Margem de Fase e Ganho - Características de Processos No Domínio Da Freqüência

ANLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Aula 13 Caractersticas de Processos no Domnio da Freqncia Introduo Margens de Fase e de Ganho Relaes Entre Resposta Temporal e Resposta em Freqncia Aproximao de Sistemas de Ordem Superior Exerccios Leituras Adicionais Recomendadas

Introduo Da mesma forma com que se pode relacionar as caractersticas de resposta transitria e de estabilidade absoluta e relativa em um sistema controle, cuja dinmica descrita por equaes diferenciais lineares, com o posicionamento de seus plos de malha-fechada no plano s, pode-se tambm concluir sobre tais caractersticas diretamente pela resposta em freqncia do mesmo sistema operando em malha-aberta. Concluir sobre o comportamento de um dado sistema, apenas com base em sua resposta em freqncia algo significativo, pois o procedimento experimental e no necessita nem da modelagem matemtica e nem da determinao dos parmetros que compe a funo de transferncia do sistema, sem os quais no se pode determinar os plos de malha-fechada do mesmo. Adicionalmente, tambm pode-se projetar controladores apenas com base na resposta em freqncia do sistema em malha-aberta, de forma a alterar as caractersticas de mdulo e de fase do sistema original conforme especificaes de desempenho estabelecidas a priori. Assim, pode-se concluir que a interpretao da resposta em freqncia de sistemas lineares operando em malha-aberta traz ao engenheiro ou projetista informaes fundamentais tanto sob o ponto de vista de anlise quanto sob o ponto de vista de projeto de um sistema de controle. Margens de Fase e de Ganho Tomando como base o critrio de estabilidade de Nyquist, que relaciona a estabilidade de um sistema de controle em malha-fechada atravs da resposta em freqncia do mesmo sistema operando em malha-aberta, pode-se concluir tambm sobre estabilidade relativa do sistema. Tal concluso realizada observando-se a proximidade da curva de resposta em freqncia do sistema operando em malha-aberta com o ponto 1.0 + j0.0 no plano G(j)H(j). Este ponto tambm pode ser rescrito em coordenadas polares como sendo o ponto do plano G(j)H(j) que apresenta mdulo 1.0 e fase 180. Desta forma, a proximidade da curva de resposta em freqncia do sistema operando em malha-aberta ao ponto em questo ser avaliada tambm em mdulo e em fase, atravs de duas medidas definidas como margem de ganho e margem de fase respectivamente.

Margem de Ganho: Define-se por Margem de Ganho GM, a faixa de ganho que se pode incrementar ou decrementar a curva de resposta em freqncia de mdulo da funo de transferncia de malha-aberta de um sistema at que se alcance o ponto de estabilidade crtica, isto :

1)H(j)G(jG MMM = (13.1) sendo M a freqncia em que a fase de G(j)H(j) igual a 180. Pode-se tambm, rescrever (13.1) e expressar a margem de ganho em decibis, ou seja

Professores: Lus Fernando Alves Pereira & Jos Felipe Haffner 1



))H(jG(jlog20))H(jG(j

1log20G MMMM

MdB == (13.2)

Margem de Fase: Define-se por Margem de Fase - M, como sendo o valor angular a ser acrescido ou decrescido curva de fase da resposta em freqncia de um sistema operando em malha-aberta na freqncia em que a curva de mdulo da resposta em freqncia deste mesmo sistema apresenta valor unitrio, ou alternativamente, 0.0 dB, ou seja:

)j(H)j(G180 dB0dB0o

M += (13.3) sendo 0dB a freqncia em que o mdulo de G(j)H(j) igual 1 ou, alternativamente 0.0 dB. Informaes associadas as margens de ganho e de fase podem ser obtidas diretamente dos grficos de resposta em freqncia de mdulo e de fase do sistema em malha-aberta representado na forma polar no plano G(j)H(j), Figura 13.1, que conjuga em um mesmo grfico informaes de mdulo e fase de G(j)H(j), ou separadamente nas curvas de mdulo e de fase do diagrama de Bode do mesmo sistema, Figura 13.2.

Fig. 13.1: Representao das Margens de Ganho e de Fase de um sistema empregando diagrama polar.

Fig. 13.2: Representao das Margens de Ganho e de Fase de um sistema empregando diagrama de

Bode.




1. Considerando um sistema de controle realimentado negativamente, determinar as Margens de Ganho GM e de Fase M deste sistema admitindo a seguinte funo de transferncia de malha-aberta:

)100s)(36s(sK)s(H)s(G ++= (13.4)

assumindo valores de K=500 e 5000.

i. Associar os valores obtidos de GM e M com a estabilidade do sistema operando em malha-fechada.

ii. Para os dois valores de K apresentados anteriormente, verificar a estabilidade deste sistema empregando o critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz e o mtodo do Lugar Geomtrico das Razes LGR.

2. Considerando as curvas de resposta em freqncia apresentadas nas Figuras 13.3 a 13.10 e o preenchimento da Tabela 13.1, determinar:

i. As margens de fase e de ganho de cada um destes sistemas; ii. Avaliar a estabilidade empregando o critrio de estabilidade de Nyquist para cada um

dos casos, relacionando-a com as medidas de Margens de Ganho GM e de Fase M realizadas no item anterior.

iii. Relacionar os diagramas de Bode com os seus respectivos diagramas polares. iv. Traar o diagrama de Nyquist completo das Figuras 13.7 a 13.10.

Fig. 13.3: Diagrama de Bode do primeiro sistema de controle em malha-aberta.




Fig. 13.4: Diagrama de Bode do segundo sistema de controle em malha-aberta.

Fig. 13.5: Diagrama de Bode do terceiro sistema de controle em malha-aberta.




Fig. 13.6: Diagrama de Bode do segundo sistema de controle em malha-aberta.

Fig. 13.7: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta.





Diagrama de Bode

Diagrama de Nyquist

M GM 0dB 180o Estabilidade

Fig. 13.3

Fig. 13.4

Fig. 13.5

Fig. 13.6

Tab. 13.1: Caractersticas dos sistemas representados pelos diagramas das Fig.13.3 a 13.10.




Relaes Entre Resposta Temporal e Resposta em Freqncia Muitas vezes a tarefa de relacionar o comportamento temporal de um dado sistema de controle diretamente pela anlise das curvas de resposta em freqncia deste sistema operando tanto em malha-aberta quanto em malha-fechada no obvia para um engenheiro. Contudo, na etapa de projeto de um sistema de controle, comum que o projetista utilize informaes provenientes destas curvas interpretando-as e alterando-as convenientemente, atravs da incluso de redes de compensao, de forma que a resposta do sistema em malha-fechada atenda um conjunto de requisitos, normalmente especificados no domnio do tempo. Um requisito temporal que freqentemente utilizado para especificao de um sistema de controle operando em malha-fechada o sobre-sinal mximo percentual da varivel de sada do sistema, considerando-se como sinal de referncia um degrau. De forma a relacionar analiticamente a margem de fase e sobre-sinal percentual, considera-se o sistema de controle apresentado na Figura 13.11.

)2s(s n

2n

+ Y(s)

R(s) + _

Fig. 13.11: Sistema de segunda ordem.

Para determinar analiticamente a expresso matemtica da margem de fase deste sistema, deve-se primeiramente descobrir a freqncia em que a funo de transferncia de malha-aberta deste sistema apresenta mdulo 1, denominada freqncia de zero dB - 0dB, i.e.,

( ) 1n2ss2n

js)s(G =+== (13.5)

que resulta na equao (13.6), apresenta a seguir:

( ) 14

jG22

n24

2n =

+= (13.6)

cuja soluo obtida elevando-se os dois lados da expresso (13.6) ao quadrado e, logo em seguida, resolvendo-se a equao biquadrada resultante. A freqncia 0dB que satisfaz (13.6) a seguinte:

142 42ndB0 ++= (13.7) Determinada a freqncia 0dB, emprega-se a definio de margem de fase juntamente com a equao (13.3), resultando em

++=

+=2

142 tgarc - 90 )

2 tgarc90 ( 180

42

n

0dBM (13.8)

Admitindo que o coeficiente de amortecimento do sistema apresentado na Figura 13.11 varia entre 1>>0, a margem de fase diminuir a medida em que diminui o valor de . Uma vez que a mxima sobrepassagem percentual do sinal de sada deste sistema calculada atravs da expresso

21e100(%)Mp

= (13.9) conclui-se tambm que conforme diminui o valor de , dentro do intervalo considerado, o valor da mxima sobrepassagem percentual aumentar. Portanto, o aumento da margem de fase deste sistema implica menor sobrepassagem percentual e vice-versa, estabelecendo atravs das equaes (13.8) e (13.9) uma relao clara entre especificaes nos domnios da freqncia e do tempo. Na Figura 13.12




apresentado o grfico que relaciona o com a margem de fase e com o sobre-sinal para o sistema de segunda ordem mostrado na Fig. 13.11.

Fig. 13.12: Grfico que relaciona com M e com Mp de um sistema de segunda ordem .

3. Analise o grfico da Fig. 13.12 e comente a relao entre o fator de amortecimento, margem de fase e sobre-sinal no sistema de segunda ordem esquematizado na Figura 13.11.

Pode-se tambm verificar a relao existente entre a velocidade de resposta da varivel de sada do sistema apresentado na Figura 13.11, e a curva de resposta em freqncia deste sistema operando em malha-fechada. Para tanto relaciona-se as medidas de desempenho temporais deste sistema quando excitado com uma entrada do tipo degrau (tempo de subida, tempo de pico e tempo de estabilizao), com a largura de banda da resposta em freqncia de malha-fechada do mesmo, que coincide para o caso do sistema apresentado na Figura 13.11, com a freqncia em que o mdulo da funo de transferncia de malha-fechada do sistema apresenta valor igual

21 , i.e:

21

s2s)s(T

js2nn

2

2n =++

==

(13.10)

A freqncia em que a equao (13.10) satisfeita denominada BW, e obtida empregando-se o mesmo procedimento utilizado para determinao da freqncia 0dB, ou seja:

( )2

2BW

2n

222BW

2n

2n

2

421

+=

(13.11)

concluindo-se, pela soluo da equao biquadrada resultante de (13.11), que a largura da banda da resposta em freqncia de malha-fechada do sistema representado na Figura 13.11 dada por




( ) 24421 242nBW ++= (13.12) Adicionalmente, sabe-se que os tempos de pico e de estabilizao do sistema de segunda ordem em questo so expressos pelas seguintes (13.13) e (13.14) apresentadas abaixo:

2n

p1

t

= (13.13)

ns

4t = (13.14)

Conclui-se, com base nas equaes (13.13) e (13.14) que os tempos de pico e de estabilizao de um sistema de segunda ordem representado na Figura 13.11 dependem da freqncia natural e do coeficiente de amortecimento deste sistema. Contudo, admitindo-se como exemplo uma subclasse de sistemas de segunda ordem com um mesmo coeficiente de amortecimento, percebe-se claramente que quanto maior for a freqncia natural do sistema maior ser sua largura de banda e, consequentemente, menores sero os tempos de pico e de estabilizao do mesmo sistema quando excitado por um sinal de entrada do tipo degrau, implicando maior rapidez de resposta deste sistema.

4. Para o sistema de segunda ordem esquematizado na Figura 13.11 estabelea a relao entre o fator de amortecimento e as freqncias em que o mdulo da funo de transferncia de malha-aberta apresenta valor unitrio, 0dB, e a largura de banda do sistema operando em malha-fechada. Admita valores do fator de amortecimento variando entre 1.0 > > 0.0.

( ) 24421142

242

42

BW

dB0

++++=

Fig. 13.13: Relao entre e bw

odB




13.

i. Analise as Fig. 13.14 a 13.16 e verifique a relao entre a margem de fase e o sobre-sinal das Figuras 13.14 a 13.16.

ii. Analise as Fig. 13.17 a 13.19 e verifique a relao entre a largura de banda e os tempos de estabilizao e de pico.

100 101 102 103-50

0

50Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=24.2921 deg. (w=95.4704)

Mag

nitu

de [d

B]

Freqncia [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -

100 101 102 103-180

-160

-140

-120

-100

-80


Fase

[deg

]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1

1.5Mp=50 %, qsi=0.21545, Wn=100 rad/s

Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -

y(t)

Pm = 24.2921

Mp = 50%

Fig. 13.14: Sistema de segunda ordem com = 0.2 e n = 100 rad/s




100

101

102

103

-50

0


Mag

nitu

de [d

B]


100 101 102 103-180

-160

-140

-120

-100

-80


Fase

[deg

]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Mp=25 %, qsi=0.40371, Wn=100 rad/s


y(t)

Pm = 43.463

Mp = 25%

Fig. 13.15: Sistema de segunda ordem com = 0.4 e n = 100 rad/s




100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20


Mag

nitu

de [d

B]


100 101 102 103-180

-160

-140

-120

-100

-80


Fase

[deg

]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Mp=5 %, qsi=0.69011, Wn=100 rad/s


y(t)

Pm = 65.4627

Mp = 5%

Fig. 13.16: Sistema de segunda ordem com = 0.69 e n = 100




101 102 103-60

-40

-20

0

20Largura de Banda 68.5562 rad/s,

Freqncia [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Fechada -

Fase

[gra

us]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1

1.5Mp=25 %, tp=0.068677 rad/s ts=0.19816 rad/s


y(t) ts = 0.19816

WB = 68.5562

Fig. 13.17: Sistema de segunda ordem com = 0.4037 e n = 50 rad/s.

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0



Fase

[gra

us]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Mp=25 %, tp=0.034339 rad/s ts=0.09908 rad/s


y(t) ts = 0.09908

WB = 137.1125





101 102 103-30

-20

-10

0



Fase

[gra

us]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

0.5

1

1.5Mp=25 %, tp=0.017169 rad/s ts=0.04954 rad/s


y(t) ts = 0.04954

WB = 274.225


Aproximao de Sistemas de Ordem Superior

As relaes entre a resposta temporal e a resposta em freqncia estabelecidas pelas equaes (13.8) a (13.9) e (13.12) a (13.14) so validas para sistemas de segunda ordem, entretanto podem ser empregas em sistemas de ordem superior. A condio necessria para efetuar essa aproximao que o sistema de ordem superior apresente comportamento predominantemente de segunda ordem. Para demonstrar como empregar as relaes desenvolvidas para sistemas de segunda ordem em sistemas de ordem superior ser analisado o sistema de controle da Figura 13.20, cuja a funo de transferncia G(s) dada por (13.15) e o ganho K = 1440. A Figura 13.21 apresenta o diagrama de Bode em malha aberta deste sistema.

K+

-

R(s) C(s)G(s)K

+-

R(s) C(s)G(s)

Fig. 13.20: Sistema original de ordem superior.

A funo de transferncia em malha aberta do sistema da Fig. 13.20 dada por

)100s)(36s(sK100)s(G K ++= (13.15)




0dB

180Fig. 13.21: Diagrama de Bode do sistema apresentado na Figura 13.20 considerando K=1440.

Pelo diagrama de Bode apresentado na Figura 13.21 pode-se realizar a medida da margem de fase do sistema - M, e a partir da, considerando-se que o sistema apresenta comportamento predominantemente de segunda ordem, calcular o coeficiente de amortecimento e o tempo de pico tp. Alternativamente, uma vez que por hiptese a funo de tran cia de malha-aberta do sistema conhecida, pode-se determinar numericamente a margem de fase stema, ou seja:

rad/seg 62.29 110036

144400)( 022220

==++

== dBdBjG (13.16)

Determinada a freqncia 0dB, determina-se a margem de fase do sistema apresentado na Figura 13.20, empregando-se a seguinte expresso:

odBdBM arcarc 05.3410036

tan90180 00 =

= (13.17)

A margem de fase do sistema, calculada em (13coeficiente de amortecimento do sistema, uma vez que a

2

412- tan 90

42 ++=

arcoM

representa uma boa aproximao se o sistema em malhaordem. A partir da resposta temporal a uma entrada dmostrada na Fig. 13.22, determina-se : e 101.0= Mpspt

Professores: Lus Fernando Alves Pereira & Jos Felipe H tan.17), p expre

-fechao tipo

3.0=

affnersfern do siode ser utilizada para determinao do sso

0.3027 (13.18)

da for predominantemente de segunda degrau unitrio aplicada ao sistema, 687

16



Mp=0.3687

Fig. 13.22: Resposta ao degrau do sistema apresentado na Figura 13.20. tp=0.101 seg.

Utilizando as equaes relativas a um sistema de 2 ordem, na respostas temporal apresentada na Fig. 13.22, obtm-se

3027.021 ==

eM p (13.19)

sradt nn

p /63.321 2

=

=

(13.20)

2n

)(~ sC

Logo, a funo de trsistema de segunda ordem , da

~

RC

Na Figura 13.24 so do sistema apresentado na Figcurva relativa ao sistema de scoeficiente de amortecimento com eferncia um de

Professores: Lus Fernando Al R(s) + _ )2( nss +

Fig. 13.23: Sistema de segunda ordem.

ansferncia apresentada em (13.21) uma aproximao, utilizando um funo de transferncia de malha fechada do sistema da Fig. 13.20.

9.106475.199.1064

2)()(

222

2

++=++= ssssss

nn

n

(13.21)

apresentadas duas curvas: uma das curvas representa a resposta temporal ura 13.20 operando em malha-fecha com ganho K=1440, sendo a outra egunda ordem aproximado com freqncia natural n = 32.63 rad/seg, e igual aquele calculado em (13.19). Em ambos os casos considerando grau de amplitude unitria o sinal de rves Pereira & Jos Felipe Haffner 17



Fig. 13.24: Resposta ao degrau do sistema apresentado na Fig. 13.20 e do sistema de segunda ordem

equivalente apresentado na Fig. 13.23.

Na Fig. 13.25 apresentado os diagramas de Bode do sistema original para K = 1440 e do sistema de 2 ordem aproximado.

Fig. 13.25: Diagrama de Bode do sistema original para K=1440 e do sistema de 2 ordem aproximado.

Pode-se observar na Figura 13.25, que o sistema de segunda ordem aproximado apresenta uma resposta bastante prxima resposta do sistema apresentado na Figura 13.20, observando-se que as relaes estabelecidas para o sistema de segunda ordem apresentadas podero servir para calcular, de forma aproximada, as caractersticas da resposta temporal deste sistema em malha fechada.

6.

i . Calcule a margem de fase, a margem de ganho e a freqncia de 0 dB para o sistema original e para o sistema aproximado.

ii. Comente sobre o uso das relaes estabelecidas para o sistema de segunda ordem para determinar a margem de fase , a freqncia de 0 dB e as caractersticas da resposta temporal de sistemas de ordem superior.




Exerccios 1. Considerando os diagramas de Bode apresentados nas Figuras 13.26, 13.27 e 13.28, traar os

diagramas de Nyquist e analisar a estabilidade de cada um dos sistemas empregando o critrio de estabilidade de Nyquist. Nos diagramas de Bode e de Nyquist identificar as margens de fase M e de ganho GM de cada sistema.

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

Fig. 13.26: Diagrama de Bode G1(s)H1(s).

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

-150

-100

-50

0

50

10-2

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0





Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

-100

-50

0

50

100

10-1

100

101

102

103

-400

-300

-200

-100

0


2. Considerando os diagramas de Nyquist apresentados na Tabela 13.2.

Item Diagrama Polar de Nyquist Preencher com os valores da Tabela 13.1

A

Margem de Fase:______ Margem de Ganho:______ Grau relativo do sistema:______ Estabilidade:______

B


Tabela 13.2: Diagrama de Nyquist e suas principais caractersticas.




C


D


E


Continuao da Tabela 13.2: Diagrama de Nyquist e suas principais caractersticas.




3. Considere o sistema de controle com realimentao unitria e negativa apresentado na Figura

13.29.

Y(s) U(s)R(s) E(s) + _

G(s)K

Fig. 13.29: Sistema de controle empregado no exerccio 3.

A Figura 13.30 apresenta o diagrama de Bode da funo de transferencia de malha aberta Y(s)/E(s) considerando K = 1.

i. Determine o ganho K necessrio para que o sistema apresente uma resposta subamortecida a um sinal de entrada do tipo degrau com tempo de estabilizao menor que 1 segundo e sobre-sinal mximo de 5%.

ii. Para o ganho especificado no item i determine o erro em regime para os sinais de entrada do tipo degrau e rampa..

Fig. 13.30: Diagrama de Bode da funo de transferencia de malha aberta do sistema de controle da

Fig. 13.30 considerando K = 1

4. Considere o sistema de controle com realimentao unitria e negativa apresentado na Figura 13.31. Dica: Utilize os Diagramas de Nyquist da G(s) para K =1 apresentado nas Figuras 13.32 e 13.33.

+

-

R(s) C(s)

)4s)(2s)(1s(K58)s(G +++=+

-

R(s) C(s)

)4s)(2s)(1s(K58)s(G +++=




Fig. 13.31: Diagrama de blocos de um sistema com realimentao unitria e negativa. i. Considerando o ganho K = 1, determine a margem de ganho e a margem de fase. ii. Qual deve ser o ganho K para a margem de ganho ser igual a 20 dB.

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Nyquist Diagrams

2 1 0 1 2 3 4 5 6 75

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5From: U(1)

To: Y

(1)

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Nyquist Diagrams

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

1.3

1.1

0.9

0.7

0.5

0.3

0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

Fig. 13.32: Diagrama de Nyquist de G(s) utilizado no exerccio 4, considerando K=1.

Fig. 13.33: Detalhe do diagrama de Nyquist apresentado em Fig. 13.36.




13. Determine o valor do ganho K, para a margem de ganho de 10.0 dB para o sistema de

realimentao unitria da Figura 13.34. Admita as seguintes funes de transferncia G(s):

I. )8s)(5s)(2s(

K)s(G +++=

II. )5s)(2s(s

K)s(G ++=

G(s)+

-

R(s) C(s)

Fig. 13.34: Diagrama de blocos de um sistema com realimentao unitria e negativa.

6. Para os sistemas do problema 5, encontre o valor do ganho K para que a margem de fase de

seja de 40. 7. Para o diagrama de blocos apresentado na Figura 13.34, use o mtodo da resposta em freqncia

para determinar o valor do ganho K, de maneira que a resposta a uma entrada do tipo degrau apresente 20% de sobresinal. Admita as seguintes funes de transferncia G(s):

I. )7s)(5s(s

K)s(G ++=

II. )6s)(5s)(4s(s

)2s(K)s(G ++++=

8. Para o sistema com realimentao unitria da Figura 13.34, com

)9s)(6s)(3s(s)11s)(10s(K)s(G +++

++= determine: I. O valor do ganho K, de maneira que a resposta a uma entrada do tipo degrau

apresente 15% de sobresinal. II. Especifique um sistema de segunda ordem que produza uma resposta temporal

aproximadamente igual ao sistema original. III. Use o MATLAB para testar seu sistema de segunda ordem aproximado atravs de

simulao do sistema empregando o valor de K encontrado do item I. Sumrio Foram apresentadas as definies de Margem de Ganho GM e Margem de Fase - M e suas relaes com estabilidade relativa de sistemas lineares. Observou-se que, diferentemente dos mtodos do Lugar Geomtrico das Razes LGR e do critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz, em que o estudo de estabilidade de um sistema de controle em malha-fechada depende do conhecimento da funo de transferncia do mesmo, as informaes associadas a estabilidade de um sistema de controle linear operando em malha-fechada tambm podem ser obtidas experimentalmente atravs da resposta em freqncia deste sistema operando em malha-aberta. Nestes casos, a estabilidade absoluta do sistema determinada empregando o critrio de estabilidade de Nyquist, sendo as concluses de estabilidade relativa do sistema realizadas com base em GM e M. Realizou-se tambm, com base no sistema de segunda ordem apresentado na Figura 13.11, a relao entre as caractersticas de resposta temporal e de resposta em freqncia do sistema do sistema em malha-aberta e malha-fechada





Leituras Adicionais Recomendadas [1] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing. [2] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition. [3] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems, Addison-

Wesley Publishing Company. [4] Dorf, R.C. & Bishop, R.H., Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company. [5] Ogata, K., Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall do Brasil, 3 edio.

Margem de Fase e Ganho - Características de Processos No Domínio Da Freqüência

Documents

Transcript of Margem de Fase e Ganho - Características de Processos No Domínio Da Freqüência