UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMATICA

Notas de Aula de

Mtodos em Matemtica Aplicada e a

Professor Dr. Mark Thompson Esequia Sauter

Porto Alegre, Maro de 2009. c

Conte do u1 Clculo Vetorial e Teoria do Potencial a 1.1 Superf cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Curvas sobre superf cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Mtricas sobre superf e cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Angulo de interseco de curvas paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . ca e 1.3.2 Elementos de rea na superf a cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 *Observaes sobre superf co cies e orientaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.5 Integrao sobre superf ca cies: heur sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Os Teoremas da Divergncia e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.6.1 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Denio intr ca nsica de operadores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Aplicaes do Teorema de Divergncia a teoria do potencial . . . . . . . . . . . co e 1.8.1 As identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Estimativas a priori e princ pio do mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.10 Diversos Exemplos na Teoria Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Linhas de Campo e Tubos de Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 1.12 Cinemtica dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.13 Leis de conservao de um uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.14 Teorema de Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Circulao e Teorema de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.16 Dinmica de Vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 1.17 Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.1 As equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.18 *Potenciais de Retardamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.19 Energia do campo eletromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.20 *Reexo e Refrao de ondas eletromagnticas em uma interface plana de a ca e dieltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.21 *Dipolo Eltrico Oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.22 *Relaes entre Mecnica clssica e Mecnica Quntica . . . . . . . . . . . . . . co a a a a 1.23 *Comutadores e Simetria para Certos Operadores de Schrdinger . . . . . . . . o 1.24 A equao de Calor e Invariana de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca c 1.24.1 O mtodo de Similitude e a equao de calor . . . . . . . . . . . . . . . . e ca Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 2 Problemas de Fronteira e Evolutivos 2.1 Simetria e solues especiais do problema de Dirichlet co 2.2 Relaes de recorrncia para harmnicas esfricas . . co e o e 2.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Esfricas Harmnicas em geral . . . . . . . . . e o II para . . . . . . . . . o . . . Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 5 5 6 9 14 15 18 21 21 23 24 30 31 32 33 34 35 37 40 41 42 45 47 50 52 58 59 66 68 68 72 73 74

2.3.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 *Analiticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Polinmios Harmnicos (slidos) . . . . . . . . . o o o 2.4 Exemplos de Problemas de Fronteira . . . . . . . . . . 2.4.1 Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.4.2 Movimento Irrotacional de um Fluido . . . . . . 2.4.3 Eletrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.4.4 Dieltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.5 Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.4.6 Correntes Estacionrios . . . . . . . . . . . . . . a 2.4.7 Fluxo de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . 2.4.9 Equao de Laplace em Coordenadas Cil ca ndricas 2.4.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.11 *O espectro do tomo de Hidrognio . . . . . . a e 2.5 Equao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.5.1 Regies Innitas: Heur o sticas . . . . . . . . . . 2.5.2 A equao do calor em separao de variveis . ca ca a 2.6 A equao da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.7 Exemplos miscelneos avanados . . . . . . . . . . . . a c Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a

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84 84 88 89 89 89 89 90 90 90 91 93 94 95 98 100 101 103 106 110 126

3 Sries de Fourier e Transformadas e 128 3.1 O Fenmeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 o 3.2 Somatrio de Sries Usando Mdias Aritmticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 o e e e 3.3 Integrao da Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ca e 3.4 Funes no Diferenciveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 co a a 3.5 Transformadas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 3.5.1 Convolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 co 3.5.2 Transformadas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.5.3 Transformadas de Fourier em Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . 145 a a 3.5.4 * Teorema de Inverso de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 a 3.5.5 Aplicaes da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 co 3.5.6 *Transformada de Fourier e Hankel na teoria de dinmica dos uidos . . 154 a 3.5.7 A transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.5.8 Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 co 3.5.9 Aplicao da Transformada de Laplace a equaes Diferenciais-Integrais ca co e Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.5.10 Aplicao da Transformada de Laplace a Equao do Calor . . . . . . . . 168 ca ca 3.5.11 *Aplicao da transformao de Laplace ` atraao de Van der Waals entre ca ca a c part culas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 e 3.5.12 *Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.5.13 *Aplicao: equaes integrais duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ca co Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 e a 4 Equao da Onda ca 183 4.1 Um princ pio (fraco) de mximo dom a nios de dependncia e inuncia . . . . . . 184 e e 4.2 A equao da onda em dimenses maiores que um . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 ca o Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 e a III

5 Algebra Tensorial e Clculo Tensorial a 5.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Tensores Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Tensores Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Operador de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Variedades Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Conexes Am e Diferenciao Covariante . . . . . . . . . . . . . . . o ca 5.7 Variedades Riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 A formulao tensorial dos teoremas de Green e Stokes . . . . . . . . ca 5.9 Tensores Homogneos e Isotrpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 5.10 As equaes constitutivas e dinmicas para meios cont co a nuos e uidos . 5.10.1 Elasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2 Fluidos perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3 Tenses em Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.11 Consequncias f e sicas da viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 A frmula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.12 Relatividade e Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 5.12.1 A teoria de Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2 Propriedades do Tensor de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . 5.12.3 Teoria Elementar de Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . 5.13 As equaes de Einstein e o funcional de Hilbert . . . . . . . . . . . . co Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a A Teoria de Sturm-Liouville B Variveis Complexas a C Mtodo de Frobenius e Desigualdade de Cauchy e

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195 195 202 204 204 205 212 215 219 221 224 226 228 228 230 230 234 234 238 241 246 252 254 259 264

D Aplicaes de Mtodo de Frobenius co e 269 D.1 A equao hypergeomtrica generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 ca e D.2 A equao de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 ca D.3 Polinmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 o E Polinmios Ortogonais o E.1 A desigualdade de Bessel . E.2 Polinmios de Legendre . o E.3 Os Polinmios de Hermite o E.4 Os Polinmios de Laguerre o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 . 274 . 275 . 276 . 276 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 281 282 283 284 285 286 287

F Noes Algbricas: Fraes Parciais co e co G Tabelas de Transformadas G.1 Transformadas de Fourier . . . . . . . G.2 Transformadas Cosseno . . . . . . . . . G.3 Transformadas Seno . . . . . . . . . . G.4 Transformadas de Laplace . . . . . . . G.5 Transformadas de Mellin . . . . . . . . G.6 Transformadas de Hankel . . . . . . . . G.7 Transformadas Cosseno Fourier Finita IV

G.8 Transformadas Seno Fourier Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 G.9 Transformadas Hankel Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 : Sees marcadas com podem ser omitidas em uma primeira leitura. co

V

Cap tulo 1 Clculo Vetorial e Teoria do Potencial a1.1 Superf cies

Uma superf pode ser descrita como um conjunto de pontos satisfazendo uma equao da cie ca forma F (x, y, z) = 0 (impl cita) ou via equaes paramtricas co e x = f (u, v) y = g(u, v) , z = h(u, v) (u, v) D R2 . (1.1)

Normalmente f, g e h so C r (D) em (u, v). Os parmetros u e v so chamados de coordenadas a a a curvil neas. Exemplo 1. x = u+v y = uv z = 4uv , (u, v) R2 .

Via eliminao de u e v, x2 y 2 = z. A superf representada na gura 1. ca cie e

Figura 1.1: Representaao geomtrica das equaoes 1.2 c e c Como no caso das curvas, as equaes paramtricas das superf co e cies no so unicas. Por a a 2 2 exemplo, se x = ucoshv, y = usenhv e z = u , ento eliminando (u, v) R resulta na equao a ca x2 y 2 = z , z 0 1

Estas observaes motivam a seguinte denio: Duas representaes paramtricas so reco ca co e a lacionadas por uma transformao de parmetros da forma ca a u = (u, v) v = (u, v). (1.2)

Essa transformao no singular se e so injetoras e ca e a a (, ) = 0 em D (dom nio de denio de (u, v)) ca (u, v) (1.3)

Se D corresponde a D sob a transformao (1.2), (1.3) uma condio necessria e suciente ca e ca a para que a transformao (1.2) admita inverso perto de cada ponto de D . A transformao ca a ca localmente injetora, mas pode no existir globalmente. e a Seja r = (x, y, z) = (f (u, v), g(u, v), h(u, v)) (1.4) e denotamos r1 = r2 r , u r . = v

Um ponto ordinrio denido como um ponto r em que a e r1 r2 = 0 ou posto f1 g1 h1 f2 g2 h2 = 2.

Isto signica que u e v so determinados unicamente na vizinhana de um ponto ordinrio. a c a Transformaes no singulares levam pontos ordinrios em pontos ordinrios. De fato, co a a a r1 r2 = r r r r + 1 + 2 1 2 u u v v (, ) r r (, ) = r r2 = (u, v) u v (u, v) 1

e, como

(, ) = 0, ento r1 r2 = 0 = r1 r2 = 0. a (u, v) Um ponto que no ordinrio chamado singular. a e a e

Denio 1. Uma representao R em R3 de classe r (C r (R)) se a superf representada ca ca e cie por R pode ser coberta por um conjunto de dom nios {Vj } tal que cada Vj dado por equaes e co paramtricas de classe r. e Denio 2. Duas representaes R1 e R2 so r-equivalentes se em cada vj vk existe uma ca co a mudana de parmetros de R1 a R2 no singular. Esta relao uma relao de equivalncia. c a a ca e ca e Denio 3. Uma superf ca cie S de classe r em R3 uma r-equivalncia na classe de repree e sentaes. co

2

1.2

Curvas sobre superf cies

Suponha que r = r(u, v) a equao de superf de classe r denida sobre D e u = U (t), e ca cie v = V (t) uma curva de classe s em D. Ento, r(t) = r(U (t), V (t)) uma curva sobre e a e a superf com classe min(r, s). As equaes u = U (t), v = V (t) chamam-se as equaes cie co co curvil neas da curva. Suponha que v = c(constante). Ento, r = r(u, c) descreve uma curva, a curva paramtrica a e r = c. Existe uma curva para cada valor de c. Similarmente, u = c da origem as curvas r = r(c, v). Sobre cada ponto da superf existe uma e somente uma curva paramtrica cie e de cada sistema. Seja P (u0 , v0 ), ento (u0 , v0 ) unicamente determinado por P e existe a e somente duas curvas paramtricas u = u0 e v = v0 sobre P . O vetor tangente a v = c com u e est na direo r1 e o vetor tangente u = c com v na direo r2 . a ca ca E uma conseqencia do fato que r1 r2 = 0 que as curvas paramtricas de sistemas diferentes u e no tem contato tangencial. Duas curvas paramtricas sobre P so ortogonais se r1 r2 = 0 a e a em P. Se esta condio satisfeita em cada ponto (u, v) D, os dois sistemas de curvas so ca e a ortogonais. Para curva geral u = U (t), v = V (t) o vetor tangente est na direo a ca du dv dr = r1 + r2 dt dt dt (1.5)

Consequentemente, levando em conta o fato que r1 e r2 so no nulos e independentes a a (r1 r2 = 0), o vetor tangente a curva sobre a superf em P pertence ao plano contendo os cie vetores r1 e r2 em P . Este o plano tangencial. e O vetor normal a superf em P o vetor normal ao plano tangencial em P e perpendicie e e cular a r1 e r2 . A orientao xada via a conveno que se N for o vetor normal unitrio, r1 , ca e ca a r2 e N tm orientaes a mo direita (positiva). Segue-se que e co a N= r1 r2 , H onde H = |r1 r2 | = 0. (1.6) r r e a u v

Observamos que a mudana de parmetros como em (1.2) implica que N c a orientao a mesma se ca e

(, ) (, ) > 0 e oposto se < 0. O Jacobiano cont e nuo em (u, v) (u, v) D e no nulo, o que signica que tem o mesmo sinal e a mudana de parmetros preserva a a c a (, ) (, ) > 0 em um ponto em D (ou no preserva se a < 0 em um ponto). orientao se ca (u, v) (u, v) Exemplo 2. A esfera descrita em coordenadas polares de raio a e centro O e r = a(sen u cos v, sen u sen v, cos u) Os plos u = 0 e u = so singularidade articiais e o dom o a nio de u, v 0 < u < e e 0 < v < 2. As curvas v = constante u = constante so meridionais a so paralelos, a

Os sistemas so ortogonais, isto , r1 r2 = 0 em cada ponto. A direo N est na direo para a e ca a ca fora da esfera. 3

Exemplo 3. Superf de revoluo com eixo de revoluo OZ. cie ca ca Curva geradora no plano XOZ, x = g(u), y = 0, z = f (u)

v o ngulo de revoluo em volta de OZ. As equaes paramtricas so e a ca co e a r = (g(u) cos v, g(u)sen v, f (u)). O dom nio 0 v 2 e imagem de u. e v u r1 r2 = = = = constante so meridionais, a constante so paralelas, a (g cos v, g sen v, f ), (gsen v, g cos v, 0), (f cos v, f sen v, g ) r1 r2 = 1 H (f 2 + g 2 ) 2

e r1 r2 = 0 u, v. O vetor normal N dado por e N=

1.3

Mtricas sobre superf e cies

Dado r = r(u, v), considere a curva : u = U (t), v = V (t). Ento r = r(U (t), V (t)) descreve a e a distncia s sobre dada por a e ds dt2

= = E

dr dt

2

=2

r1

du dv + r2 dt dt du dt

2

(1.7) dv dt +G dv dt2

du dt

+ 2F

(1.8)

onde E = r2 , F = r1 r2 e G = r2 . () pode ser escrita na forma compacta 1 2 ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , (1.9) que a primeira forma quadrtica fundamental. e a Geometricamente isto pode ser dado a interpretao de distncia innitesimalde (u, v) a ca a (u + du, v + dv). Lembrando que (r1 r2 )2 = r2 r2 (r1 r2 )2 1 2 Exemplo 4. Considere z = u2 v 2 , x = u e y = v, ento a r1 r2 E F G = = = = = (1, 0, 2u), (0, 1, 2v), r2 = 1 + 4u2 , 1 r1 r2 = 4uv, r2 = 1 + 4v 2 , 2 (EG F 2 ) = (1 + 4u2 + 4v 2 ) 21

(1.10)

temos que E > 0, G > 0 e H 2 = EG F 2 > 0.

H =

4

1.3.1

Angulo de interseco de curvas paramtricas ca e

As direes paramtricas so dadas por r1 e r2 . O ngulo (0 < < ) de interseco dado co e a a ca e por F r1 r2 (1.11) = cos = |r1 ||r2 | EG sen = H |r1 r2 | = |r1 ||r2 | EG (1.12)

1.3.2

Elementos de rea na superf a cie

Figura 1.2: Elemento de area da superf cie Na gura 1.3.2, a rea aproximada de um elemento dada por a e |r1 du r2 dv| = Hdudv Isto mostra a introduo do elemento de rea dS 1 via ca a dS = Hdudv Exemplo 5. Dados r = ((b + a cos u) cos v, (b + a cos u)sen v, asen v), E = a2 , F = 0, G = (b + a cos u)2 , H = a(b + a cos u), 0 u 2, 0 v 2 ento a rea a a e Area =01

(1.13)

2 0

2

a(b + a cos u)dudv = 4 2 ab

E dif denir precisamente o conceito de rea via aproximaao, por exemplo, via triangulaao interior e cil a c c exterior, como foi demostrado por Schwarz, Werke p.309. Veja Vol. II Theory of Function of Real Variable, J. Pierpont, Dover Publications, p.603.

5

1.4

*Observaes sobre superf co cies e orientaes co

tal que

Considere um conjunto M Rn com a seguinte propriedade: x M um W aberto Rn e C k (W ) tal que M W = {x W ; (x) = 0} e Dx tem posto n x W . Ento, dizemos a q que M dene uma variedade de dimenso r = m n e classe C . De fato, podemos escrever a 1 (x1 , ..., xm , xm+1 , ..., xm+r ) . . = . m (x1 , ..., xm , xm+1 , ..., xm+r ) (1 , ..., m ) =0 (x1 , ..., xm ) Utilizando o teorema da funo impl ca cita, x1 = x1 (xm+1 , ..., xm+r ), . . . xm = xm (xm+1 , ..., xm+r ),

xU W

Claramente, o espao tangencial Tx = N (Dx ). Um vetor n normal a M em x0 se n h = c e 0h Tx0 . Considere um aberto D com fronteira D tal que x0 D e U uma vizinhana de x0 tal que e c D U uma variedadede dimenso n 1. Dizemos que D situado em um lado da fronteira e a e D em U se existe uma funo de classe C 1 em U tal que Dx = 0x U e ca D U = {x U : (x) = 0} e D U = {x U : (x) < 0}. Se D uma variedade de dimenso n 1 e cada x0 D possui uma vizinhana de forma e a c anteriormente descrita, ento dizemos que D est situada em um lado de sua fronteira. a a Suponha que n = 0 um vetor normal a fronteira D em x. n o vetor normal exterior no e e c ponto x se existe > 0 tal que x + tn D, para < t < 0 e x + tn D para 0 < t < . Suponha que D est situado a um lado de sua fronteira, ento n(x) = o vetor normal a a e unitrio exterior a D no ponto x. a Coloque (t) = (x + tn(x)), ento (0) = 0 e (0) = (x) n(x) = ||2 > 0. Existe a > 0 tal que (t) < 0 para < t < 0 e (t) > 0 para 0 < t < . Segue-se que um vetor e um vetor normal unitrio exterior a D no ponto e a normal exterior no ponto x e n(x) = || x. Do fato que C 1 , n cont e e nuo em D U . Observao 1. (Na linguagem de formas) ca Introduzindo a orientao (e1 , ..., en ) em Rn , dena por = (, )e1 en , onde ca (, ) = [] x , = [] e , x = [] x e . De fato, se = i ei e = i ei , i = (1)n+i i , ento dene uma orientao induzida na fronteira D e (, ) dene uma a ca orientao em D. ca Considere D R2 , D compacto, com D uma curva de Jordan (homeomorca a um c rculo) que seccionalmente diferenciavel. Seja D0 o interior de tal curva (isto existe pelo e 6

teorema de Jordan e Brouwer). Suponha que o vetor normal n( ) e vetor tangente t(x) so a positivamente orientados (e1 , e2 ), onde n( ) o vetor normal exterior. Lembre-se do termo de e ndice +1 x0 D 0 I(x, x0 ) = 0 x0 D c a Riemann em D e tal que a(x) C 0 (D). Teorema 1. (Teorema de Green) a1 dy a2 dx = a n d = div a dxdyD

Considere um campo vetorial (a1 (x), a2 (x)) = a(x) C 1 (D), tal que

a1 a2 + integrvel e a x1 x2

(1.14)

+

+

Demonstrao. Restringimos a demonstrao a uma caso em que x cortado em cada linha ca ca e paralela aos eixos OX, OY em dois pontos

Figura 1.3: Representaao da curva . c Observe quex2 (y) x1 (y)

a1 dx = a1 (x1 (y), y) a2 (x2 (y), y) xx2 x1 x2 x1 x2

eD

a1 dxdy = x = =

a1 (x1 (y), y)dy a1 (x1 (y), y)dy +

a2 (x2 (y), y)dyx1 x1

a2 (x2 (y), y)dyx2

a1 dy,+

utilizando resultados sobre clculos de integrais mltiplas de Riemann por integrais iteradas de a u Riemann. Similarmente a2 dxdy = a2 dx + D y e o resultado estabelecido. e 7

Exemplo 6. Coloque a1 = x e a2 = 0, segue-se que |D| = Similarmente, |D| = ydx

dxdy =D

xdy

Observao 2. Considere uma aplicao de D D via u = u(x, y), v = v(x, y) tal que a ca ca (u, v) > 0. aplicao injetora e ca e (x, y) Segue-se que se = D a orientao de ca e |D | = udv =+ +

u(vx dx + vy dy) =D

(u, v) dxdy (x, y)

aplicando o Teorema de Green. Observao 3. As idias bsicas de geometria diferencial e superf ca e a cies evoluiram no sculo XIX e nas mos de Gauss, Riemann e Darboux, para assumir formulaoes mais modernas na noo a c ca de variedade de Weyl no contexto de superf de Riemann. Esta noo de variedade envolve cie ca o conceito de um atlas de cartas. A verso semi-clssica dada aqui funciona adequadamente. a a Resumimos a seguir aspectos centrais. Consideramos uma espao vetorial nito X (Sobre R ou C) com base {e1 , ..., en }. Tal base c determina uma orientao. Duas bases {e1 , ..., en } e {e1 , ..., en } so equivalentes sob orientao ca a ca denindo L : X X por Lej = ej , det L > 0. Uma aplicao C f : U X X, U aberto, ca (f1 , ..., fn ) > 0. preserva orientao se ca (x1 , ..., xn ) Em geral uma C k -variedade real de dimenso n descrita por um atlas de cartas (U, ), a e U Rn . No caso que duas cartas admiss veis (U, ) e (V, ) em M satisfazem ou U V = ou que 1 : (U V ) (U V ) preserva orientao, dizemos que as cartas so compat ca a veis sob orientao. Se todas as cartas so compat ca a veis sob orientao o atlas de M orientado. ca e Considere Rn = { : 0}, A Rn relativamente aberto se existe um aberto U Rn e tal que A = U Rn . A denio de um C k -variedade real de dimenso n com fronteira M e ca a feito em termos da existncia de um atlas de cartas (U, ) tal que (U ) relativamente aberto e e em Rn . Um ponto x M um ponto de fronteira ou um ponto interior se (x) se um ponto e e n de fronteira ou um ponto interior de R . Existe o seguinte resultado tcnico: e n k Suponha que M R uma C -variedade orientado de dimenso n com fronteira M . Ento e a a o atlas orientado para M induz um atlas orientado para M . De fato, localmente uma vizinhana de x M descrito por 1 da forma c e (0, 2 , ..., n ) (0, 2 (1 , ..., n ), ..., n (1 , ..., n )). Sabemos do fato que M orientado que e (1 , ..., n ) > 0. (1 , ..., n )

8

Claramente, em M , 0 = 1 (0, 2 , ..., n ), j = j (0, 2 , ..., n ) segue-se que1 1 2 1

j = 2, ..., n,

0 0 e assim > 0 ou que (2 , ..., n ) 1 (2 , ..., n )

(2 , ..., n ) preserva orientao. ca Com estas preliminares sobre variedades e orientao introduzidas apresentamos uma verso ca a clssica do Teorema de Stokes, sendo essencialmente aquela do livro de Courant. a

1.5

Integrao sobre superf ca cies: heur sticas

O contra-exemplo de Schwarz d um aviso dos cuidados que uma teoria geral de integrao a ca sobre superf cies requer. Aqui superamos estas diculdades supondo um relativamente alto grau de regularidade utilizando uma denio anal ca tica de rea. a Considere a rea da superf S representada por a cie z = f (x, y), (x, y) D R2 D contido numa curva de Jordan e f C 1 (D). Considere uma cobertura de D por uma grade (mh, nk) e superf cies contidas nas curvas C1 , C2 , C3 e C4 , C1 = f (x, nk) C2 = f ((m + 1)h, y) C3 = f (x, (n + 1)k) e C4 = f (nh, y) nk y (n + 1)k A rea Smn aproximada pela rea do quadriltero mn com vetores P1 = (mh, nk, f (mh, nk)), a e a a P2 = ((m + 1)h, nk, f ((m + 1)h, nk)), P3 = ((m + 1)h, (n + 1)k, f ((m + 1)h, (n + 1)k)) e P1 = (mh, (n + 1)k, f (mh, (n + 1)k)). Colocando mn = f (mh, nk), o plano tangente T em P1 e f f z mn = (mh, nk)(x m ) + (mh, nk)(y n ) x y pondo m = mh e n = nk. 9 mh x (m + 1)h nk y (n + 1)k mh x (m + 1)h

Figura 1.4: Representaao de um segmento de area Smn . c Supondo que T faz o ngulo mn com o plano-xy e que Dmn a rea da projeo de mn a e a ca no plano-xy. Segue-se que Dmn = mn cos (mn ). Mas fcil calcular que e a cos (mn ) = 1+ e assim que mn = Dmn 1+ f 2 f 2 (m , n ) + (m , n ). x y 1 f (m , n ) 2 f (m , n )2 + x y

Somando estas reas sobre os pontos da grade interno a D no limite m, n , temos am,n

mn A =

D

1 + |f |2 dxdy

Esta argumentao heur ca stica sugere que denimos a rea da superf S por a cie |S| = e denimos a d = 1 + |f |2 dxdy como o elemento de rea da superf z = f (x, y). a cie Suponha que S representada implicitamente por e (x, y, z) = 0 e sobre S, z

D

1 + |f |2 dxdy,

= 0, por exemplo

z

> 0. Assim, localmente z = z(x, y) sobre S e segue-se que , z = , y y z

z = x x z dando a expresso e a |S| = x2

+

D

y 10

2

+

z

2

dxdy z

Nesta discusso, um papel especial foi dado ` coordenada z, mas podemos igualmente ter a a representado a rea por integrais da forma a 1+ x y2

+

x z

2

dydz

ou

1+

y x

2

+

y z

2

dxdz,

levando no caso impl cito a ||2 dxdz y e ||2 dydz x

Estas expresses denidas de fato do a mesma rea. o a a Aplique a transformao ca x = x(y, z) y = y a integralD

||2

dxdy z (x, y) = e segue-se que (y, z) z x ||2D x

onde x = x(y, z) obtida da equao (x, y, z) = 0. Mas e ca ||2D z

dxdy =

dydz

E mais elegante supor que S uma superf com uma representao paramtrica regular: e cie ca e x = (u, v), (u, v) R R2 , tal que (x, y) (y, z) (z, x) , , (u, v) (u, v) (u, v) Suponha que em R, =0 , (u, v) R y = (u, v), z = (u, v),

(x, y) > 0. Do teorema da funo Inversa, ca (u, v) u = u(x, y) v = v(x, y)

e u x v x u y v y (x, y) , v (u, v) (x, y) = , u (u, v) (x, y) = , v (u, v) (x, y) = . u (u, v) = 11

Utilizando, z u z v z = + , x u x v x z u z v z = + , y u y v y obtemos que 1 + |z|2 = Por mudana de variveis, c a 1+D

1(x,y) (u,v)

(x, y) (u, v)

2

+

(y, z) (u, v)

2

+

(z, x) (u, v)

2

.

|z|2 dxdy

=

1(x,y) R (u,v)

(x, y) (u, v)2

2

+

(y, z) (u, v)2

2

+

(z, x) (u, v)2

2

(x, y) dudv (u, v)

=R

(x, y) (u, v)

+

(y, z) (u, v)

+

(z, x) (u, v)

dudv

=R

2 2 2 J1 + J2 + J3 dudv

Observe que dado que a representao regular, um Ji = 0 e a apropriada integral projetada ca e igual ao valor da representao paramtrica. e ca e A primeira forma quadrtica fundamental de geometria diferencial, a ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , com E = + + u u u + + , F = u v u v u v 2 2 G = + + v v v2 2 2 EG F 2 = J1 + J2 + J3 . 2 2 2

,

2

,

resulta na representao ca Vale a pena observar que considerando o produto vetorial ru du rv dv = (J1 , J2 , J3 )dudv, temos a noo da rea orientada com valor absoluto ca a |ru du rv dv| =2 2 2 J1 + J2 + J3 dudv

At o presente momento restringimos nossa ateno ao caso de superf e ca cies de dimenso dois a imersas em R3 . Podemos generalizar isso da seguinte maneira: Considere uma superf representada por cie x1 = 1 (u1 , ..., ur ) . . . xn = n (u1 , ..., ur )

,

(u1 , ..., ur ) D Rr , r n,

12

tal que x = (u) C 1 (D). Considere a matriz x1 x2 u1 u1 . ... . . x1 x2 ur ur

e vel E poss formar desta matriz menores D , = 1, ..., n , e poss considerar que uma vel r aproximao quadrilateral da rea da superf tem projees em r = 1, ..., n direes. ca a cie co co r Isto leva-nos a uma denio da rea A de uma r-dimensional superf ca a cie A= (D )2 du1 dur

xn u1 xn ur

D

Vamos demonstrar que essa denio totalmente apropriada para o caso r = n 1. ca e Suponha que S pode ser representado como (x1 , ..., xn ) = 0 , com rea a |S| = || xn

= 0, xn

dx1 dxn1 .

(com a mesma argumentao heur ca stica usada no caso n = 3), ou por xi = i (u1 , .., un1 ), Observe que Di = Sabendo que (x1 , ..., x1 , x+1 , ..., xn ) (x1 , ..., xn1 ) D = Dn (u1 , ..., un1 ) (u1 , ..., un1 ) (x1 , ..., x1 , x+1 , ..., xn ) = (x1 , ..., xn1 ) e que xn xn xi

i = 1, ..., n 1,

u D,

(x1 , ..., xi1 , xi , ..., xn ) = (u1 , ..., un1 )

1 . (u1 , ..., un1 ) (x1 , ..., xi1 , xi , ..., xn )

+

xn

= 0, i = 1, 2, ..., n 1, conclu mos que xn D = = , Dn x x xn

expandindo em termos da mesma la. Observe que |S| = = || (x1 , ..., xn1 ) du1 un1 (u1 , ..., un1 ) xn

D

||D xn

Dn du1 un1 . 13

O resultado vlido se e a

|| xn

Dn = xn 2

2 Di

ou se ||2 =

2 Di , 2 Dn o que o caso, lembrando do Teorema de Binet-Cauchy (Archbold [2], 8.2,5.2 ou Littlewood e [9] pgina 154) que arma que a n 2 Di = i=1

x x , ..., u1 un1

T

x x , ..., u1 un1

1.6

Os Teoremas da Divergncia e de Stokes e

Suponha que uma regio V com fronteira V admite uma disseo regular relativa aos eixos a ca F 2 (OX, OY )OZ no seguinte sentido: V = i=1 Vi , onde cada Vi tem fronteira Vi3 , Vi3 descrita (3) (3) por x3 = 1 (x1 , x2 ), z = 2 (x1 , x2 ) e uma superf cil cie ndrica com geradores paralelos a OZ e tal que o plano tangencial existe e no perpendicular ao plano XOY , salvo talvez na curva a e V2 V22 . Similarmente para dissees relativas a OX e OY . Tambm, supomos que V tem co e contedo de Jordan nito. u Podemos introduzir como nas sees anteriores as integrais de superf co cie V3 f dx1 dx2 , etc. Teorema 2. Teorema da Divergncia: e Suponha que (X1 , X2 , X3 ) C 1 (V C 0 (V )) e V tem uma disseo regular com respeito aos ca eixos (OX1 , OX2 , OX3 ). Ento, a X1 dx2 dx3 + X2 dx1 dx3 + X3 dx1 dx2 =V V

div(X1 , X2 , X3 )dx1 dx2 dx3

Demonstrao. E suciente demonstrar que ca Vi (1)

X1 dx1 dx2 dx3 = x1

X1 dx2 dx3Vi

ca ca Seja i a projeo do elemento da disseo Vi no plano X2 OX3 . Entre por um teorema conhecido do teorema da integral de Riemann, temos que X1 dx1 dx2 dx3 = x1 = =Vi 2 2(1) (2)

dx2 dx3

Vi

2

(1)

X1 dx1 x1(1) (1)

(1) 2

X1 (x2 , x3 , 2 (x2 , x3 )) X1 (x2 , x3 , 1 (x2 , x3 )) dx2 dx3

X1 dx2 dx3 ,

com relaes semelhantes para as dissees com respeito aos outros eixos. Somando em i co co obtemos o resultado. A seguir demonstraremos uma verso clssica do teorema de Stokes reduzindo a demonsa a trao essencialmente a uma aplicao do teorema de Green em duas dimenses, o mesmo sendo ca ca o uma conseqncia do Teorema Fundamental do Clculo. ue a 14

1.6.1

O Teorema de Stokes

Considere D R2 compacto com D uma curva de Jordan (homeomorfo a um c rculo), que e seccionalmente diferencivel. Seja D0 o interior de D e suponha que (n( ), (t( )) so positia a vamente orientados, n( ) sendo o vetor normal exterior, [0, 1]. Considerem superf cies S compostas de imagem da regio D, limitadas por curvas fechadas C = S, a S = (D), injetora e diferencivel a (u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)), tal que a orientao preservada coerentemente. Isto dizer que se S = 1 (D1 ) e S = 2 (D2 ), ca e e 1 (2 , 1 ) > 0 e (D1 , D1 ) tem orientao positiva. ca D2 = 1 1 (D1 ), ento a 2 (u, v)

Figura 1.5: Representaao geomtrica c e . Considere o campo vetorial A = (a1 , a2 , a3 ) e a integral de superf cie vetor normal de S (positivamente orientado). A dS = a1 dx2 dx3 + a2 dx3 dx1 + a3 dx1 dx2S S

A dS, com o

S

Pelo resultado sobre transformaes de integrais co A dS = a1D

S

(x3 , x1 ) (x1 , x2 ) (x2 , x3 ) + a2 + a3 (u, v) (u, v) (u, v) i j x2

dudv

Agora vamos escolher k x3

A=B= e escrever (x2 , x3 ) = 1 , etc. (u, v) Segue que

x1

B1

B2

B3

1S

2 x2

3 x3

BdS =

D

x1

dudv

B1

B2

B3

Observe que agrupando termos em B1 obtemos B1 (x1 , x2 ) B1 (x1 , x3 ) x2 (u, v) x3 (u, v) 15

e somando 0 equivale a x1 v

B1 (x1 , x1 ) , x1 (u, v) x1 u B1 x1 B1 x2 B1 x3 + + x1 v x2 v x3 v etc.

B1 x1 B1 x2 B1 x3 + + x1 u x2 u x3 u =

(B1 , x1 ) , (u, v)

Conclu mos que B dS = (B1 , x1 ) (B2 , x2 ) (B3 , x3 ) + + (u, v) (u, v) (u, v) dudv

S

D

Mas aplicando o Teorema de Green em duas dimenses (Teorema de Stokes!) obtemos que, por o exemplo, (B1 , x1 ) dudv = (u, v) = x1 x1 du + B1 dv u v D x1 d B1 C B1

D

e similarmente para os termos envolvendo B2 , B3 . Somando, nalmente conclu mos que B dS = =C

S

C

B

x1 x2 x3 , ,

d

B dS.

Demonstramos o teorema de Stokes: Teorema 3. Teorema de Stokes Suponha que S uma superf C 1 bordada pela curva C seccionalmente diferencivel, S e e cie a 1 C sendo coerentemente orientadas e B C (D), D aberto, D S. Ento aS

B dS =

C

B ds.

Aplicao caConsidere o c rculo C = (cos , sen , 0), 0 2 no plano xy e seja o ngulo slido a o 2 2 gerado pelo disco x + y 1, z = 0, no ponto P = (x, y, z) = r. Suponha que P descreve a curva fechada orientada que no cruza o c a rculo C e seja p o nmero de vezes que cruza o u 2 2 disco x + y < 1, z = 0 de cima (z > 0) para baixo (z < 0) e n o nmero de vezes que cruza de u baixo (z < 0) para cima (z > 0). Supondo que P comea no ponto P0 em com = 0 , mostre c que P movendo em voltar a P0 com um valor = 1 satisfazendo 1 0 = 4(p n). a Utilizando o exerc 3 observe que cio = (r r) dr |r r |3 16 , r C

C

e 1 0 = d =

dr dr

= = Finalmente concluimos que

C

(r r) dr |r r|3 C (r r) (dr dr ) . |r r|3

C

(r r) (dr dr ) = 4(p n) |r r|3

(Gauss).

Segue-se que

Este resultado pode ser interpretado como o nmero de voltas que faz ao redor de C. u Considerando e C como linhas obtemos como uma condio necessria que e C possam ser ca a separadas, mas esta condio no suciente. ca a e Existem outras interpretaes f co sicas alternativas da frmula acima. Recordamos que cono forme a lei de Biot-Savart, o campo magntico induzido por uma corrente unitria I uindo e a em C dado por e (r r ) dr 1 H(r) = c C |r r |3 1 c 4 H(r)dr =

c 4

S()

( H(r)) dS =

S()

dS,

sendo S() uma superf com borda , e a contribuio ao uxo dado somente aos pontos e cie ca e onde C intersepta S(). Ns, estruturas com elos e entrelaamentos ocorrem em diversas reas da cincia, tal como o c a e f sica de plasmas (conteno de plasmas), f ca sica de pol meros, biologia molecular e a teoria de cordas csmicas e tem origem nos resultados originais de Kelvin sobre a invariana de ns de o c o tubos de vrtices entrelaados em uxos de uidos governados pelas equaes de Euler. o c co Considere um campo magntico B(x, t), B = 0, carregado por adveco de um uido e ca com velocidade v, B =vB t e se d = v((x, t), t) dt (x, 0) = x, B((x, t), t) = t eu((x,s),s) B0 (x), 0 vi . u = xj

(Cauchy)

Esta expresso para B estabelece uma correspondencia topologica entre B0 (x) e B(, t) presera vando ns e entrelaamentos na estrutura do campo magntico. Se A um vetor potencial para o c e e B, B = A, ento a helicidade H do campo B, H = A Adx, uma generalizao a e ca de invariante de Hopf, chamado por Arnold o invariante assinttica de Hopf. H = 0 signica o que h entrelaamento em mdia das linhas de foras. a c e c 17

Novas invariantes foram introduzidas por H. K. Moatt (The Energy spectrum of knots e links, Nature, 347, 1990, 367-369). Em biopol meros, considerado que um anel fechado de DNA pode ser caracterizado por e duas invariantes topolgicas: o tipo de n formado pela dupla hlice como um todo e o eno o e trelaamento de uma corda com outra. c Descrevemos um parmetro de torso Tw pelo nmero de voltas que uma corda faz em torno a a u da outra. J. White demonstrou que Lk = Tw + Wr , onde Lk coincide com a integral de Gauss para as duas cordas e uma invariante topolgica e e o Wr = 1 4 (dr1 dr2 ) (r1 r2 ) |r1 r2 |3

C

C

Veja seo 42 de livro de A. Yu. Grosberg A. R. Khokhlov (Statistical Physics of Macromoleca cular, AIP, New York, 1994).

1.7

Denio intr ca nsica de operadores vetoriais

Os teoremas de divergncia e de Stokes so uteis na medida que podemos dar denies invae a co riantes de operadores como div, curl e . Heuristicamente, temos do enunciado do teorema de Stokes queC

u dS =

S

u dS |S|( u)(P0 ), P0 S,

se dimetro de S pequeno e u cont a e e nua em S. Similarmente,V

u dS (div u)(P0 )|V |,

se dimetro de V pequeno. Isto sugere a denio de div e curl via a e ca curl u = lim e div u = lim|V|0 S

|S|0

u dS |S|V

que so claramente independentes do sistema de coordenadas. a Considere o sistema de coordenadas curvil neas denido via xi = xi (1 , 2 , 3 ), i = 1, 2, 3, a : D1 D,

u dS , |V|

onde u sobrejetora e injetora, com D1 e D regies abertas de contedo de Jordan nito. e o u Suponha que associado com x h a primeira forma quadrtica fundamental, a a2 2 2 ds2 = h2 d1 + h2 d2 + h2 d3 . 3 2 1

Isto dizer que o sistema ortogonal. e e Evidentemente, = 1 1 1 , , h1 1 h2 2 h3 3 18 .

Suponha que o paralelep pedo

mapeado na regio T denida pelas superf e a cies U1 = {x1 = u1 } U2 = {x1 = u2 } Ento aT

u1 1 u2 , v1 2 v2 , T1 = w1 3 w2 , V1 = {x2 = v1 } V2 = {x2 = v2 } W1 = {x3 = w1 } W2 = {x3 = w2 }.

a dS = =

div adx1 dx2 dx3T

div aT1

(x1 , x2 , x3 ) d1 d2 d3 (1 , 2 , 3 )

=T1

div a h1 h2 h3 d1 d2 d3

onde T = U1 V1 W1 U2 V2 W2 . MasT

a dS =

(a1 h2 h3 d2 d3 + a2 h1 h3 d1 d3 + a3 h1 h2 d1 d2 )T1

T1

(a1 h2 h3 ) + (a2 h1 h3 ) + (a3 h1 h2 ) d1 d2 d3 1 2 3

Aplicando o Teorema de Divergncia, continuidade e a arbritariedade do paralelep e pedo T1 , div a = 1 h1 h2 h3 (a1 h2 h3 ) + (a2 h1 h3 ) + (a3 h1 h2 ) . 1 2 3

No caso que a = , obtemos div = = 1 h1 h2 h3 1 h2 h3 h1 1 + 2 h1 h3 h2 2 + 3 h1 h2 h3 3 .

Podemos tratar similarmente com curl.3

adS =S j=1 3 S (j)

a(j) dS(j)

=j=1

curl aj |S j |

O clculo curl a pode ser efetuado na seguinte maneira: Considere a lim a(j) dS , |S j | Cj = S j formado, por exemplo, por (W1 , U2 , V2 , W2 ).

|S|0

Cj

Em particular considere a integral curvil nea do vetor (a2 h2 , a3 h3 ) na borda dej S1 =

v1 2 v2 w1 3 w2 19

j com |S1 | h2 h3 vw. Segue-se que

v0,w0

lim

S j

(a2 h2 , a3 h3 ) (d2 , d3 ) = vwh2 h3

(a3 h3 ) 2

h2 h3

(a2 h2 ) 3

= (curl aj )1 ,

onde v = v2 v1 e w = w2 w1 . Os outros componentes podem ser calculados da mesma maneira. Vamos resumir alguns casos especiais importantes: 1. Coordenadas cil ndricas (r, , z). ds2 = dr2 + r2 d2 + dz 2 , h1 = 1, h2 = r, h3 = 1, 1 , , , = r r z 1 a = (ar r) + (a ) + (az r) , r r z 1 1 = r + + r r r r r z z 2 2 2 1 1 = + + 2 2 + 2, 2 r r r r z 1 1 a= az a r , ar az , a r ar r z z r r r 2. coordenadas esfricas. e ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 sen2 d 2 , h1 = 1, h2 = r, h3 = rsen , 1 1 , , , = r r rsen 1 a = 2 (ar r2 sen ) + (a rsen ) + (a r) , r sen r 1 1 r2 sen + sen + = 2 2 r sen r r sen 2 2 2 2 1 cot 1 = + 2 2 + 2 + 2 2 + , 2 r r r r r r sen 2 2 2 LB + 2 , + = r2 r r r 2 1 2 + cot + 2 sen2 2 o operador de Laplace-Beltrami na esfera. e 1 2 r2 sen2 (a rsen ) (a r) ar 1 (a sen ) a= rsen r 1 (a r) ar r r LB = 20 onde

.

,

1.81.8.1

Aplicaes do Teorema de Divergncia a teoria do co e potencialAs identidades de Green dS n

Suponha que V satisfaz as condies do teorema de divergncia e , C 2 (V ), ento co e a div ()dx =V V

Tambm, div () = + , ou eV

dx +

dx =V V

dS n

(Primeira identidade de Green). Trocando o papel de e , obtemos: dx + =V V

V

dS n

(1.15)

e subtraindoV

dx =

V

n n

(Segunda identidade de Green) Suponha que P0 V 0 (interior de V ) e que r = |x x0 |, x0 = OP0 . Considere a esfera = B(x0 , ), < dist(P0 , V ), e a regio exterior a bola V = V \. Claramente, a 1 r = 0 em V (clculo direto) a1 , r

e podemos aplicar a segunda identidade de Green a 1 dx = r V

, obtendo

V

n

1 r

1 r n

dS +

n

1 r

1 r n

dS

1 1 1 1 = (direo do ca = = 2 r= = 2 , r= r= n r r r r n r vetor normal externo a B est na direo ), dS = 2 dw. Segue-se que a ca r Mas em B, r = ,B

1 + 2 r

2 dw =

+

r

dw 4(P0 )

. se 0, utilizando a continuidade de r Tambm e 1 V r

V

r

( aqui que precisamos de C 2 (V ) e no C 2 (V ) C 1 (V )). e a 21

Consequentemente, obtemos 4(P0 ) = dx + r 1 r n n 1 r dS, P0 V 0 (1.16)

V

V

(Terceira Identidade de Green). 1 , r No caso que P0 V , a segunda identidade de Green pode ser aplicada diretamente a dando 0= dx + r 1 r n n 1 r dS.C

V

V

Suponha que =dist(0, V ) + e lim sup V

1 r n n 1 4

1 r dx r

dS 0

ento a 4(P0 ) =

dado que a ultima integral existe. Suponha que harmnica: ( 0 em V ). Colocando = na primeira identidade de e o Green obtemos que ||2 dx = dS n V V e se = 0 em V ou = 0 em V conclu mos que = 0 em V (via continuidade). No caso n que V simplesmente conexo, conclu e mos que =constante em V e se = 0 em V , ento a = 0 em V . Este resultado d um resultado de unicidade para o problema de Direchlet. De fato, supondo a que 1 = 2 = 0 em V e 1 = 2 em V . Colocando = 1 2 , ento = 0 em V e a = 0 em V e assim 0 em V . Se e so harmnicas, da segunda identidade de Green: a o V

n n

dS = 0

e pondo = 1, obtemos que V

dS = 0. n

Observamos tambm que da terceira identidade de Green, e 4(P0 ) =V

0 =V

1 r n n 1 r n n

1 r 1 r

dS, dS,

P0 V 0 P0 VC

(Teorema de representao de Poisson) ca

22

Considere a bola B(P0 , r), segue se que 4(P0 ) = ou (P0 ) = utilizando que dS B n

1 r

B

1 dS + 2 n r

dS =B

1 r2

dS (Teorema do valor mdio), eB

1 4r2

dS,B

= 0 para harmnica. (O teorema de Gauss) o

Considerando a regio V2 \V1 com fronteiras V2 , V1 , com vetores normais exteriores n2 , a n1 e supondo harmnica em V2 \V1 , sendo vlida as condies do teorema da divergncia, o a co e segue-se que 0= div dx = dS + dS V V1 n1 V2 n2 ou dS = dS. V1 n1 V2 n2 Do teorema da Representao, pondo 1, caV

n

1 r

dS =

4, 0,

P0 V 0 C P0 V

Considere a bola B(0, R). Observe que B(0, R)C . AssimB

1 1 , r = |x x0 |, x0 B(0, R) e so harmnicas em a o r |x| 1 |x| 1 R 1 |x| n 1 r dS = 0.

1 r n

Segue-se que ou

1 R3

dw =

B

1 4 dS = n r R

B

1 dS = 4. n r

1.9

Estimativas a priori e princ pio do mximo a

Teorema 4. Suponha que harmnica em V 0 e C 0 (V ), ento o mximo e o m o a a nimo de so assumidos em V . a Demonstrao. Suponha que assuma seu valor mximo em x0 V 0 , ou seja, (x) (x0 ), ca a x V . Considere B(x0 , ) V 0 . Pelo teorema do valor mdio para funes harmnicas, sabemos e co o que 1 1 (x)dS (x0 )dS = (x0 ). (x0 ) = 2 4 S(x0 ,) 42 S(x0 ,) Se pelo menos num ponto y S(x0 , ) valer (y) < (x0 ), pela continuidade de segue que (x0 ) < (x0 ), que uma contradio. Assim, em S(x0 , ), (y) (x0 ). Suponha que e ca = (x0 , V ), ento (x) = (y), x B(x0 a rho)). Concluimos que: para y V S(x0 , )) = , (y) = (x0 ). 23

Teorema 5. Suponha que harmnica em V 0 e C 0 (V ) e V conexo. Se o mximo ou e o e a 0 o m nimo de assumido em V , ento uma constante. a e Demonstrao. Suponha que o mximo assumido em um ponto x0 V 0 . Tome um ponto ca a e 0 y V tal que y = x0 . Ligue x0 a y por um caminho poligonal L (Isso poss e vel, pois V e conexo). Coloque 0 = dist(x0 , V ) e suponha que x1 a ultima interseco de L com B(x0 , 0 ) e ca na direo x0 a y. Como no teorema anterior, (x1 ) = (x0 ). Coloque 1 = dist (x1 , V ) e x2 a ca ultima interseco de L com B(x1 , 1 ), novamente (x2 ) = (x0 ). Segundo esta maneira, para ca m |L| dist (L, V ) + 1, y B(xm , m ), m = dist (xm , V ) e (y) = (x0 ). Segue-se que (x) maxyV (y), x V . O valor deste resultado reside no seguinte: Teorema 6. Suponha que 1 , 2 so harmnicas em V 0 , 1 2 , x V , 1 , 2 C 0 (V ) e a o V conexa. Ento 1 (x) 2 (x) em V . e a Demonstrao. Coloque = 1 2 , ento 0 em V e harmnica em V 0 . Segue-se ca a e o que max 0xV

e o resultado demonstrado. e Similarmente se 1 2 em V concluimos 1 2 em V (Considere 1 e 2 ). Recordamos um nmero de identidades vetoriais de freqente utilizao: u u ca 1. = 0; 2. a = 0; 3. a = ( a) a; 4. (a) = a + a; 5. (a) = a + a; 6. (a) = a + a; 7. (a b) = b a a b; 8. (a b) = b a a b + a b b a; 9. a b = b a + b a + a b + a b. Estas identidades podem ser estabelecidas por clculo direto e cam como exerc a cio.

1.10

Diversos Exemplos na Teoria Potencial1 r = r r3 1 r r = 3 , r = 0. Segue-se que r2 r

r a) Temos r2 = 2rr = 2r ou r = , r = 0 e r 1 r = 1 r = div =

1 1 div r + r 3 3 r r 3 3 = 0. = 3 + r 4r r r 24

b) A velocidade v de qualquer ponto P (r) de um corpo r gido rodando com velocidade angular em volta de um ponto O movimentando com velocidade v0 dada por e v = v0 + r. Segue-se que v = ( r) = 2. c) Vamos colocar 1 no teorema de representao de Poisson. Assim, conclu ca mos que 4 = = V

n

1 r

dSV

Integral de Gauss dS cos r2 P0 V 0 .

V

nr dS = r2

cos e a a Mas cos dS a rea projetada no plano r e 2 a rea interceptada na esfera unitria e a r com centro P0 cone elementar com vrtice em P0 e linhas geradoras passando na fronteira de e dS. Isto dizer o ngulo slido gerado em P0 por dS. e a o d) Suponha que F = e = 4 em V . Aplicando o teorema da divergncia temos e queV

F dS =

V

div Fdx = 4

dxV

Lembrando por exemplo na teoria de Gravitao de Newton a fora F exercida por uma ca c part cula de massa m em O e de massa unitria no ponto r a e F= mr m = , r2 r

e cula m em O. onde m chamado o potencial em r da part r Tendo diversas part culas m1 , m2 , ..., mk em O1 , O2 , ..., Ok , com distncias r1 = |r O1 |, a ..., r1 = |r O1 |, o efeito aditivo: ek

F=i=1

mi rik

k

=

i=1

mi ri

Ponha V =

i=1

mi ri

e observe quek

V

=i=1

mi

1 ri

,

ri = 0,

i = 1, ..., k

= 0

25

Observe que o trabalho feito no campo de fora movendo a part c cula m do a um ponto de referncia P em um caminho C eP P

F dr =

m m dr = r r

P

=

m r

independe do caminho C. Um exemplo de fora conservativa. c e) Suponha que temos uma distribuio de massa cont ca nua em uma regio com densidade . a Tratamos com uma aproximao a distribuio i i em clulas com centro Oi e com potencial ca ca e i i . |r Oi |

i

Supondo que cont e nua em V e V tem contedo de Jordan Finito2 , podemos formar a integral u (generalizada) de Riemann: (y)dy I= . V |x y| Claramente, para F = m 1 , r

V

F dS = m

V

cos dS = 4m r2

e para F =

k i=1

mi , rik V

F dS = 4

mii=1 k

e com mi = i i ,V

F dS = 4

i i .i=1

No limite temos heuristicamente que F dS = 4 dx,V

V

e utilizando a equao F = e o teorema da divergncia ca eV

dx = 4

dx.V

Podemos supor o mesmo resultado para subregies regulares U V e utilizando continuio dade de e = 4 (a equao de Poisson). ca

2

Coincide com Volume denido pela Integral de Riemann

26

f. Seja PR um ponto de referncia e considere dois caminhos C1 e C2 ligando PR a P e tal e que C1 (C2 ) formam a fronteira de uma superf S regular. Ento cie aC1

C2

F dr = =

C1

C2

m dr r

S

m dS = 0 r

Mais geralmente, F dr = =S

C1

C2

C1

C2

dr

dS = 0

g) Em dinmica de uidos, para uxos irrotacionais costumeiro introduzir o potencial a e de velocidade u = e similarmente em eletrodinmica a E = em certas circunstncias. a h) Em f sica clssica considerado que plos magnticos isolados no acontecem, mas esto a e o e a a encontrados em pares m e m separados por uma distncia l, ml chamado o momento diplo. a e o

Figura 1.6: Aqui p = (x , y , z ) e p = (x, y, z) . O potencial em P dado por e = Segue que w 1 r = w x l x 1 r 27 + y l y 1 r + z l z 1 r , m m + = ml r r + r 1 1 r + r r l.

onde = ml. Mas x 1 r 1 ((x x)2 + (y y)2 + (z z)2 ) r2 x x x 2 x x = , etc. = 2 r 2r r3 = e = wr , considerando r na direo de P a P , o ca e r3V

Tambm w = e

x y z , , l l l

potencial em P . Se existe uma densidade de dipolos magnticos p, o potencial em P e e Observe que p dS = r =V

pr dx. r3

V

V

p dx r pdx r

V

pr dx r3

Segue-se que =V

div pdx + r

V

p dS . r

Uma distribuio supercial de dipolos cuja direo sempre normal a superf S chaca ca e cie e mada uma casca (ou camada) magntica. Se a densidade de dipolos por unidade de rea, e e a dS r o potencial associado ao dipolo dS 3 e se dS r = dSr cos , ento e a r = cos dS r3 d = 3 = d r3 r

com d sendo o ngulo slido subentendido em P por dS. O potencial da camada assim ( a o e uniforme) d =

com sendo o ngulo gerado pela camada em P . Observe que cresce de 2 a +2 a passando do lado (poo) ao lado (fonte). c Do exemplo e) resolvemos: b = 4t com b = e segue-se que b = j) Considere o problema de costruir b0 tal que b0 = a, div a = 0. tdx r =0 tdx r

28

Suponha que div a = 0 em um paralelep pedo. Construaz z

=z0

a2 dz (x, y) i + ( )1 = a1 ,

z0

a1 dz j + 0 k.

Ento a ( )2 = a2 dz + y e ( )3 = = a1 a2 + x y z0 z a3 dz + y z0 zz

= a3 (x, y, z) a3 (x, y, z0 ) + Se escolhemos (x, y) =y0 y

(x, y) . y

a3 (x, y, z0 )dy

ento, a ( )3 = a3 . Assim, b=z0 z y z

a2 (x, y, z)dz

y0

a3 (x, y, z0 )dy i

z0

a1 (x, y, z)dzj + 0 k

uma soluo de b = a. e ca

Mas em geral div b = 0. Coloque t =

div b . Do exemplo i) construimos b satisfazendo 4

b = 0 e b = 4t Coloque b0 = b + b , ento a b0 = b + b = a e b0 chamado o potencial vetorial de a. e b0 = b + b = 0.

k) Da terceira identidade de Green e exemplo c) (P0 ) =V

1 dx + r 4

V

1 r n n

1 r

dS,

P0 V 0

pode ser interpretado como a distribuio supercial de uma camada dupla ca 4 1 pode ser (ou dipolos) de densidade . Tambm do exemplo e), o termo envolvendo e 4 n 1 interpretado como a distribuies superciais de camada simples de densidade co . Segue-se 4 n que a terceira identidade de Green tem uma interpretao f ca sica bastante transparente e tal representao poderia ter sido postulado nesta base. ca Por outro lado, 29

1.11

Linhas de Campo e Tubos de Fora c

Considere um campo vetorial a(x) denido em uma regio V Rn . Uma linha de campo a e uma curva tal que d1 d2 dn = = = . a1 a2 an No caso que a um campo de velocidade, referimos a linhas de uxo. Se a : x V Rn e e uma funo, duas linhas de campo no podem ter intersecoes sem coincidirem. ca a c As linhas de campo juntas denem um tubo de campo (ou tubo de fora). c

Figura 1.7: Volume denido pelo tubo de fora e as seoes 1 e 2 . c c Considere o volume denido pelo tubo de fora e as sees 1 e 2 . Se div a = 0 em , c co pelo teorema de Gauss,

a d = 0.

Nas paredes do tubo a d = 0 e assim1

a d +

2

a d = 0

ou

a d = constante em uma seo de . ca = a fora do tubo (Conceito devido a Faraday). c

Um tubo unitrio um tubo de fora unitria. a e c a a dS calculada sobre uma superf fechada S dene o excesso de fora dos tubos de cie c S sa sobre aqueles de entrada. No caso que div a = 0 em S 0 , S a dS = 0, o que implica a da fora de entrada igual a fora de sa c e c da. Em outros termos: tubos de fora no podem originar c a nem terminar em uma regio onde div a = 0. a Um ponto onde tubos de fora tem origem chamado uma fonte e onde termina um c e sorvedouro. Uma fonte onde tubos de fora total 4m originam chamada uma fonte de fora m c e c e um sorvedouro onde tubos unitrios de fora total 4m terminam chamado um a c e sorvedouro de fora m. Podemos encarar um sorvedouro de fora m como sendo uma fonte de c c fora m. c Suponha que diva = 0 em S 0 exceto em uma fonte P0 S 0 de fora m, ento S adS = 4m c a (medindo o excesso de fora dos tubos de sa sobre os tubos de entrada). c da 1 Considere um campo de velocidade u denido em uma regio V , u CB (V ). As linhas de a uxo so denidas por a dx2 dx3 dx1 = = u1 u2 u3 30

e as linhas de vorticidade por dx1 u3 u2 x2 x3 = dx2 u1 u3 x3 x1 = dx3 u2 u1 x1 x2 .

1.12

Cinemtica dos Fluidos a

Existem essencialmente duas descries de cinemtica de uidos: co a 1. Aquela de Euler que especica em cada ponto P = (x, y, z) D R3 e tempo t, um campo de velocidades u(x, y, z, t); a massa espec ca (x, y, z, t); as foras resultantes c f (x, y, z, t) atuando no uido e o tensor de tenses ij (u). o 2. Matematicamente a descrio de Lagrange consiste em observar o movimento de um ca elemento xo de um uido e seguir sua evoluo: Isto descrever a trajetria (t) de um ca e o elemento inicialmente localizado no ponto (x0 , y0 , z0 ) em t = 0, ou seja d = u(, t) dt xi (0) = x0i , x01 = x,

x02 = y,

x03 = z.

Em geral, uma quantidade H descrevendo alguma propriedade do uido pode ser descrita nas formulaes Euleriana e Lagrangeana: co HL (x, y, z, t) = HE ((x, y, z, t), t) (Lagrangeana) (Euleriana) Observe que dHL (x, y, z, t) = dt 1 2 HL + + y t t HL HL = u(, t) (, t) + , x t HL x DH = dt u H + H t HL z 3 + t HL t

leva a relao ca (, t).

Observe que salvo que u no depende explicitamente do tempo, as trajetrias do uido a o denidas por dxi = ui (x1 , x2 , x3 , t), dt xi (0) = xi0 i = 1, 2, 3

no coincidem necessariamente com as linhas do uxo. a Para convenincia vamos escrever a soluo das equaes no-autnomas acima por i (x0 , t), e ca co a o assim di = ui (i (x0 , t), t), dt xi (0) = xi0 . 31 i = 1, 2, 3

Suponha que ui C 1 , ento e a ui d i = dt xj k i (0) = ij xj e vamos escrever a matriz Jacobiana J =i xj

k xj

. Assim,

dJ ui = (i (x0 , t), t)J dt k J(0) = [ij ]. Um teorema bem conhecido de Liouville3

arma que

ui d(det J) = trao c det J dt k det J(0) = 1, e segue-se que det J = exp trao c ui k = exp (div u) t. t

Por exemplo, a acelerao a de um uido dada por ca e a(x, y, z, t) = onde u Du = u u + (x, t), dt t

Du chamada derivada material por razes evidentes. e o dt Da identidade (9) da seo (1.9) ca u (u2 ) 2u u u Du = u u + = + a= dt t 2 t

e introduzindo a vorticidade = u Du u (u2 ) a= = + u . dt t 2

1.13

Leis de conservao de um uido ca

Considere o volume V0 . A massa do uido neste volume e dx e a massa do uido que V0 atravessa um elemento de rea de superf por unidade de tempo u ndS. Segue-se por a cie e conservao de massa que: ca u dS = t dx = dx. t

V03

V0

V0

Hale, Jack K.. Ordinary dierential equations. 2 and. New York: Robert E. Krieger, 1980. xvi, 361 p. : il.

32

Pelo teorema da divergncia, e u dS = div (u)dx = dx. t

V0

V0

V0

Sob adequadas condies de continuidade conclu co mos que + div u + u = 0 ou t D + div u = 0. dt

No caso que h uma fonte no interior de V0 , temos que a D + div u = 4. dt D O uido chamado incompress se e vel = 0. dt Considere um elemento do uido contido no volume V com superf V , sujeito a foras cie c de volume F por unidade de massa, que movimenta com o uido. A massa do elemento e du dx. No caso de uidos constante e igual a V dx e a taxa de aumento de momento V e dt a clssicos e no viscosos, o uido exerce uma fora V pndS, com p a presso e n o vetor a a c normal a V . Utilizando mecnica newtoniana, segue-se que a du dx = dt =V

V

V

Fdx

pndSV

(F p)dx.

Sob adequadas condies de regularidade segue-se que co du p u =F = + uu (equao de Euler). ca dt t No caso barotrpico com p = p(), o p = (P ) , Suponha que F conservativa, ou seja e F = V. Segue-se que du = (V + P ). dtp

P (p) =

dp .

1.14

Teorema de Transporte de Reynolds

Seja D uma regio simplesmente conexa que contm uma regio V com fora de volume F por a e a c unidade de massa. A fora total agindo sobre part c culas movimentando em V e F(t) =V (t)

F (y, t)dy,

V (t) = (V )

=V

F ((x, t), t) Jdx, 33

onde J o determinante Jacobiano. Segue-se que e d d F(t) = dt dt =V

F(x, t)JdxV

dJ dF(x, t) J + F(x, t) dt dt

dx.

Se lembrarmos o resultado da seo (1.11), ca d F(t) = dt = = dF (x, t)J + Fdiv uJ dx dt V F + u F + div uF dx t V (t) F dx + Fu ndS. V (t) t V (t)

1.15

Circulao e Teorema de Kelvin ca

Considere um contorno fechado C descrito por s = s( ), 0 1, s(0) = s(1), s( ) reticvel a e sua imagem C(t) = (s(t), t). Denimos a circulao ca (t) =C(t)

u dS =

u((s(t)), t)d(s(t), t).C

Segue-se que d(t) = dt Mas por denio, ca e segue-se que d(t) = dt =C C

du(, t) d + u(, t)d dt d = u(0 , t) dt

d(s(t), t) dt

.

C

=C

du(, t) d + u(, t)d (u((t), t)) dt du(x, t) 1 d + d(u2 ()) dt 2 du(, t) (s(t), t). dt

Suponha que o uido clssico, no viscoso, barotrpico (p = p()) e com foras externas e a a o c conservativas. Da seo (1.13), segue-se que ca d(t) = dt (V + P ) d(s(t), t) = 0.

C

Sob as condies enumeradas acima vlido o teorema de Kelvin: co e a Teorema 7. A circulao de uma curva fechada reticvel movimentando com o uido consca a e tante. Como corolrios deste resultado podemos armar que a 34

Corolrio 1. Se o movimento inicialmente irrotacional, ento a circulao zero para cada a e a ca e circuito fechado, continuando ser zero sobre circuitos movimentando com o uido e assim o uxo continua sendo irrotacional. Corolrio 2. Tubos de vorticidade e linhas de vorticidade movimentam-se com o uido. a

1.16

Dinmica de Vrtices a o

Observamos que em duas dimenses a condio div v = 0 e equivalente a condio v = o ca ca (em regies simplesmente conexa) e as condies equivalente de corrente v = (y , x ). o co Neste caso a vorticidade = x v y u = . A equao de vorticidade tem a forma ca D = t + v = 0 em D dt = = 0 em D n v = (y , x ).

k k y = tan1 , uma funo multivalente que no ca a e 2 2 x =0 denida em r = 0. As linhas de corrente so c a rculos concentricos devido ao fato que r 1 k e a velocidade do uido em qualquer ponto (r = 0) e ou . A circulao C uds sobre ca r 2r 2 k d = k. A funo de corrente dada por = k ca e um c rculo com centro na origem 0 e 2 e consequentemente por k = log(r). 2 Em geral, N vrtices centrados nos pontos rj com circulao kj tem funes corrente o ca co kj log |r rj | = j . O campo de velocidades induzido pelo jsimo vrtice (ignorando e o 2 a interao com os outros vrtices) ca o e Considere o potencial = vj = (y j x j ) = kj 2N

Supondo que os vrtices se movimentam, produzindo um campo de velocidades o v(x, t) =j=1

y yj x xj , 2 |r r |2 |r rj | j

vj (x, t),

com vj dado como acima, permitindo os centros dos vrtices movimentar. E plaus que cada o vel vrtice deveria movimentar via a interao com o campo de velocidade agregado dos centros o ca dos vrtices, isto o e 1 dxj (t) = dt 2 dyj (t) 1 = dt 2N

kji=j

yj yi , 2 rij rij = |ri rj |.

N

kji=j

xj xi , 2 rij 35

A dinmica portanto obtida escolhendo os valores da circulao kj , j = 1, 2..., N e os a e ca pontos iniciais dos centros dos vrtices r0 , i = 1, 2, ..., N e resolvendo as equaes acima. A o co i circulao total k conservada e k = kj . ca e O fato que importante que estas equaes formam um sistema hamiltoniano: Dena e e co H= Segue-se que H yj H xj introduza xi = |kj |xi e yi =

1 4

i=j

ki kj log |ri rj |.

dxj , dt dyj = kj , dt = kj

i = 1, ..., N

|kj |sgn ki yi , i = 1, ..., N . Ento a H dxi = , dt yi dyi H = dt xi

e

dH = dt

H dxi + xi dt

H dyi = 0. yi dt

Consequentemente, H uma constante do movimento. Segue-se que se os kj s, j = 1, ..., N tm e e o mesmo sinal, no podem haver colises, isto , se |xi xj | = 0, i = j em t = 0, esta situao a o e ca preservado, porque caso contrrio H . e a Esta situao pode ser generalizada ao caso de N vrtice em uma regio D com fronteira ca o a D, com a nova condio que o uxo vj do j-simo vrtice devera satisfazer vj n = 0 em D. ca e o Isto equivalente a escolher a funo de corrente j , para o j-simo vrtice satisfazendo e ca e o j = 0 em D, n j = j = kj (r rj )

ou escolhendo j a ser kj G(r rj ) com G a funo de Green para o problema de Neumann ca e resolvendo dxj dt dyj dt (xj (0), yj (0)) = (x0 , y0 ) em t = 0. Para maiores informaes referimos ao livro por A. J. Chorin, J. E. Marsden. A mathemaco tical Introduction to Fluid Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1979 (p. 87-89). = = kj 2 yj G(rj ri )

i=j

kj 2

i=j

xj G(rj ri )

36

1.17

Eletromagnetismo

Faremos algumas observaes sobre as equaes de eletromagnetismo supondo que o leitor tem co co previo contato com o assunto atravs de disciplinas elementares de f e sica. Em meios materiais acontece o fenmeno de polarizao do meio e a necessidade de ino ca troduo do deslocamento eltrico D que expresso em termos de campo eltrico E do meio e ca e e e o vetor de polarizao via a relao ca ca D = E + 4P. O termo elementar eletrosttico dos meios macroscpicos dieltricos nos leva a Lei de Coulomb a o e envolvendo a densidade de carga D = 4.

Na interface S dos meios materiais com campos (E1 , D1 ), (E2 , D2 ) e carga supercial de densidade distribu em S, as relaes de fronteira da co (D2 D1 ) n21 = 4 e (E2 E1 ) n21 = 0

so satisfeitas, onde n21 o vetor unitrio normal ` interface orientado da regio 1 para a regio a e a a a a 2. Com respeito a magnetosttica, geralmente suposto que no existem cargas magnticas a e a e livres e a entidade bsica o dipolo magntico. O torque mecnico N exercido pelo campo a e e a magntico B sobre o dipolo magntico com momento magntico satisfaz N = B. Cone e e servao de carga exige que seja satisfeita a equao da continuidade ca ca + J = 0. t No caso de fenmenos magnticos estacionrios o e a J=0 e 4 J. c Aplicando o teorema de Stokes a superf S bordada pela curva C, cie B= B ds = B dS = 4 c J dS.

C

S

S

Uma vez que a integral de superf de densidade de corrente a corrente total I que passa cie e pela curva fechada C, a lei de Amp`re pode ser escrita na forma e B ds = 4 I. c

C

As leis bsicas de magnetosttica, na forma diferencial so a a a B = 37 4 J, c B = 0.

Observe que se B = 0 satisfeito em todos os pontos de uma regio simplesmente conexa e a com fronteira regular podemos introduzir o potencial vetorial A via B(x) = A(x). De fato em geral A(x) = 1 c J(x )dx + (x). |x x |

Para uma dada induo magntica, o potencial vetorial pode ser transformado via A A+, ca e uma transformao de calibre (Gauge transformation) entre a carga e a densidade de corrente ca J. Biot e Savart (em 1820) estabeleceram as leis bsicas experimentais relacionadas a induo a ca magntica B `s correntes. Supondo que ds seja um elemento de comprimento na direo de e a ca uxo de corrente de um o no carregando uma corrente I e r o vetor dirigido do elemento ao ponto de observao P , ento ca a ds r dB = kI . |r|3 Esta lei pode ser escrita na forma integral, B = 1 r r J(r ) dr c |r r |3 1 J(r ) = dr c |r r | J(r ) dr . | |r r 1 c 1 |r r |

e imediatamente B = 0. Tambm, e 1 B= c

Utilizando a identidade A = ( A) A, 1 B= c Utilizando as identidades junto com obtemos que J(r ) 1 |r r | dr

J(r )

dr .

1 |r r | 1 |r r |

=

1 |r r |

= 4(r r ), J(r ) dr . |r r | 4 J c 4 J. c

B=

1 4 J+ c c

A equao bsica agora toma a forma ca a A = ou

( A) A = 38

Utilizando a escolha div A = 0 (Calibre de Coulomb), A = 4 J. c

Faraday (1831) estabeleceu a relao entre o uxo magntico atravs de um circuito C ca e e c bordando um superf S, F = S BdS e a fora eletromotriz em torno do circuito = C EdS. cie mostrado que a lei de Faraday assume a seguinte forma E E dS = 1d c dt B dS

C

S

ou o teorema de Stokes na forma diferencial 1 B = E. c t Segue-se neste desenvolvimento que as leis bsicas de eletricidade e magnetismo, em forma a macroscpica e em unidades gaussianas, derivadas de observaoes em estado permanentes, o c exceto a Lei de Faraday, so as seguintes: a 1. Lei de Coulomb, 2. Lei de Amp`re, e 3. Lei de Faraday, D = 4; H= E+ 4 J; c 1 B = 0; c t B = 0;

4. Ausncia de plos magnticos livres, e o e 5. Lei da Conservao, ca + J = 0. t

Certamente (3) e (5) no podem ser sacricados. Observe da Lei de Amp`re a e 4 J = H = 0 ou J = 0, c mas isso incompat com (5) se e vel = 0. Por outro lado observe que t = 0.

1 D +J= J+ t 4 t

A partir desta observao, Maxwell modicou o conjunto das equaes. Sugeriu a reduo ao ca co ca caso de correntes estacionrias, substituindo a J J + e modicou a Lei de Amp`re na forma: e H= 1 D 4 J+ . c c t 1 D 4 t

Com esta modicao as equaes assumem a forma ca co 39

1.17.1

As equaes de Maxwell co D = 4 1 D 4 J+ H = c c t B = 0 1 B = 0. E + c t

com as condies de fronteira apropriadas4 : co (D2 D1 ) n = 4, n E2 E1 = 0, (B2 B1 ) n = 0, 4 k, n (H2 H1 ) = c k sendo a corrente supercial. Consideremos as equaes de Maxwell no espao R e com D = 0. De B = 0, introduzimos co c o vetor potencial A B=A e a lei de Faraday e E+ 1 A c t = 0,

o que implica a existncia de um potencial escalar tal que e E+ ou E = Obtemos assim 1 ( A) = 4 c t 1 2A 1 4 A 2 2 A + J. = c t c t c + B invariante sob a transformao e ca A A + e nesta circunstncia o campo eltrico tambm invariante se a e e e +4

1 A = c t 1 A . c t

1 c t

Determinadas integrando as equaoes de Maxwell c

40

de tal modo que se escolhemos = 0 (a condio de Lorentz) ca t 1 2 2 2 = 4 c t 1 2A 4 A 2 2 = J. c t c A+ Agora poss satisfazer esta condio dado que existe uma funo de calibre resolvendo e vel ca ca Observe que A A = A + 1 = + c t satisfaz a condio de Lorentz se (A, ) satisfaz ca 1 2 = 0. c2 t2 1 1 2 = A+ c2 t2 c t .

Noutro lado, utilizando o calibre de Coulomb A = 0, = 4, (x , t) dx = |x x | A

1 2A 1 4 = J+ . 2 t2 c c c t As equaes para e A tem essencialmente a mesma estrutura da equao com onda com fonte co ca conhecida, 1 2 2 2 = 4(x, t), c t onde c a velocidade de propagao. e ca

e

1.18

*Potenciais de Retardamentou + (x, y, z, t) = 0 em V.

A frmula de Kirchho: Considere o

Seja Q o ponto (x0 , y0 , z0 ), r = |x x0 |, x V . Introduza v(x, y, z, t) = u x, y, z, t

r . c

a E fcil vericar que se R = (x0 , y0 , z0 ), P = (x, y, z), r = |P Q|, v + 2r c x x x0 v r2 t + y y y0 v r2 t 41 + z z z0 v r2 t + [] = 0

r 1 e integre em um volume W contido em V . . Multiplique por c r No caso que Q W , Q no interior de S2 , W = (S1 S2 ), S1 sendo a superf externa. / cie Deixando o dimetro de S2 tender a zero, o valor da integral sobre S2 a e onde [] = x, y, z, t vQS2

n

1 r

dS = 4vQ .

Neste caso temos que 4uQ = com [] dx r vS1

n

1 r

2 v r 1 v dS, r n cr t n

u v r n = , n n n t [] dx r n 1 r 1 u 1 r u dS r n c1 n t

obtendo nalmente 4uQ = [u] (Kirchho).

Quando u e so independentes de t, obtemos que a 4uQ = dx r uS1

n

1 r

1 u dS r n

(Kirchho).

Supondo que S1 expande ao innito (se poss vel), simplicaes so poss co a veis. Suponha, por 1 exemplo, que para |x| grande, u(x, y, z, t) = 0 para t < t0 . Evidentemente t sempre cai c abaixo do valor de t0 quando r sucientemente grande e assim todas as quantidades [ ] = 0. e Tambm, S1 0 no caso que u, u 0, r tal que u = O 1 , u , u = O r12 . e t r t r Nestes casos, [] dx 4uQ = []=0 r (Esta frmula foi dada por G. Kirchho, Berlin Sitzungsber S., 641,1882 Wied Ann Bd XVIII o 1983, Ges. Abh. Bd II 523)

1.19

Energia do campo eletromagntico e

O trabalho Wi feito para trazer uma carga pontual ai do innito ao ponto xi em um campo eltrico descrito pelo potencial dado por Wi = ai (xi ). Se o potencial corresponde a uma e e seqncia de n 1 cargas qi , i = 1, ..., n 1, uen1

(xi ) =j=1

qj |xi xj | qi qj |xi xj |

e a energia potencial total W =

n

n

Wi =i=1 i=1 j 0, t x2 T0 se x > 0 T (x, 0) = 0 se x < 0.

Para obter que T (r, t) 0 com r necessrio que f e f 0 com . Mas f () = e e an r2

e busca a soluo na forma ca T (x, t) = T x Coloque z = . Observe que 2 t e x 2 t = T0 f x 2 t .

2T d2 f 1 = T0 2 x2 dz 4t

xT0 df z df T = 3/2 = T0 t 4t dz 2t dz e por substituio na equao de calor ca ca a2 d2 f df = 2z , 2 dz dz

Sujeito as condies f () = 0 e f () = 1. Por integrao co ca a2 e f =c Se f () = 1, c1 =1 . z2 f = z f = ce a2 f

z

e

2a

2

d = c1

z a

e d.

2

Segue-se que T0 T (x, t) = 2 x a2 t

e d.

2

Introduzindo a funo (integral de erro), ca 2 (x) = temos a expresso a T (x, t) =5

x 0

e d,

2

T0 2

1+

x 2 a2 t

.

Birkho, G. Hydrodynamics: a study in logic, fact and similitude, 2nd.ed.rev., Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1960

60

Se o valor inicial e T (x, 0) = Uma anlise similar vai dar a soluo a ca T (x, t) = e no caso o valor inicial e T0 2

T0 se x > x 0 se x < x

1+

xx 2 a2 t

e a soluo ca e

e no caso limite, x2 x1 0 ((x2 x1 )T0 = 1), T (x, t) =

x x2 x x1 . 2 a2 t 2 a2 t Esta condio inicial corresponde a uma quantidade total de calor Q = c(x2 x1 )T0 . Se ca Q = c, 1 x x2 1 x x1 T (x, t) = 2t x2 x1 2 2 a 2 a2 t T (x, t) = T0 2 1 2 x 2 a2 t

0 se x > x2 T0 se x1 < x < x2 T (x, 0) = 0 se x < x1

,=x1

temos uma concentrao de calor no ponto x1 com temperatura innita. Efetuando a derivao, ca ca(xx1 )2 1 1 T (x, t) = e 4a2 t . 2 a2 t

Exerc cios (Green e Stokes)1. Seja uma superf regular com borda uma curva fechada e suponha que A = (a, b, c) cie / . Considere o elemento de superf dS no ponto M = (x, y, z) de . Observe (veja cie cos dS exemplo c) que o ngulo slido denido pelo cone elementar com vrtice A e base dS a o e e , r2 MA n cos dS , com n o vetor normal unitrio em M . Interprete = a r = |M A|, cos = r2 |M A| como um ngulo slido e mostre que a o = (a, b, c) =

(a x)dydz + (b y)dzdx + (c z)dxdy ((a x)2 + (b y)2 + (c z)2 )3/2

.

2. Mostre que o valor de (a, b, c) independente de dado que a borda mantida xa. e e Intregrando sobre o exterior da superf cie, mostre que se fechada, ento 4 ou 0 e a e dependendo se A pertence ao interior do volume denido por ou ao exterior. (Dica: Verique 61

que div(x,y,z) c)).

| |3

= 0, com = (a x, b y, c z), e aplique a frmula de Gauss (exemplo o

3. Mosque que (a,b,c) (a, b, c) = (Dica: Observe que div(x,y,z) a com u = 0, v = a | |3 | |3 =

d independe de e depende somente de . | |3

= 0, tambm verique que e w v u w v u , , y z z x x y ,

yb zc ,w= e aplique o teorema de Stokes). 3 | | | |3 4. Mostre que se A est no lado do vetor normal exterior de que (a, b, c) 2 com a (a, b, c) (a0 , b0 , c0 ) . 5. Considere o Laplaciano associado com a mtrica e ds2 = k 2 (d 2 + d 2 + d 2 ) e v satisfazendo v = Mostre que u = k v + k v + k v = 0.

kv uma soluo de u = 0 se x v = 0 e k 1/2 = 0. e ca x y z 1 uma soluo de v = 0 e ca , , Conseqentemente, mostre que via inverso v = u u a R R2 R2 R2 se x u = 0, onde x = 2 , y = 2 , z = 2 , R2 = 2 + 2 + 2 e k 2 = R4 . R R R 6. a) Mostre que utilizando a representao de Poisson em R3 que se u = 0 e |u| M , ca segue-se que u =constante (Liouville). b) Utilizando a parte a) mostre que uma funo real harmnica em R3 constante ou uma ca o e aplicao de R3 em R1 . ca 7. Considere n part culas xas no plano se atraindo com uma fora central de magnitude c Mostre que no existem mais de n 1 pontos de equil a brio para uma part cula no campo (Dica: As posies so (x, y), (xj , yj ), j=1,...,n introduzem variveis complexas z = x + iy e co a a z = xj + iyj ).1 . r

Exerc cios (Aplicaes) co8. Mostre que uma superf fechada r cie gida sujeita a uma presso uniforme direcionada no a interior V 0 de ca em equil brio. (Dica: Sendo n o vetor normal direcionado no interior de , a mecnica elementar exige que a n dS = 0 e

x n dS = 0,

com x o vetor de posio de dS. Agora considere ca u n dS = 62 div u,V0

com u = (1, 0, 0), u = (0, z, y), etc). 9. Suponha que as linhas de corrente de um uido com velocidade u e divergncia div u = 0 e so as interseces das superf a co cies C 2 , f1 =constante e f2 =constante. Mostre que existe uma funo C 1 , , tal que u = f1 f2 e que ca (, f1 , f2 ) = 0 e = F (f1 , f2 ). (x, y, z) 10.Para um uido movendo em um tubo de seo varivel , mostre que se v a velocidade ca a e no ponto P e s o comprimento do tubo at este ponto, ento a equao da continuidade e a ca e () + (v) = 0. t s 11. Se a vorticidade = v em cada ponto de um uido incompress constante vel e mostre que v = 0. 12. a) Seja vm a velocidade no ponto r relativo a um sistema de referncia rodando em e volta da origem O com velocidade angular . Mostre que a equao de Euler tem a forma: ca 1 vm + vm vm + 2 vm + r + ( r) = F p. t t b)Mostre que se constante, as equaes toma a forma no caso incompress (divvm = 0) e co vel vm + 2vm (m + ) = F t onde2 Q2 = vm 2 r2 + ( r)2 .

p 1 2 + Q , 2

c) Mostre que no caso que o movimento incompreens e vel, barotrpico, com p() = o F = v e v = , ento a 1 2 p + v + vm + r vm = c(t). 2 t

p d , ()

13. Mostre que a energia cintica de um sistema nito de vrtices em um uido innito ao e o resto no innito tem a mesma forma T = 2 v r ( v)dx.

14. Seja (rj , j ), j = 1, ..., F as coordenadas polares no tempo t de um sistema de vrtice o i 1 2 2 = 2 i=k i k . de fora 1 , 2 , .... Mostre i i ri =constante e i i ri c t 15. Utilizando o Teorema de Gauss, mostre que na superf de um condutor, a derivada cie normal do campo eltrico E satisfaz e 1 E = E n 1 1 + R1 R2 ,

com R1 e R2 os raios de curvatura principais da superf cie. 16. Considere um uido homogneo, incompress e irrotacional. Mostre que v 2 0 e e vel p 0. 63

Exerc cios (Teoria Potencial)17. Considere um corpo slido com centro de massa G e momentos de inrcia principais em o e volta de G, A, B, C. Supondo que a massa do corpo m e I o momento de inrcia em volta e e e da linha GP ligando G a um ponto distante P e R = |GP |, mostre que o potencial V em P e aproximadamente m A + B + C 3I V + . R R3 18. Oito massas esto colocadas nos pontos (1, 1, 1). Mostre que em distncias grandes a a da origem 8m 14m (5(x4 + y 4 + z 4 ) 3r4 ). V 9 r r 19. A massa espec ca de uma casca esfrica na S, de centro O com massa total M e e 1 , onde Q um ponto de S. Mostre que o potencial V no ponto P , r = |OP |, P e = |OQ| externo a S, dado por e M a n Pn (cos ) V = . r n=0 r 2n + 1y 20. O potencial eletrosttico de um sistema dado por = A(x2 + y 2 + z 2 ) 2 tan1 x . a e Mostre que as linhas de fora pertencem as superf c cies3

x2 + y 2 + z 2 = B(x2 + y 2 ) 3 . 21. Uma superf condutora ligada a terra, que tem a equaao cie c r =a 1+ n=2

2

n Pn (cos )

colocada em um campo eltrico uniforme E paralelo ao eixo de simetria do condutor. Se e e quadrados e produtos dos n podem ser negligenciados, mostre que o potencial dado por e Ea + 3 n=1

1+

6 r

a r

2

n a

Pn (cos )+ a rn+1

n+1 n n1 + n+1 2n 1 2n + 3

Pn (cos )

22. Prove que se Vn uma funo homognea de x, y, z, de grau n e r2 = x2 + y 2 + z 2 , e ca e ento a (rm Vn ) = m(m + 2n + 1)rm2 Vn + rm Vn . Deduza o teorema de Kelvin, que se Vn uma funo harmnica, ento r2n1 Vn tambm e ca o a e e harmnica. o 23. Prove que se Vn uma funo homognea de x, y, z, de grau n que satisfaz a equao e ca e ca de Laplace, ento a p+q+s Vn xp y q z s uma funo homognea de grau n p q s satisfazendo a equao de Laplace. e ca e ca 64

24. Prove que se Vn (x, y, z) uma funo integral racional homognea de grau n, a funo e ca e ca 1 r2 r4 + 2 2(2n 1) 2 4(2n 1)(2n 3) Vn (x, y, z),

uma funo harmnica.[Dica: utilize os exerc e ca o cios 22 e 23]. 25. Um nmero de cargas pontuais ek so representados no plano cartesiano pelas coordeu a nadas (k , k , k ). Mostre que dentro de alguma esfra em torno da origem em que no existem e a cargas o potencial eletrosttico dado por a e (x, y, z) = quando Sn =k n=0

r n Sn

ek Pn (k ), n+1 k k = k x + k y + k z . k r

r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 ,

2 2 2 k = (k + k + k )1/2 ,

Mostre que se uma funo simtrica de x2 , y 2 e z 2 , ento Sn = 0 para n = 1, 2 e 3. e ca e a Procure expresses para o potencial eletrosttico prximo da origem, com corretos termos o a o em r4 , para: a) Seis cargas iguais a e nos seis pontos (a, 0, 0); (0, a, 0); (0, 0, a). b) Oito cargas iguais a e nos oitos pontos (b, b, b). Mostre que para a ordem considerada as intensidades eltricas so as mesmas se 8a5 = e a 5 . [P = 1 (32 1) e P = 1 (354 302 + 3) podem ser assumidos.] 81 3b 4 2 2 8 26. Uma massa m est em um ponto cuja distncia da origem a. Mostre que seu potencial a a e em uma suciente grande distncia r da origem a e 1 (a ) + 1 1 (a )2 (a )3 + 2! 3! m r

, , . x y z 27. Temos visto na seo 1.8.1 via a terceira representao de Green a importncia de ca ca a camadas simples e duplas na teoria de potencial. Assim, estamos induzidos a examinar as propriedades dos potenciais quando o operador vetorial com as componentes e V (x) =S

e W (x) =S

(y)dS(y) , |x y| 1 |x y|

x S, / dS(y), x S. /

(y)

xy

Localizando em volta de um determinado ponto da superf e utilizando o teorema de Gauss cie 3 (1.15) e o resultado (1.16) mostre que se S divide R em uma regio exterior De e interior Di , a ento a 1 dS(y) Wi = lim W (x) = 2() + P (y) xy | y| S x x Di 65

We =

lim W (x) = 2() + P (y) xy S x x De V x V x

1 | y|

dS(y)

enquanto V satisfaz () = 2() + P () = 2() + Pe S

i

S

(y) cos dS(y), | y|2 (y) cos dS(y), | y|2

aqui cos = n()

y , y S, y = , e P S signica a integral principal (veja o livro de |y | Webster [12]). Considere agora o problema de Dirichlet, W = 0 em Di e De sujeito a condio W = Vs em S. Neumann resolve este problema utilizando o potencial duplo ca W =S

(y)

1 r

dS.

Com as relaes de salto observamos que o problema de Dirichlet para Di resolvido para W co e com satisfazendo a equao integral ca Vs () = 2() + P ()S

xy

1 | y|

dS(y).

A anlise de problemas deste tipo foi feita primeiro por Fredholm em Stockholm - Ofersigta Kongl Vetenskaps Akad 1900, Acta Mathematica XXVII, p 365, 1903 e depois por D. Hilbert em artigos publicados em Gttinger Nachrichten 1904-5. Referimos o leitor para o livro de o Courant e Hibert [4] cap tulo 2 para maiores informaes e o livro [12]. co

66

Bibliograa[1] Abraham, R., Marsden, J.E., Foundations of Mechanics, 2 Ed., Massachusetts, 1978. [2] Archbold, J. W., Algebra, Pitman, 1958. [3] Bakeman, H., Partial Dierential Equations of Mathematical Physics, CUP, 1959. [4] Courant, R., Hilbert, D., Methods of Mathematical Physics, Wiley, 1975. [5] Gilmore, R., Lie Groups, Lie Algebra and some of their applications, Dover, New York, 2002. [6] Jackson, J. D., Classical Electrodynamics, John Wiley, New York ,1975. [7] Joos, G., Freeman, I.M., Theoretical Physics, Blackie & Son Limited, London, 1958. [8] Lax, M., Symmetry Principles in Solid State and Molecular Physics, Dover, New York, 2001. [9] Littlewood, J. E. A University Algebra, Heinemann, 1958. [10] Merzbacher, E., Quantum Mechanics, Wiley, New York ,1961. [11] Schi, L. I., Quantum Mechanics, Mc Graw-Hill, New York ,1955. [12] Webster, A. G., Partial dierential equations of mathematical physics , 2nd ed., Dover, New York, 1955. [13] Weyl, H., The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, New York ,1950. [14] Wilson, H.A., Modern Physics, 4 Ed.,Blackie & Son, London,1959

67

Cap tulo 2 Problemas de Fronteira e Evolutivos2.1 Simetria e solues especiais do problema de Dirichco let para o Laplacianou u 1 u 1 r2 sin + sin + sin r r sin 2 u 2 u 1 2u u 1 = + + 2 sin + 2 2 r2 r r r sin r sin 2 r2

O Laplaciano em trs dimenses em coordenadas esfricas tem a forma e o e u =

(2.1)

Vamos buscar uma soluo da equao de Laplace que o produto de uma funo de r por ca ca e ca uma funo de , , u = R(r)Y (, ). Conseqentemente obteremos ca u d2 R 2 dR R Y + Y + 2 2 dr r dr r sin Multiplicando por 1 1 Y sin Obtemosr2 RY

sin

Y

+

R 2Y = 0. r2 sin2 2

(2.2)

, obtemos de (2.2) Y + 1 2Y = Y sin2 2 r2 d2 R 2r dR + R dr2 R dr = c (constante). (2.3)

sin

d2 R 2 dR c + 2 R = 0, + dr2 r dr r com ponto sigular em r = 0. Procurando uma soluo na forma ca R= obtemos que ak (k(k 1) + 2k + c) rk2 = 0 ou k(k + 1) + c = 0. ak r k ,

(2.4)

(2.5)

Pondo c = n(n + 1), obtemos k = n e k = (n + 1) e as soluo so rn e r(n+1) , ou seja ca a Arn Yn + BYn r(n+1)

68

so as solues de (2.1), onde Yn satisfaz a co 1 sin sin Yn + 1 2 Yn + n(n + 1)Yn = 0, sin 2 (2.6)

a equao originalmente derivada por Laplace. ca Pondo = cos , d = sin d e (2.6) equivalente a forma e (1 2 ) Yn + 1 2 Yn + n(n + 1)Yn = 0. 1 2 2 (2.7)

No caso que Yn independente de , temos de (2.7), Yn = Pn e dPn d (1 2 ) + n(n + 1)Pn = 0, d d ou (1 2 ) d2 Pn dPn 2 + n(n + 1)Pn = 0, d2 d (2.8)

(2.9)

que a equao de Legendre. e ca E poss determinar que uma soluo tem a forma de um polinmio de ordem n, que se vel ca o chama o polinmio de Legendre Pn (). o

Figura 2.1:

1 = d

1 r2 + r2 2rr

=

1 x2 + y 2 + (z r )2

, onde = cos

Considerando como uma funo de z, ca

1 tem uma expanso de Taylor a d f z +r =0

1 = f (z r ) = f (z) r d Quando r = 0,1 d

r2 2!

2f z 2

r =0

+ .

= 1, r

f z

=

z

1 r

, o que signica que + 1 2 2 r 2! z 2 1 r + + (1)n n n r n! z n 1 r . (2.10)

1 1 = r d r z

1 r

Agora multiplicando e dividindo cada termo por rn+1 , temos 1 1 = d r r P0 + P1 + r r r2

P2 + +

r r

n

Pn

,

(2.11)

69

onde denimos P0 = 1, Pn =

(1)n n+1 n r n! z n

1 r

.

(2.12)

Claramente Pn so polinmios em = cos = z . a o r Podemos observar que r r r = 12 d r 2r e pelo teorema binomial r = d s=0 1 2 1 3 5 2 + s 1 2 2 s!

1/2

2

r r

s

r 2r

s

(2.13)

e desenvolvendo o ultimo fator temos r = d r 2r s s

=t=0 s

(1)t s(s 1) (s t + 1) st t! r rs+t

r 2r

t

,

s=0 t=0

1 (1)t 2st 1 3 2 + s 1 2 2 t!(s t)!

st . r rn

(2.14) , escrevendo

Escolhendo os termos para que s + t = n, temos para o coeciente de 1 3 5 (2n 1) (2n!) = n , n! 2 (n!)2 Pn = Ou seja, (2n!) 2n (n!)2 n

n(n 1)(n 2)(n 3) n4 n(n 1) n2 + + 1 2 (2n 1) 2 4(2n 1)(2n 3) P0 () = 1, P1 () = , 1 (32 1), P2 () = 2 1 (53 3), P3 () = 2 1 (354 302 + 3), P4 () = 8 1 P5 () = (635 102 + 15), 8 . . .

.

(2.15)

Observando que 1 d =0 r = r ,

podemos identicar os polinmios de (2.15) com os de (2.9). Claramente podemos denir Pn o como os coeciente de potncias de n no desenvolvimento em potncias de de e e (1 2 + 2 )1/2 = 1 + P1 () + P2 ()2 + . 70

Esta funo chamada funo de gerao dos polinmios Pn (). ca e ca ca o Outras frmulas para Pn () o Observando que (2 1)n = 2n n2n2 + e derivando n vezes obtemos que dn 2 ( 1)n = 2n(2n 1) (n + 1)n n(2n 2)(2n 3) (n 1)n2 + dn e 1 1 dn 2 (2n)! ( 1)n = n n n! dn 2 2 (n!)2 n n(n 1) n2 + 1 2 (2n 1) = Pn (2.16) n(n 1) 2n4 + 2!

(A frmula de Rodrigues). o A frmula (2.16) tem uma conseqncia interessante: para qualquer funo diferencivel y, o ue ca a 2 n y sempre tem um zero dentro de dois zeros consecutivos de y, mas ( 1) tem n zeros iguais a 1 e n iguais a -1, consequentemente Pn () tem n zeros dentro de -1 e 1. Observando que 1 = (1 ei )1/2 (1 ei )1/2 (1 3 + 2 )1/2 = = = Pondo k + j = n Pn () = 1 3 5 (2k 1) 1 3 5 (2n 2k 1) (n2k)i e . 2k k!2nk (n k)!

n Pn

n=0

1 3 1 1 3 5 1 1 1 + ei + 2 e2i + 3 e3i + 2 2 2 2! 2 2 2 3! k=0

1 3 5 (2k 1) k ik e 2k k!

j=0

1 3 5 (2j 1) j ij e . 2j j!

Somando termos k = p, k = n p, obtemos 1 3 5 (2p 1) 1 3 5 (2n 2p 1) 2 cos(n 2p) 2n p!(n p)! e nalmente Pn (cos ) = 2 + 1 3 (2n 1) {cos n+ (2.17) 2 4 6 (2n) 1n 1 3n(n 1) cos(n 2) + cos(n 4) + 1 (2n 1) 1 2 (2n 1)(2n 3)

a frmula dada por Laplace e Legendre. o

71

2.2

Relaes de recorrncia para harmnicas esfricas co e o e(1 2 + )2 1/2

Temos que =

n=0

n Pn ()

e pela diferenciao com respeito a ca ( )(1 2 + ) ou ( ) n=0 2 3/2

=

n=0

nn1 Pn () n=0

n Pn () = (1 2 + 2 )n

nn1 Pn ().

Segue-se (comparando os coecientes de ) que Pn () Pn1 () = (n + 1)Pn+1 () 2nPn () + (n 1)Pn1 () ou e para n = 0, (n + 1)Pn+1 () (2n + 1)Pn () + nPn1 () = 0 P1 () P0 () = 0 (Ossian Bonnet).2 3/2 n=0

Derivando com respeito a , temos

(1 2 + ) ou e conseqentemente u n=0 n

=

n

dPn () d n dPn () d

Pn () = (1 2 + ) Pn () =

2

n=0

dPn+1 dPn1 dPn + 2 . d d d Multiplicando a derivada com respeito a por e a derivada com respeito a por ( ) e comparando os coecientes, temos ( ) ou e eliminando dPn , d n=0

n

dPn = d

n=0

nn Pn ()

dPn dPn1