Mapas Exponenciais
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Mapas Exponenciaispor Rafael Vieira
CRAb – Grupo de Computação Gráfica
Departamento de Computação
UFC
Sumário
1. Definições
2. Método de Rotação
3. Prova
4. Matriz de Rotação
5. Reparametrização
6. Mapas Exponenciais e Quaternions
7. Referências
Definição: R3
É o espaço Euclidiano tridimensional. Todo ponto P em R3 possui três coordenadas, tal que se P está em R3 então P é a tupla (x, y, z). Todo ponto em R3 pode ser visto como um vetor Vp que parte da origem do sistema O (0,0,0) até o ponto
ĵ
î
kO(0,0,0)
P(x¹,y¹,z¹) Q(x²,y²,z²)
Por definição:
Vp = P – 0 = (x¹ – 0, y¹ – 0, z¹ – 0)Vp = (x¹, y¹, z¹)Análogamente, Vq = (x², y², z²)
Definição: Special Orthogonal Group
SO(3) é o conjunto das transformações lineares ou matrizes que preservam o produto interno de dois vetores no R3 No espaço Euclidiano, o produto interno é o produto escalar de dois vetores. Para toda matriz R do grupo SO(3), R.Rt = I.
Exemplos:
Rx=(cosθ sinθ 0
−sinθ cosθ 00 0 1) R y=(
cosθ 0 −sinθ0 1 0sin θ 0 cosθ ) Rz=(
1 0 00 cosθ sinθ0 −sin θ cosθ)
Rotação nos eixos x, y e z segundo um eixo unitário.
Obs: Se P é um ponto em R3 , P.Ri rotaciona P em torno do eixo x, y ou z em θ
graus pela regra da mão direita e Ri .P rotaciona P em torno do eixo x, y ou z
em θ graus pela regra da mão esquerda (sentido contrário).
Definição: Quaternions
É um conjunto de vetores com 4 dimensões. São considerados uma generalização do espaço complexo.
Se q é um quaternion, û é o vetor eixo de rotação, v é um vetor do espaço R3, θ é o ângulo de rotação e R é a função de rotação por um eixo v, então estão definidos:
q=s+x∗i+y∗ j+z∗k
q=s−x∗i−y∗ j−z∗k
q=cos( θ2)+sin( θ
2) u , û=(x , y , z)
R v=q∗v∗q ou R v=q∗v∗q⁻1
v=x∗ i+y∗ j+z∗k , v=(x , y , z) ou θ=180°
ĵ
î
k
Atenção! Existem 4 direções que um quaternion pode se mover, mas queremos apenas 3 DOFs (degrees of freedom).
Definição: 3-Sphere
S3 é uma esfera de 4º dimensão análoga a uma esfera com raio unitário. Ela é um conjunto de pontos equidistantes de um ponto central a partir do espaço 4D dos quaternions.
Projeção de uma hiperesfera em 3D fonte: Claudio Rocchini.
Definição: Skew-Simetric Matrices (Matriz antisimétrica)
so(3) é o conjunto das transformações lineares ou matrizes que são skew simetric. Para toda matriz R do grupo so(3) e R = -Rt.
Exemplos:
w=(0 −w3 w2
w3 0 −w1−w2 w1 0 )
Obs: Se w e v são um vetores em R3 , ŵv é o produto vetorial de w por v, isto é w x v.
Definição: A função exponencial ex(2), pode ser aproximada pela série de Taylor(1) da seguinte maneira:
(1) f (x)=∑n=0
∞
an(x−a)n na qual an=f n(a)
n!
(2) ex=∑n=0
∞ xn
n!=1+x+
x2
2!+
x3
3 !+
x4
4 !+⋯
(3) eiπ+1=0
(4) eiθ=cosθ+sin θ i
(3) define a identidade de Euler e (4) é uma expansão da identidade para análise complexa (3).
Definição: Geodésica é a menor distância entre dois pontos em uma superfície n-dimensional.
Fonte: UOL, http://ciencia.hsw.uol.com.br/mapa1.htm acessado em 14/09/11
Definição: Espaço tangente é um hiperplano d--dimensional que mais se aproxima do valor real de uma superfície d-dimensional. Em uma curva C(t), para um ponto p
0 = C(t
0), o hiperplano tangente aquele
ponto é uma reta retornada pela primeira derivada C'(t
0).
Kazhdan, Misha.
Definição: Em uma superfície S(u,v), para um ponto p0
= S(u0,v
0), é o hiperplano tangente aquele ponto é
dado por uma plano bidimensional retornado pela primeira derivada S'(u,v) para u e v.
Kazhdan, Misha.
Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de um ponto Q pertencente ao hiperplano tangente na superfície.
Exemplo: Em uma curva C(t), o mapa exponencial para um ponto p
0 = C(t
0) é um mapeamento que envia pontos no espaço
tangente C'(t0) para a curva C(t).
Kazhdan, Misha.
Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de um ponto Q pertencente ao hiperplano tangente na superfície.
Exemplo: Em uma superfície S(u,v), o mapa exponencial para um ponto p
0 = S(u
0,v
0) é um mapemaneto que envia pontos no
espaço tangente S'(u0,v
0) para a curva S(u
0,v
0).
Kazhdan, Misha.
Definição: Dado um ponto P em superfície n--dimensional, o mapa exponencial é projeção de um ponto Q pertencente ao hiperplano tangente na superfície.
Exemplo: Em uma superfície S(u,v), o mapa exponencial para um vetor w no espaço tangente definido pelo ponto p
0 = S(u
0,v
0) é mapeamento
que cria uma geodésica que move p0 na direção w no espaço tangente
S'(u0,v
0) para um comprimento |tw| na curva S(u
0,v
0).
Kazhdan, Misha.
Método de Rotação: O mapeamento exponecial, que nos interessa, é o de vetores, pois realiza uma transformação de so(3) → SO(3), o que nos permite obter uma rotação em R3.
Para obter o plano diferencial, precisamos então fazer uso da mecânica clássica de Física.
v
r
w (vetor saindodo monito)
v=w x r
d rdt
=wr
Importante! ŵ é uma matriz antisimétrica que simula o produto vetorial w x r. E também é o nosso eixo de rotação.
Método de Rotação: Como o eixo de rotação não varia ŵ é uma constante. Ajustando a fórmula e aplicando integral em ambos os lados obtém-se:
v
r
w (vetor saindodo monito)
d rdt
=wr
d rr
=w dt
∫ d rr
=w∫dt
ln (r )=w t
e wt=r
Método de Rotação: Aplicando a definição de exponencial, temos o mapa exponencial final.
r=ewt
R(w ,θ)=ew θ
R(w ,θ)=∑n=0
∞ wnθn
n!=I+wθ+
w2θ2
2 !+
w3θ3
3 !+
w4θ4
4 !+⋯
Define-se r como a nossa Rotação R pelo vetor arbitrário w e t como o ângulo de rotação.
Atenção ŵ² = w x (w x vp)
w² =(−(w2
2+w3
2) w2∗w1 w1∗w3
w1∗w2 −(w12+w3
2) w3∗w2w3∗w1 w2∗w3 −(w1
2+w22))
Método de Rotação: É possível simplificar a fórmula pela série de Taylor para seno e cosseno e assim obter a fórmula de Rodrigues.
R(w ,θ)=∑n=0
∞ wnθn
n!=I+wθ+
w2θ2
2 !+
w3θ3
3 !+
w4θ4
4 !+⋯
R(w ,θ)=I+w (θ−θ
3
3 !+
θ5
5 !−⋯)+w2
(θ
2
2 !−
θ4
4 !+
θ6
6 !+⋯)
R (w ,θ)=I+w(sinθ)+w2(1−cosθ)
Atenção!
Para expoente ímpar: w x( w x (w x p)) = ŵ ou -ŵPara expoente par: w x (w x( w x (w x p))) = ŵ² ou -ŵ²
Fórmula de Rotação de Rodrigues
Prova da Fórmula de Rodrigues
Cheng, Steve
Matriz de Rotação derivada diretamente da fórmula.
R (w ,θ) =(w12(1−csθ)+csθ w1w2(1−csθ)−w3sθ w1w 3(1−csθ)+w2sθ
w1w2(1−csθ)+w3sθ w22(1−csθ)+csθ w2w3(1−csθ)−w1sθ
w1w3(1−csθ)−w 2sθ w2w 3(1−csθ)+w1s θ w32(1−csθ)+csθ )
Quaternion unitário
Obs: Esta é a matrix usada pelo OpenGL para realizar suas rotações segundo sua documentação: http://www.opengl.org/sdk/docs/man/xhtml/glRotate.xml
R (s ,v) =(1−2y2−2z2 2xy+2zs 2xz−2ys2xy−2zs 1−2x2−2z2 2yz+2xs2xz+2ys 2yz−2xs 1−2x2−2y2
),v=(vx∗sen (
θ2), vy∗sen (
θ2), vz∗sen (
θ2)) , s=cos( θ
2) , x=vx∗sen (
θ2) , ⋯
Reparametrização
(1)∣v∣=1, v= θ2∗v
(2)∣v∣=θ2
(3)q (s , v)=ev θ=(sin ( θ
2)v∣v∣, cos( θ
2))
(4)q (s, v)=evθ=(sinc ( θ2) v ,cos( θ
2))
(4)sinc(x)=sin(x)x
(5)R (w ,θ)=R ( −w ,360°−θ)
Atenção! Quaternion também pode ser visto como uma forma de mapeamento exponencial na 4º dimensão.
Comparação do comportamento da função sin(x) e sinc(x)
Mapas exponenciais e quaterninons
Como foi visto que o quarternion é uma forma de mapeamento exponencial também é possível constuir uma fórmula de aproximação para ele.
q=(θ2, s), R (q , v)=q.v. q
(met.I ) R (q , v)=eq .ev .e q
(met.II ) R (q , v)=M q. v
R (q , v)=∑n=0
∞ M qn
n!=I+M q+
M q2
2!+
M q3
3 !+
M q4
4 !+⋯
Desafio: Será que é possível simplificar o produto dos quaternions?
Atenção! Mq
n é
o produto de quaternions!
Referências:
1. Murray, Richard ; Li, Zexiang; Sastry, S. Shankar; A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation CRC Press; 1 edition (March 22, 1994). ISBN-10: 0849379814. ISBN-13: 978-0849379819
2. Cheng, Steve. A proof of Rodrigues' rotation formulahttp://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfRodriguesRotationFormula.html [acessado em 14/09/11]
3. Grassia, F. Sebastian. Practical parameterization of rotations using the exponential map. Journal of Graphics Tools, vol 3, pags 29-48. 1998
4. Kazhdan, Misha. Quaternions and Exponentials www.cs.jhu.edu/~misha/Spring11/27.pdf [acessado em 14/09/11]
5. Artigos da wikipédia [acessados em 14/09/11]http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrixhttp://en.wikipedia.org/wiki/Quaternionhttp://en.wikipedia.org/wiki/3-spherehttp://en.wikipedia.org/wiki/SO%283%29