Matemática 2012 quarta manhã 22 08 12

CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000E-mail: [email protected] Site: www.colegiotiradentes.com.br

TURMA DISCIPLINA

PROFESSOR(A)MATEMÁTICA MICHELE RONDON

ASSUNTO

CONJUNTOS NUMÉRICOS Em diagramas, temos:

é o conjunto dos números naturais.

é o conjunto dos números inteiros.

é o conjunto dos números racionais.

I = é o conjunto dos números irracionais.R é o conjunto formado pelos conjuntos dos números racionais e irracionais, chamados de reais. Então: Subconjuntos dos conjuntos numéricos.

= conjunto dos números naturais sem o zero = {1, 2, 3, 4, ... } = conjunto dos números inteiros sem o zero = { ... , -2, -1, 1, 2, ... }

= {números inteiros não negativos} = {0, 1, 2,3, ... } = N

= {números inteiros positivos = {1, 2, 3, ... }

= {núm. int. não positivos} = { ... , -2, -1, 0}

= {núm. int. negativos} = { ... , -3, -2, -1}

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Sistema de Numeração Decimal

O Sistema de Numeração Decimal se baseia na posição que um algarismo tem no numeral.As regras que definem ordens, classes e nomes que resumimos no seguinte quadro:

A Numeração Decimal

314 . 537 . 012 . 423Classe dos bilhões Classe dos Milhões Classe dos Milhares Classe das unidades

Cada algarismo situado à esquerda de outro tem um valor dez vezes maior que se estivessem no lugar desse outro.

AdiçãoAdição é a operação onde juntamos quantidades Em adições usa-se o sinal de “ + “ (mais). Parcelas são os termos da adição.O resultado da adição chama-se soma ou total Ao efetuarmos uma adição, colocamos. ● unidade embaixo de unidade dezena embaixo de dezena centena embaixo de centena

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mailto:[email protected]

COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ


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A soma sempre se inicia pela direita. C D U

2 4 2 parcela + 1 3 5 parcela

3 7 7 soma ou total

Adição com reserva C D U +1 +1 2 1 6 + 5 9 6 6 + 6=12 8 1 2 Soma-se as unidades: 6unidades + 6unidades = 12 unidades, que corresponde a 1 dezena e 2 unidades.Escreve-se o 2 na ordem das unidades e o 1 vai para a ordem das dezenas.O mesmo acontece com as centenas.Soma-se as dezenas:1 dezena + 1 dezena + 9 dezenas = 11 dezenas, que corresponde a :1 centena e 1 unidade.Escreve –se o primeiro 1 na ordem das dezenas e segundo 1 vai para a ordem das centenas.

Prova Real da AdiçãoPara sabermos se uma conta está correta usamos a operação inversa.A operação inversa da ADIÇÃO é SUBTRAÇÃO. Prova RealParcela 2 4 2 3 7 7 3 7 7 + - ou -

parcela 1 3 5 1 3 5 2 4 2 soma 3 7 7 2 4 2 1 3 5ou total

A soma ou total menos uma das parcelas é sempre igual a outra parcela.

Subtração

Subtração é a operação onde retiramos uma quantidade menor de uma maior. O subtraendo não pode ser maior que o minuendo. Em subtrações usamos o sinal “–“ (menos). O minuendo e o Subtraendo são termos da subtração. O resto ou diferença é o resultado da subtração. A subtração sempre se inicia pela direita Na subtração, colocamos: C D U● unidade embaixo de unidade; 7 4 1 minuendo dezena embaixo de dezena; - 3 2 1 subtraendo centena embaixo de centena. 4 2 0 resto ou diferença

Prova Real da Subtração.

A operação inversa à SUBTRAÇÃO é a ADIÇÃO. Prova RealMinuendo 7 8 6 2 - +subtraendo 1 6 1 6 resto ou 6 2 7 8 diferença

Multiplicação

Multiplicação é uma adição de parcelas iguais.Apresentamos a multiplicação com o sinal “ x “ (vezes). O multiplicando e o multiplicador são chamados fatores. O resultado chama-se produto.

Observe quantas figuras há nos quadrados.2




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São três quadrados com quatro livros. Então: 4 + 4 + 4 = 12 ou 3 x 4 = 12

4 multiplicando Fatores x 3 multiplicador 12 Produto

se multiplicarmos um número qualquer por 0 (zero) seu produto será sempre zero.Veja: 9 x 0 = 0, pois 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Multiplicação com mais de um Algarismo no Multiplicador 1 1 2 6 9 multiplicando x 1 2 multiplicador 5 3 8 1º produto parcial +2 6 9 2º produto parcial 3 2 2 8 produto final

Primeiro multiplica-se o 2 pelo 9, depois pelo 6 somando-se com o 1 que foi, em seguida multiplica-se o 2 pelo 2 somando-se com o 1 que foi. Achamos, assim, o primeiro produto parcial.Ao multiplica-se o 1 pelo 9 depois pelo 6 e depois pelo 2 encontra-se o segundo produto parcial, que deverá ser afastado uma casa para a esquerda.

Sempre iremos afastar uma casa para a esquerda para cada produto parcial:Veja mais um exemplo: 1 4 3 2 multiplicando x 1 3 2 multiplicador 22 81 6 4 produto parcial 4 2 9 6 produto parcial 1 4 3 2 produto parcial 1 8 9 0 2 4 produto final Multiplicação por 10, 100 e 1000

Para multiplicar um número por 10 basta acrescentar um zero à direita desse número.Exemplos: 9 x 10 = 90 15 x 10= 150 130 x 10= 1.300

Se for multiplicar por 100 são acrescidos dois zeros à direita do número:Veja: 8 x 100= 800 16 x 100= 1.600 200 x 100=20.000

E por 1000, acrescenta-se três zeros à direita do número:

Confira: 7 x 1000= 7.000 40 x 1000= 40.000

Prova Real da Multiplicação

A operação inversa à multiplicação é a divisão. Prova Real 4 multiplicando 8 2 fatores 0 4 x 2 multiplicador 8 produto Divide-se o produto por um dos fatores e encontra o outro fator.

Divisão

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Divisão é a operação onde separamos uma quantidade em partes iguais.Representamos a divisão pelos sinais: ou :

dividendo 4 2 divisor dividendo 4 2 divisor resto 0 2 quociente - 4 2 x quociente resto 0

4 dividido por 2 são 2. 2vezes 2 são 4.4 para chegar no 4 não falta nada, então é 0 (zero).

Divisão Exata

Na divisão exata, o resto será sempre zero. 12 3 veja na prática 0 4

São 12 biscoitos, cercados de 3 em 3, pois a divisão é por 3.Formamos 4 conjuntos e não sobrou nada do lado de fora.Por isso, a divisão é exata!

Prova Real da Divisão Exata

Para tirarmos a prova real da divisão exata, é só multiplicarmos o divisor pelo quociente. Prova Real 6 8 2 3 4 0 8 3 4 x 2 0 6 8

Divisão Inexata ou Aproximada

Em uma divisão inexata o resto será diferente de zero e sempre menor que o divisor. 7 2 1 3 Na tabuada de x 2 não existe um número que multiplicado por 2 dê como resultado 7.Então, procura-se o maior número que multiplicado por 2 dê um resultado próximo (porém nunca maior) que 7. Esse número é 3.

Observe : 2 x 1= 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 é o mais próximo e menor que 7 2 x 4 = 8 é maior que 7 2 x 5 =10

Prova Real da Divisão Aproximada

Para tirarmos a prova real da divisão inexata, é só multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos este resultado com o resto

Vejamos: Prova Real

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72 5 14 22 14 x 5 2 70 + 2 resto 72

Vamos entender o processo da divisão com 7’2’ 5 : ?

7 dividido por 5 é 1, que multiplicado por 5 são 5.5 para chegar no 7 faltam 2.Abaixa-se o outro 2 do dividendo. Tendo agora 22 para dividir por 5, que dará 4.4 multiplicado por 5 são 20.20 para chegar no 22 faltam 2.Como não há mais números para “abaixar”, fecha-se a conta com resto 2.

Obs1: Numa divisão o divisor deve ser diferente de zero.Obs2: O maior resto de uma divisão aproximada é o divisor menos a unidade (1).Obs3: O menor resto é a unidade (1).

QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES:

1. (CEF) 1 2 X 5 Y + Z 3 0 2 1 7 4 W 1Determinando-se esses algarismos para que a soma seja verdadeira, verifica-se que:a) Y – W = X c) Y = 8 e) X + Z = Wb) X = 2 d) Z = 4

2. ( FUVEST) 1 a b c x 3 a b c 4Acima está representada uma multiplicação onde os algarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual o valor da soma a + b + c?a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e)17

3. (UNIFOR) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras x, y, z e t.

7 3 x 7 - y 4 9 z 2 t 4 9 Reconstituindo-se essa subtração, a fim de torná-la verdadeira, obtém-se:a) x = y = 2 e z = 2t b) x = z = 4 e y = 2t c) y = z = 8 e x = 4td) y = 2t e x = 2z e) t = 2x e z = 2y

4. (MPU) Numa divisão, o divisor é 14 o quociente é 26 e o resto é o maior possível.O dividendo é igual a:a) 379 b) 378 c) 376 d)377 e) 375

5. (TRE) Dividindo-se um número natural X por 5, obtém quociente 33 e o resto é o maior possível. Esse número X é:a) menor que (1) uma centena d) cubo perfeito b) maior que (2) duas centenas e) igual a (3) três centenas c) quadrado perfeito

6. (UECE) Um certo inteiro n quando dividido por 5 deixa resto 3. O resto da divisão de 4n por 5 é igual a:

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a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Respostas1)E 2) D 3) E 4) D 5) C 6) B

EXERCÍCIOS

Resolver as seguintes expressões aritméticas:

01) 31 + {18 + [ ( 7+ 15 ) + 2 + (3+1) ] + 15}

02) 7 + 5 x 8 – 2 x 4

03) 8 + 7 x 4 – 3 x 5 + 7

04) 28 – 5 x 4 – (40 – 8 x 4) + 10

05) ( 5 x 7 + 3 ) x 6 + ( 12 – 3 x 2) x 5

06) 123 – { 150 + [ 36 – ( 7 x 4 + 3 x 2 ) + 5 ] } x 2

07) 285 – 3 x { 25 + 2 x [18 – 3 x (15 – 2 x 5 ) ] }

08) [ 12 – ( 3 + 2 x 3 ) ] + 15 – (2 + 6 : 2)

09) (13 + 7) : 5 + 24 : [ 12 – ( 3 + 2 x 3) ] – 15 : (2 + 6 : 2)

10) [40 – (11 – 6) x 2 + 15 ] : [ 3 + 3 x (12 – 5 x 2)]

11) { 16 + 8 x [ 28 – (15 – 3) : (5 + 1) ] – 24 : 3 } : (14 – 2 x 3)

12) { 230 – 3 x [ 24 – 6 x (11 – 2 x 4) : (5 x 4 – 11)] : 11} x 3 + 4

13) [ 60 : (5 x 12 – 50) ] : { 55 : [ 40 : 2 : ( 4 + 8 x 2) ] – 52 }

14) { 120 : [ 72 : ( 53 x 13 – 680 ) + 22 ] } + (10 + 5 )

15) Observe a soma abaixo: A soma dos algarismos representados por a, b, e c 1 a 3 é igual a: 1 7 b + c 1 9 2 3 8

9 5 7a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

16) 2 x y z x 4 1 0 1 z 8

Determinando-se os algarismos x, y e z para que a multiplicação seja verdadeira, verifica-se que: a) z = 7 b) x = y + z c) x = 2z d) y = x e) x + y – z = 0

11. (BNB) Do maior número possível de ser digitado em uma calculadora com lugar para oito algarismos foi subtraído o número de habitantes de um dos estados do Nordeste, obtendo-se como resultado, 92.582.597.

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Somando-se uma única vez os números de um algarismo obtidos dos algarismos que compõem o número de habitantes desse estado obtém-se:a) 16 b) 41 c) 14 d) 51 e) 25

Respostas1) 92 8) 13 15) D2) 39 9) 9 16) B 3) 28 10) 5 17) C 4) 10 11) 27 5) 258 12) 6766) –191 13) 27) 192 14) 19

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Múltiplo e Divisor de um número

Consideremos os termos divisível, divide, divisor e fator. Nos seguintes produtos observemos que:

Também poderíamos dizer: 0 é divisível por 3 0 é múltiplo de 33x0 =0 0÷3 =0 3x0 = 0 0÷3 =0 3 é fator de 0 3 é divisor de 0 3 divide o 0

3 é divisível por 3 3 é múltiplo de 3 3x1= 3 3÷3 = 1 3x1 = 3 3÷3 = 1 3 é fator de 3 3 é divisor de 3 3 divide o 3

6 é divisível por 3 6 é múltiplo de 33x2= 6 6÷3= 2 3x2 =6 6÷3 = 2 3 é fator de 6 3 é divisor de 6 3 divide o 6

De um modo geral, consideremos o conjunto: IN = { 0,1,2,3,4......n } e os subconjuntos de IN que indicaremos por M(6), ou conjunto dos múltiplos de 6, e D(6), ou conjunto dos divisores de 6.

Assim:

M(6) = { 0,6,12,18,24....} D(6) = {1,2,3,6}

Podemos, pois, dar as definições: Múltiplo de um número é o Um número b é divisor de um produto desse número por número a,se existir um natural um natural qualquer. c tal que b.c = a

Então, quando b . c = a, podemos afirmar equivalentemente: b é divisor de a ou c é divisor de a

a é divisível por b ou a é divisível por c a é múltiplo de b ou a é múltiplo de c b é fator de a ou c é fator de a.

Observações:

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Divisores Múltiplos a) Zero é múltiplo de qualquer número. a)Zero não é divisor de número algumb) Todo número é múltiplo de si mesmo b)Todo número é divisor de si mesmoc)O conjunto dos múltiplos de um c) O conjunto dos divisores de um número é infinito. número é finito.

Princípios Gerais de Divisibilidade. 5 divide 50 5 divide (50 + 20) ou 3 divide 6 3 divide 12 ou e 5 divide 70 12 é múltiplo de 6 3 divide 18 5 divide 20 5 divide (50 - 20) 18 é múltiplo de 6 ou 5 divide 30. 1º Princípio: 2º Princípio: Se um número a divide outros dois, Se um número a divide um b e c, então a divide a soma e a número b então a divide diferença destes números. também os múltiplos de b.

DIVISIBILIDADE

Para se verificar se um número é divisível por outro, não é necessário, em todos casos efetuar-se a divisão.Deduz-se um conjunto de regras que permitem verificar quando um número é divisível por um segundo. Essas regras constituem o que se chama os Caracteres de Divisibilidade.

DIVISIBILIDADE POR 10, 2 E 5

I) Divisibilidade por 10Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplos: 160,120,31.200 etc.

II) Divisibilidade por 2Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for par.

III) Divisibilidade por 5Um número é divisível po 5 quando o algarismo das unidades for zero ou 5.

Exemplos: 405, 310, 1.100 etc.

DIVISIBILIDADE POR 4 E 25.Um número é divisível por 4 ou por 25, quando terminar em 00, ou quando os algarismos das dezenas e unidades formarem um número divisível por 4 ou 25. Exemplos: 1016 é divisível por 4 porque 16 também o é. 204150 é divisível por 25 porque termina em 50 que é divisível por 25.

DIVISIBILIDADE POR 8 E 125Um número é divisível por 8 ou por 125, quando os algarismos das centenas, dezenas e unidades forem 000, ou, nessa ordem, formarem um número divisível por 8 ou 125.Exemplos: 24 000 é divisível por 8 e por 125. 54 104 é divisível por 8 porque 104 o é. 321 250 é divisível por 125 porque 250 o é.

DIVISIBILIDADE POR 3 E 9I) Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 9.Tomando-se um número qualquer como exemplo: 7 434 – podemos decompô-lo em suas unidades, ou seja:

7 434 = m . 9 + ( 7 + 4 + 3 + 4)8

NOTE BEM: NA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS NUMÉRICOS, ONDE OS CONJUNTOS SÃO MÚLTIPLOS DE NÚMEROS (exemplo M(4) e M(6)). A interseção será o mmc (4 e 6) = M(12)




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II) Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos der um número divisível por 3. Exemplo: 1) 57 é divisível por 3 porque 5 + 7 = 12 .E 12 também é divisível por 3. 2) 5014 não é divisível por 3 porque 5 + 0 + 1 + 4 = 10. E 10 não é divisível por 3.

DIVISIBILIDADE POR 7 E POR 11.I) Divisibilidade por 7 Vamos verificar se o número 343 é divisível por 7. Procede-se do seguinte modo:

a) Separa-se, do número dado, o algarismo das unidades. O dobro deste subtrai-se do número que se obteve com essa separação. Esquematicamente: 3 4 3

3 4 - 6 dobro de 3 2 8 diferença

b) Se a diferença obtida for um múltiplo de 7 (no caso obtivemos 28 que é múltiplo de 7), então, o número dado também será múltiplo de 7. Concluímos que 343 é múltiplo de 7. Exemplo: 1) Verificar se 4 802 é divisível por 7.

a) Separa-se o algarismo das unidades e dobra-se o valor desse número. 4 8 0 2 E o dobro de 2 é 4.

b) Subtrai-se esse dobro, do número que ficou após retirado o algarismos das unidades: 4 8 0 – 4 = 4 7 6 Como ainda não se sabe se 476 é divisível por 7, repete-se o processo, agora com o número 476. 4 7 6 O dobro de 6 é 12. 47 – 12 = 35 Como 35 é divisível por 7, então, o número 4 802 também o é. II) Divisibilidade por 11

A divisibilidade por 11 é semelhante à divisibilidade por 7 e mais simples ainda. Basta obedecer à regra:

a) Separa-se, do número dado, o algarismo das unidades.

b) Subtrai-se esse número, que é representado pelo algarismo das unidades, do número que ficou após sua retirada. Se a diferença for um número divisível por 11, então, o número dado também será divisível por 11.

Exemplos: 1) Verificar se 121 é divisível por 11. a) Separa-se o último algarismo da direita: 1 2 1 (separamos o número 1)

b) Subtrai-se 12 – 1 = 11Como 11 é divisível por 11, então, 121 também o é.

2) Verificar e 7 425 é divisível por 11 Aplicando-se sucessivamente a regra anterior:

a) 7 4 2 5 (separamos o 5)

b) 742 – 5 = 737 (subtraímos o 5).

Deve-se verificar, pelo mesmo processo, se 737 é divisível por 11.

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a) 7 3 7 (separamos o 7).

b) 73 – 7 = 66 (subtraímos o 7 e obtivemos 66). Como 66 é divisível por 11, então 7 425 também o é.

EXERCÍCIO: MÚLTIPLOS E DIVISORES

1) O menor número de dois algarismos que se deve colocar à direita do número 356 para que o mesmo seja divisível por 2, 3 e 5 é:a) 10 b) 20 c) 40 d) 22

2) O menor número que se deve adicionar a 58315 para se obter um número divisível por 6 é:a)1 b) 5 c) 15 d) 2

3) O menor número que se deve subtrair de 3101 para se obter um número divisível por 8 é: a) 3 b) 23 c) Zero d) 5

4) Qual das afirmações abaixo é falsa:a) Todo número par é divisível por 2.b) Todo número impar é divisível por 3.c) Todo número terminado em 0 é divisível por 5.d) Todo número terminado em 5 é divisível por 5.

5) Qual das afirmações abaixo é verdadeira:a) 15 é divisor de 5 c) 13 é divisor de 39b) 2 divide 15 d) 15 divide 3

6) Se um número é divisível por 2 e 3, então ele é divisível por:a) 5 b) 12 c) 6 d) 9

7) Se um número é divisível por 9, então ele:a) sempre é divisível por 3 c) é divisível por 3, algumas vezesb) nunca é divisível por 3 d) é divisível por 6

8) Se um número é divisível por 3 e por 4, então, ele:a) é divisível por 18 c) nunca é divisível por 12b) sempre é divisível por 7 d) sempre é divisível por 12

9) O número 3 divide 12 e também divide 15. Então:a) 3 divide 15 + 12 c) 3 não divide 15 x 12b) 3 não divide 15 – 12 d) 3 divide 15 : 12

10) O número 12 é divisível por 4 e por 6 (dentre outros números). então, podemos dizer que:a) 12 é divisível por 4 x 6 c) 12 é divisível por 6 : 4b) 12 é divisível por 6 – 4 d) 12 é divisível por 6 + 4

11) Se 2 é o resto da divisão de um número por 3, então:a) adicionando-se 2 ao dividendo, obtém-se um número divisível por 3.b) subtraindo-se 1 do dividendo obtém-se um número divisível por 3.c) adicionando-se 1 ao dividendo obtém-se um número divisível por 3.d) dividindo-se o dividendo por 2 obtém-se um número divisível por 3.

12) O resto da divisão de um número por 5 é 2 então:a) (n+2) é divisível por 5 c) (n+1) é divisível por 5b) (n–2) é divisível por 5 d) (n–1) é divisível por 5

13) Colocar V ou F nas seguintes afirmações, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas:a) 4 314 é divisível simultaneamente por 2 e por 3 ( )

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b) 5 314 é divisível simultaneamente por 2 e por 5 ( )c) 2 130 é divisível simultaneamente por 6 e por 5 ( )d) 43 186 é divisível por 11 ( )e) 20 010 é divisível por 6 e por 9 ( )f) 41 310 é divisível por 2 e por 9 ( )g) 37 212 é divisível por 2 e por 9 ( )h) 32 715 é divisível por 5 e por 9 ( )i) 5 101 350 é divisível por 5 e por 6 ( )j) 5 002 446 é divisível por 2, 3 e 9 ( )

Respostas1) A 4) B 7)A 10)B2) B 5) C 8)D 11)C3) D 6) C 9)A 12)B13)a) V b) F c) V d)V e) Ff) V g) F h) V i) V j) F

NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS

Definições

Na sucessão IN = { 0, 1, 2, 3.....n} verifica-se que:0 é divisível por qualquer número 01 é divisível apenas por 12 é divisível por 1 e 2 3 é divisível por 1 e 3 Categoria P4 é divisível por 1, 2, e 45 é divisível por 1 e 5

6 é divisível por 1,2,3 e 6 Categoria C 7 é divisível por 1 e 7

Ora, é fácil ver que, com exceção da unidade, os números se dividem em duas categorias: Números Primos: aqueles que somente são divisíveis por si mesmo e pela unidade. Números Compostos ou Múltiplos: aqueles que admitem outros divisores além deles próprios e da unidade. Logo, se Pé o conjunto dos números primos,então: P = { 2,3,5,7,11,13....}

Números Primos

O reconhecimento dos números primos se faz por um processo prático que se baseia no fato que: Todo número múltiplo admite pelo menos um divisor primoO reconhecimento se baseia na regra prática:

Exemplos:

1) Verificar se o número 47 é primo ou composto:Pela regra, faz-se:

47 3 47 5 47 7 17 15 2 9 5 6

2

11

Divide-se o número dado pelos números da sucessão dos números primos: 2,3,5,7,11,13,...obtendo-se um quociente e um resto. Se o resto for diferente de zero até o 1º instante em que o quociente se torna menor ou igual ao divisor, pode-se afirmar que o número é primo.




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Neste instante, obtivemos o quociente 6 e o divisor 7, isto é, o quociente menor que o divisor. Afirmamos: o número 47 é primo

2) Verificar se 289 é primo.289 não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, vejamos por 13, 17, 19...

289 13 289 17 29 22 119 17 3 00Como o resto é zero, então 289 é múltiplo de 17.

Fatoração

Decomposição de um Número em Fatores Primos Veja: 8 = 2 x 2 x 2 = 23

12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 Todo número múltiplo pode ser 15 = 3 x 5 decomposto de um só modo no 28 = 2 x 2 x 7 produto de vários fatores primos.

Basta usar o clássico processo e fazer:

8 2 12 2 15 3 28 2 4 2 6 2 5 5 14 2 2 2 3 3 1 7 7 1 1 1

8 = 23 12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 28 = 22 x 7

Divisores de um Número

Um Processo prático consiste em se fazer como no exemplo que segue, para o número 90.a) Decompõe-se o número em seus fatores primos e à direita da decomposição obtida traça-se um segmento de reta vertical. 1 90 2 45 3 15 3 5 5 1

b) Uma linha acima do 1º fator primo e à direita do segmento vertical coloca-se o número 1. Efetua-se o produto do 1º fator primo (2) pelo número 1, colocando-se o produto (2) à direita do traço. Multiplicam-se os seguintes fatores primos pelos números que estiverem à direita do traço vertical e acima desse fator. Os números à direita do traço vertical são os divisores do número pedido. Não se repetem na multiplicação os divisores iguais.

1 90 2 2 45 3 3 – 6 15 3 9 – 18 5 5 5 – 10 – 15 – 30 – 45 – 90. 1

Os divisores de 90 são: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 5, 10, 15, 30, 45 e 90.

Ou podemos achar a quantidade de divisores a partir da forma fatorada do nº. Vejamos o 90, sua forma fatorada é 21.32.51, onde cada expoente representa os possíveis valores das bases que pertence. Por exemplo 21 (20,21), 32

(30,31,32), 51 (50,51).Pela fórmula (1° expoente + 1).( 2° expoente + 1)....(último expoente + 1) = nº de divisores, temos:

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(1+1).(2+1).(1+1) = 12 divisores , nada mais é que as possibilidades de cada base da forma fatorada, isto é: 2 . 3 . 2 = 12 divisores

EXERCÍCIO: NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO

1) Reconhecer se são primos os seguintes números:a) 289 e) 521b) 343 f) 421 c) 731 g) 997d) 1.111 h) 4092) Decompor em fatores primos os seguintes números:

a) 160 f) 1024b) 210 g) 729c) 250 h) 1728d) 289 i) 11907e) 243

3) Decompor em fatores primos os seguintes números, sem efetuar a multiplicação indicada:a) 504 x 240 b) 720 x 243

4) Sem efetuar as seguintes potências, dar a sua decomposição em fatores primos:a) 8403 c) (1202)3

b) (2432)3 d) (10243)4

5) Dizer quantos divisores possui cada um dos números seguintes, sem dizer quais são:a) 420 b) 960 c)1260

6) Dizer quais são os divisores dos números seguintes:a) 105 b) 240 c) 840

7) Pela decomposição em fatores primos, verificar, sem efetuar a divisão, se 4374 é divisível por 686.

8) Pela decomposição em fatores primos, determinar qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 3 675 a fim de se obter um número divisível por 490.

9) Sendo A = 23 x 3 x 52 e B = 2n x 5, determinar o maior valor possível de n, de modo que B seja divisor de A.

10) Sendo A = 3x x 52 x 7 e B = 35 x 7, determinar o menor valor possível de x, de modo que A seja múltiplo de B.

11) Se: A = 23 x 52 x 11 e B = 22 x 3 x 52, qual o maior divisor de A e de B simultaneamente?

12) Sendo A = 23 x 52 x 7n determinar n, de modo que A tenha 60 divisores.

13) Sendo A = 2 x 3x determinar x, de modo que A tenha 18 divisores.

Respostas1) a) b) c) d) Compostos 5) a) 24 b) 28 c) 36 e) f) g) h) Primos 6) a) {1,3,5,7,15,21,35,105}2) a) 25.5 b) 2.3.5.7 b) {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240} c) 2.53 d) 172 c) {1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15,20,21,24,28,30,35,40,42, e) 35 f) 210 g) 36 56,60,70,84,105,120,140,168,210,280,420,840} h) 26.33 i) 35.72 7)Não3) a) 27 x 33 x 5 x 7 8) 2 b) 24 x 37 x 5 9) 34) a) 29 x 33 x 53 x 73 10) 5 b) 330 c) 218 x 36 x 56 11) 100 d) 2120 12) 4 13) 8MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Máximo Divisor Comum ( m.d.c)

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Sejam os números 12, 18 e 30 e os conjuntos D(12), D(18) e D(30) de seus respectivos divisores, que são finitos e ordenados.D (12) = { 1,2,3,4,6,12}D (18) = { 1,2,3,6,9,18}D (30) = { 1,2,3,5,6,10,15,30}Consideremos agora o conjunto dos divisores comuns, isto é, o conjunto interseção de D(12), D(18) e D(30).D(12) D(18) D(30) = {1,2,3,6}Então, definimos: Chama-se Máximo Divisor Comum de dois ou mais números, ao maior valor da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados. Logo: m.d.c (12, 18, 30) = 6Cálculo do m.d.c 1º Processo: Decomposição em Fatores Primos Para se calcular o m.d.c. de vários números, conclui-se a regra:a) Decompõe-se os números dados em seus fatores primos.

b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns a essas decomposições, cada um deles tomado com o menor dos expoentes que esse fator possui nas decomposições.

Exemplo: Calcular o m.d.c (720, 420, 540): 720 = 24 x 32 x 5

420 = 23 x 3 x 5 x 7 540 = 22 x 33 x 5 m.d.c. (720,420,540) = 22 x 3 x 5 m.d.c. (720,420,540) = 60

Números Primos Entre SiProcuremos o m.d.c entre 25 e 36.Sabe-se que: 25 = 52

e 36 = 22 x 32

Neste caso, os números não têm fatores primos comum – com exceção da unidade. Dizemos que o máximo divisor comum é o número 1. Estes números são chamados primos entre si, definindo-se, pois:

Números primos entre si são aqueles cujo único divisor comum é a unidade. 2º) Processo: Método das divisões sucessivas (I) O número maior é divisível pelo menor.

Seja calcular o m.d.c. entre 30 e 6. Como 6 divide 30 e ele próprio, então 6 é o maior divisor comum podendo-se escrever. m.d.c. (6, 30) = 6.E concluímos: Se o maior número é divisível pelo menor, então, este menor é o m.d.c de ambos.

(II) O número maior não é divisível pelo menor.

Para se achar o m.d.c. de dois números, divide-se o maior pelo menor. A seguir, divide-se o menor pelo resto da divisão entre o maior e o menor. A seguir divide-se o 1º resto pelo 2º resto e assim sucessivamente. Quando se obtiver um resto zero,o último divisor é o m.d.c. procurado.

Exemplo: Calcular o m.d.c (45, 36) Na prática, faz-se 1 4 quociente 45 36 9 divisores

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9 00 resto

Isto é, quando o resto é zero, o último divisor (9) é o m.d.c. Máximo Divisor Comum de Mais de Dois NúmerosCalcular o m.d.c. (240, 180, 72, 54). Neste caso, basta usar qualquer um dos esquemas seguintes, onde chamamos de R1 e R2 os resultados parciais e R o resultado final.ESQUEMA 240 – 180 – 72 – 54

R1 R2

R final 1 3 1 3 240 180 60 72 54 18 060 00 18 00 R1 = 60 R2 = 18 3 3 60 18 6 6 00 R = 6 ou m.d.c (240, 180, 72, 54) = 6

EXERCÍCIOS: MÁXIMO DIVISOR COMUM

1) Calcular o máximo divisor comum, pelo processo das divisões sucessivas dos seguintes números:a) 576 e 96 c) 168, 252 e 315b) 576 e 708 d) 192, 256 e 352e)1 980, 2 700 e 3 060

2) No Cálculo do m.d.c. de dois números, pelas divisões sucessivas, obteve-se o seguinte esquema. Preencher com números os lugares VAZIOS. 2 6 1 2 6 0

3) No m.d.c. de dois números, pelas divisões sucessivas, obteve-se como quociente os números 3, 6, 1 e 3. Sabendo-se que o m.d.c. é 4, determinar os números

4) O m.d.c. de dois números é 12 e os quocientes obtidos no esquema das divisões sucessivas são 1, 3 e 2. Quais são os números ?

5) Calcular o máximo divisor comum, pelo processo da decomposição em fatores, dos seguintes números:a) 1414, 910, 700 c) 441, 567, 630 e 1029 b) 264, 360, 432 e 378 d) 363, 2541, 3993e) 625,1331,343 e729

6) Sendo A = 23 x 32 x 5x e B = 2y x 37 x 53 e sendo C = 22 x 32 o m.d.c. de A e B, determinar os valores de x e y

7) Sendo A = 32 x 5m x 74 e B = 54 x 73 x 11 e sendo C = 7n o m.d.c. de A e B, determinar m e n.

8) Quais são os menores números pelos quais devemos dividir, respectivamente, 12 e 15 a fim de obter quocientes iguais?

9) Quais são os menores números pelos quais devemos dividir, respectivamente, 216 e 168 a fim de obter quocientes iguais?

10) Calcular, pela decomposição em fatores primos o m.d.c. das potências seguintes, sem efetuá-las:(72)4 e (324)3

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11) Calcular, sem efetuar as potências, o m.d.c. dos seguintes números: (350)2 e (450)4

12) Comprei uma partida de feijão de três qualidades A, B, e C. A primeira qualidade veio em sacas de 60 kg; a segunda qualidade em sacas de 72kg e a terceira em sacas de 42kg. Desejo vende-las a varejo em sacas de igual peso e maior quantidade possível de cada qualidade, sem misturar as qualidades e sem perder com restos. Devo acondicioná-los em sacos de quantos quilogramas?

Respostas1) a) 96 3) 340 e 108 5) a) 14 b) 6 b) 12 4) 108 e 84 c) 21 d) 363 c) 21 6) x = 0 y = 2 e) 1 – são primos entre si d)32 e)180 7) m = 0 e n = 3 8) 4 e 5

2) 2 6 1 2 258 120 18 12 6 9) 9 e 7 10) 26 x 38 11) 22 x 54 12) 6 kg 18 12 6 0

Mínimo Múltiplo Comum - (m.m.c)

Consideremos os números 3, 4, e 6 e o conjunto dos seus múltiplos, que chamaremos M(3), M(4) e M(6).

M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15,18,......}M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,.........}M(6) = { 0, 6, 12 , 18, 24, 30,............}

Cada um desses conjuntos é infinito. O conjunto interseção também será infinito, como se vê:

M(3) M(4) M(6) = { 12, 24, 36,.....}

Chama-se Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números dados ao menor valor da interseção dos conjuntos dos múltiplos desses números.Logo: m.m.c. (3,4,6) = 12

Cálculo do m.m.c

1º Processo: Pela decomposição em fatores primos a) Decompõem-se os números em fatores primos.

b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns a essas decomposições, cada um deles tomado com o maior dos expoentes que esse fator possui nas decomposições. Exemplo: Calcular o m.m.c. dos números 105, 625 e 343 Decompondo-se, vem: 105 = 3 x 5 x 7 625 = 54

343 = 73 m.m.c. (105,625,343) = 3 x 54 x 73 = 3 x 625 x 343 m.m.c (105,625,343) = 643125

Na prática, pode-se realizar a decomposição num único dispositivo, conde os fatores primos comuns e não comuns ficam dispostos à direita de um traço vertical que separa os números dados desses fatores, como segue:

Calcular o m.m.c. de 90, 105 e 135: 90 – 105 – 135 2 45 – 105 – 135 3 15 – 35 – 45 3

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5 – 35 – 15 3 5 – 35 – 5 5 1 – 7 – 1 7 1 – 1 – 1 m.m.c.(90,105,135) = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7= 2 x 33 x 5 x 7. Ou: m.m.c. (90,105,135) = 1890.

Propriedades do m.m.c.

1ª Propriedade

No m.m.c. de dois ou mais números, se o maior deles é o múltiplo dos outros, então o maior é o mínimo múltiplo comum de todos.Exemplo: m.m.c.(60,12,15,10) 60 é múltiplo de si mesmo e também de 12, 15 e 10

Logo: 60 é o m.m.c. dos números: 60,12,15 e 10 Ou: m.m.c. (60,12,15,10) = 60

2ª Propriedade

O produto de dois números, A e B, é igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c desses números A e B. Sejam os números: A = 15 e B = 18. Teremos: m.d.c (15, 18) = 3 m.m.c(15, 18) = 90Representando-se o m.d.c. (15,18) por (15,18) e o m.m.c (15,18) por (15,18), virá: (15,18) x (15,18) = 3 x 90 = 270 E: 15 x 18 = 270 Donde: 15 x 18 = (15, 18) x (15, 18).

QUESTÕES COMENTADAS:

1) Determinar o m.m.c. entre os números 12 e 13. Como 12 e 13 são consecutivos e todos os consecutivos são primos entre si, pela primeira propriedade: m.m.c. (12,13) = 12 x 13 = 156.

2) Determinar os menores números pelos quais se devem multiplicar 50 e 75, a fim de se obter produtos iguais. Basta determinar o m.m.c.(50,75) que é 150 e depois efetuar as divisões: 150 50 = 3; 150 75 = 2

Então, deve-se multiplicar 50 por 3 e 75 por 2, obtendo-se o produto 150 em ambos os casos.

3) Numa avenida que mede 4500 metros, a partir do início, a cada 250m há uma parada de ônibus e a cada 225 metros uma de bonde. Pergunta-se:

a) A que distancia do início coincide a primeira parada de ônibus com a de bonde?

b) Quantos são os pontos comuns de parada de ônibus e bonde?

Raciocinando:

1) A primeira parada comum de bonde e ônibus é o menor múltiplo comum de 250m e 225m. Logo: m.m.c. (250, 225) = 2250m.

Portanto: A primeira parada comum está a 2250m do inicio.As outras paradas serão múltiplas de 2250m.

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SAIBA MAIS: Sendo dois números a e b a.b = mmc(a,b) . mdc(a,b)




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A 2 x 2250m estará a segunda parada comum, onde termina a avenida (4500m).

EXERCÍCIOS: MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

1) Calcular o m.m.c. dos seguintes números pela decomposição em fatores primos:

a) 18, 30 e 48 d) 200, 40, 50 e 20b) 120, 300 e 450 e) 60, 84, 132 e 120c) 18 e 108 f) 1024, 512, 729 e 81

2) Sendo A = 25 x 3a x 5b e B = 2c x 37 e sendo C = 27 x 38 x 52, o m.m.c de A e B, determinar a, b e c.

3) Sendo A = 33 x 5x x711 e B = 25 x 38 e sendo C = 2y x 3z x 711 x 54, o m.m.c de A e B, determinar, x, y, z

4) Sendo A = 22 x 3 x 53 e B = 23 x 52 x 11, determinar o quociente da divisão do seu m.m.c. pelo seu m.d.c.

5) Calcular o m.m.c. dos números seguintes pela decomposição simultânea em fatores primos:

a) 42, 72 e 108 c) 1225, 1715 e 70b) 160, 64 e 512 d) 121, 110, 66 e 363

6) Quais os números compreendidos entre 100 e 1000, múltiplos ao mesmo tempo de 12, 9 e 30?

7) Quais os números compreendidos entre 100 e 2000, que são múltiplos de 36, 45 e 54?

8) Quais são os menores números pelos quais se devem multiplicar respectivamente 63 e 42 a fim de se obter produtos iguais?

9) O m.d.c. de dois números é 20 e o seu m.m.c. é 120. Um dos números é 20. Determinar o outro.

10) O produto de dois números é 1470 e o seu m.d.c. é 7. Calcular o m.m.c.11) O m.m.c. de dois números primos entre si é 221. Um deles é 13. Quanto vale o outro?

12) O m.d.c. de dois números é a unidade e o mínimo múltiplo comum deles é 29403. Um dos números é 112. Qual o outro?

Respostas

1)a) 720 2) a = 8 3) x = 4 5) a) 1512 7) 540,1080,1620 b)1800 b = 2 y = 5 b) 2560 8) 2 e 3 c) 108 c)= 7 z = 8 c) 17 150 9) 120 d) 200 d) 3 630 10) 210 11) 17 12) 243 e)9240 f )746496 4) 330 6) 180,360,540,720,900

QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES

01). (TRT) Seja A7B um número inteiro e positivo de três algarismos, no qual B e A representam os algarismos das unidades e das centenas, respectivamente. Para que esse número seja divisível por 15, calcule quantas possibilidades de escolha temos para A7B.a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e)10

02). (UECE) Quantos números naturais existem entre 10 e 100, divisíveis simultaneamente por 2, 5 e 9? a) Nenhum b) um c) dois d) três

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03). (UNIFOR) Se o máximo divisor comum dos números inteiros A=23 x 33, B= 23 x 3s x 7 e C= 2t x 34 é igual a 12, então:a) t=3 b) t=2 c) s=0 d)s=2 e)t=1

04). (UNIFOR) Seja n a diferença entre o maior número inteiro com 6 algarismos distintos e o maior número inteiro com 5 algarismos distintos. A soma dos algarismos de n é um número:a) Primo c) divisível por 11 e) múltiplo de 5b) Par d) quadrado perfeito

05.(TRE) Sabe-se que o M.D.C. dos números A= 2x x 33 x 54, B = 23 x 3y x 52 e C = 24 x 34 x 5z é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a:a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e)6

06.(TRT) A associação de funcionários de certa empresa promove palestras regulares: uma a cada 3 meses, outra a cada 6 meses e outra a cada 8 meses. Se, em 2000, as três palestras foram dadas em julho, a próxima coincidência de época das palestras será em:a) Junho de 2001 c) Julho de 2001 e) Julho de 2003 b) Junho de 2002 d) Julho de 2002

07.(CEF) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?a) 7 b) 8 c)9 d)10 e)11

08.(TRT) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi:a) 18/09/02 c))18/08/02 e)18/07/02b) 17/09/02 d)17/07/02

09.(UECE) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após às 10 horas? a) 10 horas e 31 minutos c) 10 horas e 51 minutosb) 10 horas e 41 minutos d) 11 horas e 01 minuto

10.(TRT) No almoxarifado de certa repartição pública há três lotes de pastas iguais: o primeiro com 60, o segundo com 105 e o terceiro com 135 pastas. Um funcionário deve empilhá-las, colocando cada lote de modo que, ao final de seu trabalho, ele tenha obtido pilhas com igual quantidade de pastas. Nestas condições, o menor número de pilhas que ele obterá é:a) 10 b) 15 c)20 d)60 e)120

11.(BB) Uma pessoa tem duas folhas de cartolina, ambas quadradas e com superfície de 2.304cm 2 e 1296cm2.Ela deseja recortá-las em pequenos quadrados, todos iguais e de maior área possível. O lado de cada quadradinho, em centímetros, medirá: a) 11 b) 12 c)13 d)14 e)15

12.(TRT) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Ela deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é:a) 24 b) 20 c) 18 d)16 e)12

Respostas

01)A 03)B 05)D 07)C 09)A 11)B02)B 04)D 06)D 08)D 10)C 12)ANÚMEROS INTEIROS

Introdução

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LUCROS E PREJUÍZOS +R$ 20.000,00 Os resultados financeiros de uma empresa, nos dois semestres, foram: 1º Sem. 1º Semestre Prejuízo de R$ 40.000,00 2º Sem. 2º Semestre Lucro de R$ 20.000,00

- R$ 40.000,00

Para diferenciar essas duas situações, podemos indicar o Lucro com o sinal de + e o Prejuízo com o sinal de – .

O Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto formado por todos os números inteiros Negativos, pelo Zero e por todos os números inteiros Positivos é chamado de Conjunto dos Números Inteiros Relativos.O conjunto dos números inteiros relativos é indicado pela letra . Assim: = { ...., -3,-2,-1,0, +1, +2, +3, ....}

Observações: Todo elemento do conjunto dos números naturais (IN) é também elemento do conjunto dos números inteiros relativos ( )

Daí: IN

Representação Geométrica dos Números Inteiros

Marcamos arbitrariamente sobre uma reta um ponto 0, que chamamos de origem. Esse ponto representa o número zero.

A partir de 0, estabeleceremos um sentido Positivo (+) e um sentido Negativo (–).

(–) Negativo 0 (+) Positivo

Escolhemos uma medida conveniente ( 1cm, por exemplo) e marcamos à direita de 0 pontos consecutivos, distantes entre si 1cm. Para cada um desses pontos faremos corresponder um número inteiro Positivo.

0 A B C D 0 1 2 3 4

De maneira análoga, representamos à esquerda de 0 os números inteiros Negativos.

D' C' B' A' 0 A B C D - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

A reta assim marcada é chamada Reta Numérica Inteira.

Temos: O ponto B é a imagem geométrica do Número Inteiro 2. O ponto C' é a imagem geométrica do Número Inteiro – 3.

Valor Absoluto ou Módulo

Valor absoluto ou módulo de um número inteiro relativo, é o número sem o sinal, ou seja, a distância do ponto correspondente a um número inteiro até o referencial zero.

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Indica-se o módulo, escrevendo-se número entre duas barras I n I (lê-se: módulo de n).

Exemplos:

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 3 3 I – 3 I = 3 I 3 I = 3 I 0 I = 0 I – 1 I = 1 I 10 I = 10

Números Opostos ou Simétricos

Os pontos que representam os números inteiros – 3 e 3 estão a mesma distância da origem. Por esse motivo, dizemos que – 3 e 3 são Números Opostos ou Números Simétricos.

Exemplos: 5 é o oposto de –5 -n é o oposto de n- 4 é o oposto de 4 x é o oposto de -x

Comparação de Números Inteiros

Comparar dois números inteiros, a e b, significa verificar se:

a = b ou a > b ou a < b

1º) O zero é maior que qualquer número inteiro negativo. 0 > -1 0 > -13 0 > -20

2º) O zero é menor que qualquer número inteiro positivo. 0 < 1 0 < 3 0 < 10

3º) Qualquer inteiro positivo é maior do que qualquer inteiro negativo. 1 > -8 2 > -2 5 > -10

4º) Entre dois inteiros positivos, o maior é o que possui o maior módulo. 3 > 1 5 > 3 10 > 5

5º) Entre dois inteiros negativos, o maior é o que possui o menor módulo. -1 > -3 -5 > -10 -3 > -5

EXERCÍCIO – NÚMEROS INTEIROS

01) Diga quantas unidades aumentamos ( ou diminuímos) ao passar de:a) – 4 para +4 d) –5 para 0b) +4 para -1 e) –6 para -2c) +1 para -3 f) –3 para -10

02) Observe a figura e responda:

D C P A B -4 -2 0 1 4

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a) Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto A?b) Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto D? c) O número inteiro –2 é abscissa de qual ponto?d) O número inteiro 4 é abscissa de qual ponto? e) Qual o ponto da abscissa zero ?

03) Calcule o módulo:a) I 5 I c) I –3I e) – I15 I b) I –10I d) I10 I f) – I– 20I 04) Encontre o oposto:a) – (-2) c) – (-4) e) - (+9) b) – (+12) d) – [- ( - 3) ] f) -[ - ( +5)]

05) Complete usando > ou <:a) –15 _____ -12 d) – 8 _____ -4 g) 4 _______0b) – 5 _____ 0 e) 0 _____ -10 h) 2 _______11c) –10 _____ 2 f) –10_____ -3 i) -1 _______-8

06) Escreva em ordem crescente:a) 4, -1, 5, -3, 0, 1, -2 b) 1, -5, -10, 9, 18, -30, -20, 8

07) Escreva em ordem decrescente:a) –3, 1, 5, 4, -5, 0, -1,10 b) –1, -5, -3, -15, 0, -18

08) Quais os três próximos números de cada seqüência?a) -105, -104, -103, -102, ______, ______, ______.b) –90, -80, -70, ______, ______, ______.c) –20, -15, -10, ______, ______, ______.

Respostas

01) a) Aumentamos 8 unidades b) Diminuímos 5 unidades c) Diminuímos 4 unidadesd) Aumentamos 5 unidades e) Aumentamos 4 unidades f) Diminuímos 7 unidades 02) a) 1 b) –4 c) C d)B e)P03) a) 5 b) 10 c) 3 d) 10 e)-15 f) –2004) a) –2 b) 12 c) – 4 d) 3 e) 9 f) –505) a) < b) < c) < d) < e) > f) < g) > h) < i) >06) a) –3,-2,-1,0,1,4,5 b) –30,-20,-10,-5,1,8,9,1807) a) 10,5,4,1,0,-1,-3,-5 b) 0,-1,-3,-5,-15,-1808) a) –101,-100,-99 b) –60, -50, -40 c) –5, 0, 5

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

Adição

1º Caso) Os números possuem o mesmo sinal.

Dá-se o sinal comum e soma-se os valores absolutos

Exemplos:

a) (+2) + (+5) = + (2 + 5) = + 7 c) (– 4) + (– 2) + (– 3) = b) (– 1) + (– 4) = – (1 + 4) = – 5 = – (4 + 2 + 3) = – 9

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2º Caso) Os números possuem sinais contrários.

Dá-se o sinal do maior módulo e subtraí-se

Exemplos:

a) (+ 7) + (– 2) = +( 7 – 2 )=+ 5 c) (–12) + (+5) = - (12 – 5) = - 7 b) (+ 3) + (– 4) = –( 4 – 3 )= – 1 d) (– 6 ) + (+8) = +( 8 – 6 ) = + 2

Subtração

Para subtrair Números Inteiros Relativos, soma-se ao primeiro,o simétrico do segundo.

Exemplos:a) (+9) – (– 2) = + 9 + 2 = + 11b) (- 5) – (+5) = – 5 – 5 = – 10c) (+3) – (+4) = + 3 – 4 = – 1

Multiplicação

A multiplicação de números inteiros segue os critérios:

Sinais iguais, resultado Positivo

Sinais diferentes resultado Negativo

Exemplos:

a) (+ 2) x (+3) = + ( 2 . 3) = +6 c) (+ 5) x (–2) = – ( 5 . 2) = – 10 b) (– 4) x (– 2) = + ( 4 . 2) = +8 d) (– 3) x (+4) = – ( 3 . 4) = – 12

Divisão

A divisão de números relativos, segue os mesmos critérios da multiplicação, ou seja, sinais iguais resultado positivo e sinais diferentes resultado negativo.

Exemplos: a) (– 9 ) ÷ (– 3) = + ( 9 : 3) = + 3 c) (– 8) ÷ (+2) = – ( 8 : 2) = – 4 b) (+10) ÷ (+2) = + ( 10 : 2) = +5 d) (+12) ÷ (-4) = – (12: 4) = – 3

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

Acompanhe os exemplos:

a) –20 + 15 – 18 + 37Termos Positivos: +15 + 37 = +52Termos Negativos: - 20 – 18 = - (20+18) = – 38Resultado: + 52 – 38 = + (52 – 38 ) = + 14

b) 17 – 5 – 8 + 5 – 17 + 3 A soma de dois números opostos é sempre zero = 17 – 17 – 5 + 5 – 8 + 3

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= – 8 + 3 = – 5

c) 7 – ( 8 – 5 + 12) = 7 – ( 3 + 12) = 7 – ( +15) = 7 – 15 = – 8

d) 50 – { – 18 + [ 7 – ( 8 – 15) ] } =50 – { – 18 + [ 7 – (– 7) ] } =50 – { – 18 + [ 7 + 7] } =50 – { – 18 + 14 } = 50 – {– 4} = 50 + 4 = 54

EXERCÍCIO – EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

01.Resolva as expressões:

a) 5 + 3 – 1 g) 4 + 5 + 3 – 7 – 2 – 8 b) 10 – 3 – 7 h) – 7 + 15 – 3 + 9 – 4 – 1 c) 15 – 18 + 5 – 3 i) – 53 + 79 – 18 – 7 + 15 – 39 + 18d) 38 – 15 + 12 – 5 j) – 43 + 13 – 104 + 300 – 148 + 31e) 104 – 30 –10 + 16f) 108 + 40 – 108 – 30

02.Complete a tabela abaixo:

X 2 – 5 – 1 – 8

Y – 7 – 5 – 9 – 4

X + Y 6 – 9 0 – 8

03.Calcule o valor das expressões:a) 2 – (– 5 + 3 – 1) c) 35 – [ 4 + (18 – 15) – 3 ]b) – 3 – (– 5 – 4) + (– 2 – 17) d) – { – 12 + [ 5 – 10 – (3 –25) –37 ] }

04.Sendo x = 3 e Y = – 2, calcule:a) x – ( y + 4) c) y – ( x – 4 ) b) 15 + ( x + y) d) 8 – ( y – x )

05.Escreva o dobro, triplo, quádruplo e o quíntuplo de:a) 4 b) – 4 c)10 d)– 10

06.Determinea) A metade de – 50b) A terça parte de 243c) A quarta parte de – 1200d) A quinta parte de – 175

07.Sendo a = 30, encontre o valor das expressões:a) 10a c) 3a : 2b) a : 3 – 1 d) (a + 5 ) : (– 7) –2

08.Resolva as Expressõesa) 20 : 5 – 3 c) (– 5) : 5 – (–5) : (–5) b) – 5 + 7 . 3 – 4 : 2 d) 5 . 8 – (–4) : 4 + 3 (– 5) + 12 : (– 4)

09.Qual o número inteiro que cada letra está representando:a) x : (– 30) = 3 d) t : (– 8) = 7b) (– 100) : y = –1 e) (f + 1) : (– 5) = – 1c) z : 153 = 0 f) (30 + m ) : 16 = 210.Determine os próximos três números inteiros de cada seqüência abaixo:a) –2, 4 , –8, 16, _____, _____, _____.b) 1, –2, 6, –24, _____, _____, _____.c) 128, 64, 32, 16, _____, _____, _____.

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d) 5040, –720, 120, –-24, _____, _____, _____.

Respostas01. a) 7 b) 0 c) – 1 d) 30 e) 80 f) 10 g) – 5 h) 9 i) –5 j) 49

02. -5; 11;-4;-10;8;-4

03. a) 5 b) – 13 c) 31 d) 32

04. a) 1 b)16 c) – 1 d)13

05. a) 8, 12, 16, 20 b) –8, –12, –16, –20 c) 20, 30, 40, 50 d) –20, –30, –40, –50

06. a) –25 b) 81 c) – 300 d) – 35

07. a) 300 b) 9 c) 45 d) –7

08. a) 1 b)14 c) –2 d)23

09. a) x = -90 b) y = 100 c) z = 0 d) t = -56 e) f= 4 f) m = 2

10. a) –32, 64, -128 b)120, -720, 5040 c) 8, 4, 2 d) 6,-2, 1

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

A Idéia de Número Racional

Para se representar numericamente uma ou mais partes de um inteiro, são necessários dois números naturais:

a) O primeiro, indicando quantas partes foi tomado do inteiro;b) O segundo indicando em quantas partes, de igual valor, o inteiro foi dividido;

Nesses novos símbolos ou etc., o primeiro elemento chama-se Numerador e o segundo elemento denominador

dos números fracionários ou frações. De modo geral, chamam-se de Termos da fração ao conjunto do numerador e denominador.

Frações Equivalentes

É fácil ver que um mesmo número fracionário pode ser representado por vários símbolos ou vários numerais.Vejamos:

I)

II)

Propriedade Fundamental

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Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma fração por um número natural 0, obtém-se uma fração equivalente à fração dada.

Classificação

Fração Imprópria é aquela cujo numerador é maior que o denominador.Fração aparente é aquela cujo numerador é múltiplo do denominador.As frações restantes se dizem próprias.

Exemplos:Os números fracionários 4/3 e 7/2 , chamam-se Frações Impróprias. Os números fracionários 4/2 e 12/4 que equivalem, respectivamente, a 2 e 3, são frações aparentes.

Simplificação de Frações.Obter uma fração equivalente a 36/48 de modo que os termos sejam primos entre si. Basta aplicar a propriedade fundamental e dividir sucessivamente os termos da fração por um fator comum. Assim concluímos:

Simplificar uma fração a/b significa transformá-la numa fração c/d de modo que c e d sejam primos entre si.

Conjunto dos Números Racionais Q

Vimos que, de um modo geral, todo número que pode ser representado na Forma de Fração é um Número Racional.

Portanto, temos as seguintes propriedades:I - Todo número natural é racional II – Todo número inteiro é racional

Assim, podemos concluir que:Frações Homogêneas e Frações HeterogêneasDuas ou mais frações que têm denominadores diferentes, se dizem heterogêneas.Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, elas se dizem homogêneas.Portanto, reduzir frações ao mesmo denominador, significa torná-las homogêneas.

Operações Com Números Racionais

Adição e Subtração

Número Misto

O número expresso por 2 + , (inteiro e fração) é chamado misto e costuma ser representado por , que se lê: dois

inteiros e um quarto.

Assim: é a forma habitual de se transformar o número misto em fração imprópria.

26Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, divide-se o numerador pelo denominador da mesma. O quociente indicará a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da parte fracionária que conserva o denominador primitivo.

Se as frações são homogêneas somam-se os numeradores e dá-se ao resultado o denominador comum.

Se as frações são homogêneas subtraem-se os numeradores e dá-se ao resultado denominador comum.




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A Multiplicação e Divisão de Números Fracionários


1) (BB) Qual é o número cuja oitava parte multiplicada por 12 e dividida por 5/6 resulta 144.

a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e)90

2) (TTN)Os 5/3 de 2/3 do preço de uma geladeira equivalem a 2/5 de 3/2 do preço de um freezer que custa R$ 2.400,00. Então o preço da geladeira, em reais, é:

a) 2.000 b) 1.296 c) 1.440 d) 2.160 e) 1.300

3) (BB) Alberto comprou 1/6 de certo terreno, Bento e Carlos compraram, respectivamente, 2/5 e 2/15 do resto. Calcular a área primitiva desse terreno, sabendo que dele sobraram 1.470m2, após a última venda.

a) 3.870m2 b) 3.087m2 c) 3.708m2 d) 3.780m2 e) 3.807m2

4) (CEF) Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois, saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 7.500,00. Qual era, em reais, o saldo inicial?

a) 12.750 b) 12.500 c) 12.250 d) 10.200 e) 10.500 5)(UNIFOR) Se o triplo de um número é 18/5 , então:

a) seu quíntuplo é 18 c) seu dobro é 12/5b) seu quádruplo é 4 d) sua metade é 2/5 e) sua terça parte é 1/5

6) (UECE) Considere a expressão algébrica ,x 0 e x 1. Seu valor numérico para x = 2/5 é:

a) 5 –1 b) negativo c) 2,5 d) 5,2

7) (UFC) Três irmãos, Maria, José e Pedro receberam, respectivamente, 1/2, 1/3, e 1/9 de uma determinada herança. A fração desta herança que não foi distribuída entres estes irmãos foi de:

a) 2/3 b) 8/9 c) 1/2 d) 1/18 e) 5/6

8) (UFC) Se , onde p e q são números inteiros primos entre si, determine p + q.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e)19

9) (UFC) Determine o valor de S, onde:

a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32

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O produto de duas frações é uma fração, onde o numerador é o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores das frações dadas.

Para se dividir uma primeira fração por uma segunda, Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.




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10) (TRT) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos.

Se do total dos funcionários deverão ir para o segundo andar, do total para o terceiro andar e os 28

restantes para o quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é:

a) 50 b) 84 c) 105 d) 120 e) 150

11) (TJ) Rita sai de casa para fazer compras com certa quantia. Na primeira loja gastou 2/3 do que possuía;

na segunda loja gastou R$ 30; na terceira R$ 10,00 e 2/5 do que restou. Sabendo-se que no final das compras

ficou com R$ 60,00, ao sair de casa, Rita tinha a importância de:

a) R$ 420,00 c) R$ 360,00 e)R$ 450,00

b) R$ 300,00 d)R$ 330,00

12)(TRT) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18de um dia e retornou à sua casa decorridos

13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de:

a) 14 horas e 10 minutos. d) 13 horas e 10 minutos

b) 13 horas e 50 minutos. e) 12 horas e 50 minutos.

c) 13 horas e 30 minutos.

13)(TTN) Que horas são agora, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido?

a) 8 horas d) 6 horas e 38 minutos

b) 4 horas e) 5 horas e 15 minutos

c) 4 horas e 48 minutos

Respostas

01. D 04. B 07. D 10. C 13.C

02. B 05. C 08. E 11. A

03. D 06. C 09. A 12. E

NÚMEROS DECIMAIS

Transformação de Fração Decimal em Número DecimalRegra:

Transformação de Números Decimais em Frações Decimais Regra:

Propriedades de Números Decimais.

1ª . Propriedade:Um número decimal não se altera quando se acrescenta um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

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Para se transformar uma fração decimal, em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Todo número decimal é igual a uma fração, onde o numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é a unidade, seguida de tantos zeros quantos forem as ordens decimais do número dado.




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2ª. Propriedade:Para se multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000... etc., basta afastar a vírgula para a direita uma, duas, três...etc. casas decimais.

3ª Propriedade: Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1000 etc., basta afastar a vírgula para a esquerda uma, duas, três... etc. casas decimais.

Adição e Subtração de Decimais 1) Igualam-se as casas decimais – o que equivale a homogeneizar as frações.2) Coloca-se vírgula debaixo de vírgula – o que equivale a somar apenas as unidades de uma mesma ordem entre si.3) Realiza a operação pedida

Multiplicação de DecimaisMultiplicam-se os números decimais como se fossem números Inteiros e dá-se ao produto tantas casas decimais quantas unidades somarem as casas decimais do multiplicando e do multiplicador.Divisão de DecimaisEliminar as vírgulas, após o acerto das ordens.

Frações Geratrizes das Dízimas Periódicas

A geratriz, de uma dízima periódica composta, é uma fração, onde o numerador é formado pela parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica. O denominador possui tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.


01.(BB) Valor de x nas expressões x = (4,8 – 1,02) 0,4 é:

a) 2,25 b) 4,15 c) 5,75 d) 9,45 e) 9,7

02.(TRT) Simplificando-se a expressão: obtém-se:

a) 0,025 b) 0,11 c) 0,25 d) 5,1 e) 2,5

03.(TRE) Efetuando-se obtém-se

a) 25/8 b) 15/4 c) 35/8 d) 25/4 e) 35/4

04.(PRF) O valor de é de:

a) 0,75 b) 1,245 c) 1,25 d) 12,45 e) 12,5

05.(TRT) Resolver a seguinte expressão:

a) 3 b) 4 c) 4/11 d) 5/3 e) 3/16

06.(CEF) O valor da expressão x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 , para x = 1/2 e y = – 1/2 é:

a) –1 b) – 1/5 c) 0 d) 1/8 e) 1

07.(TRT) Na expressão abaixo, o traço horizontal sobre o número indica o período da dízima periódica: resolvendo essa expressão, obtém-se:

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a) b) 29/9 c) 0,84 d) 3,2 e) 0,1666...

08.(DNER) A dízima periódica 0,1454545... é igual a:

a) 5/11 b) 8/55 c) 29/180 d) 29/198 e) 145/999

09.(BNB) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma irredutível m / n, então m + n é igual a:

a) 88 b) 89 c) 90 d) 91 e) 92

10.(TJ) O valor da expressão é:

a) 54 b)53 c)52 d) 51 e)50

11.(PRF) 0 1994º algarismo, após a virgula, na representação decimal de 12/37 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e)5

12.(UECE) Na seqüência SPMSQSPMSQSP.... que letra ocupa a 90ª posição?

a) S b) P c) M d) Q13.(UECE) Se contarmos 2000 dias a partir de amanhã (Terça - feira), qual o dia da semana que encontramos?

a) Quarta - feirab) Quinta - feira c)Sexta - feira d) Sábado14. (UNIFOR) Na "Notação científica, os números são escritos como produto de um número x, por uma potência de 10”. Por exemplo, 1000 = 1 x 103 e 0,02 = 2 x 10-2. O valor de 0,00015 x 24000 x 0,0003 é: a) 1,08 x 10-3 b) 3,6 x 10-2 c) 4,5 x 10-7 d)9,08 x 10-4 e) 3,08 x 10-2

Respostas1) D 4) D 7) A 10) C 13) D2) D 5) B 8) B 11) B 14) A 3) C 6) E 9) B 12) D

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

EQUAÇÃO é toda sentença matemática expressa por uma igualdade ( = ), onde os números desconhecidos são representados por Letras ( incógnitas).

Exemplos: 2x – 3 = 15 Equação na incógnita X. 3x – 4y = 6 Equação nas incógnitas X e Y

Membros e TermosNuma equação, a expressão situada à esquerda do sinal = é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita do sinal = é chamada de 2º membro da equação.

Exemplo: – 2x + 10 = 3x – 5 1º membro 2º membro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada de Termo da Equação.

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Resolução de uma equação do 1º grau

1º Caso) Resolver a equação 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 solução

4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 Prop. Distributiva 4x – 3 = 4x + 2 – 5 4x – 3 = 4x – 3 4x – 4x = – 3 + 3 0 = 0 A igualdade se faz verdadeira, a equação é chamada Indeterminada, e seu conjunto- solução será o Universo. (S = U)

2º Caso) Resolver a equação

Reduzimos as frações ao mesmo denominador comum(m.m.c)

2x + 3x = 30 + 5x5x – 5x = 30 0 = 30 A igualdade não se faz verdadeira, a equação é chamada Impossível, e seu conjunto – solução será Vazio. (S = Ø)

3º Caso) Resolver a equação

Solução

Reduzimos ao menor denominador comum

2 (2x – 1) – 3 ( x + 1) = 3 Prop. Distributiva4x – 2 – 3x – 3 = 3 x = 3 + 5 x = 8 A equação é chamada Determinada, e seu conjunto – solução é a raiz encontrada.( S = { 8 } )

EXERCÍCIO – EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Resolva as equações ( U = IR)

1) 3x + 5 = 20 2) 2x = - 6 3

3) 5x – 2 ( 3x + 2) = 7x – 2 ( 4x + 3) 4) 5 ( x + 12) = x

5) 4 ( x – 1 ) = 2 (x – 4 ) 6) 2x = 5 ( x + 3 )

7) 5 (1 – x ) – 2x + 1 = - 3 ( 2 + x ) 8) x + x = 15 3 2 9) x – 4 = x 10) 3x – 7 + x – 1 = 2x – 3 8 5 12 8 6 11) 2 + 2(x – 3) = x _ x – 3 12) 2(5+3x)=5(x + 3)–5 5 4 10 13) 7(x–3)=9(x+1)–38 14) x + x _ x = 14 2 3 415) x + x + 3x = 18 16) 3x = 5x _ 7 2 4 4 2 217) x + x = 7 + 2x 18) 7x + 4 _ x = 3x – 5 2 3 3 5 2

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19) 4x – 6 _ 3x – 8 = 2x – 9 _ x – 4 20) 4x _ 5x + 18 = 4x + 1 12 4 6 8 5 4 9 21) 3x + 1 _ 2x = 10 + x – 1 22) 3x – 2 _ 4 – x = 2x _ 7x –2 2 3 6 4 2 323) x + 2 _ x – 3 = x – 2 _ x – 1 3 4 2

Respostas:1) S= { 5 } 6) S = {- 5 } 11) S = { - 7/2} 16) S = { 2 } 21) S = { 14 }2) S= { - 9 } 7) S = { 3 } 12) S = {0} 17) S = { 14 } 22) S = { 2 }3) S= 8) S = { 18 } 13) S = { 4 } 18) S = { 3 } 23) S = { 7 }4) S = { -15} 9) S = { - 20 / 3} 14) S = { 24 } 19) S = { 4 }5) S = { - 2 } 10) S = { 5 } 15) S = { 8 } 20) S = { 20 }

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções.Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variáveis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução. Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas.Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do primeiro grau, empregamos os processos de Adição e Substituição, os quais passaremos a estudá-los separadamente.

Adição

a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários;b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita;c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita;d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita.

Exemplos: 01) Resolver o sistema x + 2y = 11 x – y = 5 Solução:Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta x + 2y = 11 2x – 2y = 10 Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7.

Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: Y = 2. Logo, S = { (7,2) } que é o conjunto verdade da equação. 02) Resolver o sistema : 2x + 3y = 8

5x – 2y = 1 Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda por 3, temos: 4x + 6y = 16 15x – 6y = 3

Somando, membro a membro, teremos: 19x = 19, onde x =1. Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = { (1,2) }.

Substituição

a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar;

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b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira;c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se, dessa forma, o valor dessa incógnita;d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema.

Exemplos: 1) Resolver o sistema x+ 2y = 1 2x – y = 7 Solução: Resolvendo a primeira equação, em relação a x, temos: x = 1 – 2y. Substituindo na segunda equação, o valor de x, isto é, 1 – 2y, vem: 2x – y = 7. 2 (1 – 2y) – y = 7 que resolvida, dará: y = – 1. Substituindo o valor de y em x = 1 – 2y, temos: x = 3. Logo: S = { (3, -1)} que é o conjunto verdade da equação.

x + y = 102) Resolver o sistema:

x – y = 2

Solução:Tirando o valor da variável x na primeira equação, temos: x = 10 – y.Substituindo, na segunda equação, o valor de x, vem: 10 – y – y = 2, que resolvida, resulta: y = 4.Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do sistema ou na expressão x = 10 – y, encontraremos o valor da variável x que será: x = 6.Então, o conjunto solução será: S = { ( 6, 4) }.

EXERCÍCIO – EQUAÇÕES DO 1º GRAU

1. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO.

a) x + 2y = 3 d) 2x + 3y = 7 3x + y = 4 4x + y = 9

b) x + 3y = – 4 e) x + y = 5 2x – y = 6 x – y = 1

c) 2x + 5y = 17 f) x + 2y = 7 3x – 2y = 16 x – 2y = 3

2. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da SUBSTITUIÇÃO.

a) x + y = 11 b) x + y = 46 c) x + y = 3 x – y = 1 x – y = 14 x – y = 1

d) 2x + y = 12 e) x + 2y = 7 f) 2x + y = 4 y = 2x x – 2y = 3 x – y = -1

g) 2x + y = 11 h) 3x – 7y = 13 i) 2x + 5y = 17 2x – 3y = – 1 4x – 5y = 13 3x – 2y = 16

3. Resolver os sistemas abaixo

a) 2x + y = 13 b) x + 2y = 9 x - y = 8 x – 2y = 1

c) x + 2y = 1 d) 3 (x – y ) + 5 ( y – x ) = 18

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2x – y = 7 2x + 3y = 37

e) x – y = 2 3 2 f) 2x + 3y = 23 x – y = 3 5x - 3y = 5 2 3

g) x + y = 7 h) 2x + 3y = 5 3x – y = 5 7x – 3y = 4

j) x + y = y + 2 i) 2x + 4y = 16 3 2 5x – y = 7 x – y = x – 1 2 3

Respostas:1.a) S = {(1,1)} b) S = {( 2,– 2)} c) S = {(6, 1)} d) S = {( 2,1)} e) S = {(3,2)} f) S = {(5,1)}2. a) S= {(6,5)} b) S= {(30,16)} c) S = {(2,1)} d) S= {(3,6)} e) S= {(5,1)} f) S = {(1,2)} g) S = {(4,3)} h) S={(2, -1)} i) S= {(6,1)}3. a) S= {(7,-1)} b) S= {(5,2)} c) S= {(3,-1)} d) S={(2,11)} e) S= {(6,0)} f) S = {(4,5)} g) S = {(3,4)} h) S={(1,1)} i) S= {(2,3)} j) S= {(4,2)}

PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS

IntroduçãoAntes de resolver um problema devemos obter uma forma de representação para o que ele propõe.Vejamos:

1) Representar um número ou uma quantia, e a seguir, o seu dobro, seu triplo etc. Forma: x = o número 2x = o seu dobro 3x = o seu triplo

2) Representar duas quantidades, onde uma tem cinco unidades mais que a outra. Forma: x é a quantia menor x + 5 = a quantia menor mais cinco unidades 3) Representar duas idades que diferem 10 anos. 1ª forma 2ª forma x = a idade menor x = a idade maior x + 10 = a idade maior x – 10 = a idade menor

4) São dados três números: o 1º é 5 unidades maior que o 2º e este tem três unidades menos que o 3º. Forma: x : o segundo número x + 5 : o primeiro número x + 3 : o terceiro número

Questões Comentadas

1) Determinar dois números cuja soma é 40, sendo o maior o quádruplo do menor.

x = o menor Donde: x = 8 4x = o maior e 8 + 32 = 40 4x + x = 40 4x = 32 5x = 40 x = 40 ÷ 5 = 8

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2) A diferença entre dois números é 18 e o maior é o triplo do menor. Determiná-los.

x = o menor número 3x = o maior número 3x – x = 2x é a diferença entre o maior e o menor. 2x = 18 x = 18 ÷ 2 = 9 x = 9 3x = 27

3) Um pai diz a seus três filhos: Conceição, Luís e Duda:---- Vou repartir entre vocês a importância de $ 90,00 de modo que Conceição, que é a mais velha, receba $ 12,00 mais que Luís e este receba $ 6,00 mais que Duda que é a mais nova.

x = a quantia de Duda x + 6 = a quantia de Luis 3x = 66x + 6 + 12 = a quantia de pela inversa da multiplicação Conceição x = 66 ÷ 3 = 22Ou: x x + 6 = 90 Duda: $ 22,00 x + 18 Luís: $ 22,00 + $ 6,00 = $ 28,00 3x + 24 = 90 Conceição:$ 28,00+$12,00=$40,00Pela inversa da adição: 3x = 90 – 24 4) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 54 anos. Há 6 anos a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Quais as idades de cada um hoje?

Há seis anos54 – 2 X 6 = 54 – 12 = 42 anos x = 42 anos ÷ 6 = 7 anos

x é a idade do filho o filho, 7 anos 5x a idade do pai o pai, 35 anos 5x + x = 6x Hoje 6x = 42 anos 7 + 6 = 13 anos o filho. 35 + 6 = 41 anos o pai

5) Cândida faz problemas. Ganha $ 0,10 por problema certo e paga multa de $ 0,07 por problema que erra. Fez 20 problemas e recebeu $ 1,32. Quantos problemas acertou e quantos errou?

Vejamos:

Neste problema deve-se raciocinar: Se Cândida acertasse todos os problemas ganharia: 20 problemas x $ 0,10 = $ 2,00.Entretanto recebeu apenas $ 1,32. Significa que deixou de ganhar a diferença, isto é: $ 2,00 – $ 1,32 = 0, 68.

Entretanto, em cada problema errado, Cândida deixou de ganhar: $ 0,17.

Pergunta-se: ___ Por que deixou de ganhar $ 0,17 por problema errado?

___ Claro, primeiro não ganhou $ 0,10 que seria o prêmio do acerto e segundo pagou $ 0,07 de multa. Logo, são $ 0,17 de prejuízo por problema errado.

Como o prejuízo total foi de $ 0,68 e o prejuízo por problema foi de $ 0,17 basta efetuar a divisão: $ 0,68 ÷ $ 0,17 = 4 problemas.Isto é, Cândida errou 4 problemas e, logicamente, acertou 16 problemas. Problemas certos: $ 0,10 x 16 = $ 1,60 Problemas errados: $ 0,07 x 4 = $ 0,28 Recebeu $ 1,32

6) Cândida foi a Bahia e deixou $ 1,00 de óbolo em cada igreja que visitou e, ao fim das visitas, sobraram $ 4,00 do dinheiro destinado às esmolas. Se tivesse deixado $ 1,50 em cada igreja, teria gasto $ 8,00 mais do que esperara gastar com os óbolos. Quantas igrejas Cândida visitou e quanto pensara gastar com as esmolas?

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Vejamos:I) Deixando $ 1,00 em cada igreja sobram $ 4,00 Deixando $ 1,50 em cada igreja faltam $ 8,00Vê-se assim, que um acréscimo de 0,50 em cada óbolo provoca um acréscimo de $ 12,00 nas despesas de Cândida.(De fato, a sobra de $ 4,00 e mais os $ 8,00 que despenderia.)

Logo as igrejas são: $ 12,00 ÷ $ 0,50 = 24 igrejas.

II) Cândida destinara aos óbolos: 24 X $ 1,00 = $ 24,00 distribuídos + $ 4,00 $ 28,00Prova: De fato, se desse $ 1,50 em cada igreja, gastaria $ 36,00, isto é, $ 8,00 mais do que previra.

7) Um boiadeiro comprou 25 bois e 8 novilhos pela importância de $ 1.820,00. Determinar o preço de cada animal, sabendo-se que um boi e um novilho juntos custam $ 100,00

Vejamos:

Como um boi e um novilho juntos valem $ 100,00, então os oito novilhos e os oito bois custaram $ 800, 00.Desse modo, a importância restante, isto é, $ 1.820,00 – $ 800,00 = $ 1.020,00 foi necessária para adquirir os restantes 17 bois, ou seja:$ 1.020,00 ÷ 17 = 60,00Logo: $ 60,00 é o preço de cada boi; e $ 100,00 - $ 60,00 = $ 40,00 é o preço de cada novilho.

Prova: Um boi + um novilho = $ 60,00 + $ 40,00 = $ 100,008 novilhos + 25 bois = $ 320,00 + $ 1.500,00 = $ 1.820,00. 8) De duas cidades A e B, cuja distância é 315km, partem simultaneamente dois trens. O que parte de A se dirige em direção a B com a velocidade média de 60km por hora e o que parte de B se dirige para A com a velocidade média de 45km por hora. Pergunta-se: depois de quanto tempo se cruzarão e a que distância de A?

Vejamos: Representando-se esquematicamente o problema, teremos:

V1 = 60 km/h P V2 = 45 km/h 1º trem 2º trem

315 km

A B

Como os trens se deslocam em sentidos contrários, ao se cruzarem, a soma dos percursos realizados é igual à distância entre A e B que é de 315 km. Para realizar o mesmo percurso, no mesmo tempo, um único trem deveria ter uma velocidade V igual à soma entre as velocidades V1 e V2 . Isto é. V = 60 km/h + 45 km/h = 105 km/h

Ora, um trem com 105 km/h demoraria 3 horas para percorrer os 315 km. De fato: 315km ÷ 105 km/h = 3 horas.Da mesma forma, os dois trens que partem de A e B. Para isso, basta, então dividir o percurso de 315 km pela soma de suas velocidade e, como acima, se encontrará 3 horas.

60km/h x 3 horas = 180 km; 45 km/h x 3 horas = 135km. P 180 km 135 km

315 km

EXERCÍCIOS – NÚMEROS INTEIROS

1) A soma de dois números é 52 e um deles é o triplo do outro. Quais são os números?

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2) A diferença entre dois números é 45 e o maior deles é igual ao sêxtuplo do menor. Determiná-los.

3) A minha idade é o quádruplo da idade de meu filho e juntos temos 45 anos. Quais são as nossas idades?

4) A soma de dois números é 43 e um deles excede o outro de 5 unidades. Quais são os números?

5) A diferença entre dois números é 7 e a soma deles é 29. Determiná-los.

6) Quando João nasceu, Cândida tinha 5 anos. A soma das idades hoje é 31 anos. Quais as idades?

7) O produto de dois números é 6.800 e um deles é 170. Determinar o outro.

8) Pensei em um número; multipliquei-o por 3; somei 12 ao resultado; dividi esse resultado por 3 e obtive 19. Qual o número pensado?

9) Um recipiente é alimentado por duas torneiras: a primeira despeja 64 litros de água por minuto e a segunda despeja 48 litros de água por minuto. Pergunta-se: ao fim de quantos minutos o recipiente ficará cheio, sabendo que sua capacidade é de 1.904 litros?

10) O terreno de meu vizinho é 80m2 maior que o meu. A fim de ficarmos com terrenos iguais, ele vai vender-me a parte necessária à razão de $ 180,00 o metro quadrado. Quanto deverei pagar?

11) Se eu tivesse $ 14.640,00 mais do que tenho, poderia comprar um terreno que tem 320m2 cujo valor é $ 120,00 o metro quadrado. Quanto eu possuo?

12) Luís diz a Marcos: "Se eu lhe der 14 figurinhas das que eu tenho, então você ficará com tantas figurinhas quanto "eu". Sabendo que juntos possuem 120 figurinhas, pergunta-se: quantas têm cada um?

13) A soma das idades de Cristina, Marcelo e Frederico é 20 anos. Cristina nasceu 6 anos antes que Marcelo e este é 4 anos mais velho que Frederico. Quais são as idades dessas crianças?

14) Quando Fábio nasceu, Clara tinha 4 anos e Lourdes tinha 6 anos. Hoje, a soma das idades dos três é 22 anos. Determiná-las.

15) Um pai deseja distribuir a quantia de $ 115,00 entre seus três filhos. Quer dar $ 10,00 mais a Sidônio do que a Roberto e $15,00 mais a Roberto do que a Francisco. Quanto deve receber cada um?

16) A soma das idades de um pai e de um filho é hoje 72 anos. Há 12 anos passados, a idade do pai era 7 vezes a idade do filho. Quais são as idades hoje?

17) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 30 anos. Daqui a 12 anos a idade do pai será o dobro da idade do filho. Quais as idades hoje?

18) Um pai diz a seu filho: "A soma de nossas idades hoje é 36 anos. Entretanto, há três anos passados, minha idade era o quádruplo da sua". Quais são essas idades? 19) Um avô tem 74 anos e seus 4 netos, 5, 7, 11 e 12 anos. No fim de quantos anos será a idade do avô igual à soma das idades dos netos?

20) A soma de quatro números inteiros consecutivos é 86. Calculá-los.

21) Aumentando-se um certo número de 126 unidades, obtém-se o quadruplo do número. Calculá-lo.

22) Num quintal existem perus e coelhos, ao todo 62 cabeças e 148 pés. Quantos são os perus e quantos são os coelhos?

23) Um aluno ganha $1,50 por problema que acerta e paga, a título de multa, $ 0,90 por problema errado. Faz 20 problemas e recebe $ 20,40. Quantos acertou e quantos errou?

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24) Uma pessoa dá esmolas às igrejas que visita. Tendo deixado $ 0,20 em cada igreja, ainda lhe sobraram $ 1,80. Entretanto, se desse $ 0,30 de esmola a cada igreja, ter-lhe-iam sobrado apenas $ 0,70. Quantas foram as igrejas visitadas e quanto levava essa pessoa no bolso?25) Dei três laranjas a cada menino e fiquei com vinte. Se tivesse dado 5 a cada menino, teria ficado com 8. Quantos meninos eram?

26) Uma pessoa querendo distribuir laranjas entre vários meninos, calculou que poderia dar a cada um, 11 laranjas e ainda lhe restariam 4 laranjas. Mas tendo um menino recusado a sua parte, cada um dos outros recebeu 14 laranjas, sobrando ainda 3 laranjas. Quantos meninos havia e quantas laranjas a pessoa possuía?

27) João diz a augusto: "Eu tenho $ 3,15 no bolso com igual número de notas de $0,05, $ 0,10 e $ 0,20. Quantas notas eu tenho de cada espécie?

28) Augusto diz a João: "Eu tenho $1,80 em notas de $0,05, $0,10 e $0,20. As importâncias em dinheiro que possuo de cada espécie são iguais. Quantas notas eu tenho de cada espécie?

29) Uma pessoa compra 12 frangos e 20 perus pela importância de $ 124,00. Determinar o preço de cada ave, sabendo que um frango e um peru custam juntos $ 7,00.

30) Um criador compra 40 burros e 52 cavalos pagando $ 31.600,00 pelo lote. Determinar o preço de cada animal, sabendo que um burro e um cavalo custam juntos $ 700,00.

31) São dados três números: a soma dos dois primeiros é 20, a soma dos dois últimos é 15 e a soma do primeiro com o último é 19. Quais são esses números?

32) Um ciclista parte da cidade A em direção a B, ao mesmo tempo que o outro parte de B em direção a A, cuja distância é 120 km. O primeiro desenvolve uma velocidade de 24 km por hora e o segundo 16 km por hora. Pergunta-se:

a) Ao fim de quanto tempo se encontraram?b) A que distância da cidade A se dá o encontro?

33) Durante uma viagem, uma caravana pousou num motel. Os homens pagaram o dobro que as senhoras e estas pagaram o triplo que as crianças. Sabendo-se que a despesa foi de $ 1.950,00 e que existiam 20 homens, 15 senhoras e 30 crianças, pergunta-se: quanto pagou cada um?

34) De uma estação parte um trem que desenvolve 50km por hora. Após 3 horas, parte outro trem no mesmo sentido, que alcança o primeiro quando decorreram 5 horas da partida do segundo. Pergunta-se: qual a velocidade média do segundo trem?

Respostas1) 13 e 39 23) Acertou:16 problemas2) 9 e 54 Errou: 4 problema3) Pai: 36anos – Filho: 9 anos 24 11 Igrejas e R$ 4,004) 19 e 24 25) 6 meninos5) 11 e 18 26) 5 meninos-59 laranjas6) Cândida: 18 anos – João:13 anos 27) 9 notas 7) 40 28) 12 de $ 0,058) 15 6 de $ 0,109) 17 minutos 3 de $ 0,2010) R$ 7.200,00 29) Frango: R$ 2,0011) R$ 23.760,00 Peru: R$ 5,00 12) Luís: 74 – Marcos: 46 30) Burro: R$ 400,0013) Cristina:12 anos Cavalo: R$ 300,00 Marcelo: 6 anos 31) 1º número: 12 2º número: 8 3º número: 7 Frederico: 2 anos 14) Lourdes: 10 anos Clara: 8 anos 32) a) 3 horas Fábio:4 anos b) 72 km15) Sidônio: R$ 50,00 33) Crianças:$ 10,00 Roberto:R$ 40,00 Senhoras:$ 30,00

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Francisco: R$ 25,00 Homens: $ 60,00 16) Pai: 54 anos – Filho: 18 anos 34) 80 km por hora17) Pai: 24 anos – Filho 6 anos18) Pai: 27 anos – Filho 9 anos19) 13 anos20) 20,21,22,2321) 4222) Perus: 50 – Coelhos 12


01.(CMF) Um pai tem 36 anos e seus três filhos 3, 5 e 8 anos. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual a soma das idades dos filho?

a) 10 anos b) 12 anos c) 15 anos d) 18 anos e) 20 anos

02.(BB) Hoje eu tenho a idade que meu amigo Paulo tinha quando eu nasci. Daqui a 15 anos terei 3/5 da idade de Paulo. Qual é a idade atual de Paulo?

a) 45 anos b) 30 anos c) 55 anos d) 60 anos e) 65 anos

03.(CEF) Há 8 anos, a idade de "A" era o triplo da de "B", e daqui a 4 anos a idade de "B" será os 5/9 da de "A". Achar a razão entre as idades de A e B.

a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 3

04.(UFC) Quando José nasceu, Bruno tinha 4 anos de idade. Decorridos 17 anos, qual é diferença, em anos, entre as idades de Bruno e José?

a) 13 b) 4 c) 21 d) 5 e) 17

05.(BNB) O sistema de equação abaixo:

2x + y + z + w = 1 x + 2y + z + w = 2

x + y + 2z + w = 3 x + y + z + 2w = 4 Possui uma única solução x, y, z, w. Pode-se afirmar que a soma S= x + y + z + w é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

06). (BB) Em um pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Assim, o número total de veículos é igual a:

a) 39 b)42 c) 49 d) 52 e)59

07).(TJ) Em um terreiro havia um certo número de bípedes e de quadrúpedes, num total de 900 patas. As patas dos bípedes são a metade das dos quadrúpedes. O número total de animais que havia no terreiro é:

a) 150 b) 300 c) 350 d) 450 e) 600

08.(TTN) Dois professores "A" e "B", dão aulas particulares e sabe-se que "A" cobra R$ 2,00 a mais que "B" por hora de trabalho. Se, por 30 horas de aula, "A" receberá R$ 210,00 a mais que "B" receberia ministrando 20 horas aula. A soma das quantias que cada um cobra por hora de trabalho é:

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a) R$ 32,00 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$42,00 e) R$ 45,00

09.(CEF) O Sr. J.R.N. foi contar seu patrimônio e encontrou apenas moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, e 50 centavos, todas em quantidades iguais, totalizando R$ 15,47. Qual a importância que o desafortunado tem em moedas de 25 centavos?

a) R$ 3,00 b) R$ 3,50 c) R$ 3,75 d) R$ 4,00 e) R$ 4,25

10.(UFC) Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um buffet que fizesse 7 salgadinhos de um certo tipo para cada convidado. No dia da recepção, ao receber os salgadinhos, notou que havia 2 a mais do que o encomendado. Por outro lado, compareceram à recepção 3 convidados a mais que o esperado. A dona de casa resolveu o imprevisto, distribuindo exatamente 6 salgadinhos para cada convidado presente. Com base nessas informações, assinale a opção que contém o número de salgadinhos preparados pelo buffet.

a) 108 b)114 c)120 d)126 e) 112

Respostas01.A 03. B 05.B 07.B 09.E02. D 04. B 06.D 08.A 10.B

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

A necessidade de medir grandeza levou o homem a estabelecer unidade(s) de medida(s) que pudessem facilitar principalmente as relações comerciais, exemplos: polegada, légua, alqueire, milha, palmo etc, que permanecem até hoje em evidência, pois não é fácil uma padronização, haja visto os diversos aspectos das atividades humanas. Veja o sistema métrico decimal estabelecido pelo Sistema Internacional de Unidade (SI).

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

I. UNIDADES FUNDAMENTAIS (MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS)

COMPRIMENTO CAPACIDADE

MASSA ÁREA

VOLUME TEMPO (COMERCIAL:1mês=30dias e 1ano=360dias)

PREFIXOS:

quilo k 1000MÚLTIPLOS hecto h 100

deca da 10

40




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deci d 0,1SUBMÚLTIPLOS centi c 0,01 mini m 0,001

II - MEDIDAS AGRÁRIAS

1 hectare =100 ares =10.000m2

1 are =100m2

IMPORTANTE!!!Conversão 1dm3 = 1 litro(água pura) → 1 litro = 1 Kg1000Kg = 1 tonelada (ton)

III - PREFIXOS USADOS NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I)

PREFIXOS SÍMBOLOSFATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

TERA T 1.000.000.000.000 = 1012

GIGA G 1.000.000.000 = 109

MEGA M 1.000.000 = 106

QUILO K 1.000 = 103

HECTO h 100 = 102

DECA da 10

PREFIXOS SÍMBOLOSFATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

DECI d 0,1 = 10-1

CENTI c 0,01 = 10-2

MILI m 0,001 = 10-3

MICRO 0,000001 = 10-6

NANO n 0,000000001 = 10-9

PICO p 0,000000000001 = 10-12

FENTO f 0,000000000000001 = 10-15

ATTO a 0,000000000000000001 = 10-18

IV - ALGUNS VALORES DO SISTEMA DE MEDIDAS NÃO-DECIMAL

UNIDADE VALORES UNIDADE VALORESPOLEGADA 2,54cm JARDA 91cmPÉ 30,48cm COVADO 61cmPASSO 1,52m CORDA 3,05mPALMO 20,32cm BRAÇA

(BRASILEIRA)2,2m

ESTÁDIO 190m MILHA (BRASILEIRA)

2.200m

TOESA 1,83m MILHA INTER.

1.852m

VARA 1,02m LÉGUA (BRASILEIRA)

6.600m

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01.Calcule o valor da expressão: em metros(m)

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02.(CMF-96) Um reservatório, no formato de um paralele-pípedo, contém água, até a sua metade. As dimensões do reservatório são: 0,8dam de comprimento; 30dm de largura e 420cm de altura. Qual a massa d'água desse reser-vatório, em quilograma (Kg)?

03.(M.P.U.) Um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo de 24,5 metros de comprimento, 1,6 decâmetro de largura e 0,045 hectômetro de profundidade, contém certa quantidade de leite. Sabendo-se que esse leite ocupa 3/5 da sua capacidade e que um litro dele pesa 1.020 gramas, o seu peso em toneladas é de:

a) 1.079,568 b)5.397,84 c)1.799,28 d)1.079.568 e)1.799.280

04.A expressão 2[2dm3+2l] + 3[1000cm3–1000ml] em litros vale:

a) 4 b)6 c)8 d)10 e)12

05.(B. do Brasil) Qual é a área de um terreno retangular que mede 300m de comprimento por 500m de largura?

a) 0,15ha b)1,5ha c)15ha d)150ha e)1500ha

06.(TTN) Uma tartaruga percorreu, num dia 6,05hm. No dia seguinte percorreu mais 0,72km e no terceiro dia, mais 12.500cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de:

a) 1.450m b)12.506.77m c)14.500m d)12.506m e)1.250m

07.(T.S.T.) Um reservatório contém 1dam3, 2m3, 800dm3 e 1.200cm3 de água. A sua capacidade expressa em litros é:

a) 10.281,2 b)102.812,0 c)1.028.001,2 d)100.281,2 e)1.002.801,2

08.Quantos ha tem a superfície de um terreno ocupado por 600km de uma estrada cuja largura mede 15m?

a) 750ha b)800ha c)850ha d)900ha e)950ha

09.(B. do Brasil) Quantos ladrilhos de 0,2m x 0,2m são precisos para revestimento de uma sala de 5m de comprimento por 6m de largura?

a) 600 b) 650 c)700 d)750 e)800

10.(B. do Brasil) Quanto gastará uma pessoa que deseja cercar uma chácara retangular medindo 400m por 200m, com estacas distantes 4m uma dá outra, custando R$ 2,00 cada?

a) R$ 120,00 b)R$ 160,00 c)R$ 240,00 d)R$ 330,00 e)R$ 600,00

11.Em um mapa, cuja escala não aparece pois foi rasurada, a distância entre as cidades A e B é de 20 cm. Sendo a distância real entre essas cidades de 90 km, a escala utilizada nesse mapa é de:

a) 1:460.000 b)1:400.000 c)1:420.000 d)1:430.000 e)1:450.000

12.(B. do Brasil) Determinar quantos litros de água recebe, por minuto, um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, que mede 5 metros de comprimento, 3,5 metros de largura e 2 metros de profundidade, sabendo que ele se enche, totalmente, em 40 minutos:

a) 578 litros b)587 litros c)758 litros d)785 litros e)875 litros

13.(CMF-93) Em uma cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e de 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4m2. Para azulejar as 4 paredes, o pedreiro aconselhou a comprar de 10% a mais da metragem a ladrilhar. Qual a metragem de ladrilhos a comprar?

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14. A distância entre a cidade A e a cidade B é de 72 cm num mapa cuja escala é . Assim, a distância real

entre essas duas cidades é de:

a) 3,6 km b)7,2 km c)14,4 km d)36 km e) 72 km

15.(CMF-94) Um reservatório, de forma de paralelepípedo, com 2m de comprimento e 10dm de largura, contém

óleo até os da altura. Esse óleo foi distribuído por 75 latas cúbicas de 20cm de aresta. Determine a altura do

reservatório.

GABARITO

01 02 03 04 0560,26m 50.400kg A C C06 07 08 09 10A E D D E11 12 13 14 15E E 26,4 m2 D 5dm

ÁREA DAS FIGURAS PLANAS

Área dos quadriláteros

• RETÂNGULO • QUADRADO • PARALELOGRAMO

Perímetro: Perímetro: 4a Perímetro:

Área: Área: Área:

• TRAPÉZIO • LOSANGO

Perímetro: Perímetro: 4a

Área: Área:

• TRIÂNGULO • CÍRCULOPerímetro:

Área: Área:

OBSERVAÇÃO: O comprimento de uma circunferência de raio R é dado por:

43

C = 2R




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Volume do Paralelepípedo

Seja o paralelepípedo da figura abaixo e digamos que suas medidas sejam: a = 5 cm b = 4 cm c = 6 cm b

a

c

O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas três dimensões a, b, c.

Ou: V = a. b. c

Onde: V é o volume ; a é a largura; b é a altura; e c a profundidade. Se observarmos a fórmula: V = a. b. c., poderemos escrevê-la V = (a.c) . b E como a. c. indica área da base, diríamos:

O volume do paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela altura.

Assim: V = 5.4. 6 V = 120 cm3

Volume do Cubo

Como o cubo é um paralelepípedo retângulo de arestas iguais, chamando-se essas arestas de a, vem:

V = a x a x a Ou: O volume do cubo é dado pelo ou V = a3

a cubo de sua aresta. a a

RAZÃO E PROPORÇÃO

1. Razão de dois números

Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b.

Indicamos: ou a : b (lemos: a para b )

Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos:

1. A razão de 3 para 12 é :

2. A razão de 20 para 5 é :

3. A razão entre 5 e é :

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2. Razão de duas grandezas

Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é razão entre a medida da primeira grandeza a medida da segunda.Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplos:

1. A razão de 2m para 3m é:

2. A razão de 30 dm para 6m é:

Observação:Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das

grandezas a partir das quais se determina a razão.Exemplo:

Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.

PROPORÇÕES

DefiniçãoDados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números(15 e 3) é igual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é:

15/3 = 5 e 20/4 = 5, dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, forma uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

Assim:Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d).

Simbolicamente, representamos uma proporção por:

lemos: "a está para b, assim com c está para d".Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

Exemplos:

1. , pois e

2. , pois e

Elementos45




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Na proporção:

temos:

a, b, c e d são termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente) a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios

Propriedade fundamental

Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Razões Iguais Considerando as razões: vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla.

Em símbolos:

PropriedadeEm uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.

Exemplo:

RESUMO DAS PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO

* PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

1ª Propriedade

ou

2ª Propriedade

ou

3ª Propriedade

4ª Propriedade

5ª Propriedade

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e

EXERCÍCIO – RAZÃO E PROPORÇÃO

1) Determine a razão entre os números:a) 226 e 1.017 b) 1,25 e 0,75

c) e d) e

2) Calcule a razão entre as seguintes grandezas:a) 80 m e 48 dam b) 150 m2 e 45 ares c) 0,725 m3 e 5.000 L d) 9d 17h 20min e 8d 12h 10min3) Verifique se a razão de 6meses 20dias para 3anos 5meses 20dias é igual à razão de 640 L para 2 m3.

4) Verifique se as seguintes expressões formam proporção:

a) b) c)

5) Calcule o valor de x na proporção:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

6) Escreva uma razão igual a , cujo antecedente seja .

7) Escreva uma razão igual a , cujo conseqüente seja .

8) Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a e cujos conseqüentes sejam 28 e 36.

9) Calcule x e y , sabendo que:

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a) e x + y = 187 b) e x + y = 1/6 c) e x – y = 85

10) Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é 4/9 11) Dois números, cuja soma é 28, guardam entre si a relação 3/4. Quais são esses números? 12) Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? 13) A idade de um pai está para a de seu filho como 21 está para 5. Se a soma das idades é 52, qual a idade de cada um? 14) Decomponha o número 35 em duas partes, tais que a razão entre elas seja 3/2. 15) Qual o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20?

16) Qual é o número que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6?

17) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

18) A importância de R$ 588 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como 7 para 9, determine as três partes.

Respostas1. a) 2/9 b) 5/3 c) 8/15 d) 46/45 09. a) x = 55 e y = 1322. a) 1/6 b) 1/30 c) 29/200 d) 8/7 b) x = 1/10 e y = 1/153. Não c) x = 136 e y = 51 4. a) sim b) sim c) não 10. 52 e 1175. a) 8/21 c) – 5/3 e) 105/64 g) 2 11. 12 e 16

b) 4 d) 2,5 f) 3/5 h) 12. 32 e 20

6. 13. 42 anos e 10 anos

7. 14. 14 e 21

15. 5

8. 16. 23

17. 184, 115 e 25618. R$ 140, R$ 196 e R$ 252

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

IntroduçãoA maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de tal forma que,

quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados.A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais. Grandezas Diretamente Proporcionais

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DefiniçãoUma barra de alumínio de 100cm3 de volume pesa 270 g; nas mesmas condições, uma barra de 200cm3 pesará 540 g e uma de 30cm3, 810 g. podemos, então, escrever a seguinte tabela:

Volume (cm3) 100 200 300 500

Massa ( g ) 270 540 810 1.350

Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já que aumentando uma (volume), a outra (massa) também aumenta.

Propriedade FundamentalSendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais, podemos escrever: y2 y1

x2 x1

Alternando os extremos, obtemos: x1 y1

x2 y2

que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais:

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

EXERCÍCIO – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

1) O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número de operários empregados nesse serviço? Por quê?

2) Verifique se são ou não proporcionais os números das seqüências:

a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105)

3) Qual é a razão de proporcionalidade entre as seqüências de números diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)?

4) Determine os valores de a e b nas seqüências de números proporcionais (6,a,21) e (2, 5, b).

5) Dados os números 1/5 , 3/6 e 7/10 , determine os três menores números inteiros proporcionais a esses números.

Respostas1) Não. Aumentando o número de operários, o número de dias gastos na construção, diminuirá.2) a) Não b) sim3) k = 1/8 4) a = 15 e b = 7 5) 2,5 e 7

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

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DefiniçãoUma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:

Velocidade 100 200 300 400 (km/h) Tempo 12 6 4 3 ( h )

Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui.

Propriedade FundamentalSendo (x1, y1) e (x2, y2) partes de valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais, podemos escrever: x1, y1 = x2, y2 ou: x1 y2

x2 y1

que nos dá a propriedade característica das grandezas inversamente proporcionais:

Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.

DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE

Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionaisSuponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela para o número 11. Assim, chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas, devemos verificar que: x

= y

= z

1 2 5 11Além disso, com x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter:

x + y + z = 180Como 1 é uma série de razões iguais, podemos escrever, pela propriedade: x + y + z = x = y = z 2 + 5 + 11 2 5 11 ou: 180 = x = y = z 18 2 5 11

Como: 180 = 10 temos: 18 x = y = z = 10 2 5 11 Daí x = 10 x = 2 x 10 = 20 2 y = 10 y = 5 x 10 = 50 5 z = 10 z = 11 x 10 = 110 11 Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são: 20, 50 e 110.

Observação: Por convenção, chamamos, simplesmente, de divisão proporcional a divisão diretamente proporcional.

Divisão em partes inversamente proporcionais

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Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6, isto é, determinar parcelas x, y e z, tais que: x = y = z 1 1 1 3 5 6 Como o m.m.c. ( 3, 5, 6 ) = 30, temos: 10 6 5 1 x 30 = 10 1 x 30 = 6, 1 x 30 = 5 3 5 6 1 1 1Logo: x 10 x = y = z 210 y 6 sendo 10 6 5 z 5 x + y + z = 210 21

Como: 210 21Vem: x = 10 x 10 = 100 y = 6 x 10 = 60 Logo, as partes procuradas são: z = 5 x 10 = 50 100, 60 e 50 210

Divisão Proporcional Composta

Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente proporcionais a outros tantos números a´, b´, c´. Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras, podemos achar o processo de resolução do problema. Consideremos, para efeito de raciocínio, o caso da divisão da grandeza de valor n em partes proporcionais aos números a, b, c e também aos números a´, b´, c´, respectivamente. Sejam x, y, x, os valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c, e também a a´, b´, c´, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos aa´, bb´, cc´.

EXERCÍCIO- DIVISÃO PROPORCIONAL

1) Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.

2) Divida 183 em partes proporcionais a 1/3 , 1/4 e 1/7

3) Dois operários contratam um serviço por R$ 180. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço?

4) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

5) Um pai deixou R$ 2.870,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?

6) Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8.

7) Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4, 6 e 9.

8) Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3,5 e 6 e a 4, 6, 9.

Respostas

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k = k = 10




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1) 650, 910 e 1.430 5) R$ 1.470, R$ 980 e R$ 4202) 84, 63 e 36 6) 360, 630 e 12003) R$ 84 e R$ 96 7) 2000, 1.800 e 2.2504) 120, 80 e 60 8) 180, 72 e 40

REGRA DE SOCIEDADE

IntroduçãoA regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio.Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.Regra de Sociedade Classicamente, há quatro casos a considerar:1º) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles. Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros: 222.600 = 74.200 3 Logo, a parte de cada um no lucro é de: R$ 74.200

2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.Neste caso, dividimos o lucro ou prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.

Exemplo: Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus capitais são de R$ 540.000, R$ 450.000 e R$ 360.000:

x 540 x = 540 x 0,02 = 10,8 27 y 450 k = 27 = 0,02 y = 450 x 0,02 = 9,0 z 360 1.350 z = 360 x 0,02 = 7,2 1350 27,0

Logo, o prejuízo corresponde a cada sócio é, respectivamente, de: R$ 10.800, R$ 9.000 e R$ 7.200

3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos. Porém, na prática este caso não ocorre, porque, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o Passivo.

4º) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior. Observação:Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de capital em épocas diferentes.

EXERCÍCIO–DIVISÃO PROPORCIONAL/REGRA DE SOCIEDADE

1) Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12.

2) Divida 3.751 em partes diretamente proporcionais a 7/4 , 5/8 e 3/23) Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4.

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4) Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.

5) Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a 2/3 , 4/5 e 7/8 .

6) Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4.

7) Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4, 8 e 10 e a 5, 6 e 7, ao mesmo tempo.

8) Divida o número 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 5 e 9 e 1/5 , 1/6 e 1/8.

9) Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 2 e 8 e 2, 4 e 6.

10) Divida o número 1.080 em partes diretamente proporcionais a 1/2 e 3/4 e inversamente proporcionais a 5 e 6, ao mesmo tempo.

11) Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles?

Respostas:01) 210, 300 e 36002) 1.694, 605 e 145203) 26,78 e 22104) 450, 270 e 15005) 1.218, 1.015 e 92806) 640, 80 e 4007) 60, 144, 21008) 432, 600 e 81009) 176, 132 e 2210) 480 e 60011) R$ 675 R$ 750 e 1.125

REGRA DE TRÊS

IntroduçãoChamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

Regra de Três Simples Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.


1) Comprei 6m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?

Resolução:

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Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimento for multiplicado por 2, 3, ..., o preço ficará multiplicado por 2, 3,... Podemos, então, concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais.Chamamos de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8m de tecido), dispomos, em uma primeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e, em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valor correspondente da segunda e que se quer conhecer:

Comprimento Preço (m) (R$) 6 15 8 xEm seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: 6 15 8 x

Armamos a proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas: 6 = 15 8 x

e determinamos o valor de x: x = 8 x 15 x = 20 6Logo, o preço procurado é: R$ 20,00 Observações: I) É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida. II) Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a regra de três é direta.

2) Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

Resolução: Temos: Operários Dias 6 10 20 x

Se o número de operários for multiplicado por 2,3 o número de dias ficará dividido por 2, 3,..., respectivamente. Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais.Assim, a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário ao da primeira: 6 10 20 x

Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias): 20 10 6 x 3 1 Daí: 20 = 10 x = 6 x 10 x = 3 6 x 20 10 1 Logo, serão necessários: 3 dias

Observações:

1) Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

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2) Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são consideradas condições iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam igualmente e que as condições de trabalho também sejam iguais.

EXERCÍCIO – REGRA DE TRÊS

1) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?

2) Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia?

3) Se 1 cℓ de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?

4) Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempo durarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros?

Respostas: 1) R$ 1.463,00 2) 9 dias 3) 40,5 litros 4) 40 dias

Regra de Três Composta

Como dissemos antes, a regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Neste caso de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.


1) Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?

Resolução:

Temos a seguinte disposição prática dos dados: Exemplares Rotativos Tempo (min) 87.500 5 56 350.000 7 x Fixando a segunda grandeza (número de rotativas), vemos que a primeira grandeza (número de exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais, pois duplicando o número de exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza,vemos que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois duplicando o número de rotativas, o tempo necessário se reduzirá à metade.Assim temos: 87.500 5 56 350.000 7 x

Invertendo os valores da segunda grandeza, vem: 87.500 7 56 350.000 5 x

O que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras: 56 = 87.500 x 7 x 350.000 x 5

Daí: 8 4 x = 56 x 350.000 x 5 x = 160

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87.500 x 7 1 1 Isto é: x = 160 min ou x = 2 h 40 min

2) Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias.Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?

Resolução : Temos: operários jornadas comprimentos dias (h) (m) 15 9 36 16 18 8 60 x

Verificaremos, com facilidade, que a quarta grandeza (número de dias) é diretamente proporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número de operários) e à segunda (jornada de trabalho diário). Assim: 15 9 36 16 18 8 60 x

Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos: 18 8 36 16 15 9 60 x 1 5 2 10 1 5 Calculando o valor de x: x = 16 x 60 x 9 x 15 = 5 x 5 => x = 25 18 x 8 x 36 2 1 6 1 2 1 Logo os operários farão o muro em 25 dias

EXERCÍCIO – REGRA DE TRÊS –SIMPLES/COMPOSTA

1) Se 35 m de um tecido custam R$ 140, quanto se pagará por 12 m?

2) Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias?

3) Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma velocidade, em 54 min?

4) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho?

5) Um operário faz, em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantos dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,25?

6) Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia?

7) Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais 140 soldados, a quanto se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmo tempo?

8) Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre?

9) Um automóvel, correndo com uma velocidade e 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em 9 h. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante 45 min. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na hora fixada?

10) Se 4/5 de uma obra foram avaliados em R$ 268.400, qual é o valor de 5/11 da mesma obra?

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11) As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 m do primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo?

12) Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâmetro, respectivamente estão ligadas por uma correia de transmissão. Enquanto a maior dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor?

13) Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual?

14) Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15 peras valem 9 maçãs; 25 abacates valem 15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates. Quantas laranjas poderão ser trocadas por 9 peras?

15) Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando h por dia.

“afrouxando” em 1/10 a sua velocidade e viajando 6 h por dia, quantos dias levará para percorrer a mesma distância?

16) Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias em 15 dias. Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior, trabalhando 5 h diárias,com a velocidade que torna o rendimento 1/8 maior?

17) Dois cavalos foram pagos em razão direta de suas velocidades e inversa de suas idades.Sabendo que a velocidade do primeiro está para a do segundo como 3 está 4, que as idades do primeiro e do segundo são respectivamente, 3 anos e 9 meses e 5 anos e 4 meses, e que pelo primeiro foram pagos R$ 480, 00, qual foi o preço do segundo?

18) Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias em seguida trabalharam 24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado desde o começo?

Respostas:1) R$ 48,00 2) 30 tratores3) 47,25 km4) 40 dias5) 15 dias6) 18 dias 7) Reduzida em 7/228) 840 metros9) 96 km/h 10) R$ 152.500,00 11) 15 metros12) 810 voltas13) 12 dias14) 12 laranjas 15) 5 dias 16) 38 dias e 2horas17) R$ 450,0018) 25 dias


01) (T.J) A razão entre dez minutos e um dia é de:

a) 1:120 b) 1:144 c) 1:180 d)1:196 e) 1:240

02) (C.E.F) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?

a) 2 horas e 7 min. c) 1 hora e 57 min. e) 1 hora e 36 min.

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b) 2 horas e 5 min. d) 1 hora e 43 min.

03) (T.J) Em 4 horas duas torneira enchem um tanque. Sozinha, uma delas encheria o tanque em 7 horas. Quanto tempo seria necessário para a segunda torneira encher o tanque?

a) 9 h b) 9h 20min c)9h 30min d) 9h 40min e) 9h 50min

04) (T.R.E) A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como cinco está para dois. Calcule essas idades, sabendo que a diferença entre elas é de 21 anos.

a) 37 e 16anos b) 36 e 15anos c) 49 e 18anos d) 35 e 14 anos e) 33 e 12anos

05) (T.J) A planta de uma casa foi elaborada na escala 1:50. Então, a área real, em metros quadrados, de uma sala cujas medidas na planta são de 12cm e 14cm é:

a) 24 b) 28 c) 42 d) 48 e) 54

06) (SEFAZ) A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala de 1/400. O comprimento real do foguete é 116m. O comprimento correspondente na miniatura é de:a) 0,029cm b) 4,6m c) 2,9dm d) 0,34m e)3,44dm

07) (T.R.E.) Três amigos comparam um terreno de 10.800m2. Qual é a porção de cada um se o primeiro entrou com R$ 16.000,00, o segundo com R$ 20.000,00 e o terceiro com R$ 24.000,00?

a) 3.000m2; 3.800m2 e 4.000m2 b) 3.880m2; 2.600m2 e 4.320m2 c) 2.880m2; 3.700m2 e 4.220m2 d) 3.800m2; 3.680m2 e 4.120m2

e) 2.880m2; 3.600m2 e 4.320m2

08) (T.J) Duas pessoas associam-se entrando a primeira com R$ 60.000,00 e a segunda com R$ 40.000,00. Sabendo-se que a primeira fundou a firma e a segunda participou durante 6 meses, qual a parte do lucro que coube a cada uma se lucraram, no fim de 1(um) ano R$ 96.000,00?

a) R$ 72.000,00 e R$ 24.000,00 b) R$ 50.000,00 e R$ 46.000,00 c) R$ 74.000,00 e R$ 22.000,00 d) R$ 70.000,00 e R$ 26.000,00e) R$ 52.000,00 e R$ 44.000,00

09) (T.J.) Uma pequena empresa foi assim constituída: Ana investiu um capital de R$ 1.200,00: decorridos seis meses, ingressou Bia, com um capital de R$ 800,00: passados mais seis meses, foi admitida Carla, com um capital de R$ 2.000,00. Após dois (2) anos de funcionamento, a empresa apresentou um lucro de R$ 1.400,00. Considerando que o contrato de formação da empresa estabelece que 4% do lucro apurado destinam-se à constituição de um fundo de reserva, assinale a opção correta, em relação a divisão do restante do lucro obtido pela empresa:a) Ana recebeu R$ 600,00;b) Bia recebeu 50% da quantia que coube a Ana;c) Carla recebeu mais de R$ 500,00:d) Ana e Carla receberam juntas mais de 80% do lucro rateado;e) Se não existisse o fundo de reserva, cada sócio teria recebido 4% a mais do que efetivamente recebeu.

10) (BB) Se 78 é dividido em 3 partes proporcionais a 1, 1/3 e 1/6, então a parte do meio será:

a) b) 13 c) d) e) 26

11) (TTN) Dividi-se 315 em três partes, A, B, C, que são ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, respectivamente. O maior valor dessas partes é:a) 225 b) 156 c) 145 d) 100 e) 125

12) (TJ) Uma torneira, que jorra 20 litros d´agua por minuto, enche um tanque em 6 horas. Qual o tempo em que encherá o mesmo tanque uma torneira que jorre 30 litros d´água por minuto?a) 10 horas b) 9 horas c) 8 horas d) 4 horas e) 2 horas

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13) (TJ) Um pneu de boa qualidade roda em média 40.000 km/ano e custa R$ 56,00. Um pneu de qualidade inferior roda 32.000 km/ano. Nessas condições, é interessante adquirir o pneu de qualidade inferior até o preço máximo de:a) R$ 50,00 b) R$ 45,00 c) R$ 46,80 d) R$ 45,20 e) R$ 44,79

14) (TTN) Um navio, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros. Determine qual poderá ser a duração da viagem.a) 24 dias b) 22 dias c) 20 dias d) 18 dias e) 16 dias

15) (TJ) Um navio cargueiro, com 30 homens de tripulação, encontrou alguns náufragos durante a viagem e reduziu a ração de cada homem de 48 dag para 288g. Quantos eram os náufragos?

a) 40 b) 35 c) 30 d) 20 e) 25

16) (BB) 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, em 30 dias manufaturam 900 pares de sapatos. Quantos pares serão manufaturados por 8 operários, trabalhando 40 dias de 6 horas, sabendo-se que os novos sapatos apresentam o dobro da dificuldade dos primeiros?

a) 85 b) 135 c) 240 d) 480 e) 960

17) (BB) Trabalhando 10 horas diárias, durante 15 dias, 8 pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48m2. Se tivessem trabalhando 12 horas diárias, e se o número de operários fosse reduzido de 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daquela?

a) 33d b) 33d 8h c)33d 4h d)33d 6h e)33d 5h

18) (PRF) Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos 25 dias. Os dois começaram a trabalhar juntos, mas após 6 dias, João deixa o trabalho; 2 dias após a saída deste, Carlos também o abandona, Antonio, sozinho, consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho, Antonio levaria:

a) 50 dias b) 45 dias c) 40 dias d) 35 dias e) 30 dias

19) (SEFAZ) Se x = y = z e 2x + 3y – z = 42, então 3x + 2y + z é igual a: 6 3 7 a) 91 b)93 c) 95 d) 97 e)99

20) (ANTT) Um adesivo colado em um caminhão de carga indica: “carga máxima 1 ton”, o que significa que aquele caminhão pode transportar, com segurança, no máximo uma tonelada de carga. O caminhão será abastecido com caixas de um certo produto.Cada caixa tem um peso bruto de 4.250g.Nesse caso, ele poderá transportar, no máximo, a seguinte quantidade de caixas.

a) 23 b) 24 c)205 d) 235 e) 2350

21) (ANTT) A cada 1200m rodados em viagem, o automóvel de Pascoal gasta 0,09 litro de combustível. Numa viagem, Pascoal gastou 54,9 litros de combustível. O percurso teve então a seguinte quantidade de quilômetros:

a) 776 b) 732 c) 688 d) 654 e)586

22) (BNB) Em uma fábrica de automóveis, 3 (três) robôs, trabalhando 8(oito) horas por dia, constroem em 6 (seis) dias, 36 unidades de uma peça nobre utilizada na construção automobilística. Uma equipe de 5 (cinco) robôs trabalhando 6 (seis) horas por dia, constrói 15 unidades da citada peça em:

a) 2 dias b) 5 dias c) 4 dias d) 3 dias e) 6 dias

23) (BB) Um bloco de concreto de 3 metros de comprimento, 1,5 metros de largura e 60 cm de espessura pesa 6.300 kg. Quanto pesará um outro bloco do mesmo concreto com 2,2 m de comprimento, 80 cm de largura e 90 cm de espessura?

a) 3.686kg b) 3.690kg c) 3.696kg d) 3.966kg e) 0 3.969kg

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24) (BB) A uma caixa de água que mede 2,5 m de largura, 0,5 dam de comprimento e 0,004km de altura, acham-se ligadas duas torneiras que fornecem, respectivamente 0,9kl e 20, 8hl de água por hora. Há um escape continuo que perde 0,8 dal por minuto. Determinar em quantas horas a caixa ficará cheia, funcionando conjuntamente ambas as torneiras e o escape?

a) 22 horas b) 21 horas c) 20 horas d) 19 horas e) 18 horas

25) (TTN) Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda assim como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira assim como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte vale:

a) 120 b) 150 c) 320 d) 300 e) 250

Respostas:01) B 06) C 11) E 16) C 21) B02) D 07) E 12) D 17) C 22) A03) B 08) A 13) E 18) A 23)C04) D 09) B 14) D 19) B 24)C05) C 10) C 15) D 20) D 25)D

PORCENTAGEM

NOÇÃO DE PORCENTAGEM

Porcentagem é uma fração de denominador 100. Assim, ao escrevermos p% estamos representando o número .

Exemplos:

1.

2.

3.

4. , pois

5. , pois

6. de 400 é igual a 100, pois

7. 32 é 80% de 40, pois 80% de 40

8. 40 é 125% de 32, pois 125% de

60




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9. de y = y% de

Observação: e lê-se “p por mil”

AUMENTO E DESCONTO

• AUMENTO

I. Aumentar um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por (100 + p)%, pois:

II. Aumentar um valor x de 20%, por exemplo, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois:

1,20x

III. Aumentar um valor x de 70% equivale a multiplicá-lo por 1,70.

IV. Aumentar um valor x de 200% equivale a multiplicá-lo por 3, pois:

• DESCONTO

I. Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por (100 – p)%, pois

II. Diminuir um valor x de 20%, por exemplo, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois:

III. Diminuir um valor x de 40% equivale a multiplicá-lo por 0,60.

• AUMENTOS DE DESCONTOS SUCESSIVOS

I. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de 21% (e não de 20%), pois:

II. Dois descontos sucessivos de 10% equivalem a um único desconto de 19% (e não de 20%), pois:

61

º




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III. Um aumento de 10% seguido de um desconto de 10% equivalem a um único desconto de 1%, pois:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01.(UFRN) 25% da terça parte de 1026 é igual a:a) 7695 b)855 c)769,5 d)94,5 e)85,5

02.(FUVEST) (10%)2 =a) 100% b)20% c)5% d)1% e)0,1%

03.(FUVEST) O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Antônio é:a) R$ 5.500,00 b)R$ 45.000,00 c)R$ 4.000,00 d)R$ 4.500,00 e)R$ 3.500,00

04.(UFG) Uma empresa concedeu aumento de 8% a seus funcionários. Após o aumento, um dos funcionários passou a receber R$ 237,60. Qual era o salário deste funcionário?

05.(PUC) Uma certa, mercadoria, que custava R$12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de:a) 2,0% b)20,0% c)12,5% d)11,6% e)16,0%

06.(MACK) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. Se R$ 4.368,00 correspondem a 35% do restante a ser pago, então a dívida total inicial era de:a) R$ 10.200.00 b)R$ 11.400,00 c)R$ 15.600,00 d) R$ 16.800.00 e)R$ 18.100,00

07.(MACK) Um concurso, desenvolvido em três etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos k candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda permaneceram na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, a porcentagem de k que permaneceu é:a) 25% b)35% c)38% d)40% e)42%

08.(MACK) Uma loja comunica a seus clientes que promoverá, no próximo mês, um desconto de 30% em todos os seus produtos. Na ocasião do desconto, para que um produto que hoje custa k mantenha este preço, ele deverá ser anunciado por:

a) b) c) d) e)

09.(FATEC) Desejo comprar uma televisão à vista, mas a quantia Q que possuo corresponde a 80% do preço P do aparelho. O vendedor ofereceu-me um abatimento de 5% no preço, mas, mesmo assim, faltam R$ 84,00 para realizar a compra. Os valores de P e Q são, respectivamente:a) R$ 520,00 e R$ 410,00 b)R$ 530,00 e R$ 419,50 c)R$ 540,00 e R$ 429,00d) R$ 550.00 e R$ 438,50 e)R$ 560,00 e R$ 448,00

10.(FUVEST) Produção e vendas, em setembro, de três montadoras de automóveis.

montadoraUnidades

produzidasPorcentagem vendidas

da produçãoA 3.000 80%B 5.000 60%C 2.000 x%

Sabendo-se que nesse mês as três montadoras venderam 7.000 dos 10.000 carros produzidos, o valor de x é:a) 30 b)50 c)65 d)80 e)100

11.(UNIP) Dois carros foram, vendidos pelo mesmo preço. Em um deles houve, em relação ao preço de custo, um lucro de 20% e no outro um prejuízo de 20%. Na venda desses dois carros:a) não houve lucro nem prejuízo. b) houve um prejuízo de 2%.c) houve um lucro de 2%. d)houve um prejuízo de 4%.e) houve um lucro de 4%.

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[email protected]

GABARITO

01 02 03E D D04 05 06

R$ 220,00 E C07 08 09E E E10 11D D

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Introdução

O que vamos estudar neste capítulo são os problemas de percentagem ligados às operações de compra e

venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de

venda de mercadorias.

Vendas com Lucro

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço

de venda.

● Observação:

Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a

compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e funcionamento da empresa.

Lucro Sobre o Preço de Custo

Consideremos o seguinte problema:

Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda,

sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500.

Sabemos que:

● preço de venda = preço de custo + lucro

Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo, isto é: Lucro = 0,08 do preço de custo, temos:

preço de venda = preço de custo + 0,08 x preço de custo =

= ( 1 + 0,08) x preço de custo =

= 1,08 x 500 = 540

Logo, o preço de venda é de : R$ 540

Fórmula:

Chamando de : V o preço de venda

C o preço de custo

L o lucro

i a taxa unitária do lucro

Vem: V = C + L

Como : L = i x C

Temos: V = C + i x C

Logo : V = ( 1 + i ) C

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo.

Lucro Sobre o Preço de Venda – Passo a Passo

Comprou-se um objeto por R$ 60 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço?

Sabemos que:

preço de venda – lucro = preço de compra

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[email protected]

Como o lucro é de 25% sobre o preço de venda, isto é:

Lucro = 0,25 do preço de venda

Temos:

preço de venda – 0,25 x preço de venda = preço de custoOu: ( 1 – 0,25) x preço de venda = preço de custo

Ou ainda: Preço de venda =

preço de custo = 60 = 80

0,75 0,75

Logo, o preço de venda deve ser de : R$ 80 Fórmula:

Temos V – L = C

Como: L = i x V

Vem: V – i x V = C ( 1 – i ) V = C Logo

V = C

1 – i

Que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda.

Vendas Com PrejuízoAnalogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de

custo ou sobre o preço de venda.

Prejuízo Sobre o Preço de CustoConsidere o seguinte problema:Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 30,

qual foi o preço de venda ?Sabemos que:

preço de venda = preço de custo – prejuízo

Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de custo, isto é: prejuízo = 0,4 do preço de custoTemos:

preço de venda = preço de custo – 0,4 x preço de custo= = ( 1 – 0,4) x preço de custo = = 0,6 x preço de custo = 0,6 x 30 = 18

Logo, o preço de venda foi de : R$ 18 Fórmula:

Chamando de P o prejuízo, vem:

V = C – P

Como: P = i x C

Temos: V = C – iC

Logo: V = (1 – i ) C

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa do prejuízo sobre o custo.

Prejuízo Sobre o Preço de vendaUma casa que custa R$ 96.000 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de

venda.Sabemos que:

preço de venda + prejuízo = preço de custo Como o prejuízo é de 20% sobre o preço de venda, isto é:

prejuízo = 0,2 do preço de venda, temos: preço de venda + 0,2 x preço de venda = preço de custo ou: ( 1 + 0,2) x preço de venda = preço de custo

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[email protected]

ou ainda:

preço de venda = preço de custo = 96.000

= 80.000 1,2 1,2

Logo, o preço de venda será de: R$ 80.000

Fórmula:

Como: V + P = C e P = i x V

Temos: V + iV = C ( 1 + i ) V = C

Logo: V =

C

1 + i

que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o preço de venda. Questões Comentadas

1) Vendi um objeto por R$ 276 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto?Resolução:Temos: V = 276

i = 15% = 0,15

Como: V = C(1+ i ) ou C( 1 + i) = V

Vem: C ( 1 + 0,15) = 276 1,15 x C = 276 C =

276 C = 240

1,15 Logo, o objeto custou: R$ 240

2) Comprei uma mercadoria por R$ 480. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último ?

Resolução:Temos: C = 480

r = 20% = 0,2

Como: V = C

1 – i Vem: V = 480 = 480 V = 600

1 – 0,2 0,8Logo, o preço de venda deve ser de: R$ 6003) Um terreno foi comprado por R$ 5.000 e vendido por R$ 6.500. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra?

ResoluçaõTemos: C = 5.000

V = 6.500 Lembrando que: V = C(1 + i ) ou C( 1 + i ) = V

Vem: 5.000 ( 1+ i ) = 6.500 1 + i = 6.500

i = 65

- 1 5.000 50

i = 65 – 50

i = 15

i = 0,3 50 50 Logo, o lucro sobre o custo foi de: 30%

4) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo?

Resolução:Temos: V = 248

i = 20% = 0,2

Como: V = C(1 – i ) ou C( 1 – i ) = V

Vem:

C ( 1 - 0,2) = 248 0,8 x C = 248 C = 248

C = 310

0,8 Logo, o objeto custou: R$ 310

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5) Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado?

Resolução:Temos: V = 50.600

i = 8% = 0,08 Lembrando que: V = C ou C = V

1 + i 1 + iVem: C = 50.600 C = 50.600 C = 50.600 x 1,08 C = 54.648

1+ 0,08 1,08 Logo, o terreno havia custado: R$ 54.648

EXERCÍCIO – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIA 1) Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650. Por quanto deverá revende-la para obter um

lucro de 30%?2) Um aparelho de som foi vendido por R$ 360. Qual o lucro obtido, sabendo que o mesmo foi calculado na base

de 25%?3) Um objeto comprado por R$ 80 foi revendido por R$ 104. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço

de custo?4) Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado?5) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500. Sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre o preço de

venda, quanto custou esse carro?Respostas:01) R$ 845 02) R$ 72 03) 30% 04) R$ 40,00 05) R$ 9.775

Descontos Sucessivos Nesse item,vamos aprender a calcular os descontos sucessivos sobre uma importância resultante de um

negócio efetuado.Consideremos o seguinte problema:Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%.

Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000, qual ao valor líquido da mesma?Basta, evidentemente, calcularmos os líquidos parciais correspondentes aos abatimento oferecidos, respeitando

a ordem das taxas, até obtermos o liquido final.Assim, chamando o valor liquido de L, temos:

P = 48.000i1 = 10% = 0,1 i2 = 4% = 0,04 i3 = 5% = 0,05

Como:p1 = P x i1 p1 = 48.000 x 0,1= 4.800 L1 = 48.000 – 4.800 = 43.200p2 = L1 x i2 p2 = 43.200 x 0,04 = 1.728 L2 = 43.200 – 1.728 = 41.472 p3 = L2 x i3 p3 = 41.472 x 0,05 = 2.073,6 L3 = 41.472– 2.073,6 = 39.398,4

O valor líquido da fatura é de: R$ 39.398 Fórmula do Desconto sucessivo

L = P ( 1 – i1 ) ( 1 – i2 ) ( 1 – i3 )... ( 1 – in )Onde: i1 , i2 , i3 ... in , são taxas sucessivas.

● Observação: Para aumentos sucessivos, temos

M = P ( 1 + i1 ) ( 1 + i2 ) ( 1 + i3 )... ( 1 + in )

Questões Comentadas1) Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%.

Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000, qual o valor liquido da mesma?Resolução:Temos: P = 48.000

i1 = 10% = 0,1 i2 = 4%= 0,04 i3 = 5% = 0,05 Assim: L = 48.000 ( 1 – 0,1 ) ( 1 – 0,04) ( 1 – 0, 05 ) = = 48.000 x 0,9 x 0,96 x 0,95 = 39,398, 4

O valor líquido da fatura é de: R$ 39.398

2) Sobre um artigo de R$ 2.500 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%.Qual o preço final desse artigo?Resolução:

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[email protected]

Temos: P = 2.500 i1 = 10% = 0,1 i2 = 4% = 0,04

Assim: M= 2.500 ( 1 + 0,1 ) ( 1 + 0,04) = 2.500 x 1,1 x 1,04 = 2.860 Logo, o preço final é de: R$ 2.860

EXERCÍCIO – Operações sobre mercadoria1) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40 para ganhar 15% sobre o custo?2) Vendendo por R$ 56 um objeto que custou R$ 50, qual será a percentagem de lucro?3) Um objeto foi revendido por R$ 701, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado?4) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238 um objeto que custou R$ 280?5) Uma casa foi vendida por R$ 53.700, dando um lucro de 35% sobre o custo. Quanto havia custado?6) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450, tendo uma perda de 15% sobre o preço de compra.7) Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$ 84, para ganhar 30% sobre o preço de venda.8) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540, tendo perdido 20% do preço de venda.9) Vendendo um imóvel por 120.000, tive um prejuízo de 18% sobre o preço de venda. Por quanto comprei?10) Vendi um objeto por R$ 280, com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual o preço de compra?11) Quanto por cento ganhei sobre o preço de venda de um objeto que me custou R$ 360 e foi vendido por R$ 45012) De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 280 e foi vendido por R$ 250?13)Vendi um objeto por R$ 120. Se tivesse vendido por mais R$ 20, meu lucro seria de 50% do preço da nova venda.

Qual foi o meu lucro?14) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410, perdendo, nessa transação, a

quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo.15) Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5.000 e ainda ficaria com R$ 700.

Quanto tenho?16) Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser

vendida para dar lucro de 12% sobre o seu preço de custo?17) Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Se os dois juntos fizeram 720 pontos,

quanto fez cada soldado?18) Calcule o liquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600 que sofreu a redução de 15% sobre esse valor total e, em

seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira redução.19) Comprei 2.000 kg de feijão, a R$ 1 o quilo; vendi 600 kg com um lucro de 25% sobre o preço de compra e o resto

com 12% de lucro sobre o preço de venda da primeira parte. Calcule o lucro total20) Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemos vender essa

mercadoria, comprada por R$ 540, para que tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra, repassando a despesa para o comprador?

21) Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15.800 (preço de tabela) com desconto de 2,5%. No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço da tabela. Qual foi a taxa percentual de lucro total dessa pessoa?

22) O que significa a expressão “4% dos 5% de uma grandeza”?23) Um comerciante comprou 450 unidades de um certo eletrodoméstico, ao custo de R$ 420 a unidade. Vendeu 340

unidades com 30% de lucro. Depois vendeu o restante com certo prejuízo. Sabendo que a venda de todo estoque, nas condições acima, deixou R$ 38.660 de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendida, em cada caso, a unidade do eletrodoméstico.

24) Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto foi vendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 2.142?

25) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 38.200 e uma certa quantidade de arroz por R$ 29.000. Vendeu o tecido com 8% de prejuízo e o arroz com 12% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quantos por cento?

26) Um comerciante pagou 30% de uma dívida; do restante, pagou 20% e com R$ 28.000 liquidou a dívida. Determine o valor da dívida.

27) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro. Por quanto foi vendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 748?

28) Certa mercadoria foi vendida por R$ 7.475, com lucro de 15%: em seguida, foi revendida por R$ 8.447. De quanto por cento foi o lucro final sobre o valor inicial dessa mercadoria?

29) Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira apurou 100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Quanto ganhou sobre o capital primitivo?

30) sobre uma fatura de R$ 150.000 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual é o valor líquido da fatura?

Respostas:1) R$ 46 11) 20% 21) 4,62%2) 12% 12) 12% 22) 0,2% da Grandeza3) R$ 876 13) R$ 50 23) 340und.a R$ 546 e110und a R$ 382

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4) 15% 14) R$ 1.390 24) R$ 1.050 e R$ 1.0925) R$ 39.778 15) R$ 3.800 25) Ganhou 0,63%6) R$ 383 16) R$ 3.965 26) R$ 50.0007) R$ 120 17) 420 e 300 27) R$ 289 e R$ 4598) R$ 450 18) R$ 6.725 28) 29,95%9) R$ 141.600 19) R$ 240,00 29) 22,825% 10) R$ 224 20) R$ 756,00 30) R$ 128.478

JURO SIMPLES

Juro é uma remuneração paga a um capital.Ao capital acrescido de juros denominamos montante.

Assim, observamos que o juros é a variação entre o capital e o montante.

REGIME DE JUROS SIMPLES Chamamos de regime de juros simples àquele onde se admite que os juros são diretamente proporcionais ao tempo da operação considerada. Como os juros são a variação entre o capital e o montante e esta, na pratica, ocorre ao longo do tempo, o valor dos juros deve sempre ser associado ao período de tempo que foi necessário para gerá-lo.Por Exemplo, Se dissermos que um empréstimo de R$ 1.000,00 cobra juros de R$2,00 isto representará uma variação pequena ou grande? Resposta: Depende, pois se ela ocorreu em um ano ela será bem pequena, mas se ela ocorreu em um dia, já não teremos a mesma opinião.

TAXAS DE JUROS

A taxa de juros é a taxa percentual que indica a proporção entre os juros e o capital.OBSERVAÇÃO: A taxa de juros deve sempre ser associada a um período de tempo.

Taxas percentuais e Unitárias

Uma taxa percentual representa uma razão centesimal fazendo o uso do símbolo %.Assim, temos:18/100 = 18%Entretanto, podemos representar uma razão centesimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou a taxa unitária. 18/100 = 0,18

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção direta com seus respectivos tempos, considerados na mesma unidade.Exemplo: Taxas de 72% ao ano e 6% ao mês.

OBSERVAÇÃO: Taxas equivalentes – Duas taxas são equivalentes quando produzem juros iguais ao serem aplicados a capitais iguais e por período de tempos iguais.

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Atenção: No regime de juros simples, taxas equivalentes são sempre proporcionais.

JUROS COMERCIAIS E JUROS EXATOS

Existem situações onde o prazo da operação financeira é contado em dias enquanto a taxa de juros é indicada em alguma outra unidade de tempo maior(mês,bimestre,semestre, ano).A contagem do numero de dias envolvido nessas situações será feita, na pratica, de acordo com as seguintes convenções abaixo:a) Prazo comercial: Consideram-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias(ano comercial) – Os juros calculados de acordo com essa convenção são denominados juros comerciais ou juros ordinários. b) Prazo exato: Consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas (30 dias – Abril,junho,setembro e novembro – 28 dias – fevereiro e 31 dias para os demais meses) – O ano tem 365 dias (ou 366 se for bissexto). Os juros calculados de acordo com essa convenção são denominados juros exatos.Observações:

a taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente;

em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100)

EXERCÍCIO JURO SIMPLES 1) Calcule a taxa mensal proporcional a:a) 9% a.t. b) 24% a.s. c) 0,04% a.d2) Calcule a taxa anual proporcional a:a) 1,5% a.m. b) 8% a.t c) 21% a.s. d) 0,05% a.d.3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.4) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre,durante 3 trimestres.5) Um capital de R$ 56.800 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido.6) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses.7) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000, em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano.Respostas:1) a) 3% a.m b) 4% a.m. c) 1,2% a.m.2) a) 18% a.a. b) 32% a.a. c) 42% a.a. d) 18% a.a.3) 32% a.a 5) R$ 1.065 7) R$ 2.8004) R$ 1.380 6) R$ 1.462,50

EXERCÍCIO – JURO SIMPLES1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?2) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500 a ser resgatado por R$ 2.700 no final de 2 anos?3) A que taxa o capital de R$ 24.000 rende R$ 1.080 em 6 meses?4) Um capital de R$ 30.000, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$ 6.000. Determine a taxa correspondente.5) Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830. Qual foi esse capital?6) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000, à taxa de 2,5% ao mês durante 2 anos.7) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000. Qual foi a taxa anual?8) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480, a 25% ao ano, rende R$ 79.395 de juro?9) Sabendo que o juro de R$ 120.000 foi obtido com uma aplicação de R$ 150.000 à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo.

10) Um capital emprestado a % ao mês rendeu, em 1 ano, 1 mês e 10 dias, o juro de R$ 19.584. Qual foi esse

capital?11) Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juro de R$ 126.000 em 3 anos?12) Uma pessoa sacou R$ 21.000 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao fim de 3 meses e pagar ao todo R$ 22.575. A que taxa de juro obteve aquele capital?13) Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?14) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?15) Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?16) É mais vantajoso empregar R$ 5.260 a 24% ao ano ou R$ 3.510 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?

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17) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.18) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640. Qual é o valor desse capital?19) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000?20) O capital de R$ 7.812 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte.

Respostas:1) R$ 1.728 11) R$ 140.0002) R$ 40% a.a 12) 2,5% a.m.3) 0,75% a.m 13) 2 anos4) 2% a.m 14) 10 anos5) R$ 27.000 15) 12,5 % a.a.6) R$ 8.000 16) Na 1ª opção7) 20% a.a. 17) R$ 7.4008) 3 anos, 3me. 15d. 18) R$ 32.4009) 2 anos 6 me 19) 8 meses10) R$ 91.800 20) R$ 3.472 e R$ 4.340

QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES01) (BNB) Em juros simples, a taxa de juros anual equivalente a 6% ao bimestre é: a) 18% ao ano c) 36% ao ano e) 6% ao ano b) 72% ao ano d) 12% ao ano

02) (BNB) O valor futuro de um título, contratado a juros simples, é igual ao dobro do seu valor inicial. Sabe-se que a taxa de juros da operação foi de 12,5% ao ano. Qual é o prazo de aplicação?a) 4 meses c) 1 ano e) 8 anosb) 4 anos d) 8 meses

03) (TJ) Aplicado R$ 1.500,00 por um ano, obtive juros de R$ 405,00. No regime de juros simples, por quanto tempo eu devo aplicar o mesmo valor para obter uma renda de R$ 135,00?a) 4 meses e 15 dias d) 2 meses e 10 diasb) 4 meses e) 3 meses e 15 dias c) 2 meses e 20 dias

04) (TJ) Uma pessoa aplicou, a juros simples, 3/5 do seu capital a 7% ao mês e o restante a 66% ao ano. Passados 2 anos e 8 meses, recebeu um total de R$ 12.697,60 de juros. O capital aplicado por essa pessoa foi de:a) R$ 6.200,00 c) R$ 5.618,56 e) R$ 6.079,04b) R$ 5.079,04 d) R$ 5.400,00

Respostas: 1) C2) E3) B4) A

JURO EXATO E JURO COMERCIAL

Na maioria das aplicações, embora as taxas sejam referenciadas em anos, os prazos são fixados em dias. É o caso dos cheques especiais, se bem que, no Brasil, são cobrados juros compostos nestas operações. Nas aplicações de curto prazo, geralmente é adotado o regime de juros simples. Nestas condições, é necessário calcular a taxa proporcional diária, ou seja, de 1 dia.Surgem, nesse momento, duas hipóteses para estabelecer a taxa diária, dependendo do número de dias que se adote para o ano:

1ª) ANO CIVIL 366 ou 365 dias, conforme o ano seja ou não bissexto;

2ª) ano comercial 360 dias mês com 30 dias.

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Na prática, quando se adota o ano comercial (360 dias), considera-se que todos os meses possuem 30 dias. Entretanto, nas situações em que a contagem dos dias há de ser exata, consideramos o ano com 366 ou 365 dias, conforme o ano seja bissexto ou não.

EXEMPLO 3 Dada a taxa de 36% a.a., qual é a taxa proporcional a 1 dia para as convenções do ano civil e do ano comercial?

Solução:a) pelo ano civil

i365 = 36% / 365i365 = 0,0986% ao dia;

b) pelo ano comerciali360 = 36% / 360i360 = 0,1% ao dia.

Assim, tem-se que a taxa obtida para o ano comercial é ligeiramente maior que a obtida para o ano civil, pois o divisor utilizado é menor.

Ressalta-se que as instituições financeiras trabalham com juros comerciais (ou ordinários).

Obs.: Taxa de Juros (representação simplificada)

Taxa Diária (ao dia) a.d.

Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi.

Taxa Mensal (ao mês) a.m.

Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b.

Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t.

Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q.

Taxa Semestral (ao semestre) a.s.

Taxa Anual (ao ano) a.a.

JURO EXATO

Obtém-se juro exato quando são utilizados o tempo (n) em dias e o ano civil (365 ou 366 dias). Assim, para uma taxa anual i, o juro exato é obtido pela fórmula:

365niC

J e

EXEMPLO 4Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000,00, que é aplicado por 80 dias à taxa de 36% a.a.?

Solução:

365niC

J e

365)8036,0000.20$R(

J e

Je = R$1.578,08.

Perceba que a divisão por 365 é realizada exclusivamente para transformar a taxa anual em taxa diária, visto que a taxa e o prazo devem se referir à mesma unidade, e o período de aplicação foi estabelecido em dias. 6. JURO COMERCIAL OU ORDINÁRIO

O juro comercial (ou ordinário) é obtido quando se adota como referência o ano comercial. Assim, para uma taxa anual i, e um prazo n, estabelecido em dias, o juro comercial é obtido pela fórmula:

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360

niCJ c

EXEMPLO 5Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item anterior.

Solução:

360niC

J e

360)8036,0000.20$R(

J e

Je = R$1.600,00

Como já se havia constatado anteriormente, a taxa de juros comerciais é ligeiramente maior do que a taxa de juros exatos e, conseqüentemente, na mesma proporção, os juros comerciais também são maiores que os juros exatos.

É de ressaltar ainda que, em provas de concursos e nas situações práticas, na maioria das vezes, é utilizada a convenção do juro comercial.

JUROS COMPOSTOS

No estudo sobre o regime de juros simples, constatou-se que apenas o capital inicial rendia juros e que estes eram diretamente proporcionais ao tempo e à taxa.

No regime de juros compostos, os juros são gerados a partir do montante do período anterior, isto é, os juros de cada período são capitalizados ou incorporados ao capital, e sobre eles também incidem juros. Surge, assim, a famosa expressão "juros sobre juros", que tem sido utilizada como sinônimo de juros compostos.

O regime de juros compostos é o mais comum ou o mais largamente utilizado no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia.

1. MONTANTE

Chama-se capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital ou principal.

Veja o que acontece em uma aplicação financeira por três meses, com capitalização mensal:

1º mês M = C x (1 + i)

2º mês o principal ou capital é igual ao montante do mês anterior:M = C x (1 + i) x (1 + i)

3º mês o principal ou capital é igual ao montante do mês anterior:M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, chega-se à seguinte fórmula:

n)i1(CM

Onde:

M = montanteC = capital ou principal empregado(1 + i)n = fator de acumulação de capital.

O fator de acumulação de capital pode ser obtido por cálculo ou por meio de consulta às tabelas pré-elaboradas. Ressalte-se que, em questões de prova, principalmente as elaboradas pela Esaf, as tabelas geralmente são fornecidas, não sendo permitido o uso de calculadoras.

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É importante lembrar, assim como em juros simples, que a taxa i tem que ser expressa na mesma medida do tempo "n", ou seja, taxa de juros ao mês para "n" meses, taxa de juros ao ano para "b" anos, e assim por diante.

2. JUROS

Para se calcularem apenas os juros, basta diminuir do montante, ao final do período, o principal ou capital. Como o capital representa a unidade, os juros podem ser calculados pelo seguinte modo:J = M – C

J = C x (1 + i)n – C

J = C[(1 + i)n – 1]

EXEMPLO 1

Quanto renderá uma aplicação de R$ 1.000,00 por 1 ano, se a taxa oferecida é de 3,5% a.m.?

Solução:C = R$ 1.000,00 n = 1 ano = 12 meses i = 3,5% a.m. J = ?

J = C[(1 + i)n – 1]

J = R$ 1.000,00 [(1 + 0,035)12 – 1]

J = R$ 1.000,00 [ 1,511068 – 1]

J = R$ 1.000,00 x 0,511068

J = R$ 511,07

EXEMPLO 2

Quanto devo aplicar hoje para, após 6 meses, ter R$ 5.000,00, se a taxa é de 8% a.m.?

Solução:M = R$ 5.000,00 n = 6 meses i = 8% a.m. C = ?

n)i1(CM

n)i1(

MC

6)08,01(

5000$RC

586874,15000$R

C

C R$ 3.150,84

EXEMPLO 3

Que taxa está sendo paga por uma aplicação que, após 3 meses, rendeu R$ 111,27 a um capital de R$ 1.200,00?

Solução:J = R$ 111,27

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C= R$ 1.200,00 n = 3 meses i = ?

27,311.127,11100,200.1MJCM

n)i1(CM

3)i1(00,200.127,311.1

092725,1)i1( 3

Procurando na tabela a = (1 + i)n pelo valor 1,092725, com n = 3, ele será encontrado na coluna correspondente a 3%. Portanto, a taxa mensal é de 3%.

OBS.: as tabelas financeiras são de dupla entrada. Nas linhas, têm-se os períodos e, nas colunas, as taxas. Para se procurar um determinado valor na tabela.

Por exemplo: (1 + i)12 = 1,795856,

Deve-se proceder da seguinte forma:

1) localizar na linha relativa a 12 períodos o valor 1,795856; 2) uma vez encontrado o valor, subir na coluna em que este foi encontrado e, assim, verifica-se que ele representa a

taxa de 5% ao período.

n\i 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00%1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,0500002 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,1025003 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,1576254 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,2155065 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,2762826 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,3400967 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,4071008 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,4774559 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,55132810 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,62889511 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,71033912 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856

VALOR ATUAL

O valor atual, pelo que já foi exposto em juros simples, representa o valor de um título em uma certa data inferior à do vencimento.

Assim, para o regime de juros compostos, o valor atual é obtido pela aplicação da seguinte fórmula:

n)i1(

NVa

Tendo em vista que, em juros compostos, há a chamada capitalização, ou seja, os juros são calculados sobre o montante do período anterior, o valor atual pode ser calculado para qualquer data focal menor à do montante, ou seja, o cálculo do valor atual, em regime de juros compostos, é o inverso ao cálculo do montante. É como se estivesse sendo calculado o valor do capital numa data qualquer, já que sobre o capital incidiriam juros!

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas ou mais são equivalentes entre si se, aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo prazo, gerarem montantes iguais.

No regime de juros compostos, a taxa equivalente de outra, com n períodos, será a raiz enésima desta taxa. Assim:

I taxa do período maior.i taxa do período menor.

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n numero de vezes que o período maior contém o menor.

Então, temos que:

Logo:

Ou ainda:

Dica:

EXEMPLO 4

Uma aplicação de R$ 10.000,00 renderá quanto em 1 mês, se os juros são de 15%a.a.? A taxa mensal equivalente aos 15% anuais é de:

1)i1(i 12

0117,010117,1i

i 1,17% a.m.

OBS.: se o objetivo do leitor for a preparação para concursos, ele não deve se preocupar com relação à forma de extrair a raiz duodécima, pois, de alguma forma, o seu valor será fornecido ou a resposta requerida será do tipo indicativa.

PERÍODOS NÃO-INTEIROS

Muitas vezes os períodos de aplicação não são inteiros. Entretanto em todas as situações a parte fracionária do tempo deve ser remunerada, pois, do contrário, haveria locupletamento ilícito para quem não necessitasse pagar os juros do período. Para calcular os juros da parte fracionária utilizam-se duas convenções:

Convenção linear

Calculam-se os juros do período não-inteiro por interpolação linear, que vem a ser a aplicação da fórmula do montante dos juros simples.

Neste método ou convenção calcula-se primeiro o montante correspondente ao período inteiro. Em seguida, para a fração de tempo não-inteira restante, admite-se uma formação linear de juros, isto é, juros simples para a parte não-inteira, tomando como capital o montante obtido pelo cálculo de juros compostos dos períodos inteiros.

Convenção exponencial

Nesse caso, utiliza-se a taxa equivalente para o período não-inteiro. Após o cálculo do montante relativo à parte inteira do período, aplica-se uma forma exponencial com a taxa equivalente de juros compostos.

Observações interessantes:

(i) Quando o período de aplicação for unitário (n = 1), os juros simples e compostos serão sempre equivalentes.(ii) Para qualquer período de aplicação menor do que o período de capitalização (n < 1), os juros produzidos

pelo regime de juros simples serão sempre maiores do que os produzidos pelo regime de juros compostos se adotada a convenção linear.

(iii) Em algumas questões de prova, pode ser cobrado o cálculo pela convenção exponencial, porém não se dispõe de tabela para tal. Neste caso, como o montante produzido pela convenção exponencial é ligeiramente menor do que a convenção linear, calcula-se o montante pela convenção linear e assinala-se a alternativa cujo resultado seja ligeiramente menor.

TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL

Taxa nominal

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Uma taxa de juros compostos é apenas nominal quando sua unidade de referência de tempo não coincide com a unidade de referência dê tempo do período de capitalização, isto é, a taxa nominal é referenciada a um período maior que o período de capitalização que estará contido na taxa nominal.

EXEMPLO 5

30% a.t., com capitalização mensal.A taxa de 30% é apenas nominal, pois a taxa de capitalização proporcional é de 10% a.m., o que redunda em 33,10% ao cabo do trimestre, sendo essa a taxa efetiva ao trimestre.

ief = (1 + 0,1)3 = 1,331 – 1 = 0,331 x 100 = 33,1%.

Taxa efetiva

Uma taxa de juros compostos é, ao mesmo tempo, nominal e efetiva quando sua unidade de referência de tempo coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Entretanto, isto dificilmente ocorre. Desta forma, o modo de calcular a taxa efetiva, dada uma taxa nominal, é o seguinte:

EXEMPLO 6

30% a.t., com capitalização trimestral.A taxa efetiva é obtida pela seguinte fórmula:

1k

i1i

k

ef

Onde:ief = taxa efetivai = taxa nominalk = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal

11

03,01i

1

ef

efi 30% a.t.

Dica:

OBS.: é muito comum, em questões de concursos, a taxa nominal ser dada em termos anuais e a capitalização em períodos menores, como, por exemplo, o mês, bimestre, trimestre ou semestre.

JUROS SIMLPLES

01. (TTN) Qual é o capital que produz, à taxa simples de 2% a.m., o juro mensal de R$48,00?a) R$ 2.400,00b) R$ 2.000,00c) R$ 3.200,00d) R$ 2.600,00e) R$ 3.000,00

02. Qual é o prazo para uma aplicação de 10% a.a., juros simples, ter um aumento o que corresponda a 1/5 de seu valor?

a) 4 anosb) 3 anos

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c) 2 anosd) 1 anoe) 0,5 ano

03. (TTN) Qual é o capital que produz em 5 meses, à taxa simples-mensal de 1/3%, o juro de R$ 100,00?a) R$ 6.000,00b) R$ 5.000,00c) R$ 6.200,00d) R$ 4.600,00e) R$ 4.000,00

04. (TTN) Qual é o capital que produz em um semestre, à taxa simples 2,5% a.a. o juro de R$100,00?a) R$ 7.000,00b) R$ 5.400,00c) R$ 8.000,00d) R$ 6.000,00e) R$ 5.000,00

05. (TTN) Qual é o capital que, em 40 dias, à taxa simples de 4% a.a., produz o juro de R$ 32,00?a) R$ 8.200,00 b) R$ 7.000,00 c) R$ 9.000,00d) R$ 7.200,00e) R$ 8.000,00

06. (TTN) Qual é o capital que, à taxa simples de 3/4% ao mês, produz em 60 dias o juro de R$ 36,00?a) R$ 2.400,00b) R$ 2.200,00c) R$ 3.100,00d) R$ 2.000,00e) R$ 2.500,00

07. (TTN) Qual é o capital que, a 6% a.a., juros simples, produz em um ano o montante de R$ 5.300,00?a) R$ 4.500,00b) R$ 5.000,00c) R$ 5.200,00d) R$ 3.800,00e) R$ 4.200.00

08. Em quanto tempo um capital aplicado a taxa simples de 150% a.a. quintuplica seu valor?a) 3 anos e 4 mesesb) 2,67 mesesc) 2 anos e 2 mesesd) 2 anos e 8 mesese) 27 meses

09. (TTN) Qual é o capital que, à taxa simples de 2,5 % a.a., no fim de um semestre, produz o montante de R$ 8.100,00?

a) R$ 10.000,00b) R$ 5.000,00c) R$ 8.000,00d) R$ 7.000,00e) R$ 9.000,00

10. (TTN) A que taxa simples anual o capital de R$ 5.000,00, em um ano, renderia R$300,00?a) 5% a.a.b) 6% a.a.c) 4% a.a.d) 3% a.a.e) 2% a.a.

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11. (TTN) A que taxa simples mensal o capital, de R$ 1.200,00, no fim de ano, produziria o montante de R$ 1.248,00?

a) 1/2% a.m.b) 1/3% a.m.c) 1/4% a.m.d) 1/5% a.m.e) 1/6% a.m.

12. (TTN) Se em 5 meses o capital de R$250.000,00 rende R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para obter os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano?

a) 6 meses.b) 7 meses.c) 8 meses.d) 9 meses.e) 10 meses.

13. Qual é o juro provocado por um capital de R$100,00 aplicado a uma taxa simples de 30%a.m. durante oito meses?

a) R$ 700,00b) R$ 1.000,00c) R$ 1.600,00d) R$ 600,00e) R$ 240,00

14. (TTN) O capital que investido hoje a juros simples de 12% a.a. aumentará para R$ 1.296,00 no fim de 8 meses é:

a) R$ 1.100,00b) R$ 1.000,00c) R$ 1.392,00d) R$ 1.200,00e) R$ 1.399,68

15. A que taxa simples o capital R$ 13.200,00 rende. R$ 352,00 em 8 meses? a) 2% a.a.b) 4% a.a. c) 6% a.a.d) 8% a.a.e) 10% a.a.

16. O capital que à taxa de juros simples de 8,5% ao mês, rende juros de R$ 520.000,00 em um ano e meio é de aproximadamente:

a) R$ 280.000,00b) R$ 340.000,00c) R$ 220.000,00d) R$ 300.000,00e) R$ 250.000,00

17. Se um capital de R$ 400,00 rendeu juros simples de R$ 240,00 em um ano e quatro meses, a que taxa de juros equivalente bimestral esteve aplicado?

a) 6,6% a.b.b) 7,5% a.b.c) 6,2% a.b.d) 8,6% a.be) 7,0% a.b.

18. Qual é o capital que acrescido dos seus juros simples produzidos em 270 dias, à taxa de 4,5%a.a se eleva para R$ 450.715,00?

a) R$ 436.000,00b) R$ 410.000,00c) R$ 458.400,00d) R$ 340.280,00

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[email protected]

e) R$ 300.000,00

19. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a quantia de R$ 250.000.00 para que acumulasse em 1 ano, 4 meses e 18 dias um montante de R$ 417.100,00?

a) 25,2%b) 18,5%c) 15,6%d) 5,4%e) 4,03%

20. Calcular o juro e montante de uma aplicação de R$ 1.000,00, durante 3 meses, à taxa de juro simples, de 10% a.m.

a) R$ 1.300,00 e R$ 3.300,00b) R$ 300,00 e R$ 1.300,00c) R$ 1.100,00 e R$ 2.100,00d) R$ 100,00 e R$ 1.100,00e) R$ 500,00 e R$ 1.500,00

21. Qual capital, colocado à taxa simples de 6% a.a. produz, no fim de três meses, o montante R$2.842,00?a) R$ 2.800,00b) R$ 2.500,00c) R$ 2.300,00d) R$ 2.100,00e) R$ 2.000,00

22. A que taxa um capital, colocado a juros simples, dobraria de valor no fim de quinze anos?

a) % a.a.

b) % a.a.

c) % a.a.

d) 2/3% a.a.

e) % a.a.

23. O capital R$ 720.000,00 foi aplicado a 4,5% ao mês de juro simples, durante 5 meses e 18 dias. Qual o valor do montante final?

a) R$ 850.000,00b) R$ 941.000,00c) R$ 901.440,00d) R$ 870.000,00e) R$ 950.000,00

24. Qual será o valor do capital acumulado após 11 meses e 10 dias, produzido por R$ 1.200.000,00, aplicados a 15% ao bimestre, com juro simples?

a) R$ 2.220.000,00b) R$ 2.500.000,00c) R$ 2.320.000,00d) R$ 2.700.000,00e) R$ 2.900.000,00

25. Quanto deve ser aplicado a 5,5% ao mês de juro simples para após 8 meses e 18 dias, se ter um capital acumulado de R$ 1.178.400,00?

a) R$ 600.000,00 b) R$ 800.000,00 c) RS 750.000,00d) R$ 680.000,00e) R$ 540.000,00

26. A que taxa de juro simples devem ser aplicados R$ 1.300.000,00 para renderem R$ 1.885.000,00 de capital acumulado, após 6 meses e 20 dias de aplicação?

a) 81% a.a.

79




[email protected]

b) 75% a.a.c) 65% a.a.d) 90% a.a.e) 49% a.a.

27. O capital R$ 560.000,00 foi aplicado a juro simples; 3 meses e 9 dias depois, havia produzido um montante de R$ 726.320,00. Qual a taxa de aplicação?

a) 102% a.a. b) 108% a.a. c) 98% a.a. d) 85% a.a. e) 93% a.a.

28. Se R$ 1.600.000,00 forem aplicados a 24% ao trimestre, com juros simples, em quantos dias aproximadamente o valor do montante será igual a R$ 1.820.000,00?

a) 40 diasb) 52 diasc) 70 diasd) 30 diase) 35 dias

29. Um investidor aplicou R$ 1.000.000,00 a juros simples, e, 270 dias após, retirou R$1.200.000.00, deixando um saldo de R$ 1.000.000,00. Qual a taxa da aplicação?

a) 145% a.a.b) 160% a.a.c) 152% a.a.d) 158% a.a.e) 165% a.a.

30. Durante quanto tempo o capital de R$720.000,00 deve ser aplicado a 8,5% ao bimestre de juro simples comercial para render R$ 408.000,00 de juro?

a) 1 ano e 2 meses b) 1 ano e 1mês e 10 dias c) 2 anosd) 1 ano e 5 mesese) 2.anos e 5 meses

31. (TTN) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 dessa mesma quantia de juros simples em 4 anos, qual é a taxa aplicada?a) 20% a.a.b) 125% a.a.c) 12,5% a.a.d) 200% a.a.e) 10% a.a.

32. Uma quantia foi aplicada a juros simples. Para que, no final de seis meses, os juros sejam iguais a 75% do capital aplicado, a taxa simples mensal deverá ser igual a:

a) 10,5%b) 11%c) 12%d) 12,5%e) 15%

33. Em quanto tempo um capital triplicará se aplicado à taxa de juro simples de 5% a.a.?a) 10 anosb) 20 anosc) 40 anosd) 60 anose) 80 anos

34. Durante quanto tempo um capital, colocado, à taxa de 5% a.a., rende juro simples igual a 1/5 de seu valor?

80




[email protected]

a) 4 anosb) 2 anosc) 1 anod) 3 anose) 5 anos

35. A que taxa de Juro simples deve ser colocado um capital que produz 1/50 de seu valor em 4 meses?a) 2% a.m.b) 0,5% a.m.c) 2,5% a.m.d) 1,5% a.m.e) 3% a.m.

36. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a 5% ao mês de juro simples para quadruplicar seu valor?

a) 5 anosb) 7 anosc) 9 anosd) 4 anose) 2 anos

37. Durante quanto tempo um capital, aplicado à taxa simples de 5% a.a., rende juro igual a 1/50 de seu valor?a) 140 diasb) 141 diasc) 142 diasd) 143 diase) 144 dias

38.A que taxa de juro simples deve ser aplicado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses?a) 3% a.a.b) 4% a.a.c) 5% a.a.d) 6% a.a.e) 7% a.a.

39. Qual é o prazo de aplicação para que um capital qualquer aplicado à taxa simples de 18% a.m. quadruplique o seu valor?

a) 2 anos e 7 mesesb) 1 ano, 7 meses e 25 diasc) 1 ano e 6 mesesd) 1 ano, 4 meses e 20 diase) 1 ano e 10 meses

40. A que taxa simples anual o capital de R$7.200,00 em 2 meses e 15 dias renderia R$82,50?a) 3,4% b) 4,4%. c) 5,5%.d) 5,3%e) 5,0%

41. Qual é o capital que produz, à taxa simples mensal de 3/4%, o juro anual de R$ 540,00?a) R$ 3.500,00b) R$ 6.000,00c) R$ 5.000,00d) R$ 5.200,00e) R$ 4.500,00

42. Qual é o capital que produz, à taxa simples de 3,5 % a.a., juro mensal de R$ 3,50?a) R$ 3.500,00b) R$ 2.000,00c) R$ 5.000,00d) R$ 1.200,00

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[email protected]

e) R$ 1.500,00

43. Qual é o capital que em 40 dias, à taxa simples de 4% a.a., produz o montante de R$ 7.232,00?a) R$ 8.400,00b) R$ 6.000,00c) R$ 5.200,00d) R$ 7.200,00e) R$ 6.200,00

44. Um investidor aplicou 3/8 do seu dinheiro a 2% a.m. de juros simples e o restante a 9% a.t., nas mesmas condições. Calcular o seu capital, sabendo que após 1 ano, recebeu R$151.200,00 de juros.

a) 480.000,00 b) 360.000,00 c) 410.600,00d) 520.800,00e) 400.000,00

45. (TTN) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:

a) R$ 4.200,00 b) R$ 4.800,00 c) R$ 4.900,00d) R$ 4.600,00e) R$ 4.400,00

46. (TTN) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses, e o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e quatro meses. Juntos renderam um juro de R$27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de:

a) R$ 30.210,00b) R$ 10.070,00c) R$ 15.105,00d) R$ 20.140,00e) R$ 5.035,00

47. (TTN) Calcular a taxa a um capital de R$4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que; se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5%a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro.

a) 8,0%b) 7,5%c) 7,1%d) 6,9%e) 6,2%

48. (TTN) Mário aplicou suas economias em um banco, a juros simples comerciais de 15% a.a. durante 2 anos. Findo o prazo, reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20% a.a. sob o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que os juros das duas aplicações somaram R$ 18.216,00 o capital Inicial da primeira aplicação era de:

a) R$ 13.200,00b) R$ 13.500,00c) R$ 12.700,00d) R$ 12.400,00e) R$ 11.200.00

49. (AFC) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês atingiria R$ 11.250,00 ao fim de 75 dias. Caso fosse resgatado ao fim de 15 dias, qual teria sido a quantia de juros obtida?

a) R$ 250,00 b) R$ 275,00 c) R$ 500,00d) R$ 1.250,00e) R$ 1.500,00

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50. (TTN) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?

a) R$ 420.000,00b) R$ 450.000,00c) R$ 480.000,00d) R$ 520.000,00e) R$ 500.000,00

51. Duas pessoas fizeram aplicações de dinheiro na mesma data. Uma aplicou R$ 192.000,00 à taxa de Juros simples de 25% ao ano, e a outra aplicou R$ 240.000,00 à taxa de juros simples de 15% ao ano. Após quanto tempo os montantes das aplicações serão iguais?

a) 48 mesesb) 44 meses c) 38 mesesd) 24 mesese) 18 meses

52. O capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a 144% ao ano, e na mesma data outro capital de R$600.000,00 foi aplicado a 108% ao ano de juros simples. Em quantos dias os montantes serão iguais?

a) 500 diasb) 480 diasc) 520 diasd) 450 diase) 430 dias

53. Se um determinado capital produz um montante em 3 meses de R$ 1.360,00 e um montante em 5 meses de R$1.600,00, qual a taxa simples aplicada sobre esse capital?

a) 8% a.m. b) 10%a.m. c) 12%a.m.d) 14%a.m.e) 15%a.m.

54. Se aplicarmos uma quantia durante 5 meses, seu montante será de R$ 600.000,00. Caso a aplicação fosse de 12 meses, o montante seria de R$ 960.000,00. Qual é o a taxa simples mensal empregada?

a) 10% a.m. b) 12% a.m. c) 15% a.m.d) 20%a.m.e) 30%a.m.

55. Qual é o capital que acrescido dos seus juros simples durante 3 meses resulta em R$ 1.300,00 e que acrescido dos seus juros simples durante 5 meses resulta R$ 1.500,00?

a) R$ 300,00b) R$ 500,00c) R$ 800,00d) R$ 1.000,00e) R$ 1.200,00.

56. (TTN) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa simples de aplicação do menor capital deve superar a do maior em:

a) 20%b) 60%c) 40%d) 50%e) 70%

57. (TTN) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa simples de 6% a.a. reduz-se para R$8.736,00?

a) R$ 9.706,66

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[email protected]

b) R$ 9.600,00c) R$ 10.308,48d) R$ 9.522,24e) R$ 9.800,00

58. Um capital foi aplicado a 75% a.a. de juros simples e, após 5 meses, acrescido de seus rendimentos, foi aplicado a 81% a.a. de juros simples. Ao final do 9º mês de aplicação, o valor do capital acumulado era de R$ 1.000.125,00. Qual é o valor do capital aplicado?

a) R$ 540.142,50b) R$ 385.200,00c) R$ 610.194,30d) R$ 600.000,00e) R$ 435.000,00

TAXAS NO JURO SIMPLES

(Percentual, Unitária, Proporcionais e Equivalentes)

01. Qual é a taxa anual simples equivalente à taxa simples de 5% a.m.?a) 79,58%.b) 69,58%.c) 59,58%.d) 78,88%.e) 60,00%.

02. Calcular a taxa semestral equivalente a juros simples de 2% a.m.:a) 11,61%b) 10,61%c) 12,61%d) 13,61%e) 12,00%

03. Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 36% a.a.:a) 15%b) 16%c) 17%d) 18%e) 1,9%

04. Calcular a taxa mensal proporcional a juros simples de 84% a.a.:a) 5%b) 6%c) 7%d) 8%e) 9%

05. Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 8% a.m.:a) 15%b) 36%c) 57%

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GABARITO JURO SIMPLES1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 9.C10.B 11.B 12.A 13.E 14.D 15.B 16.B 17.B 18.A19.E 20.B 21.A 22.A 23.C 24.A 25.B 26.A 27.B28.B 29.B 30.B 31.C 32.D 33.C 34.A 35.B 36.A37.E 38.C 39.D 40.C 41.B 42.D 43.D 44.A 45.E46.A 47.B 48.D 49.A 50.E 51.A 52.A 53.C 54.C55.D 56.D 57.B 58.D




[email protected]

d) 48%e) 69%

GABARITO TAXAS NO JURO SIMPLES1. E 2.E 3.D 4.C 5.D

JURO EXATO

01.Calcular o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro a 28 de maio de 2005.

a) R$ 70,00b) R$ 72,00c) R$ 74,00d) R$ 76,00e) R$ 78,00

C = 3800

02 / 01 / 45 30 J = C.i.n

Fevereiro / 45 28

Março / 45 31 J = 76Abril / 45 30 letra D28 / 05 / 45 27

146 dias

O ano de 2005 não é bissexto, logo fevereiro terá 28 dias.

01. Calcular o juro simples exato do capital R$ 5.000,00 aplicado à taxa de 5% a.a. de 2 de janeiro a 28 de maio de 1945.

a) R$ 170,00b) R$ 120,00c) R$ 110,00

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[email protected]

d) R$ 100,00e) R$ 80,00

02. A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos de 8 de agosto de 2003 a 2 de julho de 2004. Calcule os juros exatos obtidos, à taxa de 10% ao mês.

a) R$ 90,14b) R$ 90,00c) R$ 1080,00d) R$ 1081,64e) R$ 588,27

03 O capital de R$ 690.000,00 e aplicado à taxa de 24% ao trimestre, no dia 15 de maio de 1987. Quanto terá rendido de juro no dia 15 de março de 1988, sendo juro simples, exato?

a) R$ 553.000,00b) R$ 553.145,40c) R$ 553.140,44d) R$ 552.000,00e) R$ 553.240,00

04. Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de 1990, e no dia 14 de junho de 1991 havia rendido juro simples exato de 6/5 de seu próprio valor. A que taxa simples anual o capital foi aplicado?

a) 107,35%b) 95%c) 102,5%d) 110,5%e) 98,5%

05. Um capital foi aplicado a 6% ao mês de juro simples comerciais. A que taxa e juro simples exato o mesmo capital deveria ter sido aplicado para render os mesmos juros no mesmo prazo?

a) 10,25%a.m.b) 6,08% a.m.c) 8.259% a.m.d) 7,5% a.m. e) 8,44% a.m.

GABARITO JURO EXATO1. D 2. C 3. B 4. A 5. B

JURO COMPOSTO

01. Aplicaram-se R$ 400.000,00 a 9% ao bimestre de juros compostos, durante um ano e quatro meses. O valor do capital acumulado é:

a) R$ 792.067,00b) R$ 797.040,00c) R$ 700.000,00d) R$ 733.867,00e) R$ 730.800,00

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[email protected]

02. O capital de R$ 700.000,00 vencível em quatro meses é R$ 495.897,00. Qual é a taxa de juros compostos vigente?

a) 7% a.m.b) 8%a.m.c) 9%a.m.d) 10% a.m.e) 12% a.m.

03. Calcular o valor do montante final da aplicação de R$ 300.000,00 à taxa composta de 6% ao mês, durante cinco meses.

a) R$ 303.337,00b) R$ 501.433,00c) R$ 401.460,00d) R$ 601.457,00e) R$ 501.565,00

04. O capital R$ 500.000,00 foi aplicado a 7% ao mês de juros compostos. Qual o valor do montante final após 14 meses de aplicação?

a) R$ 1.234.357,00b) R$ 1.212.212,00c) R$ 1.200.200,00d) R$ 1.000.007,00e) R$ 1.289.250,00

05. Determinar o montante final que R$1.300.000,00 produzirão se forem aplicados a 8% ao mês de juros compostos durante quatro meses.

a) R$ 1.768.650,00b) R$ 1.455.650,00c) R$ 1.333.630,00d) R$ 1.456.660,00e) R$ 1.345.560,00

06. O capital de R$ 680.000,00 foi aplicado a 5% ao mês de juros compostos. Qual o valor do montante produzido ao final de dez meses de aplicação?

a) R$ 1.307.458,00 b) R$ 1.107.652,00 c) R$ 1.243.367,00d) R$ 1.456.897,00e) R$ 1.200.456,00

07. Um capital de R$ 500.000,00 é aplicado a juros compostos durante três anos, à taxa de 10% a.a. Calcule o montante produzido e os juros auferidos.

a) R$ 665.500,00 e R$ 165.500,00b) R$ 645.500,00 e R$ 145.500,00c) R$ 633.300,00 e R$ 133.300,00d) R$ 663.300,00 e R$ 163.300,00e) R$ 643.300,00 e R$ 143.300,00

08. Um investidor deverá receber ao final de sete meses R$ 2.720.977,00. Se a taxa de juros compostos de mercado é de 8% ao mês, calcule o capital dessa quantia.

a) R$ 1.234.567,78b) R$ 1.257.853,34c) R$ 1.587.686,43d) R$ 1.557.858,84e) R$ 1.299.893,94

09. Qual o valor do capital que deve ser aplicado a 9% ao mês de juros compostos para produzir R$805.008,00 de montante em seis meses de aplicação?

a) R$ 479.997,97 b) R$ 579.999,97 c) R$ 679.999,97

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d) R$ 444.949,66e) R$ 579.559,76

10. Após oito meses de aplicação a 7% ao mês de juros compostos, o capital acumulado é igual a R$ 1.374.552,00. Qual é o valor do capital aplicado.

a) R$ 840.001,78 b) R$ 799.995,34 c) R$ 763.301,33d) R$ 850.601,33e) R$ 732.201,11

11. Quanto deverá ser aplicado a 8% ao mês de juros compostos para render em dez meses um montante de R$ 1.295.352,00?

a) R$ 795.798,67b) R$ 493.378,65c) R$ 539.248,81d) R$ 449.993,99e) R$ 600.005,56

12. Qual é o capital que produz um montante de R$750.000,00 vencível em oito meses, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês?

a) R$ 532.222,22b) R$ 407.449,23c) R$ 507.614,21d) R$ 568.689,59e) R$ 533.639,33

13. Qual é o capital que, aplicado a 10% a.m. durante cinco meses, produz um montante composto de R$ 1.610.500.00?

a) R$ 1.000.000,00b) R$ 1.500.000,00c) R$ 1.800.000,00d) R$ 1.300.000,00e) R$ 1.100.000,0014. Um capital foi aplicado a 5% ao mês de juros compostos e, após quatro meses de aplicação, a taxa foi

elevada para 7% ao mês. Ao final de dez meses de aplicação, o valor do capital acumulado era de R$ 364.820,17. Qual é o valor do capital aplicado?

a) R$ 200.000,00b) R$ 350.000,00c) R$ 300.000,00d) R$ 400.000,00e) R$ 450.000,00

15. Durante quanto tempo um capital de R$1.000.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 15% a.a., produzirá um montante de R$2.011.400,00?

a) 5 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 3 anose) 7 anos

16. Determinar o prazo de uma aplicação de R$550.000,00 a juros compostos, se desejo obter um montante de R$ 1.106.270,00 a uma taxa de 15% a.m.

a) 5 mesesb) 6 mesesc) 7 mesesd) 8 mesese) 4 meses

17. O capital R$ 1.060.000,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. Ao final do prazo, o montante será igual a R$ 1.288.430,00. Qual é a taxa da aplicação?

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a) 9%a.m.b) 8% a.m.c) 7% a.m. d) 6% a. m. e) 5% a.m.

18. O capital R$ 1.000.000,00 foi aplicado à taxa composta de 8% ao trimestre, durante dez anos. Qual valor do capital, acumulado é:

a) R$ 18.123.566,88b) R$ 24.224.456,60c) R$ 21.724.485,77d) R$ 28.200.400,60e) R$ 30.223.337,00

19. O capital de R$ 100.000,00 foi aplicado a juros compostos durante seis meses. Ao final da aplicação, seu valor acumulado era de R$134.009,00. Se o mesmo capital tivesse sido aplicado à mesma taxa durante ó mesmo prazo, mas a juros simples, qual seria o valor acumulado?

a) R$ 130.000,00b) R$ 120.000,00c) R$ 110.000,00d) R$ 105.000,00e) R$ 140.000,00

20. Um capital foi aplicado a 6% ao mês de juros compostos, durante oito meses. A que taxa de juros simples mensal o mesmo capital deveria ser aplicado, durante o mesmo prazo, para produzir o mesmo montante?

a) 7,42%a.m.b) 8,42% a.m.c) 9,42 a.m.d) 6,42% a.m.e) 5,42%a.m.

21. Um capital aplicado a 80% ao ano de juros simples, produziu ao final de um ano e quatro meses um determinado montante. A que taxa mensal de juros compostos o mesmo capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante, durante o mesmo prazo?

a) 4,6%b) 4,7%c) 4,8%d) 4,9%e) 4,5%

22. Um capital foi aplicado a 54% ao ano de juros simples, durante 20 meses. A que taxa mensal de juros compostos o mesmo capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante, mas na metade do tempo? (Arredondar seu cálculo utilizando a tabela.)

a) 6,5%b) 6,7%c) 6,8%d) 6,6%e) 6,4%

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GABARITO JURO COMPOSTO1.B 2.C 3.C 4.E 5.A 6.B 7.A 8.C 9.A 10.B11.E 12.C 13.A 14.A 15.A 16.A 17.E 18.C 19.A 20.A21.A 22.D


Matemática 2012 quarta manhã 22 08 12

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