UFMT - ICET - Prof. Israel Yoki Martins - Cálculo Vetorial e G.A.Lista de Exercícios - Computação

Tratamento Geométrico

(1) Demonstre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vérti-ces de um paralelogramo. (Dica: desenhe um quadrilátero qualquer, ligue seus pontosmédios, e mostre que os lados opostos desse desenho são paralelos e iguais.)

(2) Demonstre que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados deum triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.

(3) Avalie como verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes a�rmações:

a) Se ~u = ~v, então |~u| = |~v|.b) Se |~u| = |~v|, então ~u = ~v.c) Se α~u ‖ α~v, então ~u = ~v.d) Se ~u = ~v, então ~u ‖ ~v.e) Se ~w = ~u+ ~v, então |~w| = |~u|+ |~v|.f) Se ~u ‖ ~w e ~v = α~u+ β ~w, então ~v ‖ ~u e ~v ‖ ~w.g) Se ~w = −5

4~u, então ~w ‖ ~u.

h) ~v e ~w tem mesmo sentido se ~w = −4~v + 7~v.i) Se |~v| = 2, o versor de −9~v é −1

2~v.

Tratamento Algébrico

(1) Dados os vetores ~u = (3,−1), ~v = (−1, 2) e ~w = (7,−9), determinar α1 e α2 taisque: ~w = α1~u+ α2~v.

(2) Mostre que, se α~v = ~0, então α = 0 ou ~v = ~0.

(3) Seja ~w = α1~v1 + α2~v2, mostre que, se ~v1 ‖ ~v2 então ~w ‖ ~v1 e ~w ‖ ~v2.

(4) Representar no grá�co o vetor−→AB e o correspondente vetor posição, nos casos:

a)A(−1, 3) e B(3, 5).b)A(−1, 4) e B(4, 1).

(5) O ponto P (x, y) pertence ao segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2) e a distanciadele ao ponto A é a terça parte da distancia dele ao ponto B. Expresse as coordenadasdo ponto P em função das coordenadas dos pontos A e B.

(6) Sabendo que o ponto P (m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(−1,−2, 3)e B(2, 1,−5), calcule m e n.

(7) A reta que passa pelos pontos A(12, 23, 34) e B(1, 2, 3) é paralela à reta determinada

pelos pontos C(6, 7, 8) e D(7,m, n), determine o ponto D.

(8) Dados ~v1 = (1, 2, 3), ~v2 = (4, 5, 6), ~v3 = (1, 0, 1) e ~w = (3, 6, 7), determine α1, α2

e α3 tais que: ~w = α1~v1 + α2~v2 + α3~v3.

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(9) Dados os pontos A(1, 0 − 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine o valor de m para

que |~v| = 7, sendo ~v = m−→AC +

−−→BC.

(10) Sejam, A, B e C pontos quaisquer com A 6= B. Prove que um ponto P pertence a

reta determinada por A e B (ou seja:−→AP = λ

−→AB) se, e somente se,

−→CP = α

−→CA+ β

−−→CB,

com α + β = 1.

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