Aula Particular de Matemática em BH

Professora Fernanda Pires

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MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

1) Razão: uma forma de comparar duas grandezas. De forma geral, é o quociente entre dois números. A

razão entre a e b é representada por a:b ou b

a. Exemplo: A razão entre 24 e 6 é 4, pois 4

6

24 = ; a razão

entre 15 e 20 é 4

3

20

15 = .

2) Proporção: Se a razão entre a e b é igual a razão entre c e d, dizemos que esses números são

proporcionais. Assim, d

c

b

a = , ou seja, a está para b assim como c está para d. Em uma proporção, a e d

são chamados extremos e b e c, meios. Exemplo: 35

28

15

12 = .

3) Propriedade Fundamental da Proporção: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

4) Grandezas diretamente proporcionais: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando,

aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra também aumenta (ou diminui) na mesma proporção.

5) Grandezas inversamente proporcionais: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,

aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou aumenta) na mesma proporção.

6) Regra de três simples: Pode ser direta, se relacionamos grandezas diretamente proporcionais, ou

inversa, se relacionamos grandezas inversamente proporcionais.

a) Direta: Uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos dias

seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84 km?

Percebemos que, ao aumentar a quantidade a ser asfaltada, aumentamos também o tempo

necessário para realizar o serviço. Logo, são grandezas diretamente proporcionais. Utilizando a

proporção, 60 km está para 84 km, assim como 20 dias está para quantidade x de dias que se quer

calcular.

km Dias

60 20

84 x

Logo, x

20

84

60 = . Utilizando simplificação de fração e também a propriedade fundamental das

proporções, resolvemos essa regra de três. Veja:

28x74xx

4

7

1

x

5:20

7

5:5

x

20

7

5

7

5

12:84

12:60 =⇒⋅=⇒=⇒=⇒=⇒=

Repare que a primeira simplificação (por 12) foi feita em coluna e a segunda (por 5), em linha.

Portanto, seriam necessários 28 dias para asfaltar 84 km.

b) Inversa: Se 5 torneiras, com mesma vazão, enchem um tanque, que estava vazio, em 2 horas,

quanto tempo somente 4 dessas torneiras gastam para encher esse mesmo tanque?

Percebemos que, ao diminuir o número de torneiras abertas, aumentamos o tempo necessário para

encher o tanque. Logo, são grandezas inversamente proporcionais.

Torneiras Horas

5 2

4 x

Nesse caso, ao montar a proporção precisamos inverter uma das razões. Assim, x

2

5

4 = .

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5,2xx

1

5

2

x

2:2

5

2:4 =⇒=⇒=

Portanto, serão necessárias 2,5 h para encher o tanque.

7) Regra de três composta: Relação entre grandezas diretamente proporcionais, inversamente

proporcionais ou uma mistura dessas situações. Para resolvê-la é preciso analisar as proporções duas a

duas. Exemplos:

a) Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças

dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas

funcionarem durante 9 dias?

Máquinas Dias Peças

5 6 400

7 9 x

Considerando que o número de máquinas mantenha-se constante, vamos analisar os números de dias e

peças. Ao aumentar o número de dias, aumentamos o número de peças produzidas. Logo, são

grandezas diretamente proporcionais.

Considerando que o número de dias mantenha-se constante, vamos analisar os números de máquinas e

peças. Ao aumentar o número de máquinas, aumentamos o número de peças produzidas. Logo, são

grandezas diretamente proporcionais.

Com isso, a proporção fica da seguinte forma: 9

6

7

5

x

400 ⋅= . Assim,

840x21

1

x

40

21

10

x

400

3

2

7

5

x

400

9

6

7

5

x

400 =⇒=⇒=⇒⋅=⇒⋅=

Portanto, serão produzidas 840 peças.

Obs.: o procedimento é o mesmo se forem todas inversamente proporcionais.

b) Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse

motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia?

h/dia km Dias

4 200 2

5 500 x

Considerando que o número de horas gastas por dia mantenha-se constante, vamos analisar a

quilometragem e o número de dias. Ao aumentar a quilometragem, aumentamos o número de dias.

Logo, são grandezas diretamente proporcionais.

Considerando que a quilometragem mantenha-se constante, vamos analisar o número de horas gastas

por dia e o número de dias. Ao aumentar o número de horas gastas por dia, diminuímos o número de

dias. Logo, são grandezas inversamente proporcionais. Assim, precisamos inverter essa razão ao

montarmos a proporção.

Com isso, a proporção fica da seguinte forma: 500

200

4

5

x

2 ⋅= . Assim,

4x2

1

x

2

5

2

4

5

x

2

500

200

4

5

x

2 =⇒=⇒⋅=⇒⋅=

Portanto, serão necessários 4 dias.

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8) Porcentagem (ou razão centesimal): Toda razão com base 100. É uma maneira de expressar uma relação

entre dois valores, onde um é a parte do todo e o outro é o inteiro, a partir de uma fração cujo

denominador é 100. Ou seja, relacionamos o inteiro com 100. Exemplo: 7,010

7

100

70%70 ===

70% de 200 são representados pela multiplicação 200100

70 ⋅ , ou qualquer outra equivalente.

9) Matemática Financeira: é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou

financiamentos de bens de consumo. Alguns conceitos básicos:

a) O investimento inicial é chamado capital.

b) Juros representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

i) Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial

emprestado ou aplicado.

ii) Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de

correspondente intervalo, ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital

inicial e passa a render juros também.

c) A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado ou investido, para um

determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da

especificação do período de tempo a que se refere. Exemplo: 2% a.m. (ao mês); 14% a.s. (ao

semestre)

d) O valor final é chamado montante. Ele corresponde ao capital mais os juros. jCM +=

10) Fórmula para Juros Simples:

niCj ⋅⋅=

onde j: juros; C: capital; i: taxa de juros; n: tempo

Exemplo: Os juros correspondente a um empréstimo de R$ 1000,00, por 2 meses, com taxa de 9% a.m.

pelo regime de juros simples será 209,01000j ⋅⋅= . Logo, serão pagos R$ 180,00 de juros.

11) Fórmula para Juros Composto:

( )ni1CM +⋅=

onde M: montante; j: juros; C: capital; i: taxa de juros; n: tempo

Exemplo: Qual o montante produzido por um capital de R$ 7000,00 investido a uma taxa de juros de 3%

a.t. por 6 meses?

C = 7000

i = 3% a.t. = 0,03 a.t

n = 6 meses = 2 trimestres

( ) ( ) 30,7426M0609,1700003.1700003,017000M 22 =⇒⋅==+⋅=

Exercícios:

1. Um avião voando a 450 km/h, leva 4 horas para ir de uma cidade A até a cidade B. Quanto tempo gastará

se a velocidade for de 600 km/h?

2. Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele

vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, duraram sua reserva de

ração?

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3. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5

prestações mensais e iguais, porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o

preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de

juros cobrada por essa loja?

4. Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao pagamento por um serviço realizado. Eles

trabalharam 2, 3 e 5 dias, respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao

número de dias trabalhados. Quanto deverá receber cada um?

5. Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$

3.340,00, rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o

campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles,

respectivamente?

6. O aumento salarial de certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do

seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%.

Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

7. Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um

desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por

R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o valor do desconto obtido?

8. Para esvaziar um compartimento com 700m³ de volume, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o

compartimento tivesse 500m³ de volume, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para

esvaziá-lo?

9. Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias?

GABARITO

1. 3h

2. 57 dias

3. 9%a.m.

4. R$ 240, R$ 360 e R$ 600

5. R$ 1540, R$ 1100 e R$ 700

6. 13,2%

7. R$ 295,80

8. 3h

9. 200