Lista de exercícios : Análise Combinatória – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho

A Análise Combinatória costuma causar perplexidade a alunos e professores. De um lado, tem-se a variedade de problemas interessantes, de simples enunciados, que se enquadram no seu âmbito. Do outro lado, o grande desafio à imaginação que a solução desses problemas representa, sendo aparentemente cada um deles um caso em si, não enquadrável numa teoria geral. Essa idéia aparente, contudo, não é correta. Há princípios gerais que permitem submeter muitos desses problemas a técnicas organizadas de resolução. Expor alguns desses princípios e ensinar, mediante diversos exemplos, é uma das finalidades dessa lista.

Questões :

01.(MACK) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre 300 e 500 que podemos formar, usando apenas os algarismos 3, 4 e 5 ? 02.(MACK) Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 316 diferentes senhas por minuto. A senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou,sem sucesso, 75% das senhas possíveis, qual é o tempo decorrido desde o início de sua execução ? 03.(UNESP) Dispondo de 4 cores distintas temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se : a ) os países P e S forem coloridos com cores distintas ? b ) os países P e S forem coloridos com a mesma cor ? 04.(ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca (alto relevo) em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por Qual é o número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile ? 05.(ENEM) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras. Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler : 01011010111010110001. Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler : 10001101011101011010. No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas quinze barras, qual é a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita pra esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as barras escuras ?

06.(ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa e nem da palmeira, por uma questão de contraste, então qual será o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem? 07.(GV) Uma senha de uma rede de computadores é formada por 5 letras escolhidas entre as 5 vogais do alfabeto (a ordem é levada em consideração). a ) Quantas senhas existem com todas as letras distintas e que comecem pela letra A ? b ) Quantas senhas são possíveis, de modo que haja pelo menos duas letras iguais ? 08.(UNESP) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade C, havia quatro ferrovias e cinco rodovias. Qual é o número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e ferrovia, obrigatoriamente, mas em qualquer ordem ? 09.(UNESP) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números de dois algarismos distintos são possíveis formar com os elementos do conjunto A, de modo que: a ) a soma dos algarismos seja ímpar ? b ) a soma dos algarismos seja par ? 10.(PUC) Um debate político será realizado por uma rede de televisão com 5 candidatos à prefeitura de uma cidade. O debate será formado por duas partes: 1ª parte: o jornalista que coordenará o debate escolherá, de todas as formas possíveis, dois candidatos: ao primeiro, o jornalista formulará uma pergunta e, ao segundo, ele pedirá que comente a resposta do primeiro. 2ª parte: cada candidato escolherá, também, de todas as formas possíveis, dois outros candidatos: ao primeiro, o candidato formulará uma pergunta e, ao segundo, ele pedirá que comente a resposta do primeiro. Qual é o número mínimo de perguntas que devem ser elaboradas pelo jornalista e pelos candidatos (1ª parte + 2ª parte), admitindo que uma mesma pergunta não seja elaborada mais que uma vez ? 11.(GV) Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a diretoria de um clube formada por um presidente, por um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a diretoria, onde Paulo é vice-presidente e Bento não é presidente e nem tesoureiro. 12.(UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. Qual é o número máximo de palavras, com cinco letras ou menos que podem ser formadas com esse código ? 13.(MACK) Considere todos os números de 3 algarismos formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Dentre eles, qual é a quantidade de números pares com exatamente dois algarismos iguais ? 14.(ITA) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par ? 15.(UNESP) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. Qual é a quantidade total de cartões oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade ?

16.(GV) No sistema de numeração de base decimal, quantos números pares existem com 3 algarismos distintos e maiores que 800 ? 17.(GV) Aconteceu um acidente : a chuva molhou o papel onde Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Teodoro lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado ! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, quantas ligações havia feito Teodoro ? 18.(FUVEST) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha ? 19.(ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra : O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7, e apenas o 7, pode aparecer mais de uma vez. 20.(UNESP) Quatro amigos, Pedro, Luiza, João e Rita, vão ao cinema sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. Qual é o número de maneiras que os 4 podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luiza fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos ? 21.(MACK) Três homens e três mulheres devem ocupar três bancos, cada banco com dois lugares numerados, de modo que, em cada um deles, fiquem um homem e uma mulher. Qual é o número de formas de se ocupar os bancos ? 22.(GV) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR, de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem ? 23.(MACK) Qual é o número de filas diferentes que podem ser formadas com dois homens e três mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos ? 24.(MACK) Sabendo-se que um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, sem repeti-las, e considerando a palavra MACK, qual é a quantidade de anagramas que podem ser formados com duas, três ou quatro letras dessa palavra, sem repetição de letras ? 25.(FUVEST) Com as seis letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6 ! = 720 “palavras” (anagramas) de seis letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, quais seriam as duas primeiras letras da 250ª “palavra” ? 26.(UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de 5 letras em um dicionário. Qual será a 73ª palavra nessa lista ? 27.(UNESP) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a ) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números iniciam com o algarismo 1 ? b ) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512.346 e que número ocupa a 242ª posição ? 28.(MACK) Sabendo-se que um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, sem repeti-las, e considerando a palavra MACK, qual é a quantidade de anagramas que podem ser formados com duas, três ou quatro letras dessa palavra, sem repetição de letras ? 29.(GV) Qual é o número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam e nem terminam com a letra O ? 30.(GV) Colocando em ordem crescente os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, que posição ocupará o número 35241 ?

31.(UNESP) Dos 720 números formados com as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos estão entre 450000 e 620000 ? 32.(FUVEST) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais 4 pessoas. Além disso, - A família Sousa quer ocupar um mesmo banco ; - Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, qual é o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação ? 33.(UFSCAR) Num acampamento estão 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, será formada uma equipe com 2 paulistas, 1 carioca e 2 mineiros, escolhidos ao acaso. Qual é o número de maneiras possíveis para se formar essa equipe de limpeza ? 34.(MACK) Seis refrigerantes diferentes devem ser distribuídos entre duas pessoas, de modo que cada pessoa receba 3 refrigerantes. Qual é o número de formas de se fazer isso ? 35.(MACK) Nove pessoas desejam subir à cobertura de um edifício, dispondo, para isso, de dois elevadores, um com 4 lugares e outro com 5 lugares. Qual o número de formas de distribuí-las nos elevadores ? 36.(GV) Um professor precisa elaborar uma prova de matemática com 5 questões, sendo uma de trigonometria, duas de álgebra e duas de geometria. Ele dispõe de 3 questões de trigonometria, 6 de álgebra e 5 de geometria. De quantas formas a prova pode ser elaborada, não se levando em conta a ordem das questões ? 37.(UNIFESP) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e 4 membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre 10 moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer essas escolhas ? 38.(PUC) No saguão de um teatro, há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre ? 39.(UNESP) Considere os algarismos 2, 3, 5, 7 e 11. Qual é a quantidade total de números distintos que se obtém multiplicando-se dois ou mais desses algarismos, sem repetição ? 40.(MACK) Uma padaria faz sanduíches, segundo a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de pães e 10 tipos diferentes de recheio. Se o cliente pode escolher 1 tipo de pão e, 1, 2 ou 3 recheios diferente, qual é o número de possibilidades de compor o sanduíche ? 41.(MACK) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. Qual o número de possíveis comissões ? 42.(UNIFESP) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto à crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que um deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições ? 43.(FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses quatro itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produto de limpeza e 5 tipos de alimento não-perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não-perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitas ? 44.(UNESP) O corpo de enfermeiros plantonistas de uma clínica compõe-se de 6 homens e 4 mulheres. Calcule quantas equipes de 6 plantonistas é possível formar com os 10 enfermeiros, levando em conta que em nenhuma delas deve haver mais homens que mulheres.

45.(FUVEST) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por 10 estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, estão designadas por h1, h2, ..., h10 (h1 < h2 <... <h10).O professor vai escolher 5 desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos C10,5 = 252 grupos que podem se escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h7, ocupará a posição central durante a demonstração ? 46.(MACK) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. Qual é o número de grupos, com três alunos, que pode ser formado, incluindo pelo menos um dos gênios ? 47.(UNESP) Um repórter perguntou ao técnico de um time de futebol de salão se ele já dispunha da escalação de sua equipe. O técnico respondeu que jogariam Fulano, a grande estrela do time, e mais quatro jogadores. Supondo que o técnico disponha de um elenco de 11 jogadores (incluindo Fulano) e que qualquer jogador pode ocupar qualquer posição, quantas equipes diferentes podem ser formadas de maneira que a resposta do técnico seja verdadeira ? 48.(FUVEST) Em uma certa comunidade, 2 homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres sabendo que foram trocados 720 apertos de mão ? 49.(ITA) Dentre quatro moças e cinco rapazes deve se formar uma comissão de cinco pessoas com, pelo menos, uma moça e um rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada ? 50.(GV) Um hospital dispõe de três médicos e de quatro enfermeiras para formar uma Comissão de Ética (CE) e uma Comissão de Controle de Infecções Hospitalares (CCIH). Cada comissão deve ser composta de um médico e duas enfermeiras e ninguém pode pertencer às duas comissões. Juntas, uma CE e uma CCIH constituem uma “formação”. Qual é o número de “formações” distintas que podem ser constituídas ? 51.(UFSCAR) Considere o conjunto C = {2, 8, 18, 20, 53, 124, 157, 224, 286, 345, 419, 527}. Qual é o número de subconjuntos de três elementos de C que possuem a propriedade “soma dos três elementos é um número ímpar” ? 52.(GV) Três números inteiros distintos de – 20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. Qual é o número de maneiras diferentes de fazer essa escolha ? 53.(UFSCAR) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e Maria pretendem convidar 6 dessa pessoas, sendo exatamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas : a ) dentre todos os seus amigos no trabalho. b ) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos. 54.(FUVEST) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, dez garrafas de vinho de um lote constituído por quatro garrafas da Espanha, cinco garrafas da Itália e seis garrafas da França, todas de diferentes marcas. a ) De quantas maneiras é possível escolher dez garrafas desse lote ? b ) De quantas maneiras é possível escolher dez garrafas do lote, sendo duas garrafas da Espanha, quatro da Itália e quatro da França ? 55.(FUVEST) Em uma classe de nove alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas ? 56.(ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos ?

57.(UNESP) Marcam-se num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma reta e 3 outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura. Qual é o número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se 3 quaisquer desses pontos ? 58.(MACK) Na figura, o quadrado ABCD é formado por nove quadrados congruentes. Qual é o total de triângulos distintos, que podem ser construídos, a partir dos 16 pontos ? 59.(MACK) No desenho abaixo 3 dos quadrados menores deverão ser pintados de verde, 3 de amarelo e 3 de azul. Se os quadrados da linha do meio tiverem a mesma cor, qual o número de formas diferentes de se colorir o desenho, nas condições dadas ? 60.(FUVEST) Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda (casa 1,1) para casa superior direita (casa 4,4), sendo que essa peça deve mover-se, de cada vez, para casa imediatamente acima ou imediatamente a direita. Se apenas uma dessas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por quantos caminhos distintos podem ser planejados esses trajetos ? 61.(UNESP) A figura abaixo mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para direita”. Qual é o número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B ?

62.(UNESP) Quantos números de nove algarismos podem ser formados contendo quatro algarismos iguais a 1, três algarismos iguais a 2 e dois algarismos iguais a 3 ? 63.(UNICAMP) De quantas maneiras é possível distribuir 20 balas iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 5 balas ? 64.(GV) Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições, qual é o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores ?

Gabarito :

01. 18 02. 3 h e 12 min 03. a ) 48 04. 63 05. 254 b ) 36 06. 7 07. a ) 24 08. 22 09. a ) 12 10. 80 b ) 3005 b ) 8 11. 80 12. 62 13. 15 14. 585 15. 33600 16. 72 17. 23 18. 551 19. 212 20. 8 21. 288 22. 1440 23. 72 24. 60 25. SE 26. RAOPV 27. a ) 720 e 120 28. 60 29. 10800 30. 70ª b ) 481ª e 31246526 31. 192 32. 3456 33. 360 34. 20 35. 126 36. 450 37. 1260 38. 792 39. 26 40. 525 41. 66 42. 136 43. 640 44. 95 45. 45 46. 970 47. 210 48. 17 49. 125 50. 36 51. 115 52. 4940 53. a ) 40 54. a ) 3003 55. 71 b ) 18 b ) 450 56. 210 57. 116 58. 516 59. 60 60. 20 61. 792 62. 1260 63. 21 64. 70