PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO - ECEC

Professores: Renato Medeiros

MAF 1292

Eletricidade e Eletrônica

NOTA DE AULA I

Goiânia 2018

CAPACITORES

Um capacitor (ou condensador) é constituído por dois condutores separados por um

isolante, onde os condutores são chamados de armaduras (ou placas do capacitor) e o isolante é o

dielétrico do capacitor. Quando um capacitor está carregado, cada uma das duas placas contêm

cargas de mesmo módulo e sinais oposto (+q e –q). Entretanto, quando nos referimos à carga q de

um capacitor, estamos falando do módulo da carga de uma das placas e não da carga total do

capacitor (a carga total em um capacitor é sempre zero).

Símbolo do capacitor

Capacitância de capacitor

A capacitância, C, de um capacitor pode ser definida como a razão entre a carga Q de

qualquer dos condutores e o módulo da diferença de potencial, V, entre os condutores. Para um

determinado capacitor esta razão permanece constante.

Q

C Q VCV

onde :

C = é a capacitância do capacitor

Q = é a carga de uma das armaduras do capacitor

V = é a diferença de potencial entre as placas do capacitor

Unidade de capacitância no S.I.

A unidade de capacitância (S.I) é o Coulomb por Volt. Esta unidade é chamada de farad

(F), em homenagem ao Físico britânico Michael Faraday

coulomb / volt = farad ( F )

Observação:

O farad é uma unidade muito grande, por isso usamos constantemente seus submúltiplos:

6

9

12

10

10

10

F microfarad F

nF nanofarad F

pF picofarad F

Carregando ou descarregando um capacitor:

O capacitor não carrega linearmente e nem descarrega linearmente.

Capacitor de Placas Paralelas

O tipo mais comum de capacitor consiste em duas placas condutoras e paralelas, separadas

por uma distância pequena em relação às dimensões da placa. Se as placas estiverem

suficientemente próximas podemos desprezar a deformação do campo elétrico próximo às bordas

das placas, e o campo elétrico entre as placas pode ser considerado uniforme.

A capacitância de um capacitor de placas paralelas depende diretamente da área das placas e

inversamente da distância de separação entre elas, sendo dada por:

AC

d

onde :

A = é a área da superfície das placas

d = é a distância entre as placas

No vácuo, temos que: 12 2 28,85 10 C /o Nm

1. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3 mm. (a)

Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial

aplicada for de 120 V?

8, 2

1,3

120

r cm

d mm

V V

2

2

12 12

3

12 9

)

8,2 108,85 10 143,73 10

1,3 10

)

143,73 10 120 17,25 10

o

a

xAC x F

d x

b

q CV x F C

2. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m2, com as quais desejamos construir

um capacitor de placas paralelas. Para obtermos uma capacitância de 1,00 F, qual deverá ser a

separação entre as placas? Será possível construirmos tal capacitor?

3. Duas placas paralelas de folha de alumínio têm uma separação de 1,0 mm, uma capacitância de 10

pF e estão carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantendo-se a carga constante,

diminuímos a separação entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a nova capacitância? (c) De quanto

varia a diferença de potencial?

d

Associação de capacitores em série

Numa associação de capacitores em série, a placa negativa de um capacitor está ligada à

placa positiva do seguinte. Sendo que, se uma diferença de potencial V for aplicada em uma

associação de capacitores em série, a carga q armazenada é a mesma em cada capacitor da

associação e a soma das diferenças de potencial aplicada a cada capacitor é igual à diferença de

potencial V aplicada na associação. Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um

capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial V aplicada à

associação.

Para três capacitores em série temos que:

1 2 3

31 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

:

1 1 1 1

T

T

T

T

T

V V V V

qq q q

C C C C

série q q q q

C C C C

Temos que:

Todos os capacitores estão carregados com a mesma carga.

A diferença de potencial VAB é igual à soma das voltagens de cada capacitor.

Este resultado pode ser generalizado para n capacitores

1

1 1N

iT iC C

Associação de capacitores em paralelo

Numa associação de capacitores em paralelo, todas as armaduras positivas estão ligadas a

um mesmo ponto, assim como todas as negativas estão ligadas a outro ponto comum.

Quando uma diferença de potencial V é aplicada em uma associação de capacitores em

paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de cada capacitor, e a carga total q

armazenada na associação é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor. Capacitores

ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total

q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação.

Para três capacitores em paralelo temos que:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3

:

T

T T

T

T

q q q q

C V C V C V C V

paralelo V V V V

C C C C

Temos que:

A voltagem é a mesma em todos os capacitores.

A carga armazenada no capacitor equivalente é igual à soma das cargas de cada

capacitor.

Este resultado pode ser generalizado para n capacitores

1

N

T i

i

C C

4. Quantos capacitores de 1,0 μF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de 1 C

na associação? Considere que a ddp aplicada à associação seja de 110 V.

110 ; C=1 F; q=1CABV V

Vamos determinar a capacitância equivalente.

1

110eq

AB

qC F

V

Como a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias, temos que:

611 10 9090,9 capacitores.

110eqC nC n n

5. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em série com outro de capacitância C2 = 4,00 F e

uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente

da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial através de

cada capacitor?

6. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em paralelo com outro de capacitância C2 = 4,00

F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância

equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial

através de cada capacitor?

7. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F, C3 =

4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente. (b) a carga, (c) a diferença de

potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor.

C1 e C2 estão em série, portanto:

6

126 6

12 1 2

1 1 1 1 1 1010

10 10 5 10 3C F

C C C

C12 está em paralelo com C3, portanto:

6 6 6

12 3

1010 4 10 7,33 10

3eq eqC C C C F

8. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F, C3 = 4,00

F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente, (b) a carga, (c) a diferença de potencial e (d)

a energia armazenada para cada capacitor.

9. A figura abaixo mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b, pode ser

deslocada verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente dessa combinação em série é

independente da posição da seção central e é dada por

ba

AC

0

Energia potencial elétrica armazenada por um capacitor

Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. O trabalho necessário

para carregar o capacitor é armazenado na forma de energia potencial, U, no capacitor, sendo que,

esta energia pode ser recuperada, descarregando-se o capacitor em um circuito.

A energia potencial de um capacitor carregado pode ser considerada armazenada no campo

elétrico entre suas placas. Vamos determinar a expressão para calcular esta energia

Tomemos um capacitor com uma carga inicial '

' ' qq V

C

E queremos colocar mais carga nesse capacitor. Para isso precisamos realizar trabalho, ou seja,

ligar uma bateria, por exemplo, para fazer isso. Então:

21

2U CV

10. Dois capacitores, de capacitâncias C1 = 2 μF e C2 = 4 μF, são ligados em paralelo através de uma

diferença de potencial de 300 V. Calcular a energia total armazenada nos capacitores.

1

2

2

4

300

C Fparalelo

C F

V V

2 6 6 2

1 2 1 2

1 12 10 4 10 300

2 2

0,27

T

T

U U U C C V

U J

Capacitores com um Dielétrico

Se o espaço entre as placas de um capacitor for completamente preenchido com um

material dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta de um fator k, chamado de constante

dielétrica, que é característica do material. Em uma região que está completamente preenchido por

um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contém 0 (constante de permissividade no

vácuo) devem ser modificadas, substituindo-se 0 por k 0 .

O uso de um dielétrico em um capacitor apresenta uma série de vantagens. A mais simples

destas é que as placas condutoras podem ser colocadas muito próximas sem o risco de elas

entrarem em contato. Além disto, qualquer substância submetida a um campo elétrico muito alto

pode se ionizar e se tornar um condutor. Os dielétricos são mais resistentes à ionização que o ar,

deste modo um capacitor contendo um dielétrico pode ser submetido a uma tensão mais elevada.

Qual a nova capacitância ( C’ ) devido ao uso do dielétrico entre as placas?

O dielétrico enfraquece o campo (devido ao campo induzido no dielétrico) e com isso a

capacitância aumenta.

A nova capacitância será:

'

arC KC

Onde: K é a constante dielétrica do meio e arC a capacitância com o ar ou vácuo.

11. Um capacitor de placas paralelas com ar entre as placas, possui uma capacitância de 1,3 pF. A

separação entre as placas é duplicada e introduz-se cera entre elas. A nova capacitância é igual a 2,6

pF. Determine a constante dielétrica da cera.

12. Um capacitor de placas paralelas, preenchido com ar entre elas, possui capacitância de 50 pF. (a) Se

cada uma de suas placas possuírem uma área de 0,35 m2, qual a separação entre as placas? (b) Se a

região entre as placas for agora preenchida com um material tendo k = 5,6, qual a nova capacitância?

13. Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se

esta substância for usada como dielétrico de um capacitor da placas paralelas, qual deverá ser, no

mínimo, a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 0, 07 μF e o capacitor suporte uma

diferença de potencial de 4 kV?

A rigidez dielétrica é o valor máximo do campo elétrico entre as placas.

20,63A m

CORRENTE ELÉTRICA

Estudamos anteriormente os fenômenos que pertencem ao campo da eletrostática, ou seja,

com cargas estacionárias. Iniciaremos o estudo de fenômenos elétricos relacionados com cargas

em movimento, isto é, estamos começando o estudo das correntes e circuitos elétricos.

Apesar de corrente elétrica ser gerada por cargas em movimento, nem sempre as cargas em

movimento constituem uma corrente elétrica. Para que haja uma corrente elétrica através de uma

superfície, tem de haver um fluxo resultante de cargas através dessa superfície. A condição

fundamental para que haja uma corrente elétrica entre dois pontos de um circuito fechado é que

tenhamos uma diferença de potencial elétrico (voltagem) entre estes pontos. Esta ddp pode ser

gerada por uma bateria. Como está representado na figura abaixo

Sentido convencional da corrente elétrica

O sentido convencional da corrente elétrica é escolhido como sendo o sentido do movimento

de cargas positivas. Então, uma seta indicando o sentido convencional da corrente elétrica é

desenhada no sentido no qual se moveriam portadores de carga positiva, mesmo que os

verdadeiros portadores de carga sejam negativos e se movam no sentido contrário. Devemos

lembrar que carga negativa desloca-se espontaneamente para pontos de maior potencial elétrico, o

que justifica a necessidade de uma diferença de potencial.

Devemos observar que a corrente elétrica é uma grandeza escalar, apesar de usarmos

setas para indicar o seu sentido. Estas setas não são vetores e sua soma é escalar.

Intensidade da corrente elétrica (i)

A intensidade da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga que passa, por

unidade de tempo, através de uma seção do condutor. Para o caso de um fluxo de corrente

constante, temos que:

Quando uma quantidade de carga Q passa através da secção de um condutor, durante um

intervalo de tempo t, a intensidade de corrente i nesta secção é dada por:

Qi

t

Quando a taxa de fluxo de carga não for constante, podemos generalizar a definição de

corrente usando-se as derivadas. A corrente instantânea i é definida como

dqi

dt

Unidade de corrente elétrica

A unidade de corrente no SI, Coulomb por segundo, é chamada de ampère (A), em

homenagem ao Físico Francês André Marie Ampére. Pequenas correntes são convenientes

expressas em miliampères (310mA A ) ou em microampères (

610A A ).

14. Uma corrente de 5,0 A percorre um resistor de 10 durante 4,0 min. Quantos (a) coulombs de

carga e (b) elétrons passam através da seção transversal do resistor nesse intervalo de tempo?

5 , 10 4min 240i A R t s

)

5 240 1200

a

qi q q C

t

21

19

)

12007,5 10 elétrons

1,6 10

b

q ne n n

15. A corrente num feixe de elétrons de um terminal de vídeo é de 200 μA. Quantos elétrons golpeiam

a tela a cada segundo?

200 1i A t s

415

19

2 10 11,25 10 elétrons

1,6 10

q ne i ti n n

t t e

RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Se aplicarmos a mesma diferença de potencial entre as extremidades de fios de mesmas

dimensões, mas de materiais diferentes, teremos correntes diferentes passando pelos fios. A

característica do condutor a ser considerada aqui é a resistência elétrica, que caracteriza a oposição

que um condutor oferece à passagem de corrente através dele.

Quando uma voltagem VAB é aplicada nas extremidades de um condutor, estabelecendo

nele uma corrente elétrica i, a resistência deste condutor é dada pela relação:

ABVR

i .ABV R i

Unidade de resistência no SI:

A unidade de resistência no SI é o Volt por ampère. Esta unidade é denominada ohm ()

1V/A = 1 ohm = 1

Resistividade de um material

É comum não lidarmos com objetos particulares, mas com os materiais. Em vez da

resistência R de um objeto podemos lidar com a resistividade ρ do material (A resistência é uma

propriedade de um objeto e a resistividade é uma propriedade de um material).

Se conhecermos a resistividade de uma substância, podemos calcular a resistência elétrica

de um pedaço de fio feito dessa substância.

Considere um fio condutor de comprimento L e secção transversal de área A. Verifica-se

que, a resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento do fio condutor e

inversamente proporcional à área da sua secção transversal.

LR

A

Onde: é a resistividade do material. No SI, a unidade de resistividade é dada por: . m

17. Um fio condutor tem um diâmetro de 1,0 mm, um comprimento de 2,0 m e uma resistência de

50 m. Qual é a resistividade do material?

31,0 0,5 10 m L 2,0 50D mm r m R m

2

3 32

8

50 10 0,5 10

2

1,96 10

L RA R rR

A L L

m

18. A área da seção transversal do trilho de aço de um bonde elétrico é de 56 cm2. Qual é o valor

da resistência de 10 km deste trilho? A resistividade do aço é 3 × 10 -7 Ω.m.

2 756 L 10,0 3,0 10A cm km m

37

4

10 103 10

56 10

0,54

LR

A

R

Muitas vezes caracterizamos um fio metálico como um condutor e outras vezes como um

resistor, conforme a propriedade que se deseja realçar. O inverso da resistividade é a

condutividade , portanto temos:

1

A LEI DE OHM

Para determinados condutores, o valor de sua resistência permanece constante, não

dependendo da voltagem aplicada ao condutor. Os condutores que obedecem a esta lei são

denominados condutores ôhmicos. Para estes condutores a corrente elétrica ( i ) que os percorrem

é diretamente proporcional à voltagem ou ddp (V) aplicada. Consequentemente o gráfico V versus

i é uma linha reta, cuja inclinação é igual o valor da resistência elétrica do condutor, como mostra

o gráfico abaixo,

Dispositivos ôhmicos obedecem à lei de Ohm

Dispositivos não Ôhmicos

Observa-se, em uma grande família de condutores que, alterando-se a ddp (V) nas

extremidades destes dispositivos altera-se a intensidade da corrente elétrica i, mas a duas

grandezas não variam proporcionalmente, isto é, o gráfico de V versus i não é uma reta, portanto

eles não obedecem à lei de Ohm, veja um exemplo no gráfico abaixo. Estes dispositivos são

denominados não ôhmicos.

Dispositivos não ôhmicos não obedecem à lei de Ohm

Observações:

Para os condutores ôhmicos, o gráfico VAB i é uma reta passando pela origem.

Se o condutor não obedecer à lei de Ohm, o gráfico VAB i não será retilíneo, podendo

apresentar diversos aspectos, dependendo da natureza do condutor.

É comum ouvir a afirmação de que a expressão VAB = R.i é uma representação

matemática da lei de Ohm. Isso não é verdade! Essa expressão é usada para definir o

conceito de resistência e se aplica a todos os dispositivos que conduzem corrente

elétrica, mesmo que não obedeçam à lei de Ohm. Ou seja, ela é válida quer o

dispositivo obedeça ou não à lei de Ohm.

19. Uma pessoa pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 mA passar perto do coração.

Um eletricista trabalhando com as mãos suadas, o que reduz consideravelmente a resistência da

pele, segura dois fios desencapados, um em cada mão. Se a resistência do corpo do eletricista é

de 2000 Ω, qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de produzir um choque

mortal?

50 R=2000i mA

32000 50 10

100

AB

AB

V Ri

V V

20. Um fio de Nicromo (uma liga de níquel, cromo e ferro comumente usada em elementos de

aquecimento) tem um comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 1,0 mm2. Ele

transporta uma corrente de 4,0 A quando uma diferença de potencial de 2,0 V é aplicada entre

os seus extremos. Calcular a condutividade do Nicromo.

21 A 1 i 4 2ABL m mm A V V

Inicialmente vamos calcular a resistência do fio:

66

16

6

20,5

4

0,5 1,0 100,5 10

1,0

1 12,0 10

0,5 10

ABV Ri R

L RAR m

A L

m

Energia e Potência em circuitos elétricos.

Na figura abaixo temos a representação de um circuito formado por uma bateria B ligada por

fios de resistência desprezível a um componente não-especificado, o qual pode ser um resistor,

uma bateria recarregável, um motor elétrico ou outro dispositivo elétrico. A bateria mantém uma

diferença de potencial de valor absoluto V entre seus terminais e, portanto, mantém a mesma ddp

nos terminais do componente elétrico. Neste circuito a bateria B fornece energia a um componente

elétrico. Esta energia pode ser transformada em energia química se o componente for uma bateria

recarregável, em energia térmica se o componente for um resistor ou pode ser usada para realizar

trabalho no caso de um motor elétrico.

Energia elétrica é de suma importância para o ser o humano, pois ela pode ser facilmente

transformada em outras formas de energia. Podemos citar uma infinidade destas transformações,

como por exemplo, os motores elétricos que convertem energia elétrica em mecânica. Outros

aparelhos tais como chuveiro, aquecedores, secadores de cabelo são alguns exemplos de

conversão de energia elétrica em calor. O funcionamento das lâmpadas comuns de bulbo é uma

forma de transformar energia elétrica em luz.

De uma maneira geral, os aparelhos elétricos são dispositivos que transformam energia

elétrica em outra forma de energia. A taxa de transformação dessa energia é a potência do

aparelho.

Se um aparelho elétrico, ao ser submetido a uma diferença de potencial VAB, for percorrido

por uma corrente i, a potência desenvolvida neste aparelho será dada por (ver a demonstração

dessa expressão no livro texto):

ABP iV

Efeito joule

O efeito joule consiste na transformação de energia elétrica em energia térmica em uma

resistência percorrida por uma corrente elétrica. Essa conversão de energia ocorre por meio de

colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor, o que leva a um aumento de temperatura do

resistor. Mesmo sabendo-se que esta energia pode ser aproveitada, é comum se referir a esta

energia térmica como energia dissipada no resistor.

Sendo R o valor da resistência, VAB a voltagem nela aplicada e i a corrente que a percorre, a

potência desenvolvida, por efeito joule, nesta resistência, pode ser calculada pelas expressões:

2

2

ou

AB

AB

P iV P Ri

VP

R

Devemos observar que a equação ABP iV se aplica a transferências de energia

elétrica de todos os tipos, mas, as duas equações 2.P R i e

2

ABVP

R se aplicam apenas a

transferências de energia elétrica para energia térmica em um dispositivo com resistência elétrica.

Devido à energia térmica a temperatura do resistor aumenta, a menos que haja um fluxo de

calor para fora do mesmo. Cada resistor tem uma potência máxima, que pode ser dissipada sem

superaquecer o dispositivo. Quando esta potência é ultrapassada, a resistência pode variar de

forma imprevisível, em casos extremos, o resistor pode-se fundir.

Observação:

Devemos lembrar que a unidade de potência no SI é watt (W)

21. Um estudante manteve um rádio de 9 V e 7 W ligado no volume máximo das 9 horas às 14

horas. Qual foi a quantidade de carga que passou através dele?

7 14 9 5 9ABP W t horas V V

4

4

7 9 0,78

0,78 1,8 10

1,4 10

ABP V i i i A

qi q i t q

t

q C

22. Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando percorrido por uma corrente elétrica de 3

A. Qual é o valor da resistência do resistor?

100 3P W i A

2

2

10011,11

3

PP i R R R

i

23. Um determinado resistor é ligado entre os terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência

dissipada no resistor é 0,540 W. O mesmo resistor é, então, ligado entre os terminais de uma

bateria de 1,50 V. Que potência é dissipada neste caso?

1 1 23 P 0,54 1,5V V W V V

Inicialmente vamos calcular o valor da resistência.

2 2 2

1 11 1 1

1 1

316,67

0,54

V VP R R

R P

Como o resistor é o mesmo nos dois casos, temos:

2 2

22 2

1

1,50,135

16,67

VP P W

R

24. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente de 500 W. (a)

Qual é o valor da resistência do elemento de aquecimento? (b) Qual é a corrente no elemento

de aquecimento?

25. Um aquecedor de 500 W foi projetado para funcionar com uma diferença de potencial de 115

V. Qual é a queda percentual da potência dissipada se a diferença de potencial aplicada diminui

para 110 V?

26. Um aquecedor de ambiente de 1250 W foi projetado para funcionar com 115 V. (a) Qual é o

valor da corrente elétrica no aquecedor? (b) Qual é a resistência do elemento de aquecimento?

(c) Qual é a energia térmica, em kWh, gerada pelo aparelho em 1 hora?

27. Um elemento calefator é feito mantendo-se um fio de Nicromo, com seção transversal de 2,60

x 10-6 m2 e resistividade de 5,00 x 10-7.m, sob uma diferença de potencial de 75,0 V. (a)

Sabendo-se que o elemento dissipa 5.000 W, qual é o seu comprimento? (b) Para obtermos a

mesma potência usando uma diferença de potencial de 100 V, qual deveria ser o comprimento

do fio?

Energia elétrica consumida

Atualmente percebe-se grande preocupação em relação à economia de energia, portanto,

cresce a procura por aparelhos que consumam menos energia. A informação dos fabricantes sobre

o consumo de cada aparelho, geralmente se da por meio de sua potência, mesmo porque a energia

consumida depende do tempo de funcionamento. Para um mesmo tempo de funcionamento,

quanto maior a potência de um aparelho maior será o seu consumo de energia.

A energia consumida por um aparelho de potência P, num intervalo de tempo t, é dada

por:

E P t

UNIDADES DE ENERGIA

No S.I a potência deve estar em watt (W), o tempo em segundo e a energia em joules (J).

Quando a potência está em kW e o tempo em horas, a unidade de energia será kWh. A

relação entre esta unidade prática de energia e o joule é:

61 3,6 10kWh J

28. Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma tomada padrão de 120 V. (a) Quanto custa para deixar

a lâmpada acesa durante um mês (30 dias)? Suponha que a energia elétrica custe R$ 0,48 o

kW.h. (b) qual é a resistência da lâmpada? (c) Qual é a corrente na lâmpada?

29. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência é

de 14 quando quente. (a) Qual a taxa (potência) com que a energia elétrica é transformada em

calor? (b) A R$ 0,50 o kWh, quando custa operar este dispositivo por 5 horas?

30. Em uma residência 8 lâmpadas de 100W ficam ligadas durante 9 horas por dia , e um chuveiro

de 3000 W fica ligado durante 45 minutos por dia . Sabendo-se que 1 kWh custa R$ 0 , 48 ,

determine o gasto mensal ( 30 dias ) com as lâmpadas e o chuveiro . Considere que as

lâmpadas e o chuveiro sejam ligados corretamente. R: R$ 136,08

31. Determine o custo mensal ( 30 dias ) de um banho diário de 15 minutos em um chuveiro de

resistência R = 11 , ligado em uma voltagem de 220 V . Considere que um kWh custa R$

0,48.

CIRCUITOS ELÉTRICOS

Circuitos elétricos, nos dias de hoje, são elementos básicos de qualquer aparelho elétrico e

eletrônico, como rádios, TV, computadores, automóveis, aparelhos científicos, etc. Quando

desenhamos um diagrama para um circuito, representamos as baterias, capacitores e resistores por

A B

RS i

A R2 R3 B C D i i R1

VAC VCD VDB

símbolos, como mostra a tabela. Fios cuja resistência é desprezível comparado com as outras

resistências do circuito são desenhados como linhas retas.

Associação de resistores

Em determinados circuitos podemos ter associações de alguns componentes. Vamos estudar

neste momento a associação de resistores.

Associação de resistores em série

Muitas vezes, nos circuitos elétricos, aparecem resistores ligados em série (um em seguida

ao outro), como está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista

uma diferença de potencial entre A e B.

Em termos de resistência, esta associação pode ser substituída por um único resistor

equivalente Rs

As características dessa associação são:

A B

R1

R2

R3

i1

i2

i3

i i

A B

RP i i

a). A intensidade da corrente i é a mesma em todos os resistores, pois estão ligados um após

o outro no mesmo fio. 1 2 3i i i i

b). A voltagem na associação é igual à soma das voltagens em cada resistor. Esta propriedade

é consequência da conservação da energia.

AB AC CD DBV V V V

c). A resistência equivalente da associação é igual à soma das resistências dos resistores da

associação. RS = R1 + R2 + R3

Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. , . , . , .

. . . .

AB s AC CD DB

s

S

V R i V R i V R i V R i

R i R i R i R i

R R R R

d). Na resistência de maior valor, será observada a maior ddp.

e). Para o caso de N resistores associados em série, a resistência equivalente é igual à soma

direta das N resistência em separado, isto é;

1

N

j

j

R R

Note que quando mais resistência é introduzida no circuito em série, menor será a

corrente no circuito, supondo que a ddp (VAB) aplicada, se mantenha constante.

Associação de resistores em paralelo

Os resistores podem estar associados em paralelo (um dos terminais de todos os resistores é

ligado a um ponto, o outro terminal de todos os resistores é ligado a um segundo ponto), como

está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista uma diferença de

potencial entre os pontos A e B.

Resistor equivalente

As características dessa associação são:

a). A d.d.p. total aplicada à associação é igual à d.d.p. aplicada em cada resistor.

1 2 3 ABV V V V

b). A intensidade de corrente elétrica total é igual à soma das intensidades de corrente

elétrica nos resistores associados. Esta propriedade é consequência da conservação

das cargas.

1 2 3i i i i

c). O inverso da resistência equivalente é igual à soma dos inversos das resistências

dos resistores associados. 1 2 3

1 1 1 1

PR R R R

Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, , ,

1 1 1 1

AB AB AB AB

p

AB AB AB AB

P

P

V V V Vi i i i

R R R R

V V V V

R R R R

R R R R

d). A resistência equivalente é menor do que a menor das resistências da associação.

e). A resistência de menor valor será percorrida pela corrente de maior intensidade.

f). Podemos generalizar para o caso de N resistores, a expressão usada no cálculo da

resistência equivalente de 3 resistores em paralelo.

1 2 3

1 1 1 1

R R R R ou

1

1 1N

j jR R

32. No circuito da figura abaixo determine a resistência equivalente entre os pontos (a) A e B, (b)

A e C e (c) B e C.

33. Na figura abaixo, determine a resistência equivalente entre os pontos D e E.

34. Uma linha de força de 120 V é protegida por um fusível de 15A. Qual o número máximo de

lâmpadas de 500 W que podem operar, simultaneamente, em paralelo, nessa linha sem

"queimar" o fusível?

35. Deseja-se produzir uma resistência total de 3 Ω ligando-se uma resistência desconhecida a uma

resistência de 12 Ω. Qual deve ser o valor da resistência desconhecida e como ela deve ser

ligada?.

A

C

D

E

F

B

301812 10

20

Curto - circuito

Nós dizemos que o trecho entre dois pontos de um circuito está em curto - circuito, quando

estes pontos estão ligados por um fio ideal (condutor de resistência desprezível).

OBSERVAÇÃO:

Sempre que dois pontos estiverem em curto - circuito, terão o mesmo potencial elétrico e

poderão ser considerados como pontos coincidentes em um novo esquema do mesmo

circuito.

Exemplo:

Na associação da figura abaixo, vamos calcular a resistência equivalente entre os terminais

A e B.

O trecho ACE está em curto circuito, portanto, os pontos A, C e E podem ser considerados

coincidentes. De maneira equivalente, os pontos D, F e B podem ser coincidentes. Com estas

considerações um novo esquema do circuito, mais simples que o anterior, pode ser encontrado.

Cálculo da corrente em circuitos de uma única malha - circuito série

Quando percorremos uma malha de um circuito o potencial elétrico pode sofrer aumento

ou queda ao longo do percurso. Inicialmente vamos estudar apenas os casos de aumento ou queda

A B

10

12

30

20

18

10A B

de potencial devido à passagem por geradores, receptores e resistores. Nestes casos podemos usar

duas regras, a da fem ou fcem e a resistência.

Regra da fem ou fcem: Ao passarmos por um gerador (fem) ou receptor (fcem), de seu

polo negativo para o polo positivo, o potencial aumentará de um valor . Se a passagem ocorrer

em sentido contrário, o potencial diminuirá da mesma quantidade .

Regra da resistência: Ao passarmos por uma resistência R (inclusive pela resistência

interna de um gerador ou de um receptor), no mesmo sentido da corrente i, o potencial diminuirá

de um valor Ri. Se a passagem ocorrer em sentido contrário, o potencial aumentará da mesma

quantidade Ri.

As duas regras citadas acima podem ser resumidas graficamente como:

Para calcularmos a corrente em um circuito de uma única malha, podemos aplicar a regra das

malhas de Kirchhoff (também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff em homenagem a

Gustav Robert Kirchhoff – Físico Alemão).

Lei das Malhas

Percorrendo-se uma malha fechada num certo sentido, a soma algébrica das ddps é nula.

Quando nos deslocamos sobre uma malha fechada do circuito, o potencial pode aumentar

ou diminuir ao passarmos por um resistor, gerador ou outros componentes da malha, mas ao

completarmos a malha e chegar ao ponto de partida, a variação líquida do potencial tem que ser

nula. Esta regra é o resultado direto da conservação da energia.

Considere o circuito abaixo, composto por um gerador de fem 1 e resistência interna r1,

um receptor de fcem 2 e resistência interna r2 e dois resistores R1 e R2.

R i

- Ri + Ri

Regra da Resistência

- +

Regra da fem

ou fcem

r

r

R

ε

ε

i

i

R

A

B

Aplicando a lei das malhas, no sentido anti-horário, temos que:

1 2 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

0

( )

( )

R i r i R i ri

i R R r r

iR R r r

Observando que o numerador desta expressão representa a soma algébrica das fem e fcem

que aparecem no circuito (considerando negativa a fcem ) e, o denominador, a soma de todas as

resistências (internas e externas) deste circuito, podemos generalizar esta expressão.

Equação do circuito série

Para calcular a corrente elétrica de um circuito composto por geradores, receptores e

resistores, estando todos os componentes ligados em série, temos a seguinte equação:

'

iR

Onde:

= é a soma das forças eletromotrizes

= é a soma das forças contra-eletromotrizes

R = é a soma das resistências (internas e externas)

Observação:

Devemos observar que na expressão acima deve ser maior que , pois, um sinal negativo

para a corrente elétrica indica que o seu sentido não está correto.

Cálculo da diferença de potencial entre dois pontos de um circuito

O valor da diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B de um circuito, será

obtido somando-se algebricamente ao potencial de A (VA) as variações de potencial que ocorrem

no percurso de A para B, tomando-se os aumentos com sinal positivo e as diminuições com sinal

negativo e igualando-se esta soma ao potencial de B (VB). Para determinar o aumento ou queda de

potencial ao longo do circuito vamos usar as regras da fem ou fcem e a da resistência, estudadas

anteriormente.

Como exemplo, podemos determinar a ddp VAB no circuito anterior. Percorrendo-se o

circuito de A até B, no sentido horário (se o percurso for no sentido anti-horário, o resultado final

será o mesmo) temos:

1 1 2

1 1 2

A B

AB A B

V ri R i V

V V V ri R i

36. No circuito da figura abaixo, 1 = 12 V e 2 =8 V. (a) Qual é o sentido da corrente no resistor

R? (b) Que bateria está realizando trabalho positivo? (c) Que ponto A ou B, está no potencial

mais alto?

37. Suponha que as baterias na figura abaixo tenham resistências internas desprezíveis. Determine

(a) a corrente no circuito, (b) a potência dissipada em cada resistor e (c) a potência de cada

bateria e se, a energia é absorvida ou fornecida por ela?

38. Na figura, quando o potencial no ponto P é de 100 V, qual é o potencial no ponto Q?

39. No circuito da figura abaixo calcule a diferença de potencial através de R2, supondo = 12 V,

R1 = 3,0 , R2 = 4,0 , R3 = 5,0 .

40. No circuito da figura abaixo, que valor deve ter R para que a corrente no circuito seja de 1,0

mA? Considere 1 = 2,0 V, 2 = 3,0 V e r1 = r2 = 3,0 . R: 994

41. Quatro resistores de 18,0 estão ligados em paralelo através de uma bateria ideal cuja fem é de 25,0

V. Qual a corrente que percorre a bateria?

42. A corrente num circuito de malha única com uma resistência total R é de 5 A. Quando uma nova

resistência de 2 Ω é introduzida em série no circuito. A corrente cai para 4 A. Qual é o valor de R?

R1

R3

R2

Circuito com várias malhas

Para resolver problemas envolvendo circuitos com mais de uma malha, podemos aplicar a

regra das malhas (já estudada anteriormente) e a regra dos nós de Kirchhoff (também chamada de

lei dos nós).

Lei dos Nós

Em um nó, a soma das intensidades de corrente que chegam é igual à soma das intensidades de

corrente que saem. Esta regra é consequência da conservação das cargas.

Aplicando a regra dos nós em B, temos que:

1 2 3i i i

Podemos verificar facilmente que aplicando esta mesma regra em E leva exatamente a

mesma equação.

Vamos aplicar a regra das malhas na malha da esquerda e na malha da direita.

Percorrendo-se a malha (ABEFA) no sentido horário partindo do ponto A, temos que:

1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 0ri r i R i R i

Percorrendo-se a malha (BCDEB) no sentido anti-horário partindo do ponto B, temos que:

2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 0r i R i r i R i

Temos agora três equações envolvendo as três correntes desconhecidas, e elas podem ser

resolvidas por várias técnicas.

i

1

1r

2r

1

3

1R

3r

2R

3R

2

i2 i

3

A B C

D E F

43. Na figura abaixo determine a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre a e b.

Considere 1 = 6,0 V, 2 = 5,0 V, 3 = 4,0 V,. R1 = 100 e R2 = 50 .

44. Um circuito contém cinco resistores ligados a uma bateria cuja fem é de 12 V, conforme é mostrado

na figura abaixo. Qual é a diferença de potencial através do resistor de 5,0 ?

45. Calcule a corrente que atravessa cada uma das baterias ideais do circuito da figura abaixo. Suponha

que R1 = 1,0 , R2 = 2,0 , 1 = 2,0 V, 2 = 3 = 4,0 V. b) Calcule Va - Vb.

46. Na figura abaixo, qual é a resistência equivalente do circuito elétrico mostrado? (b) Qual é a corrente

em cada resistor? R1 = 100 , R2 = R3 = 50 , R4 = 75 e = 6,0 V; suponha a bateria ideal.

Circuito RC em Série

Resistores e capacitores são frequentemente encontrados juntos em circuitos elétricos. Um

exemplo muito simples desta combinação é mostrado no circuito RC abaixo. Nos circuitos

considerados até agora, supôs-se que as correntes eram constantes. Na figura abaixo está

representando um circuito RC no qual a corrente não é constante quando o capacitor está

carregando ou descarregando.

Quando a chave S é fechada sobre a, o capacitor é carregado através do resistor. Quando a

chave é depois fechada sobre b, o capacitor descarrega através do resistor.

Carregando um capacitor

Quando ligamos a chave s em a, se o capacitor estiver inicialmente descarregado, a diferença de

potencial inicial no capacitor é zero e a voltagem da bateria aparecerá toda sobre o resistor,

gerando uma corrente inicial i0 = ε/R. À medida que o capacitor se carrega, a sua voltagem

aumenta e a diferença de potencial sobre o resistor diminui, correspondendo a uma diminuição na

corrente. Após um longo tempo, o capacitor torna-se totalmente carregado e a voltagem da bateria

aparece toda no capacitor, então, não há diferença de potencial no resistor e a corrente torna-se

nula, ou seja, este processo ocorrerá até que diferença de potencial entre as placas do capacitor

fique igual a da bateria. Isto significa que a corrente elétrica deve diminuir com o tempo. Na figura

abaixo temos a representação do circuito (a) e o gráfico da variação da corrente elétrica (b)

durante o processo de carregar o capacitor.

(a) Circuito RC (b) Evolução temporal da corrente no circuito RC.

A carga q e a corrente i são funções exponenciais do tempo, dadas por (ver discussão mais

aprofundada destas expressões no livro texto):

/ /

/ /

0

(1 ) (1 )

( )

t Rc t RC

F

t RC t RC

q C e q e

i e i eR

O produto RC possuí dimensão de tempo e é chamado de constante de tempo capacitiva .

Devemos observar que:

0

/ 0

/ 0 0

finalp t q C q e i

p t q e i iR

A equação mostra que a carga no capacitor, inicialmente, cresce rapidamente com o tempo, mas

tem um valor limite que é igual a Qmax= Cε. Na figura abaixo temos a representação gráfica da

variação da carga do capacitor no processo de carregamento.

Evolução temporal da carga no capacitor no processo de carregamento

Nos gráficos da corrente e da carga em função do tempo podemos perceber que no instante t

= RC a corrente decresce de um fator igual a 1/e = 0,37 com relação ao seu valor inicial io e a

carga cresce de um fator 0,63 do seu valor final.

Descarregando um Capacitor

Suponha agora que o capacitor do circuito esteja totalmente carregado a um potencial V0 = ε.

Em um novo instante t = 0, a chave s é virada de a para b de modo que o capacitor possa

descarregar através da resistência R. A carga q e a corrente i, no capacitor, diminuem

exponencialmente com o tempo da seguinte forma (ver discussão mais aprofunda destas

expressões no livro texto):

/

0

/

0

t RC

t RC

q q e

i i e

Devemos observar que:

0 0

/ 0 0

/ 0

p t q e i

p t q q e i i

No gráfico abaixo temos a representação da variação da diferença de potencial nos terminais de

um capacitor no processo de carregar e descarregar o capacitor.

Tipos de fontes

Para o funcionamento de um circuito eletrônico necessitamos de uma fonte, esta fonte pode ser uma

fonte de tensão ou uma fonte de corrente.

FONTES DE TENSÃO.

As fontes podem ser ideal (produz uma tensão constante na saída) ou real (tem resistência interna). Uma

fonte de tensão ideal produz uma tensão constante. Um exemplo de uma fonte de tensão ideal é uma

bateria perfeita, ou seja, sem resistência interna.

No caso de uma fonte real a tensão na carga é menor que o ideal devido à resistência interna da mesma.

Exemplos de fontes reais são as baterias de carros e as pilhas comuns.

Podemos tratar uma bateria real como uma fonte de tensão próxima do ideal, chamada de fonte quase

ideal, se a resistência de carga ( LR ) for aproximadamente 100 (cem) vezes maior que a resistência interna

( ir ), ou seja,

100L iR r

Com isso a resistência interna deve ser a menor possível. Tomemos o exemplo abaixo onde temos uma

fonte de tensão de 12 V cuja resistência interna vale 0,06 , será que podemos desprezar esta

resistência interna?

A resistência de carga ( LR ) é ajustável. Sobre que faixa de valores de resistência de carga a tensão da

fonte é considerada quase ideal? Multiplique por 100 a resistência interna para obter:

100 0,06 6LR x

Enquanto a resistência de carga for maior que 6 , podemos ignorar a resistência interna de 0,06 nos

cálculo da tensão e corrente na carga.

FONTES DE CORRENTE.

Neste tipo de fonte (bateria mais resistência alta) a resistência interna alta produz uma corrente

constante na saída.

Tomemos o exemplo abaixo para entender isso. Temos um circuito com uma bateria de 12 V em série

com uma resistência alta de 10M . Será que podemos desprezar esta resistência?

Se a resistência de carga for igual a 10k a corrente na carga será de :

12 121,2

10 10 10,01LI A

M k M

Quando a resistência de carga for de 100k , a corrente na carga será 99% do valor ideal. Neste caso

para termos uma fonte quase ideal de corrente, devemos ter a resistência interna da fonte ( ir ) 100 (cem)

vezes maior que a resistência de carga ( LR ), ou seja,

100i Lr R

Isto é exatamente o oposto da condição para uma fonte de tensão quase ideal. Uma fonte de corrente

funciona melhor quando tem resistência interna muito alta, enquanto fontes de tensão funcionam

melhor quando tem resistência interna muito baixa.

47. Suponha que uma fonte de tensão tenha tensão ideal de 15 V e uma resistência da fonte de 0,2

Ω. Para que valores de resistência de carga a tensão da fonte poderá ser considerada quase

ideal?

TEOREMA DE THÈVENIN

Sistemas elétricos que contenham fonte de tensão ou de corrente independentes e componentes

passivos (resistores, indutores e capacitores) tem características de circuitos lineares e, portanto pode-se

utilizar em sua analise teoremas como a da superposição d de circuitos equivalentes, como o de Thèvenin

e de Norton.

Qualquer rede linear com saídas a-b pode ser substituído por uma única fonte de tensão em série com

uma resistência, como mostrado na figura abaixo. Esta tensão é chamada tensão de Thèvenin ( THV ) e

resistência de Thèvenin THR .

Esta transformação na representação do circuito deve garantir as características elétricas do circuito

original. A tensão nos terminais de saída a-b indicados deve permanecer inalterada. A corrente fornecida

a uma carga também deve ser mantida. Isto significa dizer que a resistência de saída do sistema original

não será modificada.

Como fazer isto? Podemos fazer isso facilmente utilizando o roteiro abaixo:

1- Determine os terminais de saída a-b (onde esta ligada a resistência de carga);

2- Desconecte a resistência de carga do circuito, deixando-o aberto nos terminais;

3- Calcule a corrente que passa pelos terminais a-b;

4- Ache a tensão entre os terminais a-b, esta tensão é a tensão de Thèvenin;

5- Curte-circuite a fonte e encontre a resistência equivalente do circuito, chamada resistência de

Thèvenin;

6- Conecte a resistência em serie com a tensão e a resistência de Thèvenin.

Exemplo: No circuito abaixo determine o equivalente de Thèvenin

TEOREMA DE NORTON

Os sistemas lineares podem também ser representados por um circuito formado por uma fonte de

corrente em paralelo com uma resistência. Este circuito é o dual do circuito equivalente de Thèvenin.

A corrente utilizada na representação de Norton é um corrente de curto circuito entre os pontos a-b

considerados. A resistência interna do circuito é obtida da mesma forma que no equivalente de Thèvenin.

Assim, a tensão e a corrente fornecida a uma resistência de carga devem ser garantidas as mesmas, tanto

no circuito original quanto no circuito equivalente de Norton. Veja a figura abaixo:

Após desenharmos o equivalente de Thèvenin, desenhar o equivalente de Norton é muito simples.

Enquanto o Thèvenin é uma fonte de tensão, o Norton é uma fonte de corrente, e por isso deve ter uma

resistência interna em paralelo. Dessa maneira teremos o seguinte desenho

Onde temos THN

TH

VI

R é a fonte de corrente de Norton e NR (resistência de Norton) tem o mesmo valor

da resistência de Thèvenin. Podemos escrever as seguintes equações:

THN

TH

VI

R e N THR R

48. Qual a tensão e a resistência de Thèvenin na figura abaixo?

49. No circuito abaixo determine o circuito equivalente de Thèvenin e Norton

50. A fonte de tensão do circuito do exercício 03 diminui para 12 V. O que ocorre com a tensão de

Thèvenin e com a resistência de Thèvenin?

51. Um circuito tem uma tensão de Thevenin de 15 V e uma resistência de Thevenin de 3 kΩ.

Desenhe o circuito de Norton.

52. Um circuito tem uma corrente de Norton de 10 mA e uma resistência de Norton de 10 kΩ.

Desenhe o circuito equivalente de Thevenin.