MATEMÁTICA_2

PROF. MIGUEL

Noções básicas de lógica

ProposiçãoProposição é toda oração declarativa, com sentido

completo, podendo ser classificada como Verdadeira (V) ou Falsa (F).

Princípio da não contradição. Princípio do terceiro excluído.

Proposição simples Ex.: Matemática é uma disciplina legal.

Proposição composta Ex.: Matemática é uma disciplina legal e

o professor é exigente.

Negação de uma proposição

Exemplos

a) p: Jorge é alto.~p: Jorge não é alto.

b) q: ~q: .1225

.1225<≥

Conectivo (e)

∧

∧

Determinar o valor lógico das frases

a) A gaivota voa e o ornitorrinco é ave.b) O avestruz não voa e não bota ovos.c)A vaca é bípede e o cachorro late.

Conectivo (ou)∨

Determinar o valor lógico das frases

a) A gaivota voa ou o ornitorrinco é ave.b) O avestruz não voa ou não bota ovos.c)A vaca é bípede ou o cachorro late.

Condicional (se...então) →

Entendo melhor a tabela verdade docondicional Considera situação: Joãozinho faz uma

“promessa” a Mariazinha:_ Se você for corinthiana então você ganhará

um presente.

Quais são os eventos possíveis?Admitamos que aquilo que obedece à

“promessa”, tenha valor lógico V e aquilo que não obedece valor lógico F.

→

1) Mariazinha é corinthiana e ganhou presente.2) Mariazinha é corinthiana e não ganhou

presente.3) Mariazinha não é corinthiana e ganhou

presente.4) Mariazinha não é corinthiana e nãoganhou

presente.

Em qual(quais) opções a “promessa” foi cumprida?

(Bi)Condicional (... se, e somente se ...)

↔

Entendo melhor a tabela verdade docondicional ↔SituaçãoProfessor diz aos alunos:_“Você receberá F.O.+ se, e somente se, fizer a

tarefa.”

1) Recebeu F.O.+ e fez a tarefa.2) Recebeu F.O.+ e não fez a tarefa.3) Não recebeu F.O.+ e fez a tarefa.4) Não recebeu F.O.+ e não fez a tarefa.

Implicação lógica

Usamos implicação lógica quando o condicional (se... então ...) tiver valor lógico verdadeiro.

→

⇒

Equivalência lógica

Usamos equivalência lógica quando o (bi)condicional (... Se, e somente se, ...) tiver valor lógico verdadeiro.

Também usamos equivalência lógica quando as tabelas-verdades são iguais.

↔

⇔

Sentença aberta

Sentença em que o valor lógico (V ou F) depende de alguma informação (variável).

Ex.: x+2=13.

Existem duas formas de transformar sentenças abertas em proposições:

Atribuir valor às variáveis. Utilizar quantificadores.

Quantificador Universal

É indicado pelo símbolo que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”.

∀

∀

Quantificador Existencial

É indicado pelo símbolo que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”.

É também utilizado outro quantificador que se lê: “existe um único”.

∃

∃

|∃

Construindo tabela-verdade

Negando uma conjunção

Podemos verificar, em (A), que , assim

sendo a negação da proposição é a proposição .

)(~)(~)(~ qpqp ∨⇔∧qp ∧

)(~)(~ qp ∨

Negação de uma disjunção

Podemos verificar, em (B), que ,

assim sendo, a negação da proposição é a proposição .

)(~)(~)(~ qpqp ∧⇔∨

qp ∨ )(~)(~ qp ∧

Negação de um condicional simples

Podemos verificar, em (C), que , assim

sendo, a negação da proposição é a proposição .

)~()(~ qpqp ∧⇔→qp →

)~( qp∧

Negação de proposições quantificadas

Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo , é negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo existencial e nega-se obtendo:

))()(( xpx∀

)(xp

))()(~( xpx∃

Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo é negada assim: substitui-se o quantificador existencial pelo universal e nega-se obtendo:

))()(( xpx∃

)(xp

))()(~( xpx∀