Exponenciais e Logaritmos
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Nome: ______________________________________ Ano letivo: 20__/20__
Questão 1
Seja [ ]ABC um triângulo retângulo em B , tal que AB = a , BC =b e AC =c .
Sabe-se que ln lnc b a . A que é igual a expressão: 2ln( ) ln( 1)c
bc cb
?
(A) a ln a (B) ln ab (C) a 2ln a (D) 2ln ab
Questão 2
Seja a um número real tal que log 4 8a . Qual é o valor de 44log 64a ?
(A) 1
3 (B)
1
2 (C)
2
3 (D)
3
4
Questão 3
Sejam a , b e c três números reais tal que log 2log ( ) log 2ab ab aba bc c .
Qual é o valor de 2log ( )a ac ?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
Questão 4
Na figura estão representados, em referencial on. xOy , parte
do gráfico da função g , de domínio \{0} , definida por
2
3( ) log ( )g x x x e um paralelogramo [ ]ABCD .
Sabe-se que:
▪ o ponto A pertence ao gráfico de g e tem abcissa -2 ;
▪ o ponto C pertence ao gráfico de g e tem abcissa 6 .
Qual é a área do paralelogramo [ ]ABCD ?
(A) 36 (B) 48 (C) 60 (D) 72
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Questão 5
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é dada pela tabela:
( k designa um número real)
Qual é o valor médio da variável aleatória X ?
(A) 2 (B) 2,25 (C) 2,5 (D) 2,75
Questão 6
Para certos valores reais de a a função g , definida por ( ) (log( 3) log )xg x a a
é uma função exponencial estritamente crescente. Então pode-se afirmar que: (A) ]5, [a (B) ] ,0[ ]3, [a
(C) ]3, [a (D) ] , 2[ ]5, [a
Questão 7
Sejam x e y dois números reais positivos tais que 16 4log -2log4 3
y x . Qual das
seguintes afirmações é verdadeira?
(A) 23y x (B) 29y x (C) 43y x (D) 49y x
Questão 8
Na figura está representado, num referencial o.n. xOy , parte do
gráfico da função g definida por 5( ) log (1 )x ag x e bx , com a
e b contantes reais.
Sabe-se que:
▪ o ponto de coordenadas ( -3,3) pertence ao gráfico de g ;
▪ A reta de equação 1
8x é assimptota vertical do gráfico de g .
Quais são os valores de a e de b ?
(A) 3a e 8b (B) 3a e 8b (C) 3a e 8b (D) 3a e 8b
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Questão 9
Considere a função f , de domínio , definida por 2
( ) 16ax axf x , com 0a .
Qual é o contradomínio de f ?
(A) 1
]0, ]2a
(B) 1
[ , [2a
(C) 1
]0, ]4a
(D) 1
[ , [4a
Questão 10
Considere as seguintes afirmações:
Quais são as afirmações verdadeiras?
(A) I e III (B) Apenas a II (C) Apenas a III (D) II e III
Questão 11
Considere a função f , de domínio ] ,2[ , definida por 3( ) 1 log (6 3 )f x x .
11.1. Determine o conjunto solução da inequação 3( ) f(1 2x) 1 log xf x .
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11.2. Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy , a parte do gráfico
da função f e um triângulo [ ]ABC . Sabe-se que:
o ponto A pertence ao gráfico de f e tem abcissa -2;
o ponto B pertence ao eixo Ox e é assimptota do
gráfico de f ;
o ponto C pertence ao eixo Ox e ao gráfico de f .
Mostre que a área do triângulo [ ]ABC é igual a 3log 2 .
11.3. Mostre que a função f é injetiva.
11.4. Caracterize a função 1f , função inversa de f .
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11.5. Determine o conjunto solução da equação 1 1( ) 3 0xf x .
Questão 12
Seja g a função, de domínio , definida por ( ) log ( 2) ax b
bg x ab e , com a ,b
12.1. Sabendo que 2 ln(a b) 25ee e que log ( 7) 2a b , mostre que 3 2( ) 3 xg x e
12.2. Determine o conjunto solução da inequação
2 2
2
2
( )3 1
x x
x
e e
g xe
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12.3. Mostre que g tem função inversa e caracterize-a.
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Questão 13
Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy , parte do
gráfico da função f , de domínio , definida por ( ) lnf x x , parte
do gráfico da função 1f , função inversa de f , o triângulo [ ]ABC
e o triângulo [ ]CDE .
Sabe-se que: ▪ A é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox ;
▪ C é o ponto de intersecção do gráfico de 1f com o eixo Oy ;
▪ o ponto B pertence ao gráfico de f e tem abcissa a ;
▪ o ponto D pertence ao gráfico de 1f e tem ordenada a ;
▪ o ponto E pertence ao eixo Oy e tem a mesma ordenada que o
ponto D ; ▪ a é um número real maior que 2.
13.1. Mostre que a área do triângulo [ ]ABC é igual à área do triângulo [ ]CDE se
e só se 1
ln2
aa
a
.
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13.2. Recorrendo à calculadora gráfica determine as coordenadas do ponto B
de modo que a área do triângulo [ ]ABC é igual à área do triângulo [ ]CDE .
Na sua resposta deve: ▪ escrever a condição que permite resolver o problema. ▪ reproduzir o(s) gráfico(s) (devidamente identificado(s)) que achar necessário(s) para a resolução do problema. ▪ indicar as coordenadas do ponto B , arredondadas às centésimas. Questão 14
Considere a função , de domínio , definida por ( ) x xh x a a com \{1}a .
14.1. Considere o triângulo [ ]ABC de área 225
8 tal que o ponto A pertence ao
gráfico de h e tem abcissa 2, o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao
eixo Oy e o ponto C pertence ao gráfico de h e ao eixo .
Mostre que 1
44
a a .
Oy
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14.2. Determine o conjunto solução da inequação 2 ( 1) 5h x .
14.3. Mostre que 4 2log (2 ( )) log (4 1) ,xh x x x .
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Questão 15
Devido a várias restrições os responsáveis de uma reserva de caça controlam a população de coelhos de modo que ela cresça a uma taxa de 4% a cada quatro meses. Admita que a população de coelhos na reserva num certo instante inicial
é de 0C indivíduos e seja C a função que dá o número de coelhos da reserva, t
anos a partir de um certo instante inicial.
15.1. Determine 4
( )3
C em função de 0C .
15.2. Defina a expressão analítica da função C , apresentando-a na forma
0
btC a , sendo a e b constantes reais positivas.
15.3. Nas alíneas seguintes considere 1,04a e 3b .
15.3.1. Qual é o aumento, em percentagem, do número de coelhos a cada 27
meses?
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Apresente o resultado arredondado às unidades.
15.3.2. Determine x de modo que ( ) 3 ( )C t x C t .Interprete o resultado no
contexto da situação descrita. Apresente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades.
15.3.3. Mostre que 0ln ln
3ln(1,04)
C Ct
.
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Questão 16
O número de utentes, em milhares, de um Centro de Saúde é dado em função do tempo, t , medido em anos, por:
3( ) , com a,b
1 btN t
ae
O instante t =0, corresponde ao início de 2010.
16.1. Sabendo que no final de 2010 o número de utentes do Centro de Saúde era de 801 e que passados dois anos esse número já era de 1642, determine os valores de a e b .
Apresente o valor de a arredondado às unidades e o valor de b arredondado às décimas. Caso faça
arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve no mínimo três casas decimais.
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Nas alíneas seguintes, considere 5 0,6a e b .
16.2. Determine lim ( )t
N t
e interprete o resultado no contexto da situação
descrita. 16.3. No decorrer de que ano o número de utentes no Centro de Saúde atingiu os 200? 16.4. Um outro Centro de Saúde foi inaugurado no início de 2010. O número de
utentes deste centro, em milhares, é dado, em função do tempo, , medido em
anos, por 0.3
0,3
2,5S(t)
1
t
t
e
e
. Ao fim de quanto tempo o número de utentes nos dois
centros é igual? Apresente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades. Caso faça arredondamentos nos cálculos
intermédios, conserve no mínimo três casas decimais.
t
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Questão 17
A massa, m , em miligramas, do isótopo radioativo Zinco-65 (Z65) relaciona-se
com tempo, , medido em anos, através da fórmula:
( ) 0.965 ln( )t m m a
Sendo a um constante real.
17.1. Num certo instante inicial foi colocado em repouso uma amostra de 5 miligramas de Z65. Qual é o valor de a ?
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
17.2. Mostra que ( ) t(m)3
mt é constante e interpreta o resultado no contexto do
problema. Apresente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades.
17.3. Determine o valor de x tal que ( ) ( ) 0,6692t xm t x . Interprete o resultado
no contexto do problema. Apresente o resultado arredondados às decimas.
t
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17.4. Escreva m em função de . Apresente o resultado na forma BtAe . Apresente o valor de B arredondado às milésimas.
17.5. Mostre que ( 2)
( )
m t
m t
é constante e interprete o resultado no contexto do
problema.
t