Limite e Continuidade
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LIMITE E CONTINUIDADE
Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” em p.
O gráfico de f não apresenta “salto” em p: f é contínua em p. Observe que à medida que x se aproxima de p, quer pela direita ou pela esquerda, os valores f(x) se aproximam de f(p); e quanto mais próximo x estiver de p, mais próximo estará f(x) de f(p).
O mesmo não acontece com a função g em p: em p o gráfico de g apresenta “salto”, logo g não é contínua em p.
Seja as funções f(x) = x e g ( x )=¿ {1 se x≤1¿ ¿¿¿
Se f é contínua em todo p de seu domínio, por sua vez, a função g não é contínua em p = 1, mas é contínua em todo p ≠ 1. Podemos então dizer intuitivamente que o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L que, simbolicamente, se escreve:
limx→ pf (x )=L
Significa que quando x tende a p, f(x) tende a L.
Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I
Função f Função g
Quando x tende a p, f(x) tende a f(p):
limx→ pf (x )=f ( p )
Quando x tende a p, f(x) tende a L:
limx→ pf (x )=L
Agora vamos utilizar a noção intuitiva de limite, calcule limx→1
( x+1 )
x
x + 1
0,5 1,50,9 1,90,99 1,99
0,999 1,9990,9999 1,9999
↓ ↓1 2
Exercícios
1) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule.
a ) limx→1
( x+2)
b ) limx→1
(2x+1 )
c ) limx→0
(3 x+1 )
d ) limx→ 2
(x2+1 )
e ) limx→1
√ x
f ) limx→2
x2+xx+3
g ) limx→2
3√ x
h ) limx→0
(√x+x )
Resp: a) 3; b) 3; c) 1; d) 5; e) 1; f) 6/5; g) 3√2 ; h) 0
2) Esboce o gráfico da f ( x )= 4 x2−1
2 x−1 . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
limx→ 1
2
4 x2−12x−1
Resp: 2
3) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule.
a ) limx→2
x2−4x−2
b ) limx→0
x2+ xx
c ) limx→1
√ x−1x−1
d ) limx→2
x2−4 x+4x−2
b ) limx→−1
x2−1x+1
c ) limx→0sen( x )
Resp: a) 4; b) 1; c) 1/2 para x ≠ 1; d) 0; e) – 2; f) 0
Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I
limx→1
( x+1 )=2
Sejam f e g funções de gráficos:
x x + 1
2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001
↓ ↓1 2
Observe que f e g se comportam de modo diferente em p; o gráfico de f não apresenta “salto” em p, ao passo que o de g, sim. Pretendemos destacar uma propriedade que nos permita distinguir tais comportamentos entre as funções dadas.
A função f satisfaz em p a propriedade:
Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que f(x) permanece entre f(p) – ε e f(p) + ε quando x percorre o intervalo ]p – δ, p + δ[, com x no domínio de f.
Entretanto, a função g não satisfaz em p tal propriedade:
Para o ε > 0 acima, não existe δ > 0 que torne verdadeira a afirmação
∀ x∈Df , p−δ< x< p+δ⇒g ( p )−ε<g ( x )<g ( p )+ε
Qualquer que seja o δ > 0 que se tome, quando x percorre o intervalo ]p – δ, p + δ[, g(x) não permanece entre g(p) – ε e g(p) + ε.
Definição. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio, definimos:
f é contínua em p ↔ para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, para todo x
pertence ao Df, p−δ<x< p+δ⇒ f ( p )−ε< f ( x )< f (p )+ε
Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I
Sejam f e g funções de gráficos:
Definição de Limite
Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Consideremos as situações a seguir:
Na situação (a), f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade:
Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x pertence ao domínio de f (Df)
p−δ<x< p+δ , x≠p⇒ L−ε< f ( x )< L+ε
Na situação (b), f está definida em p, mas não é contínua em p, entretanto existe L satisfazendo propriedade, observe que neste caso a restrição x ≠ p é essencial. Na situação (c), f é contínua em p, assim L = f(p) satisfaz a propriedade. Na situação (d), não existe L satisfazendo a propriedade em p. A propriedade acima é equivalente a:
Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x pertence a Df,
0<|x−p|<δ⇒|f (x )−L|<ε
Definição.
Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x pertence a Df,
0<|x−p|<δ⇒|f (x )−L|<ε
Tal número L, que quando existe é único, será indicado por limx→ pf (x )
.
Assim
Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I
limx→pf (x )=L⇔¿ {∀ ε>0 ,∃δ>0/∀ x∈Df ¿ ¿¿
Propriedade de Limites
Supondo que os limites à direita dos sinais de igualdade existem, temos:
1. b é constante, então limx→p
(bf ( x ) )=b( limx→ p f ( x ))
2. limx→p
( f ( x )+g ( x ) )= limx→pf ( x )+ lim
x→ pg ( x )
3. limx→p
( f ( x ) .g ( x ) )=( limx→ p f ( x )) .( limx→p g ( x ))
4.
limx→ p
f ( x )g (x )
=limx→ pf ( x )
limx→ pg ( x )
, desde que limx→ pg ( x )≠0
5. Para qualquer constante k, limx→ pk=k
6. limx→ px=p
Exemplo
Determine o limite utilizando as propriedades,
limx→3
x2+5 xx+9
limx→3
x2+5 xx+9
=limx→3
(x2+5x )
limx→3
( x+9 )
limx→3x2+ lim
x→35 x
limx→3x+lim
x→39
=32+5 .33+9
=2
Exercícios
1) Calcule o Limite a seguir.
Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I
a ) limx→2x2
b ) limx→1
(3x+1 )
c ) limx→−2
(4 x+1 )
d ) limx→10
5
e ) limx→−9
50
f ) limx→−1
(−x2−2 x+3 )
g ) limx→4
√ x
h ) limx→−3
3√ x
i) limx→−8
√5
j ) limx→ 3
x2−9x−3
k ) limx→3
x2−9x+3
l) limx→−1
x2−9x−3
m) limx→ 1
2
4 x2−12x−1
n ) limx→1
√x−1x−1
0 ) limx→−1
3
9 x2−13 x+1
p ) limx→3
√ x−√3x−3
q ) limx→3
3√x−3√3x−3
r ) limx→ 2
4√ x−4√2x−2
s ) limx→ 0
x2+3 x−1x2+2
t ) limx→1
√x−1
√2 x+3−√5
Resp:
a) 4; b) 4; c) – 7; d) 5; e) 50; f) 4; g) 2; h) 3√−3 ; i) √5 ; j) 6; k) 0; l) 2; m) 2; n) 1/2; o) – 2; p)
12√3 ; q)
1
33√9 ; r)
1
44√8 ; s)
−12 ; t)
√52
Professor Mário Barbosa da Silva – disciplina Cálculo I
a ) limx→2x2
b ) limx→1
(3x+1 )
c ) limx→−2
(4 x+1 )
d ) limx→10
5
e ) limx→−9
50
f ) limx→−1
(−x2−2 x+3 )
g ) limx→4
√ x
h ) limx→−3
3√ x
i) limx→−8
√5
j ) limx→ 3
x2−9x−3
k ) limx→3
x2−9x+3
l) limx→−1
x2−9x−3
m) limx→ 1
2
4 x2−12x−1
n ) limx→1
√x−1x−1
0 ) limx→−1
3
9 x2−13 x+1
p ) limx→3
√ x−√3x−3