene:

Circuito cerrado Circuito abierto

Es decir, si el interruptor est cerrado (pasa corriente)

V(p) = V=1

Si el interruptor est abierto (no pasa corriente)

V(p) = F=0




Serie. p q




Paralelo. p

q



Disertar circuitos lgicos de las siguientes proposiciones:

a) (p q) r b) p q c) p q


Ejemplo.




Ejemplo.

p

p

q

q

p

Determinar la menor expresin que representa el circuito.




Problemas varios.

Determinar la menor expresin que representa el circuito.

q

q

q q

qp

p

q

p

p

q

q

p

p

p

r

r

q

q

q

qp

pq

p

p

r

p

qq

p

q qq

qq

q

q

p

pp

p

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