AULA24FUNC OESDO1oGRAUOBJETIVOS: Ap os estudar esta aula, voce sa-ber a: Reconhecerumafun c aolinearam,identi-car o coeciente angular e representar gra-camentenoplano. Identicar se afun c aolinear ame cres-centeoudecrescenteedescreverospontosdodomnioondeafun c ao epositivaoune-gativa.1. DEFINIC AOUma fun c ao f :R R dada por f(x) = ax+b,ondeaebs ao n umerosreais ea = 0 echamadadefun c aopolinomial do1ograu(oufun c aoli-nearam). On umeroaechamadocoecienteangularebcoecientelineardafun c ao.2. REPRESENTAC AOGRAFICASejay = f(x) = ax +b. Ent aox = 0 y= bx = ba y= 0eospontos(0, b)e_ba, 0_denemumaretanoplano. Estaretaeogr acodef. Suponhaparaarepresenta c ao abaixoquea > 0eb > 0.QPO AObservenaguraostri angulosret angulosAObebPQ, amboscom anguloagudo. N osaindan ao revisamos trigonometria, mas provavel-mente vocesabe que podemos calcular atan-gentedo angulousandoostri angulos.Assimtg =ObOAetg =QPbPIsto e,tg =bba= a e tg =y bx.Juntandoasequa c oesvemquea =y bxy = ax +b.Nota: (i) Segundoogr acodafun c aolinearf(x) =ax+b, o coeciente linear b da retagr acodefeovalordaordenadadopontodeinterse c aodaretacomoeixoOy.(ii) O valor a d a origem ` a equa c ao a = tg , onde e a inclina c ao do gr aco de f. temos dois casosa) 00logofefun c aocrescente.b) 90< < 180tg < 0ea < 0logofefun c aodecrescente.xy=f(x)xy=f(x)a>0 a 0.y= ax +b = 0x = bay= ax +b > 0x > bay= ax +b < 0x < baOgr aco mostra que para x >bao valory= f(x) e positivo epara x < ba, y= f(x) enegativo.xy-+- baCasoB: a < 0y= ax +b = 0x = bay= ax +b > 0x < bay= ax +b < 0x > baOgr acode y =f(x) =ax + b, mostraqueparax < baovalory= f(x)epositivoeparax > baovalory= f(x) enegativo.xy=f(x)-+- ba5. EXERCICIOSRESOLVIDOSResolvaasinequa c oesabaixo:a)3x 2 < 0b) x + 1 > 0c)(3x + 6)(2x + 8) > 0d)x + 32x + 1 2Solu cao:(a) 3x 2 < 03x < 2x 1x < 1.Oconjuntosolu c ao eS= {x R | x < 1} = (, 1).(c) Ainequa c aoeumprodutoepararesolve-lae eciente fazer umatabela. Primeiroencontramosasrazes dey= 3x + 6 raizx = 2y= 2x + 8 raizx = 4econstrumos atabela-2 4+++++3x+6-2x+8(3x+6)(-2x+8)R3x + 6 > 0x > 23x + 6 < 0x < 22x + 8 > 0x > 42x + 8 < 0x < 4.36Comos dados anteriores, e usandoque oprodutoden umerosdemesmosinal epo-sitivo e o produto de n umeros de sinaiscontr arios e negativo, completamos a ta-bela.Logo,oconjuntosolu c aoS= (, 2) (4, )(d) Antes deresolver temos quereduzir ose-gundomembroazero:x + 32x + 1 2 0x + 3 2(2x + 1)2x + 1 03x + 12x + 1 0.Esta ultimainequa c aoeequivalente` aine-qua c aopropostainicialmenteetemformapr opriapararesolvermos. Vamosconstruiratabela3x + 1 > 03x > 1x 03x < 1x >132x + 1 > 0x > 122x + 1 < 0x < 12-1/3++ ++ + -3x+12x+1-3x+1R-1/22x+1Nainequa c aoquociente 3x + 12x + 10pro-curamososvaloresdexquetornamopri-meiro membro positivo ou nulo. O conjuntosolu c ao eS=_12, 13_Nota: Ovalorx =13anulaonumeradoreesolu c ao. Ovalorx= 12anulaodeno-minador. Como o denominador nunca podeser zero, este valor deve ser excludo do con-juntosolu c ao.EXERCICIOS-SERIEA1. (UFRJ 98) Ogr acoa seguir descreve ocrescimentopopulacional decertovilarejodesde1910ate1990. Noeixodasordena-das, a popula c ao e dada em milhares de ha-bitantes.anopopulao23456789101910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990a) Determine em que decada a popula c ao atin-giuamarcade5.000habitantes.b) Observe quea partirde1960 ocrescimentodapopula c aoemcadadecadatemseman-tidoconstante. Suponhaqueestataxasemantenha no futuro. Determine emquedecadaovilarejoter a20.000 habitantes.2. Determinar o valor de mpara que o gr acoda fun c ao y= f(x) =13 (2x+m) passe peloponto(2, 1).3. (IBMEC-2001)Naguraabaixo, est aore-presentadasasfun c oesreais:f(x) = ax + 2 e g(x) = 23 x +bxyAfgBC0Sabendo que AC0B= 8 ent ao, a reta querepresentaafun c aofpassapeloponto:a)(1.3) b)(2, 2) c)(1, 4)d)(2,4) e)(3,6)374. Determinef(x) cujos gr acos s ao represen-tadosabaixo:xyxy- 3653xyxy12-1060455. Resolverasinequa c oesdo1ograu:a)4x + 40 > 0b)12 6x 0c)2x + 3 < 13d)x + 1 < 2xe)1 + 2x < 1 2xf)2(x 1) 1 3(1 x)6. (UERJ 93) O conjunto solu c ao dainequa c ao2x 33x 2 1 e o seguinteintervalo:a) (, 1) b)_, 23_c)_1, 23_d)[1, ) e)_23, 1_7. (CESGRANRIO) Oconjuntode todos osn umeros reais x < 1 que satisfazemainequa c ao2x 1< 1 e:a) }0} b) {0, 1/2} c) {x R | 1 0,constituemointervaloaberto:a)(1,3) b)(2,3) c)(0,3) d)(0,1)e)(1,2)10. (UFSC) Seja f(x) =ax+b uma fun c aoam. Sabe-sequef(1)=4ef(2)=7.Ovalordef(8) e:a)0 b)3 c)13 d)23 e)3311. (UFF93)xy6- 2Asomadocoecienteangularcomocoe-ciente linear da reta representada no gr acoacima e:a) 3 b) 3 c)3 d)4 e)912. (PUC 91) A raiz da equa c aox 37=x 14e:a) 5/3 b) 3/5 c)5/3 d)3/5e)2/513. (UNIFOR/CE) Sejaafun c aof de RemR, denidaporf(x)=3x 2. Araizdaequa c aof(f(x)) = 0 e:a)x 0 b)0 0c)t21214 t2 (t 1)5. (UFPI) Se m, ne p s ao os n umeros in-teiros do domnio da fun c ao real f(x) =_(3 2x) (2x + 3),ent aom2+ n2+ p2eiguala:a)2 b)5 c)6 d)8 e)96. (CESGRANRIO) Dada a inequa c ao(3x 2)3(x 5)2(2 x) x>0tem-sequeasolu c ao e:a)_z | x 1ex < 4}b) {x R | x < 1oux > 4}c) {x R | x 1ex 4}d) {x R | x 1oux > 4}e)n.r.a.8. (UNICAMP) Duas torneiras s ao abertasjuntas; a1aenchendoumtanqueem5ho-ras, a 2a enchendo outro tanque de igual vo-lumeem 4horas. Nomdequantotempo,apartir domomentoemqueas torneirass ao abertas, o volume que falta para enchero2otanque e1/4 dovolume quefaltaparaenchero1otanque?9. (ESPM/SP) Uma empresa de bicicletaspossui umcustounit ario de produ c aodeUS$28,00epretendequeestevalorrepre-sente 80%do pre co de venda ao lojista.Esta, porsuavez, desejaqueovalorpagoaofabricantesejaapenas70%dototalquecustar a ao consumidor nal. Quanto o con-sumidor nal dever apagar por umabici-cleta?10. (PUC/MG) Seja f :R R uma fun c ao de-nidaporf(x)=2x 35Ovalordexnaequa c aof1(x) =72e:a)3/8 b)4/5 c)2/7 d) 4/5e) 3/8AULA24GABARITOSERIEA1. a)adecadade40 b) 2040 75_=_75, _c)_t R | t 32_=_, 32_5. a) 6. b) 7. d)8. 3h45min 9. US$50,00 10. b)AUTO-AVALIACAOAntes de passar ` a aula seguinte, voce deve re-solvertodososexercciosdaSerieA.ASerieBcacomoexerccio deaprofundamento.40AULA25FUNC OESQUADRATICASOBJETIVOS: Ap os estudar esta aula, voce sa-ber a: Reconhecer uma fun c ao quadr atica, bemcomorepresentarseugr aconumsistemadecoordenadas. Determinar as razes de uma fun c aoquadr aticaeseuspontosdem aximooudemnimo. Descrever para uma dada fun c ao quadr aticaos intervalos dodomnioonde afun c aoepositivaou enegativa.1. DEFINIC AODadososn umerosreaisa,bec(coma = 0),afun c aof :R R, x y= ax2+bx +cechamadafun c aoquadr aticaoufun c aopolino-mialdegraudois.2. GRAFICONOSISTEMACARTESIANOTodafun c aoquadr aticae representadagra-camentepor umapar abola. Temos duas ob-serva c oesimportantes:(i) As par abolas que s ao gr acos de fun c oesquadr aticastemeixoparaleloaoeixover-ticalOy(ii) Sea > 0aconcavidadedapar abola eparacima. Sea < 0aconcavidade e para baixo.3. EXEMPLOSAbaixo temos os gr acos de f(x) = x22x+1,g(x) = x2+x,respectivamente.1 xya > 01xya < 004. INTERSECAOCOMOSEIXOSCOORDENADOS(I)Interse c aocomOx.Os gr acos anteriores mostramexemplos degr acos, onde as par abolas interceptam, uma ouduas vezesoeixoOx. Nocasodeapenas umponto de interse c aoa par abolae tangente aoeixoOx.Paraencontrargenericamenteospontosdein-terse c aocomOxfazemosax2+bx +c = 0.Assolu c oesdestaopera c aos aox = b 2a, = b24ac (*)a)Se>0 temosduasrazesx1ex2dis-tintas em (*) o gr aco corta o eixoOx nestespontos.a > 0x1x2a < 0x1x2x xb)Se=0temosapenasumaraizx0em(*) ogr acotangenciaoeixoOx.a > 0x0a < 0x0x xc) Se 0x1x2a < 0x1x2x x41II)Interse c aocomoeixoOyFazendox=0, temosquey=a 02+ b 0 +c. Logoy =c. Portanto, (0, c)eopontodeinterse c aocomoeixoy.Exemplos: Determineovalordempara queafun c aoquadr aticaf(x) = x24x +mpossuaapenasumaraiz.Solu c ao: Devemoster = b24ac = 0.424 1 m = 04 4m = 0, m = 1.5. DETERMINAC AODASRAIZESPara ax2+bx +c = 0, x = b 2a.Ousejax1= b +2ae x2= b 2a,s aoasrazes.(I)Somaeprodutodasrazesx1 +x2= b +2a+ b 2a== b2a b2a= bax1 x2= b +2a b 2a==(b +)(b )4a2==b24a2=b2(b24ac)4a2==4ac4a2=cax1 +x2= ba , x1 x2=caNota: Sef(x) = y= ax2+bx +cy= a_x2+ba x +ca_.Ent aochamandodeSasomadasrazes edePoprodutodasrazes,encontramosy= a(x2Sx +P).(II)Fatora c ao dafun c aoquadr aticaArmamosquey = f(x) = ax2+bx +c = a(x x1)(x x2).Defato,a(x x1)(x x2) =a(x2x1x x2x +x1x2) =a[x2(x1 +x2)x +x1x2] =a_x2+ba x +ca_= ax2+bx +c(III)Pontosdem aximo(a 0)paraumafun c aoquadr atica.Vamos denotar por (xv, yv) as coordenadasdo ponto m aximo (a >0) ou ponto mnimo(a < 0)dapar abola.(a)Identica c aocoordenadaxv.Devido ` a simetria da par abola, no caso em que 0,opontomedioxvdosegmentocujosex-tremos s ao os pontos x1e x2(razes da equa c ao)eondeocorreovalormnimodafun c ao. Comoxv=x1 +x22,encontramosquexv= b2a. Nocasoemque < 0, epossvelaindaprovarquexv= bae ainda o ponto onde ocorre o m aximooumnimo. Portanto,nestepontoocorreova-loryvmnimoparay(casoa>0)eovaloryvm aximoparay(casoa 04avDyIm(f) =_y R | y 4a_2ocaso: a < 04avDyIm(f) =_y R | y 4a_6. EXEMPLOS1. Determinar as razes da fun c ao denida pelaequa c aoy= x2 2x 8efazerumesbo codogr aco.Solu cao:x22x 8 = 0 = b24ac = (2)24(1) (8) = 4 + 32 = 36x = b 2ax1=(2) +362 1=2 + 62= 4x2=(2) 362 1=2 62= 2Gr acodaPar abolaa = 1 > 0 concavidadevoltadaparacima=36>0 apar abolainterceptaoeixoxemdoispontos.-2xy42. Determinar as razes da fun c ao denida pelaequa c ao y = x2+x 4efazer um esbo codogr aco.Solu cao:x2+x 4 = 0x2x + 4 = 0 = (1)24(1) (4) = 1 16 = 15, < 0 (n aotemrazes reais).Gr acodaPar abolaa= 1 0 concavidadeparacima=26 >0 interceptaoeixoOxemdoispontosxy3 -21 -252 4,( )7. ESTUDODOSINALDAFUNCAOQUADRATICANo estudo do sinal da fun c ao y= ax2+bx+c,temos6casosaconsiderar.Caso1: < 0ea > 0Caso2: < 0ea < 0Os gr acos das par abolas nestes casos n ao in-terceptamoeixoOx. Ent aoy>0nocaso1ey< 0nocaso2.xyxyCaso3: > 0ea > 0Caso4: > 0ea < 0Osgr acosdaspar abolasnestescasosinter-ceptamoeixoOxemdoispontos(asrazesx1ex2)xyxyx2x1+ ++x1x2yepositivoparax (, x1) (x2, )yenegativoparax (x1, x2)yepositivoparax (x1, x2)yenegativoparax (, x1) (x2, )Caso5: = 0, a > 0Caso6: = 0, a < 0x2x1=x2x1=Ent ao ye positivopara todox = x1nocaso 5 eyenegativoparatodox = x1nocaso6.8. REGRASINTESEPARAQUESTAODOSINAL(i) Se < 0osinaldeyeomesmodea(ii) Se = 0 o sinal de y e o mesmo de a (excetoparax = x1= x2quandoy= 0)(iii) Se > 0.x1x2mesmo de a contr ario de a mesmo de axOsinaldeynosintervalos(, x1),(x1, x2)e(x2, )obedecemaoesquemaacima.449. EXEMPLOS1. Resolvaoinequa c ao5x23x 2 > 0Solu cao: = b24ac = 9 (4 5 2) = 49 > 0x = b 2ax =3 710x1= 1, x2= 25xvertice= b2a=310yvertice = 4a= 4920Conjuntosolu c aoSS=_x R | x > 1oux < 25_2. Encontre oconjuntoS Rondepara todox S y> 0,ondey= x24x + 4Solu cao: = (4)24 (4) (1) = 16 16 = 0 = 0x = (4)2 1= 2yx 2Oconjuntosolu c ao e:S= {x R | x = 2}EXERCICIOS-SERIEA1. Determinar m, de modo que a par abola de-nidapelafun c ao:a) f(x) = (2m+3)x2+3x 2 tenhacon-cavidadevoltadaparabaixob)y= (5 3m)x2+ 16tenhaconcavidadevoltadaparacima2. Determine a equa c ao quadr atica cujogr aco e:-1xy3 0-53. Determineemcadacasoossinaisdea, b, ce.xy b)xy a)4. (UFRJ/92)Aguraabaixoeogr acodeumtrin omiodosegundograu.xy5 23-1Determineotrin omio.5. Resolverasseguintesinequa c oes:a)x2+ 2x 3 > 0b) 4x2+ 11x 6 0c)9x26x + 1 > 0d)x25 < 0e)x(x + 4) > 4(x + 4)f)(x 1)2 3 x6. (PUC-90) O n umero de pontos de in-terse c aodapar abolay= 4x2+ 3x + 1comaretay = 5x 2 e:a)0 b)1 c)2 d)3 e)4457. (UFF-95) Considere m, n e p n umeros reaise as fun c oes reais f e g de vari avel real,denidas por f(x) = mx2+nx+p e g(x) =mx+p. A alternativa que melhor representaosgr acosdefege:a) d)yxyxb) e)c)yxyxyx8. (PUC-RIO/99)On umerodepontosdein-tersec c ao das duas par abolas y = x2ey= 2x21 e:a)0 b)1 c)2 d)3 e)49. (VEST-RIO/93) O valor mnimo da fun c aorealf(x) = x2+x + 1 e:a) 1 b)0 c)1/2 d)2/3 e)3/410. (UFF)Paraqueacurvarepresentativadaequa c ao dada por y= px24x+2 tangencieo eixo dos x, o valor da constante p deve seriguala:a) 6 b) 2 c)0 d)2 e)611. (UNIFICADO-93) Overtice da par abolay= x2+x eoponto:a)(1, 0) b)_12, 14_c)(0,0)d)_12, 34_e)(1,2)12. (PUC-91) O mnimo valor da fun c ao f(x) =x26x + 10ocorrequandoxvale:a)6 b) 6 c)3 d) 3 e) 53EXERCICIOS-SERIEB1. (FUVEST-SP)a)Sex +1x= b,calculex2+1x2b) Resolva a equa c ao x25x+85x+1x2= 02. (UFF-95) Determineodomniodafun c aorealf(x)denidaporf(x) =_x 900x3. (UERJ/97) Numa partida de futebol, noinstante emque os raios solares incidiamperpendicularmentesobreogramado,ojo-gadorChor aochutouabolaemdire c aoao gol, de 2,30 m dealtura interna. A som-brada boladescreveuuma retaque cru-zoualinhadogol. Aboladescreveuumapar abola e quando come cou a cair da alturam aximade9metros,suasombraseencon-travaa16metrosdalinhadogol. Ap osochutedeChor ao, nenhumjogadorconse-guiutocarnabolaemmovimento.Arepresenta c ao gr aca do lance emumplanocartesianoest asugeridanaguraaseguir:16 m9 mxyA equa c ao da par abola era do tipo:Y = x236+ C. Opontoondeabolato-couogramado pelaprimeiravezfoi:a)nabaliza b)atr asdogol c)dentrodogol d)antesdalinhadogol4. (UFF-90)Duasfun c oesfegdenidasporf(x)=x2+ ax + beg(x)=cx2+ 3x + dinterceptam-senos pontos (0, 2) e (1,0).Determineosvaloresdea,b,c,ed.5. (PUC-91) Se 1 4x +4x2= 0,ent ao2xvale:a)12b)14c)1 d)2 e) 1ou2466. (PUC-88) Umquadrado e umret angulo,cujocomprimento e o triploda largura, s aoconstrudos usando-se todo um arame de 28cm. Determine as dimens oes do quadrado edoret angulodeformaqueasomadesuas areassejaamenorpossvel.7. (UFRJ-90)Resolvaainequa c ao:x49x2+ 8 < 0AULA25GABARITOSERIEA1. a)m>32, b 0; c > 0; > 0.b) a > 0; b < 0; c > 0; > 04. y =13 x2+43 x+535. a) {x R|x < 3oux > 1} b)_x R | x 34ou x 2_c)_x R | x =13_d) {x R | 0 2d)x < 4ex > 2e)x > 26. (MACKENZIE-SP) A solu c ao da inequa c ao|x| 1 edadapeloconjunto:a) b)] 1; 1[c)[1; [d)[1; 1]e)] ; 1]7. (PUC/CAMPINAS-SP) Na gura abaixotem-seogr acodafun c aof, de RemR,denidapor:a)f(x)=|x + 1|b)f(x)=|x 1|c)f(x)=|x| 1d)f(x)=|x21|e)f(x)=|1 x|118. (UECE)SejamZoconjuntodosn umerosinteiros, S= {x Z; x2 3x + 2=0}eT = {x Z; |x 1| 0, oconjuntodosreaisxtaisque |a 2x| < a e:a)_a2_b)ointervaloaberto(0, a)c)ointervaloaberto_a2, 3a2_d)ointervaloaberto_a2, a_e)vazio4. (UFMG)Sef(x) = |x| + 1eg(x) = x2+6x10 para todo x real, ent ao pode-se ar-marquef(g(x)) eiguala:a)x2+ 6x 11b)x2+ 6x 9c)x26x + 11d)x26x + 9e)x26x 11525. (UFF-99)Considereosistema_y> |x|y 2Aregi aodoplanoquemelhorrepresentaasolu c ao e:xy20a)xy20b)xy20c)xy20d)xy20e)6. (FEI-SP) A solu c ao da inequa c ao1|1 2x|< 1 e:a)0 < x < 1b)x < 1oux > 0c) 1 < x < 0d)x < 0oux > 1e)x < 1oux > 17. (F.C.Chagas-BA)Omaiorvalorassumidopelafun c aoy= 2 |x 2| e:a)1b)2c)3d)4e) 8. (CESGRANRIO) Sejaa fun c ao denidanointervalo aberto ] 1, 1[ por f(x) =x1 |x|.Ent ao,f_12_vale:a)12b)14c) 12d) 1 e) 29. (UNI-RIO) Sendo R ={(x, y) R2||x| 1e |y| 1}arepresenta c aogr acadeRnumplanocartesiano e:a)umaretab)umtri anguloc)umquadradod)umlosangoe)umacircunferencia10. (UNI-RIO-92) Arepresenta c aogr aca dafun c aoy= |x2|x||e:11-1 0a)11 0 -1b)-101c)-1 0 1d)0e)11. (U.MACK)Oconjuntosolu c ao daequa c ao|x|x= |x 1|x 1e:a)R {0, 1}b) {x R |x > 1oux < 0}c) {x R |0 < x < 1}d) e) nenhuma das alternativas anteriores ecorreta.53AULA26GABARITOSERIEA1)c)2)xy9-98-2 1 43)x = 50oux = 250 4)a)x = 1ex = 4b) x= 12ex= 1 5) b) 6) a) 7) e)8)c) 9)e)10)xy-1 1SERIEB1) e) 2) c) 3) b) 4) c) 5) b) 6) d)7)b) 8)d) 9)c) 10)c) 11)b)AUTO-AVALIACAOAntes de passar ` a aula seguinte, voce deve re-solvertodososexercciosdaSerieA.ASerieBcacomoexerccio deaprofundamento.54AULA27FUNCAOEXPONENCIALOBJETIVOS: Ao nal desta aula, voce dever asercapazde: Entenderoconceitodefun c aoexponencialeexpressar gr acosdestasfun c oes. Resolverequa c oesexponenciais.1. DEFINIC AOUma fun c ao exponencial e uma fun c aof : R Rdenidapor f(x) =ax, onde aeumn umerorealxo,a > 0ea = 1.Vamosfazerduasobserva c oessobreadeni c aodefun c aoexponencial:a) Dom(f) =R,pois,paratodox R, axeumn umerorealbemdenido.Devemoscomentaroquefoi ditonesteitema). Sabemos calcular an, se ne umn umeronatural. Nestecaso, an=a a . . . a(nve-zes). Sen e um n umero inteiro negativo e a = 0ent aoan=_1a_n. Paraoscasosdeexpoen-tes racionais, usamos razes enesimas compostascomexponencia c ao. Porexemplo,amn=nam.Notequedadoumn umeroracionalmn , pode-mosconsiderarquen>0(docontr ariomulti-plicaramos numerador edenominadorpor 1).Ent aosabemoscalcularaqondeqen umerora-cional. Paraoc alculodeax, ondexereal, de-vemos usar a tecnica de aproxima c ao por limite.Tomamosumaseq uenciaden umerosracionaisqnconvergindoparaxeent aoaxeolimitedeaqn. No entanto, o assunto limite, nestes termos,e avan cado em rela c ao ao nvel que estamos tra-balhandoepedimosparavoceaceitarsempro-vasaargumenta c ao quedesenvolvemos.b) Im(f) =(0, ), pois ax>0, paratodox R.2. GRAFICOComo f(0) = a0= 1, o gr aco da fun c ao sem-prepassapeloponto(0, 1).Devemos distinguir2casos, deacordo com osvaloresdea.Sea>1ent aoaf(x)=axeumafun c aocres-cente.y=axa >1yx1Se00ex2 1=0. Nestecasopodemosescreverquex0=1. Com-parandoosexpoentes. xx24=1=x0x24 = 0x = 2Solu cao: x = 24. Resolva3x1+ 3x+1= 30.Solu cao: Vamosisolarotermo3x.3x1+ 3x+1= 303x 31+ 3x 3 = 3013 3x+ 3 3x= 303x_13+ 3_= 303x103= 303x=310 30 = 93x= 32x = 2Solu cao: x = 26. INEQUAC OESEXPONENCIAISPararesolvermosumainequa c aoexponencialdevemos, emgeral, reduzi-laaumainequa c aodotipoh(x)f(x)>h(x)g(x), ondef(x) eh(x)s aofun c oese, alemdisso, h(x)>0eh(x) =1,paratodovalorx.Asolu c aoent aodependedabaseh(x):1) seh(x) > 1ent aoh(x)f(x)> h(x)g(x)f(x) > g(x)2) se0 < h(x) < 1ent aoh(x)f(x)> h(x)g(x)f(x) < g(x)567. EXERCICIOSRESOLVIDOS1. Resolvaainequa c ao2x< 16.Solu cao:2x< 16_12_x< 24_12_x 0ex = 1,e:a)]0, 1[[3, +[ b) {x R |0 0)eyumn umerorealtalquey> 0ey = 1. Denomi-namos ologaritmo deynabaseacomo sendoon umero real x tal que ax= y. Usamos a nota c aox = logay ,elemosx eologaritmodeynabasea.Portanto,logay= xax= y.Naexpress ao logay= x, a eabasedologaritmo, yeologaritmandoouantilogaritmo x eologaritmo.Emresumo, a express ao x =logay denea fun c ao logacomo uma fun c ao da vari avely e inversa da fun c ao exponencial. Para seconvencerdisto, vejaodiagramaabaixo, ondea primeira fun c ao e a fun c ao exponencial, asegunda, a fun c ao logaritmo e observe que acomposi c aodasfun c oesresultanafun c aoiden-tidade (come camos com x e terminamos com x).exponencial logaritmoR (0, ) Rx ax= yy logay= xO diagrama anterior explicita tambemosdomniosecontradomnios dasfun c oes.Nota:i) Fixadaabasea(a>0, a =1), odomniodafun c aologaeointervalo(0, ). Ent aopara todo y> 0 tem sentido escrever logay.ii) Aimagem ou contradomnio delogaetodooconjuntoR.Vejaalgunsexemplossimples:a) log2 64 = 6,pois26= 64b) log1 20 = 0,pois200= 1c) log15 15 = 1,pois151= 15d) log5125= 2,pois52=1252. GRAFICOSDAFUNCAOLOGARITMOAfun c ao logaritmo e a fun c ao inversa dafun c ao exponencial. Portanto, a partir dosgr acosdas fun c aoexponencial, vejaoitem2daaulaanterior;concluimosque:a) Gr acodey= logax,sea > 1(base> 1).yx161b) Gr acodey=logax, se0 0.Portanto, odomniodafun c aoacimaser ax > 0, x = 1ex24 > 0.Aequa c aox24 = 0temsolu c aox = 2.Logox24 > 0x < 2oux > 2Portanto,Dom(f) = (2, ).2-25. PROPRIEDADESDOLOGARITMONaSe c ao3vimospropriedadesquedecorremdiretamente dadeni c ao. Veremos agora outraspropriedades.a)Logaritmo doproduto.logb(x y) = logbx + logbyb)Logaritmodapotencia.logbaw= w logba62c)Logaritmodoquociente.logbxy= logbx logbyd)logbz a =1z logbae)logbz aw=wz logbaVamos mostrar por que valem as propriedadesenunciadas. Precisamos apenas trabalhar cuida-dosamentecomadeni c aodelogaritmo.Provadapropriedadea).Sejalogb (x y)=z, logbx=z1e logby=z2. Queremosprovarquez= z1 +z2. Podemosescrever,bx= x y, bz1= xe bz2= y .Logo,bz1 bz2= xy bz1+z2= xy .Ent ao,bz= bz1+z2z= z1 +z2.Esta ultimaigualdadeeraoqueprecis avamosprovar.Provadapropriedadeb).Sejalogbaw=xe wlogba=y. Precisamosprovarquex = y. Temos,bx= awe logba =yw.Logo,bx= awe byw= a .Elevando` apotenciawa ultimaigualdadevemquebx= awe by= awx = y .Esta ultimaigualdadeeraoqueprecis avamosprovar.Provadapropriedadec).Usandoaspropriedadesa)eb)anterioreses-crevemoslogbxy= logb_x 1y_= logbx + logb1y.Mas,logb_1y_= logby1= 1 logby .Juntando os dois resultados est a completa aprovadapropriedadec).Provadapropriedaded).Sejalogbz a=x e1zlogba=y. Precisamosprovarquex = y. Temosbzx= ae logba1z= y .Ousejabx= a1ze by= a1zx = y .Esta ultimaigualdadeprovaapropriedaded).Provadapropriedadee).Usandoapropriedadeb)eemseguidaapro-priedaded),escrevemoslogbz aw= wlogbz a =wzlogba .6. MUDANC ADEBASETodos as propriedades que vimos ate agora en-volvem logaritmos de mesma base. Em algumasaplica c oeseinteressantetransformar umloga-ritmo de uma base paraoutra. Conseguimosistocomapropriedade:logba =logcalogcb,ondea, b, c > 0, b = 1ec = 1.Vamosprovaresteresultado.Selogba=x, logca=y e logcb=z,preci-samosprovar quex =yz.Defato,bx= a, cy= ae cz= b bx= cye cz= b .Logo,bx= cye czx= bxzx = y .Esta ultimaigualdadeprovaoquequeramos.Exemplo: Selog2x=3elog2y=5, logy x=log2xlog2y=35Observa c oes:Oslogaritmosdebase10s aochamadosde-cimais. Ologaritmodecimal deumn umerox(com x > 0) e indicado por log x (pode-se omitiro10nabase).Oslogaritmosdebasee, s aochamadoslo-garitimosnaturaisouneperianos. Ologaritmoneperianodex eindicadopornxoulg x.63Observa cao:On umeroeejuntocomon umeroosdoismais importantes n umeros daMatem atica. On umeroe,comoon umero , eum n umeroirra-cional. 2,71eovalorqueaproximaecomtrescasasdecimaisexatas.7. EQUAC OESLOGARITMICASS ao equa c oes envolvendo logaritmos. A maio-ria das equa c oes logartmicas, emnosso nvelde estudo, s ao de tres tipos b asicos, ou po-demser reduzidas aestes tipos, fazendoalgu-mas manipula c oes algebricas. Vamos aos trestiposb asicos.1otipo Logaritmosdemesmabaselogaf(x) = logag(x) f(x) = g(x).Devemossempreobservarasrestri c oesnabase: a > 0ea = 1.noslogaritmandos: f(x) > 0eg(x) > 0Exemplo: log2(3x 4) = log2(x + 4).Solu cao: 3x 4 = x + 4x = 4.Restri c oes: 3x 4 > 0x >43ex + 4 > 0x > 4Comox=4atende` asrestri c oes, ent aoocon-juntosolu c aoS= {4}.2otipo Aplica c aodadeni c aodelogaritmo.logb (f(x) = af(x) = ba,Observandosempreasrestri c oes:nabase: b > 0eb = 1nologaritmando: f(x) > 0Nestasequa c oes, podemostervari aveis nologa-ritmandoenabaseaomesmotempo.Exemplo: logx(x23x + 2) = 2Solu cao: Temos que x23x+2 =x23x + 2 = 0x =23Restri c oes: x > 0ex = 1 (base) x23x + 2 > 0Aequa c aox2 3x + 2=0temrazesx=2ex = 1,logox23x + 2 > 0x < 1oux > 22 1 xyOvalorx=23atendeaestascondi c oes, logooconjuntosolu c ao eS= {23}3otipo Substitui c aodevari avel.Acontece quando uma substitui c ao do tipoy= logbx reduz o problema a uma equa c ao quesabemos resolver, como uma equa c ao do 2o grau.Exemplo: (log2x)22 log2x 8 = 0Solu cao: Substituindo y = log2x, temosy22y 8 = 0,y = 4ouy= 2.log2x = xx = 24= 16log2x = 2x = 22=14Portanto, o conjuntosolu c ao e S= {1/4, 16}.8. INEQUAC OESLOGARITMICASS ao inequa c oes onde aparecema fun c ao lo-gartmica envolvendo a vari avel. Vamos exa-minaralgumastecnicaspararesolverestasine-qua c oes.Em primeiro lugar, a fun c ao y = logbx, sendoinversadaexponencial, ecrescenteb>1ede-crescentequando0 < b < 1. Assim,seb > 1,logbf(x) > logbg(x) f(x) > g(x)se0 < b < 1logbf(x) > logbg(x) f(x) < g(x)Isto respeitadas as restri c oes para existencia doslogaritmos. Quaissejam, b > 0eb = 1 (base) f(x) > 0eg(x) > 0 (logaritmando)Observa cao: Para reduzir uma inequa c ao ` a formalogbf(x) > logbg(x), temos que usar proprieda-des do produto ou do quociente (para reunir doislogaritmos), oufazer substitui c aode vari aveisy= logbx.Notequelogbf(x) > alogbf(x) > logbbapoisa = logbba.649. EXERCICIOSRESOLVIDOS1. Resolvaainequa c aolog3(2x 1) < log35.Solu cao:log3(2x 1)12.Portanto, o conjunto solu c ao S eS=_12, 3_2. Resolvaainequa c ao(log2x)2= 3 log2x + 2 < 0.Solu cao: Fazemos a substitui c aoy= log2x,encontramosy23y + 2 < 01 < y< 22 1(pois y = 1 e y = 2 s ao as razes dey2 3y + 2 = 0).Portanto, 1 < log2x < 2.log2x > 1log2x > log22x > 2log2x < 2log2x < log24x < 4A restri c ao no logaritmando e x > 0, logo oconjuntosolu c ao eS= (2, 4).3. Resolvaainequa c aolog2(x 1) + log2(x + 1) < 3.Solu cao: Usamos a propriedade do pro-dutoparajuntarosdoislogaritmoslog2(x 1) + log2(x + 1) < 3log2(x 1)(x + 1) < log223= log28(x 1)(x + 1) < 8x21 < 8x29 < 0Assolu c oesdex2 9 =0s aox = 3logox29 < 03 < x < 3.3 -3As restri c oess aox 1>0 x>1ex + 1 > 0x > 1Oconjuntosolu c ao eS= (3, 3) (1, ) (1, ) = (1, 3).10. CARACTERISTICAEMANTISSAUsandoumacalculadora, vemosquelog 6 0, 77815 (lembre que log 6 = log106). Sa-bendo disso, podemos calcular facilmente log 60,log 600etc.log 60 = log 610 = log 6+log 10 = 1+0, 77815 =1, 77815log 600 = log 6 100 = log 6 + log 102= 2, 77815Os n umeros log 6, log 60, log 600 etc, temamesmapartedecimal, quechamamosmantissae diferem na parte inteira, que chamamos carac-terstica.Assim,log 600tem_caracterstica: 2mantissa: 0, 77815Nota: Observeque, sextem3dgitos, ent ao100 x