Introdução aos Logaritmos

1. Contexto Histórico

Os séculos XV e XVI foram marcados pela expansão comercial (grandes navegações e desenvolvimento da astronomia). A necessidade de aprimorar técnicas de navegação exigia métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos (da Astronomia – referencial para localização no mar, e do acúmulo de riquezas e dos juros gerados pelas viagens marítimas).

2. Contribuições

O primeiro a introduzir o cálculo logarítmico foi o escocês John Napier em 1614, publicando o primeiro tratado sobre logaritmos: "Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos".

Na mesma época, o suíço Jost Bürgi desenvolveu, independentemente, métodos com os mesmos fundamentos básicos, diferenciados pelo uso dos valores numéricos e da terminologia.

Sendo sua idéia anterior ou não à de Napier, o fato é que a publicação de seus resultados só ocorreu em 1620.

Reconhecendo a enorme importância do método de Napier, Henry Briggs adaptou-o para valores mais fáceis de serem utilizados por meio da introdução dos logaritmos decimais, na forma como os conhecemos hoje.

Ele elaborou a primeira tabela de logaritmos Ele elaborou a primeira tabela de logaritmos comuns que foi usada até o século 19.comuns que foi usada até o século 19.

Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação.

Dizia-se na época que a Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos “duplicou” invenção dos logaritmos “duplicou” a vida dos astrônomos, alusão ao a vida dos astrônomos, alusão ao fato de que o trabalho de cálculo fato de que o trabalho de cálculo diminuíra tanto com a introdução diminuíra tanto com a introdução dos logaritmos, que os astrônomos dos logaritmos, que os astrônomos poderiam produzir o equivalente ao poderiam produzir o equivalente ao que produziam antes, se pudessem que produziam antes, se pudessem viver duas vidas.viver duas vidas.

3. Definição de logaritmos

A operação de logaritmação deriva da

potenciação, como podemos ver no exemplo:

2x = 8 => 2x = 23 => x = 3 é o logaritmo de 8 na

base 2, como na notação:

log 2 8 = 3 , pois 23 = 8

Outros exemplos:

1) 3x = 81 => 3x = 34 => x = 4 é o logaritmo de

81 na base 3:

log 3 81 = 4, pois 34 = 81

2) 2x = 1/32 => 2x = 2-5 => x = -5 é o logaritmo

de 1/32 na base 2:

log 2 1/32 = -5, pois 2-5 = 1/32

Exemplos impossíveis:1) 4x = -16 (não conseguimos transformar base negativa em

positiva)

2) 0x = 2 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com outra base)

3) 5x = 0 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com outra base)

4) 1x = 3 (para transformarmos 1 em uma potência com outra base teremos expoente 0, o que eliminaria a variável x da equação)

Definição:

Considerando dois números reais, a e b,

positivos com a ≠ 1, chamaremos logaritmo do

número b na base a, o expoente x, de forma que

ax = b.

log a b = x ↔ ax = b (Condições de existência: b

> 0 e 0 < a ≠ 1)

Observação:

Os sistemas de logaritmos são definidos

por suas bases:

log a b => sistema de logaritmos de base a

log 10 b ou log b => sistema de logaritmos de

base 10 ou sistema de logaritmos decimais

Resolução:1) log 6 36

log 6 36 = x => 6x = 36 => 6x = 62 => x = 2

2) log 10 0,01

log 10 0,01 = x => 10x = => 10x = 10-2 => x = -2

3) log 2

log 2 = x => = 2 => 2-2x = 2 . => 2-2x = =>

-2x = => x = -

4) log a 64 = 6

log a 64 = 6 => a6 = 64 => a = ± => a = ± 2, como a Condição de existência da base é a > 0 e a ≠ 1, a = 2

2

3

2

4. Algumas Aplicações

http://www.youtube.com/watch?v=8fR5iOFtY2c&feature=player_embedded

Na MatemáticaOs logaritmos são utilizados na matemática

para resolver equações exponenciais do tipo 52x – 7 . 5x + 12 = 0 e também problemas de matemática financeira ou outros.

Vejamos o exemplo:

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? 

Resolução: Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. 

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t.

Na MatemáticaDe acordo com a situação problema, temos: 

M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? 

M = C * (1 + i)t 3500 = 500 * (1 + 0,035)t 3500/500 = 1,035t 1,035t = 7 

Aplicando logaritmo 

log 1,035t = log 7 t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica ) t * 0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7 

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação. 

Na Química

Poucas profissões dependem tanto de um bom cálculo

das proporções quanto a do químico. É que as substâncias reagem

nos tubos de ensaio em obediência a uma determinada

proporção, e é preciso fazer cálculos para prever o resultado das

misturas feitas em laboratório. Também se mede a velocidade

das reações recorrendo a uma escala logarítmica e o cálculo do

pH de uma solução define-se como um logaritmo decimal do

inverso da respectiva concentração, por exemplo, um líquido cuja

concentração de H3O+ é 4,8 . 10-8 mol/l tem pH = 8 – log 4,8.

Na QuímicaVejamos outro exemplo:

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 

Q = Q0 * e–rt 200 = 1000 * e–0,02t 200/1000 = e–0,02t 1/5 = e–0,02t 

loge1/5 = logee-0,02t (aplicando definição) –0,02t = loge1/5 –0,02t = loge5–1 –0,02t = –loge5 –0,02t = –ln 5 * (–1) 0,02t = ln 5 t = ln 5 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 80,47  A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Na GeologiaO geólogo depende muito da matemática. Dentre

as ferramentas mais utilizadas por ele estão as funções exponenciais e logarítmicas, que são usadas, por exemplo, para analisar o comportamento dos sedimentos nos rios. O cálculo com logaritmos mostra que parte de sedimentos afunda rapidamente e quanto continua empurrado pela correnteza.

A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e

Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de grandes proporções. Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus. 

Na GeologiaUm exemplo:

Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter? 

I = 6

Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula: 

I = (2/3)log10(E/E0), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h e E0: 7 x 10-3 kW/h. 

6 = (2/3)log10(E / 7 x 10-3) 9 = log10(E / 7 x 10-3) 109 = 10log

10(E / 7 x 10-3) (consequência da definição)

109 = E / 7 x 10-3 E = 7 x 10-3 x 109 E = 7 x 106 kW / h 

A energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x 106 kW/h.

Visualização de Cálculos e Gráficos

Existem diversos softwares educativos livres, que

fazem cálculos matemáticos e esboçam gráficos de funções,

como o Graphmática. Propomos a utilização deste software

de fácil utilização para obtenção de uma noção de funções

logarítmicas através de cálculos e visualização de gráficos,

favorecendo a construção do conhecimento e estimulando a

capacidade de observação e da análise crítica.

Visualização de Cálculos e Gráficos

Exemplo de Utilização:

Visualização de Cálculos e Gráficos

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