Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D

Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

1. Seja f(x) = x5+x+1. Justi�que a a�rmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0]. Determineum intervalo de amplitude 0,25 que contenha a raiz.

2. Prove que a equação x3− 1

x4 + 1= 0 admite ao menos uma raiz real. Determine um intervalo de amplitude

0,25 que contenha a raiz.

3. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo absolutos.

(a) A =

{x

x2 + 1/ − 2 ≤ x ≤ 2

}(b) A =

{x2 + x

x2 + 1/ − 1 ≤ x ≤ 1

}4. Prove a seguinte Proposição: Sejam f(x) uma função de�nida em um intervalo aberto (a, b) e c ∈ (a, b)

um ponto extremo relativo de f(x). Se f ′(x) existe para todo x ∈ (a, b), então f ′(c) = 0.

5. Seja f : [−1, 1] → R dada por f(x) =x2 + x

x2 + 1.

(a) Prove que f(1) é o valor máximo de f.

(b) Prove que existe c ∈ (−1, 0) tal que f(c) seja o valor de mínimo absoluto de f.

6. Considere a função f(x) = 2x3 −√x2 + 3x.

(a) Veri�que que f(x) é contínua em [0,+∞).

(b) Determine todas as raízes de f.

(c) Determine os intervalos em que f(x) > 0 e f(x) < 0.

7. Prove que a equação x3 − 3x2 + 6 = 0 admite uma única raiz real. Determine o intervalo de amplitude 1que contenha a raiz.

8. Prove que a equação x3+x2−5x+1 = 0 admite três raízes reais distintas. Localize intervalos de amplitude1 que contenham tais raízes.

9. Determine condições sobre a ∈ R para que a equação x3 + 3x2 − 9x+ a = 0 admita:

(a) uma única raiz real.

(b) duas raízes reais distintas.

(c) três raízes reais distintas.

10. Considere f(x) =x

x3 − x+ 1. Existe c ∈ [−2,−1] tal que f(c) = 0? Justi�que.

11. Considere f(x) = x−2. Podemos usar o Teorema de Rolle para concluir que existe c ∈ [−2, 2] tal quef ′(c) = 0? Justi�que.

12. Em cada caso, examine se as funções satisfazem as condições e veri�cam o Teorema de Rolle e justi�quesua resposta.

(a) f (x) = 2x2 + x sobre o intervalo[12 , 1

];

(b) f (x) = 1− 3√x2 sobre o intervalo [−1, 1];

1

(c) f (x) = tan (x) sobre o intervalo [0, π];

(d) f (x) = (x− 1) (x− 2) (x− 3) sobre o intervalo [1, 3];

(e) f (x) = sin2 (x) sobre o intervalo [0, π].

13. Sabendo que f (x) = 4x3 − 4x+ x2 − 1 tem raízes −1 e 1, pelo teorema de Rolle é possível a�rmar que aderivada tem alguma raiz entre −1 e 1? Justi�que.

14. Em cada caso, examine se as funções satisfazem as condições e veri�cam o Teorema do Valor Médio (deLagrange). Justi�que.

(a) f (x) = 3√x2 − 5x+ 6 sobre o intervalo [−3, 4];

(b) f (x) = 1− 5√x4 sobre o intervalo [0, 2];

(c) f (x) = x43 sobre o intervalo [−1, 1];

(d) f (x) = sin(πx

2

)sobre o intervalo [0, 1];

(e) f (x) =1

xsobre o intervalo [−1, 1];

(f) f (x) =1

(x− 2)2sobre o intervalo [0, 1].

15. Através do teorema de Rolle é possível a�rmar que a função f (x) = 2 − |3− x| possui um ponto críticono intervalo [1, 5]? Justi�que.

16. Use algum dos teoremas estudados para determinar em que ponto da curva f (x) = x3 − 2x2 − 1 a retanormal a esta curva é perpendicular a reta que passa pelos pontos A (1,−2) e B (0,−1).

17. Utilize o Teorema de Lagrange para demonstrar as desigualdades:

(a) ex ≥ 1 + x, para x ≥ 0;

(b) arctan (x) < x, para x > 0;

(c) bn − an < nbn−1 (b− a), para b > a, n ∈ N;(d) |sin θ − sinα| ≤ |θ − α|, para α e θ ∈ R.

18. Para que valores de a, m e b a função f (x) =

3, se x = 0−x2 + 3x+ a, 0 < x < 1mx+ b, se 1 ≤ x ≤ 2

satisfaz o teorema do Valor

Médio no intervalo [0, 2]? Justi�que.

19. Em que ponto da curva f (x) = xn a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A (0, 0) eB (a, an)?

20. Seja g a função de�nida por g (x) =√4− x2.

(a) Usando um dos teoremas estudados, determine o ponto em que a reta normal à curva y = g (x)também é normal a reta que passa pelos pontos A (−2, 0) e B (0, 2).

(b) A função y = f (x) =√16− x4.g′ (x), veri�ca o teorema de Rolle entre as raízes da função g?

Justi�que.

21. Seja p (x) = Ax2 + Bx + C, onde A, B e C são constante reais e A ̸= 0. Mostre que para qualquerintervalo [a, b], o valor de c cuja existência é garantida pelo Teorema de Lagrange, é o ponto médio dointervalo.

22. A�rma-se que f (0) = −3 e f ′ (x) ≤ 5, para todo x real, então pelo Teorema do Valor Médio (ou deLagrange) o maior valor possível para f (2) é 7. Pergunta-se: é verdade? Justi�que.

2

23. Em cada caso, determine os intervalos onde f (x) é crescente e decrescente bem como todos os pontos demáximo e mínimo:

(a) f (x) =x

(x− 8)(x+ 2)

(b) f (x) = x+ sinx

(c) f (x) = x lnx

(d) f (x) = xe−x

(e) f (x) =16

x (4− x2)

(f) f (x) =(x− 2) (8− x)

x2

(g) f (x) =x2√x2 − 1

24. Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade para baixo e para cima bem como os pontosde in�exão.

(a) f (x) =x

(x− 8)(x+ 2)

(b) f (x) = xe−x

(c) f (x) =16

x (4− x2)

(d) f (x) =x2√x2 − 1

25. Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas.

(a) f (x) =16

x (4− x2)

(b) f (x) =x2√x2 − 1

(c) f(x) =sinx

x2

(d) f(x) =cos(x2 − 1)

x− 1− 2x

26. Faça a análise e construa o grá�co de cada uma das funções:

(a) f (x) =lnx

x

(b) f (x) =6x2 − x4

9

(c) f (x) =x

x4 − 4

(d) f (x) = 3√2x− x3

(e) f (x) =1

1− ex

(f) f (x) = e−x2+ 2

(g) f (x) = e1x

(h) f (x) =1

(x− 2)2

(i) f (x) = xex−2

(j) f (x) = x+1

x(k) f (x) = 2x+ 1 + e−x

(l) f (x) = x2e1−x

(m) f (x) = 2x+1

x2

(n) f (x) = 2√x− x

(o) f (x) =x2 − 1

x2 + 1

(p) f (x) =16x3

3+

1

x

(q) f (x) = (x− 1) ex

(r) f (x) =√x+

2√x− 2

√2

(s) f (x) = x− 1

x(t) f (x) = x ln(x2)

(u) f (x) = xe−x

(v) f (x) = x+ lnx

(w) f (x) = cot (x) , ∀x ∈ (−π, π)

(x) f (x) = sec (x) ∀x ∈ (−2π, 2π)

(y) f (x) = ln (cos (2x)) , ∀x ∈ (0, 2π)

27. Dada a função f (x) = ln(x2 + 1

), explique, usando o Teorema de Rolle, porque é possível a�rmar que

existe um possível ponto de in�exão no grá�co da curva de y = f (x), no intervalo[12 , 2

].

28. Seja f (x) = 2ax3 + bx2 − cx+ d uma função.

(a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d para que f (x) tenha pontos críticos em x = 0e x = 1.

(b) Se a > 0 em qual dos pontos críticos a função terá máximo e/ou mínimo?

29. Considere a função f (x) = x8 + 2x7 − 8x6 + x5 − 2x4 + 2x3 + 4x2. A�rma-se que no intervalo (0, 1) estafunção tem pelo menos um ponto crítico. Pergunta-se: é verdade ? Justi�que sua resposta.

30. Determinar os coe�cientes a e b de forma que a função f (x) = x3 + ax2 + b tenha um extremo relativono ponto (−2, 1).

31. Esboce o grá�co da função f (x) que satisfaz as seguintes condições:

i. f (0) = 1;

ii. y = 1 é uma assíntota horizontal de f ;

3

iii. f não possui assíntota vertical.

iv. f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞) ;

v. f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (−1, 1) ;

vi. f ′′ (x) > 0 para todo x ∈(−∞,−

√3)∪(0,√3);

vii. f ′′ (x) < 0 para todo x ∈(−√3, 0

)∪(√

3,+∞).

Determine os pontos de máximo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) ponto(s) de in�exão. Justi�que cada um dessesitens.

32. Construa o grá�co de uma função que satisfaz as seguintes condições: f ′ (−1) = f ′ (1) = 0; f ′ (x) < 0 se|x| < 1; f ′ (x) > 0 se 1 < |x| < 2; f ′ (x) = −1 se |x| > 2; f ′′ (x) < 0 se −2 < x < 0; o ponto P (0, 1) é umponto de in�exão.

33. Construa o grá�co de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições:

i. f ′ (x) > 0 se |x| < 2; f ′ (x) < 0 se |x| > 2; f ′ (2) = 0;

ii. limx→+∞

f (x) = 1 e f (−x) = −f (x) ;

iii. f ′′ (x) < 0 se 0 < x < 3;

iv. P (3, f (3)) é ponto de in�exão.

34. Seja f a função cujo grá�co está representado na �gura a seguir.

x

y

Faça a análise grá�ca de f , observando, se existir(em), assíntota(s) vertical(is) e assíntota(s) horizontal(is),os intervalos em que f ′ (x) > 0 e f ′ (x) < 0 , os intervalos em que f ′′ (x) > 0 e f ′′ (x) < 0 , pontosde máximo(s) e/ ou mínimo(s) relativos, o(s) ponto(s) de in�exão, descontinuidades e raízes. Justi�quecada item.

35. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o grá�co de f de tal forma que sua primeiraderivada apresente o comportamento abaixo ilustrado. Além disso, descreva o que pode ser concluídosobre o grá�co de f ′′(x). Justi�que suas conclusões.

4

x

y

36. Esboce o grá�co da função f,, contínua em R, sabendo que o grá�co da primeira derivada de f estárepresentado na �gura a seguir e as raízes de f estão em x = −2, x = 0 e x = 2.

x

y

Respostas:

1. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c ∈ (−1,−0.75)

2. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c ∈ (0.75, 1)

3. Use o Teorema de Weiertrass.

4. Dica: Suponha que x = c é um ponto de mínimo local, use a de�nição de ponto de mínimo e a de�niçãode derivadas laterais para concluir que f ′

−(c) ≤ 0 e f ′+(c) ≥ 0, logo f ′(c) = 0.

5. Use o Exercício 4 e o Teorema de Weiertrass.

6.

7. Use o Teorema de Bolzano e o Exercício 4; [−2,−1]

8. Use o Teorema de Bolzano ou o Exercício 4; [−3,−2], [0, 1], [1, 2]

9. .

(a) a < −27 ou a > 5.

(b) a = −27 ou a = 5.

(c) −27 < a < 5.

10. Não.

5

11. Não.

12. (a) não; (b) não; (c) não; (d) sim; (e) sim.

13. Sim.

14. (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) não; (f) sim.

15. Não. f ′ não existe em x = 3.

16.(13 ,−

3227

)17. Dica: Primeiro encontre a função e o intervalo para aplicar o TVM.

18. a = 3, b = 4 e m = 1.

19.

(a

n−1√n,

an

n−1√nn

)20. (a)

(−√2,√2); (b) não.

21.

22. A a�rmação é verdadeira.

23. .

(a) Decrescente no domínio

(b) Crescente no domínio

(c) Decrescente em (0, e−1] e crescente em [e−1,+∞)

(d) Decrescente em [1,+∞) e crescente em (−∞, 1]

(e) Crescente em(−∞,− 2√

3

)∪(

2√3,+∞

)e decrescente em

(− 2√

3, 2√

3

)(f) Decrescente em (−∞, 0) ∪ [3.2,+∞) e crescente em (0, 3.2)

(g) Decrescente em (−∞,−√2) ∪ (1,

√2) e crescente em (−

√2,−1) ∪ (

√2,+∞).

24. .

(a) Côncava para cima em (−2, 0] ∪ (8,+∞) e côncava para baixo em (−∞,−2) ∪ (0, 8)

(b) Côncava para baixo em (−∞, 2] e côncava para cima em [2,+∞)

(c) Côncava para cima em (−∞,−2) ∪ (0, 2) e côncava para baixo em (−2, 0) ∪ (2,+∞)

(d) Côncava para cima em todo seu domínio

25. .

(a) y = 0, x = −2, x = 0 e x = 2

(b) y = x, y = −x, x = −1 e x = 1

(c) y = 0 e x = 0

(d) y = −2x e x = 1

26. Estão no �nal.

27. Sugestão: Aplique o Teorema de Rolle para a função g (x) = f ′ (x) .

28. (a) b = −3a, c = 0 e d ∈ R.(b) P1 (0, f (0)) e P2 (1, f (1)) são pontos de máximo e mínimo relativo, respectivamente.

29. A�rmação verdadeira.

6

30. a = 3 e b = −3.

31.

32.

33.

34. .

� Assíntotas verticais: x = −1 e x = 0

� Assíntotas Horizontais: não tem

� f ′(x) < 0 ⇒ x ∈ (−∞,−2] ∪ [−12 , 0)

� f ′(x) > 0 ⇒ x ∈ [−2,−1) ∪ (−1,−12 ] ∪ (0,+∞)

� f ′′(x) < 0 ⇒ x ∈ (−∞,−3.1] ∪ [−2, 0) ∪ (0,+∞)

� f ′′(x) > 0 ⇒ x ∈ [−3.1,−2)

� Ponto de mínimo: (−2, f(−2))

� Ponto de máximo: (−1/2, f(−1/2))

� Ponto de in�exão: (−3.1, f(−3.1))

� Descontinuidades: x = −1 e x = 0

� Raiz: x = 5/4

35. Pelo grá�co de f ′(x) pode-se concluir que f(x) tem um mínimo em x = 0 e pontos de in�exão em(−1, f(−1)) e (1, f(1)). Sendo côncava para baixo em (−∞,−1] ∪ [1,+∞) e côncava para cima em[−1, 1]. Também podemos concluir que as únicas raízes de f ′′(x) são x = −1 e x = 1, sendo f ′′(x) < 0 sex ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (−1, 1).

36. Temos que

� f(−2) = f(0) = f(−2) = 0

� f(x) < 0 se x ∈ (−∞,−2) ∪ (0, 2)

� f(x) > 0 se x ∈ (−2, 0) ∪ (2,+∞)

� f(x) é crescente se x ∈ (−∞,−1] ∪ [1.5,+∞)

� f(x) é decrescente se x ∈ [−1, 1.5]

� Ponto de mínimo: (1.5, f(1.5))

� Ponto de máximo: (−1, f(−1))

� Pontos de in�exão: (0, 0), (2, 0) e (3, f(3))

� f(x) tem um "pico"em x = 0 e uma tangente vertical em x = 2

26.

7

x

y(b)

x

y(a)

x

y(c )

x

y(d)

x

y

(e)

x

y(f)

x

y

(g)

8

x

y(h)

x

y(i)

x

y

(j)

y

x

(k)

y

x

(l)

x

y(n)

y

x

(o)

(m)

x

y

9

(p)

x

y

(q)

x

y

(r)

x

y

(s)y

x

(u)

x

y

x

y(t)

10

(v)

x

y(w) y

x

(x) x

x

(y)

x

y

11