Lista de Limites Com GABARITO

8/19/2019 Lista de Limites Com GABARITO

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- Cálculo 1 - Limites -

1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:

(a) limx→1

(x3 − 3); (h) limx→ 3

2

8t3 − 274t2 − 9 ;

(b) limx→2√

x4 − 8; (i) limx→3

2x3 − 5x2 − 2x − 34x3

−13x2 + 4x

−3

;

(c) limx→2

x3 + 2x + 3

x2 + 5 ; ( j) lim

y→−3

y2 − 9

2y2 + 7y + 3;

(d) limx→−3

x2 − 9x + 3

; (k) limh→5

h√ 5 + h − √ 5 ;

(e) limx→ 1

3

3x2 − x3x − 1 ; (l) limh→0

√ 3 + 3h − √ 3

h ;

(f ) limx→3

x3 − 27x − 3 ; (m) limx→2

x4 − 16x − 2 ;

(g) limx→0

√ x + 3 − √ 3

x ; (n) lim

x→1x − 1

x2 − 1 .

2. Faça o esboço do gráfico de f (x) = |

x

| se x 4

e observe no gráfico o valor de limx→4 f (x). Há alguma diferença

entre limx→4

f (x) e f (4)?

3. Seja f a função definida por f (x) =

2x − 1 se x̸ = 21 se x = 2

(a) Encontre limx→2

f (x) e verifique que limx→2

f (x)̸ = f (2).

(b) Faça um esboço do gráfico de f .

4. Seja f a função definida por f (x) = x2 − 9 se x̸ = −34 se x =

−3

(a) Encontre limx→−3

f (x) e verifique que limx→−3

f (x)̸ = f (3)

(b) Faça um esboço do gráfico de f .

5. Determine o valor de limh→0

f (x + h) − f (x)h

quando

a) f (x) = x b) f (x) = x2 c) f (x) = x3.

6. Nos ı́tens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista dê seu valor.

(a) f (x) = |x|x

, limx→0+

f (x), limx→0−

f (x), limx→0

f (x).

(b) f (x) =

2 se x 1

; limx→1+

f (x), limx→1−

f (x), limx→1

f (x)

(c) f (r) =

2r + 3 se r 1

; limr→1+

f (r), limr→1−

f (r), limr→1

f (r)

(d) g(x) =

2 + x2 se x < −20 se x = −211 − x2 se x > −2

; limx→−2+

f (x), limx→−2−

f (x), limx→−2

f (x)

7. Dada f (x) = |x|+xx

. Existe limx→0

f (x)?

8. Dada f (x) = |x2

+x|x . Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores:a) lim

x→−1f (x) b) lim

x→0f (x).


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- Gabarito -

1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:

(a) limx→1

(x3 − 3) = −2; (h) limx→ 3

2

8t3 − 274t2 − 9 =

9

2;

(b) limx→2√

x4 − 8 = 2√

2; (i) limx→3

2x3 − 5x2 − 2x − 34x3

−13x2 + 4x

−3

= 11

17;

(c) limx→2

x3 + 2x + 3

x2 + 5 =

53

; ( j) limy→−3

y2 − 9

2y2 + 7y + 3 =

65

;

(d) limx→−3

x2 − 9x + 3

= −6; (k) limh→5

h√ 5 + h − √ 5 =

√ 10 +

√ 5;

(e) limx→ 1

3

3x2 − x3x − 1 =

1

3; (l) lim

h→0

√ 3 + 3h − √ 3

h =

√ 3

2 ;

(f ) limx→3

x3 − 27x − 3 = 27; (m) limx→2

x4 − 16x − 2 = 32;

(g) limx→0

√ x + 3 − √ 3

x =

√ 3

6 ; (n) lim

x→1x − 1

x2 − 1 = 1

2.

2. f (x) = |

x

| se x 4

limx→4 f (x) = 4̸ = f (4) = 6

3. f (x) =

2x − 1 se x̸ = 21 se x = 2

limx→2

f (x) = 3̸ = f (2) = 1.

4. f (x) =

x2 − 9 se x̸ = −34 se x = −3 limx→−3 f (x) = 0̸ = f (−3) = 4.

(a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4

5. a) 1 b) 2x c) 3x

2

.6. (a) lim

x→0+f (x) = 1, lim

x→0−f (x) = −1, lim

x→0f (x).

(b) limx→1+

f (x) = −3, limx→1−

f (x) = 2, limx→1

f (x)

(c) limr→1+

f (r) = limr→1−

f (r) = 5, limr→1

f (r) = 5

(d) limx→−2+

f (x) = 5, limx→−2−

f (x) = 6, limx→−2

f (x)

7. limx→0

f (x), pois limx→0+

f (x) = 2 e limx→0−

f (x) = 0.

8. a) limx→−1

f (x) = 0 b) limx→0+

f (x) = 1, limx→0−

f (x) = −1, limx→0

f (x).


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- Cálculo 1 - Limites - Lista 2

1. Determine, caso existam, os seguintes limites:

a) limx→0+

(3 − √ x) b) limx→2+

√ x2 − 4 c) lim

x→−5x − 5|x − 5| d) limx→5

x − 5|x − 5|

e) limx→2−

1√ 2 − x f ) limx→−2

1√ 2 − x g) limx→−2

2 − x√ x − 2 h) limx→3

√ x − √ 3x − 3

i) limx→9 √ x − 3√ x2 − 9x j) limx→5

1

y − 1

5

y − 5 k) limx→0+

1x − 1

x2

l) limx→+∞(x

3 − x2 − x + 1)

m) limx→−∞(x

3 − x2 − x + 1) n) limx→−∞(−2x

6 − x3 − 12x2 + 1) o) limx→+∞

2x2 + x + 1

x3 + 2x2 − 25 p) limx→+∞x7 + 2x + 1

5x3 − 2x2 − 900q ) lim

x→+∞1

1 − x r) limx→+∞2x2 + x − 21x3 − 2x2 + 9 s) limx→−∞

√ x2 + 4

x + 4 t) lim

x→−∞(√

x2 + 1 − x)

u) limx→+∞

(√

x2 + x − x) v) limx→+∞

x4 − 242 − x w) limx→2+

1

x − 2 − 3

x2 − 4

x) limx→0+

√ 3 + x2

x

y) limx→0

|x|x2

z) limx→+∞

√ x2 + 4

x + 4 α) lim

x→−∞

√ x2 + 9

x + 6 β ) lim

x→−∞(√

x2 + x − x4)

γ ) limx→5

x + 2

x − 4 δ ) limx→22x2 − 5x + 25x2 − 7x − 6 ϵ) limt→0

√ a2 + bt − a

t ε) lim

x→2z − 4

z2 − 2z − 8

ζ ) limx→02

|x| η) limx→−∞√

2x2

−7

x + 3 θ) limx→5

1

x

− 1

5

x − 5 ϑ) limx→−∞5x2 + 8x

−3

7x3 − 4x − 17

2. Sejam f (x) =

x2 + 3 se x ≤ 1x + 1 se x > 1.

e g(x) =

x2 se x ≤ 12 se x > 1.

(a) Existe limx→1

f (x)?

(b) Encontre uma expressão para f (x).g(x) e mostre que existe limx→1

f (x).g(x)

3. Considere a função definida por: f (x) =

2x + 2 , x


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11. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→+∞

3

2

x(b) lim

x→+∞

1

2

x(c) lim

x→+∞(2x − 2−x) (d) lim

x→−∞(2x − 2−x) (e) lim

x→+∞(2x − 3x).

12. Seja f (x) =

−x − 1 se x ≤ −1x2 − 1 se − 1 < x ≤ 1

2 se x > 1f é cont́ınua em x = 1? Em x = −1? Em x = 2? Em x = −3?

13. Seja f (x) = 2x + 3 se x ≤ 47 + 16x se x > 4 f é cont́ınua em x = 4?

14. Seja f (x) =

3

x−1 se x̸ = 13 se x = 1

f é cont́ınua em x = 1?

15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f é descont́ınua e dê as razões para esta possı́vel descontinuidade:

(a) f (x) = 3√

x − 8;(b) f (x) = x+2

x2−4 ;

(c) f (x) = 1x

+ x−1x2−1

(d) f (x) = x2+9

|x|+3

16. Verifique se as funções a seguir são cont́ınuas nos pontos indicados. Caso não sejam, determine as razões da descontinuidade.

(a) f (x) = |x + 1| − 3 em x = −1;(b) f (x) = x

x2−1 em x = −2 e em x = 1;

(c) f (x) =

−x − 2 se x̸ = 3−5 se x = 3 em x = 3.

17. Encontre um valor para a constante k , se posśıvel, para que a função seja cont́ınua para todo x ∈ R.

(a) f (x) =

7x − 2 se x ≤ 1

kx2 se x > 1

(b) f (x) = kx2 se x ≤ 22x + k se x > 2

18. Encontre os valores das constantes k e m, se possı́vel, que para que seja cont́ınua para todo x ∈ R a função

f (x) =

x2 + 5, se x > 2,m(x + 1) + k, se − 1 < x ≤ 2,2x3 + x + 7, se x ≤ −1.

19. Dê exemplo de duas funções f e g descontı́nuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja cont́ınua neste ponto.

20. É verdade que uma função contı́nua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique suaresposta.

21. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação x3 + x2

−2x + 1 = 0 possui pelo menos uma solução

no intervalo [−1, 1].22. Mostre que, se p(x) é um polinômio de grau ı́mpar, então e equação p(x) = 0 possui pelo menos uma solução real.

23. (Contração de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete,parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação a esse observador. Se ele medir o

comprimento L0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecerá ser L = L0

1 − v2

c2 , sendo

c a velocidade da luz no vácuo. O que acontece com L à medida que v aumenta? Calcule limv→c−

L. Por que é necessário tomar

o limite lateral à esquerda?


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- Cálculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2

1. a) 3 b) 0 c)-1 d) e) +∞ f) 12

g) h)√ 3

6 i) 0 j)− 1

25 k) −∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞

o) 0+ p)+∞ q) 0− r) 0+ s)-1 t) +∞ u) 12

v) −∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1α) − 1 β ) −∞ γ ) 7 δ ) 3

13 ϵ) b|a|+a ε)

1

4 ζ ) 7 η) −√ 2 θ) − 1

25 ϑ) 0−

2. (a) Não, pois limx→1−

f (x) = 4 e limx→1+

f (x) = 2.

(b) f (x)g(x) =

x4

+ 3x2

se x ≤ 12x + 2 se x > 1. limx→1

f (x).g(x)

= 4

3. a)

b) limx→0−

f (x) = 2 limx→0+

f (x) = 0 limx→0

f (x) limx→2−

f (x) = 4 limx→2+

f (x) = 1 limx→2

f (x).

4. a) cosx b) −senx c) f (x) = − 1x2

.

5. a) 2/5 b) 0.

6. limx→0

xsen(x)

2 − 2cos(x) = 1.

7. −M g(x) ≤ f (x).g(x) ≤ M g(x) ⇒ limx→0

−M g(x) ≤ limx→0

f (x).g(x) ≤ limx→0

M g(x) ⇒ −M limx→0

g(x) ≤ limx→0

f (x).g(x) ≤M lim

x→0g(x) ⇒ 0 ≤ lim

x→0f (x).g(x) ≤ 0 ⇒ lim

x→0f (x).g(x) = 0.

8. |senx| ≤ 1 e limx→+∞

1

x = 0 ⇒ lim

x→+∞senx

x = 0 .

9. (a) Asśıntotas verticais: x = 3 e x = −3, Asśıntota horizontal: y = 0;(b) Assı́ntota vertical: x = 1, Asśıntota horizontal: y = 0;(c) Assı́ntota vertical: x = −2, Asśıntota horizontal: y = 1;(d) Assı́ntota vertical: x = 0;(e) Assı́ntota vertical: x = 1;(f) Asśıntota vertical: x = 0.

10.

limx→+∞

ax =

+∞, se a > 1

0, se 0 < a 1+∞, se 0 < a


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12. f não é cont́ınua em x = 1, pois limx→1+

f (x) = 2 e limx→1−

f (x) = 0, logo limx→1

f (x). Em x = −1, x = 2 e x = −3 ela é cont́ınua, já que lim

x→−1f (x) = f (−1) = 0, lim

x→2f (2) = 2, lim

x→−3f (x) = f (−3) = 2.

13. Sim, pois limx→4

f (x) = f (4) = 11.

14. Não, pois limx→1

f (x).

15. (a) Cont́ınua em R; (b) Descont́ınua em x = ±2, pois f (2) e f (−2); (c) Descont́ınua em x = 0 e x = ±1, pois f (0),f (−1) e f (1); (d) Cont́ınua em R.

16. (a) Cont́ınua em x = −1; (b) Cont́ınua em x = −2 e descontı́nua em x = 1 pois f (1); (c) Cont́ınua em x = 3.17. (a) 5 (b) 4/3

18. k = 4 e m = 5/3.

19. f (x) =

0 se x 0.

20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermediário, se ela mudasse de sinal então o zero deveria ser também imagem da função.

21. f (x) = x3 − x2 − 2x + 1 = 0 ⇒ f (1) = −1 e f (−1) = 1, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe x0 ∈ [−1, 1] tal quef (x0) = 0.

22. Se p(x) é um polinômio de grau ı́mpar, então vai sempre existir um x0 ∈ R para o qual p(x0) e p(−x0) têm sinais opostos.Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c ∈ [−x0, x0] tal que p(c) = 0.

23. À medida que v aumenta L diminui. limv→c−

L = 0. O limite lateral à esquerda é necessário já que a função não está definida

para v > c.

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