Limites (Aula 5)
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Transcript of Limites (Aula 5)
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Mais sobre limites
2008/09
Um pouco mais sobre limites p. 1/3
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Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
Limites e continuidade p. 8/16
-
Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
(a) limxp
= , para todo R;
Limites e continuidade p. 8/16
-
Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
(a) limxp
= , para todo R;
(b) limxp
xi = pi, para i {1, . . . , n};
Limites e continuidade p. 8/16
-
Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
(a) limxp
= , para todo R;
(b) limxp
xi = pi, para i {1, . . . , n};
(c) limxp
(f(x) + g(x)) = a + b;
Limites e continuidade p. 8/16
-
Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
(a) limxp
= , para todo R;
(b) limxp
xi = pi, para i {1, . . . , n};
(c) limxp
(f(x) + g(x)) = a + b;
(d) limxp
(f(x)g(x)) = ab;
Limites e continuidade p. 8/16
-
Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
(a) limxp
= , para todo R;
(b) limxp
xi = pi, para i {1, . . . , n};
(c) limxp
(f(x) + g(x)) = a + b;
(d) limxp
(f(x)g(x)) = ab;
(e) limxp
f(x)
g(x)=
a
b, se b 6= 0;
Limites e continuidade p. 8/16
-
Propriedades dos limites
Teorema:
Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de
acumulao de D. Se limxp
f(x) = a e limxp
g(x) = b, ento:
(a) limxp
= , para todo R;
(b) limxp
xi = pi, para i {1, . . . , n};
(c) limxp
(f(x) + g(x)) = a + b;
(d) limxp
(f(x)g(x)) = ab;
(e) limxp
f(x)
g(x)=
a
b, se b 6= 0;
(f) limxp
|f(x)| = |a|.
Limites e continuidade p. 8/16
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Produto de uma funo limitada por um infinitsimo
Sejam f, g : D Rn R e p um ponto de acumulao deD. Se
limxp
f(x) = 0
e existe uma bola aberta B de centro em p tal que a restrio de g
a D B limitada (o contradomnio da restrio um conjunto
limitado), ento
limxp
f(x)g(x) = 0.
Limites e continuidade p. 9/16
-
Produto de uma funo limitada por um infinitsimo
Sejam f, g : D Rn R e p um ponto de acumulao deD. Se
limxp
f(x) = 0
e existe uma bola aberta B de centro em p tal que a restrio de g
a D B limitada (o contradomnio da restrio um conjunto
limitado), ento
limxp
f(x)g(x) = 0.
Exerccio: Mostre que lim(x,y)(0,0)
x2y3
x2 + y2= 0.
Limites e continuidade p. 9/16
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Limites iterados
Seja f : D R2 R e p = (p1, p2) um ponto de acumulao de
D. Selim
(x1,x2)(p1,p2)f(x1, x2) = l
e se existirem os limites unidimensionais
limx1p1
f(x1, x2) e limx2p2
f(x1, x2),
ento
limx1p1
[lim
x2p2f(x1, x2)
]= lim
x2p2
[lim
x1p1f(x1, x2)
]= l.
Limites e continuidade p. 10/16
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Limites iterados
Seja f : D R2 R e p = (p1, p2) um ponto de acumulao de
D. Selim
(x1,x2)(p1,p2)f(x1, x2) = l
e se existirem os limites unidimensionais
limx1p1
f(x1, x2) e limx2p2
f(x1, x2),
ento
limx1p1
[lim
x2p2f(x1, x2)
]= lim
x2p2
[lim
x1p1f(x1, x2)
]= l.
Exerccio: Seja f(x, y) =x y
x + y, x + y 6= 0.
(a) Mostre que
limx0
[limy0
f(x, y)
]= 1 e lim
y0
[limx0
f(x, y)]
= 1.
(b) Existe limite de f quando (x, y) (0, 0)?Limites e continuidade p. 10/16
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Limites iterados
Seja f : D R2 R e p = (p1, p2) um ponto de acumulao de
D. Selim
(x1,x2)(p1,p2)f(x1, x2) = l
e se existirem os limites unidimensionais
limx1p1
f(x1, x2) e limx2p2
f(x1, x2),
ento
limx1p1
[lim
x2p2f(x1, x2)
]= lim
x2p2
[lim
x1p1f(x1, x2)
]= l.
Exerccio: Seja f(x, y) =x2y2
x2y2 + (x2 y2), x2y2 + (x2 y2) 6= 0.
Mostre que
limx0
[limy0
f(x, y)
]= lim
y0
[limx0
f(x, y)]
= 0
mas que no existe limite de f quando (x, y) (0, 0).Limites e continuidade p. 11/16
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Limites trajectoriais
Quando consideramos (x, y) a aproximar-se de (a, b) ao longo deuma dada trajectria, isto , (x, y) C sendo C uma curva quevai de (x, y) a (a, b), estamos a considerar uma limitetrajectorial
lim(x, y) (a, b)
(x, y) C
f(x, y)
Um pouco mais sobre limites p. 2/3
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Limites trajectoriais
Proposio. Se existe o lim(x,y)(a,b)
f(x, y) ento todos os limites
trajectoriais lim(x, y) (a, b)
(x, y) C
f(x, y) so iguais.
Corolrio. Se existem dois limites trajectoriais diferentes entono existe limite.
Um pouco mais sobre limites p. 3/3
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