MAT-140 Funções, Limite e Continuidade 140/2016-II/slides/Prof. Walter Parte I... ·...
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Relações e Funções
Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b
é chamada de segunda componente.
Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d
Exemplo
Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Relações e Funções
Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b
é chamada de segunda componente.Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dq
são iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d
Exemplo
Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Relações e Funções
Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b
é chamada de segunda componente.Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dq
são iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d
Exemplo
Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Relações e Funções
Par Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressãoda forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e b
é chamada de segunda componente.Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc; dq
são iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc ; dq ô a “ c ^ b “ d
Exemplo
Achar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois conjuntos arbitrarios A e B ,o produto cartesiano de A e B (nessa ordem) é oconjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Exemplo
Se A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 23u, calcular Aˆ B e B ˆ A
Representação Geometrica:
Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B
(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:
R Ă Aˆ B
Exemplo
Se A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 23u, calcular Aˆ B e B ˆ A
Representação Geometrica:
Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B
(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:
R Ă Aˆ B
Funções
Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A
um único elemento do conjunto B . Formalmente:
Definição
Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os
conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f
então b “ c Gra�camente temos:
Observação
1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
Funções
Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A
um único elemento do conjunto B . Formalmente:
Definição
Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os
conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f
então b “ c Gra�camente temos:
Observação
1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
Funções
Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A
um único elemento do conjunto B . Formalmente:
Definição
Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os
conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f
então b “ c Gra�camente temos:
Observação
1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
Funções
Informalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto A
um único elemento do conjunto B . Formalmente:
Definição
Consideremos os conjunto (não vazios) A e B, uma função entre os
conjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P f
então b “ c Gra�camente temos:
Observação
1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Se A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
Domínio e Imagem
Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:
Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A
2 A imagem da função f é o conjunto:
I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B
Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu grá�co?
1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu
2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “?2` x ´ x2 ‹
3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s
Domínio e Imagem
Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:
Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A
2 A imagem da função f é o conjunto:
I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B
Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu grá�co?
1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu
2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “?2` x ´ x2 ‹
3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s
Domínio e Imagem
Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:
Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A
2 A imagem da função f é o conjunto:
I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B
Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu grá�co?
1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu
2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “?2` x ´ x2 ‹
3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s
Funções Especiais
função Constante
Seja c P R �xo a função de�nida por
f pxq “ c
É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com grá�co ‹
função Identidade
A função de�nida porI pxq “ x
É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com grá�co ‹
Funções Especiais
função Constante
Seja c P R �xo a função de�nida por
f pxq “ c
É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com grá�co ‹
função Identidade
A função de�nida porI pxq “ x
É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com grá�co ‹
Funções Especiais
função Linear
Se a ‰ 0, funçãof pxq “ ax ` b
É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com grá�co ‹
função Quadratica
A funçãof pxq “ ax2 ` bx ` c
Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgrá�co ‹
1a Aula
Funções Especiais
função Linear
Se a ‰ 0, funçãof pxq “ ax ` b
É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com grá�co ‹
função Quadratica
A funçãof pxq “ ax2 ` bx ` c
Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgrá�co ‹
1a Aula
Funções Especiais
função Valor Absoluto
A função
f pxq “ |x | “
"
x se x ě 0´x se x ă 0
É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgrá�co ‹
função Raiz n-ésima
A funçãof pxq “ n
?x
É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com grá�co ‹
Funções Especiais
função Valor Absoluto
A função
f pxq “ |x | “
"
x se x ě 0´x se x ă 0
É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgrá�co ‹
função Raiz n-ésima
A funçãof pxq “ n
?x
É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com grá�co ‹
Funções Especiais
função Polinomial
Se an ‰ 0, função
f pxq “ anxn ` an´1x
n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹
função Racional
A função
f pxq “anx
n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0
Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹
Funções Especiais
função Polinomial
Se an ‰ 0, função
f pxq “ anxn ` an´1x
n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹
função Racional
A função
f pxq “anx
n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0
Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹
Funções Especiais
função Sinal
Se an ‰ 0, função
f pxq “
$
’
’
&
’
’
%
´1 se x ă 00 se x “ 0
1 se x ą 0
É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com grá�co ‹
Função Máximo Inteiro
A Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com grá�co ‹
Funções Especiais
função Sinal
Se an ‰ 0, função
f pxq “
$
’
’
&
’
’
%
´1 se x ă 00 se x “ 0
1 se x ą 0
É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com grá�co ‹
Função Máximo Inteiro
A Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com grá�co ‹
Funções Exponencial
Definição
A função exponencial de base a é a função real de�nida por: ‹
f pxq “ ax
Com a um número real �xo a ą 0 e a ‰ 1 Com Dompf q “ R e
Impf q “ p0;`8q
paxqy “ axy
ax ¨ ay “ ax`y
pa ¨ bqx “ ax ¨ ay
paxqy “ axy
ax ¨ ay “ ax`y
pa ¨ bqx “ ax ¨ ay
Função Par e Função Impar
Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:
Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq
Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq
Exemplo
‹ f pxq “ x4
‹ f pxq “ x1`x2
Função Par e Função Impar
Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:
Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq
Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq
Exemplo
‹ f pxq “ x4
‹ f pxq “ x1`x2
Função Par e Função Impar
Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:
Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq
Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq
Exemplo
‹ f pxq “ x4
‹ f pxq “ x1`x2
Função Periódica
Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:
1 px ` tq P Dompf q
2 f px ` tq “ f pxq
Exemplos
Veri�car se a função é períodica, em caso a�rmativos achar o período. ‹
f pxq “ x ´ vxw
Função Periódica
Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:
1 px ` tq P Dompf q
2 f px ` tq “ f pxq
Exemplos
Veri�car se a função é períodica, em caso a�rmativos achar o período. ‹
f pxq “ x ´ vxw
Função Crescente e Função decrescente
Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:
Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ă f px2q.
Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ą f px2q.
Exemplo:
Achar os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
f pxq “ |x2 ´ 4|
2a Aula
Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva
Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:
Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.
Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .
Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.
Exemplos:
f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?
gpxq “ x1`x2
é injetiva?
Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva
Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:
Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.
Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .
Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.
Exemplos:
f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?
gpxq “ x1`x2
é injetiva?
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgq
pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq
Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgq
pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq
Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgq
pfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgq
pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq
Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgq
pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq
Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgq
pfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgq
pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq
Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgq
pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq
Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgq
pfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q
|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q
pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q
|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q
pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q
|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q
pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgq
respetivamente. De�namos a função:
Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0upf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q
|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf q
pcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
Composição de funções
Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq
Exemplo:
Considere as funções f pxq “ x`52
e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e
pg ˝ f qpxq.
Composição de funções
Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq
Exemplo:
Considere as funções f pxq “ x`52
e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e
pg ˝ f qpxq.
Propriedades da Composição
Se f , g , h são funções reais de variável real, então:
1 pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq f ˝ Id “ Id ˝ f “ f
2 pf ` gq ˝ h “ f ˝ g ` f ˝ h pf ´ gq ˝ h “ f ˝ g ´ f ˝ h
3 pf ¨ gq ˝ h “ pf ˝ hq ¨ pg ˝ hq fg ˝ h “
f ˝hg˝h
Função Inversa
Seja f : AÑ B uma função, então
f não é injetiva
f é injetiva, neste caso podemos de�nir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Gra�camente.
Propriedades
1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q
2 Os grá�cos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x
3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.
Exemplo
‹ Se f pxq “ 3x´12
, achar f ´1.
Função Inversa
Seja f : AÑ B uma função, então
f não é injetiva
f é injetiva, neste caso podemos de�nir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Gra�camente.
Propriedades
1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q
2 Os grá�cos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x
3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.
Exemplo
‹ Se f pxq “ 3x´12
, achar f ´1.
Função Inversa
Seja f : AÑ B uma função, então
f não é injetiva
f é injetiva, neste caso podemos de�nir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Gra�camente.
Propriedades
1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q
2 Os grá�cos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x
3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.
Exemplo
‹ Se f pxq “ 3x´12
, achar f ´1.
Função Logaritmo de base a
Dado um número real a ą 0 e a ‰ 1, a função logaritmo de base a é afunção inversa da função exponencial de base a f pxq “ ax e esta de�ninapor:
y “ f ´1pxq “ logapxq ô x “ ay
Com Dompf ´1q “ p0;`8q, Impf ´1q “ R e grá�co.Se A,B P R`. Para a ą 0, a ‰ 1, temos:
logap1q “ 0
logapaxq “ x , @x P R
alogapxq “ x , @x ą 0
logapAr q “ rlogapAq, @r P R
logapABq “ logapAq ` logapBq
logapAB q “ logapAq ´ logapBq
logapxq “logcpxlog
cpaq
, x ą 0, c ą 0 ec ‰ 1
3a Aula
Limites
1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b
2 Gra�co
Definição
Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio
r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:
Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq
Exemplos
Considere os exemplos:
f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u
gpxq “
"
x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2
Limites
1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b
2 Gra�co
Definição
Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio
r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:
Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq
Exemplos
Considere os exemplos:
f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u
gpxq “
"
x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2
Limites
1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b
2 Gra�co
Definição
Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio
r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:
Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq
Exemplos
Considere os exemplos:
f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u
gpxq “
"
x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2
Limites
1 Área debaixo de y “ f pxq “ xn com 0 ď x ď b
2 Gra�co
Definição
Seja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raio
r ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:
Bpa; rq “ tx P R; a ´ r ă x ă a ` ru “ pa ´ r ; a ` rq
Exemplos
Considere os exemplos:
f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u
gpxq “
"
x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2
Definição
Seja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamente
pertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos de
Dompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende ao
número a, e escreveremos limxÑa
f pxq “ L, quando:
@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε
Problema
Quão perto do número a deve �car x de modo que f pxq �que a umadistança pre�xada de L
Se limxÑ1
p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve �car x de 1 tal que
|f pxq ´ 3| ă 0.01
Definição
Seja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamente
pertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos de
Dompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende ao
número a, e escreveremos limxÑa
f pxq “ L, quando:
@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε
Problema
Quão perto do número a deve �car x de modo que f pxq �que a umadistança pre�xada de L
Se limxÑ1
p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve �car x de 1 tal que
|f pxq ´ 3| ă 0.01
Comprovar o Limite Por Definição
1 Inicialmente devemos descompor |f pxq ´ L| em dois fatores, um dosquais deve ser |x ´ a|:
|f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| (1)
2 A seguir, escolher um valor inicial δ “ δ1, para acotar |gpxq| tal que:
Se 0 ă |x ´ a| ă δ1 ñ |gpxq| ă MpM ą 0q (2)
3 Finalmente, de p1q e p2q e tomando δ “ mintδ1;εM u, temos:
0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| ăε
M¨M “ ε
Exemplos
Se f pxq “ 3x2 ` 2x ` 1, prove que limxÑ1
f pxq “ 6
Se f pxq “ k k constante, prove que limxÑa
f pxq “ k para qualquer
a P R. Se f pxq “ 1x , prove que lim
xÑ0f pxq não existe.
Se f pxq “ 12`?x, comprove que lim
xÑ4f pxq “
14
Se f pxq “ 5´3x5x`7 , comprove que lim
xÑ´1f pxq “ 4
4a Aula
Propriedades dos Limites
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.
2 (Unicidade do Limite) Se limxÑa
f pxq “ L1 e limxÑa
f pxq “ L2, então
L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim
xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M
Então L ď M.
Propriedades dos Limites
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L2
3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa
f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M
Então L ď M.
Propriedades dos Limites
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim
xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.
4 Se limxÑa
f pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M
Então L ď M.
Propriedades dos Limites
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim
xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.
5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M
Então L ď M.
Propriedades dos Limites
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L23 (Conservação do Sinal) Se lim
xÑaf pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M
Então L ď M.
Propriedades dos Limites
(Teorema do Confronto) Seja f , g , h funçães tais que:§ f pxq ď gpxq ď hpxq para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.§ lim
xÑa
f pxq “ limxÑa
hpxq “ L
Então limxÑa
gpxq “ L.
Sejam f e g funçães tais que:§ lim
xÑa
f pxq “ 0
§ Existe M ą 0 tal que |gpxq| ă M para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.
Então limxÑa
f pxqgpxq “ 0
1o Limite Fundamental
Teorema‹
limxÑ0
senpxq
x“ 1
Propriedades Operacionais do Limite
Se f e g são funçães tais que limxÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M, e c P R,então:
limxÑa
c “ c
limxÑa
rcf pxqs “ c limxÑa
f pxq “ cL
limxÑa
rf pxq ˘ gpxqs “ limxÑa
f pxq ˘ limxÑa
gpxq “ L˘M
limxÑa
rf pxq ¨ gpxqs “ limxÑa
f pxq ¨ limxÑa
gpxq “ L ¨M
limxÑa
f pxq
gpxq“
limxÑa
f pxq
limxÑa
gpxq“
L
MSe M ‰ 0
limxÑa
rf pxqsk “ r limxÑa
f pxqsk “ Lk , (L ă 0 ou L ě 0)
Exemplos:
Calcular os seguintes limites:
1 limxÑ´1
3
c
3x2 ´ 2x ` 3x5 ` 2
2 limxÑ1
6x ´ 6x2 ´ 3x ` 2
3 limxÑ3
?x ` 6´ 3
?4´ x ´ 1
4 limxÑ1
5?x2 ´ 3
?x
1´ 4?x
Limites No Infinito
Definição
Seja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando
x tende a `8 e escreveremos limxÑ`8
f pxq “ L se:
@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε
Definição
Seja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando
x tende a ´8 e escreveremos limxÑ´8
gpxq “ L se:
@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε
Limites No Infinito
Definição
Seja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando
x tende a `8 e escreveremos limxÑ`8
f pxq “ L se:
@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε
Definição
Seja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quando
x tende a ´8 e escreveremos limxÑ´8
gpxq “ L se:
@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε
Exemplos
Se n P N, provar que:
1 ‹ limxÑ`8
1xn“ 0
2 ‹ limxÑ´8
1xn“ 0
Proposição
Sejam f : pa;`8q Ñ R e g : pb;`8q Ñ R, se limxÑ`8
f pxq “ L e
limxÑ`8
gpxq “ M, então:
1 limxÑ`8
rcf pxqs “ c limxÑ`8
f pxq “ cL, com c P R.
2 limxÑ`8
pf ˘ gqpxq “ limxÑ`8
f pxq ˘ limxÑ`8
gpxq “ L˘M
3 limxÑ`8
pf ¨ gqpxq “ limxÑ`8
f pxq ¨ limxÑ`8
gpxq “ L ¨M
4 limxÑ`8
pf
gqpxq “
limxÑ`8
f pxq
limxÑ`8
gpxq“
L
M, se M ‰ 0.
Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição
anterior.
2 Quando se calcula o limite no in�nito de uma função racional,dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.
Exemplos
Calcular os seguites limites:
1 limxÑ`8
3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3
2 limxÑ´8
9´ 7x ` 12x4
4` 5x6
3 limxÑ`8
9x ` 47´ 5x
Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição
anterior.2 Quando se calcula o limite no in�nito de uma função racional,
dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.
Exemplos
Calcular os seguites limites:
1 limxÑ`8
3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3
2 limxÑ´8
9´ 7x ` 12x4
4` 5x6
3 limxÑ`8
9x ` 47´ 5x
Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição
anterior.2 Quando se calcula o limite no in�nito de uma função racional,
dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.
Exemplos
Calcular os seguites limites:
1 limxÑ`8
3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3
2 limxÑ´8
9´ 7x ` 12x4
4` 5x6
3 limxÑ`8
9x ` 47´ 5x
Limites Infinitos
Definição
Seja f uma função de�nida no intervalo I que contem o ponto a (a pode
ou não estar no dominio de f ).
1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende para
a, e denotaremos por limxÑa
f pxq “ `8 se:
@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K
2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende para
a, e denotaremos por limxÑa
f pxq “ ´8 se:
@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M
Limites Infinitos
Definição
Seja f uma função de�nida no intervalo I que contem o ponto a (a pode
ou não estar no dominio de f ).
1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende para
a, e denotaremos por limxÑa
f pxq “ `8 se:
@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K
2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende para
a, e denotaremos por limxÑa
f pxq “ ´8 se:
@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M
Assintotas
Definição
Consideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto que
move-se sobre esta curva. Diremos que:
1 o ponto A tende ao in�nito se a distancia entre A e a origem de
coordenadas tende ao in�nito.
2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L e
o ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando A
tende ao in�nito, isto é, limAÑ8
dpA; Lq “ 0.
Assintotas
Definição
Consideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto que
move-se sobre esta curva. Diremos que:
1 o ponto A tende ao in�nito se a distancia entre A e a origem de
coordenadas tende ao in�nito.
2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L e
o ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando A
tende ao in�nito, isto é, limAÑ8
dpA; Lq “ 0.
Proposição
1 A reta x “ a é uma assintota vertical (reta vertical) do gra�co dey “ f pxq se temos uma das seguintes condições:
1 limxÑa
f pxq “ ˘8
2 limxÑa
`f pxq “ ˘8
3 limxÑa
´f pxq “ ˘8
2 A reta y “ b é uma assintota horizontal (reta horizontal) do gra�code y “ f pxq se temos uma das seguintes condições:
1 limxÑ`8
f pxq “ b
2 limxÑ´8
f pxq “ b
6a Aula
Continuidade
Definição
Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a
se:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.
C2 : limxÑa
f pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:
Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq existe, então a é
chamada de discintinuidade removível.
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq não existe ou não
é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.
Continuidade
Definição
Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a
se:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.
C2 : limxÑa
f pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:
Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq existe, então a é
chamada de discintinuidade removível.
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq não existe ou não
é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.
Continuidade
Definição
Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a
se:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.
C2 : limxÑa
f pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:
Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq existe, então a é
chamada de discintinuidade removível.
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq não existe ou não
é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.
Continuidade
Definição
Seja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto a
se:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.
C2 : limxÑa
f pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:
Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq existe, então a é
chamada de discintinuidade removível.
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq não existe ou não
é �nito, então a é chamada de discontinuidade essencial.
Exemplos:1 Dada la função
f pxq “
$
&
%
Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x
3w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0
x´3x2´x´6
se x ě 0
§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, rede�na a
função de forma que a evitar a discontinuidade.
2 Dada la função
hpxq “
$
’
&
’
%
?x`3´
?3x`1?
x´1se x ą 1
ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2
se x ă ´2
Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.
Exemplos:1 Dada la função
f pxq “
$
&
%
Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x
3w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0
x´3x2´x´6
se x ě 0
§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, rede�na a
função de forma que a evitar a discontinuidade.
2 Dada la função
hpxq “
$
’
&
’
%
?x`3´
?3x`1?
x´1se x ą 1
ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2
se x ă ´2
Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.
Propriedades
Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4
fg é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.
5 |f | é continua em a.
Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.
Propriedades
Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4
fg é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.
5 |f | é continua em a.
Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.
propriedades
1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.
2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:
§ limxÑa
f pxq “ b
§ g é contínua em b
EntãolimxÑa
gpf pxqq “ gp limxÑa
f pxqq “ gpbq
Exemplo
1 Achar o limite limxÑ2
a
3x2 ` 4
2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8
1xn“ 0
propriedades
1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.
2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:
§ limxÑa
f pxq “ b
§ g é contínua em b
EntãolimxÑa
gpf pxqq “ gp limxÑa
f pxqq “ gpbq
Exemplo
1 Achar o limite limxÑ2
a
3x2 ` 4
2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8
1xn“ 0
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0.
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Derivada de uma função num ponto
Definição
Seja f : RÑ R uma função de�nida no ponto a P Dompf q, diremos que f
é derivável no ponto a se existe o seguinte limite:
f1
paq “ limhÑ0
f pa ` hq ´ f paq
h
Se a função f é derivável em a, f1
paq é chamada de derivada de f em a.
Observação
1 Existem outras notação para a derivada de f em a: Dx f paq,df pxqdx |x“a
e f ¨pxq.2 Uma forma equivalente ao limite anterior é:
f1
paq “ limxÑa
f pxq ´ f paq
x ´ a
Exemplo
Achar a derivada da função f pxq “?x em a “ 4
Definição
Seja f : RÑ R uma função tal que
f1
pxq “ limhÑ0
f px ` hq ´ f pxq
h
exista, é chamada função derivada de f ou simplesmente derivada de f .
Obviamente Dompf1
q “ tx P Dompf q; f1
pxq exista u.
Exemplos
Prove que:1 Se f pxq “ k , k constante; então f
1
pxq “ 0 para todo x P R.2 Se f pxq “ ax ` b com a, b P R e a ‰ 0, então f
1
pxq “ a para todox P R.
3 Se f pxq “ xn com n P N, então f1
pxq “ nxn´1.4 Se f pxq “ a|x |, então f não é derivável no 0.
Derivadas laterais
Definição
Seja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.
1 A derivada pela esquerda de f em a é de�nida e denotada por
f1
pa´q “ limhÑ0´
f pa ` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa´
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
2 A derivada pela direita de f em a é de�nida e denotada por
f1
pa`q “ limhÑ0`
f pa ` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa`
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
Derivadas laterais
Definição
Seja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.
1 A derivada pela esquerda de f em a é de�nida e denotada por
f1
pa´q “ limhÑ0´
f pa ` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa´
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
2 A derivada pela direita de f em a é de�nida e denotada por
f1
pa`q “ limhÑ0`
f pa ` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa`
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
Proposição
A função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,
existem e são iguais f1
pa`q e f1
pa´q.
Proposição
Se uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua em
a.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo
A função de�nida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
Proposição
A função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,
existem e são iguais f1
pa`q e f1
pa´q.
Proposição
Se uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua em
a.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo
A função de�nida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
Proposição
A função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,
existem e são iguais f1
pa`q e f1
pa´q.
Proposição
Se uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua em
a.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo
A função de�nida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
Reta Tangente e Reta Normal
Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:
Definição (Reta Tangente)
A reta de�nida por:
LT : y ´ f paq “ f1
paqpx ´ aq
é chamada de reta tangente ao grá�co de f no ponto Ppa; f paqq.
Definição (Reta Normal)
A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente ao
grá�co de f no ponto P é chamada de reta normal ao grá�co de f no
ponto Ppa; f paqq.
Reta Tangente e Reta Normal
Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:
Definição (Reta Tangente)
A reta de�nida por:
LT : y ´ f paq “ f1
paqpx ´ aq
é chamada de reta tangente ao grá�co de f no ponto Ppa; f paqq.
Definição (Reta Normal)
A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente ao
grá�co de f no ponto P é chamada de reta normal ao grá�co de f no
ponto Ppa; f paqq.
observação
1 Se f1
paq ‰ 0 a equação da reta normal é:
LN : y ´ f paq “1
f1paqpx ´ aq
2 Se f1
paq “ 0 a equação da reta normal é:
LN : px ´ aq “ 0
Exemplos
1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao grá�co de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das
tangentes horizotais ao grá�co de f .
observação
1 Se f1
paq ‰ 0 a equação da reta normal é:
LN : y ´ f paq “1
f1paqpx ´ aq
2 Se f1
paq “ 0 a equação da reta normal é:
LN : px ´ aq “ 0
Exemplos
1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao grá�co de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das
tangentes horizotais ao grá�co de f .
Regras Básicas
Teorema
Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções
Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
Teorema
Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções
Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
Teorema
Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções
Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
Teorema
Sejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funções
Kf , f ˘ g, fg fg são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.