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Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1

Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina

Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA – APES

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MATEMÁTICA APLICADA

APOSTILA Revisão 01

FUNDAMENTAL

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“Nele estão os resumos e trabalho de sala de aula”

Obrigado pela preferência de nossa FACULDADE!



FRAÇÃO COMO RAZÃO

A representação fracionária indica, muitas vezes, a informação de uma pesquisa.

EXEMPLO. Uma pesquisa perguntou: “Você já sofreu algum tipo de violência?”

SIM – 39 pessoas NÃO – 50 pessoas NÃO RESPONDERAM – 15 pessoas

De acordo com as respostas, concluímos:

Foram entrevistadas 39 + 50 + 15 = 104 pessoas.

104

39

(trinta e nove, cento e quatro avos) dos entrevistados responderam SIM.

104

50

(cinqüenta, cento e quatro avos) dos entrevistados responderam NÃO.

104

15

(quinze, cento e quatro avos) dos entrevistados não responderam.

104

39

+ 104

50

= 104

89

(oitenta e nove, cento e quatro avos) dos entrevistados deram

algum tipo de resposta.

Há outra forma de apresentar o resultado da pesquisa acima. É muito utilizada em jornais e TV.

104

39

trinta e nove entre cento e quatro pessoas responderam SIM.

104

50

cinqüenta entre cento e quatro pessoas responderam NÃO.

104

15

. quinze entre cento e quatro pessoas não responderam à pesquisa.

OBSERVAÇÃO: Esse resultado, geralmente, é apresentado com o gráfico de setores.

Resolva os problemas abaixo.

a) Um time de futebol arrumou os seus 42 jogadores em 6 grupos iguais para treinar. Jogaram de camisa

branca, dois sextos. Jogaram de camisas pretas, três sextos. O restante não usou camisa.

- Quantos jogadores usaram camisas brancas?_______

- Quantos jogadores usaram camisas pretas?_______

- Que fração dos jogadores não usou camisa?________

- Quantos jogadores não usaram camisas?________

b) Numa central de correios do Rio de Janeiro, 10

3

das cartas vão para a Bahia, 10

5

vão para Minas

Gerais e as restantes ficam no Rio.

- Que fração das cartas desta central ficam no Rio? __________________

- Que fração representa as cartas que não ficam no RJ?_____________

- Mostre a operação matemática que calcula a fração acima: _________________

c) Uma caixa tinha 45 bombons. João comeu 9

1

dos bombons. Pedro comeu 9

3

dos bombons da mesma

caixa.

- Que fração representa a quantidade comida pelos dois?__________

- Mostre a operação matemática que calcula a fração acima: __________

- Que fração representa a quantidade de bombons não comida?_________

d) Um comerciante comprou 135 caixas com 1 dúzia de ovos em cada caixa. No caminho 3

2

das caixas

caíram e os ovos quebraram.


quebraram quebraram não quebraram

- Quantas caixas de ovos quebraram?__________

- Quantos ovos quebraram? ____________

- Que fração das caixas não caíram? ____________

Vamos trabalhar agora com a parte representada e descobrir qual é a quantidade total do

inteiro. Ainda serão usadas as representações gráficas.

e) Dois terços da quantidade de moedas de Mauro estão representadas abaixo:

7 7 7

- Que quantidade de moedas 3

1

representa?_________

- Que quantidade de moedas 3

2

representam?_________

- Qual o total de moedas de Mauro?___________

f) Quatro sextos das canetas de Celso são 12 canetas.

3 3 3 3 3 3

- Qual a quantidade de 6

1

do total das canetas?__________


3



4



5


- Qual o total de canetas?_________________

APLICAÇÃO CONTEXTUALIZADA

III) OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS E RACIONAIS: SIGNIFICADOS,

PROPRIEDADES, E PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO,

SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1) Problemas:

a) Em uma divisão, o divisor é 3, o resto é 2 e o quociente 33. Determine o dividendo.

b) Marluce tem 45 maçãs. Seu vizinho tem o dobro de Marluce mais 15 unidades. Quantas maçãs eles têm

juntos?

c) A terça parte da idade de Sílvia é 12 anos. Considerando que estamos em 1998. Em que ano Sílvia

nasceu?

d) Leonardo tem 46 anos. Seu filho tem a metade. Há 15 anos atrás qual a idade de cada um?

e) José morreu em 1976 com 59 anos. Em 1942 quantos anos ele tinha?

f) Um homem nasceu em 1881. Viveu 30 anos na Europa, 7 anos na Ásia e viveu na América o dobro de

anos que viveu na Ásia, morrendo em seguida. Em que ano este homem morreu?

g) Em uma divisão, o divisor é 3, o resto é 2 e o quociente 33. Determine o dividendo.

I - DIFERENÇAS

a) A soma de dois números é 35. Um deles é maior que o outro 5 unidades. Quanto vale cada

número?

SOLUÇÃO: Se um deles é maior 5 unidades que o outro é porque se não houvesse esta diferença a soma

dos dois seria 35 – 5=30. Logo cada um seria 30 : 2=15. Logo o menor será 15 e o maior será 15 + 5=20.

b) A soma de dois números é 230 e a diferença entre eles é 62. Quais são os números?

c) A soma de dois números é 645 e a diferença entre eles é 121. Qual é o maior número?

d) Quando Bete nasceu, Zeca tinha 3 anos. Hoje, a soma das idades deles dá 21 anos. Quantos anos tem

Bete? E Zeca?

SOLUÇÃO: Zeca é 3 anos mais velha que Bete. Se não houvesse esta diferença a soma das idades seria

21-3=18. E cada um teria 18 : 2=9. Logo Bete tem 9 anos e Zeca tem 9 + 3=12 anos.


e) Nélson tem 3 anos a mais do que Juca e 7 anos a mais do que Waldir. A soma das idades dos três é 134

anos. Qual a idade de cada um?

SOLUÇÃO: Nélson tem 7 anos a mais que Waldir. Juca tem 4 anos a mais que Waldir. Para que não haja

esta diferença, tiramos 134-7=127-4=123. Se a soma das idades for 123, então teremos cada um com

123:3=41.

As idades seriam então: Waldir 41 anos. Juca 41+4=45 anos e Nélson 41+7=48 anos.

II – DOBROS, TRIPLOS, ETC.

a) A diferença entre dois números é 186. O maior é 7 vezes o menor. Quais são os números?

SOLUÇÀO: Vejamos primeiro este exemplo: o número 14 é sete vezes o número 2. A diferença entre eles

é 12. 2(o menor) é a sexta parte de 12.

Logo no nosso problema o menor deve ser a sexta parte da diferença. 186:6=31. Então o menor será 31 e o

maior será 7 x 31=217.

b) A soma de dois números é 336. O maior é o triplo do menor. Quais são os números?

SOLUÇÃO: Exemplo: 12 é o triplo de 4. A soma deles é 16. E 16 é o quádruplo de 4(menor).

No nosso problema 336 será o quádruplo do menor. Logo o menor será 336:4=84. O maior será 3 x

84=252.

c) A soma de dois números é 645 e a diferença é 121. Quais são os números?

SOLUÇÃO: Exemplo: 10 + 4=14 e 10 – 4=6. O dobro do maior(10) é 20. E 20 é igual a 14+6.

No nosso caso o maior dos números será o dobro de 645 + 121=766. Então o maior será 766:2=383. O

menor será 645-383=262.

III – CARROS, MOTOS,ETC

a) Num estacionamento há carros e motos num total de 158 rodas e 57 veículos. Quantas motos e

carros há?

SOLUÇÃO: Se todos os veículos fossem carros, teríamos 4 x 57=228 rodas. Substituindo um carro por

uma moto haveria uma diminuição de 2 rodas. Como a diminuição deve ser de 228-158=70 rodas, temos

então 70:2=35 motos. Os carros serão 57-35=22 carros.

NÚMEROS PRIMOS

Repare que em alguns casos dos exercícios que você fez anteriormente só apareceram 2 divisores: D(3),

D(5), D(11), D(17) e D(23). Estes números com apenas dois divisores são chamados números primos.

Evidentemente existem infinitos números primos.

Outra observação importante foi a presença em todos os casos acima do divisor 1. Em todos os conjuntos

de divisores o número 1 aparece, mas ele não é considerado um número primo.

Você sabia que na aritmética existe uma afirmação verdadeira que diz: “Todo número pode ser

decomposto de forma única em um produto de fatores primos?”

Esta afirmação quer dizer que podemos escrever qualquer número através de multiplicações de números

primos.

Veja os exemplos.

24=2x2x2x3,

66=2x3x11,

120=2x2x2x3x5,

121=11x11.

Quando escrevemos um número como um produto com o maior número de fatores possíveis, na verdade

estaremos escrevendo a decomposição em fatores primos.

Represente cada número abaixo com um produto, mas somente com números primos.

a) 16 = ____________________________________

b) 20 = ____________________________________

c) 25 = _____________________________________

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Ao decompor um número em fatores primos, você deverá observar os critérios de divisibilidade para

escolher o primeiro número primo como divisor.

VEREMOS, AGORA, UM PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR OS FATORES PRIMOS DE UM NÚMERO.


EXEMPLO. Decompor em fatores primos o número 12.

12 2 (posso dividir 12 por 2, pois 12 é par)

6 2 (posso dividir 6 por 2 pois 6 é par)

3 3 (agora vejo que só posso dividir por 3)

1 (1 não é primo. Logo terminei)

Posso então escrever 12=2x2x3.

ESTUDANDO MAIS SOBRE MÚLTIPLOS E DIVISORES

O cálculo dos divisores de um número foi estudado anteriormente de uma forma muito simples:

encontrando as multiplicações.

EXEMPLO. Para encontrar os divisores de 20, escreve-se: 20 = 4 x 5, 20 = 2 x 10 e finalmente, 20 = 1 x

20. Logo D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.

A dificuldade é encontrar os divisores de números maiores. Precisamos ter certeza de que não esquecemos

de nenhum..

EXEMPLO. Encontrar os divisores de 360. Essa decomposição já está feita. Um procedimento muito

prático é adicionar uma linha vertical ao lado dos números primos e colocar o divisor de todos, 1, no topo.

Cada fator primo será multiplicado por todos os outros da linha acima dele. Veja.

1

360 2 2 (resultado de 2 x 1)

180 2 4 (resultado de 2 x 2. Repare que não é preciso retornar ao 1)

90 2 8 (resultado de 2 x 4)

45 3 3 – 6 – 12 – 24 (resultados de 3 x 1, 3 x 2, 3 x 4, 3 x 8)

15 3 9 – 18 – 36 – 72 (resultados de 3 x 3, 3 x 6, 3 x 12, 3 x 24)

5 5 5 – 10 – 20 – 40 – 15 – 30 – 60 – 120 – 45 – 90 – 150 - 360

1

D(360) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 150, 360.

Quantos divisores 360 possui? __________________________________________

Quais são os divisores pares? ___________________________________________

Quais são os divisores ímpares? _________________________________________

Quais são os divisores primos? __________________________________________

Repare que são muitos divisores e poderíamos esquecer algum na hora de lista-los. Como saber, antes de

calculá-los, quantos seriam? É possível, mas precisamos antes entender uma forma de representar as

multiplicações. A potência.

REPRESENTAÇÃO DE MULTIPLICAÇÕES NA FORMA DE POTÊNCIA

Muita vezes a decomposição mostra uma fatoração como 2 x 2 x 2 x 2 ou 3 x 3. Em Matemática é usual

representar essas multiplicações da seguinte forma:

a) 2 x 2 x 2 x 2 = 24 . Lê-se dois elevado à quarta potência. Atenção! Esse resultado não é 8 e sim, 16.

Muito cuidado.

b) 3 x 3 = 32 . Lê-se três elevado à segunda potência ou três elevado ao quadrado. Esse resultado é 9.

c) 4 x 4 x 4 = 43 . Lê-se quatro elevado à terceira potência ou quatro elevado ao cubo.

OBSERVAÇÕES.

1) Somente as potências 2 e 3, possuem nomes especiais de quadrado e cubo.

2) No caso de aparecer somente um fator primo, a potência é considerada 1. Exemplos: representamos 3 =

31, 5 = 51, 10 = 101 . É desnecessário utilizar a potência 1. Ela será considerada no caso do cálculo dos

divisores.

Voltando à decomposição em fatores primos de 360, podemos escrever na forma de potência como:

360 = 23 x 32 x 5

O procedimento que permite calcular os divisores consiste em somar 1 a cada potência e multiplicar esses

resultados. No caso do fator 5, lembre que sua potência é 1.

360 = 23+1 x 32+1 x 51+1

Multiplicando as somas, temos: (3+1) x (2+1) x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores. Confira com os divisores

que você encontrou.


MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM

O máximo divisor comum representado por MDC é o maior número que pode ser divisor de um ou mais

número. Mais uma vez o método de cálculo desse MDC pode ser facilitado para números grande através da

decomposição em fatores primos. Observe.

EXEMPLO. Calcular o MDC entre 24 e 36. Vamos decompor os números em fatores primos e comparar

os resultados.

24 2 36 2

12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 24 = 23 x 3 1 36 = 22 x 3

Comparando as decomposições vemos que os termos que podem dividir ambos os números é 22 x 3.

Repare que 23 é 8 e ele não divide 36. Logo o MDC é 22 x 3 = 12.

O MDC entre dois ou mais números será formado pela decomposição que satisfizer a todos os casos. O

fator deve aparecer em todas as fatorações e com as menores potências.

EXEMPLO. Calcular o MDC entre 45, 60 e 75.

45 3 60 2 75 3

15 3 30 2 25 5

5 5 15 3 5 5

1 5 5 1

45 = 32 x 5 1 60 = 22 x 3 x 5 75 = 3 x 52

Nesse caso os únicos fatores comuns foram 3 e 5. O fator 2 só apareceu como divisor de 60. Logo o MDC

(45, 60, 75) = 3 x 5 = 15.

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor valor que pode ser divisível por esses

números. Repare que não podemos encontrar o maior, pois os múltiplos são infinitos.

Um procedimento muito prático para encontrar o MMC e o MDC entre dois ou mais números consiste na

decomposição simultânea (ao mesmo tempo). Veja.

EXEMPLO. Encontrar o MMC e o MDC entre 90 e 60. Faremos a decomposição em fatores

primos dos números ao mesmo tempo. Caso não seja possível dividir algum número pelo mesmo divisor

primo, ele será repetido nessa linha.

90 – 60 2 (2 é divisor comum de 90 e 60)

45 – 30 2 (2 só é divisor de 30. O 45 será repetido.)

45 – 15 3 (3 é divisor comum de 45 e 15)

15 – 5 3 (3 só é divisor de 15. O 5 será repetido)

5 – 5 5 (5 é divisor comum de ambos)

1 – 1

MMC (90,60) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 22 x 3 x 52 = 300.

MDC (90,60) = 2 x 3 x 5 = 30

OBSERVAÇÃO. Há outros métodos, que não serão estudados agora, para encontrar o MDC. Utilize

aquele o que preferir.

V) RAZÕES E PROPORÇÕES - CONTEXTUALIZAÇÃO

A VIAGEM

Carlos, Pedro e Marcos são amigos há muito tempo e adoram viajar com suas famílias.

Carlos tem 25 anos, 3 filhos e trabalha com informática. Pedro tem 31 anos, 2 filhos e é engenheiro civil.

Marcos tem 27 anos, 2 filhos e é advogado.

No feriado da Semana Santa combinaram uma viagem a um hotel fazenda distante 250 km do Rio de

Janeiro . Marcaram encontro num posto de gasolina onde Carlos pôs 50 litros de combustível, Pedro

abasteceu seu carro com 60 litros e Marcos com 60 litros também. A estrada estava boa e resolveram parar

no quilômetro 100 para fazer um lanche.

A tabela abaixo mostra algumas características dos carros nesta viagem:


NOME VELOCIDADE MÉDIA CONSUMO DE GASOLINA

CARLOS 70 km/h 10 km com 1 litro

PEDRO 100 km/h 10 km com 1 litro

MARCOS 120 km/h 12 km com 1 litro

Utilize as informações acima para responder as seguintes perguntas:

a) Qual dos três amigos chegou primeiro ao quilômetro 100?_________________

b) Você poderia dizer quantos anos tinha Carlos quando nasceu seu 1º filho, sabendo a velocidade de seu

carro?_________________ Explique: ______________________

___________________________________________________________________

c) Se Carlos tem 3 filhos aos 25 anos, podemos afirmar que com 50 anos ele terá 6

filhos?___________________ Explique:___________________________________

d) Se a velocidade do carro de Carlos continuar sempre de 70 km/h, após 2 horas ele percorrerá quantos

quilômetros?______________xplique:___________________________________________________

____

e) Quantos litros o carro de Carlos gasta após percorrer 140 km?__________________

f) Podemos afirmar que quanto mais idade uma pessoa possui, mais rápido ela dirigirá

seu carro?_____________Explique: ______________________________________

g) Podemos afirmar que um carro desenvolvendo uma velocidade de 100 km/h percorre

200km em 2 horas? ______________ Explique: _____________________________

h) Podemos afirmar que se o carro de Marcos gasta 1 litro de combustível ao percorrer

12km, após 24 km o carro terá gasto 2 litros de combustível? __________________

Explique: ___________________________________________________________

Você deve ter percebido que saber a idade do motorista não ajuda em nada no cálculo de velocidade,

de gasto de combustível, etc.

As informações sobre o consumo de combustível e a distância percorrida estão interligadas, isto é, se

sabemos quantos quilômetros o carro gasta com um litro, sabemos quanto percorrerá com 2 litros, com 3

litros, etc.

Em Matemática dizemos que estas medidas são proporcionais. Observe as tabelas abaixo e complete as

informações:

TABELA 1

NOME VELOCIDADE PERCORRE EM 1

h

PERCORRE EM

2 h

PERCORRE EM 3

h

CARLOS 70 km/h 70 km

PEDRO 100 km/h 100 km

MARCOS 120 km/h 120 km

TABELA 2

NOME CONSUMO PERCORRE COM 1

litro

PERCORRE COM 2

litros

PERCORRE COM 3

litros

CARLOS 10 km por

litro

70 km

PEDRO 10 km por

litro

100 km

MARCOS 12 km por

litro

120 km

Podemos representar matematicamente uma situação de proporcionalidade utilizando a notação de

frações. Veja alguns exemplos:

Um carro percorre 70 km em 1 hora. Quantos quilômetros percorrerá, mantendo a mesma velocidade,

em 2 horas?

ESPAÇO PERCORRIDO TEMPO GASTO

70 km 1 hora

? 2 horas

2

1

?

70


No estudo de frações equivalentes, vimos que 70 x 2 = 1 x ? . Logo o valor desconhecido é 140. O carro

então percorrerá 140 km em 2 horas.

Um carro gasta 1 litro de combustível para cada 12 km. Quantos quilômetros percorrerá este carro com

5 litros?

ESPAÇO PERCORRIDO CONSUMO

12 km 1 litro

? 5 litros

Temos pela equivalência 12 x 5 = 1 x . Logo o valor desconhecido é 60. O carro então percorrerá

60 km com 5 litros.

Observe esta outra situação:

A FESTA

- Alô, aqui é a Claudineide, eu quero falar com a Gilcinéia.

- Sou eu mesma, como vai Claudineide?

- Tudo bem. É que eu vou fazer uma festa e preciso saber de umas coisas.

- Pode perguntar.

- No mês passado, você comemorou seu aniversário e eu quero ter uma idéia da quantidade de comida

que tenho que comprar.

- Olha, os meus 40 convidados presentes consumiram uns 200 docinhos, comeram todo o bolo de 3kg,

beberam uns 30 litros de refrigerante e comeram mais ou menos 16kg de carne do churrasco.

- Está bom, anotei tudo.

- Quantos convidados você pretende chamar, contando comigo e com o meu namorado, é claro?

- Claro, contando com você e com o Ariovaldo, fiz uma lista de 60 pessoas, 20 a mais que as de sua

festa, porque meu irmão Clarinelson quer chamar também os amigos dele, da faculdade.

- Legal! E qual o porquê da festa?

- Ah, você não sabe?

- Juro que não.

- O meu noivado com o Evangivaldo. Estou muito ansiosa.

1) Tomando por base a festa de Gilcinéia, qual a quantidade de:

a) docinhos que Claudineide deve providenciar?

no de convidados no de docinhos

Festa de Gilcinéia 40 200

Festa de Claudineide 60 x

Fazendo a análise de proporcionalidade:

Se aumentarmos o número de convidados, então o número de docinhos também deve aumentar. Logo,

essas duas grandezas envolvidas se relacionam de maneira diretamente proporcional. Diretamente, porque

quando uma aumenta, a outra também aumenta; quando uma diminui, a outra também diminui.

Por isso, a proporção ficará assim:

x

200

60

40

ou ainda x

200

3

2

Donde tiramos 2x = 600 o que implica 300

2

600x

Logo, a quantidade de docinhos que Claudineide deve providenciar é 300.

b) bolo que Claudineide deve providenciar? ____________________________

c) Tomando por base a festa de Claudineide, com 60 convidados e que pagou-se 4 pessoas no preparo das

comidas, que gastaram 6 horas no preparo, pergunta-se:

- Quantas pessoas deverão ser contratadas para fazer a mesma quantidade de comidas, na metade do tempo

ou seja 3 horas?

no de pessoas horas trabalhadas

Festa de Gilcinéia 4 6

Festa de Claudineide x 3

Fazendo a análise de proporcionalidade:

5

1

?

12


Aqui, observamos que as duas grandezas envolvidas se relacionam de maneira inversamente proporcional.

Inversamente, porque quando uma aumenta, a outra deverá diminuir (é o mutirão, mais pessoas

trabalhando para o menor tempo de execução); quando uma diminui, a outra aumenta.

Por isso, a proporção ficará assim: 6

34

x . Donde tiramos 3x = 4 . 6 o que implica 8

3

24x

Logo, serão necessárias 8 pessoas.

DECIMAIS E PORCENTAGENS

A fração ou número racional já foi estudada de várias formas e localizada na reta numérica. Foi visto que a

fração 5

6

(seis quintos) representa o número 1,2 , pois, na verdade o traço de fração é um operador de

divisão.

No dia-a-dia falamos 1,2 como um vírgula dois. Mas é possível decompor este número em ordens. Em

que ordem ficaria o algarismo 1? Em que ordem ficaria o algarismo 2?

As ordens conhecidas e trabalhadas até agora iniciavam nas unidades simples, mas o número 1,2 mostra

uma vírgula após as unidades simples. O algarismo 2 ocupará uma ordem menor que as unidades: a ordem

dos décimos. Veja o quadro:

centenas

de

milhar

dezenas

de

milhar

unidades

de

milhar

centenas

simples

dezenas

simples

unidades

simples

décimos centésimos milésimos

1 2

O número 1,2 é lido como: Um inteiro e dois décimos ou doze décimos.

A vírgula indica o início das ordens menores que a unidade.


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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS

Ex. 1) -2 + (-3) -2 – 3 = - 5 Ex. 2) +5 – (-8) 5 + 8 = 11

Ex. 3) (-2) (-3) = 6 Ex. 4) (-3) 5 = -15

Ex. 5) (-2)2 = (-2) (-2) = 4 Ex. 6) (-3)3 = (-3)2(-3) = 9(-3)=-27 EXERCICIO

01) Calcular as seguintes expressões:

a) 125 b) 7,07,3 c) 28,072,1 d) 24 e) 410 f) 39 g) 57 e) 26


a) 54 b) 54 c) 12 d) 312

e) 315 f) 436 g) 642 h) 981


a) 352472 b) 751269

c) 52314 d) 54132

04) Resolvas as expressões; a) -9 + 12 – (–14) b) 13 + (–9) – 3 c) 7– (–8) d)–14–(–12)–24

e) (-3) (-8) + 25 f) 9 (-2) (-3) g) (-5)2 h) (-2)5

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Sinais de associação: O valor das expressões numéricas envolvendo as operações de adição, subtração e multiplicação é obtido do seguinte modo: - efetuamos as multiplicações - efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. 1) = 3 . 4 + 5 . 8 – 2 . 9 =12 + 40 – 18 = 34

2) = 9 . 6 – 4 . 12 + 7 . 2 = = 54 – 48 + 14 = = 20

Não se esqueça: Se na expressão ocorrem sinais de parênteses colchetes e chaves, efetuamos as operações na ordem em que aparecem: 1º) as que estão dentro dos parênteses 2º) as que estão dentro dos colchetes 3º) as que estão dentro das chaves.

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1) AS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E DE SUBTRAÇÃO SÃO EFETUADAS NA ORDEM EM QUE APARECEM EXEMPLOS

A)7-3+1-2= =4+1-2= =5-2= =3

B)15-1-2+5= =14-2+5= =12+5= =17

2) EXISTEM EXPRESSÕES ONDE APARECEM OS SINAIS DE ASSOCIAÇÃO E QUE DEVEM SER ELIMINADOS NESTA ORDEM

1º) PARÊNTESES ( ) 2º) COCHETES [ ] 3º) CHAVES { } EXEMPLOS A)74+{10-[5-(6-4)+1]}= =74+{10-[5-2+1]}= =74+{10-[3+1]}= =74+{10-4}= =74+6= =80


EXERCÍCIOS

1) CALCULE O VALOR DAS EXPRESSÕES A) 10-1+8-4= (R:13) B) 12-8+9-3= (R:10) C) 25-1-4-7= (R:13) D) 45-18+3+1-2= (R:29) E) 75-10-8+5-1= (R:61) F) 10+5-6-3-3+1= (R:4) 2) EFETUE AS OPERAÇÕES A) 237+98 = (R:335) B) 648+2334 = (R: 2982) C) 4040+404 = (R: 4444) D) 4620+1398+27 = (R: 6045) E) 3712+8109+105+79 = (R:12005) F) 256-84 = (R: 172 ) G) 2711-348 = (R: 2363) H) 1768-999 = (R: 769) I) 5043-2584 = (R: 2459) J) 8742-6193 = (R: 2549) 3) CALCULE O VALOR DAS EXPRESSÕES A) 30-(5+3) = (R: 22) B) 15+(8+2) = (R: 25) C) 15-(10-1-3) = (R: 9) D) 23-(2+8)-7 = (R: 6 ) E) (10+5)-(1+6) = (R: 8) F) 7-(8-3)+1= (R: 3 ) 4) CALCULE O VALOR DAS EXPRESSÕES A) 25-[10+(7-4)] = (R:12) B) 32+[10-(9-4)+8] = (R:45) C) 45-[12-4+(2+1)] = (R:34) D) 70-{20-[10-(5-1)]} = (R:56) E) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = (R:37) F) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = (R:45) G) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = (R:52) H) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = (R:1) I) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = (R:42) J) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = (R:11) L){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = (R:)

RAZÕES E PROPORÇÕES:

Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a

serem trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o

que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.

1.1.Razão:

Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada

10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”.

Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro

caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado

razão.Temos, então:

1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão =20

5=

4

1

2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = 10

2 =

5

1

3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½

Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b.

Indica-se: b

a ou a : b e lê-se a para b.

O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos:

1. A razão de 3 para 12 é: 12

3=

4

1

2. A razão de 20 para 5 é: 5

20= 4 3. A razão de 5 e ½ é = 5 .

1

2= 10

DIVISÃO DE FRAÇAO

Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.


1° caminho: REPARTINDO

Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir.

Por exemplo, se repartimos 1/3de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade

de 1/3 da barra:

Então, o resultado da divisão de 1/3 por 2 é 1/6.

2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?

Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro.

Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o

resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4

= 8), dizemos que 8 : 4 = 2.

Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de 1/2 dividido por 1/4:

Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma

questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso.

3° caminho: TRANSFORMANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR

Em certos casos é impraticável encontrar o resultado de uma divisão por meio de desenhos. Por

exemplo: qual é o resultado de 3/ 7 dividido por 11/5?

Nesses casos, utilizamos duas idéias que já conhecemos:

1a. idéia: Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não

se altera. Tanto faz escrever 10 : 5 ou 20 : 10.

O resultado é 2.

2a. idéia: O inverso multiplicativo. Aplicamos essa idéia de maneira a transformar o divisor em

1, o que facilita a divisão pois qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo.

Mas, atenção: é preciso aplicar simultaneamente as duas idéias. Vejamos um exemplo:

Neste exemplo multiplicamos o dividendo e o divisor por 5/11.. Mas, por que motivo

escolhemos 5/11 para multiplicar o dividendo e o divisor? Fizemos esta escolha porque 5/11 é o

inverso multiplicativo do divisor e transforma o divisor em 1. Então temos:

Acontece que qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo.

Então, o ponto de interrogação vale 3/7 x 5/11.Ora, o ponto de interrogação está no lugar da resposta do

problema inicialmente proposto:

Chegamos à seguinte conclusão, que é a regra mais geral para a multiplicação de frações:

Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela segunda invertida.

Voltamos ao problema proposto:

http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvtXvoagtfI/AAAAAAAAGnY/EAZ_RbPPHDE/s1600-h/13.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvtX-8LT4mI/AAAAAAAAGng/sfR8UdtTKMM/s1600-h/14.JPG

http://3.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvtYK5SSHyI/AAAAAAAAGno/Kw6IaoxU4vw/s1600-h/15.JPG

http://3.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvtYW69KS3I/AAAAAAAAGnw/RjPipZBIVz4/s1600-h/16.JPG

http://3.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvtYW69KS3I/AAAAAAAAGnw/RjPipZBIVz4/s1600-h/16.JPG


EXERCÍCIOS DE FRAÇÕES

1) Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) b) c)

3) Escreva 5 frações equivalentes de:

a) 6

3 b)

6

5 c)

5

4

4) Simplifique as frações:

a) 2

9 b)

16

8 c)

63

35

5) Calcule:

a) 20% de 70 b) 50% de 90 c) 10% de

120 d) 45% de 100 e) 1% de 80

6) Transforme para forma fracionária:

a) 4

13 b)

2

11 c

4

11

7) Transforme para forma mista:

a) 10

5 b)

7

12 c)

3

5

8) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto

custa:

a) 6

3da pizza b)

6

5da pizza c) a pizza toda

EXERCICIO

01) Indica para cada caso a fracção irredutível correspondente à parte colorida:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.2.Razão de duas grandezas:

Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre

duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida

da segunda grandeza.

- Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade.

Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplos: 1.A razão de 2 m para 3 m é: m

m

3

2

3

2

2.A razão de 30 dm para 6 m = m

dm

6

30 =

m

m

6

3 = ½

- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das

unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo:Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo

gasto em percorrê-la é:

http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvtYiPsOy-I/AAAAAAAAGn4/jblYnhwdRE4/s1600-h/17.JPG


h

km

2

160= 80 Km/h

ATIVIDADES:

1.Calcule a razão entre as grandezas:

a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de álcool

f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d

2.No vestibular de 2005 da FEMA concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150

candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de água.

A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor

alcoólico?

4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre:

a) o número de acertos e o número de questões

b) o número de acertos e o número de erros

FRAÇÃO - CONTINUAÇÃO

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕE

Uma fração equivalente a 12

9, com termos menores, é

4

3 . A fração foi obtida dividindo-se ambos os

termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração 4

3 é uma fração simplificada de

12

9.

A fração 4

3 não pode ser simplificada, por isso é chamada de FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.

A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Temos que analisar dois casos:

1º) DENOMINADORES IGUAIS

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o

denominador. Observe os exemplos:

7

6

7

2

7

4

7

3

7

2

7

5

2º) DENOMINADORES DIFERENTES

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de

denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações.

Exemplo: somar as frações: 5

4e

2

5

Obtendo o MMC dos denominadores temos MMC (5,2) = 10.

10

?

5

4 ► (105)4 ► (2)4=8 ►

10

8 e

10

?

2

5 ► (102)5 ► (5)5=25 ►

10

25 TEMOS:

10

33

10

25

10

8

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as

frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de

12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos

2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 330 = 2 x 3 x 5

M.M.C (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22

x 3 30 = 2 x 3 x 5

M.M.C (12,30) = 22

x 3 x 5


O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados,é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles,

cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao

lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado

vemos o Cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, M.M.C. (15, 24, 60) = 2 x 2 x 2 x 3 x5= 120

PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois.

Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números

dados.

Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o

produto de 4 por 15. Observe:

Dados dois números primos entre si,o m.m.c. deles é o produto desses números.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador

por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

9

32

33

48

3

4

3

8

3

10

6

20

6

20

32

45

3

4

2

5

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é

mostrado no exemplo abaixo: 212

24

4

3

3

8

3

43

8

EXERCICIO

01) Complete os espaços abaixo com os sinais de < (menor), > (maior) ou (igual).

02) Efetue as operações:

03) Efetue as operações: lembre que 4

3

3

8

3

43

8

a) 7

3

5

2 b)

4

6

3

2 c)

5

2

4

3

3

2


PORCENTAGEM:

Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de

reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de

inverno com 30% de desconto”...

Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode

se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde o

conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “. 100

80 = 0,80 = 80%

CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: Existem vários recursos p/ resolver porcentagens:

1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:

Exemplo: Quanto é 20% de 800?

20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas.

20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160 ou usando taxa unitária:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto

passou a ser o seu novo salário?

Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:

1ª). 2000 100%

x 5% x = 100

5.2000 x = 100,00

Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00

2ª) 2 000 100%

x 105% x = 100

105.2000

x = 2 100,00 Salário: 2 100,00

EXERCICIO DE SALA

1.Calcular: a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2.Qual a taxa unitária de 20%?

3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%?

5.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?

8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?

9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso

público com 6 500 inscritos?

TRABALHO EXTRA – ENTREGA QUEM QUISER

01) RANILDO leu 120 páginas de um livro. Calcule quantas páginas tem o livro, nos seguintes casos:

a) As páginas que eu li correspondem a 20

4do livro; b) As páginas que eu li correspondem a

20

4 das

que faltam;

c) As páginas que faltam correspondem a 20

4 das que eu li.

02) O saldo bancário de Bernardo estava devedor em R$ 540,00. Para cobrir seu débito, depositou R$

860,00. Uma semana depois, precisou retirar R$ 1.400,00. O saldo bancário de Bernardo está credor ou

devedor? Qual a quantia?

03) Baseado no conjunto dos números inteiros. Responda:

a) Qual é o sucessor do número -1? b) Qual é o antecessor do número -2?

c) Qual é o maior número negativo? d) Qual é o menor número positivo?

04) Um carpinteiro recebeu a incumbência de cortar 40 toras de madeira de 6 m cada uma e 60 toras da

mesma madeira de 8 m cada uma, em toras de mesmo comprimento, o maior possível. Nessas

condições, quantas toras deverão ser obtidas, ao todo, pelo carpinteiro?


05) Janaína, Carla e Flávia participaram de uma competição de ciclismo. Janaína completou cada volta

em 35 minutos, Carla levou 70 minutos e Flávia, 45 minutos. Supondo que todas mantiveram a mesma

velocidade durante toda a competição, responda:

a) Se as três foram as primeiras colocadas, qual foi a classificação final?

b) A prova teve início às 9 horas. Houve algum instante em que as três Ciclistas se encontraram?

Qual?

DICAS PARA OPERAÇÕES BÁSICAS

DICA 1: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 10:

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita.

Exemplo 1: 16 x 10 = 160 Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67

DICA 2: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 10N:

Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplo 1: 16 x 103 = 16000 Exemplo 2: 15,567 x 104 = 155670

Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 12 x 100. Sabemos que 100=102, então:

12 x 100 = 12 x 102 = 1200.

DICA 3: DIVIDIR UM NÚMERO POR 10:

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda.

Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6 Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567

DICA 4: DIVIDIR UM NÚMERO POR 10N:

Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.

Exemplo 1: 16 / 103 = 0,016 Exemplo 2: 15,567 / 102 = 0,15567

Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 12 / 1000. Sabemos que 1000=103, então:

12 / 1000 = 12 / 103 = 0,012.


Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no

meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11.

Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse

8 no meio deles: a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286.

EXEMPLOS:

1) 34 x 11 somamos os algarismos do número 34: 3+4=7

colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374.

2) 81 x 11 somamos os algarismos do número 81: 8+1=9. colocamos o resultado no meio deles: 891.

Portanto 81x11 = 891.

3) 37 x 11 somamos os algarismos do número 37: 3+7=10. Como deu um nº maior que 9, então não

podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no

meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto

37x11 = 407.

Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um

número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11.

Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. Somando o 2º

com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número

135, tirando o seu algarismo do meio: 1485. Portanto 135 x 11 = 1485.


Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos

efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9.

Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440. Então subtraímos desse valor

o valor inicial: 440-44 = 396. Portanto 44 x 9 = 396.

Outros exemplos:

27 x 9 = 270-27 = 243. 56 x 9 = 560-56 = 504. 33 x 9 = 330-33 = 297.


Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a

seguinte multiplicação: 44 x 99.

Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400. Então subtraímos desse valor o valor

inicial: 4400-44 = 4356. Portanto 44 x 99 = 4356.


OUTROS EXEMPLOS:

27 x 99 = 2700-27 = 2673 56 x 99 = 5600-56 = 5544 33 x 99 = 3300-33 = 3267


Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB. Alguns

exemplos:

43 x 101 = 4343 32 x 101 = 3232 14 x 101 = 1414

DICA 9:M ULTIPLICAR 2 NÚMEROS (DE 2 ALGARISMOS) QUE POSSUAM O MESMO

ALGARISMO DAS DEZENAS, E A SOMA DE SEUS ALGARISMOS DAS UNIDADES SEJA 10.

Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35,

87x83, 94x96, etc.

Devem ser seguidos os seguintes passos:

1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele;

2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;

3) Juntamos as duas partes.

Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:

Passo 1: 5x6 = 30

Passo 2:3x7 = 21Passo 3: Juntamos os dois números: 3021.

Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!

Outro exemplo: 94 x 96:

Passo 1: 9x10 = 90 Passo 2: 4x6 = 24

Passo 3: Juntamos os dois números: 9024.

Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada!

DICA 10: MULTIPLICAÇÃO POR NÚMEROS TERMINADOS EM 0:

Multiplicam-se as partes sem os zeros finais e acrescenta-se a quantidade de zeros finais. Exemplos:

23 x 10 = (23 x 1)0 = 230 45 x 20 = (45 x 2)0 = 900

15 x 300 = (15 x 3)00 = 4500 30 x 90 = (3 x 9)00 = 2700


Some o número com a sua metade, e multiplique o resultado por 10. Exemplos:

14×15 =(14+7)×10=210

10,4×15=(10,4+5,2)×10=15,6×10=156

DICA 12: TABUADA DO 9:

Se você tem dificuldades para decorar a tabuada do 9, pode fazer o seguinte:

1) Considere o número anterior ao qual você irá multiplicar o 9.

2) Veja quanto falta para ele chegar ao 9.

3) Junte os dois números encontrados.

Por exemplo:

1) 9 x 2 => o número anterior ao dois é o 1.

2) Para o 1 chegar ao 9, faltam 8.

3) Agora basta unir os dois números: 18

Portanto, 9 x 2 = 18.

Da mesma forma pode ser feito para os outros números, até chegar em 9x9:

1) 9 x 9 => o número anterior ao nove é o 8.

2) Para o 8 chegar ao 9, falta 1

3) Agora basta unir os dois números: 81 Portanto, 9 x 9 = 81.

DICA 13: DIVIDIR QUALQUER NÚMERO POR 5:

Basta multiplicar o número por 2 e "arrastar" a vírgula para a esquerda.

Ex: 345 / 5 = 345 * 2 = 690. Arrastando a vírgula, temos 69,0.

Ex: 1526 / 5 = 1526 * 2 = 3052. Arrastando a vírgula, temos 305,2.

DICA 14: COMO DESCOBRIR O PRÓXIMO QUADRADO?

Some o quadrado anterior com duas vezes com o número do qual você quer descobrir o quadrado, e

depois diminua uma unidade.

Ex: Se 32=9, quanto vale 42? Aplicando a regra, temos:

a) 9 + 4 + 4 = 17 17 - 1 = 16 Portanto, 42 = 16

Outro exemplo: 52 = ? 16 + 5 + 5 - 1 = 25

Matemática Aplicada - ... · FRAÇÃO COMO RAZÃO ... 12 2 (posso dividir 12 por 2, pois 12 é...

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