Neste resumo, dei as explicações sem os sinais para o pessoal se organizar. Os sinais de cada operador eu coloquei no final.

Lógica: Cálculo Proposicional

Resumo básico das coisas que o prof. Tiago explicou

Vamos começar com os operadores:

Não – operador de negaçãoE – operador de conjunçãoOu – operador de disjunçãoImplica – operador de implicância ou condicionalEquivale – operador de equivalência ou bicondicional

Os cinco operadores acima são operadores velhos e funcionais. São conectivos sobre variáveis ou elementos pré-definidos. Eles são a base para a construção do cálculo proposicional.Vamos analisar cada forma com calma.

1. Negação

Operador: nãoEste operador é chamado de operador unário, pois só opera sobre um único enunciado.Vamos tomar P como nosso enunciado padrão.Se dissermos P, a negação ficaria não P. Se o P é, o não P não é e vice-versa.

V - verdadeiro

Tabela de Verdade F - falso

Se o P é verdadeiro, o não P é falso, e se o P é falso, o não P é verdadeiro.Somente o operador não é unário. Os outros operadores são binários, ou seja, necessitam de dois enunciados para formar a frase.

2. Conjunção

Operador: eVamos tomar P e Q como nossos enunciados padrões.A ligação ficaria P e Q.Exemplo: João gosta de melão e Paulo gosta de melancia.

Termo 1 Termo 2

P não P

V F

F V

Se ambos os termos forem verdadeiros, ou seja, se João realmente gosta de melão e Paulo realmente gosta de melancia, então não há dúvidas de que a frase inteira está correta. Agora se um dos termos ou os dois forem falsos, então a frase inteira está falsa. A conjunção estabelece entre os termos uma relação de dependência.

3. Disjunção

Operador: ouLigação P ou QExemplo: Pedro gosta de maçã ou Caio gosta de maracujá.

Termo 1 Termo 2

Se ambos os termos forem verdadeiros, ou seja, se Pedro realmente gosta de maçã e Caio realmente gosta de maracujá, então não há dúvidas de que a frase inteira está correta. Agora, se um dos termos está certo e o outro está falso, a frase continua verdadeira. A frase só será falsa se os dois termos forem falsos. A Disjunção estabelece uma relação de alternância entre os termos. Ou uma coisa, ou outra.

4. Implicação

Operador: implicaLigação P implica Q, ou então, Se P então QExemplo: Se o mocinho cruzar a linha, então o bandido o matará.Imaginemos os seguintes casos: O mocinho cruzou a linha e o bandido o matou, então a frase está verdadeira, pois o bandido cumpriu o que disse. Agora se o mocinho cruzou a linha e o bandido não o matou, então a frase está falsa, pois o bandido mentiu, não cumpriu o que disse. Agora se o mocinho não cruzou a linha e o bandido o matou, a frase está verdadeira, pois não sabemos se o bandido ia cumprir o que disse se o mocinho tivesse cruzado a linha, não aconteceu a ação mencionada no 1º termo para sabermos o que ia acontecer no 2º. Agora se o mocinho não cruzou a linha e o bandido não o matou, a frase continua verdadeira.

P Q P e Q

V V V

V F F

F V F

F F F

P Q P ou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Pois não aconteceu nada da condição mencionada. A implicância estabele uma relação de condição entre os termos.

5. Equivalência

Operador: equivaleLigação P equivale Q, ou então, P se e somente se QExemplo: A carro quebra se e somente se Rodrigo bater nele.Se Rodrigo vier bater no carro e ele se quebrar, a frase está verdadeira. Mas se Rodrigo não vier bater no carro e ele não se quebrar a frase continua verdadeira, pois em ambos os casos a relação de equivalência foi respeitada. A frase só será falsa se somente um dos termos for verdadeiro e o outro falso, ou no caso acima, se o carro se quebrar sem o Rodrigo bater nele ou o Rodrigo bater e ele não quebrar, esta afirmação está falsa pois não respeitou a relação de equivalência. Na equivalência a frase só será verdadeira se ambos os termos tiverem o mesmo valor de verdade.

Podemos agora montar duas tabelas de verdade com cada operador que vimos acima:

Cuidado Essencial

Os operadores não, e, ou e equivale são os que se mudarmos a ordem dos termos obteremos o mesmo resultado.É preciso tomar cuidado com o implica. Pode não ser a mesma coisa dizer P implica Q e Q implica P.Montemos uma tabela de P e Q com seus casos de verdade:

P Q P implica Q

V V V

V F F

F V V

F F V

P Q P equivale Q

V V V

V F F

F V F

F F V

P não P

V F

F V

P Q P e Q P ou Q P implica Q P equivale Q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

Agora vamos fazer a tabela de verdade apresentando as seguintes frases: P implica Q e Q implica P:

Notem a diferença destacada

Lembre-se que no implica a ordem dos fatores pode alterar o produto.

Casos de frases com mais de um operador lógico

Iremos nos encontrar com expressões como por exemplo: P implica (Q ou R), e teremos que definir seu valor de verdade.1º: Em expressões desse tipo sempre encontraremos parênteses e/ou colchetes e/ou chaves, para nos indicar em qual termo começarmos a trabalhar. Se depararmos em casos como: P e Q equivale R ou QFicará muito difícil encontrar seu valor de verdade pois não sabemos qual operador está mais forte e por onde começar. Então essa frase tem de vir com parênteses: (P e Q) equivale (R ou Q) Agora sim sabemos quem está mais forte e por onde começamos a analisar.2º: Para começar devemos primeiro definir quantos enunciados estão na frase, que no caso acima são três: P, Q e R.Montemos a tabela com os valores de verdade desses três enunciados:

3º: Vamos dividir a frase de acordo com seus operadores: (P e Q) (R ou Q) E fazemos a tabela deles agora:

P Q

V V

V F

F V

F F

P Q P implica Q Q implica P

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

P Q R

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Agora podemos fazer a tabela de valores de verdade da frase original:

Pronto! Achamos os valores de verdade da frase com mais de um operador.Os operadores e, ou, implica e equivale são operadores que não podem ficar colados entre eles. Eu não posso dizer por exemplo: P equivale e R, Q implica ou P.O operador não ele é unário. Ele pode se ligar a um só enunciado, como por exemplo: não P. E os outros operadores podem estar colado nele, mas na frente dele, como por exemplo: P e não Q.Vamos montar a tabela de verdade desse caso: não P equivale (não Q e P)1º Fazemos a tabela dos enunciados apresentados:

P Q R (P e Q) (R ou Q)

V V V V V

V V F V V

V F V F V

V F F F F

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F F

P Q R (P e Q) (R ou Q) (P e Q) equivale (R ou Q)

V V V V V V

V V F V V V

V F V F V F

V F F F F V

F V V F V F

F V F F V F

F F V F V F

F F F F F V

P Q

V V

V F

F V

F F

O operador não é o mais forte. Teremos que montar a tabela do não P e do não Q em segundo lugar:

Divindo a frase agora, temos que fazer a do (não Q e P):

Agora podemos fazer a frase inteira:

Escopo

O Escopo de um operador são os termos ou o conjunto de termos que ele liga que estão dois dos lados.Por exemplo: P e QO escopo do operador e são o P e o Q.Tomamos mais exemplos: (P ou Q) implica REscopo do ou: P, QEscopo do implica: (P ou Q), R (P implica Q) equivale [R ou (P e R)]Escopo do implica: P, QEscopo do equivale: (P implica Q), [R ou (P e R)]Escopo do ou: R, (P e R)Escopo do e: P, R

P Q não P não Q

V V F F

V F F V

F V V F

F F V V

P Q não P não Q (não Q e P)

V V F F F

V F F V V

F V V F F

F F V V F

P Q não P não Q (não Q e P) não P equivale (não Q e P)

V V F F F V

V F F V V F

F V V F F F

F F V V F F

TAUTOLOGIA

Existem certas formas de enunciado que representam verdades da Lógica – formas que se convertem em enunciados verdadeiros sempre que são feitas substituições que as transformam em enunciado. Um tipo básico de verdade lógica pode ser estabelecido por meio de tabelas de verdade; as formas e os enunciados que resultam de substituições nelas efetuadas são conhecidos como tautologias. Vamos analisar um bom exemplo clássico de tautologia: P ou não PConstruimos primeiro a tabela do P e do não P:

Agora vamos fazer a associação do ou:

O padrão de valor de verdade dessa fórmula somente tem V’s; por conseguinte, não há como atribuir um valor de verdade ao constituinte singular P que possa tornar a fórmula falsa. Seja qual for o enunciado que substitui o P, a forma P ou não P será transformada num enunciado verdadeiro.Vamos analisar a seguinte tabela:

P Q não Q P implica Q (P e não Q) não (P e não Q) (P implica Q) equivale não (P e não Q)

V V F V F V V

V F V F V F V

F V F V F V V

F F V V F V V

Podemos notar nessa tabela que o P implica Q possui a mesma tabela de valores que o não(P e não Q). Fazendo a equivalência entre elas encontramos um enunciado verdadeiro. Dois enunciados como os da tabela que possuem os mesmo valores de verdade a equivalência entre eles sempre será verdadeira. Duas formas de enunciado veritativo funcional são logicamente equivalentes se e somente se o bicondicional entre eles é uma tautologia.

Tabelas de verdade para silogismos

Consideremos o seguinte silogismo:Se você lê o livro, conhecerá o enredo. Premissa 1 (p1)Se você conhece o enredo, o filme o deixará entediado. Premissa 2 (p2)Se você lê o livro, o filme o deixará entediado. Conclusão (c)

Podemos já saber pelo conteúdo se esse silogismo é válido. Mas podemos também descobrir a validade desse argumento através de tabelas de valores de verdade.

P não P

V F

F V

P não P P ou não P

V F V

F V V

1º Adaptamos as premissas (p1 e p2) e a conclusão (c) para enunciados com operadores como estudamos antes. O argumento acima possui a forma:P implica Q (p1)Q implica R (p2) P implica R (c) Este silogismo é também conhecido como silogismo hipotético.2º Agora vamos montar a tabela de verdade das premissas e do enunciado:

(p1) (p2) (c)

3º Agora note as linhas da tabela que estão destacadas: a primeira, a quinta, a sétima e a oitava linha possuem ambas as premissas verdadeiras. As conclusões de todas elas também estão verdadeiras.Achamos a resposta: o silogismo é válido.Vamos agora tentar achar a validade desse outro silogismo:P ou R (p1) P implica Q (p2) Q (c)1º Montemos a tabela: (c) (p1) (p2)

Agora fazemos as análises: a primeira, a segunda, a quinta e a sétima linha possuem ambas as premissas verdadeiras. As conclusões da primeira, da segunda e da quinta linha estão verdadeiras. Mas a conclusão da sétima linha está falsa. Resposta: esse silogismo não é válido.

P Q R P implica Q Q implica R P implica R

V V V V V V

V V F V F F V F V F V V

V F F F V F

F V V V V V

F V F V F V

F F V V V V

F F F V V V

P Q R P ou R P implica Q

V V V V V

V V F V V

V F V V F V F F V F

F V V V V

F V F F V

F F V V V

F F F F V

Para que o silogismo seja válido é necessário que todas as linhas da tabela em que as premissas estão verdadeiras, a conclusão tem que estar verdadeira em todas também.

Sinais dos Operadores

Equivale Ou V E • Implica Não ~