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INSTITUTO POLITCNICO - Centro Universitrio UNA

LISTO - CLCULO DE VRIAS VARIVEIS

1

FORMAO ESPECFICA QUESTES OBJETIVAS

Questo 1 - A densidade populacional (em pessoas por milha quadrada) de uma cidade costeira pode ser modelada pela seguinte funo

(,) = 15 000(+1)2 , em que x e y so medidos em milhas. Nessas condies, pode se afirmar que a populao no interior da rea

retangular definida pelos vrtices (0,0), (0,2), (2,0) (2,2) est mais prxima de: A) 14 000 habitantes

B) 16 000 habitantes

C) 20 000 habitantes

D) 36 000 habitantes

Questo 2 - Um reservatrio de base retangular tem seu formato modelado conforme representado na figura a seguir

Qual das integrais abaixo expressa corretamente a capacidade do reservatrio

em 3?

A) (, )4311 B) (, )43 C) (, )4321 D) (, )21



2

Questo 3 - A carga eltrica total lquida existente em uma superfcie pode

ser determinada se se conhece a distribuio superficial de carga (,), bastando efetuar-se o clculo

= (, )

em que = . Uma lmina fina, com superfcie retangular, apresenta densidade superficial de

carga dada por (,) = sin coulombs por metro quadrado, e est situada na regio

= {(, )/ 0 1 0 } Tendo em conta que e so medidos em metros, a carga eltrica total

acumulada nessa lmina

(A) 2 2

(B) 222

(C) 2

(D) 0



3

Questo 4 - Em uma cidade delimitada por uma regio triangular (), a elevao em quilmetros acima do nvel do mar no ponto (,) modelada por: (,) = 0,25 0,025 0,01, em que x e y so dados em quilmetros.

Nessas condies, correto afirmar que a elevao mdia da cidade est mais

prxima de:

A) 100 metros

B) 200 metros

C) 300 metros

D) 400 metros

Questo 5 - Uma placa fina cobre a regio triangular de vrtices (0,0); (1,0) (0,1). A densidade da placa de (, ) = (1+)2

. Determine a

massa desta placa.

A) 18

B) 548

C) 7

24

D) 16



4

Questo 6 - Se (,) = 102 representa a densidade ratos em uma ilha, onde x e y so medidos em quilmetros, determine a quantidade de ratos que

vivem em uma regio delimitada por = 0, = , = 0 = 1. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50

Questo 7 - Numa galeria de arte ser reservada uma rea para exposio de obras de arte de Picasso . Um engenheiro fez um projeto que limitou a regio

para esta exposio pelas curvas = 2 + 14 40 e = 5. Podemos afirmar que a integral dupla que representa tal rea assim como o valor desta

rea em metros quadrados correspondem respectivamente a:

(A) = 2+1440595 = 5183 (B) = 2+1440595 = 323 (C) = 50

3

2+1440

0

5

0

(D) = 2203

2+1440

0

5

0



5

Questo 8 - Uma funo densidade de probabilidade conjunta de duas

variveis deve satisfazer as condies:

(I) (, ) 0 (II) (,) = 1 para todo (,) 2

Considere a funo (, ) = 12 1 2 0 (,) 2 .

Nessa funo, o valor da constante para que satisfaa a condio (II)

acima deve ser igual a

(A) 2 2

(B) 22

(C) 834

(D) 34 8

Questo 9 - Uma empreiteira foi contratada para a construo de um tnel. exigncia do contratante que o tnel seja retilneo, que sua parte superior, o

teto, tenha o formato de um cilindro parablico de equao = 10 0,0012, onde x e z so medidos em metros, que a pavimentao (a estrada) esteja no

plano xy, que tenha 100m de comprimento, seja de mo dupla, tenha 60m de

largura e que o canteiro central que separa a via de ida da volta, esteja sobre o

eixo y. O engenheiro responsvel pelo projeto solicitou a outro membro de sua

equipe a determinao exata do volume deste tnel, para poder definir a

quantidade de equipamentos a serem instalados para fornecer ar novo para

dentro do tnel, necessrio a diluio de poluentes. Qual volume, em m3, foi

encontrado?

(A) 40.000 (B) 52.800 (C) 58.200 (D) 133.333



6

Questo 10 - Uma carga eltrica distribuda sobre uma placa = (, )/ 0

4; 1 2. A densidade da de carga de

(,) = (medida em Coulombs por metro quadrado). Qual a

carga total da placa?

A) 1642 C

B) 3642 C

C) 5642 C

D) 7642 C

Questo 11 - A seco transversal de uma pea, utilizada no acabamento interno de um veculo, compreende a regio do plano, limitada pelo eixo y e

pelas circunferncias, senr 4= e cos4=r .

Considerando as medidas em cm , qual ser rea da referida seco?

(A) 2

(B) 4

(C) 8

(D) 16



7

Questo 12 -. Uma bala de uma determinada arma de guerra foi modelado por

um engenheiro e limitado pelo plano e pela superfcie = 4 22 22. Como a quantidade desta munio a ser produzida era muito elevada calculou-

se seu volume de cada bala. Podemos afirmar que tal volume de?

.(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

Questo 13 - O valor mdio de uma funo de duas variveis, em uma

regio contida em seu domnio, dado por 1()(,)

em que () a rea de . Uma lmina circular, de raio 2 , est localizada no plano cartesiano , com centro na origem. Se a densidade de massa (medida em /2) em cada ponto (,) dessa lmina igual ao triplo da distncia do ponto origem, ento a sua densidade mdia

(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 16

Questo 14 - As coordenadas ),( yx do centro de massa de uma lmina

ocupando uma regio D e tendo funo densidade ),( yx so

=D

dAyxxm

x ),(1 =D

dAyxym

y ),(1

Onde =D

dAyxm ),(



8

Considere D, a regio triangular de vrtices, (1, 1), (3, 1) e (3, 3) e a lmina que

ocupa esta regio com funo densidade constante, 3),( =yx .

Nestas condies, a coordenada, x , ser:

(A) 8/3

(B) 7/6

(C) 4/3

(D) 7/3

Questo 15 - As coordenadas do centro de massa de uma lmina com

densidade de massa (, ) podem ser calculadas utilizando os primeiros momentos, e , e a massa , calculada como = (, ) . Os momentos so dados por

= (, )

e = (, )

e as coordenadas, por = e = .

Se uma placa metlica fina est no primeiro quadrante do plano , abaixo da

curva = sin e contida no intervalo 0 , apresentando uma densidade de massa constante e igual a 16, indique abaixo a relao correta entre a abscissa e a ordenada do seu centro de massa.

(A) = (B) = (C) = 4 (D) = 4



9

Questo 16 - Determine a massa de um slido com densidade constante, isto

, =),,( zyx e limitado pelo cilindro parablico 2yx = e pelos planos

,1 e 0 , === xzzx conforme figura abaixo:

(A) 54

=m

(B) 53

=m

(C) 52

=m

(D) 51

=m

Questo 17 - A integral tripla pode ser utilizada para determinar o volume de

alguns slidos. O volume da regio entre cilindro z = y2 e o plano xy que

delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = - 1 e y = 1, igual a

(A)

(B)

(C) 61

(D) 121



10

Questo 18 - O tetraedro um slido geomtrico composto por quatro faces triangulares, trs delas encontrando-se em cada vrtice. Pedro precisa calcular

EzdV , onde E o tetraedro slido delimitado pelos quatros planos

0,0,0 === zyx e ,1=++ zyx conforme abaixo (Figura 1). Ao lado foi dada a

projeo do tetraedro no plano xy (Figura 2). O resultado obtido por Pedro foi?

Figura 1 Figura 2

(A) 241

(B) 241

(C) 121

(D) 121



11

Questo 19 - Foi dado o seguinte slido:

A integral que calcula o volume de tal slido :

(A) 1

0

1

0

1

0

y yxdzdxdy

(B) 1

0

1

0

1

0

x yxdzdxdy

(C) 1

0

1

0

1

0

yxdzdxdy

(D)

1

0

1

0

1

1

x

yxdzdydx

Questo 20 - Para desenvolver um certo prottipo necessrio fazer o

seguinte clculo .11 1 1

2 3

dxdydzxyz

e e e

Qual ser o valor obtido?

(A) 6e

(B) 16 e

(C) 12

(D) 6



12

Questo 21 - Pode-se afirmar que o volume do slido que est dentro tanto do

cilindro 2 + 2 = 1 como da esfera 2 + 2 + 2 = 4 igual a (A) 4

3(8 33 2 )

(B) 23(8 33 2 )

(C) 53(8 33 2 )

(D) (8 33 2 )

Questo 22 - Um slido tem a forma da regio delimitada pelo paraboloide

= 1 2 2 e o plano . A densidade em (, , ) proporcional distncia de at a origem. Em coordenadas cilndricas podemos encontrar a

massa por meio da integral

(A) M= (2 + 2)121201020 r dz dr d (B) M= (2 + 2)121201020 r dz dr d (C) M= (2 + 2)12120100 r dz dr d (D) M= (2)12121020 r dz dr d

Questo 23 - Um reservatrio para armazenamento de gua constitudo por um corpo cilndrico e um tampo curvo.

O reservatrio ocupa a regio do espao limitada pelo plano xy, pelo

parabolide de equao, 228 yxz = , e pelo cilindro de equao, 422 =+ yx .

Nestas condies, o volume do reservatrio ser.

(A) 340

(B) 24

(C) 380

(D) 36



13

Questo 24 - Para resolver um determinado problema necessrio fazer o

seguinte clculo: VdyxE + .)(

22 , onde E a regio slida e a sua projeo

sobre o plano xy o disco ,422 + yx conforme figura abaixo. Qual ser o

valor obtido?

(A) 38

(B) 5

16

(C) 3

16

(D) 58



14

Questo 25 - Todas as aplicaes de integrais duplas que foram estudadas no Clculo de Vrias Variveis podem ser estendidas para as integrais triplas. Na

Fsica, por exemplo: se a funo densidade de um objeto slido que ocupa a

regio E ),,( zyx em unidades de massa por unidade de volume, em

qualquer ponto (x, y, z) ento sua massa dVzyxmE= ),,( . Com base

nessas informaes, a integral tripla que representa a massa de um slido com

densidade 1, delimitado inferiormente pelo disco R: x2 + y2 4 no plano z = 0 e superiormente pelo paraboloide z = 4 x2 y2 ser

(A) 4202020 (B) 402020 (C) 4202020 (D) 4202020

Questo 26 - Um determinado tijolo retangular possui dimenses a, b, c,

massa M e densidade constante. O centro deste slido est localizado na

origem e suas arestas paralelas aos eixos coordenados. Nessas condies

qual integral representa o momento de inrcia em relao ao eixo x?

(A) Ix= (2 + 2) 000 (B) Ix= (2 + 2) 202020 (C) Ix= (2 + 2)2

2

2

2

2

2

dx dy dz

(D) Ix= (2 + 2)22

20

20

dz dy dx



15

Questo 27. A altitude de um certo relevo no ponto (, ) dada pela funo (, ). Sabendo-se que (0,0) = 0 e que (, ) = (2(),2()) podemos afirmar que

A) (3,0) = (6,0). B) (3,0) = 6. C) (3,0) = 9. D) (3,0) = (0,9).

Questo 28 - Partculas movem-se no espao de modo que o vetor velocidade

de cada partcula, num certo instante, depende apenas da posio (,, ) em que ela se encontra. O vetor velocidade na posio (, , ) (,, ) =((2 ), ( 4), ). Podemos ento afirmar que s permanecem paradas as partculas que estiverem nas posies

A) (1,1,1) e (1,1,1). B) (0,0,0), (1,1,1) e (1,1,1). C) (0,0,0) e (1,1,1). D) (0,0,0), (1,1,1) e (1,1,1).



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FORMAO ESPECFICA QUESTES DISSERTATIVAS

Questo 1 - Uma empresa vende dois produtos (A e B) em que a quantidade vendida de cada um em funo do preo de comercializao dada por:

= 500 3, em que a quantidade de produtos A vendida e o preo cobrado por unidade de A.

= 750 2,4, em que a quantidade de produtos B vendida e o preo cobrado por unidade de B.

Sabendo que a receita total da empresa, em reais, dada por:

= . + . Determine o valor mdio da receita para quando o preo de A variar entre 5 e

10 reais e o preo de B variar entre 0 e 2 reais.

Questo 2- Um engenheiro projetou uma pea para uma determinada estrutura. O slido tridimensional representado na figura abaixo foi delimitado

sob a superfcie = e acima do tringulo cujos vrtices esto em (0, 0), (1,0) e (0,1). Utilize integral tripla para determinar o volume deste slido.



17

Questo 3 Uma carga eltrica distribuda sobre um disco + de modo que a densidade de carga em um ponto (,) seja dada por (,) = + + + (medida em coulombs por metro quadrado). Qual a carga total no disco?

Questo 4 - Uma lmina fina tem sua forma determinada pela regio

delimitada por = /2 , = 3 , = 0 = 2. Se a densidade da placa dada por (,) = + . Encontre seu centro de massa em relao aos eixos coordenados.

Questo 5 - Determine o volume do slido delimitado inferiormente por z = 3 y2, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que

contorna a regio R delimitada por y = x2 e y = 4.

Questo 6 - Determine a massa do slido, com densidade = 1, delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 4, delimitado superiormente pela paraboloide z = x2 + y2 e

delimitado inferiormente pelo plano xy.

Questo 7 - Uma fbrica de produtos qumicos possui um tanque usado durante o processo de misturas de substncias. Este tanque possui uma tampa

metlica com densidade de massa igual a 1 kg/m2 e tem o formato de uma

calota. Adotando um sistema de coordenadas retangulares, a tampa deste

tanque pode ser descrita pela superfcie delimitada por 1222 =++ zyx e z = 0.

Use uma integral tripla para encontrar a massa da tampa.



18

Questo 8 - Um dispositivo mecnico possui um sistema pendular. A esfera do pndulo metlica e tem densidade de massa igual a1kg/m2. Este sistema tem

a funo de fazer um contra peso quando o dispositivo estiver em

funcionamento.

Determine o momento de inrcia da esfera do pndulo, em relao ao seu dimetro vertical, supondo que a esfera tem representao cartesiana

1222 =++ zyx .

Questo 9 - Um tanque de armazenagem est completamente cheio de gros. A densidade de massa deste tanque cheio constante igual 4kg/m2. Adotando

um sistema de coordenadas retangulares, o tanque assemelha-se superfcie

acima de 22 yxz += e abaixo de 4=z .

Ache o centro de massa deste tanque.

Questo 10 - Determine os momentos de inrcia para um cubo com densidade constante k e lados de comprimento L se um vrtice est localizado na origem

e trs arestas esto nos eixos coordenados.

Questo 11. Partculas movem-se no plano sob a ao do campo de

velocidades (,) = (2,32). A trajetria (),() da partcula que no instante = 0 passa no ponto (0,1), em que ponto estar no instante = 2? Questo 12 - Calcular o trabalho realizado pela fora constante

=

para deslocar uma partcula ao longo da reta + = 2 de (0,2) at (2,0).



19

Questo 13 - Calcular o trabalho realizado pela fora constante

= (, ,)

para deslocar uma partcula ao longo da hlice = (, , 2) de = 0 a = .

Questo 14 - Um arame com o formato de um semicrculo 2 + 2 = 1, 0 mais grosso perto da base do que perto do topo. Encontre as coordenadas

do centro de massa deste arame, considerando a densidade linear em

qualquer ponto (, ) = 4(1 ).

Gabarito das questes objetivas

1 C 2 C 3 A 4 A

5 B 6 D 7 B 8 C

9 C 10 B 11 B 12 B

13- B 14 D 15 D 16 A

17 A 18 A 19 A 20 D

21 A 22 A 23 B 24 B

25 C 26 C 27 C 28 - D



20

Respostas das questes dissertativas

1. R$ 4321,80.

2. = 21 + 1 . 3. 8 Coulombs 4. (3/4 , 3/2) .

5. 2245

6 - 8 7.

32

=m unidades de massa

8. 158

=zI

9. Centro de massa 0, 0, 83

10. I = I = I = 253

11. No ponto (4,33). 12. = 4 13. =

2 4

14. 0, 42(2)

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