Luiz de Queiroz Distribui˘c~ao de probabilidade e ... · (ASA), mostrou que o tamanho 6 de amostra...

Universidade de Sao Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Distribuicao de probabilidade e dimensionamento amostral para tamanho de

partıcula em gramıneas forrageiras

Claudia Fernanda Navarrete Lopez

Dissertacao apresentada para obtencao do tıtulo deMestre em Agronomia. Area de concentracao: Es-tatıstica e Experimentacao Agronomica

Piracicaba

2008

Claudia Fernanda Navarrete Lopez

Engenheira Agronoma



Orientadora:

Profa Dra SONIA MARIA DE STEFANO

PIEDADE

Dissertacao apresentada para obtencao do tıtulo deMestre em Agronomia. Area de concentracao: Es-tatıstica e Experimentacao Agronomica

Piracicaba

2008

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

DIVISÃO DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO - ESALQ/USP

Navarrete López, Claudia Fernanda Distribuição de probabilidade e dimensionamento amostral para tamanho de partícula

em gramíneas forrageiras / Claudia Fernanda Navarrete López. - - Piracicaba, 2008. 78 p. : il.

Dissertação (Mestrado) - - Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, 2008. Bibliografia.

1. Distribuição de frequência 2. Distribuição normal 3. Distribuições (probabilidade) 4. Função beta 5. Função gama 6. Gramíneas forrageiras 7. Verossimilhança I. Título

CDD 519.532 N321d

“Permitida a cópia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte – O autor”

3

Dedicatoria

A

Deus e a virgem Maria,

por ter me concedido a graca da vida

e ter posto no meu caminho esta

oportunidade.

Aos meus pais, Hernando e

Elizabeth, a luz, sempre guiando meu

caminho e enchendo minha vida de

amor, confianca e valorizando

minhas decisoes pessoais e profissionais.

As minhas irmas, Elizabeth e

Rossmery, a minha famılia

e amigos, pelo apoio incondicional

sempre, pela confianca e conforto.

4

AGRADECIMENTOS

A Professora Dra. Sonia Maria De Stefano Piedade, pela orientacao, atencao, confianca e

paciencia que muito me ajudou no termino deste trabalho.

Ao Professor Dr. Gerson Barreto Mourao, pela orientacao e ajuda profissional no desen-

volvimento deste trabalho.

Ao Professor Dr. Edwin Moises Marcos Ortega pelos ensinamentos ajuda e amizade.

Ao Departamento de Ciencias Exatas da ESALQ - USP, por proporcionar formacao de

qualidade, com excelente estrutura fısica e corpo docente.

Ao conselho do programa de Pos-Graduacao em Estatıstica e Experimentacao Agronomica,

Professoras Dra. Clarice Garcia Borges Demetrio e Dra. Roseli Aparecida Leandro

pelos ensinamentos e valiosas sugestoes.

Aos demais professores e funcionarios do Departamento de Ciencias Exatas da ESALQ -

USP pelo apoio, carinho, respeito e amizade.

A todos os companheiros do curso de Estatıstica aos quais tenho grande gratidao.

A amiga Michele Barbosa pela sua amizade, incentivo, motivacao, ajudando-me a tornar

momentos difıceis em momentos superaveis.

Aos meus Amigos Colombianos da ESALQ, pela grata convivencia e alegrias em todo mo-

mento.

Ao meu tio Luis Alberto Lopez Perez pela sua grande confianca, carinho e forca.

A todos que de uma maneira ou outra me ajudaram a concluir mais uma etapa em minha

vida. Muito Obrigada!

5

SUMARIO

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 DESENVOLVIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Revisao de Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Tamanho de partıcula em forragens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Estatıstica Descritiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.1 Distribuicao de Frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.2 Tabelas de Distribuicoes de Frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.3 Limite de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.4 Ponto medio da classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.5 Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.6 Frequencia Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.7 Histograma de Frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.8 Media Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 Distribuicoes de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3.1 Distribuicoes de probabilidade de Variaveis Aleatorias Contınuas . . . . . . . . . 16

2.1.3.2 Valor Medio e Variancia de Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3.3 Distribuicao Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3.4 Distribuicao Gama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3.5 Distribuicao Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.6 Distribuicao Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.4 Estimativas de Maxima Verossimilhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.4.1 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Normal . . . . . . . . . 27

2.1.4.2 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Gama . . . . . . . . . . 28

2.1.4.3 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Beta . . . . . . . . . . 30

2.1.4.4 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Weibull . . . . . . . . 33

6

2.1.5 Criterio de Akaike (AIC) e Criterio Bayesiano (BIC) . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.6 Estatıstica nao parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.7 Teste de Aderencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.7.1 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.7.2 Teste de Lilliefors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.7.3 Teste de Cramer-von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.7.4 Teste de Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.8 Modelagem Probabilıstica para o tamanho de partıcula . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.9 Amostragem Aleatoria Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Material e Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Especie Vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2 Local e data do experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.3 Delineamento experimental e tratamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.4 Analise estatıstica dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Resultados e discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 CONCLUSOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7

RESUMO



O objetivo deste trabalho foi identificar a distribuicao de probabilidade da

variavel tamanho de partıcula em gramıneas forrageiras e fazer um dimensionamento amostral.

Para isto foi realizada uma analise exploratoria dos dados obtidos de um experimento plane-

jado em blocos casualizados, a cada sub-amostra do conjunto de dados foram ajustadas as

distribuicoes normal, gama, beta e Weibull. Foram realizados os testes de aderencia nao

parametricos de Kolmogorov-Smirnov, Lilliefos, Cramer-von Mises e Anderson-Darling para

avaliar o ajuste as distribuicoes. A estimativa do valor do logaritmo da funcao de maxima

verossimilhanca e indicativo da distribuicao que melhor descreveu o conjunto de dados, assim

como os criterios de informacao de Akaike (AIC) e de informacao bayesiano (BIC). Foram

feitas simulacoes a partir dos parametros obtidos e feitos os testes nao parametricos para

avaliar o ajuste com diferentes tamanhos de amostras. Encontrou-se que os dados nao seguem

a distribuicao normal, pois ha assimetria nos histogramas melhor descritos pelas distribuicoes

beta e Weibull. Os testes mostraram que as distribuicoes gama, beta e Weibull ajustam-se me-

lhor aos dados porem pelo maior valor do logaritmo da funcao de verossimilhanca, assim como

pelos valores AIC e BIC, o melhor ajuste foi dado pela distribuicao Weibull. As simulacoes

mostraram que com os tamanhos n de 2 e 4 com 10 repeticoes cada, as distribuicoes gama

e Weibull apresentaram bom ajuste aos dados, a proporcao que o n cresce a distribuicao

dos dados tende a normalidade. O dimesionamento dado pela Amostra Aleatoria Simples

(ASA), mostrou que o tamanho 6 de amostra e suficiente, para descrever a distribuicao de

probabilidade do tamanho de partıcula em gramıneas forrageiras.

Palavras-chave: Tamanho de partıcula; Distribuicao de probabilidade; Normal; Gama; Beta;

Weibull; Verossimilhanca

8

ABSTRACT

Probability distribution and sample dimension for particle size in forage grasses

The purpose of this study was to identify the probability distribution of variable

particle size in forages grasses and to do a sample dimension. For this was carried out

an exploratory analysis of the data obtained from the experiment planned in randomized

blocks. Each sample of the overall data was adjusted to Normal, Gama, Beta and Weibull

distributions. Tests of adhesion not parametric of Kolmogorov-Smirnov, Lilliefos, Cramer-von

Mises and Anderson-Darling were conducted to indicate the adjustment at the distributions.

The estimate of the value of the logarithm of function of maximum likelihood is indicative of

distribution that better describes the data set, as well as information criteria of Akaike (AIC)

and Bayesian information (BIC). Simulations from parameters obtained were made and tests

not parametric to assess the fit with different sizes of samples were made too. It was found

that data are not normal, because have asymmetry in the histograms, better described by

Beta and Weibull distributions. Tests showed that Gamma, Beta and Weibull distributions,

have a fits better for the data; for the highest value in the logarithm of the likelihood function

as well as smaller AIC and BIC, best fit was for Weibull distribution. Simulations showed that

with 2 and 4 sizes (n), with 10 repeat each one, the Gama and Weibull distributions showed

good fit to data, as the proportion in which n grows, distribution of data tends to normality.

Dimensioning by simple random sample (ASA), showed that 6 is a sufficient sample size to

describe probability distribution for particle size in forage grasses.

Keywords: Particle size; Distributions of probability; Normal; Gama; Beta; Weibull; Likeli-

hood

9

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Histograma para toda amostra da variavel tamanho de partıcula . . . . . . 50

Figura 2 - Diagrama de ramos e folhas, box-plot e probabilidade normal . . . . . . . . 51

Figura 3 - Ajuste grafico das curvas de probabilidade aos histogramas . . . . . . . . . 55

Figura 4 - Ajuste grafico das curvas de probabilidade ao histograma total . . . . . . . 58

10

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Estatısticas descritivas para tamanho de partıcula . . . . . . . . . . . . . . 50

Tabela 2 - Testes de normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Tabela 3 - Estimativas dos parametros distribuicoes normal, gama, beta e Weibull . . . 52

Tabela 4 - Testes de aderencia por Tratamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tabela 5 - Testes de aderencia para toda a amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Tabela 6 - Logaritmo funcao da verossimilhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Tabela 7 - Criterio de Akaike (AIC) e criterio Bayesiano (BIC) . . . . . . . . . . . . . 58

Tabela 8 - Dimensionamento mediante Amostragem Aleatoria Simples . . . . . . . . . 59

Tabela 9 - Dimensionamento corrigido para populacao Finita . . . . . . . . . . . . . . 59

Tabela 10 -Tamanho de partıcula para Capim-Marandu . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Tabela 11 -Distribuicao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Tabela 12 -Distribuicao Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Tabela 13 -Distribuicao Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11

1 INTRODUCAO

O separador de partıculas de forragens de Penn State e uma ferramenta para

determinar quantitativamente o tamanho das partıculas de forragens e racoes totalmente

mescladas (RTM). O metodo da Sociedade Americana de Engenheiros Agrıcolas (ASAE)

para a analise do tamanho e distribuicao de partıculas esta disponıvel faz anos. O Separador

de Partıculas de Forragens de Penn State foi desenvolvido a partir do metodo de laboratorio

com uso na granja.

Atualmente e de grande importancia a avaliacao da qualidade da silagem ou do feno

para uma adequada formulacao das racoes animais. Deve-se ter presente que qualidade da

forragem e uma expressao utilizada como referencia ao valor nutritivo da massa de forragens

em interacao com o consumo efetuado pelo animal e com o potencial de desempenho dos

animais (JOBIM, 2007). Ter uma distribuicao apropriada do tamanho de partıcula dos

alimentos e uma parte importante da formulacao das racoes.

Novos procedimentos metodologicos para auxiliar na avaliacao de silagens tem sido

empregados em varios paıses do mundo. A orientacao da comunidade cientıfica internacional

tem sido priorizada no sentido de explorar metodos de avaliacao fısica como forma comple-

mentar para interpretar resultados de avaliacao quımica tradicional. No Brasil, os metodos

quımicos tradicionais para avaliacao de silagens foram sistematizados por Silva e Queiroz

(2002) e recentemente alguns deles revistos por Campos et al., 2004.

O objetivo principal ao analisar o tamanho de partıculas da RTM e medir a distribuicao de

partıculas de alimento e forragens que realmente e consumido pelo gado. Examinar nao so

as partıculas maiores que certo tamanho, mas tambem a distribuicao geral de partıculas de

alimento que o gado consome.

12

Os equipamentos para mesclar e distribuir podem reduzir o tamanho de

partıcula dos alimentos e forragens e devem ser levados em conta quando se avaliam as dietas

alimentares (HEINRICHS e KONONOFF, 2008.)

Poucos trabalhos com ajuste de distribuicoes de probabilidade para a variavel tamanho de

partıcula em gramıneas forrageiras sao encontrados.

Atualmente trabalha-se assumindo a distribuicao teorica dos dados de acordo com es-

tudos previos feitos em outros paıses, mas para o caso do Brasil ainda nao se tem

estabelecido com certeza qual e a distribuicao que melhor se ajusta ao tamanho de partıcula.

O tamanho de partıcula e uma variavel amplamente usada e conhecer sua distribuicao

de probabilidade auxiliaria muito na solucao dos problemas que surgem no campo da

zootecnia.

Conhecer a distribuicao do tamanho de partıcula e vantajoso tornando possıvel a es-

colha de um, ou, mais modelos com significado biologico e com propriedades estatısticas que

permitam tambem estimativas seguras dos parametros que posteriormente vao ser usados

para tomada de decisoes.

Para tentar solucionar o problema, este trabalho apresenta tecnicas para a estimacao

da distribuicao de probabilidade considerando dados agrupados e pequenas amostras.

13

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 Revisao de Literatura

2.1.1 Tamanho de partıcula em forragens

Existem varias formas de se determinar o tamanho medio de partıculas de

um alimento volumoso. Basicamente, os metodos disponıveis baseiam-se na estratificacao

de partıculas em classes de tamanho definido, podendo expressar os valores de partıculas

retidas em cada classe, ou tamanho medio, mediante equacoes de distribuicao ou calculo do

valor medio ponderado (JOBIM et al., 2007).

LAMMERS et al., 1996 propuseram uma metodologia pratica para determinacao do

tamanho medio de partıculas de voluminosos e racoes completas. O metodo proposto

consiste em um conjunto de duas peneiras com orifıcios de 19 e 8 mm de diametro e um

fundo fechado que, agitados sistematicamente, segregam a amostra em tres estratos diferentes

(tamanhos acima de 19 mm, entre 19 e 8 mm e inferiores a 8 mm). O metodo foi aceito e

largamente adotado nos EUA e em outros paıses.

Embora efetiva, a metodologia do Penn State (Patricle Size Separator) (LAMMERS

et al., 1996) nao contempla as condicoes encontradas na grande maioria das amostras

colhidas no Brasil, uma vez que o tamanho das partıculas aqui avaliadas, principalmente de

silagens de gramıneas, e bastante superior ao diametro da maior peneira.

Esse fato acarretou erros de determinacao no tamanho medio de partıculas gerado. A

inclusao de uma terceira peneira, com orifıcios de 38 mm de diametro, produziu dois novos

estratos (acima de 38 mm e entre 38 e 19 mm). Com essa adaptacao, a estratificacao de

amostras contendo partıculas grandes foi facilitada e gerou resultados mais exatos. (JOBIM

et al., 2007).

O calculo da porcentagem de partıculas retidas em cada peneira e realizado de forma

14

direta, considerando o somatorio dos pesos da fracao retida em cada peneira, descontando-se

a tara da peneira. O calculo do tamanho medio das partıculas e dado pelo tamanho medio

das partıculas retidas em cada peneira e o percentual de retencao em relacao ao peso total

da amostra estratificada (JOBIM et al., 2007).

2.1.2 Estatıstica Descritiva

A estatıstica descritiva compreende tecnicas que se usam para resumir e descr-

ever dados (KAZMIER, 1998).

2.1.2.1 Distribuicao de Frequencias

E uma tecnica usual na estatıstica que permite a analise de grandes conjuntos

de dados (AGUILAR, 2002)

2.1.2.2 Tabelas de Distribuicoes de Frequencias

Uma tabela de distribuicao de frequencias e uma classificacao dos dados em

classes ou categorias de acordo com seus valores. Os dados organizados em uma tabela de

frequencias se chamam dados agrupados (KAZMIER, 1998).

2.1.2.3 Limite de classe

Os limites de classe sao os pontos especıficos que servem para separar as classes

adjacentes em uma escala de medicao de variaveis contınuas. As fronteiras de classe podem

ser determinadas identificando os pontos medios entre os limites superior e inferior de classes

adjacentes (KAZMIER, 1998).

2.1.2.4 Ponto medio da classe

O ponto medio da classe de uma tabela de frequencias e obtido pela media dos

limites nominais de classe consecutivas ou as fronteiras de classes sucessivas (MILLER, 1992).

A notacao usual e xi, ∀i = 1, 2, ...,m.

15

2.1.2.5 Frequencia

E o numero de observacoes da amostra que pertencem a classe em questao.

Para determinar a frequencia (fi) de uma classe, basta realizar uma contagem do numero de

observacoes na amostra que se encontra nesta classe , seja pelos seus limites nominais ou pelas

suas fronteiras, isto se deve ao fato que ambos (limites e fronteiras) determinam exatamente

a mesma classificacao (AGUILAR, 2002).

2.1.2.6 Frequencia Acumulada

E o numero de dados na amostra cujo valor nao excede a fronteira superior

da classe em questao. Para o calculo da frequencia acumulada (Fi) basta contabilizar as

frequencias observadas na classe de interesse e nas anteriores (AGUILAR, 2002).

2.1.2.7 Histograma de Frequencias

O histograma de frequencias e construıdo com retangulos adjacentes, em que as

alturas dos retangulos representam as frequencias da classe e a base se estende em fronteiras

de classes sucessivas (MILLER 1992).

2.1.2.8 Media Aritmetica

Para dados agrupados em uma tabela de distribuicoes de frequencias, define-se

a media aritmetica como (AGUILAR, 2002):

X =

∑mi=1 xifin

=m∑i=1

xifi∗.

em que fi∗ = fin

m = numero de classes

xi= ponto medio da classe i

fi= frequencia da classe i

n = numero total de dados

16

2.1.3 Distribuicoes de Probabilidade

Todavia, a literatura que orienta a analise de dados, de natureza biologica

(SCHEINER, 1993) e que pode perfeitamente ser estendida para a area agronomica,

sugere uma sequencia metodologica que tem o seu inıcio com a realizacao de uma analise

exploratoria. A analise exploratoria e uma abordagem biometrica em que metodos graficos

procuram focalizar os dados coletados e relata-los no que diz respeito a sua estrutura, pontos

discrepantes e modelos sugeridos pelo conjunto que esta sendo analisado (SCAPIM et al.,

2002).

Um erro muito comum em analise de dados e desprezar as caracterısticas da distribuicao

de probabilidade mais adequada para os dados em estudo. O mais frequente e adotar-se, a

priori, a distribuicao normal o que pode resultar, se os dados nao seguem essa distribuicao,

em conclusoes erradas (PEREIRA et al., 1996)

2.1.3.1 Distribuicoes de probabilidade de Variaveis Aleatorias Contınuas

No caso contınuo a probabilidade de que uma variavel aleatoria X assume um

valor especıfico e zero. A distribuicao de probabilidade de uma variavel aleatoria contınua

X esta caracterizada por uma funcao f(x) que recebe o nome de funcao de densidade de

probabilidade (CANAVOS, 1988).

Como a probabilidade de X assumir um valor especifico x e zero, a funcao de densi-

dade de probabilidade nao representa a probabilidade de que X = x. Esta proporciona um

meio para determinar a probabilidade de um intervalo a ≤ X ≤ b ∀(a < b).

Uma funcao de densidade associada a X, deve satisfazer duas condicoes:

i)f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

ii)∫∞−∞ f(x)dx = 1

17

Uma propriedade importante e que podemos calcular probabilidades da seguinte maneira

P (a ≤ X ≤ b) =∫ baf(x)dx, ∀a < b.

Sendo X uma variavel aleatoria sua funcao de distribuicao acumulada e definida por

F (x) = P [X ≤ x] =

∫ x

−∞f(x)dx, ∀x ∈ R.

Uma funcao de distribuicao acumulada de uma variavel X obedece as seguintes propriedades:

i) limx→−∞

F (x) = 0 e limx→+∞

F (x) = 1;

ii)F (x) e contınua a direita;

iii)F (x) e nao decrescente, isto e, F (x) ≤ F (y) sempre que x ≤ y, ∀x, y ∈ R.

2.1.3.2 Valor Medio e Variancia de Distribuicao

Em vez de usar a caracterizacao completa de uma distribuicao, as vezes e

suficiente descreve-la em termos de certas quantidades que caracterizam propriedades gerais

da distribuicao dita. As duas quantidades mais importantes sao a media µ e a variancia σ2

(KREYSZIG, 1979).

Se X e uma variavel aleatoria contınua com funcao de densidade f , o valor esperado,

esperanca matematica ou media de X e definida por

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx.

desde que a integral esteja bem definida, isto e,∫∞−∞ |x|f(x)dx, seja finito. A notacao

utilizada e µ = E(X).

18

Sendo µ finito, define-se a variancia de X como o momento central de ordem 2, isto e,

V ar(X) = E[(X − µ)2] =

∫ ∞−∞

(x− µ)2f(x)dx.

A notacao, neste caso, e σ2 = V ar(X).

2.1.3.3 Distribuicao Normal.

A distribuicao de probabilidade contınua mais importante e mais utilizada

e a distribuicao normal, geralmente citada como curva normal ou curva de Gauss. Sua

importancia em analise matematica resulta do fato de que muitas tecnicas estatısticas,

como analise de variancia, de regressao e alguns testes de hipoteses, assumem e exigem a

normalidade dos dados (PEREIRA,1996).

A distribuicao normal e uma distribuicao com dois parametros. Sua funcao de densi-

dade de probabilidade tem a seguinte forma:

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 ,

em que µ ∈ R, σ > 0, π = 3, 1416... e e = 2, 7182...

Mostra-se que E(X) = µ e V ar(X) = σ2.

Os estimadores de maxima verossimilhanca dos parametros sao dados por:

µ = X,

σ2 =

∑ni=1(xi −X)2

n.

19

A funcao de distribuicao acumulada neste caso e dada por

F (x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

(x−µ)2

2σ2 dx.

Essa equacao nao pode ser resolvida analiticamente sem o uso de integracao aproxi-

mada. Por essa razao usa-se a transformacao Z = (X − µ)/σ e com isso a variavel

Z ∼ N(0, 1). A variavel Z possui uma distribuicao normal padrao.

A funcao de distribuicao acumulada da variavel Z e dada por

F (z) =1√2π

∫ z

−∞e−

z2

2 dz, ∀z ∈ R.

2.1.3.4 Distribuicao Gama.

A distribuicao gama com dois parametros e um caso especial da distribuicao de

Pearson Tipo III no qual o parametro local e zero. Sua funcao de densidade de probabilidade

e dada por: (PEREIRA, 1996)

f(x) =1

Γ(α)βαx(α−1)e−

xβ , ∀x > 0.

em que β > 0 e α > 0 .

β e o parametro de escala, α e o parametro de forma e Γ(.) e a funcao gama.

A funcao gama e definida por

Γ(x) =

∫ ∞0

x(α−1)e−xdx, ∀x > 0.

20

Algumas propriedades da funcao gama sao

Γ(x) = (x− 1)! ∀x inteiro positivo,

Γ(x+ 1) = xΓ(x) ∀x > 0,

Γ(12) =√π.

O valor de Γ(x) pode ser obtido, com boa aproximacao, atraves da seguinte relacao:

Γ(x) =

√2π

xexp{x[ln(x)− f(x)]},

em que:

f(x) = 1− 1

12α2+

1

360α4− 1

1260α6.

A media, a variancia e o coeficiente de assimetria (A) da distribuicao gama podem

ser obtidos por:

E(X) = αβ, (1)

V ar(X) = αβ2, (2)

e A =2√α

respectivamente. (3)

A distribuicao gama tem assimetria positiva com o parametro β diminuindo e o parametro

α aumentando. Variando β, com α constante, muda-se a escala da distribuicao, enquanto

variando α com β constante, muda-se a sua forma.

Pode-se concluir com base na equacao (3), que quando α tende para infinito A → 0,

ou seja, a distribuicao gama, tende a ser simetrica.

21

Silva (1995) citou que Strommen e Horsfield (1969) afirmaram que o parametro de

forma e inversamente proporcional a assimetria, ou seja, quanto menor o α, maior a

assimetria. (SAMPAIO, 2007).

O grande problema no uso da distribuicao gama no ajuste de dados esta na estima-

tiva de seus parametros. Um dos metodos mais comuns e o metodo dos momentos que

consiste em igualar a media e a variancia da amostra a media e a variancia da populacao

originando duas equacoes que sao facilmente resolvidas (SAMPAIO et al., 2007).

α =X

2

S2, (4)

β =S2

X, (5)

sendo X = media da amostra e S2 = variancia da amostra.

As estimativas dos parametros β e α resultam da solucao das equacoes (1) e (2). Mas essas

estimativas nao sao adequadas, preferindo-se as estimativas de maxima verossimilhanca,

segundo (THOM,1966) dadas por:

α =1

4A

(1 +

√1 +

4A

3

), (6)

e β =X

α, (7)

sendo

A = lnX −Xg, (8)

em que:

X =1

n

n∑i=1

xi, (9)

22

e a media aritmetica e

Xg =1

n

n∑i=1

ln(xi). (10)

A funcao acumulativa de probabilidade da distribuicao e

F (x) =1

Γ(α)βα

∫ x

0

x(α−1)e−xβ dx. (11)

Essa equacao nao tem solucao imediata, exigindo tabelas ou tecnicas de integracao

numerica como expansao em serie e a formula de Simpson. A serie normalmente utilizada e

a seguinte:

F (t) =tα

αΓ(α)εt

[1 +

t1

α + 1+

t2

(α + 1)(α + 2)+ . . .+

t3

(α + 1)(α + 2)(α + 3)

]. (12)

Na equacao (11), fazendo-se t = xβ; x = βt; dx = βdt, chega-se a equacao (12). A probabili-

dade de ocorrer um valor de X ≤ t e F (t).

2.1.3.5 Distribuicao Beta

A distribuicao beta e uma distribuicao definida no intervalo (0, 1) e com a

seguinte funcao de densidade de probabilidade: (PEREIRA,1996)

f(x) =x(α−1)(1− x)β−1

β(α, β),

∀ 0 < x < 1, α > 0 e β > 0, em que B(α, β) e a funcao beta definida por

B(α, β) =

∫ 1

0

xα−1(1− x)β−1dx,

23

a qual se relaciona com a funcao gama na forma

B(α, β) =Γ(α)Γ(β)

Γ(α + β).

Desse modo, a funcao densidade de probabilidade da distribuicao beta assume a forma

f(x) =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1.

Os dois parametros, α e β determinam a forma da distribuicao. Se α e β > 1, a distribuicao

e unimodal, com α e β < 1 a distribuicao assume a forma de U , quando α < 1 e β ≥ 1 a sua

forma e de J invertido, com α ≥ 1 e β < 1 a forma da distribuicao e a do J e quando α = β,

a distribuicao e simetrica. A media e a variancia da distribuicao sao obtidas por,

E(X) =α

α + β,

e V ar(X) =αβ

(α + β)2(α + β + 1)respectivamente.

Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra aleatoria simples de uma populacao X com distribuicao

B(α, β). Os estimadores para α e β segundo o metodo dos momentos, formalizado por K.

Pearson no final do seculo XIX, estimam os momentos populacionais a partir dos corres-

pondentes amostrais. Em geral, estima-se um vetor de parametros ϑ = (ϑ1, ..., ϑk), e seus

componentes sao expressos em funcao dos k primeiros momentos nao centrais da populacao

ϑ1, ..., ϑk, da seguinte maneira:

ϑ1 = g1(α1, ..., αk)

· · · · · ·

· · · · · ·

ϑk = gk(α1, ..., αk)

.

24

Este sistema de equacoes permite obter os estimadores de ϑ substituindo os momentos popu-

lacionais α1, ..., αk pelos correspondentes amostrais, ou seja, pelos k momentos amostrais nao

centrais da mesma ordem (a1, ..., ak) obtendo-se:

ϑ1 = g1(a1, ..., ak)

· · · · · ·

· · · · · ·

ϑk = gk(a1, ..., ak)

.

Portanto para a distribuicao beta tem-se

α1 = E(X) =α

α + β

e µ2 = V ar(X) =αβ

(α + β)2(α + β + 1).

Substituindo no sistema de equacoes os momentos populacionais α1 e µ2 pelos seus correspon-

dentes amostrais a1 = X e m2 = S2x, media e variancia amostral, respectivamente, e isolando

α e β obtem-se a expressao final dos estimadores de α e β pelo metodo dos momentos

α =X

2(1−X)

S2x

−X (13)

e β =X(1−X)2

S2x

+X − 1. (14)

Esse metodo de estimativa dos parametros, que tem como base os momentos, e satisfatorio

para a distribuicao.

25

2.1.3.6 Distribuicao Weibull

A forma geral da distribuicao Weibull W (x;α, β,m) e: (D´AGOSTINO, 1986)

F (x) = 1− exp

[−(x− αβ

)m], x > α; β > 0,m > 1,

na qual, α e β sao parametros de localizacao e escala respectivamente, m e o parametro de

forma e α e chamado origem da distribuicao. A funcao de densidade da Weibull e:

f(x) =m

β

(x− αβ

)m−1

exp

[−(x− αβ

)m].

A hipotese nula a ser testada neste caso e:

H0 : A amostra aleatoria x1, ..., xn vem de uma distribuicao Weibull (x;α, β,m).

Considera-se o caso quando o valor de α e conhecido, supondo este valor como zero,

entao o H0 fica:

H0α : A amostra aleatoria x1, ..., xn vem de uma distribuicao Weibull (x; 0, β,m).

Esta distribuicao e tambem chamada de distribuicao Weibull com dois parametros.

Para o teste de H0α, a tabela de distribuicao de valores extremos pode ser usada.

Dado Y = − log(x) a distribuicao para Y e:

F (y) = exp

[− exp

((y − φ)

θ

)], −∞ < y <∞,

com θ = 1/m e φ = − log(β).

26

2.1.4 Estimativas de Maxima Verossimilhanca

Os limites de confianca sao elementos valiosos para estimar um parametro

populacional. E conveniente dispor tambem de uma estimativa pontual. A melhor estimativa

obtem-se empregando a tecnica conhecida como a estimativa de maxima verossimilhanca,

devida a Fisher (SPIEGEL, 2004).

Supondo que a populacao tenha funcao de densidade com parametro digamos θ, a ser

estimado mediante determinada estatıstica. Entao, a funcao de densidade pode ser denotada

por f(x, θ).

Admitindo que hajam n observacoes independentes, x1, x2, · · · , xn, a funcao de densi-

dade conjunta para essas observacoes e

L = f(x1, θ)f(x2, θ) · · · f(xn, θ),

que e chamada funcao de verossimilhanca. A maxima verossimilhanca pode ser entao obtida

tomando-se a derivada de L em relacao a θ e igualando-a a zero. Para isto e conveniente

primeiro tomar logaritmos e entao derivar. Assim, pois:

1

f(x1, θ)

∂f(x1, θ)

∂θ+ · · ·+ 1

f(xn, θ)

∂f(xn, θ)

∂θ= 0,

e desta equacao pode-se obter θ em termos dos xk.

O metodo e passıvel de generalizacao. Assim, no caso de varios parametros, tomam-

se as derivadas parciais em relacao a cada um deles e, igualando-as a zero, resolve-se o

sistema decorrente.

27

2.1.4.1 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Normal

Se X ∼ N(µ, σ2)⇒ θ = {θ1, θ2} ⇒ θ1 = µ, θ2 = σ2,

a funcao de verossimilhanca e dada por

L(x, µ, σ2) =n∏i=1

f(xi, µ, σ2) =

n∏i=1

1

σ√

2πe−(xi−µ)2/2σ2

=

(1

σ√

2π

)ne−Σni=1(xi−µ)2/2σ2

, (15)

e o logaritmo da funcao de verossimilhanca e dado por:

ln(x)L(x, µ, σ2) = −n ln(x)(σ√

2π)−∑n

i=1(xi − µ)2

2σ2. (16)

Derivando em relacao ao parametro µ tem-se:

∂ ln(x)L(x, µ, σ2)

∂µ=

2∑n

i=1(xi − µ)(−1)

2σ2= 0⇒

n∑i=1

(xi − µ)⇒n∑i=1

xi − nµ = 0 ,

µ =

∑ni=1 xin

= X ,

e derivando em relacao ao parametro σ tem-se:

∂ ln(x)L(x, µ, σ2)

∂σ= − n

σ√

2π

√2π −

∑ni=1(xi − µ)2(−2)

2σ3= 0⇒ −n

σ+

∑ni=1(xi − µ)2

σ3= 0 ,

σ2 =

∑ni=1(xi −X)2

n.

A estimativa da media populacional µ e a media amostral X, e e uma estimativa nao viciada.

28

2.1.4.2 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Gama

A funcao de verossimilhanca da gama e dada por (BOTELHO, 1999):

L(x1, x2, ..., xn;α, β) =n∏i=1

1

βαΓ(α)(xi)

α−1e−xβ = β−nα[Γ(α)]−n

n∏i=1

(xi)α−1e(−Σxi/β), (17)

e aplicando logaritmo natural obtem-se

ln(x)L(x1, x2, ..., xn;α, β) = nα ln(β)− n ln[Γ(α)] + (α− 1)Σni=1(lnxi)− βΣn

i=1xi . (18)

Derivando-se parcialmente em relacao aos parametros α e β e igualando a zero

∂ ln(x)L(x1, x2, ..., xn;α, β)

∂α= −nΓ8(℘)

Γ(℘)− n ln=+

n∑i=1

ln(xi) = 0 , (19)

∂ ln(x)L(x1, x2, ..., xn;α, β)

∂β=−n℘=

+

∑ni=1 xi=2

= 0 , (20)

e simplificando, obtem-se:

−nΓ8(℘)

Γ(℘)− n ln=+

n∑i=1

ln(xi) = 0 , (21)

= =X

℘. (22)

Em (21), dividindo-se ambos membros por n e substituindo = por X℘

, obtem-se:

ln℘− Γ8(℘)

Γ(℘)= lnX − 1

n

n∑i=1

ln(xi) . (23)

29

A expressao Γ8(℘)/Γ(℘) e chamada funcao digama de ℘, representada por Ψ(℘) e

suas derivadas Ψ′(℘) e Ψ′′(℘) sao chamadas funcoes trigama e tetragama, respectivamente.

A equacao (23) pode ser representada por:

ln℘−Ψ(℘) = lnX − 1

n

n∑i=1

ln(xi) , (24)

tendo presente a equacao (8), entao (24) fica:

ln℘−Ψ(℘) = A . (25)

A dificuldade do metodo reside na resolucao da equacao (25), de onde obtem-se o estimador

de ℘ , pois (25) e uma equacao implıcita em ℘, mas pode ser resolvida com algebra e uso de

recursos computacionais. A funcao digama Ψ(℘) aparece tabulada em algumas publicacoes,

como em Abramowits e Stegun (1970), mas para poucos valores. Porem, pode ser obtida

atraves do desenvolvimento em serie de:

Ψ(α) = ln(α)− 1

2α−

m∑K=1

B2K

(2Kα2K), (26)

em que BK sao os numeros de Bernoulli (B2 = 1/6, B4 = −1/30, ...).

Desenvolvendo-se a expressao (26), obtem-se:

Ψ(α) ∼= ln(α)− 1

2α− 1

12α2+

1

120α4− 1

252α6+

1

240α8− 1

132α10+K , (27)

calculando-se a derivada de (27), tem-se a funcao trigama, ou seja:

Ψ′(α) ∼=1

α+

1

2α2+

1

6α3− 1

30α5+

1

42α7− 1

30α9+

5

66α11+K . (28)

Das equacoes (24), (8), (25) e (27), tem-se que uma aproximacao para a funcao digama e:

30

Ψ(℘) ∼= ln(℘)− 1

2℘− 1

12℘2. (29)

Substituindo a expressao de Ψ(℘) de (29) em (25), um estimador aproximado do parametro

α pode ser obtido atraves da resolucao da seguinte equacao:

12A℘2 − 6℘− 1 = 0 . (30)

Como xi > ln(xi), tem-se A > 0, o discriminante da equacao (30) sera maior que 36, entao,

para satisfazer a condicao a > 0 (por definicao), a solucao sera α e β dados pelas equacoes

(6) e (7) respectivamente.

2.1.4.3 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Beta

A funcao de verossimilhanca, dada uma realizacao da amostra x1, ..., xn se

define a partir da funcao de probabilidade ou de densidade da amostra, como funcao dos

parametros a estimar ϑ = (ϑ1, ..., ϑk) da seguinte maneira: (JOHNSON & KOTZ, 1995)

L(ϑ;x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn) =n∏i=1

f(xi;ϑ) ∀ϑεΘ .

Para uma amostra aleatoria simples de uma distribuicao beta a expressao da verossimilhanca

e a seguinte:

L(α, β;x1, ..., xn) =

[1

B(α, β)

]n [ n∏i=1

xi

]α−1 [ n∏i=1

(1− xi)

]β−1

, α, β > 0 . (31)

Os estimadores de maxima verossimilhanca α e β, sao aqueles que maximizam a funcao de

verossimilhanca dada qualquer realizacao da amostra, isto e, tal que:

L(α, β;x1, ..., xn) ≥ L(α, β;x1, ..., xn) ∀α, β > 0 .

31

Da mesma forma, serao aqueles que maximizem o logarıtmo da funcao da verossimilhanca

` = lnL(α, β;x1, ..., xn)

= −n lnB(α, β) + (β − 1)n∑i=1

ln(xi) + (β − 1)n∑i=1

ln(1− xi)

= −n ln Γ(α)− n ln Γ(β) + n ln Γ(α + β) + (α− 1)n∑i=1

ln(xi) + (β − 1)n∑i=1

ln(1− xi) .

(32)

Derivando ` em relacao a cada um dos parametros, e igualando a zero as derivadas parciais

obtem-se o sistema de equacoes

∂

∂α` = −n

dΓ(α)dα

Γ(α)+ n

dΓ(α+β)dα

Γ(α + β)+

n∑i=1

ln(xi) = 0 ,

∂

∂β` = −n

dΓ(β)dβ

Γ(β)+ n

dΓ(α+β)dβ

Γ(α + β)+

n∑i=1

ln(1− xi) = 0 .

Chamando Ψ(.) = dlnΓ(.)d.

=dΓ(.)d.

Γ(.)funcao digamma temos o sistema:

−nΨ(α) + nΨ(α + β) +n∑i=1

ln(xi) = 0 , (33)

−nΨ(β) + nΨ(α + β) +n∑i=1

ln(1− xi) = 0 . (34)

Sistema de equacoes nao lineares cuja solucao por meio do metodo iterativo de Newton,

proporciona de forma aproximada os estimadores de maxima verossimilhanca da seguinte

maneira:

Definem-se as seguintes funcoes:

f(α, β) = Ψ(α)−Ψ(α + β)− 1

n

n∑i=1

ln(xi)

32

e g(α, β) = Ψ(β)−Ψ(α + β)− 1

n

n∑i=1

ln(1− xi) .

Resolver o sistema de equacoes (33) e (34) e equivalente a achar a solucao do sistema,

f(α, β) = 0

g(α, β) = 0 ,

solucao que obtem-se iterando em α e β de acordo as expressoes,

α(n+1) = α(n) + δ

e β(n+1) = β(n) + ξ ,

sendo δ e ξ as solucoes do sistema aproximado de equacoes lineares (regra de Cramer),

fα(α(n), β(n))δ + fβ(α(n), β(n))ξ = −f(α(n), β(n))

e gα(α(n), β(n))δ + gβ(α(n), β(n))ξ = −g(α(n), β(n)) ,

ou seja,

δ =gfβ − fgβfαgβ − fβgα

e ξ =fgα − gfαfαgβ − fβgα

,

33

sendo, fα, fβ, gα, gβ as derivadas parciais de f(α, β) e g(α, β) em relacao a α e β.

Como valores iniciais α(0) e β(0) toma-se a solucao aproximada proposta em Johnson

e Kotz (1970) para os estimadores de maxima verossimilhanca segundo as seguintes ex-

pressoes:

α0 ≈12

[1−

∏ni=1(1− xi)

1n

]1− [

∏ni=1 xi]

1n −

∏ni=1(1− xi)

1n

e β0 ≈12

[1− [

∏ni=1 xi]

1n

]1− [

∏ni=1 xi]

1n −

∏ni=1(1− xi)

1n

.

2.1.4.4 Estimativas de Maxima Verossimilhanca da Distribuicao Weibull

Fazendo: α = ξo , β = α e m = c e considerando α = ξo conhecido e c

desconhecido, deve-se entao estimar ambos. Tendo uma amostra aleatoria de tamanho n

com distribuicao Weibull de dois parametros cuja funcao de densidade de probabilidade e

dada por: (JOHNSON & KOTZ, 1994).

f(x) =c

α

(xα

)c−1

e−(x/α)c , x > 0,

os estimadores de maxima verossimilhanca c e α de c e α, respectivamente, satisfazem as

seguintes equacoes

α =

{1

n

n∑i=1

xci

} 1c

(35)

e

34

c =

{ n∑i=1

xci ln(xi)

}{n∑i=1

xci

}−1

− 1

n

n∑i=1

ln(xi)

−1

. (36)

Se ξo e diferente de zero, entao cada um dos xi deve ser trocado por (xi − ξo) na

equacao acima. O valor de c deve ser obtido da equacao (36) e depois deve-se obter α.

Se c e desconhecido, usa-se c, entao α da equacao (35) pode ser o estimador de maxima

verossimilhanca de α.

Se o parametro ξo e tambem desconhecido, entao as estimativas de maxima verossim-

ilhanca de c, α e ξo serao obtidas de:

α =

{1

n

n∑i=1

(xi − ξo)c} 1

c

,

c =

{ n∑i=1

(xi − ξo)c ln(xi − ξo)

}{n∑i=1

(xi − ξo)c}−1

− 1

n

n∑i=1

ln(xi − ξo)

−1

e

(c− 1)n∑i=1

(xi − ξo)−1 = cα−cn∑i=1

(xi − ξo)c−1 .

Assumindo a reparametrizacao para o desenvolvimento da funcao de verossimilhanca

tem-se que ela vai ser obtida de:

35

L(θ) =n∏i=1

α

βαxα−1i e−(xi/β)α

=α

βαxα−1i e−(xi

α/βα)

=

(α

βα

)n n∏i=1

xα−1i e−

∑ni=1

xαiβα

=

(α

βα

)n n∏i=1

xα−1i e−

1βα∑ni=1 x

αi .

(37)

O logaritmo da funcao de verossimilhanca e dado por

L(θ) = ln(L(θ)) = ln

(α

βα

)n+ ln

(n∏i=1

xαi

)+ ln

[e−

1βα∑ni=1 x

αi

]= n[ln(α)− α ln(β)] + (α− 1)

n∑i=1

ln(xi)−1

βα

n∑i=1

x2i .

(38)

2.1.5 Criterio de Akaike (AIC) e Criterio Bayesiano (BIC)

O criterio de informacao de Akaike e uma estatıstica frequentemente utilizada

para a escolha da especificacao otima de uma equacao de regressao no caso de alternativas

nao aninhadas. Quando se quer decidir entre dois modelos, o melhor e o que produz o menor

valor do criterio de Akaike.

O AIC e definido como:

AIC = −2 ∗ lnLikelihood+ k ∗ n◦Par k=2

36

O BIC faz a comparacao entre os logaritmos da funcao de verossimilhanca, levando

em consideracao a complexidade do modelo no criterio de selecao. A escolha do melhor

modelo tambem se faz pelo menor valor do BIC.

O BIC e definido como:

BIC = −2 ∗ lnLikelihood+ n◦Par ∗ ln(n◦Obs)

em que:

lnLikelihood: logaritmo da funcao de verossimilhanca, n◦Par: numero de parametros

e ln(n◦Obs): logaritmo do numero de observacoes.

2.1.6 Estatıstica nao parametrica

Um teste nao parametrico e aquele cujo modelo nao especifica condicoes sobre

a distribuicao da populacao da qual a amostra foi obtida. Mesmo quando existem certas

pressuposicoes, estas sao mais brandas do que aquelas associadas aos testes parametricos

(CAMPOS, 1983).

Algumas razoes para seu uso:

• Em geral, as probabilidades das afirmativas sao exatas, salvo quando se usam apro-

ximacoes para grandes amostras.

• Independem da populacao da qual a amostra foi obtida.

• Sao, em geral, de mais facil aplicacao e exigem, quase sempre, menor volume de calculos.

• Existem testes nao parametricos que permitem trabalhar com dados de diferentes po-

pulacoes, o que nao e possıvel com os parametricos.

• Sao uteis nos casos em que e difıcil estabelecer uma escala de valores quantitativos para

os dados.

• Sao mais eficientes do que os testes parametricos, quando os dados da populacao nao tem

distribuicao normal. E, quando a populacao e normalmente distribuıda, sua eficiencia,

em alguns casos, e levemente inferior a dos seus competidores.

37

Algumas restricoes ao seu uso:

• Em geral nao levam em consideracao a magnitude dos dados. E muito comum transfor-

mar os dados observados em simples ordens ou sinais. Em muitos casos isso se traduz

num desperdıcio de informacoes.

• Quando todas as exigencias do modelo estatıstico sao satisfeitas, o teste parametrico

e mais poderoso. Para se obter a mesma eficiencia deve-se aumentar o tamanho da

amostra para o teste nao parametrico.

• Em geral, nao permite testar interacoes, salvo sob condicoes especiais sobre aditividade.

Isso restringe o seu uso em modelos mais complicados.

• A obtencao, utilizacao e interpretacao das tabelas sao em geral mais complexas.

2.1.7 Teste de Aderencia

Uma hipotese estatıstica se define como uma afirmacao acerca da distribuicao

f(x, θ) de uma ou mais variaveis aleatorias. A distribuicao pode ter um ou mais parametros

desconhecidos ao qual a hipotese se relaciona. Em muitos outros casos se desconhece por

completo a forma da distribuicao e a hipotese se relaciona com uma distribuicao especıfica

f(x, θ) que possa ser ajustada ao conjunto de dados da amostra.

Os testes de aderencia sao metodos estatısticos para avaliar se uma populacao es-

pecıfica se ajusta a uma variavel aleatoria em particular, seguindo uma distribuicao de

probabilidade exponencial, normal, lognormal, etc, que modele a incerteza associada a essa

variavel. Pode-se com isso, fazer previsoes sobre o comportamento de algumas variaveis de

interesse. Tal teste e uma particularidade do teste de hipotese (DEGROOT, 2002), no qual

a hipotese nula e que a populacao segue uma determinada distribuicao.

Uma vez estabelecido que tipo de distribuicao a populacao possui, e os parametros

que a identificam, pode-se aplicar um teste de aderencia para fazer um julgamento probabi-

lıstico sobre essa escolha. Dentre os testes de aderencia mais utilizados destaca-se o teste de

38

Kolmogorov-Smirnov (K-S) que e facilmente encontrado na literatura e atende as condicoes

necessarias para analises de confiabilidade (SOUSA et al., 1997).

2.1.7.1 Teste de Kolmogorov - Smirnov

Este teste foi introduzido por KOLMOGOROV (1933) para adaptacao de uma

especifica e bem conhecida distribuicao F (X), a dados provenientes de uma distribuicao

desconhecida Fo(X) (CAMPOS, 1983).

A hipotese de nulidade especıfica alguma distribuicao F (X). Uma amostra x1, x2, ..., xn

e retirada de uma populacao cuja distribuicao Fo(X) e desconhecida, estabelecendo se o

confronto com F (X) para verificar se e razoavel estudar os dados por meio desta, admitida

como a verdadeira funcao de distribuicao da amostra casualizada.

Sua vantagem sobre o teste de χ2 e que ele pode ser aplicado, sem restricao, para pe-

quenas amostras, alem disso, ele trata dados individualmente, nao perdendo informacoes

devido a agrupamentos.

Quando as observacoes estao estruturadas numa distribuicao de frequencias cada classe i e

representada por um intervalo, considerando o ponto medio como representativo da classe

Os passos do teste sao:

Passo 1: Formulacao das hipoteses

Ho: A caracterıstica em estudo da populacao ou os erros (desvios) segue a distribuicao.

H1: A caracterıstica em estudo da populacao ou os erros (desvios) nao segue a distribuicao.

Passo 2 : Escolha do nıvel de significancia (α)

Passo 3 : Estatıstica apropriada

39

A estatıstica apropriada do teste e baseada na maior diferenca absoluta entre a funcao

de distribuicao normal acumulada, F (xi), e a frequencia relativa observada acumulada e

ajustada, F0,5 As expressoes encontram-se a seguir:

Dmax = gmax +1

2n, (39)

em que gmax e o maior valor calculado de g e n e o tamanho da amostra ou numero de parcelas,

gmax = |F (xi)− F0,5| e

F0,5 =(i− 0, 5)

n,

F (xi) e a funcao de distribuicao normal acumulada, (F0,5) e a frequencia relativa observada

acumulada e ajustada, i e o numero da amostra e n e o tamanho da amostra ou numero de

parcelas.

Passo 4: Conclusao

Para n ≤ 100, quando o valor Dmax for maior que o valor crıtico tabelado Dt(Dmax > Dt),

para um tamanho de amostra n, δ = 0, 5 e significancia α, a hipotese Ho e rejeitada e

conclui-se que a caracterıstica da populacao nao segue a distribuicao em estudo. Por outro

lado, se Dmax for menor que o valor crıtico tabelado (Dmax < Dt), a hipotese Ho nao e

rejeitada e conclui-se que a caracterıstica em estudo da populacao segue a distribuicao testada.

Para n > 100, o valor crıtico Dt e obtido diretamente da expressao, sem o auxilio da

tabela.

Dt =

√− ln(1

2α)

2n,

40

em que ln e o logaritmo natural, α e a significancia estabelecida e n e o tamanho da amostra

ou numero de parcelas.

2.1.7.2 Teste de Lilliefors

O teste de Kolmogorov-Smirnov admite uma funcao de distribuicao especıfica,

com media e variancia conhecidas. Para se testar normalidade, LILLIEFORS (1967) intro-

duziu uma modificacao no teste de Kolmogorov-Smirnov ampliando o seu uso aos casos em

que a media e a variancia nao sao previamente especificadas, mas estimadas por meio da

amostra, ou seja: (CAMPOS, 1983)

m =

∑ni=1 xin

,

s2 =

∑ni=1(xi − m)2

n− 1,

e obtendo a variavel reduzida

Zi =xi − ms

, i = 1, 2, ..., n .

Estrutura-se o teste, analogamente ao de Kolmogorov-Smirnov, a partir dos Zi, ao inves da

variavel original.

Cumpre observar que, muitas vezes a amostra nao tem distribuicao normal, mas pode-se

verificar, por meio do teste de normalidade, se seria razoavel estudar os dados por meio

da distribuicao normal, admitida como nao discrepante da verdadeira distribuicao que nos

e desconhecida; isto e, as diferencas entre a funcao de distribuicao normal e a verdadeira

funcao de distribuicao sao significativas e consequentemente nao detectaveis.

41

Em outras palavras, a nao rejeicao de Ho nao significa que a distribuicao padrao seja

normal, mas apenas nos indica que esta e uma razoavel aproximacao da distribuicao

desconhecida.

2.1.7.3 Teste de Cramer-von Mises

O teste de Cramer-von Mises tem os mesmos objetivos do teste bilateral de

Kolmogorov-Smirnov (CAMPOS, 1983).

Dados x1, x2, ..., xn, associados a uma funcao de distribuicao desconhecida Fo(X), as

estatısticas de ordem x(1), x(2), ..., x(n), sao obtidas

Admitindo-se uma funcao de distribuicao contınua F (X), as hipoteses sao

Ho : F ≡ Fo

Hα : F 6= Fo , para algum valor de X .

Definimos:

D1 =1

12n+

n∑i=1

{F [x(i)]− 2i− 1

2n

}2

(40)

em que 2i−12n

e a media de S[x(i−1)] e S[x(i)], ou seja,

1

2

(i− 1

n+i

n

)=

2i− 1

2n.

para testar

Ho : F ≡ Fo vs Hα : F 6= Fo .

Rejeita-se Ho quando D1 ≥ dα, em que:

Po[D1 ≥ dα] = α .

42

2.1.7.4 Teste de Anderson-Darling

Segundo Martinez-Espinosa, 2004 para confirmar a aderencia grafica, alguns

testes de hipoteses nao parametricos podem ser utilizados. Estes testes consideram a forma

da distribuicao da populacao em lugar dos parametros. As medidas de ajuste de aderencia

dependem do metodo de estimacao utilizado, sendo o teste de Anderson-Darling usual para

os metodos de maxima verossimilhanca e mınimos quadrados. E uma medida da proximidade

dos pontos e da reta estimada no grafico de probabilidade. O teste de Anderson-Darling tem

a vantagem de ser mais sensıvel que os testes Chi-quadrado e Kolmogorov-Smirnov, pois da

mais peso aos pontos das caudas da distribuicao. Assim valores pequenos da estatıstica de

Anderson-Darling indicam que a distribuicao se ajusta melhor aos dados (STEPHENS, 1974).

O teste de Anderson-Darling e amplamente utilizado, e tem boas propriedades de potencia.

A distribuicao da estatıstica de ensaio e complicada, mesmo assintoticamente, mas tem sido

estudada por uma serie de autores. Anderson e Darling (1954, p. 766) calcularam os pontos

crıticos assintoticamente aos nıveis de significancia de 1%, 5% e 10%. Lewis (1961) usa uma

aproximacao empırica para a distribuicao de amostras finitas, baseado na simulacao Monte

Carlo e oferece amplas tabelas de pontos crıticos. Ele tambem usa a integracao numerica

Hermite-Gauss para avaliar assintoticamente os pontos crıticos, que prorroga o resultado de

Anderson e Darling (1954). Sinclair e Spurr (1988) derivam os quatro primeiros cumulantes

assintoticos da distribuicao para a estatıstica Anderson-Darling e assim, proporcionam

uma aproximacao teorica para esta distribuicao baseada em Zolotarev’s (1961), sobre os

resultados limitando distribuicoes de formas quadraticas. A sua aproximacao funciona bem

na cauda superior da distribuicao, mas e bastante pobre na cauda inferior. Em particular,

ela retorna areas superiores a uma unidade bastante ao longo do intervalo de valores crıticos

(GILES, 2000).

Procedimento do teste

Para estabelecer um criterio de rejeicao ou nao rejeicao do modelo (distribuicao de

43

probabilidade), sao formuladas as seguintes hipoteses:Ho : X segue uma determinada distribuicao de probabilidade

H1 : X nao segue esta distribuicao de probabilidade .

A estatıstica do teste e dada por

A2 = −n−n∑i=1

(2i− 1)

nln[F (xi) + ln(1− F (xn+1−i))] , (41)

em que F e a funcao de distribuicao acumulada da distribuicao especificada en Ho . Os valores

crıticos ou de rejeicao para o teste de Anderson-Darling dependem da distribuicao especıfica

que esta sendo testada. O teste de Anderson-Darling e um teste unicaudal e a hipotese nula

(Ho) e rejeitada se o teste estatıstico fornecer valor superior ao crıtico. Cabe observar que

este teste pode ser ajustado (pode ser multiplicado por uma constante, a qual usualmente

depende do tamanho da amostra (n)).

2.1.8 Modelagem Probabilıstica para o tamanho de partıcula

A dimensao das partıculas tenta determinar as reais frequencias da distribuicao

de partıculas de acordo com o tamanho (IRANI & CALLIS, 1963). Devido a grande

variedade de partıculas analisadas e aos diversos tipos de tecnicas de peneiracao empregadas,

tem se obtido varias formas de distribuicao para o tamanho da partıcula (KONONOFF et

al., 2003).

Existem varias contribuicoes que tentam diminuir a dificuldade mencionada de achar

a distribuicao de probabilidade que melhor explica essa variavel. Finner et al. (1978)

descreveram um metodo de peneiramento baseado em uma distribuicao log-normal, que foi

posteriormente adotada pela American Society of Engineers, para a descricao de tamanho de

partıcula de forragem (ASAE, 2001). Smith et al. (1984) determinaram que uma distribuicao

exponencial poderia ser melhor em dados de alfafa, silagens erva e milho. Fisher et al.

(1987) encontraram uma distribuicao exponencial para a dimensao das partıculas da digesta

44

de dados de pasto de gado bermudagrass e Allen et al. ( 1984) relatam que uma distribuicao

gama e bem melhor e que foi mais rigorosa que a distribuicao log-normal na descricao de feno.

Por ultimo, a descricao original da PSPS (Penn State Particle Separator) recomendou

a distribuicao Weibull ao inves de uma distribuicao log-normal porque graficamente foram

mais lineares e os dados nao requerem transformacao, simplificando assim analise e inter-

pretacao (LAMMERS et al., 1996). A utilizacao de uma distribuicao Weibull concorda com

a resposta obtida por Pitt (1987).(KONONOFF et al., 2003).

2.1.9 Amostragem Aleatoria Simples

Amostragem Aleatoria Simples (AAS) e o metodo mais simples e mais

importante para a selecao de uma amostra. Alem de servir como um plano proprio, o

seu procedimento e usado de modo repetido em procedimentos de multiplos estagios. Ele

pode ser caracterizado atraves da definicao operacional: ”De uma lista com N unidades

elementares, sorteiam-se com igual probabilidade n unidades”(BOLFARINE & BUSSAB,

2005). Na pratica uma amostra aleatoria simples e extraıda da seguinte forma:

Enumeram-se as unidades da populacao de 1 ate N e por meio de uma tabela de

numeros aleatorios ou colocando os numeros de 1 ate N numa urna, extraem-se sucessiva-

mente n numeros. As unidades que levam estes numeros constituem a amostra.

O metodo deve verificar que em qualquer fase da obtencao da amostra cada indivıduo

que nao tenha sido selecionado previamente, tem a mesma probabilidade de ser sorteado.

Na amostragem aleatoria simples, cada uma das CnN amostras tem igual possibilidade

de ser obtida.

Quando tira-se um numero de uma urna e este nao e reposto, a amostragem e des-

crita como sem reposicao, no caso contrario a amostragem e dita com reposicao. A

45

amostragem com reposicao e totalmente factıvel, porem raramente e usada, ja que nao ha a

conveniencia de ter o mesmo indivıduo duas vezes na mesma amostra.

Para o dimensionamento da amostra precisamos conhecer a variancia da populacao ou

sua estimativa e o grau de precisao.

Sabe-se que:

S(y) =

√N − nN

S√n

,

em que N = tamanho da populacao, n = tamanho da amostra e S = desvio padrao

Para uma populacao infinita tem-se que

y ± tαS(y)⇒ y ± tαS√no︸︷︷︸

d

⇒ y ± d

d =tS√no

(42)

no =t2S2

d2

e para uma populacao finita

y ± tαS(y)⇒ y ± tα

√N − nN

S√n︸︷︷︸

d

d =tS√n

√N − nN

(43)

46

igualando (42) e (43) tem-se

tS√no

=tS√n

√N − nN

isolando n ficaria:

n =no

1 + noN

(44)

Quando a populacao e infinita tem-se

N − nN

' 1

en ' no

n para populacao finita e no para populacao infinita.

Geralmente a amostra e dimensionada para populacao infinita (no) e depois e cor-

regida para populacao finita (n). Se o valor de no for inferior a 5% da populacao e necessario

fazer a correcao dada na equacao (44).

Sem erros grosseiros para α = 5% podemos usar t = 2 ou seja t = 1, 96.

Se S2 nao e conhecido pode-se usar s2.

O valor d pode ser fixado ou tomado como uma fracao da estimativa da media.

47

2.2 Material e Metodos

2.2.1 Especie Vegetal

Foi utilizado o capim-Marandu que, de acordo com Cronquist (1988)1 classifica-

se como pertenecente a divisao Magnoliophyta; a classe Liliopsida; a subclasse Commelinidae;

a ordem Cyperales; a famılia Poaceae; a subfamılia Panicoideae; a tribo Panicodae; a subtribo

Paniaceae; ao genero Urochloa; a especie Urochloa brizantha (Hochst. ex A. Rich.) Webster;

a variedade Urochloa brizantha (Hochst. ex A. Rich.) Webster var Marandu (MARI, 2003).

2.2.2 Local e data do experimento

O experimento foi conduzido em area localizada com as coordenadas geograficas

aproximadas de 22◦ 42´ de latitude sul, 47◦ 38´ de longitude oeste e altitude de 546 m,

pertencente ao Departamento de Aviacao Civil (DAC) do estado de Sao Paulo e utilizada

sob concessao ao Departamento de Producao Animal - Setor Ruminantes, USP/ESALQ, em

Piracicaba, SP (MARI, 2003).

2.2.3 Delineamento experimental e tratamentos

O experimento foi realizado seguindo o delineamento de blocos completos ca-

sualizados, com quatro repeticoes. Os tratamentos corresponderam a cinco intervalos entre

cortes de 15, 30, 45, 60 e 90 dias de crescimento vegetativo, T1, T2, T3, T4 e T5 respectiva-

mente. O experimento apresentou um total de 20 parcelas (4 blocos x 5 tratamentos) (MARI,

2003).

2.2.4 Analise estatıstica dos dados

As distribuicoes de probabilidade avaliadas para as analises foram a normal, a

gama,a beta e a Weibull.

Inicialmente foram feitos histogramas para o conjunto de dados tentando ver o com-

portamento da variavel e o tipo de distribuicao que ela poderia possivelmente ter.

1CRONQUIST,A. The evolution and classification of flowering plants. New York: New York

Botanical Gardens, 1988. 555 p.

48

A analise exploratoria foi aplicada aos dados agrupados.

Para verificar se as amostras procediam de uma determinada distribuicao de probabi-

lidade, foram usados os testes de hipoteses nao parametricos como Kolmogorov-Smirnov,

Lilliefors, Cramer-von Mises e Anderson-Darling.

A partir da informacao amostral, foram analisadas as possibilidades de que os dados

disponıveis viessem de uma distribuicao associada a um modelo teorico, o qual foi proposto

como hipoteses de partida. Verificou-se a existencia de evidencia empırica suficiente para

rejeitar ou nao a hipotese nula frente a alternativa.

O contraste foi formado por duas hipoteses:

Ho : Os valores sao Variaveis Aleatorias (IID) com uma funcao de distribuicao teorica F (x)

Ha : Os valores sao Variaveis Aleatorias (IID) com uma funcao de distribuicao teorica 6= F (x)

Estimaram-se os parametros para cada um dos blocos e dos tratamentos do conjunto

de dados de acordo com as distribuicoes de probabilidade testadas e foram feitas simulacoes

a partir das estimativas dos parametros para avaliar o comportamento da probabilidade

quando se tem diferentes tamanhos de amostras e seus correspondentes resultados para os

testes nao parametricos.

Para cada um dos tratamentos e dos blocos, considerou-se o logaritmo da funcao de

verossimilhanca com o objetivo de obter o modelo de probabilidade que melhor explica o

comportamento dos dados, usaram-se tambem os criterios de Akaike (AIC) e Bayesiano

(BIC) para suportar a escolha do modelo com o melhor ajuste.

Tambem foram estimados e comparados os parametros para o conjunto total de dados

com cada uma das distribuicoes, graficamente mediante as curvas de probabilidade propostas.

49

Realizaram-se algumas simulacoes das distribuicoes de probabilidade testadas a partir

das estimativas dos parametros com a finalidade de observar o comportamento delas para

diferentes valores e com diferente numero de repeticoes.

Foi feito um dimensionamento dos dados por meio da Amostragem Aleatoria Simples

(AAS) para os cinco tratamentos, variando o grau de precisao (d). Os valores dos graus

testados foram 0,1 , 0,3 e 0,5.

Neste trabalho os dados foram analisados usando os softwares Excel, R e SAS.

50

2.3 Resultados e discussao

As estatısticas descritivas para a variavel tamanho de partıcula estao apresen-

tadas na Tabela 1.

Tabela 1 - Estatısticas descritivas para tamanho de partıcula

Estatısticas EstimativaMedia 34,29

Mediana 39,39Desvio padrao 12,446

Variancia 154,927Curtose -0,211

Assimetria 0,999Amplitude 78

Mınimo 2Maximo 80

A media e a mediana da variavel apresentam valores nao muito proximos, 34,29 e 39,39

respectivamente, o que levaria a pensar que nao se trata de uma distribuicao simetrica. O

valor positivo da assimetria indica que existe uma maior concentracao de valores a direita da

media. O valor negativo da curtose indica uma distribuicao platicurtica, ou seja, com uma

reduzida concentracao ao redor dos valores centrais da distribuicao, este comportamento da

curva pode indicar que a assimetria pode ter sido afetada por valores extremos.

Figura 1 - Histograma para toda amostra da variavel tamanho de partıcula

51

Figura 2 - Diagrama de ramos e folhas, box-plot e probabilidade normal

O histograma mostra uma distribuicao assimetrica dos dados, o diagrama de ramos e folhas

dos resıduos mostra tambem a assimetria vista no histograma e no grafico de probabilidade,

no qual pode-se observar alguns pontos discordantes da linha de normalidade.

Os resultados dos testes de normalidade de Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von

Mises e Anderson-Darling, dados na Tabela 2, foram semelhantes entre si para a variavel

em estudo. O P-valor foi menor que o α de (0,05) o que levou a rejeitar a hipotese de

normalidade nos dados.

Tabela 2 - Testes de normalidade

Teste Estatıstica P-ValorShapiro-Wilk 0,852371 <0,0001Kolmogorov-Smirnov 0,18667 <0,0100Cramer-von Mises 0,694829 <0,0050Anderson-Darling 4,139857 <0,0050

Os histogramas feitos por tratamento (T) e por bloco (B), apresentados na Figura 3, mostram

que existe uma concentracao maior dos dados na cauda direita da distribuicao, indicando

uma assimetria negativa. A distribuicao contınua beta pode ter este tipo de comportamento.

Os parametros estimados para cada sub-amostra por tratamento, por bloco e con-

siderando a totalidade dos dados na amostra foram resumidos na Tabela 3.

52

Tabela 3 - Estimativas dos parametros distribuicoes normal, gama, beta e Weibull

DIST.NORMAL DIST.GAMA DIST.BETA DIST.WEIBULL

TRAT/BLOCO X s2 α β α β α βT1B1 0,5140 0,0364 5,1277 0,1002 3,0181 2,8534 1,0700 0,2571T1B2 0,5541 0,0632 3,4441 0,1609 1,6119 1,2969 1,9913 0,2809T1B3 0,6071 0,0632 4,0076 0,1515 1,6850 1,0903 1,6495 0,2768T1B4 0,6258 0,0672 3,8895 0,1609 1,5546 0,9296 1,5876 0,2763T2B1 0,6629 0,0695 3,9199 0,1691 1,4697 0,7472 1,3366 0,2720T2B2 0,6258 0,0672 3,8895 0,1609 1,5546 0,9296 1,5876 0,2763T2B3 0,6628 0,0657 4,1192 0,1609 1,5907 0,8094 1,3537 0,2723T2B4 0,6688 0,0627 4,3191 0,1548 1,6924 0,8381 1,3154 0,2710T3B1 0,6443 0,0668 3,9888 0,1615 1,5657 0,8644 1,4669 0,2748T3B2 0,6876 0,0682 4,0583 0,1694 1,4784 0,6716 1,1950 0,2662T3B3 0,7653 0,0489 6,3789 0,1200 2,0456 0,6272 0,8237 0,2230T3B4 0,7838 0,0433 7,1347 0,1099 2,2804 0,6289 0,7695 0,2102T4B1 0,7342 0,0505 6,2191 0,1181 2,1045 0,7617 0,9301 0,2417T4B2 0,7652 0,0452 6,9392 0,1103 2,2760 0,6985 0,8336 0,2254T4B3 0,7529 0,0498 6,2984 0,1195 2,0621 0,6768 0,8697 0,2321T4B4 0,7282 0,0543 5,7533 0,1266 1,9283 0,7197 0,9493 0,2442T5B1 0,7467 0,0501 6,2665 0,1192 2,0738 0,7036 0,8908 0,2357T5B2 0,7527 0,0461 6,8441 0,1100 2,2886 0,7518 0,8697 0,2324T5B3 0,7529 0,0498 6,2984 0,1195 2,0621 0,6768 0,8697 0,2748T5B4 0,6812 0,0640 4,2851 0,1590 1,6312 0,7632 1,2505 0,2687

TOTAL 0,25 0,22 1,1 0,22 0,84 2,45 1,06 0,25

As estimativas obtidas para a media (X) na distribuicao normal indicam que o tamanho

medio de partıcula encontra-se num intervalo entre 25,7012 e 39,1911 milımetros, com

respeito as variancias (s2) , dao valores muito proximos entre as sub-amostras.

Para a distribuicao gama o parametro de forma α, apresenta valores pequenos, o que

levaria a uma distribuicao assimetrica, lembrando que quando α tende para infinito a

distribuicao gama tende a ser simetrica. Com respeito ao parametro de escala β, as estima-

tivas encontram-se entre 0,10 e 0,16 mostrando uma certa similaridade entre as sub-amostras.

As estimativas dos parametros para a distribuicao beta indicam que segundo os valo-

res obtidos de α, os quais foram maiores do que um, e os valores obtidos para β menores

do que um, as distribuicoes tem a forma de J , ratificando os graficos dos histogramas feitos

anteriormente. Os valores de α e β nao sao iguais, o que induz mais uma vez a assimetria

na distribuicao.

Os parametros de forma (α) e escala (β) correspondentes a distribuicao Weibull para

as distintas funcoes de densidade de probabilidade estimadas, mostrando que as estimativas

para o parametro de escala tem uma variabilidade menor que para as estimativas do

53

parametro de forma.

O parametro de forma indica o nıvel de curtose, obtendo-se estimacoes com carac-

terısticas platicurticas, resposta que concorda com a curtose negativa obtida anteriormente.

Os graficos das distribuicoes de probabilidade a partir dos parametros estimados mostraram

um bom ajuste aos histogramas com a distribuicao beta (linha da cor vermelha), a maioria

dos valores concentram-se na cauda direita da distribuicao e as estimativas obtidas e

representadas nas curvas de probabilidade tem um comportamento similar ao ajuste dos

histogramas com as linhas de probabilidade. Veja Figura 3. T1(a)T2 (b) T3 (c) T4 (d) T5

(e).

(continua)

(a)

Figura 3 - Ajuste grafico das curvas de probabilidade aos histogramas

54

(continuacao)

(b)

(c)


55

(conclusao)

(d)

(e)


56

Segundo a Tabela 4, os testes de aderencia de Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises e

Chi-quadrado (χ2) mostraram que para cada um dos blocos e dos tratamentos teve-se um

bom ajuste dos dados as distribuicoes gama, beta e Weibull. Os testes de Kolmogorov-

Smirnov e Cramer-von Mises nao rejeitaram na totalidade as hipoteses nulas, o que indica

que cada sub-amostra pode ser descrita por cada uma das distribuicoes testadas. Com

relacao ao teste χ2, encontraram-se alguns poucos casos nos quais a distribuicao gama e

Weibull nao explicavam o conjunto de dados, mais exatamente para o tratamento 1 e bloco

3 (T1B3), para o tratamento 3 e bloco 3 (T3B3) e tratamento 3 e bloco 4 (T3B4).

Tabela 4 - Testes de aderencia por Tratamentos

TRAT/BLOCO GAMA BETA WEIBULL

K − S Cv −M χ2 K − S Cv −M χ2 K − S Cv −M χ2

T1B1 > 0, 250 > 0, 250 0,357 > 0, 250 > 0, 250 0,616 > 0, 250 > 0, 250 0,376T1B2 > 0, 250 > 0, 250 0,592 > 0, 250 > 0, 250 0,703 > 0, 250 > 0, 250 0,607T1B3 > 0, 250 > 0, 250 0,093 > 0, 250 > 0, 250 0,036 > 0, 250 > 0, 250 0,040T1B4 > 0, 250 > 0, 250 0,528 > 0, 250 > 0, 250 0,650 > 0, 250 > 0, 250 0,542T2B1 > 0, 250 > 0, 250 0,223 > 0, 250 > 0, 250 0,297 > 0, 250 > 0, 250 0,231T2B2 > 0, 250 > 0, 250 0,528 > 0, 250 > 0, 250 0,650 > 0, 250 > 0, 250 0,542T2B3 > 0, 250 > 0, 250 0,413 > 0, 250 > 0, 250 0,604 > 0, 250 > 0, 250 0,430T2B4 > 0, 250 > 0, 250 0,465 > 0, 250 > 0, 250 0,659 > 0, 250 > 0, 250 0,482T3B1 > 0, 250 > 0, 250 0,413 > 0, 250 > 0, 250 0,604 > 0, 250 > 0, 250 0,430T3B2 > 0, 250 > 0, 250 0,140 > 0, 250 > 0, 250 0,261 > 0, 250 > 0, 250 0,150T3B3 > 0, 250 > 0, 250 0,019 > 0, 250 > 0, 250 0,056 > 0, 250 > 0, 250 0,022T3B4 > 0, 250 > 0, 250 0,019 > 0, 250 > 0, 250 0,056 > 0, 250 > 0, 250 0,022T4B1 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T4B2 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T4B3 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T4B4 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T5B1 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T5B2 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T5B3 > 0, 250 > 0, 250 0,154 > 0, 250 > 0, 250 0,409 > 0, 250 > 0, 250 0,169T5B4 > 0, 250 > 0, 250 0,295 > 0, 250 > 0, 250 0,559 > 0, 250 > 0, 250 0,314

Os resultados obtidos e representados na Tabela 5, para os dados totais apresentam um

comportamento muito semelhante no qual o comportamento dos dados pode se explicar por

uma distribuicao gama, beta ou Weibull, e confirmando mais uma vez que os dados nao tem

um comportamento normal.

Foram obtidas as funcoes de verossimilhanca e os valores correspondentes ao loga-

ritmo das funcoes das verossimilhancas, eles estao representados na Tabela 6.

57

Tabela 5 - Testes de aderencia para toda a amostra

DISTRIBUICAO NORMAL GAMATESTES K − S Cv −M A−D χ2 K − S Cv −M A−D χ2

P-valor 0,005 0,012 0,006 < 0, 001 > 0, 250 > 0, 250 > 0, 250 0,004

DISTRIBUICAO BETA WEIBULLTESTES K − S Cv −M A−D χ2 K − S Cv −M A−D χ2

P-valor > 0, 250 > 0, 250 > 0, 250 0,074 > 0, 250 > 0, 250 > 0, 250 0,006

Segundo os valores obtidos, a distribuicao que melhor explicaria o conjunto

de dados seria a Weibull, uma vez que apresenta o maior valor do logaritmo da funcao de

verossimilhanca. O valor dessa funcao para a distribuicao beta e o segundo melhor depois

do obtido pela Weibull. As distribuicoes gama e normal apresentaram valores bem mais

distantes.

Tabela 6 - Logaritmo funcao da verossimilhanca

TRAT/BLOCO NORMAL GAMA BETA WEIBULLT1B1 -1,5482 -46,1492 -14,4392 -3,2793T1B2 -2,9873 -23,1888 -4,9694 -15,6462T1B3 -4,2121 -29,8577 -4,6031 -10,0958T1B4 -4,4232 -28,5375 -2,9407 -9,1905T2B1 -5,4542 -29,1996 -1,4923 -6,0168T2B2 -4,4232 -28,5375 -2,9407 -9,1905T2B3 -5,6999 -31,3971 -2,6046 -6,2215T2B4 -6,1744 -33,7936 -3,4489 -5,7999T3B1 -5,0008 -29,7491 -2,6970 -7,5806T3B2 -6,4933 -31,1732 -1,1804 -4,5022T3B3 -13,8759 -65,4008 -5,7569 -0,8819T3B4 -17,1913 -77,6889 -8,0369 -0,3157T4B1 -11,1390 -61,0769 -6,7196 -1,9281T4B2 -14,7608 -72,7836 -8,0861 -0,9763T4B3 -12,6428 -63,1805 -6,0395 -1,3404T4B4 -10,1071 -54,6890 -5,0362 -2,1181T5B1 -12,0988 -62,3378 -6,2331 -1,5468T5B2 -13,4652 -70,6199 -8,3618 -1,3333T5B3 -12,6428 -63,1805 -6,0395 -1,3404T5B4 -6,5495 -33,5638 -2,6727 -5,0872

SOMATORIO -170,8898 -936,1051 -104,2986 -94,3915

Estes resultados concordam com os obtidos nos ajustes graficos. Considerando a totalidade

dos dados, as distribuicoes beta e Weibull representadas pelas linhas vermelha e verde,

respectivamente, na Figura 4, sao aquelas que descrevem melhor a populacao.

Para ter uma outra confirmacao da distribuicao, foram calculados os criterios AIC e

BIC, respectivamente. O AIC de 192,78 obtido para a distribuicao Weibull, o menor

58

encontrado para as quatro distribuicoes testadas, indicou-a como a de melhor ajuste. O BIC

de 188,78 tambem o menor obtido, corresponde novamente a distribuicao Weibull, de acordo

com a Tabela 7.

Figura 4 - Ajuste grafico das curvas de probabilidade ao histograma total

Tabela 7 - Criterio de Akaike (AIC) e criterio Bayesiano (BIC)

CRITERIO NORMAL GAMA BETA WEIBULLAIC 345,7795251 1876,210244 212,5972973 192,7829141BIC 341,7795251 1872,210244 208,5972973 188,7829141

Escolheu-se a distribuicao Weibull como a que explicou melhor o comportamento da variavel

tamanho de partıcula, por tal motivo foi estimada a esperanca matematica de X correspon-

dente ao valor medio, estimando assim um tamanho medio de partıcula de 24, 43 mm para a

totalidade dos dados e de 25, 27 mm, fazendo uma media ponderada das esperancas obtidas

por bloco por tratamento.

Os testes de ajuste de Anderson-Darling e Lilliefors feitos nas simulacoes, mostraram

que quando se tem valores de amostras pequenos A = 2, com n = 4 e 10 repeticoes

59

respectivamente, as distribuicoes testadas gama, beta e Weibull, ajustam-se bem aos dados,

segundo os parametros estimados. Quando o tamanho A se mantem mas se acrescentam as

repeticoes n = 100 e 1000, as distribuicoes nao apresentam bom ajuste aos dados.

Para os valores de A = 8, 50 e 100 e de n = 4, 10, 100 e 1000 repeticoes o ajuste das

distribuicoes assimetricas foi bem menor, o que explicaria que com maior tamanho amostral

a distribuicao tende a normalidade. Isto pode nos indicar que as estimativas dos parametros

obtidas das amostras pequenas foram boas e evidenciaram o verdadeiro comportamento dos

dados, e que pode ser confiavel quando se trabalha com pequenos tamanhos de amostras.

Os resultados do dimensionamento, Tabela 8, mostraram um tamanho medio de 6

amostras para cada um dos tratamentos testados com um grau de precisao de 0,5; ja com

um grau de precisao de 0,3 o tamanho de amostra deveria ser de 15 e finalmente com um

grau de precisao de 0,1 o tamanho vai para 139 amostras por tratamento, estes resultados

assumindo populacoes infinitas.

Tabela 8 - Dimensionamento mediante Amostragem Aleatoria Simples

d T1 T2 T3 T4 T50,5 5,72 6,41 5,78 4,83 5,140,3 15,89 17,81 16,06 13,41 14,280,1 143,05 160,26 144,51 120,69 128,49

Corrigindo o tamanho para uma populacao finita, Tabela 9, os resultados obtidos para

cada um dos graus testados nao mostraram uma grande variacao. Os tamanhos obtidos

respectivamente foram de 5, 15 e 103 amostras, observando que a maior diferenca obtida se

deu quando se corrigiu com um grau de precisao menor.

Tabela 9 - Dimensionamento corrigido para populacao Finita

d T1 T2 T3 T4 T50,5 5,64 6,31 5,70 4,77 5,070,3 15,29 17,05 15,44 12,97 13,780,1 105,37 114,42 106,16 92,71 97,25

60

3 CONCLUSOES

De acordo com os objetivos deste trabalho pode-se concluir:

• A variavel estudada tamanho de partıcula pode ser ajustada por uma distribuicao de

probabilidade assimetrica.

• A distribuicao normal nao e a melhor distribuicao para explicar o comportamento do

tamanho de partıcula de gramıneas forrageiras quando avalia-se qualidade da silagem

para uma adequada formulacao das racoes animais em condicoes tropicais.

• Os testes de Aderencia nao parametricos permitiram concluir que as distribuicoes gama,

beta e Weibull descrevem bem o conjunto de dados.

• Graficamente quando se analisam os dados por tratamento, a distribuicao beta e ade-

quada, porem, quando se analisam na totalidade tanto a beta quanto a Weibull apre-

sentam um bom comportamento.

• O ajuste segundo o logaritmo da funcao da verossimilhanca mostra que a distribuicao

Weibull e a mais adequada seguida pela beta.

• Pelos criterios de AIC e BIC a Weibull e a distribuicao que melhor descreve os dados.

• Utilizando-se a metodologia ASA no dimensionamento da amostra, o tamanho 6 e

suficiente, para descrever a distribuicao de probabilidade do tamanho de partıcula em

gramıneas forrageiras.

61

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66

ANEXOS

67

ANEXO A - Conjunto de dados do Experimento

Tabela 10 - Tamanho de partıcula para Capim-Marandu

Tratamento Bloco Peneira1(mm) Peneira2(mm) Porcentagem (%)T1 B1 0,01 7,8 4T1 B2 0,01 7,8 6T1 B3 0,01 7,8 4T1 B4 0,01 7,8 4T2 B1 0,01 7,8 4T2 B2 0,01 7,8 4T2 B3 0,01 7,8 4T2 B4 0,01 7,8 4T3 B1 0,01 7,8 4T3 B2 0,01 7,8 4T3 B3 0,01 7,8 2T3 B4 0,01 7,8 2T4 B1 0,01 7,8 2T4 B2 0,01 7,8 2T4 B3 0,01 7,8 2T4 B4 0,01 7,8 2T5 B1 0,01 7,8 2T5 B2 0,01 7,8 2T5 B3 0,01 7,8 2T5 B4 0,01 7,8 4T1 B1 7,8 18,9 22T1 B2 7,8 18,9 24T1 B3 7,8 18,9 20T1 B4 7,8 18,9 20T2 B1 7,8 18,9 18T2 B2 7,8 18,9 20T2 B3 7,8 18,9 16T2 B4 7,8 18,9 14T3 B1 7,8 18,9 18T3 B2 7,8 18,9 16T3 B3 7,8 18,9 10T3 B4 7,8 18,9 8T4 B1 7,8 18,9 10T4 B2 7,8 18,9 8T4 B3 7,8 18,9 10T4 B4 7,8 18,9 12T5 B1 7,8 18,9 10T5 B2 7,8 18,9 8T5 B3 7,8 18,9 10T5 B4 7,8 18,9 14T1 B1 18,9 38 64T1 B2 18,9 38 42T1 B3 18,9 38 38T1 B4 18,9 38 32T2 B1 18,9 38 24T2 B2 18,9 38 32T2 B3 18,9 38 28T2 B4 18,9 38 30T3 B1 18,9 38 30T3 B2 18,9 38 20T3 B3 18,9 38 12T3 B4 18,9 38 10T4 B1 18,9 38 22T4 B2 18,9 38 16T4 B3 18,9 38 16T4 B4 18,9 38 20T5 B1 18,9 38 18T5 B2 18,9 38 20T5 B3 18,9 38 16T5 B4 18,9 38 26T1 B1 38 50 10T1 B2 38 50 28T1 B3 38 50 38T1 B4 38 50 44T2 B1 38 50 54T2 B2 38 50 44T2 B3 38 50 52T2 B4 38 50 52T3 B1 38 50 48T3 B2 38 50 60T3 B3 38 50 76T3 B4 38 50 80T4 B1 38 50 66T4 B2 38 50 74T4 B3 38 50 72T4 B4 38 50 66T5 B1 38 50 70T5 B2 38 50 70T5 B3 38 50 72T5 B4 38 50 56

68

AN

EX

OB

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0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

68

40,0

541

0,2

581

0,0

1928

0,0

6147

0,0

2409

0,1

65

8,2

2E-0

41,6

9E-0

20,0

62443

0,0

7521

0,0

9892

0,4

66

10

5,6

3E-1

01,5

9E-0

67,7

0E-1

11,9

0E-0

53,2

0E-0

91,5

7E-0

31,0

4E-1

23,2

9E-1

04,1

8E-1

63,0

4E-0

51,1

0E-0

30,0

00104

100

2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

61000

NA

2,2

0E-1

6In

f2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

650

42,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

65,7

6E-1

22,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

66,3

5E-1

110

2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

6100

NA

2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

61000

NA

2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6100

42,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

64,2

6E-1

110

2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

6100

NA

2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6In

f2,2

0E-1

6In

f2,2

0E-1

6In

f2,2

0E-1

62,2

0E-1

62,2

0E-1

61000

NA

2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6N

A2,2

0E-1

6

71

ANEXO E - Programas utilizados nas analises dos dados. Software R

############ ANALIZANDO CADA CONJUNTO DE DADOS #############

rm(list=ls(all=TRUE))ls()

x<-read.csv(file="C:/Documents and Settings/HP/Mis documentos/CLAUDIA/ESALQ/2008/TESES/DADOS/Dados Gerson/dadosR1.csv",header=TRUE, sep=";")xstr(x)

####### HISTOGRAMAS DE FREQUENCIAS GERAIS #######

x1<- x[1:4,] ## T1B1 ##x1library(fBasics) ## PARA FAZER ASSIMETRIA E KURTOSIS ##skewness(x1$falha) ## COEF. DE ASSIMETRIA ##kurtosis(x1$falha) ## COEF. DE KURTOSIS ##par(mfrow=c(1,4))h1<-barplot(x1$falha,width=1,space = NULL, xlab=’Ponto Medio’,ylab=’Frequencia’,ylim= c(0,1),names.arg = c(0.0781,0.267,0.569,0.88),col = (’gray60’), border =par("fg"),axes = TRUE, axisnames = TRUE, plot = TRUE)h1 ## HISTOGRAMA DO TRATAMENTO 1 BLOCO 1 ##

mid.point<-c(0.0781,0.267,0.569,0.88)falha<-c(4,22,64,10)T1B1<-rep(mid.point,falha)brk<-c(0.0002,0.156,0.378,0.76,1)y1n<-sort(rnorm(10000,mean=medx1,sd=desvx1))### Distribuic~ao Normal com parametros estimados ###y1g<-sort(rgamma(10000,shape=5.12, scale =0.10))### Distribuic~ao Gamma com parametros estimados ###y1b<-sort(rbeta(10000,shape1=3.02, shape2=2.85))### Distribuic~ao Beta com parametros estimados ###y1w<-sort(rweibull(10000,shape=pw1, scale=al1))### Distribuic~ao Weibull com parametros estimados ###

plot(y1n,dnorm(y1n,medx1,desvx1),type=’l’,col=’yellow’)## Grafico de probabilidade Dist. Normal no Histograma ##lines(y1g,dgamma(y1g,shape=5.12, scale =0.10),type=’l’,col=’blue’)## Grafico de probabilidade Dist. Gamma no Histograma ##lines(y1b,dbeta(y1b,shape1=3.02, shape2=2.85),type=’l’,col=’red’)## Grafico de probabilidade Dist. Beta no Histograma ##lines(y1w,dweibull(y1w,shape=pw1, scale=al1),type=’l’,col=’green’)## Grafico de probabilidade Dist. Weibull no Histograma ##

################# PARAMETROS DISTRIBUIC~AO NORMAL #####################

x1<- x[1:4,] ## T1B1 ##

72

x1fx1<-x1$falha*c(0.0781,0.267,0.569,0.88)fx1fx12<-(x1$falha*c(0.0781^2,0.267^2,0.569^2,0.88^2))fx12medx1<-(sum(fx1)/1)medx1varx1<-(sum(fx12)-(medx1^2))*(1/1)varx1desvx1<-sqrt(varx1)desvx1

library(nortest) ### para os testes de normalidade ##### ks = teste de Kolmogorov-Smirnov assumindo as distribuic~oes ##

ks.test(x1$falha,"pnorm",mean=medx1,sd=desvx1, exact = NULL)ks.test(x1$falha,"pgamma",shape=5.127650514, scale = 0.100245522)ks.test(x1$falha,"pbeta",shape1=3.02, shape2 = 2.853371789)ks.test(x1$falha,"pweibull",shape= pw1, scale = al1)

#################### PARAMETROS DISTRIBUIC~AO GAMMA #######################

x1<- x[1:4,] ## T1B1 ##x1fx1<-x1$falha*c(0.0781,0.267,0.569,0.88)fx1fx12<-(x1$falha*c(0.0781^2,0.267^2,0.569^2,0.88^2))fx12logar<-(log(c(0.0781,0.267,0.569,0.88)))* x1$falhalogarmedx1<-(sum(fx1)/1)medx1varx1<-(sum(fx12)-((sum(fx1)^2)))*(1/1)varx1desvx1<-sqrt(varx1)desvx1

A<- log(medx1)-(sum(logar)/1)AALFA<- (1/(4*A))*(1+(sqrt(1+((4*A)/3))))ALFABETA<- medx1/ALFABETA

######### CALCULO DE PROBABILIDADES DA GAMMA ############## Usando a expans~ao em serie de Simpson #####

a<-(50/5.0122760)a

73

r<- 5.127650514gr<- gamma(r)gre<-2.718281828

t<-(a^r)/(r*gr*(e^a))tft<-(1+(a/(r+1))+((a^2)/((r+1)*(r+2)))+((a^3)/((r+1)*(r+2)*(r+3)))+((a^4)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)))+((a^5)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)))+((a^6)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)))+((a^7)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)* (r+6)*(r+7)))+((a^8)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)))+((a^9) /((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)))+((a^10)/((r+1)*(r+2) *(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)))+((a^11)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)))+((a^12)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)))+((a^13)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)))+((a^14)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)))+((a^15)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)*(r+15)))+((a^16)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)*(r+15)*(r+16)))+((a^17)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)*(r+15)*(r+16)*(r+17)))+((a^18)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)*(r+15)*(r+16)*(r+17)*(r+18)))+((a^19)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)*(r+15)*(r+16)*(r+17)*(r+18)*(r+19)))+((a^20)/((r+1)*(r+2)*(r+3)*(r+4)*(r+5)*(r+6)*(r+7)*(r+8)*(r+9)*(r+10)*(r+11)*(r+12)*(r+13)*(r+14)*(r+15)*(r+16)*(r+17)*(r+18)*(r+19)*(r+20))))ftpi<-t*ftpi

#################### PARAMETROS DISTRIBUIC~AO BETA ######################

TETHA<- ((medx1*(1-medx1))/varx1)-1TETHABEBETA<- TETHA*(1-medx1)BEBETAALBETA<- medx1*TETHAALBETA

################### PARAMETROS DISTRIBUIC~AO WEIBULL ###################require(survival)

unos<-c(1,1,1,1)unoswei1<-survreg(Surv(x1$falha,unos)~1,x1,dist=’weibull’)wei1

74

al1<-exp(3.246972)pw1<-(1/0.9346228)

####### ESTIMANDO VALOR LOGVEROSSIMILHANCA ASSUMINDO DIST. NORMAL ########

library(stats4)n<-1lvnx1<--n*log((desvx1*(sqrt(2*pi))))-((sum((x1$falha-medx1)^2)/(2*varx1)))

...

lvnx20<--n*log((desvx20*(sqrt(2*pi))))-((sum((x20$falha-medx20)^2)/(2*varx20)))vernor<-c(lvnx1,lvnx2,lvnx3,lvnx4,lvnx5,lvnx6,lvnx7,lvnx8,lvnx9,lvnx10,lvnx11,lvnx12,lvnx13,lvnx14,lvnx15,lvnx16,lvnx17,lvnx18,lvnx19,lvnx20)vernormvnor<-sum(vernor)mvnor

###### ESTIMANDO VALOR DE LOGVEROSSIMILHANCA ASSUMINDO DIST. GAMMA #######

n<-1lambda1<- 0.100245522alfa1<- 5.127650514lvgx1<-(n*alfa1*log(lambda1))-(n*log(gamma(alfa1)))+((alfa1-1)*(sum(log(x1$falha))))-(lambda1*sum(x1$falha))

...

lambda20<- 0.158978727alfa20<- 4.285126786lvgx20<-n*alfa20*log(lambda20)-n*log(gamma(alfa20))+(alfa20-1)*sum(log(x20$falha))-lambda20*sum(x20$falha)

vergama<-c(lvgx1,lvgx2,lvgx3,lvgx4,lvgx5,lvgx6,lvgx7,lvgx8,lvgx9,lvgx10,lvgx11,lvgx12,lvgx13,lvgx14,lvgx15,lvgx16,lvgx17,lvgx18,lvgx19,lvgx20)vergamamvgama<-sum(vergama)mvgama

###### ESTIMANDO VALOR DE LOGVEROSSIMILHANCA ASSUMINDO DIST. BETA #######

library(stats4)n<-1p1<- 3.02q1<-2.853371789lvbx1<-(-n*(log(gamma(p1))))-(n*(log(gamma(q1))))+(n*(log(gamma(p1+q1))))+((p1-1)*(sum(log((x1$falha)))))+((q1-1)*(sum(log(1-x1$falha))))

...

75

p20<- 1.63118068q20<- 0.763234067lvbx20<--n*log(gamma(p20))-n*log(gamma(q20))+n*log(gamma(p20+q20))+(p20-1)*(sum(log(x20$falha)))+(q20-1)*(sum(log(x20$falha)))

lverbeta<-c(lvbx1,lvbx2,lvbx3,lvbx4,lvbx5,lvbx6,lvbx7,lvbx8,lvbx9,lvbx10,lvbx11,lvbx12,lvbx13,lvbx14,lvbx15,lvbx16,lvbx17,lvbx18,lvbx19,lvbx20)lverbetamvbeta<-sum(lverbeta)mvbeta

##### ESTIMANDO VALOR DE LOGVEROSSIMILHANCA ASSUMINDO DIST. WEIBULL ######

library(stats4)n<-1lvwx1<-n*(log(pw1)-pw1*log(al1))+(pw1-1)*(sum(log(x1$falha)))-((1/(al1^pw1))*sum(x1$falha)^2)

...

lvwx20<-n*(log(pw20)-pw20*log(al20))+(pw20-1)*(sum(log(x20$falha)))-((1/(al20^pw20))*sum(x20$falha)^2)

lverweibull<-c(lvwx1,lvwx2,lvwx3,lvwx4,lvwx5,lvwx6,lvwx7,lvwx8,lvwx9,lvwx10,lvwx11,lvwx12,lvwx13,lvwx14,lvwx15,lvwx16,lvwx17,lvwx18,lvwx19,lvwx20)lverweibullmvweibull<-sum(lverweibull)mvweibull

####################### CRITERIOS AIC E BIC #######################

AICN<-(-2*mvnor)+(2*2)AICG<-(-2*mvgama)+(2*2)AICB<-(-2*mvbeta)+(2*2)AICW<-(-2*mvweibull)+(2*2)AICNAICGAICBAICW

BICN<-(-2*mvnor)+(2*log(1))BICG<-(-2*mvgama)+(2*log(1))BICB<-(-2*mvbeta)+(2*log(1))BICW<-(-2*mvweibull)+(2*log(1))BICNBICGBICBBICW

76

###### ESPERANCA DE X (DIST. WEIBULL) PARA CADA TRTO/BLOCO E TOTAL ######

EX1<-al1*gamma(1+(1/pw1))EX1

...

EX20<-al20*gamma(1+(1/pw20))EX20TOTALEX<- c(EX1, EX2, EX3, EX4, EX5, EX6, EX7, EX8, EX9, EX10, EX11, EX12,EX13, EX14, EX15, EX16, EX17, EX18, EX19, EX20)TOTALEXMEDTOTALEX<-mean(TOTALEX)MEDTOTALEX

EXT<-0.25*gamma(1+(1/1.06))EXT

###### SIMULANDO DISTRIBUIC~AO NORMAL COM MEDIA E VAR ESTIMADAS ) ######

an1 <- NULLfor(i in 1:2){an1 <- cbind (an1,rnorm(1000,medx1,desvx1))

}an1library(nortest) ### para os testes de normalidade ###ad.test(an1)lillie.test (an1)

## SIMULANDO DISTRIBUIC~AO GAMMA COM ALPHA E BETA ESTIMADAS )##

ag1 <- NULLfor(i in 1:2) {ag1 <- cbind (ag1,rgamma(1000,shape=3.889477413, scale =0.160896679))

}ag1library(nortest) ### para os testes de normalidade ###ad.test(ag1)lillie.test (ag1)

## SIMULANDO DISTRIBUIC~AO BETA COM ALPHA E BETA ESTIMADAS )##

ab1 <- NULLfor(i in 1:2) {ab1 <- cbind (ab1,rbeta(1000,shape1=1.608056434, shape2=0.752414167,ncp = 0))

}ab1

77

library(nortest) ### para os testes de normalidade ###ad.test(ab1)lillie.test (ab1)

## SIMULANDO DISTRIBUIC~AO WEIBULL COM ALPHA E BETA ESTIMADAS) ##

aw1 <- NULLfor(i in 1:2) {aw1 <- cbind (aw1,rweibull(1000,shape=pw1, scale=al1))

}aw1library(nortest) ### para os testes de normalidade ###ad.test(aw1)lillie.test (aw1)

ANEXO F - Programa utilizado nas analises dos dados. Software SAS

data peneira;input trat bloco peneira1 peneira2 falha;media=(peneira1+peneira2)/2;falha1=(falha/100);cards;1 1 0.01 7.8 4. . . . .. . . . .5 4 18.9 38 265 4 38 50 56;proc gplot data=peneira;plot falha1*media;by trat bloco;run;proc gchart data=peneira;vbar trat*bloco/freq = falha discrete;by trat bloco;run;proc glm data = peneira;class trat bloco peneira1 peneira2;model falha1 = trat bloco peneira1 peneira2/ss3;means trat/tukey;run;

########## PROCEDIMENTO N~AO PARAMETRICO - TEST - ##########

proc npar1way data=peneira;class peneira2;var falha1;

78

run;

############ Ajuste das distribuic~oes aos Dados ############

proc sort data=peneira;by trat bloco;proc capability data=peneira;by trat bloco;

var falha1;specs lsl =0.0 llsl = 1 clsl=black

usl =1.0 lusl = 1 cusl=black;histogram /

midpoints=0.0 to 1 by 0.1normal (MU= 0.25 SIGMA=0.22 l=1 color=black)

weibull (SHAPE= 1.06 SCALE=0.25 l=3 color=blue)gamma (SCALE=0.22 ALPHA=1.10 l=4 color=yellow)

beta (ALPHA= 0.84 BETA=2.45 l=5 color=red)

nospeclegendcframe = ligrlegend = legend2vaxis = axis1;

inset n mean(5.3) std=’Std Dev’(5.3) skewness(5.3)/ pos = ne header = ’Summary Statistics’ cfill = ywh;

axis1 label=(a=90 r=0);run;

Luiz de Queiroz Distribui˘c~ao de probabilidade e ... · (ASA), mostrou que o tamanho 6 de amostra...

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