_Lista IC e TH p

Exercícios de Estatística Profª Josefa A . Alvarez 1

Intervalos de Confiança

Intervalos de Confiança para a média conhecido 1) A média de uma amostra n = 25 é x = 50. Construa o intervalo de 95% para estimar se = 10.

Resposta: IC(;95%)=[46,08;53,92]

2) Seja uma variável aleatória X com variância 2 =16 e média desconhecida. Uma amostra

aleatória de n = 10 obteve os seguintes valores: 56,2 54,6 55,8 53,9 55,0 54,2 56,1 55,3

54,4 52,9

a) Encontre uma estimativa para a média .

b) Construa um Intervalo de Confiança 95% a média.

Resposta: a) 54.84 b) IC(;95%)=[ 52,3608; 57,3192 ] 3) Uma indústria automobilística afirma que seus veículos do modelo WZ ao saírem da fábrica fazem

uma média de consumo de 13,6 km/l, tendo 2 =1,2. Uma organização de consumidores desconfiados

desta afirmação coletou uma amostra de n = 12 veículos obtendo os seguintes valores de consumo:

10,8 13,2 13,8 12,6 14,0 13,5 13,2 13,6 14,7 12,7 11,0 12,9

Assumindo que a indústria não esteja mentindo quanto à variância, encontre um Intervalo de Confiança

95% para o consumo.

Resposta: IC(;95%)=[ 12,3802; 13,619 ] 4) Um departamento de manutenção recebeu um carregamento de 100 máquinas defeituosas. Sabe-se,

por experiência passada que o desvio padrão em relação ao tempo necessário para conserto é de 15

min. Estime o tempo médio, por máquina, necessário para consertar as máquinas deste carregamento

adotando um nível de confiança de 95%. Para alcançar este objetivo, analisou-se uma amostra de 16

máquinas obtendo-se um tendo médio para conserto de 85 minutos.

Resposta: IC(;95%)=[ 78,2298; 91,7702 ] o erro máximo associado a essa estimativa e=6,7702

Intervalos de Confiança para a média desconhecido 5) A média de uma amostra n = 25 é x = 50. Construa o intervalo de 95% para estimar se s = 8.

Resposta: IC(;95%)=[ 46,70; 53,30 ] 6) Dez corpos de provas foram submetidos a um teste de corrosão onde foram submersos em água

salgada durante 60 segundos/dia. A corrosão foi medida pela perda de peso em miligramas/decímetro

quadrado/dia (MDD). Os dados obtidos foram:

130,1 124,2 122,0 110,8 113,1 103,9 101,5 92,3 91,4 83,7

a) Encontre uma estimativa para a média e o desvio padrão da perda de peso em MDD.

b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a média.

Resposta: a) x =107,3 s=15,4467 b) IC(;95%)=[ 96,2501; 118,3499 ]

Resposta: a) x =107,3 s=15,4467 b) IC(;95%)=[ 96,2501; 118,3499 ]

Solução: t =2,262 =g.l.=9; /2=0,025

n

stx%)95;.(C.I

Intervalos de Confiança para proporção 7) Numa amostra de 400 alunos, 32 são estagiários. Construa o intervalo de confiança de 95% para .

IC(,95%)=[0,08 0,027} =[0,053; 0,107]

8) Numa pesquisa para se determinar a proporção p de pessoas com casa própria foram entrevistadas

n = 25 pessoas, sendo que destas 8 possuem casa própria.

a) Qual a proporção estimada de pessoas com casa própria?

b) Qual o Intervalo de Confiança de 90% para ? (Proporção)

Resposta: a) 0,32 b) IC(,90%)=[ 0,1665 ; 0,4735] 9) Numa cidade há 12.000 eleitores inscritos para a próxima eleição. Uma pesquisa pretende estimar a

proporção de eleitores que pretendem votar no candidato da oposição e para isso levanta ao acaso

uma amostra de 60 eleitores, obtendo uma proporção de 25%. Ao nível de confiança de 98%, encontre

o intervalo de confiança para a verdadeira proporção.


Resposta: IC(,98%)=[ 0,1203 ; 0,3797] Solução: Z 0,99=2,3263 p=0,25 q=1-p=0,75

1NnN

n

pqzp:);.(C.I

112000

6012000

60

75,0.25,0326,225,0%)98;.(C.I

IC(,98%)=[0,25 0,1297 ] IC(,98%)=[ 0,1203 ; 0,3797] 10) Sabendo-se que das 2500 famílias de determinada região foi extraída uma amostra aleatória de

500 famílias, na qual foi apurado que 100 possuem antena parabólica. Estabeleça o intervalo de

estimação para proporção de famílias da referida região que não possuem aquele equipamento,

utilizando o nível de confiança de 95%.

Resposta: IC(,95%)=[ 0,7686 ; 0,8314] 11) A companhia telefônica gostaria de calcular a proporção de domicílios que comprariam mais uma

linha telefônica se a mesma se tornasse disponível a um custo de instalação substancialmente

reduzido. Uma amostra aleatória de 500 domicílios é selecionada. Os resultados indicam que 135 dos

domicílios comprariam a linha telefônica adicional a um custo de instalação reduzido. Desenvolva uma

estimativa, com intervalo de 99%, da proporção da população de domicílios que compraria uma linha

telefônica adicional.

Resposta: IC(,99%)=[ 0,2189 ; 0,3211] 12) Para avaliar a taxa de desemprego em determinado estado, escolhe-se uma amostra aleatória de

1.000 habitantes em idade de trabalho e contam-se os desempregados: 87. Construa o intervalo de

confiança de 95% para proporção de desempregados em todo o estado (população).

Resposta: IC(,95%)=[ 0,0695; 0,10450]

Intervalos de Confiança para variância 13) Uma amostra de 25 assalariados forneceu salário médio =140 e desvio padrão s=6. Calcule o

intervalo de confiança de 95% para 2Resposta: IC(2,95%)=[ 21,949 ; 69,671]

Tamanho da Amostra

14) Calcular o tamanho da amostra a ser extraída de um lote de 1000 peças, para que com

confiança de 95% possa se estimar a média populacional, sabendo que o desvio padrão populacional é

de 15 Kg e o erro de estimação não pode ser superior a 300 g? Resposta: n 906

Solução: N=1000 =15 e=0,3 Z 0,975=1,96

778,90515.96,1999.3,0

1000.15.96,1

z)1N(e

Nzn

222

22

222

22

n 906

15) As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato de que o número crescente de

telefones celulares resulte em maior número de colisões de carros; estão por isso, pensando em

cobrar prêmios mais elevados para os motoristas que utilizam celulares. Desejamos estimar com uma

margem de 3%, a percentagem de motoristas que falam ao celular enquanto estão dirigindo. Supondo

que se pretende um nível de confiança de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser

pesquisados. Suponha que tenhamos uma estimativa com base em estudo anterior, que mostrou que

18% dos motoristas falam ao celular. Resposta: n≥631 Solução:

0224,63003,0

82,0.18,0.96,1e

pqzn 2

2

2

2

n≥631

16) Determinar qual o tamanho da amostra a ser extraída de uma população de 1000 habitantes para

que com confiança de 98% e erro não superior a 5% possa se estimar a proporção de habitantes com

curso superior. Sabe-se que de estudos anteriores essa proporção era de 8%. Resposta: n 138 Solução: N=1000 p=0,08 e=0,05 Z 0,99=2,3263


548,13792,0.08,0.326,2999.05,0

1000.92,0.08,0.326,2

)1( 22

2

22

2

pqzNe

Npqzn n 138

17) Qual é o tamanho da Amostra com confiança de 90% de modo que o erro amostra seja no máximo

5? Uma amostra piloto forneceu desvio padrão 45. Resposta: n 220 18) Você trabalha na Área de recursos humanos da Merrill Lynch. Você planeja inspecionar as

despesas médicas comuns dos empregados . Determine o tamanho da amostra com 95% de confiança

de modo que o erro amostra não seja superior ± $50,00. O desvio padrão populacional é $400,00. Que

tamanho de amostra usa você? Resposta: n 246

Intervalos de Confiança para média e variância 19) Num provedor de acesso à internet deseja implantar um plano sem limite de horas. Para isso,

verificou numa amostra de n = 25 usuários os tempos de utilização mensal, obtendo: média amostral

8,26x horas e 5,2s horas. Encontre um intervalo de confiança 90% para a média e para o desvio

padrão. Resposta: a) IC(,90%)=[ 25,9446 ; 27,6554 ] IC(,90%)=[ 2,0296 ; 3,2911] IC(,95%)=[ 2,0296 ; 3,2911] Solução

n

stx%)95;.(C.I

25

5,27109,18,26%)90;.(C.I

I.C.(; =90%)=26,8 0,8554=[ 25,9446; 27,6554]

tabela qui- quadrado 2

2,

=36,4150

2

21,

=13,8484

2

1,

2

1,

22 s)1n(

;s)1n(

);.(C.I

8484,135,2)125(

;4150,36

5,2)125(%)90;.(C.I

222

I.C.(2 ;90%): [4,1192; 10,8316] I.C.( ;90%): [2,0296; 3,2911] 20) Um estudo feito por uma companhia aérea mostrou que uma amostra aleatória de 20 de seus

passageiros que desembarcam no aeroporto de Guarulhos, em vôos provenientes dos EUA, gastam em

média 24,15 minutos, com desvio padrão de 3,29 minutos, para retirar sua bagagem e passar pela

alfândega. Construa o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio real e desvio padrão gasto

pelos passageiros na retirada da bagagem e na passagem pela alfândega? Resposta: a) IC(,95%)=[ 22,61 ; 25,69 ] IC(2,95%)=[ 6,2601 ; 23,0907] IC(,95%)=[ 2,5020; 4,8053] 21) O comprimento de certo tipo de eixo, produzido pela empresa Duroaço, tem uma pequena variação

de peça para peça. Uma amostra de 25 desses eixos forneceu um comprimento médio de 4,52

milímetros e desvio padrão de 4 milímetros. Construa um intervalo, com confiança de 90%, para a

média e desvio padrão do comprimento desses eixos fabricados pela Duroaço.

Resposta: IC(,90%)=[ 3,1513 ; 5,8887 ] IC(2,90%)=[ 10,5451 ; 27,7288] IC(,90%)=[ 3,2473, 5,2658]

Teste de Hipótese para a média conhecido 22) Admita que, em certa cidade, a variável aplicação em caderneta de população tenha média de 420

unidades monetárias, com desvio-padrão de 100 unidades monetárias. Com a atual crise nacional,

acredita-se que esta situação tenha se alterado. Para testar tal hipótese, tomou-se uma amostra de

100 depositantes, que acusou uma média de 415 u.m.Usando 5% de significância, pode-se concluir que

houve alteração?


Resposta: Zcal=-0,5, como este valor não pertence a região de crítica, não devemos rejeitar a

hipótese nula, ao nível de 5% de significância.

23) Um fabricante de conservas anuncia que o conteúdo líquido das latas de seu produto é, em média,

de 2000 gramas, com desvio-padrão de 40 gramas. A fiscalização de pesos e medidas investigou uma

amostra aleatória de 64 latas, verificando média de 1990 gramas. Fixado o nível de significância de

0,05. deverá o fabricante ser multado por efetuar a venda abaixo do especificado?

Resposta: Zcal=-2, como este valor pertence a região de crítica, pode-se rejeitar a hipótese nula, ao

nível de 5% de significância.

Solução

2000:H

2000:H

1

0

Considerando, então, um teste unilateral à esquerda e tendo = 5%

0-1,645 O valor da Estatística Teste será:

n

XZ

2

64

4020001990

Z

Teste Unilateral

Valor Crítico Inferior=-1,645

Devemos Rejeitar a Hipótese Nula

24)A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido

em acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 hora /homens por

ano com desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e, após

o mesmo, tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número de horas/homem perdidas por

acidente, que foi de 50 horas. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria?

Resposta: Zcal=-1,50, como este valor não pertence a região de crítica, não pode-se rejeitar a


Teste de Hipótese para a média desconhecido 25) Quando se trabalha com testes destrutivos de produtos com alto custo, utilizam-se pequenas

amostras para a estimação de parâmetros da população. Por exemplo, anotaram-se os tempos até

falhar (em horas) de uma amostra de 15 componentes críticos de um sistema: 183 – 206 – 190 – 195 –

218 – 199 – 203 – 188 – 192 – 177 – 155 – 202 – 162 – 214 – 225 obs:x =193,9333 s=19,3888.

Verifique, se o tempo médio de falha desses componentes é 190 horas ou é superior . Adotar nível de

5% de significância Resposta: Tcal=0,7857, como este não valor pertence a região de crítica, não

devemos rejeitar a hipótese nula, ao nível de 5% de significância.

Solução: As hipóteses são:

190:H

190:H

1

0

Nível de Significância 0,05


Estatística Teste 7857,0

15

3888,191909333,193

n

SX

ˆ

XT 0

X

0

Teste Unilateral à Direita

Valor Crítico Superior =+1,761

Não Devemos Rejeitar a Hipótese Nula

26) Um fabricante de lâmpadas afirma que a duração média de seu produto é de 500 horas.

Acreditando que a média seja inferior à anunciada, um comprador selecionou uma amostra de 10

lâmpadas, que acusou uma média de 490 horas, e um desvio-padrão de 12 horas. Realize o teste, com

5% de significância, e supondo população normalmente distribuída.

Resposta: Tcal=-2,6352, como este valor pertence a região de crítica, pode-se rejeitar a hipótese

nula, ao nível de 5% de significância.

27) O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma

modificação para diminuir este tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários,

medindo-se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos com

desvio padrão de 12 minutos. Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a

tarefa? Apresente as conclusões aos níveis de 5% de significância e diga quais as suposições teóricas

necessárias que devem ser feitas para resolver o problema.

Resposta: Tcal=-5, como este valor pertence a região de crítica, pode-se rejeitar a hipótese nula, ao

nível de 5% de significância.

Teste de Hipótese para proporção 28) Em um estudo da eficácia do air-bag em automóveis, constatou-se que 821 colisões de carros de

tamanho médio equipados com air-bag, 46 colisões resultaram em hospitalização do motorista. Ao nível

de 1%, teste a afirmação de que a taxa de hospitalização nos casos de air bag é inferior à taxa de

7,8% para colisões de carros de tamanho médio equipados com cintos automáticos de segurança.

Resposta: Zcal=-2,3506, como este valor pertence a região de crítica, pode-se rejeitar a hipótese

nula, ao nível de 1% de significância,

29) Certa organização médica afirma que um novo medicamento é de qualidade superior ao até então

existente, que é 80% eficaz na cura de determinada doença, Examinada uma amostra de 300 pessoas

que sofriam da doença, constatou-se que 249 ficaram curadas com o novo medicamento, Fixado o nível

de significância em 5%, teste a afirmação da organização,

Resposta: Zcal=1,2990, como este valor não pertence a região de crítica, não devemos rejeitar a


30) Certo fabricante de parafusos anuncia que 90% não apresentam qualquer tipo de defeito. Um

comprador acredita que a percentagem de parafusos perfeitos é diferente da anunciada pelo

fabricante, Para verificar tal hipótese, ele examinou 400 parafusos, verificando que 344 eram

perfeitos. Fixado o nível de significância de 2%, realize o teste correspondente.

Resposta: Zcal=-2,6667, como este valor pertence a região de crítica, devemos rejeitar a hipótese

nula, ao nível de 2% de significância.

Solução:

90,0:H

90,0:H

1

0

= 2%

Teste bilateral

Número de Sucessos 344

Tamanho da Amostra 400

Proporção da Amostra 0,86


O valor da Estatística Teste será:

n

pZ

)1( 00

0

= 6667,2

400

)90,01(90,0

90,086,0

Teste bilateral Valor Crítico Superior: 2,326 Valor Crítico Inferior :- 2,326

à região de rejeição, é a região à direita do valor: Z99%= 2,326 e à esquerda de:

Z1%= -2,326

Conclusão:Zcal=-2,667, como este valor pertence a região de crítica, devemos rejeitar a hipótese nula,

ao nível de 2% de significância.

31) As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem

até 70 anos é de 60%. Testar esta hipótese ao nível de 5% de significância se em 1000 nascimentos

amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até os 70 anos. Teste as hipóteses:H0:

=0,60 H1: 0,60

Resposta: Zcal=-4,42, como este valor pertence a região de crítica, devemos rejeitar a hipótese nula,

Teste de Hipótese para a variância 32) Um analista financeiro afirma que um projeto de investimento, avaliado pela taxa de retorno. Uma

simulação de 25 valores para a taxa interna de retorno forneceu uma média de 20,01 com desvio-

padrão de 1,15. Teste, ao nível de significância de 5% se H0: 2=1 contra H1: 2>1.

Resposta: 2cal =31,74, como este valor não pertence a região de crítica, não devemos rejeitar a

hipótese nula, ao nível de 5% de significância



Solução

1:H

1:H2

1

20

,

= 5% ,

O valor da Estatística Teste será:

20

22 )1(

sn 74,31

1

15,1)125( 22

Teste Unilateral à Direita Valor Crítico Superior 36,4150

a região de rejeição, é a região à direita do valor: 2

%5= 36,4150

Conclusão: 2cal =31,74, como este valor não pertence a região de crítica, não devemos rejeitar a


33) Um fabricante de certo tipo especial de aço afirma que seu produto tem um severo serviço de

controle da qualidade, que resulta numa maior homogeneidade, no que diz respeito à resistência a

tração do aço. Sabendo-se que a concorrência admite para a resistência à tração um desvio padrão de

5 kgf/cm2 e que o fabricante tomou uma amostra de 11 cabos, submeteu-os a um teste de tração e

obteve s2 = 18, você recomendaria ou não o controle de qualidade do fabricante? (Adote =0,10).

25:H

25:H2

1

20

Resposta: 2

cal =7,2, como este valor não pertence a região de crítica, não devemos

rejeitar a hipótese nula, ao nível de 10% de significância

34) Uma das maneiras de controlar a qualidade de um produto é controlar a sua variabilidade. Uma

máquina de empacotar café está regulada para encher os pacotes com desvio padrão de 10 g e média

de 500g e onde o peso de cada pacote distribui-se normalmente. Colhida uma amostra de n = 16,

observou-se uma variância de 169 g2. É possível afirmar com este resultado que a máquina está

desregulada quanto a variabilidade, supondo uma significância de 5%?




100:

100:

21

20

H

H

Teste de Hipótese para duas amostras

35) Um aparelho é utilizado para testar a durabilidade de lâmpadas submetidas a diversas

tensões. O aparelho consta de oito soquetes ligados em paralelo e de um reostato ligado em série

com um gerador e com os oito soquetes. Oito lâmpadas da marca A e oito da marca B foram

ensaiadas nesse aparelho, sob as mesmas condições, fornecendo as seguintes durações em horas:

Soquete 1 2 3 4 5 6 7 8

Marca A 35 26 40 35 31 49 38 24 Ax 34,75 sA=7,99

Marca B 23 28 31 35 36 30 27 26 Bx 29,5 sB =4,44

Teste a hipótese nula de que as variâncias das populações correspondentes são iguais

2B

2A1

2B

2A0

:H

:H

Resp.:F=3,2384 Não devemos Rejeitar a Hipótese Nula

36) No nível de significância de 0,01, teste a afirmação de que as latas de 0,0109 de espessura têm

carga axial média inferior à latas de 0,0111 de espessura. Dados

Cargas Axiais (lb): Latas de 0,0109 pol Cargas Axiais (lb): Latas de 0,0111 pol

Amostra n1 = 175 Amostra n2 = 175

Média 1x = 267,1 Média 2x = 281,8

Desvio padrão s1 = 22,1 Desvio padrão s2 = 27,8

211

210

:H

:H

Resp.: T=-5,4757 Devemos Rejeitar a Hipótese Nula

37- Uma amostra de 400 azulejos tirados da produção de um dado dia acusou 18 azulejos

defeituosos; numa amostra de 200 azulejos da produção do dia seguinte havia 15 azulejos defeituosos.

Há razões estatísticas válidas para se afirmar que nesse segundo dia a produção tenha piorado?

(Adote =5%).Resp.: Z=-1,5195 não devemos Rejeitar a Hipótese Nula

38) Numa fábrica de computadores a administração pretende uma estimativa para o tempo médio de

vida de um determinado tipo de disco rígido. Para tal, foi selecionada uma amostra constituída por 15

computadores. Com base nesta amostra obteve-se um tempo médio de vida igual a 27 350 horas.

Supondo que o tempo de vida segue uma distribuição normal com σ igual a 3000 horas, construa um

intervalo de confiança a 99% para o tempo

médio de vida dos discos rígidos.

%)99,(IC (25354,64;29345,36)

39) Um fabricante produz peças que obedecem a uma norma que especifica que o seu diâmetro deve

ser igual a 100 mm. Admita que os diâmetros das peças produzidas são N(μ, σ) e que uma amostra

aleatória de 20 peças conduziu aos resultados seguintes:

91,111)(60,1999 2

20

1

20

1

xxxi

ii

i

a) Construa um I. C. a 95% para o diâmetro médio das peças.

b) Construa um I. C. a 95% para a variância do diâmetro das peças.

Resp. a) %)95,(IC (98,84;101,12) b) %)95,( 2IC (3,40;12,56)

40) Num estudo de mercado, determine o tamanho da amostra de modo que o erro seja inferior a 3% ,

com 95% de confiança. Refaça os cálculos supondo erro inferior a 1%.

5,0qpAdote . Resposta: Para 3% vem n≥1068 para 1% vem n≥9604


41) De experiências passadas, sabe-se que o desvio padrão do peso de um produto é de 1,1 kg.

a) Colhendo uma amostra aleatória simples de 43 produtos, observou-se o peso médio é de 2,8 kg.

Qual o intervalo de confiança de 95% para média populacional? Resp.: %)95,(IC (2,5 ; 3,1)

b) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 2,8±0,2 tenha 95% de confiança?

Resp.: n=116

42) Uma pesquisa de mercado tem como objetivo estimar a proporção de pessoas que consomem um

determinado tipo de cereal. Determine o tamanho da amostra de modo que a estimativa não se desvie

do verdadeiro valor por mais de 0,03. (e≤0,03) com nível de confiança de 90%. 5,0qpAdote

Resp.: n 752

a) Se tivermos a informação adicional de que a proporção de consumo do tal cereal é no máximo 20%,

qual então deve ser o tamanho da amostra? Resp.: n 481

b) Decidimos colher uma amostra de tamanho 400. Qual o erro máximo que cometemos com

probabilidade 0,95 se p=20%? Resp.: e= 0,0392

43) Com o objetivo de avaliar a proporção de indivíduos de uma cidade que frequentam determinado

shopping, com uma certa regularidade, determine:

a) Tamanho de amostra necessário de modo que o erro seja no máximo 2%com confiança de 95%.

5,0qpAdote Resp.: n 2401

b) Qual a redução, que o tamanho da amostra teria se usarmos a informação adicional de que no

mínimo 60% das pessoas frequentam o shopping, com nível de confiança de 95%? Resp.: n 2305

redução=96

c) Sabendo-se que a amostra obtida no item (b) forneceu uma estimativa de que 76% dos habitantes

frequentam o shopping, determine o intervalo de confiança para a verdadeira proporção dos

habitantes que frequentam o shopping, com = 0,95. Resp.: %)95,(IC [ 0,7426; 0,7774]

44) Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição aproximadamente

normal com desvio padrão de 50 horas. Para estimar a vida média das lâmpadas, tomou uma amostra de

60 delas, obtendo vida média de 1.500 horas.

a) Construir um IC para ao nível de confiança de 98%; Resp.: %)98,(IC [1484,984;

1515,016] b) Qual o valor do erro de estimação cometida em a? Resp.: 15,016h c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 8 horas, com 99% de

probabilidade de acerto? Resp.: 260 lâmpadas 45) Os empregados de uma determinada empresa deveriam trabalhar, em média, 8h diárias.

De forma a investigar se os empregados estão a trabalhar mais do que as horas previstas, o sindicato

registrou o número de horas que 150 trabalhadores (escolhidos ao acaso) trabalharam num dia

qualquer, tendo obtido os seguintes resultados:

600)(1498 2150

1

150

1

xxxi

ii

i

a) Teste ao nível de significância de 5%, se a empresa deverá ser punida por exigir que os seus

empregados trabalhem mais do que deviam.

b) Qual o tipo de erro que pode cometer relativamente à decisão que tomou?

8:

8:81

1

0

H

H Como T =12,13 rejeita-se H0 ao nível de 5 %

b. erro Tipo I

46) Suponha que a média dos volumes de leite de 16 embalagens retiradas aleatoriamente da linha de

produção é igual a 997ml.

a) Admitindo que o desvio padrão da população, considerada normal, é igual a 5ml, teste, ao nível de

5%, a hipótese do volume médio de todos os pacotes de leite ser igual a 1litro.

b) Admitindo que a média da população é igual a 998ml, calcule a probabilidade de aceitar a hipótese

testada na alínea anterior.


1000:

1000:

1

0

H

H Como Z =-2,4 rejeita-se H0 ao nível de 5 %

b. β=P(erro Tipo II)=0,6406

47) Determinada marca de óleo para carros afirma que o seu óleo é conhecido por durar, em média,

5000 km com uma variância igual a 250 000 km2. Admitindo que o tempo de duração segue uma

distribuição normal, teste a afirmação quanto à variância, a um nível de significância 5%, com base nos

seguintes valores do número de quilômetros que 6 automóveis fizeram antes do óleo se queimar:

5020; 6000; 4500; 5700; 5500 e 4900

250000:

250000:2

1

20

H

H

Como 2 =6,25; não se rejeita H0 ao nível de 5 %

48) Admita que a direção comercial de uma determinada empresa pretende lançar um novo serviço de

telecomunicações. De acordo com critérios empresariais, o serviço só deverá ser lançado no mercado

se houver mais de 80% de potenciais compradores. Assim, para averiguar o eventual lançamento do

serviço, a empresa decidiu efetuar uma pesquisa com 400 grandes clientes, tendo 340 sido favoráveis

à aquisição do novo serviço.

a) Para um nível significância de 5%, poder-se-á concluir que a empresa opta pelo lançamento do

serviço? E para um nível de significância de 1%? b) Determine o valor p do teste e interprete-o.

8,0:

8,0:

1

0

H

H Como Z=2,5; rejeitar H0 ao nível de 5 % e consequentemente, ao nível de 1%

b. p=0,0062

49) A pilha Dura mais e Dura muito custam o mesmo preço. Testar se ambas têm a mesma duração,

recolheram-se duas amostras de 100 pilhas de cada marca, tendo-se obtido os seguintes resultados:

Marca Dimensão da amostra Média Desvio padrão populacional

Dura mais 100 1180 120

Dura muito 100 1160 40

Que pode concluir a um nível de significância de 5%? E a 1%?

0:

0:

211

210

H

H Como Z=1,58 não se rejeita H0 ao nível de 5 % e

consequentemente, ao nível de 1%

50) Para verificar a importância de um determinado cartaz nas compras de certo produto, procedeu-

se do seguinte modo: formaram-se 12 pares de lojas; os pares foram formados de modo que tivessem

as mesmas características quanto à localização, ao tamanho e ao volume de vendas; num dos elementos

do par, colocou-se o cartaz, no outro não; as vendas semanais foram registradas, e os resultados estão

abaixo.

Qual seria sua conclusão ao nível de 5% sobre a eficiência do cartaz?

PAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n

sd

Td

0

d =0,5 Com cartaz 8 15 19 10 14 31 18 12 13 67 84 35

Sem cartaz 6 10 10 12 19 21 37 14 45 55 64 27 248,14sd

d 2 5 9 -2 -5 10 -19 -2 -32 12 20 8

Faça um teste.

0:

0:

1

0

d

d

H

H

51) Em dois departamentos de uma multinacional foi registrada a correspondência recebida durante

vários dias tendo-se obtido os seguintes valores:

N.º de dias N.º de cartas Desvio padrão Publicidade

Departamento Departamento Departamento Departamento

A B A B A B A B

52 45 1520 1562 7,8 8,5 532 594

a) Determine um intervalo, com 96% de confiança, para o volume médio diário de correspondência

recebida pelo Departamento A. b) Diga, justificando com 95% de confiança, se existe diferença

significativa entre os Departamentos no que respeita ao volume de correspondência


H0:µA= µB versos H1:µA≠ µB c) Determine um intervalo, com 98% de confiança, para a percentagem de

publicidade recebida pelo Departamento A. d) Verifique se existe diferença de proporções de

publicidade recebida pelos dois Departamentos H0:πA= πB versos H1: πA≠ πB.

Resp.: a) 511,31;951,26%)96,(IC

b) Tcal=-3,310 RC=[T| T<-1,985 ou T>1,985}

Não Rejeitar a Hipótese Nula Nível de Significância =0,05

c) IC(;=98%) =[0,3215; 0,3785]

d) Zcal=-1,745 RC=[Z| Z<-1,96 ou Z>1,96}

Não Rejeitar a Hipótese Nula Nível de Significância =0,05

52) Em um processo de auditoria avaliou-se uma amostra de tamanho 90 documentos da empresa X e

uma amostra de tamanho 130 da empresa Y. Obteve 18 sucessos de X e 35 sucessos de Y, sendo que o

sucesso corresponde ao documento com irregularidade. Estatisticamente, usando significância de 5%,

podemos dizer que o sucesso de Y é superior ao sucesso de X?

Empresa Tamanho da amostra Sucessos

XY

XY

H

H

:

:

1

0 X 90 18

Y 130 35

Resposta: Zcal=1,181 RC=[Z| Z>1,645} Não Rejeitar a Hipótese Nula Nível de Significância =0,05

53) Determine para =10% , n=35 e σ=10 os valores de x que levariam a rejeitar Ho: µ=50 ( usar

teste bilateral)

Calcule β se H1: µ=53 Resp. β=0,4480

54) De uma população normal, levantou-se uma amostra e calculou-se ao nível de significância de 1%

que

5n

z

. Admitindo 110100:

100:1

1

0

H

H

Calcular a probabilidade de cometermos o erro tipo II, isto é, de não rejeitarmos H0, sendo

H1verdadeira.

Resp. β= 0,0051

55) Calcular a probabilidade do erro tipo II. De uma população normal, levantou-se uma amostra de

tamanho 16, obtendo-se x =18. Sabendo-se que a variância da população é 64, analisar ao nível de

significância de 10% (usar teste bilateral

25:

20:

1

0

H

H

Resp. probabilidade de cometermos o erro tipo II é β =0,1949

56) Cinquenta amostras de ar numa região foram obtidas e para cada uma delas foi determinada a

concentração de monóxido de carbono. Os resultados (em ppm) foram:

35 20 25 25 20 25 50 60 60 25 30 60 40 40 80 40 70

10 10 40 40 10 75 40 20 20 30 20 70 25 25 20 50 80

30 40 10 10 20 10 30 80 80 50 25 30 30 35 40 60


80604020

Median

Mean

4540353025

A nderson-Darling Normality Test

V ariance 436,980

Skewness 0,716539

Kurtosis -0,443604

N 50

Minimum 10,000

A -Squared

1st Q uartile 20,000

Median 30,000

3rd Q uartile 50,000

Maximum 80,000

95% C onfidence Interv al for Mean

31,459

1,52

43,341

95% C onfidence Interv al for Median

25,000 40,000

95% C onfidence Interv al for StDev

17,462 26,049

P-V alue < 0,005

Mean 37,400

StDev 20,904

95% Confidence Intervals

Summary for tempos

tempos

Pe

rce

nt

100806040200

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Mean

<0,005

37,4

StDev 20,90

N 50

AD 1,515

P-Value

Probability Plot of temposNormal

Formule as hipóteses e verifique se a variável segue distribuição normal?


OBJETIVOS Validar ou rejeitar uma hipótese estatística através de resultados da amostra (Tomar decisões). Hipótese Estatística => é uma suposição ou afirmação que fazemos a respeito de uma ou mais populações para ser testada Exemplos: 2 tipos de hipótesis:

A hipótese nula H0

contém uma alternativa de igualdade, tal como ≥= ou ≤

A hipótese alternativa H1 contém uma afirmativa de desigualdade, tal como < , = ou >.

REGIÕES DE ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO DE UMA HIPÓTESE: Região de aceitação (RAHo): É a região na qual aceitamos a hipótese Ho.

Região Crítica (RC ou RRHo) : É a região que nos levará a rejeição da hipótese Ho ()

i)Teste bilateral H1 é a hipótese de que o parâmetro é .

Duas regiões de rejeição da hipótese Ho ( < - /2 e > /2) ii) Teste unilateral Existe apenas uma região de rejeição da hipótese Ho

< - (esquerda) ou > (direita) Erros envolvidos e Probabilidades envolvidas em uma regra de decisão estatística.

Realidade

Decisão Ho é verdadeira Ho é falsa

Rejeitar Ho (Erro tipo I) 1 - (Decisão correta)

não rejeitar Ho 1 - (Decisão correta) (Erro tipo II)

PASSOS PARA A FORMULAÇÃO DE UMA REGRA DE DECISÃO:

1) Estabelecer a hipótese nula Ho 2) Estabelecer a hipótese alternativa H1

3) Escolher o nível de significância () 4) Selecionar a estatística adequada

5) Estabelecer a Região Crítica 6) Calcular a estatística

7) Conclusão: Rejeite Ho se estatística estiver na região crítica .

TESTES DE HIPÓTESES: TESTE DE HIPÓTESE PARA MÉDIA População infinita, normal ou aproximadamente normal, variância populacional conhecida (amostra grande ou pequena)

Ho H1 R. CRITICA Estatística a ser utilizada

=o <o

>o

o

z<-z

z>z

z<-z/2 e z>z/2 n

xZ O

Valor- p P(rejeitar H0/H0 é verdadeira)

Após comparar o valor P ao valor de α, o nível de significância do teste, podemos decidir se há

evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Se p≤α , rejeite a hipótese nula Se p>α , não rejeite a hipótese nula

n

xz 0

nzx 0crit

= P(rejeitar H1/H1 é verdadeira)= P(aceitar H0/H1 é verdadeira)

_Lista IC e TH p

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