PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

Professores: Renato Medeiros

MAF 1292

Eletricidade e Eletrônica

NOTA DE AULA II

Goiânia 2014

MAGNETISMO

Linhas de Indução de um Campo Magnético

Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como fizemos

para os campos elétricos. Regras semelhantes se aplicam; ou seja, estas linhas devem

ser traçadas de tal modo que o vetor B seja sempre tangente a elas em qualquer um de

seus pontos. Além disso, o espaçamento entre as linhas representa a intensidade de B , o

campo magnético é mais intenso onde as linhas estiverem mais próximas. As linhas de

campo saem do polo norte e chega ao polo sul.

Força magnética sobre cargas elétricas em movimento

A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida

como o produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo

magnético B .

F = q v B F = q v B sen

onde:

F é o módulo da força magnética que atua na carga q

v é o módulo da velocidade de q

B é o módulo do campo magnético

Direção e sentido da força magnética

A força magnética tem direção perpendicular a v e a B , isto é , ao plano

definido por v e B . O sentido de F é o mesmo do produto vetorial v B , se a carga q

for positiva e contrária a este sentido se q for negativa. A direção e sentido da força

magnética podem ser encontrados por várias regras práticas, entre elas podemos citar a

regra da mão direita ou da mão esquerda.

Regra da mão direita.

Bdedão F

dedos v B

Unidade de campo magnético

A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro.

Por conveniência, esta unidade e chamada de tesla ( ) .

.1

.

N s

C m = 1 tesla = 1

Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de

campo:

entrando pelo plano

saindo pelo plano

Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica

Se há interação entre campo magnético e partículas portadoras de carga elétrica,

há uma interação entre campo magnético e um condutor percorrido por corrente elétrica,

pois a corrente elétrica é constituída pelo movimento de portadores de carga elétrica.

Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente

i, for colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está

representado na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética

dada por

F iL B F B i L sen

onde:

F é a força magnética que atua no fio

L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L é um vetor de

intensidade L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido

(convencional) da corrente elétrica.

ϕ é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L .

Direção da força magnética

A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a

força magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o

sentido de F pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda.

Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica.

O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido

por forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida

por uma corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas

produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central.

Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque

dado por:

B ,

onde é o momento magnético dado por: NiA , onde N é o número de espiras e A é

a área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a

definição de produto vetorial, temos:

Bsen

NiABsen

Campo magnético gerado por corrente elétrica

Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas

de campo magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i.

No estudo do campo elétrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de

Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o

campo magnético gerado por corrente elétrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampère.

Lei de Biot – Savart

O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica

pode ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético

gerado por um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos

infinitesimais ds e definir para cada elemento um vetor comprimento ds de módulo ds e

sentido da corrente em ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds , a lei de Biot –

Savart assegura que a contribuição dB do campo magnético, devido ao elemento de

corrente i ds , num ponto P , a uma distância r do elemento de corrente, é dado por:

0

34

i dd

r

s rB

Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de

integração, as contribuições dB de todos os elementos de corrente.

Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo,

cujo valor é: o =4 x10-7

T.m/A.

Campo Magnético no centro de uma espira circular

O campo magnético no centro de uma espira circular, percorrida por uma

corrente elétrica i, é diretamente proporcional à corrente elétrica e inversamente

proporcional ao raio da espira.

Direção e sentido de B

A direção do campo magnético é normal ao plano da espira.

O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.

Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o

cálculo do campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por

uma corrente i.

Partindo da Lei de Biot-Savart, temos:

3 3 2

2

2

2 2

0

90

4 4 4

int :

4

24 4

2

o

o o o

o

r

o o

o

ids r idsrsen idsdB dB

r r r

egrando

idsdB

r

i iB ds r

r r

iB

r

Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo

A intensidade do campo magnético a uma distância d de um fio reto e longo

transportando uma corrente i é diretamente proporcional à corrente elétrica i e

inversamente proporcional à distância d.

As linhas de campo de B formam círculos concêntricos ao redor do fio, como

está representado na figura abaixo.

Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do

campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo.

Usando a lei de Ampère

.

cos 0

2

o

o

o

o o

B ds i

Bds i

B ds i B r i

Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado

por:

2

oiBr

o é a permeabilidade magnética do vácuo

Campo magnético de um solenóide

Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com

voltas de espaçamento muito próximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por

espiras circulares muito próximas.

Este campo magnético tem as seguintes características:

- O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central.

- O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.

- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos

Norte e Sul.

- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à

intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento

do solenoide.

0B in

onde:

n é o número de espiras por unidade de comprimento.

Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético

no interior de um solenoide.

0 0 0 0

.

. . . .

.

o env

b c d a

o env

a b c d

B ds B B ds

b

o env

a

o env

o

o

B ds i

B ds B ds B ds B ds i

B ds i

Bh i

Bh inh

B in

Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes

elétricas

Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um

sobre o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma

distância d.

A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por

b b aF i LB

O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual

a:

2

o aa

iB

d

Substituindo esta equação na equação da força temos que,

2

2

o ab b a b

o a b

iF i LB i L

d

Li iF

d

Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos

opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no

mesmo sentindo os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios

irão se repelir.

FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA

Fluxo do campo magnético

Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área

A, colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético

através desta espira é

.B d B A

Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma

área diferencial dA .

A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e

weber (abreviado por Wb)

1 weber = 1wb = 1T.m2

Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma

superfície de área A e que o ângulo seja constante, temos que:

cosB B A

onde:

B - é o fluxo magnético através da superfície de área A

- é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme)

dAB

Lei de Faraday da Indução Eletromagnética

Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira

condutora, aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta

fem é igual à taxa de variação do fluxo magnético através dessa espira.

Bd

dt

Para uma taxa de variação constante no fluxo ( constante), temos que: B

t

Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de

forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético B atravesse todas as voltas, a

fem total induzida na bobina é:

BNd

dt

Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o

fluxo magnético que atravessa uma bobina.

1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina.

2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região

onde existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou

para fora do campo).

3. Variando o ângulo entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o

campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja

paralelo a esse plano).

No esquema representado na figura abaixo, quando o imã em forma de barra se

aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magnético através da espira sofre uma

variação e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o imã

permanecer em repouso em relação à espira, não haverá variação no fluxo

magnético e, portanto não teremos corrente induzida na espira.

INDUTORES

Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico

numa determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo

magnético. O tipo mais simples de indutor é um solenoide longo.

Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo.

Indutância

Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um

solenóide), um fluxo magnético é produzido, pela corrente elétrica, no interior do

indutor. A indutância L do indutor é dada por:

NL

i

Unidade de indutância no SI .

1 T m2 / A = 1 henry (H)

Correntes alternadas

A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) ,

isto é, corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio,

rodando com velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a

uma fem alternada senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de

corrente alternada comercial, ou alternador.

A corrente elétrica distribuída para utilização industrial e residencial é corrente

alternada (AC, do inglês “Alternating Current”), tipicamente de frequência f = 60 Hz. A

principal vantagem da corrente alternada é que sua voltagem pode ser facilmente

aumentada ou reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia

elétrica em linhas de alta voltagem, convertendo-a no valor “caseiro” (110–220 V) ao

chegar a seu destino. A vantagem da transmissão de potência em alta voltagem é que a

corrente i associada é baixa, reduzindo a perda por efeito Joule nos fios de transmissão

(i2R).

Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada

que mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por:

v Vsen t

onde:

v é a ddp instantânea

V é a ddp máxima ou amplitude de voltagem

é a freqüência angular.

Observação:

As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de

grandezas variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes

correspondentes.

O símbolo de uma fonte de corrente alternada é:

CIRCUITO CAPACITIVO (C)

Suponha, agora, que um capacitor de capacitância C esteja ligado entre os

terminais da fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo:

A carga instantânea no capacitor é dada por: C C Cq Cv CV sen t

Como, c

dqci

dt cosC Ci CV t

Temos que: cos ( 90º )t sen t

Definindo uma quantidade XC, chamada reatância capacitiva do capacitor, como:

1 1C

C

X CC X

Podemos escrever a equação da corrente

( / ) ( 90º ) ( 90º )C C C C Ci V X sen t i I sen t

Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente C C CV I X se aplica a um

capacitor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão

complexo seja.

Observação:

A unidade de reatância capacitiva XC, no SI, é o ohm, mesma unidade de

resistência elétrica.

Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas

em 90º. Como a corrente está adiantada em relação à voltagem, os picos de corrente

ocorrem um quarto de ciclo antes dos picos de voltagem. No diagrama de fasores o

vetor corrente está adiantado do vetor voltagem por um quarto de ciclo ou 90º, como

está representado nas figuras seguintes:

Na figura abaixo estão representados o gráfico (iC e vC) com t e o diagrama

de fasores.

CIRCUITO INDUTIVO ( L )

No circuito indutivo, vamos supor que um indutor de resistência nula e

indutância L, seja ligado a uma fonte de fem alternada, como está representado na figura

abaixo:

Da definição de indutância, temos que:

( / )

( / )cos

L L L

L L

di di div L v sen t L v L sen t

dt dt dt

i v L t

Usando, cos ( 90º )t sen t e definindo que LL X , onde XL é a

reatância indutiva do indutor temos que:

( / ) ( 90º ) ( 90º )L L L L Li v X sen t i I sen t

Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente L L LV I X se aplica

a um indutor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando

quão complexo seja.

Observação:

A unidade de reatância indutiva XL, no SI, é o ohm, mesma unidade de

resistência. Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão

defasadas em 90o. A corrente está atrasada em relação à voltagem. Esta relação pode ser

verificada nas figuras a seguir:

Na figura abaixo estão representados o gráfico (iL e vL) com t e o diagrama de

fasores.

O circuito RLC

Em muitas situações, os circuitos de corrente alternada incluem resistência,

reatância indutiva e reatância capacitiva. Na figura abaixo está representado um circuito

LCR em série com um gerador de fem alternada.

Quando aplicamos uma fem alternada ( sen t = m ) no circuito RLC acima,

uma corrente alternada dada por ( )i Isen t é estabelecida no circuito. Nossa

tarefa é determinar a amplitude de corrente I e a constante de fase .

A análise desse circuito é facilitada pelo uso do diagrama de fasores, que inclui

os vetores voltagem e corrente para os vários componentes.

Como a corrente tem um mesmo valor em todos os pontos do circuito, um único

fasor I, é suficiente para representar a corrente no circuito.

Aplicando a lei das malha no circuito acima, temos que: v v vR LC E (soma

algébrica)

Os diagramas de fasores para I , VR , VC , VL e E m , está representado nas

figuras abaixo

O fasor mE é igual à soma (vetorial) dos fasores VR, VC e VL, dada por:

2 2 2 2 2 2

2 2 1/ 2

( ) ( ) ( )

[ ( ) ]

m R L C m L C

M

L C

V V V IR IX IX

IR X X

E E

E

onde: 1/ 2

2 2( )L CR X X Z , é chamado de impedância do circuito .

mIZ

Devemos observar que a unidade de impedância é a mesma de resistência (ohm).

Para determinar a constante de fase, temos que:

tan L

R

V Vc

V

tan LX Xc

R

Dependendo da relação entre as reatâncias indutiva XL e capacitiva XC, o circuito

será mais indutivo (o fasor I gira atrás do fasor mE ) ou mais capacitivo (o fasor I gira à

frente do fasor mE ).

Observação

Nos circuitos estudados, foi considerado o estado estacionário, isto é, a condição

que prevalece depois que o circuito foi ligado à fonte por algum tempo, logo que a fonte

é ligada, podem existir breves correntes e voltagens adicionais chamadas transientes.

Ressonância

As reatâncias indutivas XL e capacitiva XC dependem da frequência da fem

aplicada ao circuito RLC, consequentemente a impedância Z e a amplitude de corrente I

também dependem desta frequência. Teremos uma impedância mínima e uma amplitude

de corrente máxima quando 1 1

0L C L CX X X X LC LC

.

Esta frequência angular é a frequência natural ou de ressonância do circuito.

Portanto a impedância tem o menor valor possível, e a amplitude de corrente o maior

valor possível, quando a frequência da fem do gerador for igual à frequência natural do

circuito. Nesta frequência, se diz que o circuito está em ressonância com o gerador.

Potência em circuitos de corrente alternada

Em um circuito RLC em série, a potência média (Pmed) do gerador é igual à taxa

de produção de energia térmica no resistor, e é dada por:

2 cosmed rms rms rmsP I R I E

Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio

quadrático ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos

de cada grandeza estão relacionados por:

1,

2 2 2

mrms rms rms

VI V e

EE

O termo cos é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a

taxa com que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a

constante de fase o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura, 0 ,

cos 1 e med rms rmsP IE . Para um capacitor ou indutor, 90º , cos 0 e 0medP .

Observação:

Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o

amperímetro e voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores

eficazes Irms , Vrms , rmsE e não os seus valores máximos.

TRANSFORMADORES

Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens

e baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão.

Uma das características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a

eficiência com a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para

outro, por meio de transformadores.

Em princípio, o transformador consiste em duas bobinas isoladas eletricamente

uma da outra e enroladas no mesmo núcleo de ferro. Uma corrente alternada em um

enrolamento cria um fluxo alternado no núcleo e o campo elétrico induzido devido a

esta variação do fluxo induz uma fem no outro enrolamento. O enrolamento para o qual

se fornece a potência é chamado de primário e aquele do qual se retira a potência é

chamado de secundário, sendo que, a potência de saída de um transformador é sempre

menor que a potência de entrada, devido às perdas inevitáveis.

Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a

relação entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por:

P P

S S

V N

V N

Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e

secundária.

Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque

ele eleva a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS <

NP, o dispositivo é um transformador abaixador.

Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de

um transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa

com que o gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário

transfere então energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP.