MATEMÁTICA BASICA CONTEÚDO

Prof. Gabriel

Hans

Os números soltos, isolados, para nada servem, mas, embutidos de significados tudo explicam. Construir significados para as razões, proporções e porcentagem é o foco principal do texto seguinte. Para isso, você terá acesso a uma consistente fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.

• A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas. Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30 mulheres, dizemos que: I) A razão entre o número de homens e o de mulheres na festa é:

Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres. II) A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na festa é:

Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são são mulheres. • As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens consumiram 100, dizemos que: I) A razão entre o número de salgados consumidos pelos homens e o número de homens foi de:

Isto significa que, em média, cada homem consumiu 5 salgados. II) A razão entre o número de salgados consumidos e o número de pessoas foi de:

Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados. Em geral, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0, usamos a/b ou a : b para indicar a razão entre a e b, respectivamente. Na razão a / b (lê-se: a para b), o número a é chamado de antecedente e o número b, de consequente.

É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer.

Exemplo: a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês fluentemente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do grupo fala inglês. Note:

É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos numa mesma unidade.

Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada graduação corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.

Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor é seu valor. Exemplo: Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm

2.

Nessas condições, a fotografia está na escala:

E = 1: 250.000. Essa escala nos diz que 1 cm na fotografia corresponde a 250.000 cm (2,5 km), na realidade. Assim, 9 cm

2 (área queimada na fotografia) corresponde a

9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km

2) = 56,25 km

2.

Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte igualdade:

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Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são os meios da proporção).

Exemplo: Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água nas proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as propriedades das proporções. Veja:

Considere as seguintes sequências numéricas:

Nessas sequências, observe que elas crescem ou decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente desse elemento na outra sequência também triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:

Em geral, dizemos que os números da sucessão numérica (a1, a2, a3, ..., an ) são diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão (b1, b2, b3, ..., bn ) quando as razões entre seus respectivos correspondentes forem iguais, ou seja:

Esta razão constante k é chamada de fator de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é maior que o respectivo consequente. Exemplo: Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos, 14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir R$ 240,00 entre eles, em partes diretamente proporcionais às idades, quanto receberá cada um? Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 16k (João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus) Daí:

Sendo assim, temos que: João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.

Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) de picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valores pagos:

Note que as razões obtidas entre os respectivos elementos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q) são iguais.

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões obtidas entre os valores assumidos por uma das

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grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais. Em símbolos:

Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequência reduz-se à sua terça parte. Note que os inversos dos números da 1ª sequência são diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.

Em geral, dizemos que os números da sequência (a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos números da sequência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os números de uma delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversos da outra, ou seja:

Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coeficiente de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos elementos das sequências inversamente proporcionais. Exemplo: Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias, no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica dividir R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um. Veja:

Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por cada amigo:

Note que os produtos obtidos entre os respectivos elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número de bombons recebidos“ (B) são iguais:

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais. Em símbolos:

Exemplo: Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários” (H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note: “quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”). Daí, H · D = k, onde k é constante. Daí, para os dois serviços, devemos ter: H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias para a realização do outro serviço.

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Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é:

Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo: a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:

b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então:

c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:

Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo durante o qual esses capitais estiveram empregados na constituição da sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar mais. A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão em partes proporcionais.

Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente, de outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A. Essa regra pode ser resumida assim: – 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. – 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência, de preferência a que se quer saber o valor. – 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser para cima). – 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência cada uma das outras, isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas). – 5º passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a outra razão ou o produto das outras, caso tenha mais de uma outra lembrando que se há proporcionalidade em relação à grandeza de referência, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razão inversa no membro da igualdade formada.

Se o problema envolve apenas duas grandezas proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma regra de três composta. Exemplo: Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser obtida pelo seguinte processo: coloca-se a folha da planta sobre uma cartolina e traça-se o seu contorno. Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com 10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:

Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas. Supondo que o botânico obteve a massa da figura da folha igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:

(UFSM - Adaptado) Uma banana sem casca tem cerca de 70% de água e o restante de matéria sólida (que não se perde no processo de secagem). Na produção de banana passa, a secagem deve ser feita em estufa, com circulação de ar aquecido a 65 graus entre bandejas, onde as bananas são acomodadas uma ao lado da outra, em fileiras. O tempo de secagem é de aproximadamente 24 horas para atingir o ponto de passa com 20% de umidade (isto é, o ponto em que a água represente 20% da massa total). Nessas condições, a porcentagem que a massa de banana passa obtida representa em relação à massa total inicial de fruta é igual a: a) 25%. b) 27,5%. c) 37,5%. d) 40%. e) 42,5%.