Aula 01 - Limites - Noções, Definição, Lateralidade

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Limites Camila Amorim

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Limites

Camila Amorim

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Conteúdos

1. Introdução2. Noção intuitiva

3. Defnição4. Limites Laterais5. Unicidade. !"em#los

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•No s$culo %&II'matem(ticos

tra)al*avam na soluçãode #ro)lemas como+ ainclinação da reta

tan,ente- a velocidadeinstantnea- e (reas dere,i/es #lanas so) o,r(fco de uma 0unção.

IntroduçãoUm pouco de História:

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• s camin*os #ara )usca dasolução desses #ro)lemasdirecionaramse #ara o

desenvolvimento de 0erramentasmatem(ticas ue conduiram aosur,imento do CálculoDiferencial e Integral.

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• Nesses estudos destacaramseNewton  e Leibnitz   uedesenvolveram a mesma teoriauase ue #aralelamente.

Isaac Newton Leibnitz 

• conceito de Limite $ 0undamentalem todo o estudo do C(lculo

di0erencial.

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• A matem(tica $ im#rescindvel 60ormação dos en,en*eiros' se7a ual0or o seu ramo 8en,en*aria civil'en,en*aria el$trica' etc9.

• : usada na construção de edi0cios'estradas' t;neis' metr<s' )arra,ens'

#ortos' aero#ortos' 0()ricas' sistemasde telecomunicaç/es' criação dedis#ositivos mecnicos' el$tricos'

desenvolvimento de m(uinas' entre

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• A diversidade de con*ecimentos

ue o en,en*eiro #ossua e a 0ormacomo ele articula essescon*ecimentos $ ue 0ar(di0erença no com#etitivo mercadode tra)al*o da sociedade atual.

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Noção intuitiva de Limite

Consideremos uma #essoaue o)serva o to#o de uma(rvore' con0orme f,ura

a)ai"o.

θ 

d

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=e essa #essoa camin*ar em direção

6 (rvore e ao mesmo tem#ocontinuar ol*ando #ara o to#o'o)servase ue+

•a distncia entre o *omem e a(rvore se a#ro"ima de ero.•o n,ulo 0ormado entre o raio de

visão do *omem com a lin*a*oriontal se a#ro"ima de >?@.

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u se7a'Ao #asso ue d    ?'

#erce)emos ue θ     >[email protected]' #odemos escrever+lim θ (d ) = 90°d   0

θ 

d

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LIMITE=a)emos ue no con7unto dos n;meros reais' #odemos

sem#re escol*er um con7unto de n;meros se,uindoualuer re,ra #reesta)elecida.

Analise as se,uintes sucess/es num$ricas+

•  1' 2' 3' 4' 5' ... 

• 12' 23' 34' 45' 5' ...  ?'5- ?'- ?'B5- ?'- ?'333...

 

• 1' ?' 1' 2' 3' ... 

∞→ +x

−∞→x

1x  →

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Considere a seguinte função:

O que podemos dizer quando x seaproxima 1?

LIMITE

1x2xf    += )( 

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TABELA DE APROXIMAÇÕES

 x y  = 2 x  + 1

1,5 4

1, ,!

1,1 ,2

1,05 ,1

1,02 ,04

1,01 ,02

 x y  = 2 x  + 1

0,5 2

0," 2,4

0,9 2,#

0,95 2,9

0,9# 2,9!

0,99 2,9#

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Gráco

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  s dois ti#os de a#ro"imaç/es ue vemos nas ta)elas sãoc*amados de limites laterais.

• uando " tende a 1 #or valores menores do ue 1'

diemos ue " tende a 1 #ela esuerda' e denotamos #or

• uando " tende a 1 #or valores maiores do ue 1'

diemos ue " tende a 1 #ela direita' e denotamos #or

LIMITE

=)1+x2($im1x→

=)1+x2($im+1x→

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Conclusão:

%ua&do x se aproxima de 1, ta&to pe$a direitacomo pe$a es'uerda, f(x) se aproxima de

  Usamos a seguinte simbologia:x se aproxima de 1 x 1

f(x) se aproxima de 3 f(x)

3ou

=)1+x2($im1x→

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!"em#los

a9 Calcule lim 83 x 3 E 5 x 9.   x   3

&amos o)servar o com#ortamento

de 0unção 08"9 F 3 x 3

  E 5 x, navizinhança de x = ! !"# !"$ !"$% !"$$ &&&

G B>'5 B'B >1'BB >5'142

'"! '"1 '"(% '"(1 &&&

G 114'4?4

1?4'B3

1??'3B

>'2

6 esuerda+

6 direita+

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• *sere 'ue se tor&armos  x cada e maispróximo , ta&to - es'uerda como - direita, os

a$ores de y  se aproximam de 9!• .odemos /aer os a$ores de y   tor&aremse to

próximos de 9! 'ua&to 'uisermos•  ssim aceitamos 'ue o $imite dessa /u&3o

'ua&do  x   te&de a iua$ ao a$or 'ue

e&co&tramos 'ua&do su*stitu6mos o a$or de  x

por &essa /u&3o, ou se7a,

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 $im (x

 + 5x)x 

 + 5 = 9!

 $im (x + 5x) = 9!x 

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)9 Calcule lim 8"2 H 5" E 49  "  1

8192  5819 E 4 F 1?

 lim 8"2 H 5" E 49 F1?

"

 1

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 c) 8a$cu$e lim 

x 1

0

0

11

112=

E AGORA!?E AGORA!?

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=er( necess(rio sem#re construir

tabelas de a"roximaç#es "aradeterminar o limite de uma funç$o,caso ele e"ista

)ão*)ão*  J( uma 0orma )em maissim#les' como veremos mais adiante em outros e"em#los...

Krimeiramente vamos 0ormaliaral,uns conceitos.

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Defnição

• =e os valores de 08"9 #uderem sertornados tão #r"imos uantouisermos de L' 0aendo "sufciente #r"imos de a 8mas nãoi,ual a a9' então escrevemos

• Mlimite de 08"9 uando " tende a a $L.

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Limites Laterais

• A unçãoJeaviside' %' $defnida #or

 !ssa 0unção' cu7o nome *omena,eiao en,en*eiro el$trico Oliver

Heaviside 815?1>259' #ode serusada #ara descrever uma correnteel$trica ue $ esta)elecida em " F?.

Oliver Heaviside

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*sere 'ue:

• %ua&do x te&de a ero pe$a es'uerda, H ( x )te&de a 0

• %ua&do x te&de a ero pe$a direita, H ( x ) te&de

a 1

e7a o r/ico a*aixo:

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• com#ortamento da 0unçãoJeaviside na viin*ança de  x 'uando  x   tende a ero ? não $;nico' ou se7a' não e"iste umn;mero ;nico #ara o ual %&x' tende' uando x  tende a ?.

• Kortanto lim %&x' não e"iste. X   0

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Limites Laterais

Defnição• lim f&x' F L  " a

• limite de f&x' uando x  tende a a 

#ela esuerda $ i,ual a L  se#udermos tornar os valores de f&x' ar)itrariamente #r"imos de L'tomandose  x   sufcientemente#r"imos de a e menor ue a.

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Limites Laterais

Defnição• lim f&x' = L  "  aE

• limite de f&x' uando x  tende a a 

#ela direita $ i,ual a L se #udermostornar os valores de f&x' ar)itrariamente #r"imos de L'tomandose  x   sufcientemente#r"imos de a e maior ue a.

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Assim #odemos concluir ue+• =e lim  f&x' F lim f&x' F L' então lim

f&x' F L

   x   a(  x   a)  x   a

• =e lim  f&x' ≠   lim f&x'' então lim f&x' não e"iste

   x   a(   x   a)   x   a

)servaç/es

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Unicidade do Limite

• =e lim  f&x' F L*  e  lim f&x'  F  L2 'então L* F L2 

   x   a  x   a

Uma 0unção não #ode tender a doislimites di0erentes ao mesmotem#o.

Assim' se o limite de uma 0unçãoe"iste ele ser( ;nico.=e uma 0unção f  tiver um limite L no

n;mero a' então L ser( o limite de f  

em a.

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!"em#los

1. =e7a 08"9 defnida #elo ,r(fcoa)ai"o' intuitivamente' encontre see"istir+

a9 lim 08"9

   x  2

)9 lim 08"9   x  2E

c9 lim 08"9   x  2

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2. =e7a 08"9 defnida #elo ,r(fco

a)ai"o' intuitivamente'encontre se e"istir+a9 lim 08"9   x  3

)9 lim 08"9   x  3E

c9 lim 08"9

   x  3d9 lim 08"9   x  4

e9 lim 08"9  x   (*

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3. =e7a 8"9 F O" P 4O. Calculeos limites indicados see"istirem+

a9 lim 08"9   x  4

)9 lim 08"9   x  4E

c9 lim 08"9

   x  4d9 lim 08"9   x  ?

e9 lim 08"9  x   +

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Limites de uma 0unção

#olinomial• unç/es #olinomiais são 0unç/escu7a e"#ressão $ um #olin<mio.

• !"em#los+ 08"9 F " E 1' ,8"9 F

8129"2

• =u)stitui o valor de " #elo valorcu7a viin*ança dever ser estudada

e determina o valor do limite.Como nos e"em#los+ $im (x2 ; 5x + 4) = 10x 1

 $im (x + 5x) = 9!x 

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=e f   0or uma 0unção #olinomial ouracional e a estiver no domnio de f 'então

  lim f&x' F f&a'  x  a

Limite de uma 0unção#olinomial

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!"em#los

1.Calcule os limites das se,uintes0unç/es+

  a9

  )9

  c9

  d9

  e9

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Assunto Kr"ima Aula+

Limite e Continuidade

Kr$reuisitos•Qr(fco de 0unç/es elementares-•Radiciação-•Kotenciação-•Re,ras de o#eraç/es matem(ticas.

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!studos inde#endentes+

•aer uma revisão so)re #rodutosnot(veis e 0atoração de #olin<mios.•!"erccios do livro C(lculo A+

=eção 3.' uest/es 1 a 5- 1 a 3B-  =eção 3.' uest/es 1 a 1?.

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Cálculo A: funções, limite, derivação e integração Fo

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 F>IJ, Kames Cálculo Fo .au$o: 8e&aeear&i&, 200#

 BU@CJ@LL@, Hami$to& ui um Curso de Cálculo

Fo .au$o: >ditor Gorsoi, 200#