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<."1 ' FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL ~~ lit& ... , ..
UNICAMP DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
I
I Laje sobre solo para funda~ao de resid€mci/
Eng. Luiz Carlos de Almeida
Orientador Prof. Dr. Vinicius Fernando Arcaro
Dissertac;;ao de Mestrado apresentada a Comissao de P6s-Gradua<;ao da
Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Campinas, c~;ro
parte dos requisites para obtenc;;ao do titulo de Mestre em Engenharia CiJ, na
area de Engenharia de Estruturas. 1
I
FICHA CATALOGAAFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DA AREA DE
ENGENHARIA- BAE- UNICAMP
AL64L Almeida, Luiz Carlos de
Laje sobre solo para fundayao de residencia, Luiz Carlos de Almeida. Campinas, SP: [s.n.], 2001.
Orientador: Vinicius Fernando Arcaro. Dissertayiio (mestrado) - Universidade Estadua1 de
Campinas, Faculdade de Engenharia Civil.
1. Lajes de concreto. 2. Placas (Engenharia). 3. Pisos de concreto. 4. Fundayoes (Engenharia). I. Arcaro, Vinicius Fernando. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil. III. Titulo.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
Laje sobre solo para fundac;ao de residimcia
Eng.0 Luiz Carlos de Almeida
Disserta9ao de Mestrado apresentada a banca examinadora constituida por
Prof. Dr. Vinicius Fernando Arcaro
Universidade Estadual de Campinas- UNICAMP- Campinas
Prof. Dr Ne / on de Oliveira Pinto Jr.
Universidade Estadua tle Campinas- UNICAMP- Campinas
,_ f(~\)"1149?
Prof. Dr. Athail Rangel Pulino Filho
Universidade de Brasilia - UnB - Brasilia
Campinas, Outubro de 2001.
Laje sobre solo para fundac;ao de residencias
Resume: Esse texto esta dirigido principalmente para lajes
sabre solo para funda9ao de residencias. Refor9o de a9o e utilizado principalmente para minimizar fissuras devidas a retra9ao do concreto. A analise estrutural para laje sabre
solo e descrita por urn procedimento simples e complete
baseado no programa de computador ANSYS, utilizando o
elemento shell63. As recomenda96es da literatura
estrangeira (principalmente dos EUA) sao enfatizadas para
investiga9ao do solo, analise estrutural e constru9ao de
laje sabre solo. Uma aplica9ao a urn caso real e descrita.
Uma laje sabre solo para funda9ao de residencia e analisada
e fotos dos detalhes da sua constru9ao sao mostrados.
Abstract: This text is mainly directed toward slab on grade
for residential foundations. Steel reinforcement is used
mainly to minimize cracks due to concrete shrinkage. The
structural analysis for slab on grade is described by a
simple and complete procedure based on ANSYS computer
software, using the shell63 element. The recommendations
from foreign (mainly from USA) literature are emphasized
for soil investigation, structural analysis and
construction of slab on grade. A real case application is
described. A slab on grade for residential foundation is
designed and pictures of its construction details are
shown.
I
1 INTRODUCAO 1
~ FUNDAMENTOS PARA 0 DIMENSIONAMENTO DA LAJE 4
2.1 VIGA SOBRE BASE ELASTICA ___________________ 4 2.1.1 fOR<;:A CON CENTRAD A APLICADA EM UMA VIGA INFINITA 6 2.1.2 RAIO DE RIGIDEZ RELA TIVA 7 2.1.3 FOR<;:A CON CENTRAD A APLICADA EM UMA VIGA SEMI-INFINITA 8 2.2 MODELO PARA FOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO 9 2.2.1 fOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO LONGE DAS BORDAS 10 2.2.2 fOR<;:A POR UN!DADE DE COMPRIMENTO PER TO DE UMA DAS BORDAS 11 2.3 PLACA SOBRE BASE ELASTICA 11 2.3.1 RAIODERIGIDEZRELATIVA 12 2.3.2 fOR<;:A CONCENTRADA LONGE DAS BORDAS 13 2.3.3 fOR<;:A CONCENTRADA PER TO DE UMA DAS BORDAS 14 2.4 INTEGRAlS PARA 0 CENTRO DO RET ANGULO 16 2.4.1 INTEGRAL It 16 2.4.2 INTEGRAL 17 2.5 INTEGRAlS PARA A METADE DO LADO DO RET ANGULO 18 2.5.1 INTEGRAL It 19 2.5.2 INTEGRAL 19 2.6 DISTRIBUI<;:Ao DA FOR<;:A CONCENTRADA NO QUADRADO 19 2.6.1 LONGE DAS 19 2.6.2 PER TO DE UMA DAS BORDAS 20
,! 0 CONCRETO 22
3.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO 22 3.1.1 RESISTENCIA A COMPRESSAO D_O_C_O_N-'C_R_E_T_O _____________ 23
3 .1.2 MODULO DE RUPTURA DO CONCRETO 26 3 .1.3 RESISTENCIA AO CISALHAMENTO DO CONCRETO 26 3.1.4 MODULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO 27 3.2 T!POS E CAUSAS DE FISSURAS 27 3.2.1 MOVIMENTO DO SOLO 28 3.2.2 COMPORTAMENTO TERMICO DO CONCRETO 28 3.2.3 COMPORTAMENTO DE RETRA<;:AO DO CONCRETO 30 3.3 RECOMENDA<;:OES PARA EVITAR FISSURAS 32 3.3.1 MOVIMENTODOSOLO 33 3.3.2 COMPORTAMENTO TERMICO DO CONCRETO 34 3.3.3 COMPORTAMENTO DE RETRA<;:AO DO CONCRETO 34 3.3.4 REFOR<;:O PARA LAJE SOBRE SOLO 36 3.3.5 JUNTAS 41
II
i OSOLO 49
4.1 SUBLEITO_-::----------------------- 49 4.1.1 CLASSIFICA<;:AO DO 49 4.1.2 DENSIDADE 49 4.1.3 IN DICE DE 50 4.2 PREPARA<;:AO DO LOCAL 51 4.2.1 SOLOS EXPANSIVOS 51 4.2.2 SOLOS COLAPSiVEIS 52 4.2.3 APOIOS RIGIDOS E FLEXiVEIS 53 4.2.4 ENCHIMENTO 53 4.2.5 MODULO DE REA<;:AO DO 54 4.3 SUB-BASE 56 4.4 TENSAO VERTICAL NO SOLO 57 4.4.1 TEORIA DE 59 4.4.2 TEORIA DE WESTERGAARD 60 4.4.3 TEORIA DA INCLINA<;:AO 2: 62 4.4.4 EXEMPLO 64
~ EXEMPLOl 66
5.1 ARQUIVO PARA 0 ANSYS _________________ 66 5.2 CARGA DE COL UNA 67 5.2.1 RAIO DE RIGIDEZ 67 5.2.2 fOR<;:A CONCENTRADA PERTO DE UMA DAS BORDAS 68 5.2.3 FOR<;:A CONCENTRADA LONGE DAS BORDAS 70 5.3 CARGA DE PAREDE 72 5.3.1 RAIODERIGIDEZRELATJVA 72 5.3.2 FOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO PER TO DE UMA DAS BORDAS 73 5.3.3 FOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO LONGE DAS BORDAS 74
~ EXEMPL02 77
6.1 GEOMETRIA PARA 0 ANSYS ----------------- 77 6.2 DETERMINA<;:AO DA ESPESSURA DA LAJE 79 6.3 RESULTADOS DO ANSYS 80
1 EXEMPL03 84
7.1 FOR<;:AS APLICADAS:==:::------------------- 85 7.2 ARQUIVO PARA 0 ANSYS 86 7.3 RESULTADOS DO ANSYS 93 7.4 FOTOS MOSTRANDO DETALHES DA CONSTRU<;:AO 100
III
§. CONCLUSOES
2 REFERENCIAS
107
108
IV
1 lntrodu~ao
Por laje sobre solo deve ser entendido a defini9ao da
referencia [03] que significa uma laje continuamente
suportada pelo solo, com carga total quando uniformemente
distribuida menor ou igual a 50% da capacidade de suporte
admissivel do solo. A laje pode ser uniforme ou de
espessura variavel, e pode incluir elementos de
enrijecimento como nervuras ou vigas. A laje pode ser de
concreto simples, concreto refor9ado ou concreto
protendido. 0 refor90 de a90 pode ser providenciado para os
efeitos de retra9ao e temperatura ou carregamento
estrutural. Esse texto esta dirigido principalmente para
lajes sobre solo para funda9ao de residencias onde, para
finalidade de refor9o de a9o, a a9ao predominante e a
retra9ao do concreto.
Em geral, considerando a situa9ao atual da constru9ao civil
Brasileira, pode ser dito que uma laje sobre solo para
funda9ao, quer sua finalidade seja ou nao para residencia,
recebe pouca aten9ao tanto durante a fase de projeto quanta
durante a fase de constru9ao. Como consequencia as
recomenda96es que poderiam evitar muitos problemas sao
simplesmente ignoradas. Alias, convem mencionar que uma
Norma Brasileira para projeto e execu9ao de laje sobre solo
nem sequer existe. Entretanto, existe literatura de
excelente qualidade produzida principalmente pelo American
Concrete Institute (ACI) e pela Portland Cement Association
(PCA).
1
Na constru9ao civil Brasileira, a utiliza9ao de laje sabre
solo para funda9ao esta repleta de mitos. Urn desses mitos
estabelece que o sistema composto por estacas e vigas
baldrames seria mais economico. Esse mito esta
particularmente sedimentado e provavelmente foi verdade
decadas atras quando a disponibilidade de concreto usinado
era escassa. Nos dias atuais, laje sabre solo para funda9ao
pode ser projetada e construida com economia e mais
importante ainda e enfatizar que esse sistema proporciona
uma plataforma estavel para o restante da constru9ao.
Antes de iniciar a constru9ao, aten9ao deve ser dada aos
fatores que influenciam diretamente o desempenho da laje: o
tipo de solo, a uniformidade do suporte do subleito, a
qualidade do concreto, o tipo e espayamento das juntas e o
acabamento superficial. 0 ponto que merece grande destaque
e o conhecimento da natureza e caracteristicas do solo
sabre o qual a laje sera construida. Todos esses fatores
sao abordados nesse texto e muitas das principais
recomenda96es aqui contidas, derivadas da pesquisa em
literatura estrangeira, aplicam-se ao projeto e execu9ao de
laje sabre solo, quer sua finalidade seja ou nao para
funda9ao de residencia.
Como o desempenho estrutural da laje depende tanto da
qualidade do concreto como tambem das propriedades do solo
sabre o qual esta apoiada, as recomenda96es da literatura
estrangeira sao enfatizadas para a dosagem, a fabrica9ao, a
aplica9ao e o acabamento do concreto e tambem para a
caracteriza9ao e a prepara9ao do solo para proporcionar urn
suporte uniforme para a laje.
2
Para o calculo estrutural, e importante conhecer o modulo
de rea9ao do solo. Para carregamentos moderados, somente urn
grau limitado de informa9ao geotecnica esta normalmente
disponivel. Entretanto, assumindo uma homogeneidade no solo
do local de interesse, urn valor para o modulo de rea9ao do
solo, pode ser estimado a partir do ensaio CBR (California
Bearing Ratio) para esse solo. A situa9ao ideal de projeto
e o projetista estrutural contar com a colabora9ao de urn
especialista em solo.
A analise estrutural de lajes sobre solo e descrita por urn
procedimento simples e completo, baseado no programa de
computador ANSYS. Os carregamentos sao representados por
for9as por unidade de comprimento - devidas as paredes,
for9as por unidade de area - devido ao peso proprio e carga
acidental e for9as concentradas (foryas distribuidas numa
pequena area) - devidas aos pilares ou rodas de veiculos.
Exemplos de aplica9ao comparando os resultados obtidos pela
teoria da elasticidade com os do programa ANSYS sao
apresentados. Uma aplica9ao a urn caso real - uma laje sobre
solo para funda9ao de residencia e calculada e sao
apresentados detalhes da sua constru9ao.
3
2 Fundamentos para o dimensionamento da laje
A referencia [12] apresenta seis metodos para a
determina9ao da espessura de uma laje sabre solo, para
diferentes tipos de carregamentos e com a utiliza9ao de
armaduras para redu9ao da espessura da laje. Neste texto
sao consideradas as expressoes da teoria da elasticidade
nos problemas de vigas e placas apoiadas sabre base
elastica. Os carregamentos sao estaticos e bern definidos,
possibilitando com isso sistematiza9ao e simplifica9ao dos
procedimentos. E sugerida a utiliza9ao de programas de
computador para a verifica9ao da resistencia estrutural, em
especial do programa de computador ANSYS [01].
2. 1 Viga sobre base elastica
Defini9ao das variaveis para o problema da viga sabre base
elastica:
k modulo de rea9ao do solo
b largura da viga
h altura da viga
E modulo de elasticidade
cr tensao de tra9ao na fibra extrema
P for9a concentrada
I momenta de inercia da se9ao transversal
A Figura 1 apresenta a vista e a se9ao transversal de uma
viga sujeita a uma for9a concentrada.
4
p p
z
r b y
Figura 1
A tensao normal a se9ao transversal da viga, devido a uma
for9a P concentrada, pode ser obtida da teoria da
elasticidade, supondo material elastica linear, e pode ser
escrita como:
Mx (z) cr, = I Y
Para a se9ao retangular com as medidas indicadas na Figura
1, o momenta de inercia da se9ao transversal pode ser
escrito como:
I = bh3
12
As tensoes criticas na se9ao transversal ocorrem nas fibras
extremas. Substituindo I e y na equa9ao da tensao segue:
Tensao na fibra inferior:
6 +-2 Mx (z)
bh
5
Tensao na fibra superior:
cr, 6
--M (z) bh2 X
A expressao para o momenta fletor sera apresentada supondo
duas possibilidades para a aplica9ao da for9a concentrada,
sendo uma para viga de comprimento infinito e outra para
viga de comprimento semi-infinito.
2.1.1 For~ra concentrada aplicada em uma viga infinita
A referencia [07] apresenta a seguinte expressao para o
momenta fletor numa viga infinita:
Mx (z)
Onde:
1
~ (::3 J 0 ponto de momenta maximo na viga pode ser determinado pelo
seguinte:
dMX dz
p -p, A 0 => - - e cos pZ 2
O=>z=O
6
Portanto, o valor do momenta maximo na viga pode ser
escrito como:
p
4[3
Substituindo o valor do momenta maximo na expressao da
tensao na fibra inferior, a maxima tensao de tra9ao pode
ser escrita como:
6 p (J ----
bh2 4[3
1
[3 = ( ::3 ) => (J ) P ( E ~ 2 b kh5 J
2.1.2 Raio de rigidez relativa
Raio de rigidez relativa e a distancia a partir do ponto de
aplica9ao da for9a concentrada ate o primeiro ponto de
tensao nula. Essa distancia pode ser determinada igualando
a expressao do momenta a zero. Logo:
Mx (z) = 0
cos [3z sin [3z => [3z 1t
4
7
~ - ( 3
k ~ =} z ~ 0. 5968 (Ekh3 i
- Eh3) )
Por distancia relativamente longe das bordas entende-se uma
distancia nao inferior ao raio de rigidez relativa.
2.1.3 Forc;a concentrada aplicada em uma viga semi-infinita
A referencia [07] apresenta a seguinte expressao para o
momento fletor numa viga semi-infinita:
p _A, . R = -- e" Slll pZ
~
Onde:
0 ponto de momento minimo na viga pode ser determinado pelo
seguinte:
dMx
dz
1t 0 =} ~z =
4
Portanto, o valor do momento minimo na viga pode ser
escrito como:
p -" )2. --e 4-
~ 2
8
Substituindo o valor do momenta minima na expressao da
tensao na fibra superior, a maxima tensao de tra9ao pode
ser escrita como:
6 p ~" .J2 ---e '-bh2 ~ 2
2.2 Modelo para forya por unidade de comprimento
Considere uma viga imaginaria de largura b, no interior de
uma laje e ortogonal a uma parede, conforme mostrado na
Figura 2.
viga imaginaria
/ pare de
b
Figura 2
9
Supondo w como sendo o peso por unidade de comprimento da
parede, a for9a concentrada que esta atuando sabre a viga
imaginaria de largura b pode ser escrita como:
P wb
A referencia [13] recomenda que o fator de seguran9a seja
escolhido entre 1.5 e 2.0. Portanto, a tensao admissivel de
tra9ao na flexao deve estar no intervalo:
A seguir serao apresentadas duas possibilidades de
posicionamento da for9a par unidade de comprimento, sendo
uma relativamente lange das bordas e outra relativamente
perto de uma das bordas da laje.
2.2.1 For~a por unidade de comprimento Ionge das bordas
Considerando a expressao obtida para o caso de viga
infinita sabre base elastica:
3~ P ( E ~ 2 b kh5
}
1
P = wb =:> <J ~ 1.1398w(k~5 J A maxima tensao de tra9ao ocorre diretamente sob a linha de
aplica9ao da for9a por unidade de comprimento, na face
10
inferior da placa. Essa expressao permite a determina9ao da
espessura de uma laje sujeita a for9a por unidade de
comprimento relativamente lange das bordas.
2.2.2 For~a por unidade de comprimento perto de uma das bordas
Considerando a expressao obtida para o caso de viga semi
infinita sabre base elastica:
(j ~ r::: --" p ( E j' 3 4 -v2e 4 - --
b kh5
1
P wb=>cr~l.4698w(k~sJ
A maxima tensao de tra9ao ocorre a uma distancia igual ao
raio de rigidez relativa a partir da linha de aplica9ao da
for9a por unidade de comprimento, na face superior da
placa. Essa expressao permite a determina9ao da espessura
de uma laje sujeita a for9a por unidade de comprimento
relativamente perto da borda.
2.3 Placa sobre base elastica
Defini9ao das variaveis para o problema de placa sabre base
elastica:
k modulo de rea9ao do solo
h espessura da placa
E modulo de elasticidade
11
v coeficiente de Poisson
cr tensao de tra9ao na face externa da placa
P for9a concentrada
De acordo com a referencia [16] , uma das considera96es para
a dedu9ao das expressoes apresentadas a seguir, e que a
media do comprimento e largura da area de distribui9ao da
for9a concentrada e maior do que a espessura da laje.
2.3.1 Raio de rigidez relativa
No caso de placa sobre base elastica, de acordo com a
referencia [16] , o raio de rigidez relativa e definido pela
seguinte expressao:
l
Para uma for9a concentrada o momenta radial e maximo e
positive diretamente sob a for9a, produzindo tra9ao na face
inferior. Ao longo de uma linha reta o momenta permanece
positive e decresce para zero na distancia l a partir da
for9a. 0 momenta torna-se negative atingindo urn minima
(tra9ao na face superior) na distancia 21 a partir da
for9a. o valor absolute do momenta negative e
significativamente menor do que o valor do momenta maximo
positive. 0 momenta aproxima-se de zero na distancia 31.
E interessante observar que o raio de rigidez relativa
originado da teoria de placa sobre base elastica e proximo
12
ao raio de rigidez relativa originado da teoria de viga
sobre base elastica.
o~v~o.5=:-(
Eh3 ~
0.5373 k) (Eh
3 ~ 0.5774 kJ
1
z z (
Eh' r 0.5968 k)
2.3.2 For~a concentrada Ionge das bordas
De acordo com as referencias [16] e [17], para uma area de
distribui9ao da for9a concentrada longe das bordas, as
tens6es na face inferior da placa, no ponto (x,y) mostrado
na Figura 3, podem ser escritas como:
Onde:
1' Eh3
Jl = lim (i..!: -ln n) z 0. 57721566490153286060651209008240 n-7= k"'l k
13
I 1 (x, y) = ~ J 1nrdA A A
I2
(x, y) 1 J 2 = - cos OdA AA
r cos e (x - u) ' r sine (y- v)
(x, y)
r
(u, v)
A
Figura 3
2.3.3 Forc;a concentrada perto de uma das bordas
De acordo com as referencias [16] e [17], para uma area de
distribui9ao da for9a concentrada perto da borda, a tensao
na face inferior da p1aca, na dire9ao para1e1a a borda e no
ponto (0,0) mostrado na Figura 4, pode ser escrita como:
12 (1 + v) p [ ( 1-" ) (1 - v) CJx = ( ) 2 - I 1 + 1n 2e 1 - I 2
1t3+Vh 2
v ---B.
2 ~ + B y]
2 1
14
y
A
borda X
Figura 4
Os termos B1 e B2 sao calculados pelas expressoes:
Bl
1-J 1+v-2(1-v)2
a 2W - da 2 0 1 + 4 (1 - v) a 2y2
- (1 - vt a'
os valores a, ~, y sao valores positivos satisfazendo as
rela<;6es:
Alguns valores para B1 e B2 estao mostrados na Tabela 1,
retirada da referencia [16] .
Tabela 1
15
0.15 0.9544 0.3822
0.20 0.9627 0.4131
0.30 0.9830 0.4786
2.4 lntegrais para o centro do retfmgulo
a
(u,v)/
2.4.1 lntegrall1
I 1 = _:I:_ J ln rdA A A
'
1 0 0
I 1 = - J J ln ( u' + v2
) dudv 2ab -b -a
(o, o)
Figura 5
= -2u + 2v arctan u + u ln (u' + v') v
b
16
0
J ln ( u 2 + v 2) du
-a
J v arctan : dv
= -2a + 2v arctan a + a ln (a' + v') v
av v 2 a a' v +-arctan- --arctan-
2 2 v 2 a
o a J v arctan v dv = -b
ab
2
b 2 a +-arctan-
2 b
a' b -arctan-2 a
J ln ( v 2 + a') dv
0
J ln ( v 2 + a2
) dv -b
I = - 1- [-3ab + 1 2ab
= -2v + 2a arctan v + v ln (v' + a') a
-2b + b
2a arctana
+ b ln (b' + a 2)
a b 2 arctan
b + a 2 arctan: + ab ln (b' +a')]
1 [ b a a b ( )] - -3 + - arctan- + - arctan - + ln b 2 + a' 2 a b b a
2.4.2 Integral 12
I2
= _:I:_ J cos' 9dA A A
I,
17
2
f u d -(u2 + v2) u
u u- v arctan
v
a a- v arctan
v
f v arctan : dv = av v' a
+-arctan-2 v 2
o a J v arctan v dv -b
ab b 2 a -+-arctan-
2 2 b
a 2 v --arctan-
2 a
a' b --arctan-
2 a
I, 2.. (ab-ab
ab 2
b2 a a' b) - - arctan- + - arctan-
2 b 2 a
b a a b -arctan +-arctan-2a b 2b a
2.5 /ntegrais para a metade do /ado do retfmgulo
18
a
(o, o)
(u, v) r
Figura 6
2.5.1 lntegrall1
1[ b a a b (' I1
= - -3 + arctan- + -arctan- + ln b 2 a b b a
2.5.2 Integral 12
1 b a a b I 2 = - - - arctan - + - arctan-
22a b2b a
2.6 Distribui~ao da for~a concentrada no quadrado
2.6.1 Longe das bordas
As tensoes na face inferior da placa, no ponto (0,0)
mostrado na Figura 7, podem ser escritas como:
b
19
1t 3 + ln( E) 1
I, = ' I, 4 2 2
(j ~ (1 + v) [ ln (~) + ln (2he-") + ~ - rr] 2rrh2 a 2 4
3P (1 + v) ( 1) (j ~
2 ln 3. 2450-
21th a
y
X a
~
.·
a
Figura 7
2.6.2 Perto de uma das bordas
A tensao na face inferior da placa, na dire9ao paralela a borda e no ponto (0,0) mostrado na Figura 8, pode ser
escrita como:
I, = rr-3
2 - ~ arctan 2 + ln (~a) , I 2 =
1t + 1 5 --- - - arctan 2
2 4
20
12 (1 + v) p [ ( 1-" ) (1 - v) cr = ) -I1 + ln 2e 1 - I 2
1t (3 + v h 2 2
v ---B
2 1 + B ~] 2
21
12 (1 + v) P [ ( 1) a ] )
2 0.41613 + 1n 2.7302- - 0.15657V- B1 + -B2
1t (3 + v h a 21
a
borda X .
a
Figura 8
21
3 0 concreto
3.1 Propriedades do Concreto
A especifica9ao da resistencia a compressao do concreto tern
influencia direta na determina9ao da espessura da laje
sobre solo e nas propriedades das superficies acabadas. A
resistencia a compressao tambem tern influencia na
deforma9ao de retra9ao, na deforma9ao lenta e nas
deforma96es devido a varia9a0 da temperatura ambiente. A
determina9ao e a especifica9ao dessa resistencia sao
fundamentais para o desempenho estrutural da laje.
A resistencia ao desgaste (abrasao) do concreto, de uma
laje sobre solo, esta diretamente relacionada com a
resistencia a compressao do concreto. Pesquisas da Portland
Cement Association [13] tern mostrado que a resistencia ao
desgaste (abrasao) aumenta com a redu9ao da quantidade de
agua ou com urn aumento na quantidade de cimento, ou ambos,
tanto urn como outro tambem aumentam a resistencia a compressao do concreto. A qualidade rica da argamassa e que
e importante; a solidez e a dureza do agregado graudo
come9am a ficar importantes somente ap6s o desgaste da
superficie da argamassa.
Durante a execu9ao da laje, a concretagem e o acabamento
superficial sao igualmente importantes tanto quanta a
resistencia do material, porque essas opera96es produzem urn
efeito significativo sabre a qualidade de camada fina (de
1.5 a 3.0 mm) na superficie superior da laje. Na fabrica9ao
22
do concreto deve-se cuidar especialmente dos seguintes
fatores: resistencia a compressao, quantidade minima de
cimento, tamanho maximo do agregado graudo, slump e uma
pequena quantidade de ar incorporado.
3.1.1 Resistencia a compressao do concreto
A referencia [13] recomenda para resistencia minima a compressao do concreto aos 28 dias para os projetos de
lajes sobre solo urn valor igual a 27.0 MPa ou 31.0 MPa no
caso de concreto protendido. Resistencias inferiores podem
ser adequadas para resistirem aos carregamentos mas serao
inadequadas para resistirem ao desgaste de utiliza9ao. E tambem prudente exigir uma resistencia do concreto de 12.0
MPa antes de autorizar o transito de constru9ao sobre a
laje, essa resistencia e usualmente obtida aos 3 dias ap6s
a concretagem, para concretos de resistencia minima de
acordo com o recomendado acima.
3.1.1.1 Quantidade minima de cimento
A concretagem da laje necessita em particular de quantidade
de cimento para uma trabalhabilidade apropriada, essa
quantidade de cimento e adotada como sendo a especifica9ao
minima necessaria.
Com a utiliza9ao de tecnologias modernas, alta resistencia
do concreto tern sido obtida, com quantidade de cimento cada
vez menor. Quando somente a resistencia a compressao e o
criterio de decisao, menor quantidade de cimento significa
maior economia na execu9ao do concreto. Entretanto, a
23
resistencia a abrasao depende da dureza superficial do
concreto tanto quanta a sua resistencia interna e, desse
modo, necessita de maior quantidade de cimento. Uma
quantidade minima de cimento pode ser especificada, de modo
a garantir a trabalhabilidade, para maxima resistencia a abrasao, como tambem, uma adequada resistencia interna.
Segundo a referencia [13) , a quantidade de cimento nao deve
ser inferior ao apresentado na Tabela 2. Sempre que for
possivel, a utiliza9ao de agregados com tamanhos maiores
possibilitam a ado9ao de quantidades menores de cimento.
Tabela 2
38.0 278
25.4 308
19.1 320
12.7 350
09.5 362
3.1.1.2 Tamanho maximo do agregado graiido
0 grau que a fissura9ao de retra9ao pode ser reduzido com o
uso de concreto que contenha a gradua9ao adequada dos
agregados com tamanho maximo do agregado graudo compativel
com a forma de aplica9ao e acabamento da laje. Tamanhos
maiores do agregado permitem reduzir a quantidade de agua
no concreto tornando mais eficiente a redu9ao da retra9ao
da pasta de cimento. o tamanho maximo do agregado mostrado
na Tabela 2 pode ser utilizado desde que nao exceda 1/3 da
espessura da laje e nem 3/4 do espa90 livre entre as barras
da armadura.
24
3.1.1.3 Slump
As primeiras causas do fraco desempenho do concreto da laje
sao grandes slumps e uma consequente retra9ao, segrega9ao e
exuda9ao. Se for para a laje acabada ser nivelada, de
aparencia uniforme e com resistencia a abrasao, e
importante que todos os lotes de concreto tenham slumps os
mais pr6ximos possiveis. Na aplica9ao de concretos com
baixo slump (de 5 a 10 em) e comum a utiliza9ao de
equipamentos mecanicos para o adensamento desse concreto,
tais como reguas vibrat6rias que se ap6iam nas laterais da
forma. Quando tais equipamentos sao utilizados na
concretagem de laje, menos agua e acrescida no local e
desse modo a resistencia superficial de utiliza9ao e
aumentada. Baixo slump do concreto acarretara uma grande
contribui9ao para: maior velocidade de aplica9ao e
adensamento; redu9ao no tempo de acabamento; redu9ao da
fissura9ao; elimina9ao de defeitos superficiais. Segundo as
referencias [04) e [10) urn slump maximo de 12.5 em e
recomendado para lajes comerciais e 10.0 em para lajes
industriais.
3.1.1.4 Ar incorporado no concreto.
Uma pequena quantidade de ar propositadamente incorporado e
usual em muitos concretos de lajes para reduzir a exuda9ao
e aumentar a plasticidade. Uma quantidade total de 2% a 3%
e recomendada pela referencia [04) .
25
3.1.2 Modulo de ruptura do concreto
A resistencia a tra9ao do concreto na flexao e denominada
de modulo de ruptura e e determinada pelo ensaio de uma
viga de concreto simples carregada em tres pontos, de
acordo com o procedimento descrito na referencia [06] . Os
valores do modulo de ruptura podem ser estimados em fun9ao
de urn coeficiente multiplicando a raiz quadrada da
resistencia a compressao. Os valores desse coeficiente
variam, sendo que valores menores sao utilizados para
concretos com seixos rolados e valores maiores para
concretos com pedra britada. 0 modulo de ruptura do
concreto pode ser estimado segundo a referencia [02] por:
~ = 7. s.J( (lbf/in')
~ 0.622B.j( (MPa)
~=1.9893.j( (kgf/cm2)
Urn carregamento aplicado numa laje causa flexao que produz
tanto tensao de compressao como de tra9ao. Dos dois tipos
de tensao, a tensao de tra9ao e a mais critica porque seu
valor aproxima-se da resistencia a tra9ao na flexao do
concreto.
3.1.3 Resistencia ao cisalhamento do concreto
Na flexao em lajes, a resistencia ao cisalhamento do
concreto e raramente importante. Cisalhamento na flexao em
26
lajes nao necessita ser verificado pois nao tern sido
encontrado valor significative. Cisalhamento devido a pun9ao, podera ser importante para cargas de colunas
(for9as concentradas), especialmente quando existe uma
pequena base de apoio. Quando for necessaria a verifica9ao
da pun9ao, a referencia [12] recomenda as especifica96es
para lajes armadas em duas dire96es, que podem ser
encontradas na referencia [02] .
3.1.4 Modulo de elasticidade do concreto
Para concreto de peso normal, o modulo de elasticidade pode
ser estimado segundo a referencia [02] por:
Ec = 57000/i: (lbf/in2)
3.2 Tipos e causas de fissuras
Fissuras nas lajes sobre solo podem aparecer em virtude do
movimento do solo, do comportamento termico do concreto ou
do comportamento de retra9ao do concreto, segundo as
referencias [10] , [12] e [13] . Fissuras devidas aos
carregamentos nao deveriam existir no caso das lajes sem
armadura, pois as mesmas sao dimensionadas com tensoes de
tra9ao inferiores a resistencia a tra9ao do concreto na
flexao (modulo de ruptura) .
27
3.2.1 Movimento do solo
Levantamento e assentamento sao os dois tipos de movimento
do solo que podem provocar fissuras nas lajes sabre solo.
3.2.1.1 Levantamento
Fissuras causadas por levantamento podem ser identificadas
por saliencias verticais, fissuras correndo paralelo a uma
parede exterior, ou fissuras exibindo urn padrao em forma de
X num pequeno compartimento. E dificil distinguir fissuras
causadas por levantamento daquelas causadas por
assentamento.
3.2.1.2 Assentamento
Fissuras devido ao assentamento podem aparecer em forma
semi-circular na borda das lajes, fissuras emaranhadas ao
longo das bordas, lajes quebrando em pequenos peda9os com
cerca de 50 em de lado, ou fissuras diagonais atraves dos
cantos das lajes. Lajes que foram sobrecarregadas ou
possuem fraco suporte do solo irao assentar devido ao
adensamento do solo. Uma laje de 10.0 em de espessura pode
ser bastante rigida em urn solo firme, mas ira fissurar
facilmente em solo fraco.
3.2.2 Comportamento termico do concreto
28
A variaqao da temperatura no concreto pode provocar
fissuras nas lajes sobre solo de tres maneiras diferentes.
3.2.2.1 Varia«;ao de temperatura sazonal
se o concreto e lanqado no verao, ele pode experimentar uma
diminuiqao de temperatura durante o inverno cerca de 30
graus Celsius, o que podera causar a contraqao de cerca de
1.0 em numa laje de 30.0 m de extensao. Esse movimento de
contraqao podera fissurar a laje.
Se por outro lado o concreto e lanqado no inverno, neste
caso ele pode experimentar urn aumento na temperatura
durante o verao, que podera causar expansao de 1.0 em numa
laje de 30.0 m de extensao. Esse movimento de expansao
podera curvar a laje.
3.2.2.2 Varia«;ao de temperatura diaria
variaqao de temperatura diaria provoca urn gradiente de
temperatura atraves da espessura da laje. 0 sol aquece a
superficie superior, o que causa a expansao do concreto
perto dessa superficie, e a laje desenvolve uma forma curva
onde o centro esta mais alto do que as bordas. Se a
superficie superior esta mais fria que a inferior, a laje
tera uma forma curva onde as bordas estao mais altas do que
o centro.
3.2.2.3 Calor de hidrata«;ao
29
Hidrata9ao e o mecanismo pelo qual o cimento enrijece e
depois ganha resistencia. Calor de hidrata9ao e o calor
gerado internamente pelo concreto durante o processo
quimico de hidrata9ao do cimento.
Urn tipo de fissura comum que ocorre durante a primeira
noite ap6s o concreto ser lan9ado e causada pela combina9ao
do calor de hidrata9ao com a temperatura ambiente.
Comumente o concreto e lan9ado de manha e a tarde, com urn
sol quente a temperatura do concreto aumenta, especialmente
proximo da superficie superior. Internamente, o concreto
gera uma consideravel quantidade de calor devida ao
processo de hidrata9ao, no final do primeiro dia, o
concreto pode estar bern quente podendo atingir temperaturas
da ordem de 50 graus Celsius. Temperaturas frias do
anoitecer inicialmente reduzem a temperatura na superficie
superior, e esse concreto esfriado contrai. Esse movimento
de contra9ao podera fissurar o concreto, pois este ainda
nao atingiu uma resistencia capaz de suportar o movimento.
3.2.3 Comportamento de retra~ao do concreto
Durante o processo de cura e endurecimento do concreto tres
tipos de fissuras podem ocorrer nos elementos de concreto.
A forma9ao das fissuras esta diretamente relacionada com o
modo que o concreto perde o excesso de agua utilizada na
sua fabrica9ao e independe da atua9ao dos carregamentos.
3.2.3.1 Fissuras fragmentadas
30
Essas fissuras aparecem na superficie superior da laje onde
uma fina camada de pasta de cimento perdeu agua muito
rapidamente. As fissuras sao muito delicadas e pouco
profundas.
3.2.3.2 Fissuras de retra~;ao phistica
Fissuras de retra9ao plastica aparecem quando muita agua
evapora enquanto o concreto esta fresco, ou plastico na sua
consistencia. Essas fissuras possuem uma forma distinta.
Elas sao bastante largas na superficie, com profundidade
atingindo de 2.5 em a 5.0 em, com comprimento variando de
15.0 em a 1.50 m, geralmente com desenvolvimento paralelo
umas as outras e nao se prolongando para as bordas da laje.
3.2.3.3 Fissuras de retra~;ao por evapora~;ao
Fissuras de retra9ao desenvolvem-se depois do concreto
endurecido. Elas podem aparecer aleatoriamente ou possuirem
urn padrao uniforme. Para os casos de lajes com cantos
reentrantes, e praticamente certo o aparecimento de
fissuras originadas nesses cantos.
Existem dois motivos que contribuem para a perda de umidade
do concreto e por conseguinte causar a retra9ao. A
explica9ao para essa retra9ao esta relacionada com a
existencia de dois diferentes tamanhos de vazios no
interior do concreto. 0 primeiro deles e composto por poros
microsc6picos chamados vazios de capilaridade, que foram
criados pela agua da mistura inicial. 0 segundo deles,
vazios menores, chamados vazios de gel, existem no concreto
31
dentro das particulas de cimento hidratadas. Quando agua
evapora dos vazios de capilaridade, for9as de capilaridade
aparecem e colocam a agua em tensao de tra9ao. Portanto, os
s6lidos estao em tensao de compressao e a retra9ao ocorre.
Quando agua evapora dos vazios de gel, as particulas de
cimento hidratadas tornam-se menores e retra9ao adicional
ocorre.
Perda de agua de maneira uniforme no concreto nao ocorre em
laje sabre solo porque somente uma superficie esta exposta
a evapora9ao. Urn gradiente de umidade existe atraves da
espessura da laje onde a parte superior esta mais seca do
que a inferior, logo retra9ao sera maior na parte superior.
Essa condi9ao resulta na laje tendo uma forma curva.
Quando o movimento de curvatura e impedido, as tens6es na
parte superior da laje sao maiores do que se a laje
estivesse livre para curvar-se, logo fissuras ocorrem mais
cedo. Devido ao fato dessa curvatura nao poder ser evitada,
fissuras de retra9ao por evapora9ao em lajes sobre solo
podem ser somente minimizadas, mas nao evitadas.
3.3 Recomenda9oes para evitar fissuras
As referencias [10], [12] e [13] apresentam recomenda96es
para evitar a forma9ao de fissuras nas lajes sobre solo.
Essas fissuras podem ser devidas ao movimento do solo, ao
comportamento termico do concreto ou ao comportamento de
retra9ao do concreto.
32
3.3.1 Movimento do solo
Levantamento e assentamento sao os tipos de movimenta9ao do
solo que devem ser evitados e para tanto, algumas
recomenda96es podem ser executadas para combater a forma9ao
de fissuras em laje sabre solo.
0 fator critico que evita que solos de argila expansiva
causem problemas com levantamento e ter a certeza de que o
solo argiloso esta umido, com teor de umidade acima da
6tima, antes do concreto ser lan9ado. Molhar a argila para
atingir a umidade adequada pode levar dias e desse modo e aconselhavel ter urn especialista em solos acompanhando a
execu9ao desse trabalho.
Lajes para garagem ou passeios perto de uma casa, devem ser
livres para flutuar em cima do solo em oposi9ao a serem
ligadas nas funda96es, por isso, e recomendavel a execu9ao
de uma junta de isolamento preenchida com material de
enchimento.
Uma camada de brita graduada compactada com 10.0 em de
profundidade fornecera urn suporte firme e uniforme para a
laje, evitando os movimentos de assentamentos. Se uma brita
graduada nao for utilizada, o subleito deve fornecer urn born
suporte mesmo quando estiver molhado. Uma laje com 12.0 em
de espessura e 50% mais resistente a flexao do que uma laje
com 10.0 em de espessura.
Armaduras proporcionam urn beneficia marginal na preven9ao
de fissuras devidas a movimenta9ao vertical do solo.
33
3.3.2 Comportamento termico do concreto
Para minimizar a forma9ao de fissuras devidas ao
comportamento termico do concreto juntas devem ser
executadas na laje. Os tipos de juntas recomendadas em [12]
e [13] sao juntas de contra9ao, juntas de expansao e juntas
de constru9ao.
Juntas de contra9ao devem ser executadas no mesmo dia que a
laje for concretada e tern por finalidade facilitar a
ocorrencia de fissura9ao nos locais onde foram instaladas.
Juntas de expansao sao necessarias para permitir que a laje
possa expandir-se livremente sem curvar-se e devem ser
executadas com materiais compressiveis. Juntas de
constru9ao sao executadas nos locais onde sao necessarias
as interrup96es de concretagem da laje e devem ser
programadas previamente.
Refor9o de a9o e recomendado para a limita9ao da fissura9ao
devida ao comportamento termico do concreto.
3.3.3 Comportamento de retra.;;ao do concreto
Fissuras fragmentadas sao evitadas por metodos adequados de
acabamento da laje como a aplica9ao de socagem leve, nao
trabalhando demais a superficie e nao adicionando cimento
seco a superficie para absorver agua exsudada. Se
necessaria, a agua exsudada deve ser aspirada ou arrastada.
Fissuras de retra9ao plastica podem ser evitadas com
cuidados no lan9amento e acabamento da laje como manter a
34
temperatura do concreto tao baixa quanto possivel. A
concretagem dever ser o mais rapido possivel evitando expor
o concreto jovem a parte quente do dia, come9ando o
lan9amento do concreto ao entardecer ou mesmo ao anoitecer.
Fissuras de retra9ao por evapora9ao podem ser minimizadas
por urn concreto bern dosado, uma cura adequada, juntas de
contra9ao e reforyos.
Barreiras de vapor sao usadas primariamente para deter a
ascensao da umidade do solo atraves da laje. Barreiras de
vapor aceitaveis sao:
(a) Camada de brita 1 com 10.0 em a 15.0 em de espessura.
(b) Lona plastica de espessura 0.25 mm coberta com uma
camada de areia de 2.5 em a 5.0 em de espessura.
(c) Lona plastica de espessura minima 0.25 mm.
0 sistema preferido e (a) e (b) juntos. 0 sistema (c) pode
resultar em uma quantidade excessiva de fissuras na laje
para urn concreto com slump alto. Portanto, use o sistema
(c) somente com concreto de slump baixo, ou seja, 7.5 em no
maximo.
A areia serve para proteger o plastico da movimentayao dos
operarios, permitir a drenagem do excesso de agua do
concreto fresco e ajudar no processo de cura fornecendo
umidade para o concreto. Para evitar que o lanyamento do
concreto afaste a areia, esta deve estar represada. De
preferencia, o concreto deve ser lan9ado em cima de
concreto previamente lan9ado.
35
0 objetivo da cura e permitir o concreto ganhar
resistencia. Para isso, a temperatura deve estar acima de 4
graus Celsius e agua deve estar presente dentro do concreto
para hidratar o cimento. 0 melhor metodo de cura e inundar
o concreto, mas uma alternativa e usar uma cobertura de
controle da evapora9ao pulverizada no concreto fresco. Esse
metodo tenta conter a agua de mistura dentro do concreto e
e moderadamente eficaz. Uma superficie aspera requer uma
taxa de cobertura maior do que uma superficie lisa.
Enquanto a agua estiver contida dentro do concreto, nao
ocorre retra9ao por evapora9ao. Eventualmente o teor de
umidade no concreto diminui, e entao a retra9ao come9a.
Segundo a referencia [13], o metodo mais simples e seguro
para minimizar a maioria das fissuras em lajes sobre solo e
seguir rigorosamente as recomenda96es sobre espa9amento das
juntas de contra9ao.
3.3.4 Reforc;o para laje sobre solo
Laje sobre solo sem a utiliza9ao de refor90 e aceitavel,
desde que as juntas de contra9ao sejam executadas e
espa9adas adequadamente e que o suporte no solo seja
uniforme. Os tipos de refor9os utilizados para combater a
fissura9ao sao de barras de a9o ou telas soldadas, fibras
de a90 ou fibras de nylon misturadas no concreto.
3.3.4.1 Refon;o com barras de a~o ou telas soldadas
36
Fissuras na laje podem ocorrer mesmo com a utiliza9ao de
refor9o com barras de a9o ou telas soldadas. A finalidade
do refor90 e controlar a abertura e espa9amento das
fissuras. A referencia [10] recomenda uma quantidade de
refor9o que proporciona eficacia parcial no controle da
abertura das fissuras. Essa quantidade e equivalente a utiliza9ao de barras com 10.0 mm de diametro espa9adas a
cada 45.0 em nas duas dire96es para as lajes de 10.0 em de
espessura, e barras com 12.5 mm de diametro espa9adas de 60
em para lajes de 12.0 em de espessura. Alternativamente e
aceitavel o uso de tela soldada de malha quadrada com
espa9amento entre fios igual a 10.0 em e diametro dos fios
igual a 4.2 mm. E tambem aconselhavel essa quantidade de
armadura para solos com possiveis movimentos de
assentamento para evitar saliencias verticais na laje.
Mesmo com a utiliza9ao do refor90 com armadura, juntas de
contra9ao ainda sao necessarias e o seu espa9amento pode
ser maior do que aquele para lajes nao refor9adas. Nas
referencias [12] e [18] sao apresentados metodos para
dimensionamento do refor9o de armadura em fun9ao do
espa9amentos das juntas de contra9ao.
o refor9o (barras ou telas soldadas) deve estar posicionado
proximo da superficie superior da laje para minimizar a
abertura das fissuras, porque a maior retra9ao ocorre nessa
superficie. A disposi9ao do refor90 deve ser na metade
superior da laje e garantida a sua permanencia nesta
posi9ao durante a concretagem com a ajuda de espaQadores
(caranguejos). Quando existir a camada de areia, os
espa9adores devem ser apoiados abaixo dessa camada. Para
lajes com espessura maior ou igual a 12.0 em, as barras
37
devem ser colocadas 5.0 em abaixo da superficie superior da
laje.
3.3.4.2 Fibras de a~o
Refor9o com fibras de a9o melhoram algumas caracteristicas
do concreto, como por exemplo a tenacidade, a resistencia a fadiga e o controle da fissura9ao por retra9ao. As fibras
sao adicionadas na betoneira, em peso por volume de
concreto, na quantidade de 18.0 kgf/m3 a 30.0 kgf/m3, de
acordo com a referencia [10] . Procedimentos normais de
lan9amento e acabamento sao usados. Juntas de contra9ao sao
necessarias, mas o espa9amento pode ser maior do que aquele
para lajes nao refor9adas. Fibras de a9o sao altamente
recomendadas.
A Figura 9 mostra uma distribui9ao regular de fibras de
a9o, com diametro d e comprimento 1, nas tres dimensoes
espaciais dentro de urn volume de concreto.
38
al
Figura 9
o volume de fibras dentro de urn cubo imaginario de lado
igual a al pode ser escrito como:
v,
A rela9ao entre o volume de fibras e o volume de concreto
nesse cubo imaginario, pode ser escrita como:
p = :;, ( ~ J => a = [ !; ( ~ Jl~ Da referencia [11] pode ser inferido o seguinte:
a;:; o.4sif3
39
1
[ ~; ( ~ JT ::; 0 . 4 5:if3 ~ p 2: ----o:-1t ( dl )2
4(0.45)3
Considerando ~ como o peso especifico do a9o da fibra, o
minima peso de fibras de a90 por unidade de volume de
concreto, pode ser escrito como:
QJ 1tYs 2: 4 (o .45)' (~ J
A referencia [11] sugere o seguinte:
p 2: o.oo25 1 l
> 60 d
Considerando urn valor para o peso especifico do a9o, as
recomenda96es podem ser unificadas nas expressoes:
Q> 2: 68003 ( ~ J kgf/m3 I l
::; 60 d
Q> 2: 18.9 kgf/m3 I l > 60
d
E interessante observar que urn procedimento para controlar
as fissuras devidas a retra9ao do concreto pode ser
imaginado impondo se que a for9a causada pela retra9ao do
concreto seja menor ou igual a for9a de escoamento plastico
da se9ao da fibra de a9o.
40
1 :<:::
d
0 concreto misturado com fibras de aqo, na quantidade
superior a 1% em volume (cerca de 75 kgf/m3), forma urn
composto que apresenta aumento no valor do modulo de
ruptura quando comparado com o concreto simples [09] .
3.3.4.3 Fibras de nylon ou polipropileno
Fibras de nylon ou polipropileno nao proporcionam qualquer
beneficia no controle de fissuras de retraqao por
evaporaqao, mas possuem valor no controle de fissuras de
retraqao plastica. As fibras sao adicionadas na betoneira,
em peso por volume de concreto, na quantidade de 0.6 kgf/m3
a 0.9 kgf/m3, de acordo com a referencia [10].
3.3.5 Juntas
A funqao basica das juntas na laje sabre solo e acomodar os
movimentos de contraqao ou expansao da laje e desse modo
prevenir ou controlar as fissuras do concreto, sem que
ocorram danos a laje do ponto de vista estrutural e de
durabilidade, permitindo a adequada transferencia de
41
esfor9o entre as placas contiguas. A transferencia de
esfor9o, tambem chamada transferencia de cisalhamento, e
geralmente fornecida pelo intertravamento dos agregados,
barras de a~o ou junta macho-femea.
A maioria das fissuras nas lajes e resultado de tres a~oes:
mudan9a de volume devida a retra~ao, tensao provocada pelo
carregamento e flexao da laje. Fissuras podem ser o
resultado conjunto das tres a~oes. Fissuras irao aparecer
em qualquer tempo e em qualquer lugar onde a tensao no
interior de concreto for superior a sua resistencia.
Medidas de controle sao tomadas para induzir o concreto a
fissurar em urn local pre-determinado, que sera uma linha
reta ao longo da junta.
Tres tipos de juntas sao utilizados: juntas de isolamento,
juntas de controle, juntas de constru9ao.
3.3.5.1 Juntas de isolamento
Juntas de isolamento, tambem denominadas de juntas de
expansao, sao executadas em todos os locais onde e
desejavel permitir movimentos independentes entre a laje e
outras partes do edificio, tais como colunas, paredes ou
bases de maquinas. Esse tipo de junta permite movimentos
horizontais ou verticais entre a face da laje e as outras
partes do edificio porque nao existe contato, vinculo ou
mecanismo de liga~ao atraves da junta. A Figura 10
apresenta urn detalhe tipico para a junta de isolamento.
42
selante
laje
material compressivel
Figura 10
Colunas sobre sapatas isoladas sao separadas da laje por
uma junta de isolamento de forma circular ou quadrada. A
forma quadrada deve ser girada em rela9ao a se9ao da coluna
e ter seus cantos coincidindo com juntas de controle ou de
constru9ao, como mostrado na Figura 11.
construcao
~ isolamento
\ controle
Figura 11
43
No caso de ocorrer trafego de veiculos sabre uma junta de
isolamento, cuidados especiais deverao ser tornados para a
devida transferencia de esfor9o.
3.3.5.2 Juntas de controle
Juntas de controle, tambem denominadas juntas de contra9ao,
com apropriado espa9amento eliminam a causa das fissuras
aleat6rias e incontrolaveis. Elas permitem movimentos
horizontais da laje. Juntas de controle sao normalmente
executadas atraves de urn corte com uma ferramenta
apropriada no mesmo dia da concretagem, na profundidade de
1/4 da espessura da laje. 0 objetivo da junta de controle e
formar uma se9ao fragil na laje tal que a fissura ocorra ao
longo dessa junta e nao em outro lugar, como mostrado na
Figura 12.
corte
h laje
Figura 12
Transferencia de esfor9o atraves da junta de controle e
realizada pelo intertravamento formado ao longo da fissura.
Com espa9amentos longos das juntas ou cargas elevadas sabre
a laje, barras lisas de a9o, com uma extremidade livre para
deslizar no interior da laje, sao utilizadas como sistema
44
de transferencia de esfor9o. A referencia [13] apresenta na
Tabela 3 os diametros e espa9amentos das barras de
transferencia em fun9ao da espessura da laje.
Tabela 3
18.0 22.0 36.0 30.0
20.0 25.0 36.0 30.0
22.0 28.0 40.0 30.0
25.0 32.0 40.0 30.0
A barra de transferencia deve estar com a metade de seu
comprimento lubrificado para impedir a aderencia com o
concreto, deve estar pintada para impedir a corrosao da
propria barra e deve ser posicionada no meio da altura da
laje, como mostrado na Figura 13.
corte
h laje --_ barra transferencia
Figura 13
Quando for utilizada armadura para controlar a abertura das
fissuras, esta deve ser interrompida em todas as juntas.
45
A referencia [10] apresenta a Tabela 4 para o
das juntas de contra9ao em lajes sem refor9o executadas no
interior ou exterior de urn edificio. Qualquer laje
concretada a ceu aberto e considerada como sendo uma laje
exterior.
Tabela 4
Espessura (em) 10. 0 12. 5 15. 0
Interior (m) 5.0 6.0 7.5
Exte 3.0 4.0 4.5
A utiliza9ao de fibras de a9o misturada no concreto permite
aumentar o espa9amento das juntas.
Patios e passeios sao geralmente de espessura 8.0 em e
deveriam ter urn espa9amento de junta de contra9ao em torno
1.80 m. Para concreto com seixo rolado os limites da Tabela
4 devem ser reduzidos em cerca de 1.00 m.
0 melhor desenho para as juntas e quando divisoes quadradas
forem feitas. Para divisoes retangulares, a rela9ao entre
os lados do retangulo nao deve exceder 1.5. Nos cantos
reentrantes devem ser colocadas juntas de contra9ao.
3.3.5.3 Juntas de constrw;ao
Juntas de constru9ao normalmente determinam cada etapa de
concretagem da laje, marcam onde concreto novo toea o
concreto existente.
46
Para lajes com cargas elevadas barras de transferencia de
esfor9o sao utilizadas na face interrompida da laje
conforme Figura 14.
h laje --_ barra lisa
Figura 14
Quando uma concretagem for interrompida por 30 minutos ou
mais, uma junta de interliga9ao de constru9ao deve ser
inserida para evitar a forma9ao de uma junta fria. Uma
junta de interliga9ao de constru9ao na execu9ao de laje e uma junta de topo com barras de a9o, com aderencia,
interligando as faces da laje, conforme Figura 15.
h laje --_ barra corrugada
Figura 15
A referencia [13] apresenta a Tabela 5 com o diametro e
espa9amento das barras para juntas de interliga9ao de
47
constru9ao. Toda armadura na laje e continua atraves da
junta de interliga9ao de constru9ao.
Tabela 5
12.5 12.5 75.0 75.0
15.0 12.5 75.0 75.0
18.0 12.5 75.0 75.0
20.0 12.5 75.0 75.0
22.0 16.0 75.0 75.0
25.0 16.0 75.0 75.0
Juntas de constru9ao nao funcionarao como juntas de
contra9ao quando detalhes de projeto requisitarem tornar
aspera uma face do concreto ou existir barras de refor9o
ligando o concreto novo e o existente.
Urn tipo de juntas de constru9ao sao as juntas de expansao,
executadas com urn material compressivel instalado na
profundidade total da laje, com espa9amento variando entre
15.0 m a 30.0 m.
48
4 0 solo
4.1 Subleito
0 subleito e o terreno natural graduado e compactado, sobre
o qual a laje sera construida. 0 subleito e tao importante
quanto a propria laje para garantir que a laje desempenhe a
fun9ao para o qual foi projetada. 0 subleito como
encontrado naturalmente pode ser melhorado pela drenagem,
compacta9ao ou estabiliza9ao do solo. 0 ponto mais mais
importante e assegurar que as condi96es de apoio sejam
uniformes para a laje. Por causa da rigidez da laje, as
for9as aplicadas sao distribuidas em grandes areas e as
pressoes no subleito sao normalmente baixas.
4.1.1 Classificac;;:ao do solo
A classifica9ao adequada do terreno do subleito deve ser
realizada para identificar os potenciais problemas do solo.
A referencia [05] (Classification of soil for Engineering
Purposes) apresenta urn sistema para classificar solos
minerais e organo-minerais para prop6sitos de engenharia
baseado na determina9ao das caracteristicas dos tamanhos
das particulas, limite de liquidez e limite de
plasticidade. Essa classifica9ao, tambem conhecida como
classifica9ao unificada, e de uso comum no dimensionamento
de lajes sobre solo.
4.1.2 Densidade
49
A resistencia do solo, isto e, a capacidade de suporte e
resistencia ao movimento ou consolida9ao, e importante para
o desempenho das lajes, particularmente para suportar
for9as elevadas. A resistencia do solo e influenciada pelo
grau de compacta9ao e pelo teor de umidade. A compacta9ao e
urn metodo proposital para aumentar a densidade do solo. E
uma opera9ao de baixo custo que melhora as propriedades
estruturais do solo.
4.1.3 lndice de plasticidade
Quando urn solo pode ser enrolado em finas tiras, ele e
chamado de plastico. Muitos solos finos e granulares
contendo argilas minerais sao plasticos. 0 grau de
plasticidade do solo e expresso pelo indice de plasticidade
(IP), que e a diferen9a entre o limite de liquidez (LL) e o
limite de plasticidade (LP) . 0 limite de liquidez (LL) e a
quantidade de umidade presente quando o solo muda do estado
plastico para estado liquido. o limite de plasticidade (LP)
e a quantidade de umidade presente quando o solo muda do
estado semi-solido para o estado plastico.
IP = LL - LP
De acordo com a referencia [12] , solos com indice de
plasticidade (IP) entre 7 e 13 come9am a tornar-se
potencialmente perigosos. Urn solo com essa caracteristica
pode destruir o que seria uma boa laje e deve portanto ser
removido ou melhorado. Guias atuais para o melhoramento do
solo sao fornecidos pelas referencia [14] e [15] .
50
4.2 Preparat;ao do local
Para que nao existam varia96es das condi96es de suporte do
solo sob a area da laje, cuidados especiais devem ser
tornados na prepara9ao do subleito. As maiores causas da nao
uniformidade de suporte que devem ser controladas sao as
seguintes: solos expansivos, solos colapsiveis, varia9ao
entre pontos de apoios rigidos e flexiveis e o material de
enchimento.
4.2.1 Solos expansivos
De acordo com a referencia [13] , a maioria dos solos
razoavelmente expansivos que podem causar distor96es nas
lajes e classificada como argilas de alta plasticidade
(CH), siltes de alta plasticidade (MH) ou argilas organicas
(OH) . Ensaios simples no solo determinam indices que servem
como guias usuais para identificar o apropriado potencial
de mudan9a de volume dos solos. A Tabela 6 apresenta uma
rela9ao aproximada entre expansao e plasticidade.
Tabela 6
2% a 4% 10 a 20
> 4% > 20
A contra9ao ou expansao do solo com grandes varia96es de
volume no subleito criara condi96es de apoio nao uniformes,
podendo resultar na distor9ao da laje. A compacta9ao de
solos altamente expansive e muito seco, pode contribuir
51
para a expansao e amolecimento do solo do subleito devido a
urn futuro aumento do teor de umidade. Quando o subleito de
solo expansive esta muito umido na epoca da concretagem da
laje, o posterior secamento e encolhimento do solo podera
deixar sem condi96es de apoio partes da laje.
Com opera9ao de gradeamento, mistura ou movimenta9ao no
solo do subleito e possivel obter condi96es uniformes de
apoio na parte superior do subleito. A compacta9ao de solo
expansive em 95% da densidade 6tima, com 1% a 3% acima do
teor de umidade 6tima, minimiza possiveis perdas de
condi96es de apoio devido a qualquer acrescimo futuro no
indice de umidade e proporciona a estabilidade uniforme que
e necessaria para urn born desempenho da laje.
Para for9as elevadas na laje ou condi96es pobres do solo do
subleito uma detalhada investiga9ao deve ser realizada por
especialista em solos.
4.2.2 Solos colapsiveis
Solos colapsiveis sao geralmente depositos soprados pelo
vento de siltes, dunas de areia e cinza vulcanica.
Tipicamente sao soltos mas estaveis, com pontos de contato
bern cimentado com urn agente soluvel em agua, de modo que
certas condi96es de carregamento e umidade produzem urn
colapso resultando em grande assentamento. A densidade e urn
dos parametros mais significativos na estimativa do
colapso. A referencia [08] sugere que a densidade seja
usada em conjunto com o limite de liquidez para estimar o
52
potencial de colapso. Essa sugestao, na forma de equa9ao e
a seguinte:
Yseco 17 · 3 - 0. 186 (LL - 16) (kN/m3
)
Onde LL e o limite de liquidez em percentagem. Quando a
densidade in situ e menor do que a dada pela equa9ao
anterior, o solo e susceptivel ao colapso.
4.2.3 Apoios rigidos e flexiveis
Cuidados especiais devem ser tornados com as escava96es e
aterros para prevenir pontos localizados rigidos ou
flexiveis no solo. Condi96es de apoio nao uniformes, de
qualquer forma, nao podem ser obtidas simplesmente pela
coloca9ao de material granular no ponto mole. 0 teor de
umidade e a densidade do solo trocado devem ser similares
ao do solo adjacente. Para areas de transi9ao de tipo de
solo ou mudan9as abruptas de condi96es do mesmo, o solo
trocado deve ser misturado com o solo das vizinhan9as por
opera96es de terraplanagem para formar uma zona de
transi9ao com condi96es de apoio uniforme.
4.2.4 Enchimento
Para melhorar o subleito ou para levantar nivel do perfil
existente deve-se colocar urn material estavel que pode ser
perfeitamente compactado. Entulho de constru9ao ou
demoli9ao de pavimentos devem primeiro ser passados atraves
de urn britador para elimina9ao dos peda9os grandes que
53
podem causar dificuldades na compactayao. Valas de
tubula96es devem ser preenchidas com solo semelhante
aqueles das vizinhan9as das valas e compactado em camadas.
Toda aten9ao deve ser dada para restabelecer tanto quanta
possivel a uniformidade original do subleito. Uma
compacta9ao inadequada no preenchimento de valas no
subleito pode acarretar futuros problemas de assentamento e
ruina prematura do solo.
4.2.5 Modulo de rea~ao do solo
E facil aceitar que as tensoes na laje sao diretamente
influenciadas pelas condi96es de apoio do subleito. o
modulo de rea9ao do solo e a razao entre a pressao e o
respective deslocamento de uma placa de urn de diametro
padronizado.
A Tabela 7, adaptada da referencia [03], apresenta uma
estimativa para os limites de varia9ao do CBR em fun9ao do
tipo de solo classificado de acordo com a referencia [05]
(Classification of soil for Engineering Purposes).
G = pedregulho (gravel)
s = areia (sand)
M = sedimento (silt)
c = argila (clay)
w = bern graduado
p = pobremente graduado
u = uniformemente graduado
L baixa a media compressibilidade
H = alta compressibilidade
54
o ~ organico
Tabela 7
MH 2.5 8.0
OL 2.0 8.0
ML 3.0 15.0
CL 3.0 15.0
sc 10.0 20.0
su 10.0 20.0
SP 15.0 25.0
SM 20.0 40.0
sw 20.0 40.0
GC 20.0 40.0
GU 25.0 50.0
GP 35.0 60.0
GM 40.0 80.0
GW 60.0 80.0
Os valores do modulo de rea9ao do solo refletem o subleito
sobre condi9oes elasticas com pequenos deslocamentos. 0
modulo de rea9ao do solo pode ser estimado atraves da
equa9ao obtida por urn ajuste de curva passando por alguns
pontos do abaco apresentado na referencia [03] . A Figura 16
mostra os pontos e a curva ajustada.
55
606
500
• 400 ~ • •
300 •
200 ~
• 100 •
• • 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 CBR
Figura 16
k = 2.495(lnCBR)3 + 89.78(lnCBR)- 35.06 (lbf/in')
1 lbf/in' ~ 2. 767991 * 10-2 kgf/cm3
4.3 Sub-base
A sub-base e uma camada fina de material granular colocado
em cima do subleito preparado. A sub-base nao e obrigat6ria
para lajes sobre solo. Entretanto, quando urn subleito de
suporte uniforme nao e produzido por opera96es de
gradeamento e compacta9ao, uma sub-base de material
granular ira fornecer urn apoio uniforme atraves da
minimiza9ao dos defeitos do subleito. A sub-base tambem
proporciona uma quebra da capilaridade e uma plataforma de
trabalho estavel para os equipamentos de constru9ao.
56
A referencia [13] afirma que ensaios realizados pela
Portland Cement Association mostram que aumentar a sub-base
alem de 10 centimetros resulta em pequeno acrescimo na
capacidade de suporte do subleito e nao permite apreciavel
redu9ao na espessura da laje para uma dada condi9ao de
carregamento. E raramente necessaria ou econ6mico aumentar
a capacidade de suporte do subleito atraves de uma grossa
sub-base. Beneficios consideraveis no desempenho e na
redu9ao da espessura da laje podem ser obtidos com
tratamento de cimento da sub-base.
Areia, cascalho, pedra britada ou uma combina96es desses
materiais pode ser utilizado como material granular para a
sub-base. Conforme recomendado na referencia [13], urn
material satisfat6rio para a sub-base ira reunir as
seguintes propriedades: o tamanho maximo e menor que 1/3 da
espessura da sub-base, no maximo 15% passam pela peneira
#200, IP ~ 6% e LL ~ 25%.
4.4 Tensao vertical no solo
Para uma estimativa do limite de influencia da tensao
vertical provocada por urn carregamento uniforme sabre uma
area circular pode ser impasto que a tensao vertical, no
ponto central da area circular, seja igual a uma pequena
parcela da tensao vertical provocada pelo peso proprio da
superficie semi-infinita.
A Figura 17 apresenta as variaveis envolvidas na
determina9ao da tensao vertical no ponto (r,z) provocada
57
por uma for9a pontual p sobre uma superficie semi-infinita,
homogenea, isotr6pica e elastica.
p
z
r
Figura 17
A Figura 18 apresenta as variaveis envolvidas na
determina9ao da tensao vertical provocada por um
carregamento uniforme q sobre uma area circular de raio R,
no ponto central da area circular e na profundidade z.
dq R
q
z
r
Figura 18
58
4.4.1 Teoria de Boussinesq
Como mostrado na Figura 17 e de acordo com a referencia
[08], a tensao vertical provocada por uma for9a pontual p
pode ser escrita como:
3 3pz ( 2 -- z +
21t
Como mostrado na Figura 18, a tensao vertical provocada por
urn carregamento uniforme q pode ser escrita como:
R
<J = 3qz3 J(z2
0
Para uma estimativa do limite de influencia desse
carregamento, pode ser imposto que essa tensao vertical
seja igual a uma pequena parcela da tensao vertical
provocada pelo peso proprio da superficie semi-infinita.
cr a:yz
59
= ayz
q
Definindo:
R y =
z
Segue:
(y - ~ t ( 1 + y' )' - y 2 0
4.4.2 Teoria de Westergaard
Westergaard considera a superficie como semi-infinita,
homogenea, isotr6pica, elastica e com coeficiente de
Poisson !!·
Como mostrado na Figura 17 e de acordo com a referencia
[08] , a tensao vertical provocada por uma for9a pontual p
pode ser escrita como:
<J pz.,Ja ( , ')-~ az + r 2
21t a
A referencia [08] apresentada a Tabela 8 que mostra a
varia9ao do coeficiente de Poisson para diferentes tipos de
solos.
60
Tabela 8
0.10 0.30
arenosa 0.20 0.30
0.30 0.35
Are 0. 30 0.40
Como mostrado na Figura 18, a tensao vertical provocada por
urn carregamento uniforme q pode ser escrita como:
R 3
cr = qzFaJ(az2 + r'r" rdr
0
Para uma estimativa do limite de influencia desse
carregamento, pode ser imposto que essa tensao vertical
seja igual a uma pequena parcela da tensao vertical
provocada pelo peso proprio da superficie semi-infinita.
cr a:yz
1
1- -;===~1 + (=zfa J ayz
= q
Definindo:
61
y
Segue:
4qfa
ayR
3x2 = 4 + l-2--'7~'-'_+_3-'-~-2 ~_,_28_1-'-~-' _+_7_6_8 + 641 + (-2--'7~'-'--_3'-W_,~,_8_1=-~'-+_7_6_8 + 641
x+ ~ 2W 4+-x
y = 2
4.4.3 Teoria da inclina~rao 2:1
A Figura 19 apresenta as variaveis envolvidas na
determinaqao da tensao vertical provocada por urn
carregamento uniforme q sobre uma area circular de raio R,
na profundidade z. A tensao vertical pode ser escrita como:
62
R
q
z
z R+
2
Figura 19
(j =
(j = q
Para uma estimativa do limite de influencia desse
carregamento, pode ser imposto que essa tensao vertical
seja igual a uma pequena parcela da tensao vertical
provocada pelo peso proprio da superficie semi-infinita.
cr = ayz
1 ayz
q
63
Definindo:
z y =
2R
Segue:
q
2U'{R
y'+2y'+y-p 0
1 1
3y (
27P + 3~81P' + 12p J (27P - 3~8W + 12p J -2 + + 1 + + 1 2 2
4.4.4 Exemplo
Considere uma laje com area igual a 75.9 m2, sujeita a urn
carregamento uniforme igual a 0.11 kgf/cm2• 0 peso
especifico do solo e igual a 1.8 tf/m3• 0 raio da area
circular equivalente e igual a 4.92 m. Os resultados estao
mostrados na Tabela 9.
Tabela 9
f.l = 0.3
0.05 6.27 5.75 5.22
0.10 4.34 3.79 3.38
64
1 a .151 3. 351 2. 861 2. 561
65
5 Exemplo 1
Laje sobre solo, com espessura igual a 10 em, na forma
retangular com lados medindo 300 em x 450 em. 0 modulo de
rea9ao do solo e igual a 5.54 kgf/cm3• A resistencia a
compressao do concreto e igual a 250 kgf/cm2•
h 10 em
k ~ 5.54 kgf/cm3
( 250 kgf/cm2
~ 1.9893~ ~ 31.45 kgf/cm 2
a= 0.5~ ~ 15.73 kgf/cm2
Ec = 15119~ ~ 239052 kgf/cm2
v 0.20
5.1 Arquivo para o ANSYS
! ENTERS THE MODEL CREATION PREPROCESSOR
/PREP7
! DEFINE KEYPOINTS
K, 1, -225.0, -150 0, 0.0
K, 2, 225.0, -150.0, 0.0
K, 3, 225 0, 150 0, 0.0
K, 4' -225.0, 150.0, 0.0
66
! DEFINE ELEMENT TYPE
ET I 1 I SHELL63
! DEFINE ELEMENT REAL CONSTANTS
R, 1, 10 • 0 I I 5. 54
! DEFINE MATERIAL PROPERTY
MP, EX,
MP,PRXY,
1, 2.39052E+05
1, 0. 20
! DEFINE AREA BY CONNECTING KEYPOINTS
A, 1, 2, 3, 4
! SPECIFY THE DIVISIONS AND SPACING RATIO ON UNMESHED LINES
LESIZE, ALL, 15.0
! GENERATE NODES AND ELEMENTS
AMESH, ALL
! DEFINE CONSTRAINTS
D, 1, UX, 0.0
D, ~ UY, 0.0
FINISH
5.2 Carga de co/una
Considere a for9a aplieada pela eoluna igual a 1000 kgf
distribuida numa plaea de base 30 em x 30 em.
P = 1000 kgf , a = 30 em
5.2.1 Raio de rigidez relativa
1
1 = [ 12 ( 1E~h'v') k J ~ 4 5 em
67
5.2.2 Forc;a concentrada perto de uma das bordas
A maxima tensao de tra9ao ocorre na face inferior da placa,
na borda e na dire9a0 paralela a borda.
cr"" 12
+ ~ ~ [0.41613 + ln(2.7302~)- 0.15657V- B1 + ~B2 ] 1t (3 + v h a 21
0.9627
0.4131
cr"" 13.61 kgf/cm2
A Figura 20 mostra a discretiza9ao da laje e a posi9ao da
area de distribui9ao da for9a concentrada.
68
Figura 20
A Figura 21 mostra a tensao na dire9ao x na face inferior
da laje. A tensao de tra9a0 maxima esta aproximadamente 14%
acima do valor obtido pela equa9ao da teoria de placa sob
base elastica.
69
Figura 21
5.2.3 For~a concentrada Ionge das bordas
ANSYS 5.'1 OCT 9 2001 16:30:50 NODAL SOLUTION 5TEP=1 SUB =1 TINE=1 SX (AVG) RSYS=O PourerGraphica EFACETGl AVRES=IIat Dl!R =.029667 Sl!N =-15.5'\lil
-15.5'12 -12.088 -8.63'1 -5.191 -1.?2:7 1.7Z'i' 5.181 8. 634
12.oee 15.5'11!
A maxima tensao de tra9ao ocorre diretamente sob a for9a,
na face inferior da placa.
3P(l+v) ( 1) a "" 2 ln 3. 2450-2nh a
a"" 8.94 kgf/cm2
A Figura 22 mostra a discretiza9ao da laje e a posi9ao da
area de distribui9ao da for9a concentrada.
70
Fi.gura 22
A Figura 23 mostra a tensao principal na face inferior da
laje. A tensao de tra9ao maxima esta aproximadamente 3%
acima do valor obtido pela equa9ao da teoria de placa sob
base elastica.
71
Figura 23
5.3 Carga de parede
ANSYS 5.'1 OCT 9 2001 17:20:40 NODAL SOLUTION
5TEP=l SUB =1 TIH=l S:l (AVG) Power Graphic:;, EFACET=1 AVRI:S~Kat
DI'!!X .0110'.16 SKill =-1.111
-1. lll .036671 1.184 2.332 3.49 '!. 62:8 5. 7?6 6.9Z3 8.071 9.219
Considere a for9a aplicada pela parede igual a 10 kgf/cm.
w 10 kgf/cm
5.3.1 Raio de rigidez relativa
1
z z o • 5 96 8 ( Et J z 4 8 em
72
5.3.2 For~a por unidade de comprimento perto de uma das bordas
A maxima tensao de tra9ao ocorre a uma distancia igual ao
raio de rigidez relativa a partir da linha de aplica9ao da
for9a por unidade de comprimento, na face superior da
placa.
1
0" ""' 1.4698w (k:s) "" 11.91 kgf/cm2
A Figura 24 mostra a discretiza9ao da laje. Observe que a
for9a por unidade de comprimento esta posicionada na borda
da laje.
Figura 24
73
A Figura 25 mostra a tensao na dire9ao y na face superior
da laje. A tensao de tra9ao maxima esta aproximadamente 11%
abaixo do valor obtido pela equa9ao da teoria de viga sob
base elastica.
Figura 25
ANSY:S 5.'1 OCT 9 2001 16:42:14 NODAL SOLUTION STEP=l SUB =1 Til'JE=1 SY (AVG)
RSYS=O PotrerGraphica I!:FACJ!:T"l AVRES=Kat DI'!R =.05545'7 Slm =-lCI.65i SI'!R =10.65"1
-1().65"1 -8.2:66 -5.919 -3.551 -1. 194
1.18'1 3.551 5.919 8.286 10.654
5.3.3 For~a por unidade de comprimento Ionge das bordas
A maxima tensao de tra9ao ocorre diretamente sob a linha de
aplica9ao da for9a por unidade de comprimentof na face
inferior da placa.
1
cr ""1.1398w(k:5 J ""9.24 kgf/cm2
74
A Figura 26 mostra a discretiza9ao da laje. Observe que a
for9a por unidade de comprimento esta posicionada longe das
bordas da laj e.
Figura 26
A Figura 27 mostra a tensao na dire9ao y na face inferior
da laje. A tensao de tra9ao maxima esta aproximadamente 3%
abaixo do valor obtido pela equa9ao da teoria de viga sob
base elastica.
75
Figura 27
ANSYS 5.'1 OCT 9 2001 16:50:04 NODAL SOLOTIOI\l STEP=l SUB =t TINE=l SY RSYS=O
(AVG)
PotrerGraphics EFACET~l
AVRES=I'l:at Dm< =.0152?'1 SI!N =-6.Sl5l
-6.5!9 -6.992 -4.994 -2.99? -.999951G .996856 2.99? 4.994 6.992 6.99
76
6 Exemplo 2
Coluna longe das bordas em laje sobre solo. A espessura da
laje e igual a 15 em. 0 modulo de rea9a0 do solo e igual a
8.30 kgf/cm3• A resistencia a compressao do concreto e igual
a 350 kgf/cm2• A for9a aplicada pela coluna e igual a 10000
kgf distribuida numa placa de base 30 em x 30 em.
h = 15 em
k ""'8.30 kgf/cm3
( = 350 kgf/cm2
fr 1. 9893-Jf.: ""' 37.22 kgf/ cm2
a 0. 5~ ""' 18.61 kgf/cm2
Ec = 15119-Jf.: ""' 282851 kgf/cm2
v 0.20
P = 10000 kgf , a = 30 em
6.1 Geometria para o ANSYS
77
xi 8i I - nx
yj = 8j I - nY
r = ~i2 + ·2 J
r<n1 =>h=h 1
j
~!-Figura 28
s i s ~
s j s nY
nl < r < nz => h = (h2 - hJ r + (hl n2 - h2nJ (n2 - nJ
i
78
6.2 Determina~ao da espessura da laje
Utilizando a expressao para for9a concentrada longe das
bordas, a Tabela 10 apresenta a for9a admissivel para a
for9a aplicada pela coluna em fun9ao da espessura da laje.
p z
3(1 +v)ln(3.245o~)
1
Tabela 10
h (em) p (kgf) .. 1 fern)
15.0 4049 56.2
25.0 9277 82.5
27.5 10871 88.6
30.0 12574 94.5
Para suportar a for9a de 10000 kgf, conclui-se que a laje
deve ter uma espessura igual a 27.5 em. A maxima tensao de
tra9ao ocorre diretamente sob a for9a, na face inferior da
placa, na dire9ao radial a partir do ponto de aplica9ao.
3P (l + v) ( 1) cr""' 2
ln 3.2450-21th a
79
cr z 17.12 kgf/em2
6.3 Resultados do ANSYS
Os resultados mostrados a seguir foram ealeulados supondo
os seguintes valores para a diseretiza9ao e espessuras:
27.5 em 1 h 2 15.0 em
15 em I n 1 10
20 1 I\ 20
A Figura 29 mostra a diseretiza9ao da laje e a posi9ao da
area de distribui9ao da for9a eoneentrada.
80
Figura 29
A Figura 30 mostra a varia9ao de volume dos elementos da
discretiza9ao.
81
Figura 30
I!NSYS 5. "1: OCT 9 ZOOl 17:07:01 ELEBENT SOLUTION 5TEP=1 SUB =1 TI!!!I:=l VOLU TOP Dl'!X =,0Zi:J04 Sl!N •3375 Sl'!X =6188
A Figura 31 mostra a tensao principal na face inferior da
laje. A tensao de trayaO maxima esta aproximadamente 8%
acima do valor obtido pela equayao da teoria de placa sob
base elastica.
82
Figura 31
ANSYS 5.'1: OCT 9 2001 11:10:35 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 Til!l=1 51 (AVG) Power<Traphic::~
EFAC:ET=1 AVRES•I!:at DI'!X =. 02 2304 Sl'IN =-11. 111
-ll.lll -?.82:5 -'1.539 -1.252 2.034
5.32: 6.606 11.893 15.179
16.465
83
7 Exemplo 3
Aplica9ao a urn caso real para avaliar os esfor9os ern urna
laje sabre solo para urna residencia, cuja planta corn
rnedidas ern metros esta rnostrada na Figura 32.
Figura 32
A espessura da laje e igual a 10 ern. 0 solo foi descrito
como ML na classifica9ao unificada corn LL = 29% e LP = 23%.
Para essa classifica9ao, o modulo de rea9ao do solo varia
aproxirnadarnente de 2.00 kgf/crn3 ate 7.00 kgf/crn3 eo valor
4.00 kgf/crn3 foi considerado na analise. A resistencia a compressao do concreto e igual a 250 kgf/crn2
• Refor9o corn
fibras de a9o, na quantidade de 25 kgf/rn3, forarn utilizadas
para o controle da fissura9ao por retra9ao.
h 10 ern
84
k "" 4. 00 kgf/cm3
( 250 kgf/cm2
~ = 1.9893Ji: ""31.45 kgf/cm2
cr 0.5~ ::::: 15.73 kgf/cm2
Ec 15119Ji: ::::: 239052 kgf/cm2
v 0.18
7. 1 Fort;as aplicadas
A soma das for9as aplicadas na dire9ao vertical, no sentido
de cima para baixo, incluindo 0 peso proprio da laje, e
igual a 83047 kgf. A area da laje e igual a 75.9 m2.
Portanto, uma pressao media igual a 0.11 kgf/cm2 esta sendo
aplicada no solo.
Peso especifico do concreto:
Yc "" 2. 32 * 10-3 kgf/cm3
For9a por unidade de comprimento aplicada por paredes de
concreto com altura 270 em e espessura 10 em:
w "" 6 . 3 kgf I em
85
For9a por unidade de comprimento aplicada na paredes
externas devida a a9ao do vento sobre o telhado:
w ::::: 2. 0 kgf/cm
Pressao uniforme aplicada na laje para simular carga
acidental:
p ::::: 2. 0 * 10-2 kgf/cm2
A laje de forro foi calculada em separado supondo apoiada
livremente nas paredes. As for9as de rea9ao vertical
obtidas dessa maneira foram aplicadas na laje sobre solo.
7.2 Arquivo para o ANSYS
/TITLE, SLAB-ON-GRADE
SOIL IS A SANDY SILTS (ML) WITH LIQUID LIMIT EQUAL TO 29% AND
PLASTIC LIMIT EQUAL TO 23%. THE RANGE FOR SUBGRADE MODULUS IS
FROM 2.00 KGF/CM3 TO 7.00 KGF/CM3. THE ALLOWABLE TENSILE STRESS
FOR THE CONCRETE IS 15.73 KGF/CM2.
! PARAMETERS
CY =2.39052E+05 CONCRETE YOUNG'S MODULUS
CW_=2.32E-03 CONCRETE UNIT WEIGHT
WT_=10.0 WALL THICKNESS
WH =270.0 WALL HEIGHT
LD =35.0 DIVISION LENGTH ON UNMESHED LINES
WL =2.0 UNIFORM LOAD (FORCE/LENGTH) ON EXTERIOR WALLS DUE ROOF ACTIONS
LL =2.0E-02 UNIFORM LIVE LOAD (FORCE/AREA), ASCE 7-95
ENTERS THE MODEL CREATION PREPROCESSOR
/PREP7
! DEFINE KEYPOINTS
0. 0' 0. 0' 0. 0
K, 2, 1155. 0, 0. 0' 0. 0
86
K, 3' 270.0, 90.0, 0.0
K, 4' 400. 0' 90.0, 0.0
K, 5' 760.0, 90.0, 0.0
K, 6, 760.0' 315.0, 0.0
K, 7' 1055.0, 315. 0, 0.0
K, 8' 1155. 0' 315.0, 0.0
K, 9' 0. 0' 425.0, 0.0
K, 10, 270.0, 425.0, 0.0
K, 11, 400.0' 425.0, 0.0
K, 12, 760.0, 425.0, 0.0
K, 13, 555.0, 590.0, 0.0
K, 14, 760.0' 590.0, 0.0
K, 15, 1055.0, 590.0, 0.0
K, 16, -50. 0' 0. 0, 0.0
K, 17, -50.0, 590.0, 0.0
K, 18, 1205.0, 0. 0' 0.0
K, 19, 1205.0, 590.0, 0.0
! DEFINE ELEMENT TYPE
ET, 1, SHELL63
! DEFINE ELEMENT REAL CONSTANTS
R, 1, 10.0, , , , 4.00
! DEFINE MATERIAL PROPERTY
MP, EX,
MP,DENS,
MP,PRXY,
1, CY
1, cw
1, 0.18
! DEFINE AREA BY CONNECTING KEYPOINTS
A, 1, 2' 8' 7, 6, 5, 4' 3' 10, 9
A, 3' 4' 11, 10
A, 4, 5' 6, 12, 11
A, 6' 7, 15, 14, 12
A, 14, 13, 17' 16, 1, 9, 10, 11, 12
A, 2' 18, 19, 15, 7' 8
! SPECIFY THE DIVISIONS AND SPACING RATIO ON UNMESHED LINES
LESIZE, ALL, LD
! GENERATE NODES AND ELEMENTS
AMESH, ALL
! DEFINE CONSTRAINTS
D, 1, UX, 0.0
D, 1, UY, 0.0
SPECIFY ACCELERATION
87
ACEL, 0 . 0 , 0 . 0 , 1 . 0
FINISH
! ENTERS THE SOLUTION PROCESSOR
/SOLU
! SPECIFY THAT FORCE LOADS ARE ACCUMULATED
FCUM, ADD
! NODAL FORCE DUE WALL WEIGHT
FZ_=-WH_*WT_*CW_*LD_
! SELECT A SUBSET OF KEYPOINTS
KSEL, S, KP, , 1, 15
! SELECT LINES CONTAINING THE SELECTED KEYPOINTS
LSLK, S, 1
! SELECT NODES ASSOCIATED WITH SELECTED LINES
NSLL, S, 1
! SPECIFY FORCE LOADS AT NODES
F, ALL, FZ, FZ
! SELECT A SUBSET OF NODES
NSEL, ALL
! SELECT A SUBSET OF LINES
LSEL, ALL
! SELECT A SUBSET OF KEYPOINTS
KSEL, ALL
! NODAL FORCE DUE ROOF ACTIONS ON EXTERIOR WALLS
FZ_=-WL_*LD_
! SELECT A SUBSET OF KEYPOINTS
KSEL, s, KP, '
1
KSEL, A, KP, '
2
KSEL, A, KP, 13
KSEL, A, KP, '
14
KSEL, A, KP, ' 15
! SELECT LINES CONTAINING THE SELECTED KEYPOINTS
LSLK, S, 1
SELECT NODES ASSOCIATED WITH SELECTED LINES
88
NSLL, S, 1
! SPECIFY FORCE LOADS AT NODES
F, ALL, FZ, FZ
! SELECT A SUBSET OF NODES
NSEL, ALL
! SELECT A SUBSET OF LINES
LSEL, ALL
! SELECT A SUBSET OF KEYPOINTS
KSEL, ALL
CONCRETE CEILING WEIGHT
! SPECIFY FORCE LOADS AT NODES
F, 1, FZ, 169.08
F, 2, FZ, 203.97
F, 3, FZ, -157.18
F, 4, FZ, -61.783
F, 5, FZ, -94.415
F, 6, FZ, -88.583
F, 7, FZ, -70.346
F, 8, FZ, -44.825
F, 9, FZ, -5.1176
F, 10, FZ, -2.3065
F, 11, FZ, -24.692
F, 12, FZ, -36.498
F, 13, FZ, -33.076
F, 14, FZ, -25.099
F, 15, FZ, -14.316
F, 16, FZ, -4.2784
F, 17, FZ, 3.0038
F, 18, FZ, 6.5353
F, 19, FZ, 5.4739
F, 20, FZ, -.41987
F, 21, FZ, -9.6393
F, 22, FZ, 15.752
F,
F,
23, FZ,
24, FZ,
-4.6803
3.4759
F, 25, FZ, -19.437
F, 26, FZ, -55.651
F, 27, FZ, -78.741
F, 28, FZ, -84.482
F, 29, FZ, -109.95
F, 30, FZ, 94.397
F, 31, FZ, -99.513
89
F, 32, FZ, -91.198
F, 33, FZ, 63.691
F, 34, FZ, -149.65
F, 35, FZ, 309.35
F, 36, FZ, 17.311
F, 37, FZ, -104.89
F, 38, FZ, 122.06
F, 39, FZ, 117.26
F, 40, FZ, -107.93
F, 41, FZ, -93.778
F, 42, FZ, -44.487
F, 43, FZ, -66.319
F, 44, FZ, -335.88
F, 45, FZ, -164.94
F, 46' FZ, -157.92
F, 47, FZ, -234.99
F, 48, FZ, -260.62
F, 49' FZ, -240.54
F, 50, FZ, -248.01
F, 51, FZ, -242.72
F, 52, FZ, -226.76
F, 53, FZ, 176.95
F, 54, FZ, -124.83
F, 55, FZ, 284.45
F, 56, FZ, -498.35
F, 57' FZ, -183.29
F, 58, FZ, -184.87
F, 59, FZ, -214.75
F, 60, FZ, -214.57
F, 61, FZ, -217.61
F, 62, FZ, -145.93
F, 63, FZ, -39.540
F, 64, FZ, 283.59
F, 65, FZ, -110.78
F, 66' FZ, 134.82
F, 67, FZ, -170.76
F, 68, FZ, -188.97
F, 69, FZ, -194.92
F, 70' FZ, -182.17
F, 71, FZ, -161.71
F, 72, FZ, 131.27
F, 73, FZ, -78.790
F, 74, FZ, 578.80
F, 75, FZ, -24.715
F, 76, FZ, 53.695
F, 77' FZ, 309.53
F, 78, FZ, 105.90
F, 79' FZ, -157.97
90
F, 80, FZ, -195.26
F, 81, FZ, 176.72
F, 82, FZ, -176.11
F, 83, FZ, -170.19
F, 84, FZ, 160.71
F, 85, FZ, -153.27
F, 86, FZ, -129.04
F, 87, FZ, -188.07
F, 88, FZ, 329.19
F, 89, FZ, 12.727
F, 90, FZ, -72.932
F, 91, FZ, -103.12
F, 92, FZ, -117.93
F, 93, FZ, 120.72
F, 94, FZ, -89.601
F, 95, FZ, -147.46
F, 96, FZ, -142.66
F, 97, FZ, -48.243
F, 98, FZ, -84.934
F, 99, FZ, -88.865
F, 100, FZ, -91.888
F, 101, FZ, -93.616
F, 102, FZ, -93.658
F, 103, FZ, -93.773
F, 104, FZ, 92.747
F, 105, FZ, -89.290
F, 106, FZ, -85.568
F, 107, FZ, 11.826
F, 353, FZ, 75.014
F, 354, FZ, -26.042
F, 355, FZ, 97.451
F, 356' FZ, -134.05
F, 357, FZ, 150.02
F, 358, FZ, -160.96
F, 359' FZ, 162.45
F, 360, FZ, 153.90
F, 361, FZ, -128.15
F, 362, FZ, 155.47
F, 363, FZ, 38.158
F, 364, FZ, .63675
F, 365, FZ, 42.782
F, 393, FZ, 186.54
F, 394, FZ, 139.18
F, 395, FZ, 106.40
F, 396, FZ, -129.71
F, 397, FZ, 215.67
F, 398' FZ, -54.616
F, 399' FZ, -83.209
91
F, 400, FZ, -115.67
F, 401, FZ, -128.69
F, 402, FZ, -131.98
F, 403, FZ, -124.41
F, 404, FZ, -104.76
F, 405, FZ, 73.723
F, 406, FZ, 12.188
F, 516, FZ, 125.12
F, 517, FZ, 404.25
F, 518, FZ, 74 .171
F, 519, FZ, -71.432
F, 520, FZ, 104.02
F, 521, FZ, -107.75
F, 522, FZ, -96.060
F, 523, FZ, 36.081
F, 524, FZ, 25.899
F, 525, FZ, -87.230
F, 526, FZ, -49.236
F, 527, FZ, -71.066
F, 528, FZ, -74.601
F, 529, FZ, -73.944
F, 530' FZ, 67.098
F, 531, FZ, -52.677
F, 532, FZ, -20.481
F, 533, FZ, -62.255
F, 534, FZ, 81.155
F, 535, FZ, -84.483
F, 536, FZ, -115.36
F, 599, FZ, 69.620
F, 600, FZ, 30.608
F, 601, FZ, 17.053
F, 602, FZ, 14.429
F, 603, FZ, 18.129
F, 604, FZ, -10.992
UNIFORM LIVE LOAD (FORCE/AREA), ASCE 7 95
! SPECIFY SURFACE LOADS ON ELEMENTS
SFE, ALL, 2' PRES, LL
! STARTS A SOLUTION
SOLVE
FINISH
92
7.3 Resultados do ANSYS
1
I I I I I -------1 I I I I I I I I I
I I I
__________ I I I I I ~--
1
I I I I
__________ I I ~
: __ Lx__ -----------------
SLAB-ON-GRADE
Figura 33
-----
I I I I I I I I I I I I I I I I I
93
SLAll-ON-GRADE
Figura 34
94
SLlil-ON-GRADE
Figura 35
ANSYS S.'i SEP 26 2001 16:26:05 NOD.U. SOLUTION
STEP=l SUB =1 Tll'IE=l sx l<SYS=O
(AVG)
PolrerGr:aphica EFACET=l AVRES=JIIat Dl!X =.092483 S!.'IN =-1~.111 sn =12 .1'11
-12. Hl -9.443 -6.?45 -4.047 -1.349 1.3'19 4.04? 6.?45
9.443 J.Z,Hl
95
SLA:S-ON-GRADE
Figura 36
ANSYS 5.4 SEP :Z8 2001 16:26:29 NODAL SOLUTION 5TEP=1 SUB =1 TINE=1 sx P.SYS=O
(AVG)
PotilerGraphic:s I!FACET"l AVRES=B:a.t: Dm< =.082483 51!1'1 =-1~.1"1 Sm< =12 .141
-12. l'll -9.443 -6.745 -4.04? -1.::149 1. 349 '!. 0'17 6.745 9.443 12 '141
96
SLAl!- ON-GRADE
Figura 37
.!INSYS 5. 'I SEP 28 2001 16=27:34 NODJ.L SOLUTION STEP=l SUB =1 Tll!E=1 SY l<SYS=O
(AVG)
Power Gr aphica EFAC:ET~l
AVRES=l!:at DJI!X =.0€12483 Sl'!N =-1~.517 SJI!X =12.97
-12.97 -10.088 -7.206 -4.323 -1.'1'11 1. i:'ll 4.32:3 7. 206 1o.oaa 16.97
97
SLJ.B-ON-GIU.DE
Figura 38
ANSYS 5.4 SEP 28 2001 16:28:01 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIIl!E=1 SY I<SYS=O
(AVG)
Por.;erGraphica EFACET•l AVRES=Kat DI!!R =.082483 SI!N =-ll:.Sl7 SI!!X =12.9?
-12.97 -10.086 -7.206 -4.~23
-1.441 1. '1:41 4.32:3 7. 206 10.088 12 .9?
98
SLA:B-01\1-GRADE
Figura 39
ANSYS 5.'1 SEP :Z6 2001 16:28:41 NODAL SOLUTION 5TEP=l SUB =l TIJ!E=l Sl (AVG) Power Gr eapl::lic::~ EFAC:ET=1 AVRES~ll:at
DNX =.082:483 SEN =-.02 SNX =13.057
-.02 1. '!:33 2.686 4.339 5.?92 7.245 6.698 10.151 11.604
13.057
99
SLAB-ON-GRADE
F:i.gura 40
7.4 Fotos mostrando detalhes da constru~ao
ANSY:S 5."1: 5EP 28 2001 16!29:09 NODAL SOLUTION 5TEP=1 5U8 =1
TII'IE=l Sl (AVG) Power Gr &pbic:~ EFACET=l AVRE:S•J[at Dl!X =. 082483 SEN =-.02
Sl!X = 13 • 057
-.02: 1.1:33 2.886 4. 339 5.79::
?.2"1:5 8.698 10.151 11.604
13.057
100
Figura 41
Figura 42
101
Figura 43
Figura 44
102
Figura 45
Figura 46
103
Figura 47
Figura 48
104
Figura 49
Figura 50
105
Figura 51
Figura 52
106
8 Conclusoes
A utiliza9ao do programa ANSYS para a analise estrutural de
laje sobre solo e urn procedimento simples e complete. A
geometria e todos os tipos de carregamentos sao incluidos
com facilidade na analise. 0 elemento finito SHELL63 inclue
o modulo de rea9ao do solo nas suas caracteristicas. E particularmente atraente a possibilidade de verificar
visualmente se as tensoes no concreto estao dentro dos
limites admissiveis.
os resultados obtidos atraves do programa ANSYS estao
pr6ximos aos encontrados atraves das expressoes da teoria
da elasticidade. Isso sugere que essas expressoes podem ser
usadas para o pre-dimensionamento ou mesmo dimensionamento
em casos simples de geometria e carregamento.
A utiliza9ao de laje sobre solo pode ser a indica9ao
preferencial, bastando que o solo nao seja do tipo que
apresenta grandes varia96es de volume com o teor de
umidade. E uma solu9ao tecnica de baixo custo e de grande
facilidade de execu9ao.
107
9 Referencias
[01] ANSYS Inc., 275 Technology Drive, Canonsburg, PA.
[02] American Concrete Institute, Building code
requirements for structural concrete (ACI 318-99), 1999.
[03] American Concrete Institute, Design of slabs on grade
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[04] American Concrete Institute, Guide for concrete floor
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[05] American Society for Testing and Materials, Standard
practice for classifications of soils for engineering
purposes (ASTM D2487-00), 2000.
[06] American Society for Testing and Materials, Standard
test method for flexural strength of concrete (ASTM C78-
94), 1994.
[07] Boresi, A. P. and Schmidt, R. J. and Sidebottom, 0.
M., Advanced mechanics of materials, John Wiley & Sons,
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[09] Hanna, A. N., Steel fiber reinforced concrete
properties and resurfacing applications, Portland Cement
Association/ 1977.
108
[10] Haynes, H., Avoid cracks in concrete slabs on grade
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[11] N. V. Bekaert, Steel wire fibre reinforced concrete
structures with or without ordinary reinforcement (Dramix
guideline), 1995.
[12] Ringo, B. C. and Anderson, R. B., Designing floor
slabs on grade, The Aberdeen Group, second edition, 1996.
[13] Spears/ R. E., Concrete floors on ground, Portland
Cement Association, second edition, 1983.
[14] US Army Corps of Engineers, Guidelines on ground
improvement for structures and facilities (ETL 1110-1-185),
1999.
[15] US Army Corps of Engineers, Soil stabilization for
pavements (TM 5-822 14), 1994
[16] Westergaard, H. M., New formulas for stresses in
concrete pavements of airfields, Transactions ASCE, Volume
113, 1948.
[17] Westergaard, H. M., Stress concentrations in plates
loaded over small areas, Transactions ASCE, Volume 108,
1943.
[18] Wire Reinforcement Institute, Innovative ways to
reinforce slabs on ground (TF 705-R-01), 2001.
109