lista2_probest

UFRJ-MACAÉ

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Cleber Nascimento do Carmo 1/ 7

Lista 02

Tópicos abordados: Introdução a Teoria das Probabilidades, variável aleatória.

1. Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus

elementos:

a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas.

b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência da face par ou ímpar é observada.

c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente

iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas.

d) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara.

2. Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Escreva os eventos abaixo na linguagem da

Teoria dos Conjuntos, utilizando, quando for o caso, as operações de união, interseção e

complementar.

a) Pelo menos um dos eventos ocorre.

b) O evento A ocorre, mas B não.

c) Nenhum deles ocorre.

d) Exatamente um dos eventos ocorre.

3. Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual

a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?

4. Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:

a) Exatamente uma cara? (37,5%)

b) No máximo duas caras? (87,5%)

5. Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20).

Determine a probabilidade dos eventos abaixo:

a) Ser sorteado um número par. (50%)

b) Não ser sorteado múltiplo de 5. (80%)

c) Ser sorteado um número maior que 12. (40%)

d) Ser sorteado um múltiplo de 8. (10%)

UFRJ-MACAÉ




e) Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3. (10%)

f) Ser sorteado um número par ou número maior que 15. (60%)

6. Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa

comunidade revelou que: 25 pessoas consomem carnes e verduras; 83 pessoas consomem

verduras; 39 pessoas consomem carnes. Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso.

Qual a probabilidade da pessoa:

a) Consumir exclusivamente carnes? (14%)

b) Ter o hábito de não consumir nem carne nem verdura? (3%).

7. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:

a) A soma ser menor que 4; (8,33%)

b) A soma ser nove; (11,11%)

c) O primeiro resultado ser maior que o segundo. (41,67%)

8. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas, sem reposição. Calcular

a probabilidade de:

a) Todas as bolas retiradas sejam pretas. (12,12%);

b) Todas as bolas retiradas sejam brancas (6,06%);

c) As duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira preta. (12,12%)

9. Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino? (6,25%)

10. Dois peritos de fiscalização econômica entram em um supermercado. Todos os tipos de

produtos são examinados por um e somente um dos dois peritos. Suponha que o azeite que

está a venda neste estabelecimento é, todo ele, falsificado. A probabilidade de ser o primeiro

perito a examinar a qualidade do azeite é de 0,4. A probabilidade do azeite ser classificado

como falso quando examinado pelo primeiro perito é de 0,08 e 0,02 se examinado pelo

segundo. Durante a verificação, o azeite foi classificado como falsificado. Calcule a

probabilidade de ter sido examinado pelo primeiro perito. (72,7%)

11. Uma empresa produz peças em duas máquinas 1 e 2, que podem apresentar desajustes com

probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. No início do dia de operação, um teste é realizado

UFRJ-MACAÉ




e caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia passando por revisão

técnica. Para cumprir o nível mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas deve

operar. Você diria que a empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção?

Justifique a resposta.

12. Em um teste educacional com crianças, o tempo para realização da prova é medido e

registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o

desenvolvimento das crianças e auxiliar na aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico

considera T, tempo de prova em minutos, como uma variável aleatória contínua com f.d.p.

dada por:

1

4 , 8 1040

3, 10 15

20

0,

t se t

se t

caso contrário

a) Faça o gráfico de f(t);

b) Verifique que de fato f(t) é uma f.d.p;

c) Calcule a P(9<T<12). Resp: 0,4375.

13. Uma firma de construção concorreu recentemente a três obras públicas as quais lhe pode dar,

respectivamente, 10, 20 e 40 mil reais de lucro. Se as probabilidades de ganhar as

concorrências são 20%, 80% e 30%, respectivamente. Qual é o lucro total esperado? Resp:

R$ 30.000

14. Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade de um aluno saber a resposta é p. Havendo

m escolhas, se o aluno sabe a resposta, ele responde corretamente com probabilidade 1. Se ele

não sabe, responde corretamente com probabilidade 1/m. Dado que o aluno respondeu a uma

pergunta corretamente, qual a probabilidade de que ele sabia a resposta? Resp: m/[m + (1/p) –

1]

15. Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de

treinamento durante uma semana. Ao final, eles são submetidos a uma prova e 25% são

classificados como bons (B), 50% como médios (M) e os restantes como fracos (F). Como

medida de economia, o departamento de seleção pretende substituir o treinamento por um

teste contendo perguntas envolvendo conhecimentos gerais e específicos. Mas, para isso,

UFRJ-MACAÉ




gostaria de conhecer qual a probabilidade de que um indivíduo aprovado no teste fosse

considerado fraco, caso ele fizesse o curso. Assim, nesse ano antes do início do curso, os

candidatos foram submetidos ao teste e, de acordo com os resultados, receberam o conceito:

aprovado (A) ou reprovado (R). Ao final do curso, as seguintes probabilidades condicionais

foram obtidas: P(A | B) = 0,8; P(A | M) = 0,5; P(A | F) = 0,2. Determine P(F | A). Resp: 0,1.

16. Sejam X e Y o número de gols marcados pelos times de futebol A e B, com distribuições de

probabilidades dadas abaixo:

X 0 1 2 3 Outros

P(X = x) 0,2 0,4 0,2 0,2 0

Y 0 1 2 Outros

P(Y = y) 0,2 0,4 0,4 0

a) Calcule a função de probabilidade conjunta sabendo que as variáveis aleatórias são

independentes.

17. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Sabe-se que 40% dessas

garrafas contem uma quantidade menor do que o indicado no rótulo (1 litro). Tendo adquirido

6 dessas garrafas, qual a probabilidade de que:

a) Duas delas contenham menos de 1 litro? Resp: 0,3110

b) No máximo duas contenham menos de 1 litro? Resp: 0,5443

c) Pelo menos duas contenham menos de 1 litro? Resp: 0,7667

d) Todas contenham menos de 1 litro? Resp: 0,0041

e) Todas contenham o volume indicado no rótulo? Resp: 0,0467

f) Represente graficamente a função de probabilidade da variável aleatória em estudo.

18. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de certa universidade, é de 75,5 kg e o

desvio padrão é de 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente,

determinar quantos estudantes pesam:

a) Entre 60 e 77,5 kg; Resp: 300.

b) Mais do que 92,75 kg; Resp: 5

c) Menos do que 64 kg; Resp: 29

UFRJ-MACAÉ




d) Pesam exatamente 64 kg; Resp: 4

19. A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é “p” e “q”, respectivamente.

Qual a probabilidade...

a) De que nenhum destes eventos ocorra? Resp: 1 – p – q + pq

b) De que pelo menos um destes eventos ocorra? Resp: p + q – pq

20. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e variância 0,0004.

Qual a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81? Resp: 0,3085

21. Suponha que a carga de ruptura de um tecido de algodão (em libras), X, seja normalmente

distribuída com E(X) = 165 e Var(X) = 9. Além disso, admita que uma amostra desse tecido

seja considerada defeituosa se X < 162. Qual é a probabilidade de que um tecido escolhido ao

acaso seja defeituoso? Resp: 0,1587

22. Uma máquina de apostas (do tipo caça níquel) tem dois discos que funcionam

independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 pêras e 1

laranja. Uma pessoa paga R$10,00 e aciona a máquina através de uma alavanca. Se

aparecerem 2 maçãs, ganha o dobro do que pagou.; se aparecerem 2 bananas, ganha o triplo;

2 pêras, o quádruplo; e 2 laranjas, o quíntuplo.

a) Quanto esta pessoa espera ganhar (lucrar) em uma única jogada? Resp: - R$2,00

(prejuízo)

b) Qual o desvio padrão? Resp: R$13,04

c) Se continuar jogando por mais 3 vezes, qual será o lucro total? Resp: - R$6,00

(prejuízo)

23. Imagine que os depósitos efetuados no Banco Alpha durante o mês de janeiro são distribuídos

normalmente, com média de R$10.000 e desvio padrão de R$1.500,00. Um depósito é

selecionado ao acaso dentre todos os referentes aos meses em questão. Encontrar a

probabilidade de que o depósito seja de:

a) R$10.000,00 ou menos; Resp: 0,5

b) Pelo menos R$10.000,00; Resp: 0,5

c) Um valor entre R$12.000,00 e R$15.000,00 Resp: 0,09133

d) Maior do que R$20.000,00. Resp: 0 (aproximadamente).

UFRJ-MACAÉ




24. O volume de vendas de uma empresa, em centenas de milhares de reais, é uma v.a. cuja

função de densidade é dada por:

, 0 1

, 1 2

0,

x para x

f x k para x

caso contrário

a) Determine o valor da constante k;

b) Calcule P (X > E(X));

c) Determine a função de distribuição acumulada de X e represente-a graficamente.

25. O tempo de espera (em minutos) entre duas chamadas telefônicas em certa central é uma

v.a.c. com f.d.p. dada por:

, 0

0, 0

te para tf t

para t

a) Qual a probabilidade de que o tempo entre duas chamadas seja:

1. Inferior a 4 minutos?

2. Superior a 10 minutos?

26. Uma empresa de telefonia celular quer saber como funciona a relação entre o uso do telefone

e a renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior revelou que:

10 % dos clientes pertencem à classe A.

25% dos clientes pertencem à classe B.

35% dos clientes pertencem à classe C.

30% dos clientes pertencem à classe D.

Dentre os clientes da classe A, 30% usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe B, 40%

usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe C, 70% usam telefone pré-pago. Dentre os

clientes da classe D, 95% usam telefone pré-pago. Um cliente é escolhido aleatoriamente e tem o

serviço pré-pago. Qual a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes?

UFRJ-MACAÉ




27. O salário dos funcionários numa empresa pode ser modelado por uma variável aleatória

contínua X com a seguinte densidade:

.80001000,2 Xsecxxf

a) Ache a constante c que faz de f(x) uma f.d.p.

b) Qual o salário médio?

c) Ache o ponto m entre 1000 e 8000, tal que P(X ≤ m) = 0,50. Este ponto é a mediana

de X, ou seja, o salário mediano dos funcionários desta empresa.

28. Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro. A distância (em km) que ela irá

percorrer diariamente é uma v.a. com densidade:

150100,

2500

150

10050,2500

50

xsex

xsex

xf

Existem duas opções de diárias de aluguel:

1) Opção 1: R$70,00 + R$0,35 por km rodado;

2) Opção 2: R$90,00 se rodar até 120 km e R$130,00 se rodar mais de 120 km num dia.

Qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel?

29. A probabilidade de uma pessoa entrar numa loja e comprar certo produto é uma variável

aleatória contínua X com f.d.p. dada por f(x) = kx2(1-x), onde 0 < x < 1.

a) Encontre a constante k que faz desta expressão uma densidade.

b) Calcule a função de distribuição de X.

lista2_probest

Documents

Transcript of lista2_probest