Lógica Nebulosa Computadores são estúpidos, eles somente respondem perguntas. Pablo Picasso...

Lógica Nebulosa

Computadores são estúpidos, eles somente respondem perguntas.

Pablo Picasso

Adriano Cruz, Cabral Lima, Pedro DemasiNCE e IM/UFRJ

SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 2

Apresentação

Adriano Cruz NCE-IM UFRJ [email protected]

A luz viaja mais rápido que o som. É por isto que algumas pessoas parecem brilhantes até que começam a falar.

Linux Journal


Sumário

Introdução Conjuntos Nebulosos Operações com Conjuntos Nebulosos Sistemas Nebulosos


Inteligência?

Inteligência Artificial Atua nos níveis mais elevados de

inteligência Raciocínio Lógico Conhecimento

Inteligência Computacional Atua nos níveis básicos de inteligência

Percepção Reconhecimento de Padrões Aprendizado


Inteligência Computacional

Lógica Nebulosa Redes Neurais Computação Evolucionária Comportamentos Emergentes Machine Learning Sistemas Híbridos


Lógica Nebulosa

Lógica que trata matematicamente informações imprecisas usualmente empregadas na comunicação humana

Lógica multi-valorada que estende a lógica booleana usualmente empregada em computação.


Lógica Nebulosa

O.k., e agora faça exatamente como eu estou

lhe dizendo !


Aristotóles

Filósofo macedônio que viveu entre 384 e 322 AC

Estudou com Platão Criador da lógica formal De família ligada à medicina associa o

espírito de observação e a índole classificatória

Considerado na idade média o filósofo Moldou a forma de pensamento ocidental


Limitações da Lógica Aristotélica Os objetos são classificados em

categorias muito bem definidas Um objeto pertence a uma categoria ou

não. Ou se é ou não Serve para separar objetos em

categorias bem definidas


Por que lógica nebulosa? Toda linguagem é vaga. Toda lógica tradicional habitualmente assume

que símbolos precisos estão sendo empregados. Portanto, não é aplicável à vida terrestre mas somente a uma imaginária existência celestial.

Não se imagina como tudo é vago até que se tente fazê-lo de modo preciso.

Bertrand Russel


Como classificar exatamente?

Pessoas felizes Temperaturas altas Carros andando rápido Pessoas altas Bons alunos Jogo difícil


Os Detratores

Lógica Nebulosa é errada, errada e perniciosa. O que precisamos é mais pensamento lógico, não menos. O perigo da lógica nebulosa é que ela irá encorajar aquele tipo de pensamento impreciso que nos trouxe tantas dificuldades. Lógica Nebulosa é a cocaína da Ciência!

Prof. William Kaham - U. Cal - Berkeley


Os Detratores

Nebulização é uma espécie de permissividade científica. Ela tende a resultar em bordões socialmente atrativos, desacompanhados da dura disciplina do trabalho científico e da observação paciente.

Prof. Rudolf Kalam – U. Florida - Gainesville


Início

Lotfi Zadeh. Fuzzy Sets, Information na Control, 1965

Principio da Incompatibilidade:

A medida que a complexidade de um sistema aumenta, nossa habilidade para fazer afirmações precisas e que sejam significativas a cerca deste sistema diminui até que um limiar é atingido além do qual precisão e significância (ou relevância) tornam-se quase que características mutuamente exclusivas.


Pensando Nebulosamente

SimSim

NãoNão NãoNão

SimSim


Pensando Nebulosamente

Se o inimigo está perto fuja rapido Se o aluno acertou muitas respostas

escolha a seção 3 Se estamos longe do destino então

escolha uma pousada não muito cara. Coloque sal à gosto.


Onde Aplicar?

???prob

lemas Problemas em que a

modelagem precisa introduz desvantagens.

Problemas onde é necessário tomar decisões com informações insuficientes.

Problemas onde a modelagem matemática convencional é por demais complexa.


Sistemas Nebulosos

XX Y=F(X)Y=F(X)

A função F(x) é desconhecidaA função F(x) é desconhecida


Vantagens

Utilizam regras que expressam as imprecisões e aproximações do mundo real

Mais fáceis de entender, manter e testar Podem ser prototipados em menos tempo São robustos. Operam com falta de regras

ou regras defeituosas Necessitam menos regras Avaliam regras paralelamente Acumulam evidências contra e a favor


Desvantagens

Necessitam mais simulação e testes Não aprendem facilmente Dificuldade de estabelecer regras

corretamente Não há uma definição matemática

precisa


Produtos comerciais

The Sims uso de máquinas de estado nebulosas.

O jogo Civilization: Call to Power faz uso de regras nebulosas em sua definição da Inteligência Artificial

Close Combat 2 usa um sistema nebuloso para analisar centenas de variáveis e chegar a probabilidade de um soldado executar determinada ação.

Sistema para escolha de tacos de golfe?!


Produtos Comerciais

Metro Sendai: 16 estações e 13,5 km de trilhos, desenvolvido pela Hitachi

Lavadoras de roupa medem peso e sujeira da roupas para avaliar programa de lavagem

Máquinas para filmagens comparam imagens para diminuir tremidas

Aspiradores de pó medem quantidade de pó para variar potência de sucção

Fornos de microondas medem temperatura, umidade e forma dos alimentos para controlar tempo


Produtos comerciais

Ar condicionado mede a temperatura ambiente e preferências dos usuários

Sistemas ABS medem deslizamento e travamento das rodas para controlar freios

Mitsubishi desenvolveu sistema que controla suspensão, tração, transmissção e ar

Hitachi usa 150 regras para negociar bonds e mercados futuros

Yamaichi usa sistema com centenas de regras para negociar ações

Conjuntos Nebulosos - Introdução

• Se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego.


Conjuntos Clássicos

Universo de Discurso Corresponde ao espaço onde estão

definidos os elementos do conjunto Por exemplo:

alturas de seres humanos: 0 <= alt <= 2.5m temperatura ambiente: -70o<=temp<=70o notas de alunos: 0 <= notas <= 10


Conjuntos Clássicos

Função de Inclusão Define se um elemento pertence ou não a

um conjunto

70.1,0

70.1,1(X)A

x

x

1

01,70 altura


Problemas/Conjuntos Clássicos

Apresentam problemas quando aplicados à uma enorme classe de problemas do mundo real.

O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto/não alto) é denominado de paradoxo de Sorites, atribuído ao dialético, Eubulides de Mileto, adversário de Aristóteles

O paradoxo se enuncia com os seguintes termosQuando um monte de areia deixa de ser um monte de

areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?


Operações com conjuntos clássicos

}|{|},|{

}|{}|{

BxAxxBADiferençaXxAxxAoComplement

BxAxxBAInterseçãoBxAxxBAUnião

SBIE 2003 NCE e IM - UFRJ 29 29

Leis de Aristóteles

Tudo deve ser ou não ser, seja no presente ou no futuro.

A União de um conjunto com seu complemento forma o conjunto Universo.

Esta é chamada de lei da exclusão do meio

XAA



A Intercessão de um conjunto com seu complemento é vazia.

Esta é chamada de lei da não contradição

AA


Conjuntos Nebulosos

And now for something completely different.


Conjuntos Nebulosos

A função de inclusão de elementos em um conjunto nebuloso A é caracterizada por

que mapeia cada elemento do conjunto X em um número real no intervalo [0,1]

1.0

01,70 altura

0.5

1,80

]1,0[:(.) X


Conjuntos Nebulosos - definição

Um conjunto nebuloso pode ser expresso por um conjunto ordenado de pares:

}|))(,{( XxxxA A

Universo de Discurso

Conjunto Nebuloso

Função de Inclusão

Valor


Tipos de Inclusão

Inclusão com grau: um elemento pertence a um conjunto com um determinado grau de certeza. Alguns elementos são mais representativos da idéia central do conjunto que outros alunos excelentes={(Pedro,0.8), (Ana,0.9),

(Paulo,0.9), (Marta,1.0)} muito altos = {(Oscar,0.95), (Michael

Jordan, 0.95), (Junior Baiano,0.8)}


Tipos de Inclusão

Inclusão em diversos conjuntos: um elemento pode ser membro parcial de mais de um conjunto crianças={(Pedro,0.2), (Ana,1.0), (Paulo,0.75),

(Marta,0.2)} adolescentes = {(Pedro,0.8), (Mateus,0.3),

(Joaquim,0.6)}

crianças(Pedro)=0.2 adolescentes(Pedro)=0.8


Não é probabilidade!

Pertencer ao conjunto das pessoas altas, com um grau de inclusão de 0.25, indica afastamento da definição ideal de uma pessoa alta por uma distância de 0.75

O grau 0.25 não significa que uma pessoa com esta altura possa ser encontrada com probabilidade 0.25 no conjunto das pessoas altas



Um líquido em uma garrafa tem 95% de probabilidade de ser veneno puro.

Se a garrafa escolhida for veneno …



Um líquido em uma garrafa pertence a conjunto das garrafas com água pura com grau 0.95, por exemplo, 5% de veneno na água

Veneno nesta concentração não mata, mas você irá passar muito mal.

De qual garrafa você beberia?


Representando conjuntos nebulosos

Pares ordenados: um conjunto nebuloso pode ser representado por um par ordenado de pares, sendo que o primeiro elemento denota o elemento do conjunto e o segundo o seu grau de inclusão no conjunto

Altos={(João=1.6, 0.0), (Ana=1.7,0.5), (Oscar=1.8,1.0)}


Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

9.10

9.17.15.95

7.15.15.75

5.10

)(

altura

alturaaltura

alturaaltura

altura

alturamedia


Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

1.71.5 1.9

µ(x)

altura

Alturas médias

1.0


Função Singular

Função singular (singleton) quando

xx

xxxx 0

1)(

1


Função Clássica

Funções clássicas são empregadas para definição de conjuntos clássicos

1


Função Linear

Conjunto nebuloso dos mais simples


Função Trapezoidal e Triangular

Fáceis de implementar e permitem representar conjuntos complexos. Podem ser representadas por 4 valores (a, b, c, d)

cba d


Função Trapezoidal e Triangular

Uma função trapezoidal pode ser especificada por 4 parâmetros (a, b, c, d). Triângulos , b=c

dx

dxccdxd

cxb

bxaab

axax

dcbaxtrap

0

1

0

),,,:(


Função Sigmóide

É definida usando-se três parâmetros: seu valor 0 de inclusão (), seu valor 1 de inclusão () e o ponto de inflexão (), que é o ponto onde o valor da função de inclusão vale 0.5

x

xx

xx

x

xS

1

21

2

0

),,,( 2

2


Função Sigmóide

0

1


Função Beta

É definida com dois parâmetros, o valor em torno do qual a curva é construída () e um valor que indica a metade da largura da curva no ponto de inflexão ()

2

1

1),,(

x

xB


Altura de conjunto nebuloso

A altura de um conjunto nebuloso A é definida como

Um conjunto é definido como normal se HA=1 e subnormal no caso contrário

)}({max xH AXxA


Exemplo de Conjuntos

Operações com Conjuntos Nebulosos


Sumário

Operações de Zadeh Normas T Normas S Propriedades de Conjuntos Nebulosos Entropia Nebulosa


Operacões de Zadeh

Lotfi Zadeh definiu funções para as operações básicas entre conjuntos nebulosos

Estas operações reduzem-se as operações booleanas quando utilizamos conjuntos nitidamente definidos.


Operação de União

União: a função de inclusão U(x) da união dos conjuntos A e B (AB) é definida como

Xxxxx BA )),(),(max()(

))(),(max( xx BA


Operação de Interseção

Interseção: a função de inclusão (x) da interseção dos conjuntos A e B (AB) é definida como

Xxxxx BA )),(),(min()(

))(),(min( xx BA


Operação de Complemento

Complemento: a função de inclusão C(x) do complemento de um conjunto A é definida como

Xxxx AA ),(1)(

)(1 xA)(xA



Lei da não contradição: Estabelece que um elemento ou pertence a um conjunto ou ao seu complemento.

Como a interseção entre um conjunto e seu complemento pode não ser vazia temos o seguinte resultado

AA


Interseção entre conjuntos

adultosNão adultos

adultonãoadulto



Lei da exclusão do meio: Estabelece que a união de um conjunto ao seu complemento fornece o conjunto Universo

O resultado pode não ser o universo domínio

XAA


União entre conjuntos

adultosNão adultos

adultosNão adultos

adultonãoadulto


Por que estes operadores?

Para conjuntos nitidamente definidos as operações básicas estão bem definidas, mas para conjuntos nebulosos esta definição é

nebulosa As operações com conjuntos nebulosos devem

obedecer a um conjunto de regras que as generalizam e são chamadas de normas T e normas S

Normas T generalizam a operação de Interseção e Normas S as de união


Operação de Interseção

Qualquer função que seja empregada para representar interseção deve respeitar as Normas T

Normas T mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir

Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro funções. Para facilitar vamos representá-las por a, b, c e d.


Normas T

bdeacse

monotônicabaTdcTT

aassociativcbTaTcbaTTT

neutroelementoaaTT

comutativaabTbaTT

TT

),(),(5.

)],(,[]),,([4.

)1,(3.

),(),(2.

0)0,0(1.


Normas T - comentários

Pode ser provado que a operação de mínimo é uma norma T

A operação de produto também é uma norma T

Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas

Pode ser provado que para qualquer norma T temos

)](),(min()](),([ xxxxT BABA


Operação de União

Qualquer função que seja empregada para representar união deve respeitar as Normas S

Normas S mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir

Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos chamá-los de a,b,c e d.


Normas S

bdeacse

monotônicabaSdcSS

aassociativcbSaScbaSSS

neutroelementoaaSS

comutativaabTbaSS

SS

),(),(5.

)],(,[]),,([4.

)0,(3.

),(),(2.

1)1,1(1.


Normas S - comentários

Pode ser provado que a operação de máximo é uma norma S

Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas

A operação de soma não satisfaz a norma S.1 e não pode ser usada

Pode ser provado que para qualquer norma S temos

)](),(max()](),([ xxxxS BABA


Outro exemplo

T-norm – Algebraic Product:

S-norm - Algebraic Sum:

xyyxAP ),(

xyyxyxAS ),(

Regras Nebulosas


Regras Nebulosas Incondicionais

xx is is AAii

Economize EnergiaEconomize Energia Conditionais

IfIf xx isis AAii thenthen yy isis CCkk

IfIf xx isis AAii andand yy isis BBkk thenthen zz isis CCmm

IfIf xx isis AAii oror yy isis BBkk thenthen zz isis CCmm

ifif xx isis AAii thenthen zz isis CCmm ifif yy isis BBkk thenthen zz isis CCmm


Base de Regras Nebulosas

IfIf xx isis AA11 andand yy isis BB11 thenthen zz isis CCu u :: RR1111

IfIf xx isis AA11 andand yy isis BB22 thenthen zz isis CCv v :: RR1212

...... IfIf xx isis AA11 andand yy isis BBnn thenthen zz isis CCx x :: RR1n1n

IfIf xx isis AA22 andand yy isis BB11 thenthen zz isis CCx x :: RR2121

IfIf xx isis AA22 andand yy isis BB22 thenthen zz isis CCy y :: RR2222

...... IfIf xx isis AA22 andand yy isis BBnn thenthen zz isis CC1 1 :: RR1n1n

IfIf xx isis AAmm andand yy isis BB11 thenthen zz isis CCx x :: RRm1m1

......


Consistência

Uma base é inconsistente se existem duas regras com os mesmos antecedentes e consequentes diferentes.

IfIf xx isis AA11 andand yy isis BB11 thenthen zz isis CCr r :: RR1111

IfIf xx isis AA11 andand yy isis BB11 thenthen zz isis CCv v :: RR1212


Fuzificando


Avaliação dos Antecedentes (1)

IfIf temptemp isis hot hot (0.35)(0.35) andand humidityhumidity isis humid humid

(0.62)(0.62) thenthen timetime is is mediummedium :: RR11

IfIf temptemp isis hot hot (0.35)(0.35) andand humidityhumidity isis normal normal

(0.28)(0.28) thenthen timetime is is longlong :: RR22

Usar um operador norma-t (p. ex. Usar um operador norma-t (p. ex. and)and) para para

avaliar os antecedentesavaliar os antecedentes

R1: R1: 0.35 0.35 andand 0.620.62 resulta resulta 0.350.35

R2: R2: 0.35 and 0.35 and 0.280.28 resulta resulta 0.280.28


Avaliação dos Antecedentes (2)

É possível que mais de uma regra aponte para o mesmo consequente com valores diferentes.

O valor calculado nos antecedentes é chamado de força da regra.

Pode-se usar a regra com força máxima (sobrevive o mais forte).

Ou somar as forças das regras (acumula evidências)

Inferência


Inferência

Inferência nebulosa é o processo de avaliar uma regra nebulosa da forma if x is A then y is B

Há dois métodos importantes de inferência Modus ponens (MP) –Modus ponens (MP) –Modo que afirmaModo que afirma Modus tollens (MT) – Modus tollens (MT) – Modo que negaModo que nega


Modus Ponens

If x is A then y is B Sabemos que se x é A’ então podemos

inferir que y is B’ Todos os homens são mortais.Todos os homens são mortais. (regra) Socrates é um homem (isto é verdade) Portanto Socrates é mortal (como

conseqüência)


Modus Ponens Nebuloso

If x is A then y is B Sabemos que x é A’ parcialmente verdade

então podemos inferir que y is B’ parcialmente

Homens altos são pesados (regra) João é alto (isto é parcialmente verdade) Portanto João é parcialmente pesado (como

conseqüência)


Como encontrar a resposta?

If x is A then y is B If x is A’, queremos saber como

calcular se y is B’ E quanto y é B’


Métodos de Inferência


Resultado da Inferência

Defuzificação


Defuzificação

Inferência significa obter através de algum método conjuntos nebulosos para cada variável de saída.

Cada região de saída deve ser defuzificada para que tenhamos valores definidos.

Usar um valor definido para representar uma resposta nebulosa siginifica perder informação.


Métodos de Defuzificação

Há vários métodos para defuzificar um conjunto nebuloso AA.

AA representa um agregado de conjuntos

Nos próximos exemplos vamos considerar que o método de corte foi usado.


Centróide da Area (1)

O ponto usado para representar a área é o centróide

n

i

iA

n

i

iAi

an

iiA

n

iiAi

a

x

xx

Rorx

xxR

0

0

0

0

)(

)(

)(

)(


Centróide da Area (2)

Os resultados tendem a se mover suavemente entre cálculos.

É relativamente simples. Pode ser facilmente aplicado em

conjuntos discretos.


Centroid Area (3)


Bissetor a Área (BOA)

Um linha vertical no ponto z separa a área de saída em duas regiões com a mesma área.

A coordenada de z é definida por

Onde =min{x | x A} e =min{x | x A}

z

z

AA dxxdxx

)()(


Média dos Máximos (MOM)

O ponto z é a média dos pontos que em que a função é o máximo *

A coordenada da função é definida por

A’={ z | A(z) = *}

'

'

Z

Z

dz

zdzz


Outras estratégias

Menor dos máximos Maior dos máximos Simples de usar Introduzem erros.

Sistemas Nebulosos


Sistema Nebuloso

Máquina de Inferência

Gerenciamento dos Dados

Regras Conjuntos Operadores

Fu

zifi

cad

or

Def

uzi

fica

dor


Passos

Defina entradas e saídas (variáveis) Construa uma base de regras Simule Teste Valide

Estacionando um Caminhão


Diagrama do problema

Ponto Final(xf, yf)

x,y

0 <= x,y <= 100

-90 <= <= 270

-30 <= <= 30


Estacionar um caminhão

Variáveis de entrada x,y: coordenadas do centro da trazeira do

caminhão ângulo do caminhão com a horizontal

Variável de Saída : ângulo da roda com a reta que passa

pelo meio do caminhão


Conjuntos Nebulosos - rótulos

X RB R Below LE Left NB Neg Big

RU R Upper LC L Center NM Neg Med

RV Right Vert CE Center NS N Small

VE Vertical RC R Center ZE Zero

LV Left Vert RI Right PS P Small

LU L Upper PM Pos Med

LB L Below PB Pos Big


Funções de Inclusão - Entradas

x

x LE LC CE RIRC

RB RU ZE LBLURV LV


Funções de Inclusão - Saídas

NS ZE PBPS

NB PMPM


Mapa de Regras

/ x

LE LC CE RC RI

RB PS PM PM PB PB

RU NS PS PM PB PB

RV NM NS PS PM PB

VE NM NM ZE PM PM

LV NB NM NS PS PM

LU NB NB NM NS PS

LB NB NB NM NM NS


Equações do Movimento

x’ = x + r cos(’) y’ = y + r sen(’) ’= +

r é a distância fixa que o caminhão anda a cada movimento

x,y

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