Constituio e Cultura dos Grupos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

MA733 Tpicos Especiais em Geometria

2 semestre de 2006

Professor responsvel: Marco Antnio Teixeira

Auxiliar didtico: Rogrio Monteiro de Siqueira

Geometria Esfrica

Andr Resende Queiroz

RA 015484

SUMRIO

1INTRODUO..........................................................................02

2A NOVA GEOMETRIA...............................................................03

3ATIVIDADES DIRIGIDAS AO ENSINO FUNDAMENTAL..........05

3.1Planeta Terra...........................................................................05

3.1.1Os mapas distorcidos..................................................................06

3.1.2Rotas areas..............................................................................09

3.2Icosaedro truncado.................................................................10

4ATIVIDADE DIRIGIDA AO ENSINO MDIO...........................12

4.1Nufragos................................................................................12

5CONCLUSO............................................................................14

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.....................................................15

1 Introduo

O objetivo deste trabalho apresentar uma breve introduo geometria esfrica. Tratando de algumas possveis abordagens didticas para turmas de ensinos fundamental e mdio, expondo atividades desenvolvidas para estimular e facilitar o aprendizado de geometrias no-euclidianas, com especial nfase na esfrica.

Como ser dada mais ateno aos processos didticos do ensino de geometria esfrica, procuro apresentar as linhas mestras desses mtodos de ensino em linguagem simples sem, porm, fugir muito do rigor que a Matemtica exige.

2 A NOVA GEOMETRIA

A geometria escolar de nossos tempos a geometria euclidiana. Na enorme maioria das escolas, os conceitos geomtricos ensinados so todos construdos sobre cinco axiomas que so o alicerce da geometria euclidiana.

Partindo dos termos primitivos: ponto, reta e plano e utilizando como plano uma superfcie plana de isopor, alfinetes coloridos como pontos e como retas, barbantes ligando dois alfinetes, podemos mostrar com simplicidade cada um dos cinco postulados de Euclides:

1. possvel traar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.

2. Qualquer segmento de reta finito pode ser prolongado indefinidamente para construir uma linha reta.

3. Dados um ponto qualquer e uma distncia qualquer, pode-se traar um crculo de centro naquele ponto e raio igual distncia dada.

4. Todos os ngulos retos so iguais entre si.

5. Se uma reta cortar duas outras de modo que os dois ngulos interiores de um mesmo lado tenham soma menor que dois ngulos retos, ento as duas retas se cruzaro, se prolongadas indefinidamente, do lado da primeira reta em que se encontram os dois ngulos citados.

Para simplificar o entendimento podemos enunciar o quinto postulado como:

5. Passando por um ponto fora de uma reta h apenas uma paralela a essa reta.

Em seguida, utilizando-se agora uma bola de isopor como plano; alfinetes nessa nova superfcie como pontos e, como reta, a circunferncia mxima que passa por um ponto, se faz um paralelo para cada postulado de Euclides, na superfcie da esfera, observando-se que apenas o quinto no se verifica nesta nova geometria. No existem retas paralelas quando se trabalha nessa superfcie curva.

Essa negao, no entanto, no invalida a geometria euclidiana, mas cria uma nova geometria, a geometria esfrica, algumas vezes chamada de geometria de Riemann, em homenagem ao matemtico alemo Georg Friederich Bernhard Riemann, grande pesquisador dessa geometria.

A partir da constatao da existncia de uma geometria diferente podemos trabalhar com as propriedades que se mantm, que se modificam e que desaparecem ao se comparar a geometria euclidiana esfrica.

So alguns exemplos de conceitos que podem ser usados para essas comparaes:

Existncia ou no de pontos iniciais da reta;

Retas tm ou no comprimento;

Existncia ou no de retas perpendiculares;

A reta divide ou no o plano em duas regies;

Nmero de pontos em que duas retas se interceptam;

Nmero de retas determinadas por dois pontos.

Com essas comparaes, os conceitos e idias sobre a geometria esfrica comeam a ficar mais claras e a credibilidade de sua existncia mais ntida.

3 ATIVIDADES DIRIGIDAS AO ENSINO FUNDAMENTAL

Pesquisando, criando e adaptando atividades envolvendo geometria esfrica pode-se ver que possvel trabalhar-se no ensino fundamental com geometrias no-euclidianas conectando-a com o contexto social do aluno, tornando-a mais real para ele.

3.1 Planeta Terra

Imagens de satlite, at bem pouco tempo atrs, costumavam ser sempre muito caras, chegando a custar 1200 reais cada uma, no entanto, nos dias de hoje, nos deparamos com uma excelente ferramenta para a explorao de nosso planeta olhando do espao, o Google Earth. A mais nova ferramenta da Google um enorme mapa do mundo feito com imagens de satlite, muitas delas de alta definio.

Torre Eiffel Paris no programa Google Earth

A princpio, us-lo pura diverso, ver cidades, ruas e casas de qualquer parte do mundo usando apenas o mouse realmente muito interessante. Com o passar do tempo, no entanto, alm da diverso abrem-se inmeras possibilidades didticas para o programa.

A ateno dos alunos no precisa nem ser conquistada, o simples fato de estar sentado frente do computador j suficiente e, alm disso, a cara de vdeo game do Google Earth ajuda na empolgao para a atividade.

Nessa atividade, muitos diferentes campos podem ser abordados, fazendo com que o professor a medida que observa o comportamento da sala em relao a cada parte da aula possa focar algum tema que esteja sendo mais bem recebido.

Assuntos que podem ser explorados usando o Google Earth:

As distores dos mapas que ocorrem quando se planifica uma superfcie que, na verdade, curva;

Os meridianos, que nos mapas parecem paralelos, se encontram nos plos;

O porqu pode-se considerar a superfcie terrestre plana quando tratamos de distncias pequenas;

Melhores rotas para viagens areas de longa distncia;

O porqu das distores de imagem no programa ao se aproximar dos plos.

Dentre essas abordagens destaco duas atividades que podem ser elaboradas.

3.1.1 Os mapas distorcidos

As deformaes necessrias para que se planifique uma superfcie terrestre representando-a em um mapa j esto h tanto tempo inseridas em nosso contexto escolar que as imagens que nos vm cabea quando pensamos em pases e continentes so as imagens planificadas dos mapas.

Com a ajuda do Google Earth e de um mapa, o objetivo dessa atividade mostrar como essas deformaes ocorrem e o porqu acontecem.

O primeiro passo para mostrar aos alunos as deformaes fazer com que percebam que existem. Uma boa maneira de se conseguir isso fazer uma simples pergunta para que observem o mapa e o computador e respondam:

Qual tem a maior rea: a Groenlndia ou a Austrlia?

A Austrlia mais de duas vezes maior que a Groenlndia em rea, no entanto, observando apenas o mapa, temos a impresso que a Groenlndia maior que a Austrlia.

Percebendo que existem as distores nas planificaes passamos discusso sobre como feita essa planificao e por que ela gera deformao.

A maioria dos mapas que encontramos so elaborados usando-se a projeo de Mollweide, que se assemelha projeo cilndrica de Mercator. Explicando aos alunos como se elabora um mapa usando a projeo cilndrica, pode-se discutir as regies mais afetadas pelas distores e o porqu da no representao dos plos.

Alm dessas discusses tambm podem ser elaboradas listas de prs e contras em relao s representaes em mapas e em globos da superfcie terrestre, mostrando por que, mesmo com as distores, os mapas ainda so uma ferramenta til de navegao.

Com essas discusses, a percepo da curvatura da superfcie terrestre se torna mais tangvel e se desenvolvem os conceitos primitivos da geometria esfrica.

3.1.2 Rotas areas

Nessa atividade, mais uma vez, a noo que a superfcie terrestre curva estimulada. Usando a ferramenta Path do programa Google Earth, podemos traar linhas retas e caminhos sobre a superfcie. Assim, a atividade prope que, tomando uma tabela com as conexes areas desejadas, o aluno deve traar a melhor rota para o avio.

A surpresa gerada por essa atividade se d quando conexes como Anchorage (Alaska) para Magadan (Sibria) so dadas. A imagem da superfcie terrestre planificada induz ao erro de pensar que o Alaska muito longe da Rssia, por exemplo. Outra rota entre Ottawa e Tquio que se d pelo estreito de Bering e no atravessando todo o Oceano Pacfico.

Com essas observaes podemos mostrar que as menores distncias entre pontos na geometria esfrica so segmentos das circunferncias maiores, e no mais segmentos de retas, como na euclidiana. Alm disso, possvel trabalhar problemas lgicos de logstica envolvendo viagens com escalas e com necessidade de reabastecimento, por exemplo.

3.2 Icosaedro truncado

Uma tima atividade para o desenvolvimento dos conhecimentos da geometria esfrica a representao de um icosaedro truncado sobre uma esfera sem marcaes. A complicao desaparece ao dizermos que a atividade consiste, simplesmente, em desenhar, sobre uma bola, uma bola de futebol.

Com uma bola de futebol e uma sem marcas e fazendo observaes, com algumas poucas anotaes possvel desenhar sobre a bola lisa as marcaes que formar o desenho de uma bola de futebol.

Para a realizao do trabalho o aluno observar o nmero de pentgonos e hexgonos regulares que formam a bola de futebol, os padres com os quais essas formas se encaixam e como se repetem. Assim, com desenhos iniciais de trs retas perpendiculares entre si, pode-se desenhar os hexgonos e pentgonos, representando o icosaedro truncado sobre a superfcie esfrica.

possvel realizar essa atividade frente da sala usando-se apenas uma bola lisa e uma de futebol e recebendo sugestes sobre os prximos passos a seguir para realizar a tarefa, no entanto, trabalhando em grupos a atividades pode ser muito mais construtiva e, principalmente, muito mais divertida para o aluno, fazendo com que se interesse mais.

Para o trabalho em grupo, apenas uma bola de futebol j suficiente como modelo para que todos observem e faam sua representao, com uma bola lisa por grupo. Uma excelente maneira de iniciar o projeto sem que se tome muito tempo das poucas aulas disponveis trabalhar interdisciplinariamente com o professor de artes, tornando ainda mais ldica a brincadeira.

4 ATIVIDADE DIRIGIDA AO ENSINO MDIO

Devido ao nvel de conhecimento que esperamos encontrar em um aluno do ensino mdio, podemos apresentar os conceitos matemticos com um rigor mais elevado. Assim, alm de adaptaes das atividades j propostas para o ensino fundamental, podemos trabalhar idias mais elaboradas, aproveitando as habilidades de clculo mais desenvolvidas desses alunos.

4.1 Nufragos

A problematizao de uma situao real sempre mais bem recebida pelos alunos se comparada a um problema sem relao com seu contexto social. Por essa razo essa atividade toda baseada numa situao hipottica, porm possvel.

O capito de um navio recebe a seguinte mensagem de um helicptero: Foram localizados nufragos numa ilha de coordenadas 1818 S e 1373 W. Naquele momento a posio do navio era 1755 S e 8110 W.

O objetivo desse enunciado ser apresentado sem nenhum tipo de introduo geometria esfrica fazer com que o aluno pense sobre como resolveria o problema, lembrando que, at agora, nada ainda lhe foi proposto.

Depois de algum tempo de adaptao situao podemos direcionar a atividade com algumas perguntas:

Voc acha que para resgatar os nufragos o percurso do navio deve ser em linha reta?

Que figura voc usaria para modelar geometricamente esse problema?

Como o problema nos traz uma superfcie esfrica com dois pontos distintos marcados sobre ela, podemos desenvolver a teoria da geometria esfrica descrita no captulo segundo desse trabalho.

Depois de toda elaborao terica sobre a geometria de Riemann, podemos finalmente resolver a situao problema calculando a distncia do navio at os nufragos (aproximadamente 5880 km) ou o tempo esperado at o resgate, dada a velocidade mxima do navio.

Representao do problema dos nufragos

5 CONCLUSO

Nos ltimos tempos, a abordagem da geometria nos ensinos fundamental e mdio, quando acontece, tem sido baseada apenas na geometria euclidiana. A enorme importncia dessa geometria para a formao de uma base forte para os conhecimentos matemticos futuros e tambm como ferramenta para a resoluo de exerccios acaba por levar o ensino de geometrias no-euclidianas ao abandono.

Atravs das atividades propostas vemos que possvel uma aprendizagem significativa da geometria esfrica, conectando-a aos problemas do dia-a-dia e mostrando sua eficincia ao representar e descrever nosso mundo como um espao esfrico.

Enfim, no podemos nos limitar a apresentar apenas um tipo de abordagem geomtrica, mas explorar vrias vises desse mesmo tema e saber identificar as vantagens e desvantagens de cada uma ao se trabalhar com diferentes situaes.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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LNRT, Istvn. Non-Euclidean Adventures on the Lnrt Sphere: activities comparing planar and spherical geometry. Berkeley: Key Curriculum Press, 1996.

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