Capítulo 1 Curso de Cálculo I - ufersa.edu.br 1/Curso... · Curso de Cálculo I – Capítulo 1...

CURSO DE

CÁLCULO I

PROF. MARCUS V. S. RODRIGUES

FORTALEZA - 2009

Curso de Cálculo I – Capítulo 1

Prof. Marcus V. S. Rodrigues

2

SUMÁRIO

Capítulo 1 – Limite e continuidade 3

1.1. Limites: Um conceito intuitivo 3

1.2. Limites: Técnicas para calcular 19

1.3. Limites: Uma definição matemática 39

1.4. Continuidade 52

1.5. Limites e continuidade das funções trigonométricas 65

Exercícios propostos (Capítulo 1) 76

Capítulo 2 – A derivada 79

2.1. A reta tangente e a derivada 79

2.2. Técnicas de diferenciação 89

2.3. Derivada de funções trigonométricas 101

2.4. Regra da cadeia 107

2.5. Diferenciais e aproximação linear local 110


Capítulo 3 – Funções Logarítmicas e Exponenciais 122

3.1. Funções inversas 122

3.2. Diferenciação implícita 134

3.3. Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 143

3.4. Derivada das funções inversas trigonométricas e a Regra

de L´Hopital 159


Capítulo 4 – Aplicações da derivada 175

4.1. Crescimento, decrescimento e concavidade 175

4.2. Extremos relativos 185

4.3. Extremos absolutos e gráficos 194

4.4. Problemas de otimização 211


Respostas dos exercícios propostos 230

Referências Bibliográficas 231



3

CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE

1.1 Limites: Um conceito intuitivo

Dois problemas geométricos estimularam o desenvolvimento do

Cálculo: achar a área de regiões planas e achar retas tangentes às curvas. Em

ambos os casos se requerem um processo de limite para obter a solução.

Porém, o processo de limite ocorre em várias situações, sendo o conceito de

limite o alicerce sobre o qual todos os conceitos de cálculo estão baseados.

Em geral, pode-se dizer que o uso básico de limites é o de descrever

o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima

de certo valor. Por exemplo, seja a função;

( )2 2

2x xf x

x− −

=−

Esta função não está definida para 2x= , porém, pode-se analisar o

seu comportamento nas proximidades de 2x= . Isto é, interessa-se o

comportamento de f para valores de x próximos a 2, porém não para 2x= .

A aproximação a 2 pode-se ocorrer de duas formas, por valores

menores do que 2 , isto é pela esquerda, e por valores maiores do que 2 , isto

é pela direita. Desde modo pode-se construir a tabela 1.1, apresentada logo a

seguir.

Tabela 1.1

X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1

Para reforçar este comportamento pode-se analisar, também, o

gráfico da função que é apresentado na figura 1.1.



4

Figura 1.1

Analisando a tabela 1.1 e a figura 1.1 fica evidente que os valores de

( )f x tornam-se cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver mais

próximo de 2 , por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito. Pode-se

também, tornar os valores de ( )f x o mais próximo que se deseje de 3 ,

fazendo x suficientemente próximo de 2 .

Definição 1.1.1. Se os valores de ( )f x puderem ser definidos tão próximos

quanto queira de um número L , fazendo x suficientemente próximo de p

(porém não igual a p ), ou seja; ( )f x L→ quando x p→ , então, escreve-se:

( )limx p

f x L→

= (1.1)

Neste caso, tem-se que 2 2 3

2x x

x− −

→−

quando 2x→ , então,

escreve-se:

2

2

2lim 32x

x xx→

− −=

−



5

O que foi feito anteriormente foi simplesmente uma conjectura a

respeito do valor do limite 2

2

2lim2x

x xx→

− −−

, usando argumentos algébricos e

gráficos, para verificar o valor deste limite.

Exemplo Resolvido 1.1.1. Faça uma conjectura sobre o valor do seguinte

limite:

2

1

1lim1x

xx→

−−

Solução. Observe que esta função não está definida para 1x= , então, fazendo

os valores de x se aproximarem de 1 , tanto pela esquerda, quanto pela direita,

pode-se construir a tabela 1.2. Logo em seguida tem-se o gráfico cartesiano da

função.

Tabela 1.2

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 f(x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2,1

Figura 1.2



6

Da análise da tabela 1.2 e do gráfico da pela figura 1.2, tem-se:

2 1 21

xx−

→−

quando 1x→ (por ambos os lados)

logo, pode-se escrever:

2

1

1lim 21x

xx→

−=

−

Exemplo Resolvido 1.1.2. Faça uma conjectura sobre o valor limite:

0lim

1 1x

xx→ + −

Solução. Esta função não está definida para 0x= , então, fazendo os valores

de x se aproximarem de 0 , tanto pela esquerda, quanto pela direita, pode-se

construir a tabela 1.3.

Tabela 1.3

x − 0,01 − 0,001 − 0,0001 − 0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01 f(x) 1,994987 1,9995 1,99995 1,999995 2,000005 2,00005 2,0005 2,004988

Para fazer o gráfico da função, pode-se simplificar algebricamente a

expressão do limite. Para 0x≠ , tem-se:

( ) ( )1 1 1 11 1 1 11 11 1 1 1 1 1

x x x xx x x xx xx x x

+ + + +⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= = = = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ + −+ − + − + +⎝ ⎠⎝ ⎠

Pode-se concluir que o gráfico da função é igual ao gráfico da

função 1 1y x= + + para 0x≠ .



7

Figura 1.3

Analisando os dados da tabela 1.3 e do gráfico dado pela figura 1.3,

tem-se que:

21 1

xx

→+ −

quando 0x→ (por ambos os lados)

logo, pode-se escrever:

1lim 2

1 1x

xx→

=+ −

O limite dado pela equação 1.1 é chamado comumente de limite

bilateral, porque requer que os valores de ( )f x fiquem cada vez mais de L

quando x tende a p por qualquer lado. Porém algumas funções apresentam

comportamentos diferentes em cada um dos lados de um ponto p .

Em resumo, ao se procurar o limite de ( )f x quando x tende a p

nunca se considera x p= . Na realidade, a função não precisa estar definida

para x p= , como visto nos exemplos anteriores. O que importa é como f está

definida nas proximidades do ponto p .



8

Em muitas situações a função pode apresentar comportamentos

diferentes nas proximidades de um ponto p . Por exemplo, considere a função:

( )1 01 0

se xxf x

se xx>⎧

= =⎨− <⎩

no qual o gráfico é apresentado na figura 1.4.

Figura 1.4

Quando x se aproxima de 0 pela esquerda os valores de ( )f x

tendem a 1− (na realidade são iguais a 1− para esses valores), e quando x se

aproxima de 0 pela direita os valores de ( )f x tendem a 1 (na realidade são

iguais a 1 para esses valores).

Descrevem-se essas afirmações dizendo que o limite de

( )f x x x= é 1 quando x tende a 0 pela direita e que o limite de ( )f x x x=

é 1− quando x tende a 0 pela esquerda.



9

Definição 1.1.2. Se os valores de ( )f x podem se tornar tão próximo de L

quanto queira, fazendo x suficientemente próximo de p (porém maior que p),

ou seja:

se ( )f x L→ quando x p+→

pode-se escrever:

( )limx p

f x L+→

= (1.2)

Definição 1.1.3. Se os valores de ( )f x podem se tornar tão próximo de L

quanto queira, fazendo x suficientemente próximo de p (porém menor que p),

ou seja:

se ( )f x L→ quando x p−→

pode-se escrever:

( )limx p

f x L−→

= (1.3)

Para a função ( ) xf x

x= nas proximidades de 0 , tem-se:

1xx→− quando 0x −→ e 1

xx→ quando 0x +→

podendo escrever:

0lim 1

x

xx−→= − (limite lateral à esquerda) e

0lim 1

x

xx+→= (limite lateral à direita),

logo se pode concluir que não existe o limite 0

limx

xx→

.



10

Teorema 1.1.1. O limite bilateral de uma função existe em um ponto p se, e

somente se existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo

valor; isto é:

( ) ( ) ( )lim lim limx p x p x p

f x L f x L f x− +→ → →

= ⇔ = = (1.4)

Exemplo Resolvido 1.1.3. Faça o gráfico da função e determine os limites

laterais em 1x= . Verifique se existe ( )1

limx

f x→

.

( )2 1 1

2 1 1x se xf xx se x

⎧ + <⎪=⎨− >⎪⎩

Solução. A função é definida por partes, isto é, a função tem duas leis de

formação. Para o intervalo ( ),1−∞ é função se comporta como uma função

polinomial de expressão ( ) 2 1f x x= + e para o intervalo ( )1,+∞ a função se

comporta como uma função linear de expressão ( ) 2 1f x x= − . Logo, o gráfico

da função é apresentado na figura 1.5.

Figura 1.5



11

De acordo com a figura 1.5, pode-se ver claramente que quando x

se aproxima de 1 pela esquerda ( )f x é a parábola de equação 2 1x + e se

aproxima de 2 , isto é:

( ) 2f x → quando 1x −→

daí pode-se escrever:

( )1

lim 2x

f x−→

= (limite lateral à esquerda)

Pode-se ver também que quando x se aproxima de 1 pela direita

( )f x é a reta de equação 2 1x − e se aproxima de 1 , isto é:

( ) 1f x → quando 1x +→

daí pode-se escrever:

( )1

lim 1x

f x+→

= (limite lateral à direita)

Como os limites laterais são diferentes não existe o limite de f

quando x tende a 1 , isto é:

( ) ( ) ( )11 1

lim 2 1 lim limxx x

f x f x f x− + →→ →

= ≠ = ⇒ ∃

Em muitas situações os limites laterais não existem devido ao fato

de os valores da função crescer ou decrescer indefinidamente. Por exemplo,

analisando o comportamento da função ( ) 1f xx

= nas proximidades de 0x= ,

pode-se construir a tabela 1.4.

Tabela 1.4

x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 f(x) -10 -100 -1000 -10000 10000 1000 100 10



12

Figura 1.6

Analisando os dados apresentados na tabela 1.4 e através da figura

1.6 que mostra o gráfico da função fica evidente o seguinte: à medida que x

fica mais próximo de 0 pela esquerda, os valores de ( ) 1f xx

= são negativos e

decrescem indefinidamente e à medida que x fica mais próximo de 0 pela

direita, os valores de ( ) 1f xx

= são positivos e crescem indefinidamente.

Definição 1.1.4. Se os valores de ( )f x crescem indefinidamente quando x

tende a p , pela direita ou pela esquerda; ou seja:

( )f x →+∞ quando x p+→ ou ( )f x →+∞ quando x p−→

então pode-se escrever:

( )limx p

f x+→

=+∞ ou ( )limx p

f x−→

=+∞



13

Definição 1.1.5. Se os valores de ( )f x decrescem indefinidamente quando x

tende a p , pela direita ou pela esquerda; ou seja:

( )f x → −∞ quando x p+→ ou ( )f x → −∞ quando x p−→

então, escreve-se:

( )limx p

f x+→

=−∞ ou ( )limx p

f x−→

=−∞

Logo o comportamento da função ( ) 1f xx

= nas proximidades de 0 ,

pode ser resumido da seguinte forma:

1x→−∞ quando 0x −→ e

1x→+∞ quando 0x +→

daí tem-se: 1lim

x p x−→=−∞ e

1limx p x+→

=+∞

Exemplo Resolvido 1.1.4. De acordo com os gráficos apresentados na figuras

1.7 e 1.8, descreva o limite em x p= na notação de limite apropriado.

Figura 1.7



14

Figura 1.8

Solução (a). A função decresce indefinidamente quando x tende a p pela

esquerda e cresce indefinidamente quando x tende a p pela direita. Então:

1limx p x p−→

⎛ ⎞=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

e 1lim

x p x p+→

⎛ ⎞=+∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solução (b). A função cresce indefinidamente quando x tende a p pela

esquerda e decresce indefinidamente quando x tende a p pela direita. Então:

1limx p x p−→

⎛ ⎞−=+∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

e 1lim

x p x p+→

⎛ ⎞−=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solução (c). A função cresce indefinidamente quando x tende a p tanto pela

esquerda como pela direita. Então:

( )21lim

x p x p−→

⎛ ⎞⎜ ⎟=+ ∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

e ( )2

1limx p x p+→

⎛ ⎞⎜ ⎟=+∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Neste caso pode-se escrever por comodidade:

( )21lim

x p x p→

⎛ ⎞⎜ ⎟=+∞⎜ ⎟−⎝ ⎠



15

Solução (d). A função decresce indefinidamente quando x tende a p tanto

pela esquerda como pela direita. Então:

( )21lim

x p x p−→

⎛ ⎞−⎜ ⎟=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

e ( )2

1limx p x p+→

⎛ ⎞−⎜ ⎟=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Neste caso pode-se escrever por comodidade:

( )21lim

x p x p→

⎛ ⎞−⎜ ⎟=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Definição 1.1.6. Uma reta x p= é chamada de assíntota vertical do gráfico

de uma função ( )f x se ( )f x tende a +∞ ou −∞ , quando x tende a p pela

esquerda ou pela direita.

Às vezes se está interessado em saber o comportamento da função

não em torno de um ponto específico p , e sim quando a variável x cresce ou

decresce indefinidamente. Isto é chamado de comportamento final da função,

pois descreve como a função se comporta para valores de x que estão longe

da origem.

Novamente considera-se a função ( ) 1f xx

= , mas agora para

valores de x que estão bem distantes da origem. Fazendo x crescer e

decrescer sem limitação, pode-se construir a tabela 1.5.

Tabela 1.5

x -10000 -1000 -100 -10 10 100 1000 10000 f(x) -0,0001 -0,001 -0,01 -0,1 0,1 0,01 0,001 0,0001

x decresce sem limitação x cresce sem limitação



16

É evidente a partir da tabela 1.5 e pelo gráfico da função (ver figura

1.6), que à medida que os valores de x decrescem sem limitação, os valores

de ( ) 1f xx

= são negativos, mas aproximam-se muitíssimo de 0 ;

analogamente, à medida que os valores de x crescem sem limitação, os

valores de ( ) 1f xx

= são positivos, mas aproximam-se muitíssimo de 0 .

Definição 1.1.7. Se os valores de ( )f x subseqüentemente ficam cada vez

mais próximos de um número L , à medida que x cresce sem limitação; ou

seja:

( )f x L→ quando x →+∞

então, escreve-se: ( )limx

f x L→+∞

= .

Definição 1.1.8. Se os valores de ( )f x subseqüentemente ficam cada vez

mais próximos de um número L , à medida que x decresce sem limitação; ou

seja:

( )f x L→ quando x →−∞

então, escreve-se: ( )limx

f x L→−∞

= .

Logo, podem-se descrever os comportamentos limitantes da função

( ) 1f xx

= da seguinte forma:

1lim 0x x→−∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

e 1lim 0

x x→+∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

Definição 1.1.9. Uma reta y L= é chamada de assíntota horizontal do gráfico

de uma função ( )f x se ( )f x L→ , quando x →+∞ ou x →−∞ .



17

Exemplo Resolvido 1.1.5. De acordo com o gráfico da função ( )1

xf xx

=−

apresentado na figura 1.9 determine os limites no infinito.

Figura 1.9

Solução. De acordo com o gráfico da função (ver figura 1.9) tem-se que à

medida que x cresce sem limitação ( )f x se aproxima cada vez mais de 1 ,

isto é:

11

xx

→−

quando x→+∞

concluindo que:

lim 11x

xx→+∞

=−



18

Analogamente, tem-se que à medida que x decresce sem limitação

( )f x se aproxima cada vez mais de 1 , isto é:

11

xx

→−

quando x→−∞

concluindo que:

lim 11x

xx→−∞

=−

A reta 1y= é a assíntota vertical do gráfico da função ( )1

xf xx

=−

.

Definição 1.1.10. Se os valores de ( )f x crescem sem limitação quando

x →+∞ ou x →−∞ ; ou seja:

( )f x → +∞ quando x →+∞ ou ( )f x → +∞ quando x →−∞

então, escreve-se:

( )limx

f x→+∞

=+∞ ou ( )limx

f x→−∞

=+∞

Definição 1.1.11. Se os valores de ( )f x decrescem sem limitação quando

x →+∞ ou x →−∞ ; ou seja:

( )f x → −∞ quando x →+∞ ou ( )f x → −∞ quando x →−∞

então, escreve-se:

( )limx

f x→+∞

=−∞ ou ( )limx

f x→−∞

=−∞



19

1.2 Limites: Técnicas para calcular

Inicialmente estabelecem-se os limites básicos para algumas

funções simples e em seguida desenvolvem-se um repertório de teoremas que

possibilitará usar estes limites como blocos de construção para encontrar

limites de funções mais complicadas.

Teorema 1.2.1 (Limites básicos).

(1) ( )limx p

k k→

= (2) ( )limx

k k→+∞

= (3) ( )limx

k k→−∞

=

(4) ( )limx p

x p→

= (5) ( )limx

x→+∞

=+∞ (6) ( )limx

x→−∞

=−∞

(7) 0

1limx x+→

⎛ ⎞=+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

(8) 0

1limx x−→

⎛ ⎞=−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

(9) 1lim 0

x x→+∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

(10) 1lim 0

x x→−∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

Figura 1.10

Esses limites dados pelo teorema 1.2.1 podem ser confirmados

através do gráfico (ver figura 1.10) das funções y k= (função constante), y x=

(função identidade) e 1y x= (função recíproca).



20

Teorema 1.2.2. Suponha que lim representa um dos limites limx p→

, limx p−→

, limx p+→

,

limx→+∞

ou limx→−∞

. Se existirem ( )1 limL f x= e ( )2 limL g x= , então:

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2lim lim limf x g x f x g x L L± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦ .

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2lim lim limf x g x f x g x L L⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ .

(3) ( )( )

( )( )

1

2

limlim

limf x f x Lg x g x L

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎣ ⎦ se 2 0L ≠ .

(4) ( ) ( ) 1lim lim nn nf x f x L= = desde que 1 0L ≥ se n for par.

(5) ( ) ( ) ( )1lim limn n nf x f x L= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Corolário 1.2.2.1. Suponha que lim representa um dos limites limx p→

, limx p−→

,

limx p+→

, limx→+∞

ou limx→−∞

. Se existirem ( )1 1limL f x= , ( )2 2limL f x= ,...,

( )limn nL f x= , então:

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2lim ... lim lim ... limn nf x f x f x f x f x f x± ± ± = ± ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

1 2 ... nL L L= ± ± ±

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2lim ... lim lim ... limn nf x f x f x f x f x f x⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2lim lim ... lim nf x f x f x= ⋅ ⋅ ⋅

Exemplo Resolvido 1.2.1. Sendo ( )2

lim 3x

f x→

=− , ( )2

lim 4x

g x→

= e ( )2

lim 0x

h x→

= .

Determine:

(a) ( ) ( )2

limx

g x f x→

−⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) ( )

( ) ( )2limx

g xh x f x→ −⎡ ⎤⎣ ⎦



21

(c) ( ) ( )2 2

2limx

f x g x→

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (d) ( ) ( ) ( )( )22

limx

f x g x h x→

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

Solução (a). Aplica-se a propriedade (1) do teorema 1.2.2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

lim lim lim 4 3 4 3 7x x x

g x f x g x f x→ → →

− = − = − − = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (b). Inicialmente aplica-se a propriedade (3) do teorema 1.2.2 e em

seguida aplicam-se as propriedades (4) no numerador e (1) no denominador,

do referido teorema.

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

222

2 2 2

limlim 4 2limlim lim lim 0 3 3

xxx

x x x

g xg xg xh x f x h x f x h x f x

→→

→→ → →

= = = =− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (c). Inicialmente aplica-se a propriedade (4) do teorema 1.2.2 e em

seguida aplicam-se a propriedade (1) e logo depois, a propriedades (5) do

referido teorema.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2lim limx x

f x g x f x g x→ →

⎡ ⎤+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 2

2 2lim limx x

f x g x→ →

= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2lim lim 4 3 5x x

f x g x→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (d). Inicialmente a aplica-se a propriedade (1) do teorema 1.2.2 e em

seguida aplicam-se nas parcelas as propriedades (2) e (5), respectivamente, do

referido teorema.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 22

2 2 2lim lim limx x x

f x g x h x f x g x h x→ → →

⎡ ⎤+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )2

2 2 2lim lim limx x x

f x g x h x→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( )( ) ( )24 3 0 12= − + =−



22

Exemplo Resolvido 1.2.2. Ache:

(a) 1lim nx x→+∞

(b) 1lim nx x→−∞

Solução (a). Aplicando a propriedade (5) do teorema 1.2.2, tem-se:

1 1 1lim lim lim 0n n

nx x xx xx→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução (b). Aplicando a propriedade (5) do teorema 1.2.2, tem-se:

1 1 1lim lim lim 0n n

nx x xx xx→−∞ →−∞ →−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Do exemplo resolvido 1.2.2 podem-se escrever as seguintes

fórmulas:

1lim 0nx x→+∞= (1.5)

1lim 0nx x→−∞= (1.6)

Corolário 1.2.2.2. Suponha que lim representa um dos limites limx p→

, limx p−→

,

limx p+→

, limx→+∞

ou limx→−∞

. Se existirem ( )limL f x= e k um número real, então:

( ) ( ) ( )lim lim limk f x k f x k L⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

Ou seja, em outras palavras o que o corolário afirma é que: um fator

constante pode ser movido através do símbolo de limite.



23

Exemplo Resolvido 1.2.3. Sendo k uma constante real, então, ache:

(a) lim nx

kx→+∞

(b) lim nx

kx→−∞

Solução (a). Inicialmente pode-se escrever o quociente como um produto entre

a constante k e a função 1 nx e em seguida aplica-se o corolário 1.2.2.2.

( )1 1lim lim lim 0 0n n nx x x

k k k kx x x→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução (b). Inicialmente pode-se escrever o quociente como um produto entre

a constante k e a função 1 nx e em seguida aplica-se o corolário 1.2.2.2.

( )1 1lim lim lim 0 0n n nx x x

k k k kx x x→−∞ →−∞ →−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dos exemplos resolvidos 1.2.2 e 1.2.3, podem-se escrever as

seguintes fórmulas, sendo k uma constante real qualquer.

lim 0nx

kx→+∞

= (1.7)

lim 0nx

kx→−∞

= (1.8)

Exemplo Resolvido 1.2.4. Ache o valor do limite ( )3 2

2lim 3 2 3 9x

x x x→−

− − + − .

Solução. Inicialmente, pode-se expressar este limite como a soma de limites,

corolário 1.2.2.1. Em seguida aplica-se a propriedade do corolário 1.2.2.2 nas

parcelas e depois a propriedade (5) do teorema 1.2.2.



24

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2

2 2 2 2 2lim 3 2 3 9 lim 3 lim 2 lim 3 lim 9x x x x x

x x x x x x→− →− →− →− →−

− − + − =− − + −

( ) ( ) ( ) ( )3 2

2 2 2 23 lim 2 lim 3 lim lim 9

x x x xx x x

→− →− →− →−=− − + −

( ) ( ) ( )3 2

2 2 23 lim 2 lim 3 lim 9

x x xx x x

→− →− →−=− − + −

( ) ( ) ( )3 23 2 2 2 3 2 9 1=− − − − + − − =

Exemplo Resolvido 1.2.5. Ache o valor do limite 3 22

1lim3 2 3 9x x x x→− − − + −

.

Solução. Inicialmente usa-se a parte (3) do teorema 1.2.2 e em seguida a parte

(4) do mesmo teorema.

( )

( )2

3 2 3 222

lim 11lim3 2 3 9 lim 3 2 3 9

xx

xx x x x x x

→−

→−

→−

=− − + − − − + −

( )3 2

2

1 1 11lim 3 2 3 9

xx x x

→−

= = =− − + −

Nos exemplos vistos anteriormente, pode-se ver que o cálculo de

limites se resume à aplicação das propriedades vistas no teorema 1.2.2 e de

seus corolários, 1.2.2.1 e 1.2.2.2, para reduzir este limite aos limites básicos

dados no teorema 1.2.1. Porém em muitos casos este cálculo pode se tornar

exaustivo e repetitivo, então, em seguida serão apresentado teoremas que

tornam estes cálculos mais rápidos e diretos.



25

Teorema 1.2.3. Para qualquer polinômio:

( ) 0 1 ... nnp x a a x a x= + + + (1.9)

e qualquer número real c , então:

( ) ( ) ( )0 1lim lim ... nnx c x c

p x a a x a x p c→ →

= + + + = (1.10)

Prova.

( ) ( )0 1lim lim ... nnx c x c

p x a a x a x→ →

= + + +

0 1lim lim ... lim nnx c x c x c

a a x a x→ → →

= + + +

0 1lim lim ... lim nnx c x c x c

a a x a x→ → →

= + + +

( )0 1 ... nna a c a c p c= + + + =

Em outras palavras, o teorema 1.2.3 diz que: o limite de um

polinômio em um ponto de seu domínio é a própria imagem deste ponto.

Exemplo Resolvido 1.2.6. Calcule ( )3 2

3lim 3 2 4x

x x x→

− + − .

Solução. Como o limite de um polinômio em um ponto de seu domínio é própria

imagem deste ponto. Isto é o limite é encontrado através da substituição direta.

( ) ( ) ( ) ( )3 23 2

3lim 3 2 4 3 3 3 2 3 4 27 27 6 4 2x

x x x→

− + − = − + − = − + − =



26

Exemplo Resolvido 1.2.7. Calcule 2

3 21

2 3 4lim4 1x

x xx x→−

− −+ +

.

Solução. Inicialmente usa-se a propriedade (4) do teorema 1.2.2 e em seguida

a propriedade (3) do mesmo teorema, e, finalmente, o teorema 1.2.3.

( )( )

22 21

3 2 3 2 3 21 11

lim 2 3 42 3 4 2 3 4 1 1lim lim4 24 1 4 1 lim 4 1

xx x

x

x xx x x xx x x x x x

→−

→− →−→−

− −− − − −= = = =

+ + + + + +

O intuito agora é definir como se comporta a função polinomial da

forma nx para 1n= , 2 , 3 , 4 , ... , quando x→+∞ e x→−∞ . A figura 1.11

apresenta os gráficos para os casos particulares em que 2n= , 3 e 4 ,

respectivamente, e os seus limites no infinito.

Figura 1.11



27

Os resultados apresentados na figura 1.11 são os casos particulares

do seguinte caso geral:

lim n

xx

→+∞=+∞ (1.11)

lim n

x

se n parx

se n ímpar→−∞

+∞⎧=⎨−∞⎩

(1.12)

Exemplo Resolvido 1.2.8. Calcule os limites no infinito.

(a) lim n

xkx

→+∞ (b) lim n

xkx

→−∞

Solução (a).

0lim lim

0n n

x x

se kkx k x

se k→+∞ →+∞

+∞ >⎧= =⎨−∞ <⎩

Solução (b).

(i)0

lim lim0

n n

x x

se kkx k x n par

se k→−∞ →−∞

+∞ >⎧= =⎨−∞ <⎩

(ii) 0

lim lim0

n n

x x

se kkx k x n ímpar

se k→−∞ →−∞

−∞ >⎧= =⎨+∞ <⎩

Teorema 1.2.4. Um polinômio se comporta como seu termo de maior grau

quando x →+∞ ou x →−∞ .

( ) ( )0 1lim ... limn nn nx x

a a x a x a x→+∞ →+∞

+ + + = (1.13)

( ) ( )0 1lim ... limn nn nx x

a a x a x a x→−∞ →−∞

+ + + = (1.14)



28

Exemplo Resolvido 1.2.9. Calcule os limites.

(a) ( )3 2lim 5 4 12x

x x x→−∞

− + − (b) ( )3 4 5lim 3 3x

x x x→+∞

+ −

Solução (a). Como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau,

tem-se:

( ) ( )3 2 3lim 5 4 12 lim 5x x

x x x x→−∞ →−∞

− + − = =−∞

Solução (b). Como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau,

tem-se:

3 4 5 51 3 3 3lim lim2 5 7 7x x

x x x x→+∞ →+∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = =−∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Uma função racional é uma razão entre dois polinômios, ou seja, é

uma função do tipo ( )( )

f xg x

com ( ) 0≠g x . Neste caso, há três métodos para se

calcular o limite ( )( )

lim→x p

f xg x

, dependendo se ( )lim→x p

g x converge para zero ou

não.

Se ( )lim 0→

≠x p

g x , então, usa-se o fato de que o limite da razão é a

razão dos limites, ou seja:

( )( )

( )( )

( )( )

limlim

lim→

→→

= =x p

x px p

f xf x f pg x g x g p

(1.15)

Em outras palavras se ( )lim 0→

≠x p

g x , o limite ( )( )

lim→x p

f xg x

deve ser calculado por

substituição direta.



29

Exemplo Resolvido 1.2.10. Ache 3

22

2 7lim3→

−−x

xx

.

Solução. Como ( )2

2lim 3 1 0→

− = ≠x

x , então o limite deve ser calculado por

substituição direta, logo:

( )( )

33

2 22

2 2 72 7lim 93 2 3→

−−= =

− −x

xx


1lim2 4x

xx−→−

+−

.

Solução. Inicialmente tem que ser usado o fato de que o limite da raiz cúbica é

a raiz cúbica do limite, ou seja:

3 32 2

1 1lim lim2 4 2 4x x

x xx x− −→− →−

+ +=

− −

Agora se calcula o limite da função racional e devido ao fato de que

( )2

lim 2 4 8 0x

x−→−

− =− ≠ , então:

( )2

1 2 1 1lim2 4 2 2 4 8x

xx−→−

+ − += =

− − −

Logo,

3 332 2

1 1 1 1lim lim2 4 2 4 8 2x x

x xx x− −→− →−

+ += = =

− −



30

Se ( )lim 0→

=x p

g x e ( )lim 0→

=x p

f x , então o numerador e denominador

terão um fator comum ( )−x p e o limite pode, freqüentemente, ser calculado

cancelando-se primeiro os fatores comuns. Se ( )−x p é fator de ( )f x então

( ) ( ) ( )= −f x x p F x e se ( )−x p é fator de ( )g x então ( ) ( ) ( )= −g x x p G x ,

daí:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

lim lim lim→ → →

−= =

−x p x p x p

f x x p F x F xg x x p G x G x

(1.16)


3

9lim3→

−−x

xx

.


lim 3 0→

− =x

x e ( )2

3lim 9 0→

− =x

x , então, há um fator comum

( )3−x , logo,

( )( ) ( )2

3 3 3

3 39lim lim lim 3 63 3→ → →

− +−= = + =

− −x x x

x xx xx x


21

1lim2 1+→−

++ −x

xx x

.


1lim 2 1 0

+→−+ − =

xx x e ( )3

1lim 1 0

xx

+→−+ = , então, há um fator

comum ( )1x + , logo,

( )( )( )( )

23 2

21 1 1

1 11 1lim lim lim1 2 1 2 12 1+ + +→− →− →−

+ − ++ − += =

+ − −+ −x x x

x x xx x xx x xx x



31

Tem-se uma nova função racional, então, deve-se verificar se o

limite do denominador é igual à zero ou não. Como ( )1

lim 2 1 3x

x+→−

− =− , então, o

limite deve ser calculado por substituição direta.

( ) ( )( )

22

1

1 1 11 3lim 12 1 2 1 1 3+→−

− − −− += = =−

− − − −x

x xx

Se ( )lim 0→

=x p

g x e ( )lim 0→

≠x p

f x , então ( )( )

lim→x p

f xg x

é +∞ ou −∞ , ou

de um lado +∞ e do outro −∞ , ou vice versa. Neste caso, devem-se calcular

os limites laterais e para isso deve-se analisar o sinal da expressão ( )( )

f xg x

nas

proximidades do ponto =x p .


lim2→− +x

xx

.


lim 2 0→−

+ =x

x e ( )2

lim 2 0→−

=− ≠x

x , então, devem-se calcular os

limites laterais. Sabe-se que os limites laterais são do tipo ∞ , então resta saber

o sinal.

(i) Quando x se aproxima de 2− pela esquerda, 2<−x o que implica que

2 0+ <x e como nas proximidades de 2= −x tem-se 0<x , então, tem-se que

02

xx

>+

. Daí pode-se concluir que:

2lim

2−→−=+∞

+x

xx



32

(ii) Quando x se aproxima de 2− pela direita, 2>−x o que implica que

2 0+ >x e como nas proximidades de 2= −x tem-se 0<x , então, tem-se que

02

xx

<+

. Daí pode-se concluir que:

2lim

2x

xx+→−

=−∞+

Um modo mais prático de resolver estes limites é através da análise

do sinal da expressão 2+

xx

, que é dado pela figura 1.12:

Figura 1.12

Logo, pode-se concluir que:

2lim

2−→−=+∞

+x

xx

e 2

lim2−→−=−∞

+x

xx

.

Em alguns casos de limites envolvendo funções com radicais, pode-

se usar um procedimento semelhante ao utilizado no cálculo para funções

racionais. Neste caso deve-se simplificar a expressão do limite através da

fatoração dos termos.



33


3lim1 2 1x

x

x x+→ + − +.


0lim 1 2 1 0

xx x

+→+ − + = e ( )

0lim 3 0

xx

+→= , então para resolver

este limite deve-se simplificar a expressão do limite. Ou seja:

2

2 2 2

3 3 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

x x x x

x x x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + + − + + + +⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( ) ( )

( )2 2

2 222

3 1 2 1 3 1 2 1

1 2 11 2 1

x x x x x x

x xx x

+ + + + + += =

+ − −+ − +

( ) ( )( )

2 2

2

3 1 2 1 3 1 2 1

22

x x x x x x

x xx x

+ + + + + += =

−−

( )23 1 2 1

2

x x

x

+ + +=

−

Logo, tem-se:

( )2

20 0

3 1 2 13lim lim21 2 1x x

x xxxx x+ +→ →

+ + +=

−+ − +

Como ( )0

lim 2 2 0x

x+→

− =− ≠ , pode-se calcular o limite através da

substituição direta, isto é:

( ) ( ) ( ) ( )22

0

3 0 1 2 0 13 1 2 1 3 2lim 3

2 0 2 2x

x x

x+→

⎛ ⎞+ + ++ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠= = =−

− − −

Daí tem-se:

20

3lim 31 2 1x

x

x x+→=−

+ − +



34

Para se calcular os limites no infinito de uma função racional devem-

se dividir numerador e denominador pela potência mais alta de x que aparece

no denominador, logo todas as potências de x tornam-se constantes ou

potências de 1x

.

Exemplo Resolvido 1.2.16. Calcule 3 5lim4 6→−∞

−−x

xx

.

Solução. Divide-se numerador e denominar por x , daí:

55 lim 333 5 3 0 3 1lim lim 4 44 6 0 6 6 26 lim 6

x

x x

x

x xxx

x x

→−∞

→−∞ →−∞

→−∞

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟− −⎝ ⎠= = = = = −− − −⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Exemplo Resolvido 1.2.17. Ache 2

3 23 2 5lim

5 7 1→+∞

+ −− − +x

x xx x x

.

Solução. Divide-se numerador e denominar por 3x , daí:

2 2 3

3 2

2 3

3 2 53 2 5lim lim 7 1 15 7 1 5x x

x x x x xx x x

x x x→+∞ →+∞

+ −+ −=

− − + − − +

2 3

2 3

3 2 5lim0 0 0 0 0

7 1 1 5 0 0 0 5lim 5

x

x

x x x

x x x

→+∞

→+∞

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ + −⎝ ⎠= = = =− − +⎛ ⎞− − +⎜ ⎟

⎝ ⎠



35

Outra maneira de se resolver estes limites é considerando o fato de

que como uma função racional é uma razão entre dois polinômios e como o

polinômio se comporta como seu termo de maior grau no infinito, logo se

( ) ( )0 1 ... 0nn nf x a a x a x a= + + + ≠ e ( ) ( )0 1 ... 0m

m mg x b b x b x b= + + + ≠ , então:

( )( )

0 1

0 1

...lim lim lim...

n nn n

m mx x xm m

f x a a x a x a xg x b b x b x b x→−∞ →−∞ →−∞

+ + += =

+ + + (1.17)

e

( )( )

0 1

0 1

...lim lim lim...

n nn n

m mx x xm m

f x a a x a x a xg x b b x b x b x→+∞ →+∞ →+∞

+ + += =

+ + + (1.18)

Ou seja, uma função racional comporta-se quando x →+∞ e

x →−∞ , como a razão entre os termos de mais alto grau no numerador e no

denominador.

Exemplo Resolvido 1.2.18. Ache 4 3 2

3 27 2 5lim

6 8 13→−∞

+ −− + − +x

x x xx x x

.

Solução. Usando o fato anterior tem-se:

( )4 3 2 4

3 2 37 2 5 7lim lim lim 7

6 8 13→−∞ →−∞ →−∞

+ −= = − =+∞

− + − + −x x x

x x x x xx x x x

Exemplo Resolvido 1.2.19. Calcule:

(a)2

2 3lim1→+∞

−

+x

x

x (b)

2

2 3lim1→−∞

−

+x

x

x



36

Em ambos os itens, seria mais prático manipular a função de forma

que as potências de x se tornem potências de 1 x . Podem-se conseguir isto

em ambos os termos dividindo-se numerador e denominador por x e

lembrando do fato que 2x x= .

Solução (a). Dividindo, então, numerador e denominador por x , tem-se

2 2

2 32 3lim lim

1 1→+∞ →+∞

−−

=+ +x x

xxx

x xx

Como 2=x x e para 0>x tem-se =x x , daí:

2

2 2 2

2 3 2 22 lim 3 lim 33 3lim lim 311 1 11 1 lim 1 lim 1

x x

x x

x x

xx x xx

xx x xx

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Solução (b). Fazendo o mesmo procedimento adotado no item (a), então:

2 2

2 32 3lim lim

1 1→−∞ →−∞

−−

=+ +x x

xxx

x xx

Como 2=x x e para 0<x tem-se =−x x , daí:

2

2 2 2

2 3 2 22 lim 3 lim 33 3lim lim 311 1 11 1 lim 1 lim 1

x x

x x

x x

xx x xx

xx x xx

→−∞ →−∞

→−∞ →−∞

→−∞ →−∞

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠



37

No caso de limite de funções definidas por partes, devem-se calcular

separadamente os limites laterais e verificar a existência do limite bilateral (ver

teorema 1.1.1).

Exemplo Resolvido 1.2.20. Seja ( ) 2

2 1 1

4 1

− >−⎧⎪=⎨+ <−⎪⎩

x se xf x

x x se x, então calcule,

caso exista, ( )1

lim→−x

f x .

Solução. Como a função é definida por parte devem-se calcular os limites

laterais. Logo,

( ) ( ) ( ) ( )22

1 1lim lim 4 1 4 1 3

x xf x x x

− −→− →−= + = − + − =−

e

( ) ( ) ( )1 1

lim lim 2 1 2 1 1 3x x

f x x+ +→− →−

= − = − − =−

Como ( ) ( )1 1

lim 3 lim− +→− →−

= − =x x

f x f x , implica que existe o limite e seu

valor é dado por: ( )1

lim 3→−

= −x

f x .

Exemplo Resolvido 1.2.21. Seja ( )

3 23 1 20 2

2 2

⎧ − + <⎪

= =⎨⎪ + >⎩

x x se xg x se x

x se x

, então calcule,

caso exista, ( )2

lim→x

g x .

Solução. Como a função é definida por parte devem-se calcular os limites

laterais. Logo,

( ) ( ) ( ) ( )3 23 2

2 2lim lim 3 1 2 3 2 1 3

x xg x x x

− −→ →= − + = − + =−



38

e

( ) ( ) ( )2 2 2

lim lim 2 lim 2 2 2 2x x x

g x x x+ − −→ → →

= + = + = + =

Como ( ) ( )2 2

lim 3 2 lim− +→ →

= − ≠ =x x

g x g x , implica que não existe o limite

( )2

lim→x

g x .

Exemplo Resolvido 1.2.22. Seja a função ( ) 2

2

2 1 0

1 0 2

1 22

x se x

f x x se x

x se x

⎧⎪ − <⎪⎪= − < <⎨⎪⎪ + >⎪⎩

.

Determine, caso existam, ( )0

limx

f x→

e ( )2

limx

f x→

.

Solução. Inicialmente verifica-se a existência de ( )0

limx

f x→

através do cálculo

dos limites laterais. Isto é,

( ) ( )0 0

lim lim 2 1 1x x

f x x− −→ →

= − =−

e

( ) ( )2

0 0lim lim 1 1

x xf x x

+ +→ →= − =−

Como ( ) ( )0 0

lim 1 limx x

f x f x− +→ →

=− = , tem-se que ( )0

lim 1x

f x→

=− .

Faz-se o mesmo para verificar a existência de ( )2

limx

f x→

. Isto é,

( ) ( )2

2 2lim lim 1 3

x xf x x

− −→ →= − =

e

( )2

2 2lim lim 1 3

2x x

xf x+ +→ →

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Como ( ) ( )2 2

lim 3 limx x

f x f x− +→ →

= = , tem-se que ( )2

limx

f x→

.



39

1.3 Limites: Uma definição matemática

A definição de limite dada na seção 1.1 deste módulo foi baseada na

intuição de como o significado dos valores de uma função fica cada vez mais

próximo de um valor limitante. Porém, esta definição é muito imprecisa e

inadequada para alguns propósitos, logo se torna necessário uma definição

mais precisa de um ponto de vista matemático.

Par isso considere a função { }: − →f R p R cujo gráfico é dado é

apresentado na figura 1.13 e para o qual ( )f x L→ quando x p→ .

Figura 1.13

Escolhe-se um número positivo, ε , e traçam-se duas retas

horizontais que passam pelos pontos L ε− e L ε+ , no eixo y , para a curva

( )y f x= e, então, retas verticais daqueles pontos da curva para o eixo x (ver

figura 1.14) e sejam 0x e 1x os pontos onde as retas verticais interseccionam o

eixo x .



40

Figura 1.14

Fazendo x se aproximar cada vez mais de p , por qualquer um dos

lados, tem-se que logo x estará no intervalo ( )0 1,x x ; quando isto ocorre, o

valor de ( )f x estará entre L ε− e L ε+ (ver figura 1.15). Ou seja, se

( )f x L→ quando x p→ , então para qualquer 0ε > tem-se um intervalo

aberto ( )0 1,x x no eixo x , com ( )0 1,p x x∈ e com a propriedade que para cada

( )0 1,x x x∈ , exceto possivelmente x p= , tem-se ( ) ( ),f x L Lε ε∈ − + .

Figura 1.15



41

Definição 1.3.1 (1ª versão preliminar). Seja ( )f x uma função definida em

todo x de algum intervalo aberto que contenha o número p , com a possível

exceção de que ( )f x não precisa ser definida em p . Escreve-se:

( )limx p

f x L→

= (1.19)

se dado 0ε > , pode-se encontrar um intervalo aberto ( )0 1,x x que contenha p

de modo que ( )f x satisfaça

( )L f x Lε ε− < < + (1.20)

para cada ( )0 1,x x x∈ , com a possível exceção de x p= .

Observa-se através da figura 1.15 que o intervalo ( )0 1,x x amplia-se

mais à direita que à esquerda. Então, para muitos fins é preferível ter um

intervalo com a mesma distância de p . Escolhe-se um número positivo δ

menor do que 1x p− e 0p x− , e considere o intervalo ( ),p pδ δ− + que se

ampliam à mesma distância de p , em ambos os lados.

Uma vez que a condição ( )L f x Lε ε− < < + é válida para o

intervalo ( )0 1,x x e como ( ) ( )0 1, ,p p x xδ δ− + ⊂ , então esta condição também

é válida para o intervalo ( ),p pδ δ− + , como mostrado na figura 1.16.



42

Figura 1.16

Definição 1.3.2 (2ª versão preliminar). Seja ( )f x uma função definida em

todo x de algum intervalo aberto que contenha o número p , com a possível

exceção de que ( )f x não precisa ser definida em p . Escreve-se:

( )limx p

f x L→

= (1.21)

se dado 0ε > , pode-se achar um número 0δ > tal que ( )f x satisfaça

( )L f x Lε ε− < < + (1.22)

para cada ( ),x p pδ δ∈ − + , com a possível exceção de x p= .

A condição ( )L f x Lε ε− < < + pode ser expressa como

( )f x L ε− <

e a condição que x está situado no intervalo ( ),p pδ δ− + , mas x p≠ , pode

ser expressa como:

0 x p δ< − <



43

Definição 1.3.3 (versão final). Seja ( )f x uma função definida em todo x de

algum intervalo aberto que contenha o número p , com a possível exceção de

que ( )f x não precisa ser definida em p . Escreve-se:

( )limx p

f x L→

= (1.23)

se dado 0ε > , pode-se achar um número 0δ > tal que

( )f x L ε− < se 0 x p δ< − < (1.24)

Exemplo Resolvido 1.3.1. Prove que ( )3

lim 2 5 1x

x→

− = .

Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo ε , pode-se

encontrar um número positivo δ tal que:

( )2 5 1x ε− − < se 0 3x δ< − <

simplificando tem-se:

2 6x ε− < se 0 3x δ< − <

( )2 2x ε− − < se 0 3x δ< − <

2 3x ε− − < se 0 3x δ< − <

2 3x ε− < se 0 3x δ< − <

32

x ε− < se 0 3x δ< − < , logo fica evidente que

2εδ = .



44


lim 4 3 2x

x→

− =− .



( ) ( )4 3 2x ε− − − < se 0 2x δ< − <

6 3x ε− < se 0 2x δ< − <

( )3 2x ε− − < se 0 2x δ< − <

3 2x ε− − < se 0 2x δ< − <

3 2x ε− < se 0 2x δ< − <

23

x ε− < se 0 2x δ< − < , logo fica evidente que

3εδ = .


lim 7 12 5x

x→−

+ = .



( )7 12 5x ε+ − < se ( )0 1x δ< − − <

7 7x ε+ < se 0 1x δ< + <

( )7 1x ε+ < se 0 1x δ< + <

7 1x ε+ < se 0 1x δ< + <

27

x ε+ < se 0 1x δ< + < , logo fica evidente que

7εδ = .



45

O valor de δ não é único, ou seja, uma vez achado um valor de δ

que preenche as condições da definição 1.3.3, então, qualquer 1 0δ > , menor

que δ , também satisfaz estas condições. Isto é, se é verdade que:

( )f x L ε− < se 0 x p δ< − <

então também será verdade que

( )f x L ε− < se 10 x p δ< − <


1lim 1 2x

x→

+ = .



( )2 1 2x ε+ − < se 0 1x δ< − <

2 1x ε− < se 0 1x δ< − <

Como ( )( )2 1 1 1x x x− = + − , então:

1 1x x ε+ − < se 0 1x δ< − <

ou

11

− <+

xxε

se 0 1x δ< − <

Para garantir esta afirmação, necessita-se achar um δ que

“controle” o tamanho de ambos os fatores do lado esquerdo, pois o lado direito

dá um “controle” do tamanho de 1x − , mas não de 1x + .

Para contornar isto, pode-se fazer uma restrição quando ao valor de

δ , ou seja, escolhendo δ tal que 1δ ≤ , tem-se:

1 1 1 1 1 0 2 1 1 3x x x x− < ⇒ − < − < ⇒ < < ⇒ < + <



46

o que implica:

1 3x + <

resultando

13

x ε− < se 0 1x δ< − <

Assim pode-se tomar 3εδ = (ou menos), sujeito à restrição 1δ ≤ . Ou

seja, pode-se obter isto tomando δ como o mínimo entre 3εδ = e 1 , escrito

como min ,13εδ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Definição 1.3.4. Seja ( )f x definida em todo x que pertence a algum intervalo

aberto infinito, o qual se estende na direção positiva do eixo x . Escreve-se:

( )limx

f x L→+∞

= (1.25)

se dado 0ε > , há um correspondente 0N > , tal que

( )f x L ε− < se x N> (1.26)



47

Figura 1.17

Em outras palavras, se for permitido x crescer indefinidamente,

então subseqüentemente x irá estar no intervalo ( ),N +∞ , marcado pela faixa

escura da figura 1.17; quando isto ocorrer os valores de ( )f x estarão entre

L ε− e L ε+ , marcado pela faixa clara da figura 1.17.


aberto infinito, o qual se estende na direção negativa do eixo x . Escreve-se:

( )limx

f x L→−∞

= (1.27)

se dado 0ε > , há um correspondente 0N < , tal que

( )f x L ε− < se x N< (1.28)



48

Figura 1.18

Em outras palavras, se for permitido x decrescer indefinidamente,

então subseqüentemente x irá estar no intervalo ( ), N−∞ , marcado pela faixa

escura da figura 1.18; quando isto ocorrer os valores de ( )f x estarão entre

L ε− e L ε+ , marcado pela faixa clara da figura 1.18.

Exemplo Resolvido 1.3.5. Prove 1lim 0

x x→+∞= .

Solução. Aplicando a definição tem-se:

1 0x

ε− < se x N>

1x

ε< se x N>

Como x →+∞ então 0x> e podem-se eliminar os valores

absolutos nas afirmações acima. Logo, tem-se:

1x

ε< se x N>



49

ou seja,

1xε

> se x N>

Daí é evidente que 1Nε

= .


aberto contendo p , exceto que ( )f x não precisa estar definida em p .

Escreve-se:

( )limx p

f x→

=+∞ (1.29)

se dado 0M > , pode-se achar 0δ > , tal que:

( )f x M> se 0 x p δ< − < (1.30)

Figura 1.19

Em outras palavras, supondo que ( )f x → +∞ quando x p→ , e

para 0M > seja 0δ > o número correspondente descrito na definição 1.3.6.



50

Logo, se x aproxima-se de p , por qualquer lado,

subseqüentemente estará no intervalo ( ),p pδ δ− + , marcado pela faixa clara

da figura 1.19; quando isto ocorrer, os valores de ( )f x serão maiores do que

M , marcado pela faixa escura da figura 1.19.


aberto contendo p , exceto que ( )f x não precisa estar definida em p .

Escreve-se:

( )limx p

f x→

=−∞ (1.31)

se dado 0M < , pode-se achar 0δ > , tal que:

( )f x M< se 0 x p δ< − < (1.32)

Figura 1.20

Em outras palavras, supondo que ( )f x →−∞ quando x p→ , e

para 0M < seja 0δ > o número correspondente descrito na definição 1.3.7.



51

Logo, se x aproxima-se de p , por qualquer lado,

subseqüentemente estará no intervalo ( ),p pδ δ− + , marcado pela faixa clara

da figura 1.20; quando isto ocorrer, os valores de ( )f x serão menores do que

M , marcado pela faixa escura da figura 1.20.

Exemplo Resolvido 1.3.6. Prove que 20

1limx x→

=+∞ .

Solução. Deve-se mostrar que dado um número 0M > , pode-se achar um

0δ > tal que:

21 Mx

> se 0 0x δ< − <

ou simplificando

2 1xM

< se 0 x δ< <

mas, 2 1 1x xM M

< ⇒ < , logo 1M

δ = .



52

1.4 Continuidade

Para se falar em continuidade é necessário antes entender a

significado de descontinuidade em um ponto. Por exemplo, sejam os seguintes

gráficos apresentados na figura 1.21.

Figura 1.21

Em (a) tem-se que o gráfico da função apresenta uma

descontinuidade em x p= , mesmo sendo definida neste ponto. Isto se deve ao

fato dos limites laterais neste ponto serem diferentes, ou seja,

( ) ( )lim limx p x p

f x L M f x− +→ →

= ≠ = , o que implica que não existe ( )limx p

f x→

.



53

Em (b) tem-se que o gráfico da função apresenta uma

descontinuidade em x p= , mas neste caso existe ( )limx p

f x L→

= . Isto se deve

ao fato de a função não ser definida em x p= , ou seja, não existe ( )f p .

Em (c) a função é definida em x p= e existe ( )limx p

f x L→

= , porém a

função apresenta uma descontinuidade neste ponto. Isto se deve ao fato da

imagem de p ser diferente do limite de ( )f x quando x tende a p , ou seja,

( ) ( )limx p

f x L f p→

= ≠ .

Em (d) a função apresenta uma descontinuidade em x p= , mesmo

sendo definida neste ponto. Isto se deve ao fato da função crescer

indefinidamente quando x se aproxima de p , por ambos os lados, ou seja,

( )limx p

f x→

=+∞ . Este caso é chamado de descontinuidade infinita.

Da análise dos gráficos da figura 1.21 pode-se chegar à conclusão

que para uma função não ser descontínua em x p= , é necessário que a

função seja definida em x p= , ( )f p∃ , é necessário que o limite de f

quando x tende a p exista, ( )limx p

f x→

∃ , e que ( ) ( )limx p

f x f p→

= .

Em outras palavras, para que uma função ( )f x seja contínua em

um ponto x p= , ( )p D f∈ , é necessário que as seguintes condições sejam

satisfeitas:

1. Exista ( )f p .

2. Exista ( )limx p

f x L→

= .

3. ( ) ( )limx p

f x L f p→

= =

A definição seguinte resume estas três condições em uma única,

que englobas as demais.



54

Definição 1.4.1. Diz-se que uma função ( )f x é contínua em x p= , ( )p D f∈ ,

se, e somente se,

( ) ( )limx p

f x f p→

= (1.33)

Exemplo Resolvido 1.4.1. Determine se as funções são contínuas em 1x=− .

(a) ( )3 1 1

11 1

x se xf x xse x

⎧ +≠−⎪=⎨ +

⎪ =−⎩

(b) ( )3 1 1

13 1

x se xg x xse x

⎧ +≠−⎪=⎨ +

⎪ =−⎩

Solução (a). Como a função é definida em 1x=− , ou seja, ( )1 1f − = , verifica-

se o valor do limite,

( ) ( )3

2

1 1 1

1lim lim lim 1 31x x x

xf x x xx→− →− →−

+= = − + =

+

e como ( ) ( )1

lim 3 1 1x

f x f→−

= ≠ = − , tem-se que f é descontinua em 1x=− .

Solução (b). Como a função é definida em 1x=− , ou seja, ( )1 3g − = , verifica-

se o valor do limite,

( ) ( )3

2

1 1 1

1lim lim lim 1 31x x x

xg x x xx→− →− →−

+= = − + =

+

e como ( ) ( )1

lim 3 1x

g x g→−

= = − , tem-se que g é continua em 1x=− .

Se uma função f é contínua em cada ponto de um intervalo aberto

( ),a b , então f é contínua em ( ),a b . Isto se aplica aos intervalos abertos

infinitos da forma ( ),a +∞ , ( ),b−∞ e ( ),−∞ +∞ . No caso da função ser contínua

em ( ),−∞ +∞ , então é dito que f é contínua em toda parte, ou na reta toda.



55

Exemplo Resolvido 1.4.2. Determine se a função ( )2 2 11 1

2 1

x x se xh x

se xx

⎧ + ≤−⎪=⎨

>−⎪ +⎩

é

contínua em 1x=− .

Solução. Tem-se que ( )1 1h − =− , logo se verifica a existência de ( )1

limx

h x→−

.

Como a função é definida por partes, então, para que ( )1

limx

h x→−

exista é necessário que ( ) ( )1 1

lim limx x

h x h x− +→− →−

= . Daí,

( ) ( )2

1 1lim lim 2 1

x xh x x x

− −→− →−= + =−

e

( )1 1

1lim lim 12 1x x

h xx+ −→− →−

⎛ ⎞= =−⎜ ⎟+⎝ ⎠

Como ( ) ( )1 1

lim 1 limx x

h x h x− +→− →−

=− = implica que ( )1

lim 1x

h x→−

=− . Daí

tem-se que ( ) ( )1

lim 1 1x

h x h→−

=− = − , então, pode-se concluir que h é contínua

em 1x=− .

Exemplo Resolvido 1.4.3. Mostre que as funções são descontínuas em p .

(a) ( )2

2 1 22 2 2

1 2

x se xg x se x p

x x se x

⎧ − >⎪

= = =⎨⎪ − + <⎩

(b) ( )3

2

1 11

1

x x se xh x p

x x se x

⎧ − + ≤−⎪= =−⎨+ >−⎪⎩



56

Solução (a). A função é definida em 2x= , ou seja, ( )2 2g = .

A função é definida por parte, o que torna necessário o cálculo dos

limites laterais, para verificar a existência do limite bilateral. Então:

( ) ( )2

2 2lim lim 1 3

x xg x x x

− −→ →= − + =

e

( ) ( )2 2

lim lim 2 1 3x x

g x x+ +→ →

= − =

como ( ) ( ) ( )22 2

lim 3 lim lim 3xx x

g x g x g x− + →→ →

= = ⇒ = .

Por outro lado como ( ) ( )2

lim 3 2 2x

g x g→

= ≠ = a função é descontínua

em 2x= .

Neste exemplo para tornar a função contínua em 2x= , basta

assumir que a função assume o valor de 3 quando 2x= , ou seja, assume-se

que ( )2 3g = . Quando o limite existe, pode-se remover esta descontinuidade,

se houver necessidade, assumindo o valor da imagem do ponto como sendo o

valor do limite neste ponto. Esta descontinuidade é chamada de

descontinuidade removível.

Solução (b). A função é definida em 1x=− , ou seja, ( )1 1h − = .

Novamente a função é definida por partes, então, devem-se

determinar os limites laterais, para verificar a existência do limite bilateral. Daí,

( ) ( )3

1 2lim lim 1 1

x xh x x x

− −→− →= − + =

e

( ) ( )2

1 1lim lim 0

x xh x x x

+ +→− →−= + =

como ( ) ( ) ( )11 1

lim 1 0 lim limxx x

h x h x h x− + →−→− →−

= ≠ = ⇒ ∃ .

Logo a não existência do limite garante a descontinuidade em

1x=− .



57

Neste exemplo não há o que ser feito para tornar a função contínua

em 1x=− , ou seja, a função é sempre descontínua neste ponto. Este tipo de

descontinuidade é chamada de descontinuidade essencial.

Teorema 1.4.1. Os polinômios são contínuos em toda parte.

Prova. Seja o polinômio

( ) 0 1 ... nnp x a a x a x= + + +

então, para cada ( ),c∈ −∞ +∞ , tem-se:

( ) ( )limx c

p x p c→

=

que é a própria definição de continuidade em cada c real. Logo ( )p x é

contínuo em ( ),−∞ +∞ , ou seja, em toda parte.

Exemplo Resolvido 1.4.4. Mostre que x é contínua em toda parte.

Solução. Pode-se escrever a função x como:

00

x se xx

x se x− <⎧

=⎨ ≥⎩

Logo no intervalo ( ),0−∞ , x é o polinômio x− , então, pelo teorema

1.4.1 a função modular é contínua em ( ),0−∞ , enquanto que no intervalo

( )0,+∞ x é o polinômio x , então, pelo teorema 1.4.1 a função modular é

contínua em ( )0,+∞ . Daí tem-se que a função x é contínua em

( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ .

Agora, basta verificar no ponto 0x= . Neste caso devem-se calcular

os limites laterais.



58

( )0 0

lim lim 0x x

x x− −→ →

= − =

e

( )0 0

lim lim 0x x

x x+ +→ →

= =

daí, tem-se que 0

lim 0 0x

x→

= = , então, pode-se concluir que a função x é

contínua em toda parte.

Teorema 1.4.2. Se as funções f e g são contínuas em x p= , então:

(a) f g± é contínua em x p= .

(b) f g⋅ é contínua em x p= .

(c) fg

é contínua em x p= se ( ) 0g p ≠ .

Prova (a). Por hipótese f e g são contínuas em x p= , logo ( ) ( )limx p

f x f p→

=

e ( ) ( )limx p

g x g p→

= .

(i) Define-se uma função ( ) ( ) ( )x f x g xψ = + , então,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim limx p x p x p x p

x f x g x f x g x f p g p pψ ψ→ → → →

= + = + = + =⎡ ⎤⎣ ⎦

logo, a função ψ é contínua em x p= .

(ii) Define-se uma função ( ) ( ) ( )x f x g xψ = − , então,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim limx p x p x p x p

x f x g x f x g x f p g p pψ ψ→ → → →

= − = − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

logo, a função ψ é contínua em x p= .

Prova (b). Deve ser feita como exercício.

Prova (c). Deve ser feita como exercício.



59

Corolário 1.4.2.1. Se as funções ( )1f x , ( )2f x ,...., ( )nf x são contínuas em

x p= , então:

(a) 1 2 ... nf f f± ± ± é contínua em x p= .

(b) 1 2 ... nf f f⋅ ⋅ ⋅ é contínua em x p= .

Prova (a). Deve ser feita como exercício.

Prova (b). Se as funções ( )1f x , ( )2f x ,...., ( )nf x , então, respectivamente,

tem-se ( ) ( )1 1limx p

f x f p→

= , ( ) ( )2 2limx p

f x f p→

= ,..., ( ) ( )lim n nx pf x f p

→= .

Define-se ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nx f x f x f xψ = ⋅ ⋅ ⋅ , daí:

( ) ( ) ( ) ( )1 2lim lim ... nx p x px f x f x f xψ

→ →= ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2lim lim ... lim nx p x p x pf x f x f x

→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nf p f p f p pψ= ⋅ ⋅ ⋅ =

Então, como ( ) ( )limx p

x pψ ψ→

= , logo, a função

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nx f x f x f xψ = ⋅ ⋅ ⋅ é contínua em x p= .

Corolário 1.4.2.2. Uma função racional é contínua em toda parte, exceto nos

pontos onde o denominador for zero.

Prova. Semelhante a prova da parte (c) do teorema 1.4.2.

Exemplo Resolvido 1.4.5. Prove que a função ( )2

4 27 1x xf x

x x+

=+ +

é contínua

em toda parte.



60

Solução. De acordo com o corolário 1.4.2.2 uma função racional é contínua

exceto nos pontos onde o denominador é zero. Logo para mostrar que a função

f basta mostrar que o denominador nunca é zero, isto é que a equação não

tem solução:

4 27 1 0x x+ + =

A equação acima é uma equação biquadrada, logo, fazendo 2z x= ,

tem-se a equação do 2º grau abaixo:

2 7 1 0z z+ + =

Daí, usando a Fórmula de Báskara:

( ) ( ) ( )( )( )

27 7 4 1 1 7 49 4 7 452 1 2 2

z− ± − − ± − − ±

= = =

dando:

17 45

2z − −= e 2

7 452

z − +=

Como 6 45 7< < , então, 1z e 2z são ambos negativos não há

solução para:

21

7 452

x − −= e 2

27 45

2x − −

=

Pode-se concluir que a equação 4 27 1 0x x+ + = não tem solução

real, o que implica que a expressão 2

4 27 1x x

x x+

+ + não apresenta zeros no

denominador, conseqüentemente a função f é contínua em toda parte.



61

Teorema 1.4.3. Suponha que lim simboliza um dos limites limx p→

, limx p−→

, limx p+→

,

limx→+∞

e limx→−∞

. Se ( )lim g x L= e se a função f for contínua em L , então:

( )( ) ( )lim f g x f L= (1.34)

Isto é,

( )( ) ( )( )lim limf g x f g x= (1.35)

Em outras palavras o que o teorema 1.4.3 afirma é que um símbolo

de limite pode passar pelo sinal da função desde que o limite da expressão

dentro desse sinal exista e a função seja contínua neste limite.

Corolário 1.4.3.1.

(a) Se a função g for contínua em p e a função f for contínua em ( )g p ,

então fog é contínua em p .

(b) Se a função g for contínua em toda parte e a função f , também, for

contínua em toda parte, então fog é contínua em toda parte.

Prova (a). Para provar que a função fog é contínua em p , basta provar que o

valor de fog e o valor de seu limite em x p= são os mesmos.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )lim lim limx p x p x p

fog x f g x f g x f g p fog p→ → →

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Prova (b). Dever ser feita como exercício.



62

Definição 1.4.2. Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado

[ ],a b , se as seguintes condições são satisfeitas:

(a) f é contínua em ( ),a b .

(b) f é contínua à direita em a , ou seja, ( ) ( )limx a

f x f a+→

= .

(c) f é contínua à direita em b , ou seja, ( ) ( )limx b

f x f b−→

= .

Figura 1.22

Teorema 1.4.4 (Teorema do Valor Intermediário). Se f for contínua em um

intervalo fechado [ ],a b e k é um número qualquer entre ( )f a e ( )f b ,

inclusive, então há, no mínimo, um número c no intervalo [ ],a b tal que

( )f c k= .



63

Figura 1.23

Teorema 1.4.5 (Teorema de Bolzano). Se f for contínua em [ ],a b , e se

( )f a e ( )f b forem diferentes de zero e tiverem sinais opostos, então há, no

mínimo, um número c no intervalo ( ),a b tal que ( ) 0f c = .

Figura 1.24



64

Prova. Considere o caso em que ( ) 0f a > e ( ) 0f b < , como mostra a figura

1.24. Então, por hipótese f é contínua em [ ],a b e 0 está entre ( )f a e ( )f b ,

logo pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um [ ],c a b∈ tal

que ( ) 0f c = . Contudo como ( )f a e ( )f b são diferentes de zero, então, c

está situado em ( ),a b , o que completa a prova.

Exemplo Resolvido 1.4.6. Prove que a função ( ) 3 1f x x x= + + , tem pelo

menos uma raiz real.

Solução. Para provar que f possui ao menos uma raiz real, deve-se encontrar

um intervalo fechado no qual se tenha as hipóteses do Teorema de Bolzano.

Inicialmente considera-se o intervalo [ ]0,1 , daí tem-se:

( ) ( ) ( )30 0 0 1 1 0f = + + = >

( ) ( ) ( )31 1 1 1 3 0f = + + = >

Como não satisfaz as condições do teorema de Bolzano, deve-se

escolher um outro intervalo. Considerando agora o intervalo [ ]1,0− , então:

( ) ( ) ( )31 1 1 1 1 0f − = − + − + =− <

( ) ( ) ( )30 0 0 1 1 0f = + + = >

Neste caso como a função ( ) 3 1f x x x= + + é contínua em [ ]1,0− e

( )1f − é negativo e ( )0f é positivo, tem-se pelo Teorema de Bolzano que a

função f apresenta pelo menos uma raiz real no intervalo ( )1,0− .



65

1.5 Limites e Continuidade das Funções Trigonométricas

Teorema 1.5.1 (Teorema do Confronto). Sejam f , g e h funções que

satisfazem à desigualdade:

( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ (1.36)

para todo x de algum intervalo aberto que contenha o ponto p , com a possível

exceção que a desigualdade não precisa ser válida em x p= . Se,

( ) ( )lim limx p x p

g x L h x→ →

= = (1.37)

então:

( )limx p

f x L→

= (1.38)

Na figura 1.25 tem-se uma interpretação geométrica para o teorema

do confronto.

Figura 1.25



66

Exemplo Resolvido 1.5.1. Suponha que 2 21 4 ( ) 4 9,x x F x x x+ − ≤ ≤ − + para

2x ≠ . Encontre o valor de 2

lim ( )→x

F x .

Solução. Para qualquer intervalo aberto contendo 2=x , tem-se

( ) ( ) ( )≤ ≤g x F x h x , onde ( ) 21 4= + −g x x x e ( ) 2 4 9= − +h x x x . Logo, pode-se

usar o teorema do confronto para encontrar o limite solicitado, isto é,

( ) ( )2

2 2lim lim 1 4 5→ →

= + − =x x

g x x x

e

( ) ( )2

2 2lim lim 4 9 5→ →

= − + =x x

h x x x

então, pelo teorema do confronto tem-se que:

2lim ( ) 5→

=x

F x

Teorema 1.5.2. Se p é um número no domínio natural da função

trigonométrica, então:

(a) limx p

senx senp→

= (b) lim cos cosx p

x p→

=

(c) limx p

tgx tgp→

= (d) limx p

cotgx cotgp→

=

(e) lim sec secx p

x p→

= (f) lim cossec cossecx p

x p→

=

Do teorema 1.5.2, pode-se concluir que as funções seno e cosseno

são contínuas em toda parte e as demais funções trigonométricas são

contínuas em todos os pontos em que elas são definidas.



67

Prova (a). Para se provar que limx p

senx senp→

= , basta provar que

( )lim 0x p

senx senp→

− = .

Da trigonometria, tem-se:

0 2 cos 2cos2 2 2 2

x p x p x p x psenx senp sen sen− + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mas como 2 2

x p x psen − −⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

e 2cos 22

x p−⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo,

0 2 02

x psenx senp senx senp x p−≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ −

Como, ( )lim 0 0x p→

= e lim 0x p

x p→

− = , então pelo teorema do confronto

tem-se que lim 0x p

senx senp→

− = e, portanto, ( )lim 0x p

senx senp→

− = o que

completa a prova.

Provas (b), (c), (d), (e) e (f). Ficam como exercício.

Exemplo Resolvido 1.5.2. Ache os limites.

(a) ( )2

4

lim secx

xπ +

→

(b) ( )lim cos 1x

xπ→

+

Solução (a).

( ) ( )2

2 22

4 4

lim sec lim sec sec 2 24

x x

x xπ π

π+ +

→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Solução (b).

( ) ( ) ( )lim cos 1 lim cos lim 1 cos 1 1 1 0x x x

x xπ π π

π→ → →

+ = + = + =− + =



68

Exemplo Resolvido 1.5.3. Ache o limite 22

2lim4x

xsenx

π→

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Solução. Como a função seno é contínua em toda parte, então:

2 22 2 2

2 2 1 2lim lim lim2 4 24 4x x x

x xsen sen sen senxx x

ππ π π→ → →

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Obs.: ( )( )2

2 2 12 2 24

x xx x xx

− −= =

− + +−

Exemplo Resolvido 1.5.4. Ache o limite 3

3

sec 8limsec 2x

xxπ

→

−−

.

Solução. A expressão do limite pode ser simplificada, isto é:

( )( )( )

232

sec 2 sec 2sec 4sec 8 sec 2sec 4sec 2 sec 2

x x xx x xx x

− + +−= = + +

− −

então:

( ) ( )3

2 2

3 3 3

sec 8lim lim sec 2sec 4 lim ec 2sec 4sec 2x x x

x x x s x xxπ π π

→ → →

− ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦−

( ) ( ) ( )2

3 3 3

lim sec lim 2sec lim 4x x x

x xπ π π

→ → →

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

22

3 3

lim sec 2 lim sec 4 sec 2 sec 43 3x x

x xπ π

π π

→ →

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )22 2 2 4 12⎡ ⎤= + + =⎣ ⎦



69

Teorema 1.5.3 (Limites Fundamentais).

(a) 0

lim 1x

senxx→

= (b) 0

1 coslim 0x

xx→

−=

Prova (a). Inicialmente, interpreta-se x como ângulo medido em radiano e que

02

x π< < , como mostrado na figura 1.26.

Figura 1.26 – Círculo Trigonométrico

Consideram-se, então, as seguintes figuras planas:

Figura 1.27



70

Da figura 1.27, pode-se concluir:

• O triângulo OBC tem uma área igual: 12

=OBCA senx .

• O setor circular OBC tem uma área igual: 12

=OBCA x .

• O triângulo retângulo ODC tem uma área igual: 12

=ODCA tgx .

Logo se verifica a seguinte desigualdade:

1 1 12 2 2

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤senx x tgx senx x tgx

dividindo tudo por senx , obtém:

11 1 coscos

≤ ≤ ⇒ ≥ ≥x senx x

senx x x

Logo, como ( )0

lim 1 1→

=x

e ( )0

lim cos 1→

=x

x , então, pelo teorema do

confronto, pode-se chegar a conclusão que 0

lim 1→

=x

senxx

.

Prova (b). Para esta prova usa-se o resultado da parte (a) do teorema 3, a

continuidade da função seno e a identidade 2 21 cossen x x= − . Isto é,

( )2

0 0 0

1 cos 1 cos 1 coslim lim lim1 cos 1 cosx x x

x x x sen xx x x x x→ → →

⎡ ⎤− − +⎡ ⎤= ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( )0 0 0

lim lim lim 1 0 01 cos 1 cosx x x

senx senx senx senxx x x x→ → →

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠



71


lim 1x

tgxx→= .

Solução. Como cossenxtgx

x= , então:

( )0

0 0 00

lim1lim lim lim 1

cos cos lim cos cos0x

x x xx

senxtgx senx senx x xx x x x x

→

→ → →→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = =

Corolário 1.5.3.1.

(a) ( )

0lim 1→

=x

sen xxα

α (b)

( )0

1 coslim 0→

−=

x

xxα

α

Prova (a). Para provar este limite, basta se fazer uma substituição da forma

u xα= . Se 0x → implica que 0u → , logo:

( )0 0

lim lim 1x u

sen x senux uα

α→ →= =

Prova (b). Deve ser feita como exercício.


(a) ( )( )0

4lim

3x

sen xsen x→

(b) ( )0

lim cot 5x

x g x→

Solução (a). Para resolver este limite, multiplica-se denominador e numerador

por 1x

.



72

Daí tem-se:

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

0

0 0 0

0

4 4 44 4 lim4 4 1 44 4lim lim lim

3 3 33 3 1 33 3lim3 3

x

x x x

x

sen x sen x sen xsen x x x x

sen x sen x sen xsen xx x x

→

→ → →

→

= = = = =

Solução (b). Neste caso, escreve-se:

( ) ( )( )

( )( )

1 cos 5cos 5 5cot 555

5

xxx g x x

sen xsen xx

= =

então:

( )( )( )

( )( )

0

0 0

0

1 1 1cos 5 lim cos 5 15 5 5lim cot 5 lim5 5 1 5

lim5 5

x

x x

x

x xx g x

sen x sen xx x

→

→ →

→

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦

= = = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 1.5.7. Determine o valor do limite limx

senxxπ π→ −

.

Solução. Como ( ) 0sen π = , então, tem-se uma forma indeterminada 0 0 . Neste

caso deve-se fazer uma substituição de modo que se possa usar um dos

limites fundamentais da trigonometria.

Fazendo a substituição u x π= − , tem-se que x u π= + ,então:

( ) { {1 0

cos cossenx sen u senu sen u senuπ π π−

= + = + =−

e se x π→ implica que 0u → , resultando:

0 0lim lim lim 1x u u

senx senu senux u uπ π→ → →

−= =− =−

−



73

Definição 1.5.1. Uma função f é dita limitada em um intervalo I se existir

um número positivo M tal que:

( )f x M≤ (1.39)

para todo x em I . Geometricamente, isto significa que o gráfico de f no

intervalo I fica entre as retas y M= − e y M= .

Figura 1.28

A figura 1.28 mostra o gráfico de uma função limitada no intervalo

fechado [ ],a b . Isto é o gráfico de ( )y f x= está compreendido entre as retas

y M=− e y M= para todo [ ],x a b∈ .



74


1lim 0x

xsenx→

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Solução. Para prova este limite deve-se recorrer ao teorema do confronto.

Como a função seno é uma função limitada (ver definição 1.5.1), tem-se:

11 1senx

⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

Daí pode-se concluir que:

1x xsen xx

⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

Como ( )0

lim 0x

x→

− = e ( )0

lim 0x

x→

= , então, pelo teorema do confronto

pode-se concluir que: 0

1lim 0x

xsenx→

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Teorema 1.5.4. Se ( )lim 0x p

f x→

= e se ( )g x M≤ para intervalo aberto no

domínio de f , contendo p , e 0M > , então:

( ) ( )lim 0x p

f x g x→

=⎡ ⎤⎣ ⎦ (1.40)

mesmo que não exista o limite ( )limx p

g x→

.

Exemplo Resolvido 1.5.9. Prove

2

1lim 2 cos 02x

xxπ

ππ→

⎛ ⎞− =⎜ ⎟−⎝ ⎠.



75

Solução. Inicialmente se prova que

2

lim 2 0x

xπ

π→

− = , então como:

2 22

2 2x se x

xx se xπ π

ππ π

− ≥⎧− =⎨ − <⎩

Tem-se que:

( )2 2

lim 2 lim 2 0x x

x xπ π

π π− −

→ →

− = − =

e

( )2 2

lim 2 lim 2 0x x

x xπ π

π π+ +

→ →

− = − =

Então se pode concluir que

2

lim 2 0x

xπ

π→

− = . Como 1cos

2x π⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

é

limitada em qualquer intervalo aberto contendo 2π

, isto é 11 cos 1

2x π⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

então pelo teorema 1.5.4 tem que

2

1lim 2 cos 02x

xxπ

ππ→

⎛ ⎞− =⎜ ⎟−⎝ ⎠.



76

Exercícios Propostos (Capítulo 1)

01) Marque a opção que indica o valor do limite 3

3

2 7 1lim4 5x

x xx→

− ++

.

a) 2 b) 0 c) 1− d) ∃ e) 2−

02) Calculando 3

2

1lim2 3x

xx→

+−

, tem-se como resposta:

a) 0 b) ∃ c) 2− d) 3 e) 1

03) O valor do limite 2

32

4 9lim2 3

x

xx+

→

−−

é dado por:

a) 5− b) 4 c) 2 d) 3− e) 6

04) Calculando-se o valor do limite 2

31

4 5lim4 3x

x xx x→

+ −− +

, obtém-se com resultado:

a) 6− b) 6 c) ∃ d) −∞ e) 7

05) Ao calcular 213

3 1lim3 10 3x

xx x+

→

−− +

, obtém-se como resultado:

a) 8− b) 38

− c) 83

d) 13

− e) 1−

06) Marque a opção que indica o valor do limite 16

4lim16x

xx→

−−

.

a) 14

− b) 18

− c) 14

d) 12

− e) 1

16

07) O valor de 2

1

2 3 2 1lim1x

x xx→−

+ − −+

é:

a) 12

b) +∞ c) −∞ d) 3 e) 3−



77

08) O valor de 2

2

1lim2x

xx→−

−+

é dado por:

a) −∞ b) +∞ c) 0 d) 1− e) 1

09) O valor de ( ) ( )3 3lim 1 1x

x x→+∞

⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦ é dado por:

a) 1 b) +∞ c) 1− d) 0 e) −∞

10) Assinale a opção que indica o valor do limite 2

22 3 6lim3 5 17x

x xx x→−∞

− −+ −

.

a) +∞ b) 4− c) −∞ d) 2− e) 4

11) Marque o valor do limite ( ) ( )2 22 2

3

2lim

x

x x x

x x→−∞

− − +

−.

a) 6− b) 5 c) 3− d) 4− e) 2

12) Qual é o valor de ( )2lim 1x

x x x→−∞

+ + + ?

a) 12

− b) 0 c) 12

d) 1 e) −∞

13) O valor do limite ( )( )0

5lim

3x

tg xtg x→

é dado por:

a) 23

b) 15

− c) 53

d) 35

− e) 13

−

14) Qual o valor de cos 1lim

x

xxπ π→

+−

?

a) 2π b) 0 c) 2π

d) π− e) 3π

−

15) Marque a opção que corresponde ao valor do limite

2

1lim2x

senxxπ π→

−−

a) π b) 1− c) 1 d) 0 e) π−



78

16) O valor do limite ( )4

limx

sen xxπ

ππ+→

⎡ − ⎤⎣ ⎦−

é dado por:

a) 4 b) 0 c) π d) π− e) 4−

17) Qual é o valor de 2

0lim

3x

x x

tg xπ

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

?

a) 3π

b) π− c) 2π d) π e) 2π

−

18) O valor do limite ( ) ( )

4

2 cos 2 1lim

cosx

sen x xsenx xπ→

− −−

é dado por:

a) 2 2 b) 2− c) 2

2 d)

22

− e) 2

19) Seja ( )2 3 2 3

2 8 3x x se xg xx se x

⎧ − − <⎪=⎨− >⎪⎩

. Qual o valor de ( )3

limx

g x→

?

a) ∃ b) 2− c) 2 d) 1 e) 1−

20) Sabe-se que ( )

22 cos 0

1 cos 0

x se xxh x

x se xsenx

π⎧ ⎛ ⎞<⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠=⎨

−⎪ >⎪⎩

. Qual o valor do limite ( )0

limx

h x→

?

a) 1− b) 1 c) 0 d) π− e) π



79

CAPÍTULO 2 – A DERIVADA

2.1 A Reta Tangente e a Derivada

Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam, como

por exemplo, a velocidade de um foguete, a inflação da moeda, a

contaminação de um rio, a temperatura da água do mar e assim adiante. Por

isso, o conceito de derivada é tão importante, e que é a ferramenta matemática

usada para estudar taxas na quais as grandezas físicas variam.

Observa-se informalmente que, traçada uma reta secante por dois

pontos distintos P e Q sobre uma curva ( )y f x= , e se for admitido que Q

move-se ao longo da curva em direção a P , então, pode-se esperar uma

rotação da reta secante em direção a uma posição limite, a qual pode ser

considerada como a reta tangente à curva no ponto P (ver figura 2.1).

Figura 2.1



80

Definição 2.1.1. Se ( )( ),P p f p é um ponto do gráfico de uma função f ,

então a reta tangente ao gráfico de f em P , também chamada de reta

tangente ao gráfico de f em p , é definida como sendo a reta que passa por

P com inclinação:

( ) ( )limtg x p

f x f pm

x p→

−=

− (2.1)

Exemplo Resolvido 2.1.1. Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico

da função ( ) 2 2f x x x= − no ponto onde 1x=− .

Solução. Usando a equação 2.1, pode-se determinar a inclinação da reta

tangente ao gráfico da função, isto é, a inclinação é dada por:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

1 1 1

2 31 2 3lim lim lim1 1 1tg x x x

x xf x f x xmx x x→− →− →−

− −− − − −= = =

− − − − +

( )( ) ( )1 1

3 1lim lim 3 4

1tg x x

x xm x

x→− →−

− += = − =−

+

A fórmula dada pela equação 2.1 pode ser escrita de uma forma

diferente, isto é se for introduzida uma nova variável h x p= − , então, tem-se

que x p h= + e, conseqüentemente, 0h → quando x p→ . Logo a equação

2.1 assume a seguinte forma:

( ) ( )0

limtg h

f p h f pm

h→

+ −= (2.2)



81

A partir da geometria analítica tem-se que a forma ponto-inclinação

de uma reta que passa pelo ponto ( )0 0,P x y e tem inclinação m é dada por:

( )0 0y y m x x− = − (2.3)

Definição 2.1.2 Sendo ( )( ),P p f p um ponto do gráfico da função f , então

equação da reta tangente ao gráfico de f em P é dada por:

( ) ( )tgy f p m x p− = − (2.4)

Exemplo Resolvido 2.1.2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da

função ( ) 3 2 1f x x x= − + no ponto onde 2x= .

Solução. Inicialmente determina-se a inclinação da reta tangente, pelas

fórmulas dadas pela equação 2.1 ou equação 2.2.

( ) ( )0

2 2limtg h

f h fm

h→

+ −=

Como, ( ) ( ) ( )3 2 3 22 2 2 1 5 8 5f h h h h h h+ = + − + + = + + + e ( )2 5f = ,

então:

( )3 2 3 2

2

0 0 0

5 8 5 5 5 8lim lim lim 5 8 8tg h h h

h h h h h hm h hh h→ → →

+ + + − + += = = + + =

Logo, a equação da reta tangente será dada por:

( ) ( )2 2tgy f m x− = −

( )5 8 2 8 11y x y x− = − ⇒ = −



82

Em geral, a inclinação da reta tangente ao gráfico da curva ( )y f x=

dependerá do ponto x no qual a inclinação está sendo calculada; logo, a

inclinação é uma função de x .

Exemplo Resolvido 2.1.3. Seja ( ) 2 1f x x= − , então calcule a inclinação da

reta tangente ao gráfico de f em um ponto x genérico.

Solução. Para calcular esta inclinação, então, usa-se a fórmula da equação 2.2,

trocando p por x ; isto é:

( ) ( )0

limtg h

f x h f xm

h→

+ −=

Como ( ) ( )2 2 21 2 1f x h x h x xh h+ = + − = + + − , então:

( )2 2 2 2

0 0 0

2 1 1 2lim lim lim 2 2tg h h h

x xh h x xh hm x h xh h→ → →

+ + − − + += = = + =

Assim, poderá ser usada a fórmula geral 2tgm x= para calcular a

inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva ( ) 2 1f x x= − .

A inclinação da reta tangente a uma curva ( )y f x= , que passa pelo

ponto ( )( ),p f p , dada pelo limite:

( ) ( )limtg x p

f x f pm

x p→

−=

− (2.5)

em muitas situações tem uma importância maior que a própria reta tangente e

usa-se a notação ( )'f p para indicá-la chamando-a de derivada de f

aplicada em um ponto p .



83

Definição 2.1.3. A derivada de uma função f aplicada em x p= , indicada por

( )'f p , é dada pelo limite:

( ) ( ) ( )' limx p

f x f pf p

x p→

−=

− (2.6)

Se este limite existir, então a função é dita derivável ou diferenciável em

x p= e p é dito ser um ponto de diferenciabilidade de f , por outro lado, se

este limite não existe então se diz que p é um ponto de não

diferenciabilidade de f . A derivada de f aplicada em x p= , também, pode

ser escrita na forma alternativa:

( ) ( ) ( )0

' limh

f p h f pf p

h→

+ −= (2.7)

Definição 2.1.4. Sendo ( )( ),P p f p um ponto do gráfico da função f , então

equação da reta tangente ao gráfico de f em P é dada por:

( ) ( )( )'y f p f p x p− = − (2.8)

Enquanto a reta normal ao gráfico de f em P é dada por:

( ) ( ) ( )1'

y f p x pf p

− =− − (2.9)

Exemplo Resolvido 2.1.4. Encontre as equações das retas tangente e normal

ao gráfico da função ( )f x senx= no ponto 0x= .

Solução. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função aplicada

em 0x= .



84

( ) ( ) ( )0 0 0

0 0' 0 lim lim lim 10x x x

f x f senx senxfx x x→ → →

− −= = = =

−

Daí, a equação da reta tangente é dada por:

( ) ( )( ) ( )0 ' 0 0 ' 0y f f x y f x y x− = − ⇒ = ⇒ =

e a equação da reta normal é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )1 10 0' 0 ' 0

y f x y x y xf f

−− =− − ⇒ = ⇒ =−

Definição 2.1.5. A função 'f definida pela fórmula:

( ) ( ) ( )0

' limh

f x h f xf x

h→

+ −= (2.10)

é chamada de derivada de f em relação a x . O domínio de 'f consiste de

todo x para o qual o limite existe.

Exemplo Resolvido 2.1.5. Encontre a função derivada.

(a) ( )g x x= (b) ( ) 1h xx

=

Solução (a). A derivada é dada pelo limite:

( ) ( ) ( )0 0

' lim limh h

g x h g x x h xg xh h→ →

+ − + −= =

Para resolver este limite é necessário simplificar a expressão:

( )1x h x x h x x h x x h x

h h x h x x h xh x h x

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + − + + + −= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

+ + + ++ +⎝ ⎠⎝ ⎠



85

Daí,

0 0

1 1lim lim2h h

x h xh x h x x→ →

+ −= =

+ +

Logo tem-se que ( ) 1'2

g xx

= .

Solução (b). A derivada é dada pelo limite:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 20 0 0 0

1 11 1' lim lim lim lim

h h h h

x x hh x h h x x x hx h xh x

h h h x x h x→ → → →

− −−+ − + −+= = = = =−

+

Logo tem-se que ( ) 21'h xx

=−

Se f é diferenciável em todos os pontos de um intervalo aberto

( ),a b , então se diz que f é diferenciável em ( ),a b . Isto se aplica, também, a

intervalos infinitos da forma ( ),a−∞ , ( ),b +∞ e ( ),−∞ +∞ . No caso de f ser

diferenciável em ( ),−∞ +∞ , se diz que f é diferenciável em todo parte.

Para que o limite ( ) ( )lim

x p

f x f px p→

−−

exista é necessário que os

limites laterais existam e sejam iguais, isto é,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim ' limx p x p x p

f x f p f x f p f x f pf p

x p x p x p− +→ → →

− − −∃ ⇔ = =

− − −


( ) ( ) ( )' limx p

f x f pf p

x p−−→

−=

− (derivada à esquerda de p )

( ) ( ) ( )' limx p

f x f pf p

x p++→

−=

− (derivada à direita de p )



86

A derivada de f em p existe se, e somente se, as derivadas à

esquerda e á direita existirem e forem iguais, isto é:

( ) ( ) ( )' ' 'f p f p f p− +∃ ⇔ = (2.11)

Exemplo Resolvido 2.1.6. Mostre que ( )f x x= não é diferenciável em 0x= .

Solução. Para verificar a diferenciabilidade em 0x= , basta verificar a

existência do limite:

( ) ( ) ( )0 0

0' 0 lim lim

0x x

xf x ff

x x→ →

−= =

−

Como 0

lim 1x

xx−→=− e

0lim 1

x

xx+→= , então não existe

0limx

xx→

e

conseqüentemente não existe ( )' 0f e a função não é diferenciável em 0x= .

Teorema 2.1.1. Se f é diferenciável em um ponto p , então f é também

contínua em p .

Prova. Por hipótese se f é diferenciável em p , então existe:

( ) ( ) ( )' limx p

f x f pf p

x p→

−=

−

Logo, para mostrar que f é contínua em p deve-se mostrar que

( ) ( )limx p

f x f p→

= , ou de forma equivalente, ( ) ( )lim 0x p

f x f p→

− =⎡ ⎤⎣ ⎦ .



87

Daí,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limx p x p

f x f pf x f p x p

x p→ →

−⎡ ⎤− = −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim ' 0 0x p x p

f x f px p f x

x p→ →

−= − = =

−

provando que ( ) ( )limx p

f x f p→

= , ou seja, que a função é contínua em p .

O que o teorema 2.1.1 diz é que a diferenciabilidade implica na

continuidade, mas o simples fato de a função ser contínua não garante que a

função seja diferenciável. A função pode ser contínua em um ponto e não

diferenciável neste ponto, por outro lado se a função não for contínua em um

ponto ela não é diferenciável neste ponto.

Exemplo Resolvido 2.1.7. Seja ( )2

2 1 13 1

1 1

x se xf x se x

x x se x

⎧ + <⎪

= =⎨⎪ + + >⎩

, então:

(a) Verifique se f é contínua em 1x= .

(b) Verifique se f é diferenciável em 1x= .

Solução (a).

( ) ( )1 1

lim lim 2 1 3x x

f x x− −→ →

= + =

( ) ( )2

1 1lim lim 1 3x x

f x x x+ +→ →

= + + =

daí, tem-se que ( )1

lim 3x

f x→

= e como ( ) ( )1

lim 3 1x

f x f→

= = , então a função é

contínua em 1x= .



88

Solução (b). A função é diferenciável no ponto onde 1x= , se existe o limite

( ) ( ) ( )1

1' 1 lim

1x

f x ff

x→

−=

−, isto é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

1 2 12 2' 1 lim lim lim lim 2 21 1 1x x x x

f x f xxfx x x− − − −−

→ → → →

− −−= = = = =

− − −

e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

1 1 1 1

1 2 12' 1 lim lim lim lim 2 31 1 1x x x x

f x f x xx xf xx x x+ + + ++

→ → → →

− + −+ −= = = = + =

− − −

Devido ao fato de que ( ) ( )' 1 2 3 ' 1f f− += ≠ = , então, pode-se concluir

que não existe ( ) ( ) ( )1

1' 1 lim

1x

f x ff

x→

−=

− e a função é dita não diferenciável em

1x= .

Exemplo Resolvido 2.1.8. Seja ( )2

1 2 13 1

2 1

x se xf x se x

x se x

⎧ − <−⎪

= =−⎨⎪ + >−⎩

. Mostre que a função

f é diferenciável em 1x= .

Solução. A função é diferenciável no ponto onde 1x=− , se existe o limite

( ) ( ) ( )1

1' 1 lim

1x

f x ff

x→−

− −− =

+, isto é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 3 2 1' 1 lim lim lim 2 2

1 1x x x

x xf

x x− − −−→− →− →−

− − − +− = = = − =−

+ +

e

( )( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1 1 1

2 3 1 11' 1 lim lim lim lim 1 21 1 1x x x x

x x xxf xx x x+ + + ++

→− →− → →−

+ − + −−− = = = = − =−

+ + +

Logo, pode-se concluir que ( )' 1 2f − =− e que a função é

diferenciável em 1x=− .



89

2.2 Técnicas de Diferenciação

Agora, desenvolvem-se alguns teoremas importantes, que

possibilitará o cálculo de derivadas de uma forma mais eficientes, sem o uso da

definição que em alguns casos pode ser muito exaustivo e trabalhoso.

Se ( )y f x= , então, usam-se as seguintes notações alternativas

indicar a derivada desta função:

( )'dy f xdx

= ou ( ) ( )' df x f xdx

= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.12)

Teorema 2.2.1. A derivada de uma função constante é zero, isto é, se k for

um número real qualquer, então:

[ ] 0d kdx

= (2.13)

Prova. Seja ( )f x k= , logo a partir da definição de derivada,

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

' lim lim lim 0 0h h h

f x h f xd k kk f xdx h h→ → →

+ − −= = = = =

Exemplo Resolvido 2.2.1. Se ( ) 4f x = para todo x , então ( )' 0f x = para

todo x , isto é, [ ]4 0ddx

= .

Teorema 2.2.2. A derivada de uma função identidade é um, isto é,

[ ] 1d xdx

= (2.14)



90

Prova. Seja ( )f x x= , logo a partir da definição de derivada,

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

' lim lim lim 1 1h h h

f x h f xd x h xx f xdx h h→ → →

+ − + −= = = = =

Teorema 2.2.3 (Regra da Potência). Se n for um número inteiro positivo,

então:

1n nd x nxdx

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (2.15)

Prova. Se ( ) nf x x= , então a partir da definição de derivada, obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

' lim limn

n

h h

f x h f x x h xd x f xdx h h→ →

+ − + −⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦

Tem-se que: ( )( )1 2 2 1...n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + + , então:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1...n n

n n n n

n fatores

x h xx h x h x x h x x

h− − − −+ −

= + + + + + + +144444444424444444443

daí,

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1

0 0lim lim ...

nn nn n n n

h h

x h xd x x h x h x x h x x nxdx h

− − − − −

→ →

+ − ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = + + + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 2.2.2. Calcule as funções derivadas.

(a) ( ) 7f x x= (b) ( ) 12g x x=

Solução (a).

( ) 7 7 1 6' 7 7df x x x xdx

−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦



91

Solução (b).

( ) 12 12 1 11' 12 12dg x x x xdx

−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

Teorema 2.2.4. Se f for diferenciável em x e k for um número real qualquer,

então kf também é diferenciável em x e

( ) ( )d dkf x k f xdx dx

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.16)

Prova. Considera-se a função ( ) ( )g x kf x= , então pela definição de derivada

tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

' lim limh h

g x h g x kf x h kf xg x

h h→ →

+ − + −= = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim 'h h

k f x h f x f x h f xk kf x

h h→ →

+ −⎡ ⎤ + −⎣ ⎦= = =

Exemplo Resolvido 2.2.3. Calcule as derivadas.

(a) ( ) 23p x x= (b) ( ) 913

q x x=

Solução (a),

( ) ( )2 2' 3 3 3 2 6d dp x x x x xdx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (b).

( ) ( )9 9 8 81 1 1' 9 33 3 3

d dq x x x x xdx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦



92

Teorema 2.2.5. Se f e g forem diferenciáveis em x , então f g+ e f g−

também o são e

( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx

+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.17)

( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx

− = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.18)

Prova. Define-se uma função ( ) ( ) ( )= +x f x g xψ , então pela definição, tem-

se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

' lim lim→ →

+ + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =h h

f x h g x h f x g xx h xx

h hψ ψ

ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

' lim→

+ − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=h

f x h f x g x h g xx

hψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

' lim lim ' '→ →

+ − + −= + = +

h h

f x h f x g x h g xx f x g x

h hψ

Corolário 2.2.5.1. Se as funções 1f , 2f ,..., nf são diferenciáveis em x , então

1 2 ...± ± ± nf f f também é, e:

( ) ( ) ( ) ( )1 1... ...n nd d df x f x f x f xdx dx dx

+ + = ± ± ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.19)

Prova. Análoga ao teorema 2.2.5 e pode ser feita como exercício.

Exemplo Resolvido 2.2.4. Determine as derivadas.

(a) ( ) 3 22 4 12= − + −p x x x x (b) ( ) ( )22 3= −q x x



93

Solução (a).

( ) [ ] [ ]3 2 3 2' 2 4 12 2 4 12⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦d d d d dp x x x x x x xdx dx dx dx dx

( ) 2' 6 8 1= − +p x x x

Solução (b). Inicialmente desenvolve-se o produto notável:

( ) ( )2 22 3 4 12 9= − = − +q x x x x

então:

( ) [ ] [ ]2 2' 4 12 9 4 12 9⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦d d d dq x x x x xdx dx dx dx

( )' 12 18=− +q x x

Teorema 2.2.6 (Regra do Produto). Se f e g forem diferenciáveis em x ,

então ⋅f g também é diferenciável em x , e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦d d df x g x f x g x f x g xdx dx dx

(2.20)

Prova. Define-se uma função ( ) ( ) ( )=x f x g xψ , então pela definição tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

' lim lim→ →

+ − + + −= =

h h

x h x f x h g x h f x g xx

h hψ ψ

ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

' lim→

+ + −=

+ + −+h

f x g x h f xf x h g x hg x h f x g xx

hψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

' lim→

+ − + + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=h

f x h f x g x h f x g x h g xx

hψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

' lim lim→ →

+ − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +h h

f x h f x g x h f x g x h g xx

h hψ



94

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )0 0 0

' '

' lim lim lim→ → →

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + +14444244443 14444244443h h h

f x g x

f x h f x g x h g xx g x h f x

h hψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '= +x f x g x f x g xψ

Exemplo Resolvido 2.2.5. Prove que [ ] cos=d senx xdx

e [ ]cos =−d x senxdx

.

Então, calcule

[ ]cosd senx xdx

.

Solução.

(i) Usando a definição, tem-se:

[ ] ( )0 0

cosh coslim lim→ →

+ − + −= =

h h

sen x h senxd senx xsenh senxsenxdx h h

( )

0

cos 1 coshlim→

− −=

h

xsenh senxh

( )

0 0

1 coshcoslim lim→ →

− −= +

h h

senxxsenhh h

0 0

1 coshcos lim lim cos→ →

−= − =

h h

senhx senx xh h

(ii) Usando a definição, tem-se:

[ ] ( )0 0

cos cos cos cosh coscos lim lim→ →

+ − − −= =

h h

x h xd x senxsenh xxdx h h

( )

0

cos 1 coshlim→

− − −=

h

senxsenh xh

( )

0 0

cos 1 coshlim lim→ →

− −−= +

h h

xsenxxsenhh h



95

0 0

1 coshlim cos lim→ →

−=− − =−

h h

senhsenx x senxxh h

(iii) Usando os fatos obtidos nas partes (i) e (ii), pode-se, então, calcular a

derivada usando a regra do produto:

[ ] [ ]( ) ( ) [ ]cos cos cos= +d d dsenx x senx x senx xdx dx dx

( )( ) ( )( )cos cos= + −x x senx senx

2 2cos cos 2= − =x sen x x

Exemplo Resolvido 2.2.6. Ache ( )( )2 32d x x x xdx

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦ .

Solução. Usando a regra do produto, então:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 32 2 2d d dx x x x x x x x x x x xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( )( )3 2 22 1 2 2 3x x x x x x= + − + + −

2 4 3 2 4 34 2 2 2 3 2 3x x x x x x x x= − + − + − + −

4 3 25 4 6 4x x x x=− − + +

Este resultado poderia ter sido obtido se fosse realizado

primeiramente o produto entre os polinômios, e logo em seguida derivando o

resultado, isto é:

( )( )2 3 5 4 3 22 2 2x x x x x x x x+ − =− − + +

Daí,

( )( )2 3 5 4 3 22 2 2d dx x x x x x x xdx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − − + +⎣ ⎦⎣ ⎦



96

5 4 3 22 2d d d dx x x xdx dx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=− − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4 3 25 4 6 4x x x x=− − + +

Teorema 2.2.7 (Regra do Quociente). Se f e g forem diferenciáveis em x ,

e ( ) 0≠g x , então fg

também é diferenciável em x , e:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2

⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d df x g x f x g xf xd dx dxdx g x g x

(2.21)

Prova. Define-se uma função ( ) ( )( )

=f x

xg x

ψ , então pela definição tem-se:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

0 0' lim lim

→ →

+−

+ − += =

h h

f x h f xx h x g x h g x

xh h

ψ ψψ

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0' lim

→

+ − ++

=h

f x h g x f x g x hg x h g x

xh

ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0

' lim→

+ − +=

+⎡ ⎤⎣

+

⎦

−h

f x g x ff x h g x f x g x hx

h g x h g xx g x

ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0

' lim→

+ − − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+⎡ ⎤⎣ ⎦h

f x h f x g x f x g x h g xx

h g x h g xψ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0' lim

→

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦−=

+⎡ ⎤⎣ ⎦h

f x h f x g x f x g x h g xh hx

g x h g xψ



97

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0 0

0

lim lim'

lim

→ →

→

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭=

+⎡ ⎤⎣ ⎦

h h

h

f x h f x g x f x g x h g xh h

xg x h g x

ψ

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

' '

0 0

0

lim lim'

lim→ →

→

+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=+⎡ ⎤⎣ ⎦

64444744448 64444744448f x g x

h h

h

f x h f x g x h g xg x f x

h hx

g x h g xψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

' ''

−=

⎡ ⎤⎣ ⎦

g x f x f x g xx

g xψ

Exemplo Resolvido 2.2.7. Seja a função ( )2

211

−=

+xp xx

, então, calcule pela

definição ( )'p x .

Solução. Pela regra do quociente:

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 22 2

1 1 1 1 2 1 1 2'

1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

+ +

d dx x x x x x x xdx dxp xx x

( )( ) ( )

3 3

2 22 2

2 2 2 2 4'1 1

− − − −= =

+ +

x x x x xp xx x

Exemplo Resolvido 2.2.8. Mostre que [ ] 2sec=d tgx xdx

.

Solução. Como cos

=senxtgx

x, então, pode-se calcular esta derivada pela regra do

quociente e usando os resultados obtidos nas partes (i) e (ii) do exemplo

resolvido 2.2.5,



98

[ ][ ]( ) ( ) [ ]

[ ]2cos cos

cos cos

d dsenx x senx xd d senx dx dxtgxdx dx x x

−⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) 2 2

2 2cos cos cos

cos cosx x senx senx x sen x

x x− − +

= =

22

21 1 sec

coscosx

xx⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Teorema 2.2.8 (Regra do Recíproco). Se g é diferenciáveis em x , e

( ) 0≠g x , então 1g

também é diferenciável em x , e

( )( )

( ) 21 ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤

=−⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d g xd dxdx g x g x

(2.22)

Prova. Como a função 1g

é um quociente, utiliza-se o resultado do teorema

2.2.7, isto é,

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )2 2 2

1 1 0 1 ' '1 − ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ −= = =−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d dg x g x g x g x g xd dx dxdx g x g x g x g x


1ddx x

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦

.



99

Solução. Usando a regra do recíproco, então:

( ) ( )

2

2 2 22 2

11 21 1 1

d xd xdxdx x x x

⎡ ⎤− +⎣ ⎦ −⎡ ⎤ = =⎢ ⎥+⎣ ⎦ + +

Teorema 2.2.10 (Regra da Potência). Se n for um número racional qualquer,

então:

1n nd x nxdx

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (2.23)

Exemplo Resolvido 2.2.10. Determine.

(a) d xdx

⎡ ⎤⎣ ⎦ (b)

4 3

1ddx x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solução (a). A expressão x pode ser escrita na forma da seguinte forma de

uma potência 1 2x , logo:

1 11 2 1 22

1 21 1 1 12 2 2 2

d dx x x xdx dx x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎣ ⎦⎣ ⎦

Solução (b). A expressão 4 3

1

x pode ser escrita na forma da seguinte forma de

uma potência 3 4x− , logo:

3 13 4 7 44

7 44 43 7

1 3 3 3 34 4 4 4

d d x x xdx dx xx x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎡ ⎤

⎡ ⎤= =− =− =− =−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



100

Se a derivada 'f de uma função f for ela mesmo diferenciável,

então a derivada de 'f será denotada por ''f , sendo chamada de derivada

segunda de f . Isto é, pela definição:

( ) ( ) ( )0

' ''' lim

h

f x h f xf x

h→

+ −= (2.24)

À medida que se tem diferenciabilidade, pode-se continuar o

processo de diferenciar derivadas para obter as derivadas terceira, quarta,

quinta e mesmo derivadas mais altas de f .

Exemplo Resolvido 2.2.11. Sendo ( ) 4 3 23 7 5 1f x x x x x= − + − + , então:

( ) 3 2' 4 9 14 5f x x x x= − + −

( ) 2'' 12 18 14f x x x= − +

( )''' 24 18f x x= −

( ) ( )4 24f x =

( ) ( )5 0f x =

... ... ... ...

( ) ( ) ( )0 5nf x n= ≥



101

2.3 Derivadas de Funções Trigonométricas

Definição 2.3.1. Chama-se de função seno a função real de variável real que

associa a cada x real o número senx , isto é:

( )f x senx= (2.25)

É necessário lembra do fato de que quando se fala sobre senx significa o seno

do ângulo cuja medida em radianos é x .

A função seno tem como domínio o conjunto dos reais e a imagem é

o conjunto [ ]1,1− , isto é 1 1senx− ≤ ≤ . O gráfico da função seno é periódico e

tem como período 2π , sendo chamado de senóide. Este gráfico é

apresentado na figura 2.2.

Figura 2.2



102

Definição 2.3.2. Chama-se de função cosseno a função real de variável real

que associa a cada x real o número cos x , isto é:

( ) cosf x x= (2.26)

É necessário lembra do fato de que quando se fala sobre cos x significa o

cosseno do ângulo cuja medida em radianos é x .

A função cosseno tem como domínio o conjunto dos reais e a

imagem é o conjunto [ ]1,1− , isto é 1 cos 1x− ≤ ≤ . O gráfico da função cosseno é

periódico e tem como período 2π , sendo chamado de cossenóide. Este

gráfico é apresentado na figura 2.3.

Figura 2.3

Definição 2.3.3. As demais funções trigonométricas são definidas por:

(a) Função Tangente:

( )cossenxf x tgx

x= = , ,

2x k k Zπ π≠ + ∈ (2.27)

(b) Função Secante:

( ) 1seccos

f x xx

= = , ,2

x k k Zπ π≠ + ∈ (2.28)



103

(c) Função Cotangente:

( ) coscot xf x gxsenx

= = , ,x k k Zπ≠ ∈ (2.29)

(d) Função Cossecante:

( ) 1cossecf x xsenx

= = , ,x k k Zπ≠ ∈ (2.30)

Teorema 2.3.1.

(a) [ ] cosd senx xdx

= (b) [ ]cosd x senxdx

=−

(c) [ ] 2secd tgx xdx

= (d) [ ]sec secd x xtgxdx

=

(e) [ ] 2cossecd cotgx xdx

=− (f) [ ]cossec cossec cotd x x gxdx

=−

Prova (c). Para provar esta derivada deve-se recorrer a definição, isto é:

[ ] ( ) ( )( )

2

0 0 0

11lim lim lim1h h h

tgx tgh tgx tgh tg xtg x h tgxd tgxtghtgxdx h h h tgxtgh→ → →

+− ++ − −= = =

−

( )( )

( )( )

2 2

0 0 0

1 1lim lim lim

1 1h h h

tg x tg xtgh tghh tgxtgh h tgxtgh→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( )2 21 1 sectg x x= + =

As demais provas do teorema 2.2.1 devem ser feitas como exercício.



104

Exemplo Resolvido 2.3.1. Calcule as funções derivadas.

(a) ( ) ( )2 1 cotp x x gx= + (b) ( )1 cosx senxq x

x−

=+

Solução (a). Neste caso usa-se a regra do produto.

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2' 1 cot 1 cot 1 cotd d dp x x gx x gx x gxdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

( )( ) ( )( )2 22 cot 1 cossecx gx x x= + + −

2 2 22 cot cossec cossecx gx x x x= − −

Solução (b). Neste caso usa-se a regra do quociente.

( )[ ]( ) ( ) [ ]

( )21 cos 1 cos

'1 cos 1 cos

d dx senx x x senx xd x senx dx dxq xdx x x

− + − − +−⎡ ⎤= =⎢ ⎥+⎣ ⎦ +

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

2 21 cos 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

x x x senx senx x xsenx sen xx x

− + − − − − + −= =

+ +

( )( ) ( )

1

2 2

2 2

1 cos

1 cos 1 cos

x sen x xsenx xsenxx x

− + += =

+ +

6447448

Exemplo Resolvido 2.3.2. Ache.

(a) 2d x tgxdx

⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 2cotd g x

dx⎡ ⎤⎣ ⎦

Solução (a). Neste caso usa-se a regra do produto, isto é:

( ) ( ) [ ]2 2 2 2 22 secd d dx tgx x tgx x tgx xtgx x xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦



105

Solução (b). Neste caso pode-se expressar o termo 2cot g x como o produto

cot cotgx gx , logo, pode-s e usar a regra do produto.

( )( ) [ ]( ) ( ) [ ]2cot cot cot cot cot cot cotd d d dg x gx gx gx gx gx gxdx dx dx dx

⎡ ⎤ = = +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 2cossec cot cot cossec 2cossec cotx gx gx x x gx=− − =−

Exemplo Resolvido 2.3.3. Encontre as equações das retas tangente e normal

ao gráfico da função ( ) ( )2f x sen x= no ponto ( )0,0 .

Solução. Para encontrar as retas tangente e normal, é necessário encontrar,

primeiramente, a derivada da função ( ) ( )2f x sen x= .

Da trigonometria tem-se que ( )2 2 cossen x senx x= , daí,

( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ]' 2 2 cos 2 cos cosd d d df x sen x senx x senx x senx xdx dx dx x

⎧ ⎫= = = +⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭

( )( ) ( )( ){ } { } ( )2 22 cos cos 2 cos 2cos 2x x senx senx x sen x x= + − = − =

As equações das retas tangente e normal ao gráfico da função para

0x= , são dadas, respectivamente pelas equações (ver equações 2.8 e 2.9):

( ) ( )0 ' 0y f f x− = e ( ) ( )10' 0

y f xf

− =−

Como ( )0 0f = e ( )' 0 2f = , então, pode-se concluir que as

equações das retas tangente e normal são dadas, respectivamente, por:

2y x= e 2xy=−

Os gráficos da função ( ) ( )2f x sen x= e das retas 2y x= e 2xy=−

são mostrados na figura 2.4.



106

Figura 2.4

Exemplo Resolvido 2.3.4. Seja a função ( )2 cos 0

0 0

x se xp x x

se x

π⎧ ⎛ ⎞ ≠⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

.

Verifique se p é diferenciável em 0x= .

Solução. A definição de derivada é dada por:

( ) ( ) ( )2

0 0 0

cos0' 0 lim lim lim cos

x x x

xp x p xf xx x x

ππ

→ → →

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎡ ⎤⎛ ⎞⎝ ⎠= = = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Como ( )0

lim 0x

x→

= e 0

lim cosx x

π→

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

não existe, mas cosxπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

é

limitada, isto é 1 cos 1xπ⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

. Então, pode-se concluir do Teorema 1.5.4

(Módulo 1) que:

( )0

' 0 lim cos 0x

f xxπ

→

⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

O que implica que a função p é diferenciável em 0x= .



107

2.4 Regra da Cadeia

Teorema 2.4.1 (Regra da Cadeia). Se g for diferenciável em x e f for

diferenciável em ( )g x , então ( )( )f g x é diferenciável em x e,

( )( ) ( )( ) ( )' 'd f g x f g x g xdx

⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ (2.31)

Ou ainda, se ( )( )y f g x= e ( )u g x= , então ( )y f u= e,

dy dy dudx du dx

= ⋅ (2.32)

Exemplo Resolvido 2.4.1. Se ( )2y tg x= , ache dydx

.

Solução. Seja 2u x= , assim

y tgu=

e pela regra da cadeia

[ ] ( ) ( )2 2 2sec 2 2 secdy dy du d dtgu x u x x udx du dx du dx

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦

mas como 2u x= , então: ( )2 22 secdy x xdx

= .

Exemplo Resolvido 2.4.2. Ache 2 1d xdx

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦.

Solução. Fazendo 2 1u x= + e y u= , então:

2 1d dyxdx dx

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦



108

Logo, pela regra da cadeia:

( )2 11 22

dy dy du d d xu x xdx du dx du dx u u

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + = ⋅ =⎜ ⎟⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝ ⎠

mas como 2 1u x= + , então: 22

11

d xxdx x

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦ +

Uma forma alternativa para a regra da cadeia é dada por:

( ) ( )'d duf u f udx dx

=⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.33)

Exemplo Resolvido 2.4.3. Determine ( )'f x para ( ) ( )113 4 17f x x x= − + .

Solução. Fazendo 3 4 17u x x= − + , então ( ) 11f u u= . Logo:

( ) ( )( ){

113 11 10

'' 4 17 11

f u

d d duf x x x u udx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )10 103 3 3 2' 11 4 17 4 17 11 4 17 3 4df x x x x x x x xdx

⎡ ⎤= − + − + = − + −⎣ ⎦



109

Fórmulas generalizadas de diferenciação

1n nd duu nudx dx

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 1

2d duudx dxu

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

[ ] cosd dusenu udx dx

= [ ]cosd duu senudx dx

=−

[ ] 2secd dutgu udx dx

= [ ] 2cot cossecd dugu udx dx

=−

[ ]sec secd duu u tgudx dx

= [ ]cossec cossecd duu u cotgudx dx

=−


(a) ( )cos 2 1d xdx

+⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 3 cossecd x xdx

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

(c) ( ) 72 3cot 1d x gxdx

−⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

Solução (a).

( ) ( ) [ ] ( )cos 2 1 2 1 2 1 2 2 1d dx sen x x sen xdx dx

+ =− + + =− +⎡ ⎤⎣ ⎦

Solução (b).

23 3

3 3

1 3 cossec cotcossec cossec2 cossec 2 cossec

d d x x gxx x x xdx dxx x x x

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ − −

Solução (c).

( ) ( )7 62 2 23cot 1 7 3cot 1 3cot 1d dx gx x gx x gxdx dx

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =− + + + +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( )

272

62

7 2 3cossec3cot 1

3cot 1

x xd x gxdx x gx

− − −⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ + +



110

2.5 Diferenciais e Aproximação Linear Local

Até o presente momento dydx

tem sido visto como uma simples

notação para a derivada de ( )y f x= . Porém, pode-se interpretar dydx

como um

quociente entre dois acréscimos. Isto é, olhando para dx como um acréscimo

em x , deve-se procurar interpretar o acréscimo dy em y .

Figura 2.5

Sabe-se que ( )'f x é o coeficiente angular da reta tangente t , no

ponto ( )( ),x f x , ver figura 2.5, e que ( )'dy f xdx

= . Olhando para dy como o

acréscimo na ordenada da reta tangente t , correspondente ao acréscimo dx

em x , tem-se:

( )'dy f x dx= (2.34)



111

Os acréscimos dx e dy são chamados de diferenciais das variáveis

x e y , respectivamente.

Sabendo que dx x=Δ , então, pode-se definir a variação da variável

y , ou incremento da variável y , da seguinte forma:

( ) ( )y f x x f xΔ = + Δ − (2.35)

onde xΔ é chamado de incremento da variável x .

Usando os incrementos xΔ e yΔ , pode-se escrever uma fórmula de

diferencial usando a seguinte notação:

( ) ( ) ( )0 0

' lim limx x

f x x f xyf xx xΔ → Δ →

+ Δ −Δ= =

Δ Δ (2.36)

Exemplo Resolvido 2.5.1. Seja a função ( ) 3 2f x x x= − , então, escreva a sua

forma diferencial.

Solução. Inicialmente determina-se a função derivada,

( ) 2' 3 2f x x= −

e como ( )'dy f x dx= , então:

( )23 2dy x dx= −

Exemplo Resolvido 2.5.2. Seja a função ( ) 2f x x= e sabendo que

0,01dx x=Δ = , então, determine dy e yΔ para 2x= .

Solução. Tem-se que:

( ) ( )22 2 4f = =



112

( ) ( ) ( )22 2,01 2,01 4,0401f x f+ Δ = = =

Daí,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2,01 2 4,0401 4 0,0401y f x f f fΔ = + Δ − = − = − =

Como ( )' 2f x x , então, o diferencial dy é dado pela equação:

2dy xdx=

( )( )2 2 0,01 0,04dy= =

Exemplo Resolvido 2.5.3. O volume de uma esfera de raio R é dado pela

equação:

343

V Rπ=

Determine à derivada do volume V em função do raio R e escreva na forma

diferencial.

Solução. Sendo o volume V uma função do raio R da esfera, então, a sua

derivada é dada por:

( )3 3 2 24 4 4 3 43 3 3

dV d dR R R RdR dR dR

π π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Como o diferencial dVdV dRdR

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

, então:

24dV R dRπ=

Considere uma função f diferenciável em um intervalo contendo o

ponto p . Agora, pode-se definir uma reta tangente ao gráfico da função

( )y f x= no ponto ( )( ),p f p , como mostrado na figura 2.6.



113

Figura 2.6

Em muitas situações pode ser fácil calcular um valor ( )f p de uma

função, mas é difícil (ou até mesmo impossível) calcular valores próximos de

f . Neste caso pode-se usar a expressão que define a reta tangente para

calcular estes valores próximos de f .

Em outras palavras, usa-se a reta tangente t (ver figura 2.6) em

( )( ),p f p como uma aproximação para a curva ( )y f x= quando x está

próximo de p . A equação da reta tangente é dada por:

( ) ( )( )'y f p f p x p= + − (2.37)

e a aproximação:

( ) ( ) ( )( )'f x f p f p x p≈ + − (2.38)

é denominada aproximação linear local ou aproximação pela reta tangente

de f em p . A função linear cujo gráfico é essa reta tangente, isto é,

( ) ( ) ( )( )'L x f p f p x p= + − (2.39)

é chamada de linearização de f em p .



114

Exemplo Resolvido 2.5.4. Encontre uma aproximação linear local da função

( )f x senx= em 0x= .

Solução. A derivada da função ( )f x senx= é dada por:

( )' cosf x x=

então em 0x= , tem-se:

( ) ( ) ( )( ) { {0 1

0 ' 0 0 0 cos0L x f f x sen x x= + − = + =

Pode-se concluir que a linearização é dada por:

( )L x x=

e a qual pode ser vista na figura 2.7.

Figura 2.7

Exemplo Resolvido 2.5.5. Seja a função ( ) 1f x x= + , então encontre a

aproximação linear local em 3x= . Use esta aproximação para encontrar

valores aproximados para os números 3,96 e 4,04 .



115

Solução. A derivada da função ( ) ( )1 21 1f x x x= + = + é dada por:

( ) ( ) 1 21 1' 12 2 1

f x xx

−= + =+

e assim tem-se que ( )3 3 1 2f = + = e ( ) 1 1' 342 3 1

f = =+

, então, a

aproximação linear local é dada por:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 53 ' 3 3 2 34 4 4

L x f f x x x= + − = + − = +

Pode-se concluir que a linearização é dada por:

( ) 1 54 4

L x x= +

que pode ser vista na figura 2.8.

Figura 2.8



116

Em outras palavras pode-se dizer que na vizinhança de 3x= , tem-

se a função ( ) 1f x x= + se comporta como a reta ( ) 1 54 4

L x x= + , isto é:

1 514 4

x x+ ≈ +

Daí para encontrar 3,96 e 4,04 usa-se a expressão linear, ou

seja:

( )1 5 7,963,96 2,96 1 2,96 1,994 4 4

= + ≈ + = =

e

( )1 5 8,044,04 3,04 1 3,04 2,014 4 4

= + ≈ + = =



117


01) A equação da reta tangente à curva 22 1y x= − , no ponto de abscissa 1 , é:

a) 4 1y x= − b) 4 3y x= − c) 2 3y x= +

d) 2 1y x=− + e) 3 2y x= +

02) A equação da reta tangente à curva 3y x= , no ponto onde 1x=− , é dada

por:

a) 6 4y x= − b) 3y x= c) 3 3y x= −

d) 3 2y x= + e) 6 5y x= +

03) A reta normal ao gráfico da função ( ) 3 2f x x x= − em 1x= é dada por:

a) 2 0x y+ = b) 2 3 0x y+ − = c) 2 3 0x y+ − =

d) 2 0x y− = e) 2 1 0x y− − =

04) As equações das retas tangentes à curva 11

xyx−

=+

paralelas á reta de

equação 2 2x y− = são dadas por:

a) 2 1x y− =− e 2 3x y− =− b) 2 0x y+ = e 2 7x y+ =

c) 2 1x y− = e 2 7x y− =− d) 2 5x y− =− e 2 6x y− =−

e) 2 1x y+ =− e 2 1x y+ =



118

05) As retas tangente e normal ao gráfico de ( )1

xg xx

=+

em 1x= são dadas,

respectivamente, por:

a) 1 14 4

y x= + e 942

y x=− + b) 14

y x= e 4y x=−

c) 1 12 2

y x= − e 322

y x=− + d) 1 54 4

y x=− + e 742

y x= +

e) 1 52 2

y x=− + e 322

y x= −

06) Quais são os valores de x que fazem o gráfico da função

( ) 3 22 3 12 1f x x x x= + − + ter uma tangente horizontal?

a) 1− e 2 b) 2− e 1 c) 0 e 3

d) 2 e 4 e) 3− e 5

07) Qual é a reta tangente ao gráfico da função ( )2

2 1xf x

x=

+ em 1x= ?

a) 2 0x y− = b) 2 0x y− = c) 2 1x y− =

d) 2 1x y+ = e) 2 0x y+ =

08) O valor da derivada da função ( ) 7f x x= − no ponto onde 2x=− é dado

por:

a) 12

− b) 16

− c) 16

d) 2 e) 3

09) Seja a função ( ) 2

2

2

x se xh x

x x se x

α β+ <−⎧⎪=⎨− ≥−⎪⎩

. Quais os valores das constantes

α e β , respectivamente, que tornam a função h diferenciável em 2x=− ?

a) 3 e 2 b) 3− e 2 c) 5 e 2−

d) 5− e 4− e) 5 e 4



119

10) A função derivada de 2 3y x x= ⋅ é 'y igual a:

a) 23 32x x x x⋅ + ⋅ b) 3 213

x c) 323

x

d) 353

x e) 373

x x⋅

11) Qual é a derivada primeira da função ( ) 3 4 314

f x x x= + ?

a) 34 13x

x+

b) 3 2

1

3

x

x

+ c) 3

13x

x−

d) 3 2

2 1

3

x

x

− e) 3

4 13x

x−

12) Se 2 1xy

x=

+, então, a função derivada primeira 'y é dada por:

a) ( )

2

22 1

x

x + b)

( )2

22

1

1

x

x

−

+ c)

( )2

22

1

1

x

x

−

+

d) ( )22 1

x

x + e)

( )22

1

1

x

x

−

+

13) A derivada de ( ) 2 4g x x= + é ( )'g x dada por:

a) 2

2

4

x

x + b)

2 4

x

x + c)

22 4

x

x +

d) ( )3 22 4x + e) ( )3 22 4x x⋅ +



120

14) A função primeira de 11

xyx−

=+

é:

a) 2

1

1x − b)

( ) ( )3

1

1 1x x− +

c) ( ) ( )3 3

1

1 1x x− + d)

( )( )31

1 1x x− +

e) 2

1

1 x−

15) Seja ( )3

23xp x

x+

= , então, a função ( )'p x é dada por:

a) 26x

b) 36x

c) 46x

d) 26x

− e) 36x

−

16) Qual é a derivada primeira da função ( )cos 1

senxf xx

=−

?

a) cos x b) cossenx x⋅ c) tgx

d) 1

1senx − e)

11 cos x−

17) A derivada ( )'f x da função ( ) ( )2f x tg sen x= é dada por:

a) ( )22cos 2 sec 2x sen x⋅ b) ( )22 2 2sen x tg sen x⋅

c) ( )22cos 2 2x tg sen x− ⋅ d) ( )22 2 sec 2sen x sen x− ⋅

e) ( )22cos 2 sec 2x sen x− ⋅



121

18) Marque a opção que indica ( )cossec 2 1d x xdx

⎡ ⎤+⎣ ⎦ .

a) ( )2cot 2 1

2 1

g x

x

+−

+ b)

( )2t 2 1

2 1

g x

x

+−

+

c) ( ) ( )sec 2 1 t 2 1

2 1

x g x

x

+ ⋅ +−

+ d)

( ) ( )cossec 2 1 cot 2 1

2 1

x g x

x

+ ⋅ +−

+

e) ( )2sec 2 1

2 1

x

x

+

+

19) O resultado de ( )2

32 2d sen x

dx⎡ ⎤⎣ ⎦ é dado por:

a) ( ) ( )3 4 3cos 2 2x x x sen x⋅ − ⋅ b) ( ) ( )4 3 3cos 2 2x x x sen x⋅ + ⋅

c) ( ) ( )3 4 312 cos 2 36 2x x x sen x⋅ − ⋅ d) ( ) ( )3 4 34 cos 2 8 2x x x sen x⋅ + ⋅

e) ( ) ( )4 3 312 cos 2 36 2x x x sen x⋅ − ⋅

20) Se cosy x x= ⋅ , então, ( )''y x é igual a:

a) x senx⋅ b) cosx x− ⋅ c) cosx senx x⋅ +

d) cosx x senx⋅ − e) cosx x senx− ⋅ −



122

CAPÍTULO 3 – FUNÇOES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS

3.1 Funções Inversas

A idéia de resolver uma equação do tipo ( )y f x= para x como uma

função de y , isto é ( )x g y= , é uma das mais importantes idéias na

matemática. Este processo é bastante simples em muitas situações; por

exemplo, usando álgebra básica, a equação:

3y x=

pode ser resolvida para x como uma função de y da seguinte forma:

3x y=

A equação 3y x= pode ser usada para calcular um valor para y se

x for conhecido, enquanto que a equação 3x y= pode ser usada para

encontrar um valor para x se y for conhecido, veja a figura 3.1.

Figura 3.1



123

O intuito nessa seção é identificar as relações que possam existir

entre as funções f e g , quando uma função ( )y f x= pode ser expressa

como ( )x g y= . Por exemplo, sendo as funções ( ) 3f x x= e ( ) 3g y y= , então,

quando elas são compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra,

isto é,

( )( ) ( ) 3 33g f x f x x x= = =

( )( ) ( )( ) ( )33 3f g y g y y y= = =

Definição 3.1.1. Se a funções f e g satisfazem as duas condições:

( )( )g f x x= para todo x no domínio de f

( )( )f g y y= para todo y no domínio de g

então, diz-se que f e g são funções inversas.

Exemplo Resolvido 3.1.1. Mostre que as funções ( ) 2 1, 0f x x x= + ≥ e

( ) 1, 1g y y y= − ≥ são inversas.

Solução. Usando o fato apresentado na definição 3.1.1, tem-se:

( )( ) ( ) 2 21 1 1g f x f x x x x= − = + − = = , para 0x≥

e

( )( ) ( )( ) ( )22 1 1 1 1 1f g y g y y y y= + = − + = − + = , para 1y≥

A função inversa pode ser denotada por 1f − , isto é, a inversa da

função ( ) 2 1, 0f x x x= + ≥ pode ser expressa por ( )1 1, 1f y y y− = − ≥ .



124

Teorema 3.1.1 (Teorema da Unicidade da Inversa). Se uma função f admitir

inversa, denotada por 1f − , ela é única.

É muito importante entender que uma função está determinada pela

relação estabelecida entre suas entradas e saídas e não pela letra usada para

a variável independente. Ou seja, as fórmulas ( ) 2f x x= e ( ) 2f y y= usam

variáveis independentes diferentes, porém, estas fórmulas definem a mesma

função f , pois atribuem o mesmo valor para cada entrada, como por exemplo,

em ambas as notações ( )3 9f = .

Logo, a partir de agora se expressa tanto à função f quanto a sua

inversa 1f − com a mesma variável independente x . Usando esta notação,

então, a Definição 3.1.1. pode ser escrita da forma seguinte.

Definição 3.1.2. Duas funções, f e 1f − , são ditas inversas se satisfazem as

condições:

( )( )1f f x x− = para todo x no domínio de f

( )( )1f f x x− = para todo x no domínio de 1f −

Exemplo Resolvido 3.1.2. Confirme cada um dos seguintes itens.

(a) A inversa de ( ) 3f x x= é ( )1 13

f x x− = .

(b) A inversa de ( ) 3 4f x x= − é ( )1 3 4f x x− = + .

Solução (a). Tem-se que:

( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 33 3

f f x f x x x− = = =



125

( )( ) ( )( )1 1 13 33

f f x f x x x− − ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Solução (b). Tem-se que:

( )( ) ( ) 3 31 3 33 4 4 4f f x f x x x x− = + = − + = =

( )( ) ( )( ) ( )331 1 34 4 4 4 4f f x f x x x x− −= − = + − = + − =

Teorema 3.1.2. Se uma equação ( )y f x= pode ser resolvida para x como

uma função de y , então f admite uma inversa e a equação resultante é

( )1x f y−= .

Exemplo Resolvido 3.1.3. Seja a função ( ) 4 1 5,3 5 3

xf x xx−

= ≠−+

, então,

encontre a sua inversa.

Solução. Sendo 4 1 5,3 5 3

xy xx−

= ≠−+

, então, basta resolver x como uma função

de y para encontrar a expressão da inversa. Logo, para todo 53

x≠− tem-se:

4 13 5

xyx−

=+

3 5 4 1xy y x+ = −

3 4 1 5xy x y− =− −

4 3 5 1x xy y− = +

( ) 5 14 3 5 14 3

yx y y xy

+− = + ⇒ =

−

Logo a inversa é dada por ( )1 5 1 4,4 3 3

xf x xx

− += ≠

−.



126

Exemplo Resolvido 3.1.4. Encontre a inversa da função ( ) 5 31 1= − +f x x .

Solução. Para encontrar a inversa basta resolver x como uma função de y .

Isto é, se:

5 31 1= − +y x

então:

5 31 1− = −x y

( )531 1− = −x y

( )53 1 1= − −x y

( ) ( )5 53 31 1 1 1= − − ⇒ = − −x y x y

Trocando as variáveis pode-se concluir que a função inversa é dada

por:

( ) ( )51 3 1 1− = − −f x x

Definição 3.1.3. Uma função f é dita injetiva, ou um a um, se para quaisquer

1x e 2x do domínio de f , com 1 2x x≠ , tem-se ( ) ( )1 2f x f x≠ . Em outras

palavras, se ( ) ( )1 2f x f x= implica que 1 2x x= .

Teorema 3.1.3. Se f é uma função injetiva, então existe uma e somente uma

função 1f − com domínio igual à imagem de f que satisfaz a equação:

( )( )1f f x x− = (3.1)

para todo x na imagem de f .



127

Fica evidente que:

Domínio de 1f − = Imagem de f e Imagem de 1f − = Domínio de f

Exemplo Resolvido 3.1.5. Mostre que a função ( ) 2 1, 33

xf x xx−

= ≠−+

é

injetiva em ( ) ( ), 3 3,−∞ − ∪ − +∞ .

Solução. Para mostrar que a função é injetiva basta mostrar que se

( ) ( )1 2f x f x= implica que 1 2x x= . Daí,

Supondo que ( ) ( )1 2f x f x= , então, tem-se:

1 2

1 2

2 1 2 13 3

x xx x

− −=

+ +

( )( ) ( )( )1 2 2 12 1 3 2 1 3x x x x− + = − +

1 2 1 2 1 2 2 12 6 3 2 6 3x x x x x x x x+ − − = + − −

1 2 2 16 6x x x x− = −

1 2 1 27 7x x x x= ⇒ =

De onde pode-se concluir que a função é injetiva.

Corolário 3.1.3.1. Se uma função f é injetiva, então, f é invertível, isto é

admite uma função inversa 1f − .



128

Figura 3.2

De acordo com a figura 3.2, pode-se ver claramente que o gráfico

em (a) representa uma função não injetiva devido ao fato de que ( ) ( )1 2f x f x=

para 1 2x x≠ . O gráfico em (b) representa uma função injetiva, pois

( ) ( )1 2f x f x≠ para quaisquer 1 2x x≠ , e neste caso a função é invertível.

Geometricamente para definir se uma função é invertível, pode-se aplicar o

seguinte teste apresentado no Teorema 3.1.3.

Teorema 3.1.3 (Teste da reta horizontal). Uma função f admite uma inversa

se e somente se o gráfico de f for cortado, no máximo, uma única vez por

qualquer reta horizontal.

Aplicando este teste nos gráficos (a) e (b) apresentados na figura

3.2, pode-se confirmar que a função em (a) não é invertível, enquanto que em

(b) a função é invertível.

Exemplo Resolvido 3.1.6. Esboce o gráfico da função ( ) 2f x x= em ( ),−∞ +∞

e aplique o teste da reta horizontal para determinar se a função é invertível.



129

Solução. O gráfico da função é a parábola que passa na origem, ( )0,0 , e que

tem a concavidade voltada para cima, como mostra a figura 3.3:

Figura 3.3

Aplicando o Teste da reta horizontal, ver figura 3.3, pode-se ver

claramente que a função ( ) 2f x x= em seu domínio não é invertível.

Se ( ),a b for um ponto no gráfico de ( )y f x= invertível, então,

pode-se concluir que ( )b f a= . Isto é equivalente a afirmar que ( )1a f b−= , a

qual significa que ( ),b a é um ponto no gráfico de ( )1y f x−= .

Para resumir, pode-se afirmar que invertendo as coordenadas de um

ponto do gráfico de f encontra-se um ponto do gráfico de 1f − . Analogamente,

invertendo as coordenadas de um ponto do gráfico de 1f − , encontra-se um

ponto do gráfico de f .



130

Geometricamente, o efeito de inverter as coordenadas de um ponto

( ),a b , é refletir este ponto sobre a reta y x= , como mostrado na figura 3.43.

Pode-se concluir que os gráficos das funções ( )y f x= e ( )1y f x−= são

reflexões um do outro em relação à reta y x= .

Figura 3.4

Ou seja, da figura 3.4 pode-se ver claramente que os pontos ( ),a b e

( ),b a são reflexões sobre y x= .

Teorema 3.1.4. Se f tiver uma inversa, então os gráficos de ( )y f x= e

( )1y f x−= são reflexões um do outro em relação à reta y x= ; isto é, cada um

é a imagem especular do outro com relação à y x= .



131

Figura 3.5

Então, do teorema 3.1.4 pode-se concluir que para obter o gráfico da

função ( )1y f x−= , basta fazer uma rotação do gráfico de ( )y f x= em torno

da reta y x= .

Teorema 3.1.5. Se o domínio de f for um intervalo no qual a função seja

estritamente crescente ou estritamente decrescente, então, a função f tem

uma inversa.

Em muitas situações, uma função que não admite inversa pode

passar a admitir, apenas restringindo o seu domínio. Por exemplo, a função

( ) 2f x x= em ( ),−∞ +∞ não é invertível (ver Exemplo Resolvido 3.1.6), porém

as funções ( ) 2, 0g x x x= ≥ e ( ) 2, 0h x x x= ≤ , as quais resultam da restrição

do domínio da função f admitem inversas.



132

Os gráficos das funções g e h são apresentados na figura 3.6. A

função g é estritamente crescente em [ )0,+∞ e a função h é estritamente

decrescente em ( ],0−∞ , logo de acordo com o teorema 3.1.5 elas passam a

admitir inversas. As funções inversas são dadas, respectivamente, por

( )1g x x− = e ( )1h x x− =− , cujos gráficos são apresentados na figura 3.7.

Figura 3.6

Figura 3.7



133

Teorema 3.1.6. Se uma função f for contínua e tiver uma inversa, então 1f −

é também contínua.

Teorema 3.1.7 (Diferenciabilidade da função inversa). Suponha que a

função f seja invertível e diferenciável em um intervalo I . Então 1f − é

diferenciável em qualquer ponto de x onde ( )( )1' 0f f x− ≠ e:

( ) ( )( )( )

11

1''

f xf f x

−−

= (3.2)

Exemplo Resolvido 3.1.7. Seja a função [ ] [ ]: , 1,1f π π− → − definida por

( )f x senx= . Sua inversa é a função [ ] [ ]1 : 1,1 ,f π π− − → − definida por

( )1f x arcsenx− = , então, encontre a sua derivada.

Solução. De acordo com a equação 3.2 pode-se concluir que:

[ ] ( )1

cosd arcsenxdx arcsenx

=

Como cos 0x≥ em [ ],π π− , então, da trigonometria tem-se que:

( ) ( ) ( )( )22cos 1 1arcsenx sen arcsenx sen arcsenx= − = −

e como ( )sen arcsenx x= , pode-se concluir que:

( ) 2cos 1arcsenx x= −

Daí tem-se:

[ ]2

1

1

d arcsenxdx x

=−



134

3.2 Diferenciação Implícita

As técnicas de diferenciação vistas até o exato momento foram

desenvolvidas para funções que são expressas na forma ( )y f x= . Uma

equação do tipo ( )y f x= define explicitamente y como uma função de x ,

devido ao fato da variável y aparecer sozinha de um lado da equação.

Por exemplo, as equações:

3y sen x= e 3y x x arctgx= − +

definem cada uma explicitamente y como uma função de x .

Em muitos casos as funções estão definidas com equações nas

quais a variável y não está sozinha de um lado, neste caso, sempre que

possível, deve-se resolver a equação como y em função de x ,isto é, isolar y

em um lado da equação.

Por exemplo, a equação:

1xy y x+ + =

não está na forma ( )y f x= , porém ela ainda define y como uma função de x ,

basta resolver isolar y em um lado da equação, isto é,

11

xyx−

=+

Assim, se diz que a equação 1xy y x+ + = define y implicitamente

como uma função de x , sendo:

( ) 11

xf xx−

=+



135

Exemplo Resolvido 3.2.1. Mostre que a equação 2 2 4x y+ = define mais do

que uma função de x .

Solução. Resolvendo a equação 2 2 4x y+ = para y como função de x , obtem-

se:

24y x=± −

Então a equação 2 2 4x y+ = define implicitamente pelo menos duas

funções, isto é, para 0y≥ tem-se ( ) 21 4f x x= − e para 0y≤ tem-se

( ) 22 4f x x=− − , como mostrado na figura 3.8.

Figura 3.8

Definição 3.2.1. Diz-se que uma dada equação nas variáveis x e y define a

função f implicitamente se o gráfico de ( )y f x= coincidir com algum

segmento do gráfico da equação.

Em geral não é necessário, e muitas vezes não é possível, resolver

uma equação de y em termos de x , neste caso usa-se a diferenciação

implícita para encontrar dydx

.



136

A diferenciação implícita consiste em derivar os dois lados da

equação em relação a variável x , sem a necessidade de resolver y como

função de x , e em seguida deve-se expressar dydx

como função das variáveis

x e y .

Exemplo Resolvido 3.2.2. Encontre dydx

para a equação 2 2 4x y+ = , 0y≥ .

Solução. Na diferenciação implícita derivam-se os dois lados da equação em

relação à x , logo:

[ ]2 2 4d dx ydx dx

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

( ) ( )2 2 0d dx ydx dx

+ =

2 2 0dyx ydx

+ =

dy xdx y

=−

Como para 0y≥ , tem-se 24y x= − , pode-se, então, concluir que:

24

dy xdx x

=−−

Neste caso pode-se calcular dydx

sem haver a necessidade de usar a

diferenciação implícita, isto é resolvendo a equação 2 2 4x y+ = , para 0y≥ ,

obtém:

24y x= −



137

Daí usando a regra da cadeia tem-se:

( ) ( )2 22 2 2

1 14 4 22 4 2 4 4

dy d d xx x xdx dx dxx x x

−⎡ ⎤= − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ − − −

ou seja: 24

dy xdx x

=−−

Exemplo Resolvido 3.2.3. Encontre dydx

para a equação 2 3x seny y x tgx+ = .

Solução. Na diferenciação implícita derivam-se os dois lados da equação em

relação à x , ou seja:

[ ]2 3d d dx seny y x tgxdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]2 2 3 3d d d d dx seny x seny y x y x tgxdx dx dx dx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 3 22 cos 3 secdy dyxseny x y y x y xdx dx

+ + + =

( )2 2 2 3cos 3 sec 2dyx y y x x xseny ydx

+ = − −

2 3

2 2sec 2

cos 3dy x xseny ydx x y y x

− −=

+

Exemplo Resolvido 3.2.4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico do

Fólio de Descartes de equação 3 3 3x y xy+ = no ponto 3 3,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.



138

Solução. Diferenciando implicitamente os lados da equação do Fólio de

Descartes, resulta:

[ ]3 3 3d dx y xydx dx

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

[ ] [ ]3 3 3d d d dx x x y x ydx dx dx dx

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

2 23 3 3 3dy dyx y y xdx dx

+ = +

( )2 2dyy x y xdx

− = −

2

2dy y xdx y x

−=

−

A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função

aplicada no ponto 3 3,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, ou seja:

2

2

3 33 3 2 2, 12 2 3 3

2 2

tgdymdx

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = =−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Daí a reta tangente é dada por:

3 312 2

y x⎛ ⎞− =− −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 32 2

y x− =− +

3x y+ =



139

Exemplo Resolvido 3.2.5. Ache [ ]d arcsenxdx

, 0,2

x π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Solução. Uma outra forma de encontrar esta derivada é através da

diferenciação implícita, como segue:

y arcsenx seny x= ⇔ =

então por diferenciação implícita tem-se:

[ ] [ ]d dseny xdx dx

=

2

1 1cos 1cos 1

dy dy dyydx dx y dx sen y

= ⇒ = ⇒ =−

e como seny x= , pode-se concluir que:

[ ]2

1

1

d arcsenxdx x

=−

Exemplo Resolvido 3.2.6. Um balão esférico está se expandindo. Se o raio

está aumentando a uma taxa de 5 centímetros por minutos, em que taxa o

volume estará aumentando quando o raio for de 12 centímetros.

Solução. O balão tem a forma de uma esfera de raio R , como mostrado na

figura 3.9. O volume da esfera é dado por:

343

V Rπ=



140

Figura 3.9

Como o volume V e o raio R variam com o tempo, então, pode-se

concluir que ( )V V t= e ( )R R t= , então diferenciando implicitamente a

equação 343

V Rπ= em relação a variável tempo t , tem-se:

[ ] 3 24 43

d d dV dRV R Rdt dt dt dt

π π⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Quando 12R= , tem-se 5dRdt

= , então daí,

( ) ( )24 12 5 2880dVdt

π π= =

Logo o volume está aumentando a uma taxa de 2880π centímetros

cúbicos por minuto.

Exemplo Resolvido 3.2.7. Um tanque cônico com água com o vértice para

baixo tem um raio de 10 m no topo e uma altura de 24 m . Se a água fluir

dentro do tanque a uma taxa de 320 / minm , com que taxa a profundidade da

água estará crescendo quando ela tiver 12m de profundidade?



141

Solução. Seja o tangue como mostrado na figura 3.10,

Figura 3.10

No instante t qualquer, tem-se uma altura h e o raio r , como

mostrado na figura 3.11,

Figura 3.11



142

Logo, pode-se escrever o raio r em função da altura h , da seguinte

forma:

5

12r h=

Daí escreve-se o volume como função apenas da altura h :

2 31 253 432

V r h V hπ π= ⇒ =

logo, diferenciando implicitamente, tem-se:

[ ] 3 325 25432 432

d d dV h hdh dh dh

π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

225144

dV dhhdt dt

π=

de onde se pode concluir que:

2144

25dh dVdt dthπ

=

Como 20dVdt

= e 12h= , então:

( )2144 420

525 12dhdt ππ

= =

Logo, pode concluir que a taxa de aumento da altura é de

4 min5

mπ

.



143

3.3 Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais

Definição 3.3.1. Dado um número real b , tal que 0 1b< ≠ , chama-se função

exponencial de base b a função f de variável real e imagem real, que

associa a cada x o número xb . Ou seja,

( ) xf x b= (3.3)

Teorema 3.3.1. Se 0b> e 1b≠ , então:

(a) A função ( ) xf x b= está definida para todo valor real de x ; logo o domínio

natural é o intervalo ( ),−∞ +∞ .

(b) A função ( ) xf x b= é contínua no intervalo ( ),−∞ +∞ e a sua imagem é o

intervalo ( )0,+∞ .

Teorema 3.3.2 (Propriedades dos Expoentes).

(a) x y x yb b b += (b) x

x yy

b bb

−=

(c) ( )yx x yb b= (d) ( )1 yy x x x yb b b= =

(e) ( )x x xab a b= (f) x x

xa ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

O gráfico da função exponencial é injetivo e pode ser estritamente

crescente se 1b> e estritamente decrescente se 0 1b< < , como mostrado na

figura 3.12.



144

Figura 3.12

De acordo com a figura 3.12, podem-se concluir os seguintes limites:

1) Para 0 1b< < : lim 0x

xb

→+∞= e lim x

xb

→−∞=+∞

2) Para 1b> : lim x

xb

→+∞=+∞ e lim 0x

xb

→−∞=

Definição 3.3.2. Sendo a e b números reais positivos, com 1b≠ , chama-se

logaritmo de a na base b o expoente que se deve dar à base b de modo que

a potência obtida seja igual a b . Isto é, se a R∈ , b R∈ , 0 1b< ≠ e 0a> , então:

log xb a x b a= ⇔ = (3.4)

Definição 3.3.3. Chama-se de função logarítmica na base b , 0 1b< ≠ , a

função que associa a cada 0x> , o número real logb x . Isto é,

( ) logbf x x= (3.5)



145

As funções ( ) xf x b= e ( )1 logbf x x− = formam um par de inversas.

Se o domínio de 1f − é o mesmo que a imagem de f obtem-se:

( )log ,xb

b x x R= ∈

log , 0b xb x x= >

(3.6)

Os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10

chamados de logaritmos decimais. Para estes logaritmos é comum suprimir a

base, isto é eles são escritos da forma log x e não 10log x . Recentemente os

logaritmos de base 2 desempenharam importante papel em ciência

computacional, pois surgem naturalmente em sistemas numéricos binários.

Os logaritmos mais utilizados nas aplicações são os logaritmos

naturais, cuja base é o número irracional e , número de Euler, em homenagem

ao matemático suíço Leonard Euler. Neste caso se escreve ln x e não loge x .

Esta constante cujo valor aproximado em seis casas decimais é:

2,718282≈e (3.7)

surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação:

11⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

x

yx

(3.8)

Pode-se concluir os seguintes limites no infinito:

1lim 1

x

xe

x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.9)

1lim 1

x

xe

x→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.10)



146

Logo, tem-se as funções logarítmica e exponencial na base e ,

respectivamente, ( ) xf x e= e ( )1 ln− =f x x que formam um par de inversas, tal

que:

( )ln ,xe x x R= ∈

ln , 0xe x x= > (3.11)

Dos limites dados pelas equações 3.9 e 3.10, pode-se demonstrar o

seguinte limite:

( )10

lim 1 x

xx e

→+ = (3.12)

que será usado posteriormente para deduzir a função derivada do logaritmo.

Os limites dados pelas equações 3.9, 3.10 e 3.12 podem ser

provados através da regra de L’Hopital, que será vista posteriormente.

O gráfico da função ( )1 lnf x x− = é obtido rotacionando o gráfico da

função ( ) xf x e= em torno da reta y x= (figura 3.12). O mesmo pode ser feito

para obter o gráfico da função ( )1 logbf x x− = a partir da função ( ) xf x b= .

Dos gráficos representados na figura 3.13, podem-se concluir os

seguintes limites:

1) lim x

xe

→+∞=+∞ e lim 0x

xe

→−∞=

2) lim lnx

x→+∞

=+∞ e 0

lim lnx

x−→

=−∞

3) lim logbxx

→+∞=+∞ e

0lim logb

xx

−→=−∞



147

Figura 3.13

Teorema 3.3.3. Comparação entre funções exponenciais e logarítmicas para

1b> .

0 1b = log 1 0b =

1b b= log 1b b=

( ) ( )Im 0,xb = +∞ ( ) ( )log 0,bD x = +∞

( ) ( ),xD b = −∞ +∞ ( ) ( )log ,bD x = −∞ +∞

0 1xb< < se 0x< log 0b x< se 0 1x< <

Teorema 3.3.4 (Propriedades algébricas dos Logaritmos).

(a) ( )log log logb b bxy x y= + (b) log log logb b bx x yy

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠



148

(c) log logyb bx y x= (d)

1log logy bbx x

y=

(e) 1log logb b xx

⎛ ⎞=−⎜ ⎟⎝ ⎠

(f) log

loglog

yb

y

xx

b=

Teorema 3.3.5. Seja 0x> e 0 1b< ≠ , então:

[ ] 1loglnb

d xdx x b

= (3.13)

Prova. Aplicando a definição, tem-se:

[ ] ( )0 0 0

loglog log 1log lim lim lim log 1b

b bb bh h h

x hx h xd hxx

dx h h h x→ → →

+⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ⎡ ⎤⎛ ⎞⎝ ⎠= = = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Fazendo a substituição hux

= , tem-se que h ux= e se 0h → , então

0u → , logo:

( ) ( )0 0 0

1 1 1 1lim log 1 lim log 1 lim log 1b b bh u u

h u uh x ux x u→ → →

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( )10

1 lim log 1 ubu

ux →

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

Como a função logb x é contínua em seu domínio, então:

( ) ( )}1

1 1

0 0

1 1 1 1 ln 1lim log 1 log lim 1 logln ln

u ub b bu u

e

eu u ex x x x b x b→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤+ = + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦1442443

Daí chega-se a conclusão desejada:

[ ] 1loglnb

d xdx x b

=



149


(a) [ ]logd xdx

(b) [ ]2logd xdx

Solução (a). Neste caso a base do logaritmo é 10, então:

[ ] 1logln10

=d xdx x

Solução (b). Neste caso a base é 2, então:

[ ]21logln 2

=d xdx x

Teorema 3.3.6. Seja 0x> , então:

[ ] 1lnd xdx x

= (3.14)

Prova. Basta aplicar o teorema 3.3.5, isto é:

[ ] [ ]{

1

1 1ln loglne

d dx xdx dx x e x

= = =

Exemplo Resolvido 3.3.2. Calcule, em cada caso, a função derivada.

(a) ( ) 3logf x senx x= (b) ( ) lnln 1

xg xx

=+

Solução (a). Neste caso usa-se a regra do produto para encontrar a função

derivada, isto é:

( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ]3 3 3' log log logd d df x senx x senx x senx xdx dx dx

= = +



150

( ) 31' cos logln 3

f x x x senxx

= +

( ) 3' cos logln3

senxf x x xx

= +

Solução (b). Neste outro caso usa-se a regra do quociente para se encontrar a

função derivada, isto é:

( )[ ]( ) ( ) [ ]

( )2ln ln 1 ln ln 1ln'

ln 1 ln 1

d dx x x xd x dx dxg xdx x x

+ − +⎡ ⎤= =⎢ ⎥+⎣ ⎦ +

( )( ) ( )

( ) ( )2 2

1 1 1 1 1ln 1 ln ln ln'

ln 1 ln 1

x x x xx x x x xg x

x x

+ − + −= =

+ +

( )( )2

1'ln 1

g xx x

=+

Usando a notação da regra da cadeia as fórmulas em (3.13) e (3.14)

ficam, respectivamente:

[ ] 1loglnb

d duudx u b dx

= (3.15)

[ ] 1lnd duudx u dx

= (3.16)


(a) ( )3 2logd x xdx

π⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ (b) ( )ln cotd senx gxdx

+⎡ ⎤⎣ ⎦



151

Solução (a). Pela regra da cadeia tem-se:

( ) ( ) ( )2

3 2 3 23 2 3 2

1 3 2logln10 ln10

d d x xx x x xdx dxx x x x

π ππ π

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = + + =⎣ ⎦⎣ ⎦ + + + +

Solução (b). Pela regra da cadeia tem-se:

( ) [ ]21 cos cossecln cot cot

cot cotd d x xsenx gx senx gxdx senx gx dx senx gx

−+ = + =⎡ ⎤⎣ ⎦ + +

Exemplo Resolvido 3.3.4. Determine ( )( )

4 2

53

1ln1 2 1

d sen x xdx x x

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Solução. Se for usada diretamente a fórmula generalizada com a regra da

cadeia, tem-se:

( )( )( )( )

( )( )

4 2 4 2

5 53 34 2

53

1 1 1ln1 2 1 1 2 11

1 2 1

d sen x x d sen x xdx dxx x x xsen x x

x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + + ++⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+ +

Ou seja, a derivada ( )( )

4 2

53

11 2 1

d sen x xdx x x

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

é muito trabalhosa, logo

deve ser evitada. Então, usam-se as propriedades dos logaritmos para

simplificar a expressão e facilitar o cálculo da derivada, isto é:

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

4 2 1 24 1 3 5253

1ln ln 1 ln 1 2 11 2 1

sen x x senx x x xx x

⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + − + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )1 24 1 3 52ln ln 1 ln 1 ln 2 1= + + − + − +senx x x x

( ) ( ) ( ) ( )21 14ln ln 1 ln 1 5ln 2 12 3

= + + − + − +senx x x x



152

Daí,

( )( )( ) ( )

( ) [ ]

4 22

53

1 1ln 4 ln ln 121 2 1

1 ln 1 5 2 13

d sen x x d dsenx xdx dx dxx x

d dx xdx dx

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

− + − +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 1 14 cos 2 1 5 2

2 3 1 2 11= + − −

+ ++dx x

senx x xx

( )21 104cot

3 1 2 11= + − −

+ ++xgx

x xx

Logo se pode concluir que:

( )( ) ( )4 2

5 23

1 1 10ln 4cot3 1 2 111 2 1

d sen x x xgxdx x xxx x

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ = + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ + +++ +⎝ ⎠⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 3.3.5. Determine a função derivada da função

( ) ( ) ( )2 43 2log 2 7

x xg x x x x

+= − + .

Solução. Como neste caso tanto o logaritmando como a base são funções,

então, não existe nenhuma regra para se calcular a derivada da função g

diretamente. Logo, deve-se usar a regra da mudança de base para expressar a

função como uma razão entre dois logaritmos de base constante e depois usar

a regra do quociente para calcular a derivada.

( )( )

( )3 2

2 4

ln 2 7

ln

x x xg x

x x

− +=

+

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 2 2 4 3 2 2 4

22 4

ln 2 7 ln ln 2 7 ln'

ln

d dx x x x x x x x x xdx dxg x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦



153

( )( ) ( )

( )

2 32 4 3 2

3 2 2 4

22 4

3 4 7 2 3ln ln 2 72 7'

ln

x x x xx x x x xx x x x xg x

x x

− + ++ − − +

− + +=⎡ ⎤+⎣ ⎦

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 4 3 2 2

3 2 3

22 4

3 4 7 ln ln 2 7 2 3

2 7'ln

x x x x x x x x

x x x x xg xx x

− + + − + +−

− + +=⎡ ⎤+⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 3.3.6. Calcule ( )( )

223

335

8 2x tg xddx senx x

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Solução. Pela regra do quociente tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3 2 32 3 2 33 5 3 5

2335

8 2 8 2d dx tg x senx x x tg x senx xdx dx

senx x

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤− − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎡ ⎤

−⎢ ⎥⎣ ⎦

que é uma expressão muito complicada, então pode-se recorrer a

diferenciação logarítmica.

Neste caso para a simplificação usa-se a diferenciação logarítmica

que consiste em se aplicar o logaritmo em ambos os lados de uma equação

( )y f x= formando uma expressão do tipo ( )ln lny f x= . Em seguida se aplica

as propriedades dos logaritmos para simplifica a expressão ( )ln f x e facilitar

os cálculos das derivadas.

Ou seja,

( )( )

( )( )

2 22 23 3

3 33 35 5

8 2 8 2ln ln

x tg x x tg xy y

senx x senx x

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

= ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦



154

( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 52 3 2 32 3ln ln 8 2 ln ln 8 2 ln3 5

y x tg x senx x x tg x senx x= − − − = − − −

[ ] ( ) ( )2 32 3ln ln 8 2 ln3 5

d d dy x tg x senx xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2 22 3

1 2 1 3 116 2sec 2 cos 33 58 2

dy x x x xy dx x tg x senx x

= − − −− −

( )( )

( )( )

2 2

2 3

2 16 2sec 2 3 cos 3

3 8 2 5

x x x xdy ydx x tg x senx x

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( )( )

( )( )

( )( )

222 2 3

2 3 335

8 22 16 2sec 2 3 cos 3

3 8 2 5

x tg xx x x xdydx x tg x senx x senx x

⎡ ⎤⎡ ⎤ −− − ⎢ ⎥⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 3.3.7. Seja ( )

3 9

3 45 3

cot

3 4

x tgx gxy

x x x

−=

− −, então calcule

dydx

.

Solução. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da expressão, tem-

se:

( )3 9

3 45 3

cotln ln

3 4

x tgx gxy

x x x

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )3 41 93 5 3ln ln ln cot ln 3 4y x tgx g x x x= + − − − −

( ) ( )5 31 3ln 3ln ln cot ln 3 49 4

y x tgx g x x x= + − − − −

[ ] ( ) ( )5 31 3ln 3ln ln cot ln 3 49 4

d dy x tgx g x x xdx dx

⎡ ⎤= + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 2 4 25 3

1 1 1 1 3 13 sec cossec 15 12 19 cot 4 3 4

dy x x x xy dx x tgx gx x x x

= + + − − −− − −



155

( )( )( )

4 22 2

5 3

3 15 12 11 3 sec cossec9 cot 4 3 4

x xdy x xy dx x tgx gx x x x

− −+= + −

− − −

( )( )( )

4 22 2

5 3

3 15 12 13 sec cossec9 cot 4 3 4

x xdy x x ydx x tgx gx x x x

⎡ ⎤− −+⎢ ⎥= + −−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( )( )( ) ( )

4 2 32 2 9

3 45 3 5 3

3 15 12 1 cot3 sec cossec9 cot 4 3 4 3 4

x x x tgx gxdy x xdx x tgx gx x x x x x x

⎡ ⎤⎡ ⎤− − −+ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + − ⎢ ⎥−⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦


xd xdx

⎡ ⎤⎣ ⎦

Solução. Aplicando em ambos os lados o logaritmo natural tem-se:

ln ln lnx xy x y x x x= ⇒ = =

[ ] [ ]ln lnd dy x xdx dx

=

[ ] [ ]1 ln ln ln 1dy d dx x x x xy dx dx dx

= + = +

( )ln 1dy x ydx

= +

( )ln 1 xdy x xdx

= +

Daí tem-se que:

( )ln 1x xd x x xdx

⎡ ⎤ = +⎣ ⎦



156

Teorema 3.3.7. Seja 0 1b< ≠ , então:

lnx xd b b bdx

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.17)

Prova. Para provar este resultado usa-se a diferenciação implícita; isto é:

logxby b y x= ⇔ =

então:

[ ] [ ] 1log 1 ln lnln

xb

d d dy dyy x y b b bdx dx y b dx dx

= ⇒ = ⇒ = =


(a) 2⎡ ⎤⎣ ⎦

xddx

(b) 6⎡ ⎤⎣ ⎦

xddx

Solução (a). Como a base é 2, tem-se:

2 2 ln 2⎡ ⎤ =⎣ ⎦x xd

dx

Solução (b). Como a base é 6, tem-se:

6 6 ln 6⎡ ⎤ =⎣ ⎦x xd

dx

Teorema 3.3.8. Se b e= , então:

x xd e edx

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.18)



157

Prova. Usando o resultado do teorema 3.3.7, tem-se:

{1

lnx x xd e e e edx

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 3.3.10. Ache a derivada primeira da função dada.

(a) ( ) xp x e senx= (b) ( ) 310xq x x=

Solução (a).

( ) ( ) ( ) [ ]' cosx x x x xd d dp x e senx e senx e senx e senx e xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (b).

( ) ( ) ( )3 3 3 2 3' 10 10 10 3 10 10 ln10x x x x xd d dq x x x x x xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Usando a notação da regra da cadeia as fórmulas em (3.17) e (3.18)

ficam, respectivamente:

lnu ud dub b bdx dx

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.19)

u ud due edx dx

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.20)

Exemplo Resolvido 3.3.11. Ache.

(a) ( )cottgx gxd edx

−⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 2 xd

dx⎡ ⎤⎣ ⎦



158

Solução (a).

( ) ( ) [ ] ( ) ( )cot cot cot2 2cot sec cossectgx gx tgx gx tgx gxd de e tgx gx x x edx dx

− − −⎡ ⎤ = − = +⎣ ⎦

Solução (b).

1 ln 22 2 ln 2 2 ln 2 2x x x xd d xdx dx x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 3.3.12. Resolva ( )cosln 2 3⎡ ⎤−⎣ ⎦senx xd

dx.

Solução. Usando a regra da cadeia:

( )cos coscos

1ln 2 3 2 32 3

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎝ ⎠senx x senx x

senx xd ddx dx

( ) ( )coscos

1 2 3 cos2 3

senx xsenx x

d dsenx xdx dx

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( )coscos

1 2 cos 32 3

senx xsenx x x senx⎛ ⎞= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠


( )cos

coscos

cos 2 3ln 2 32 3

senx xsenx x

senx xd x senxdx

+⎡ ⎤− =⎣ ⎦ −



159

3.4 Derivada das funções Inversas Trigonométricas e a Regra de L´Hopital

Definição 3.4.1. A função inversa do seno, denotada por arcsenx , está

definida como a inversa da função seno restrita:

, 2 2senx xπ π− ≤ ≤

Em seguida, na figura 3.14, tem-se o gráfico da função =y senx com

a restrição 2 2π π− ≤ ≤x , e o gráfico da sua inversa 1− =y arcsenx .

Figura 3.14

Da figura 3.14 pode-se concluir que:

(1) ( ) [ ]2, 2D senx π π= − e ( ) [ ]Im 1,1senx = −

(2) ( ) [ ]1,1D arcsenx = − e ( ) [ ]Im 2, 2arcsenx π π= −

Devido ao fato das funções y senx= e y arcsenx= serem inversas

tem-se:

para todo [ ] ( )1,1 ,x sen arcsenx x∈ − =

e



160

para todo [ ] ( )2, 2 ,x arcsen senx xπ π∈ − =

Teorema 3.4.1. Seja 1 1x− ≤ ≤ , então:

[ ]2

1

1

d arcsenxdx x

=−

(3.21)

Prova.

y arcsenx seny x= ⇔ =

[ ] [ ]2 2

1 1 1cos 1cos 1 1

d d dy dyseny x ydx dx dx dx y sen y x

= ⇒ = ⇒ = = =− −

Exemplo Resolvido 3.4.1. Determine:

(a) ( )lnd arcsenxdx

⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 2d x arcsenxdx

⎡ ⎤⎣ ⎦

Solução (a). Pela regra da cadeia tem-se:

( ) [ ]2 2

1 1 1 1ln1 1

d darcsenx arcsenxdx arcsenx dx arctgx x arctgx x

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦− −

Solução (b). Usando a regra do produto, então:

[ ]2

2 2 22

21

d d d xx arcsenx x arcsenx x arsenx xarcsenxdx dx dx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −

Definição 3.4.2. A função inversa da tangente, denotada por arctgx , está

definida como a inversa da função tangente restrita:

, 2 2tgx xπ π− ≤ ≤



161

Em seguida, na figura 3.15, tem-se o gráfico da função =y tgx com

a restrição 2 2π π− < <x , e o gráfico da sua inversa 1− =y arctgx .

Figura 3.15

Da figura 3.15 pode-se concluir que:

(1) ( ) ( )2, 2D tgx π π= − e ( ) ( )Im ,tgx = −∞ +∞

(2) ( ) ( ),D arctgx = −∞ +∞ e ( ) ( )Im 2, 2arctgx π π= −

Devido ao fato das funções y tgx= e y arctgx= serem inversas tem-

se:

para todo ( ) ( ), ,x tg arctgx x∈ −∞ +∞ =

e

para todo ( ) ( )2, 2 ,x arctg tgx xπ π∈ − =

Teorema 3.4.2. Seja x−∞≤ ≤+∞ , então:

[ ] 21

1d arctgxdx x

=+

(3.22)



162

Prova.

y arctgx tgy x= ⇔ =

[ ] [ ] 22 2 2

1 1 1sec 1sec 1 1

d d dy dytgy x ydx dx dx dx y tg y x

= ⇒ = ⇒ = = =+ +

Exemplo Resolvido 3.4.2. Determine:

(a) arctgxd edx

⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) xd e arctgx

dx−⎡ ⎤

⎣ ⎦

Solução (a). Neste caso, tem-se, pela regra da cadeia:

[ ] 2 21

1 1

arctgxarctgx arctgx arctgxd d ee e arctgx e

dx dx x x⎛ ⎞⎡ ⎤ = = =⎜ ⎟⎣ ⎦ + +⎝ ⎠

Solução (b). Pela regra do produto, tem-se:

( ) ( ) [ ]x x xd d de arctgx e arctgx e arctgxdx dx dx

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( ) 21

1x xe arctgx e

x− − ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

21 ar

1xe ctgx

x− ⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦

Definição 3.4.3. A função inversa da secante, denotada por secarc x , está

definida como a inversa da função secante restrita:

sec , 0 2x x com xπ π≤ ≤ ≠

Em seguida, na figura 3.16, tem-se o gráfico da função sec=y x com

a restrição 0 2π π≤ ≤ ≠x com x , e o gráfico da sua inversa 1 sec− =y arc x .



163

Figura 3.16

Teorema 3.4.3. Seja 1x≥ ou 1x≤− , então:

[ ]2

1sec1

d arc xdx x x

=−

(3.23)

Prova.

sec secy ar x y x= ⇔ =

[ ] [ ]sec sec 1d d dyy x y tgydx dx dx

= ⇒ =

2 2

1 1 1sec sec sec 1 1

dydx y tgy y y x x

= = =− −

Exemplo Resolvido 3.4.3. Encontre:

(a) secd arc xdx

⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) ( )secd tg arx x

dx⎡ ⎤⎣ ⎦



164

Solução (a). Neste caso, tem-se:

[ ]2

1 1sec secsec 1 sec

d darc x arc xdx dxarc x x x arc x

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ −

Solução (b). Neste caso, tem-se:

( ) ( ) [ ] ( )2 22

1sec sec sec sec sec sec1

d dtg arc x arc x arc x arc xdx dx x x

= =⎡ ⎤⎣ ⎦−

Como

( ) ( )2

2 2sec sec sec secx

arc x arc x x⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦1442443

então:

( ) 22 2

1sec1 1

xd tg arc x xdx x x x

= =⎡ ⎤⎣ ⎦− −

Fórmulas de derivação

(1) [ ]2

1

1

d duarcsenudx dxu

=−

(2) [ ]2

1arccos1

d duudx dxu

−=

−

(3) [ ] 21

1d duarctgudx dxu

=+

(4) [ ] 21

1d duarcotgudx dxu

−=

+

(5) [ ]2

1sec1

d duarc udx dxu u

=−

(6) [ ]2

1cossec1

d duar udx dxu u

−=

−


(a) ( )sec 2xd arcdx

⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 3d arcsen x

dx⎡ ⎤⎣ ⎦



165

Solução (a).

( )( )

( )2 2 2

1 1 ln 2sec 2 2 2 ln 22 2 1 2 12 2 1

x x xx x xx x

d darcdx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦ − −−

Solução (b).

( ) [ ]2

33 22

331

d d d arcsen xarcsen x arcsenx arcsen x arcsenxdx dx dx x

⎡ ⎤⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −

Teorema 3.4.4 (Regra de L’Hopital para a forma 0 0 ). Suponha que lim

representa um dos limites limx p→

, limx p−→

, limx p+→

, limx→−∞

ou limx→+∞

, e que

( )lim 0f x = e ( )lim 0g x = . Se ( )( )'

lim'

f xg x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

tem um valor finito L , ou se este

limite for +∞ ou −∞ , então:

( )( )

( )( )'

lim lim'

f x f xg x g x

= (3.24)

Exemplo Resolvido 3.4.5. Ache os limites.

(a) 0

cos 1limx

xsenx→

− (b)

0

2lim1 xx

xe→ −

Solução (a).

[ ]

[ ]( )

0 0 0 0

cos 1cos 1lim lim lim lim 0cosx x x x

d xx senxdx tgxdsenx xsenxdx

→ → → →

−− −= = = − =



166

Solução (b).

[ ]( ) 0

0 0 0 0

22 2lim lim lim lim 2 2 21 1

xx xx x x xx

d xx dx e ede eedx

−

→ → → →= = = − =− =−

− −⎡ ⎤−⎣ ⎦

Exemplo Resolvido 3.4.6. Ache ( )

4

1lim4x

tgxsen xπ

→

−.

Solução. Como o limite é uma forma indeterminada 0 0 , então, aplica-se

L´Hopital.

( )[ ]

( ) ( ) ( )

2

24

4 4 44

lim sec11 seclim lim lim

4 4cos 4 lim 4cos 44

x

x x xx

xd tgxtgx xdxdsen x x xsen xdx

π

π π ππ

→

→ → →→

⎡ ⎤⎣ ⎦−−= = =

⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦

( )

2 1sec14 2

4cos 4 8

π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =−

−

Exemplo Resolvido 3.4.7. Calcule o limite 5

41

2 1lim1x

x xx→

− +−

.

Solução. Pode-se resolver este limite por fatoração do quociente, mas como

esta fatoração é muito complicada, usa-se a regra de L´Hopital.

55 5 4

4 31 1 14

1 1 12 1 12 1 15 5lim lim lim4 51 41x x x

d x x xx x xdxdx xxdx

→ → →

−⎡ ⎤− + −⎣ ⎦− += = = =−

− ⎡ ⎤−⎣ ⎦



167

Teorema 3.4.5 (Regra de L’Hopital para a forma ∞ ∞ ). Suponha que lim

representa um dos limites limx p→

, limx p−→

, limx p+→

, limx→−∞

ou limx→+∞

, e que

( )lim f x =∞ e ( )lim g x =∞ . Se ( )( )'

lim'

f xg x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

tem um valor finito L , ou se este

limite for +∞ ou −∞ , então:

( )( )

( )( )'

lim lim'

f x f xg x g x

= (3.25)


(a) 1lim

x

x

ex→+∞

− (b)

2lim xx

x xe→+∞

−

Solução (a).

[ ]( )

11lim lim limx

xx

x x x

d ee dx edx xdx

→+∞ →+∞ →+∞

⎡ ⎤−⎣ ⎦−= = =+∞

Se o limite ( )( )'

lim'

f xg x

também for uma forma indeterminada 0 0 ou

∞ ∞ , então, pode-se aplicar novamente a regra de L’Hopital,

( )( )

( )( )

' ''lim lim

' ''f x f xg x g x

=

e se for necessário,

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

' '' '''lim lim lim ... lim ...

' '' '''

n

n

f x f x f x f xg x g x g x g x

= = = = =



168

Solução (b).

[ ]22 2 12 1 2lim lim lim lim lim 0x x xx x x x xx x

d dx x xx x xdx dxd de e ee edx dx

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎡ ⎤− −⎣ ⎦− −= = = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Para resolver limites do tipo

( ) ( )lim g x

x pf x

→ (3.26)

primeiramente, considere a expressão

( ) ( )g xy f x= (3.27)

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtem-se:

( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln lng xy f x y g x f x⎡ ⎤= ⇒ = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )ln lnln g x f x g x f xye e y e⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =

então:

( ) ( ) ( ) ( )lnlim limg x g x f x

x p x pf x e ⎡ ⎤⎣ ⎦

→ →=

e como a função exponencial é contínua, logo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }lim lnlnlim lim x p

g x f xg x g x f x

x p x pf x e e →

⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦→ →

= = (3.28)

Exemplo Resolvido 3.4.9. Prove.

(a) ( )0

lim 1x

xx

+→= (b) ( )1

0lim 1 x

xx e

→+ =



169

Solução (a). Como lnx x xx e= , então:

( ) ( ) ( )ln

0 0 0lim lim exp lim lnx x x

x x xx e x x

+ + +→ → →

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )0 0

lnlim ln lim 1x x

xx x

x+ +→ →

= ∞ ∞Forma Indeterminada

[ ]( )

0 0 0 02

1lnlnlim lim lim lim 01 11x x x x

d xx dx x xd

x xdx x+ + + +→ → → →

= = = − =⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Daí,

( ) 0

0lim 1x

xx e

+→= =

Solução (b). Como ( ) ( ) ( )1 1 ln 11 x x xx e ++ = , então:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln 1

0 0 0

ln 1lim 1 lim exp limx x x

x x x

xx e

x+

→ → →

+⎛ ⎞+ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )0

ln 1lim 0 0

x

xx+→

+Forma Indeterminada

( ) ( )

[ ]0 0 0 0

1ln 1ln 1 11lim lim lim lim 11 1x x x x

d xx dx xdx xxdx

+ + + +→ → → →

+⎡ ⎤⎣ ⎦+ += = = =+

Daí,

( )1 1

0lim 1 x

xx e e

→+ = =



170


01) A derivada primeira de ( )ln x xy e e−= − é dada por:

a) 1

x xe e−+ b)

1x xe e−−

c) 1

x xe e−−

+

d) x x

x xe ee e

−

−−+

e) x x

x xe ee e

−

−+−

02) A função derivada ( )'g x da função ( )2

21ln1

xg xx

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

+⎝ ⎠ é dada por:

a) 4 1x

x − b) 4

21

xx−

c) 44

1xx−

d) 44

1x

x − e) n.d.a.

03) Qual é a derivada 'y da função ( )2ln 1y x x= + − ?

a) 2 1

x

x − b)

21

x

x− c)

2

1

1x −

d) 2

1

1x−

− e)

2

1

1 x−

−

04) Qual a derivada da função 1ln1

senxysenx

−=

+?

a) sec x− b) tgx− c) cossec x−

d) cos x− e) senx−



171

05) Seja ( ) ( )xf x arctg e−= , então, a função ( )'f x é dada por:

a) 21

x

xee

−

−+ b) 21

x

xee

−

−− c) 21

x

xee

−

−−−

d) 2

21

x

xe

e

−

−+ e) 21

x

xee

−

−−+

06) Qual é a função ( )'g x para ( ) ( )1g x arcsen x= − ?

a) 11x x−

b) 1

2 1x x−

− c)

12 1x x−

d) 21

xx

−−

e) 1

xx

−−

07) A função derivada segunda de ( ) tgxH x e= é dada por:

a) ( )4sec 2 1tgxx e tgx⋅ + b) ( )2sec 2 1tgxx e tgx⋅ +

c) ( )2 2sec 2 sectgxx e tgx x⋅ + d) ( )2 4sec 2 sectgxx e tgx x⋅ +

e) ( )4 2sec 2 sectgxx e tgx x⋅ +

08) A função ( )''f x , derivada segunda da função ( ) ( )log 1f x senx= + , é dada

por:

a) ( )

11 ln10senx

−+

b) ( )

11 cos ln10x+

c) ( )

11 cos ln10x

−+

d) ( )

11 ln10senx

−−

e) ( )

11 ln10senx+

09) A equação da reta normal ao gráfico de 2 2x xy e e−= − em 0x= é dada por:

a) 14

x− b) 12

x− c) 1 12 4

x− −

d) 1 14 4

x− + e) 1 12 2

x− −



172

10) A curva de equação 2 4 25y x x= − é chamada kampyle de Eudoxus. Qual

é a equação da reta tangente a esta curva no ponto ( )1,2 ?

a) 1 52 2

y x= + b) 1 52 2

y x=− + c) 9 52 2

y x= −

d) 9 52 2

y x=− − e) 52

y x=

11) Seja a equação 2 2 2y senx x tgy π+ = , então, dydx

é dado por:

a) 2

2 22

2 cosy senx xtgyy x x tg y

+−

+ b)

2

2 2cos 2 cot

2y x x gy

ysenx x tg y−−

c) 2

2 2cos 2

2 cos secy x xtgyy x x y

−−

d) 2

2 22 cot

2 cossecy senx x gyysenx x y

−+

e) 2

2 2cos 2

2 secy x xtgyysenx x y

+−

+

12) Seja a equação cosxye y senx− − = , então, dydx

é dado por:

a) cos

xy

xysenx ye

y xe

−

−+−

b) cos xy

xyx ye

seny xe

−

−+−

c) cos

xy

xyxe senyye x

−

−−+

d) cosxy

xyxe xye seny

−

−+−

e) cos

xy

xyseny yexe x

−

−−−



173

13) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a

manter constante o volume V . Num determinado instante 3h cm= e 1r cm= ,

e neste instante a altura está variando a uma taxa de 0 6, cm s . A que taxa

está variando o raio neste instante?

a) 0 1, cm s− b) 0 2, cm s− c) 0 5, cm s

d) 0 2, cm s e) 0 1, cm s

14) Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone à taxa constante de 31 44, m min . As forças de atrito na areia são tais que a altura do monte é

sempre igual ao diâmetro de sua base. Com que velocidade a altura do monte

aumenta quando ele tem 0,6 m de altura?

a) 4 m minπ

b) 16 m minπ

c) 2 m minπ

d) 1 m minπ

e) 8 m minπ

15) Um garoto anda ao longo de uma calçada reta a uma velocidade de 4 ft s

(pés por segundo). Um holofote localizado no chão a 20 ft do caminho focaliza

o garoto. A que taxa o holofote está girando quando o garoto está à 15 ft do

ponto do caminho mais próximo da luz?

a) 16125

rad s b) 8

125rad s c)

1625

rad s

d) 32

125rad s e)

3225

rad s



174

16) Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume

cresce a uma taxa de 3100 cm s . Quão rápido o raio do balão está crescendo

quando o diâmetro é 50 cm ?

a) 1

5cm s

π b)

25

cm sπ

c) 1

25cm s

π

d) 2

25cm s

π e)

425

cm sπ

17) Qual o valor do limite 1

lnlim1x

xx→ −

?

a) e b) 1− c) 2e d) 1 e) 1e−

18) O valor de ( )

( )0

coslim

2

x

x

e xsen x

π π→

− é dado por:

a) 2π

− b) π− c) 1− d) 2π

e) 1

19) Qual o valor de 32lim 1

x

x x→+∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

?

a) e b) 2e c) 31e

d) 41e

e) 6e

20) O valor do limite ( )10

lim 1 x

xsenx

→+ é:

a) 0 b) e c) 1e

d) 2e e) 1



175

CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES DA DERIVADA

4.1 Crescimento, decrescimento e concavidade

Neste módulo usam-se métodos do cálculo diferencial para analisar

as funções e seus gráficos, identificando intervalos em que o gráfico da função

seja crescente ou decrescente, identificando onde ocorrem seus pontos mais

altos e mais baixos, de que forma os gráficos se inclinam e qual o

comportamento-limite em pontos específicos.

Inicialmente deve-se entender que os termos crescente, decrescente

e constante são usados para descrever o comportamento do gráfico de uma

função em um intervalo, à medida que este é percorrido da esquerda para a

direita. Por exemplo, a função descrita na figura 4.1, pode ser descrita como

crescente nos intervalos ( )0 1,x x e ( )2 3,x x , decrescente no intervalo ( )1 2,x x e

constante no intervalo ( )3 4,x x .

Figura 4.1



176

Definição 4.1.1. Seja f uma função definida em um intervalo e sejam 1x e 2x

pontos deste intervalo, então:

(a) f é crescente no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x< para 1 2x x< .

(b) f é decrescente no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x> para 1 2x x< .

(c) f é constante no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x= para todo 1x e 2x .

Figura 4.2

De acordo com a figura 4.3 se uma função diferenciável f tem o

gráfico crescente em algum intervalo aberto, então, pode-se chegar à

conclusão de que qualquer reta tangente ao gráfico de f tem uma inclinação

positiva, isto é, ' 0f > . De modo análogo, se f diferenciável tem um gráfico

decrescente em algum intervalo aberto, então, ' 0f < e se f diferenciável for

constante em algum intervalo aberto, então, ' 0f = .



177

Figura 4.3

Teorema 4.1.1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [ ],a b e

diferenciável no intervalo aberto ( ),a b .

(a) Se ( )' 0f x > para todo ( ),x a b∈ , então f é crescente em [ ],a b .

(b) Se ( )' 0f x < para todo ( ),x a b∈ , então f é decrescente em [ ],a b .

(c) Se ( )' 0f x = para todo ( ),x a b∈ , então f é constante em [ ],a b .

Exemplo Resolvido 4.1.1. Ache os intervalos abertos nos quais as funções

sejam crescentes ou decrescentes.

(a) ( ) 2 8 1f x x x= − + (b) ( ) 3 22 3f x x x= +

Solução (a). Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, deve-se

analisar o sinal da derivada primeira. A derivada primeira da função é dada por:

( )' 2 8f x x= −

A distribuição de sinal da função 'f é dada por:



178

Logo pode-se concluir que:

f é decrescente em ( ),4−∞

f é crescente em ( )4,+∞

Solução (b). Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, deve-se

analisar o sinal da derivada primeira. A derivada primeira é dada por:

( ) 26 6f x x x= +

A distribuição de sinal da função 'f é dada por:

Logo, pode-se concluir que:

f é decrescente em ( )1,0−

f é crescente em ( ) ( ), 1 0,−∞ − ∪ +∞

Exemplo Resolvido 4.1.2. Seja ( ) xg x xe= , então, ache intervalos abertos no

qual a função seja crescente ou decrescente.

Solução. Para encontra intervalos abertos deve-se estudar o sinal da derivada

primeira.

( ) ( )' 1 xg x x e= +

Como 0xe > para todo x R∈ , então, a distribuição de sinal da

derivada é igual ao da expressão 1x + , que é dada por:

Logo, g é decrescente em ( ), 1−∞ − e g é crescente em ( )1,− +∞ .



179

Exemplo Resolvido 4.1.3. Seja a função ( ) 3 35 2h x x x= + , então, estude o

sinal de sua derivada primeira e encontre intervalos de crescimento e

decrescimento.

Solução. Para facilitar o calculo de sua derivada, pode-se escrever a função da

seguinte forma:

( ) 5 3 2 3h x x x= +

A função derivada é dada por:

( ) 32 3 1 3 23

5 2 5 2'3 3 3 3

h x x x xx

−= + = +

Para estudar o sinal da função 'h , pode-se escrever esta função

como um quociente, da seguinte forma:

( ) 35 2'3xh x

x+

=

de onde se pode concluir que a distribuição de sinal é dada por:

Daí tem-se:

h é crescente em ( )2, 0,5

⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

e

h é decrescente em 2 ,05

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Definição 4.1.2. Se f for diferenciável em um intervalo aberto I , então o

gráfico de f é classificado como sendo convexo se 'f for crescente em I , e

côncavo se 'f for decrescente em I .



180

Figura 4.4

Como o crescimento e decrescimento de uma função são

determinados pelo sinal da função derivada. Logo, pode-se concluir que 'f é

crescente se '' 0f > , e, analogamente, 'f é decrescente se '' 0f < , o que é

confirmado pelo teorema 4.1.2.

Teorema 4.1.2. Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I ,

então:

(a) Se ( )'' 0f x > em I , então f tem o gráfico convexo em I .

(b) Se ( )'' 0f x < em I , então f tem o gráfico côncavo em I .

Definição 4.1.3. Uma função f é dita convexa ou côncava em um intervalo

I , quando o gráfico de f é convexo ou côncavo em I , respectivamente.

Exemplo Resolvido 4.1.4. Encontre intervalos abertos no qual a função tenha

o gráfico convexo e côncavo.

(a) ( ) 3 23q x x x= − (b) ( ) ( )2ln 1p x x= +



181

Solução (a). Para encontrar os intervalos no qual o gráfico da função seja

convexo e côncavo, deve-se estudar o sinal da derivada segunda.

As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por:

( ) 2' 3 6q x x x= −

e

( )'' 6 6q x x= −

A distribuição de sinais da 2ª derivada é dada por:

Daí, q é côncava em ( ),1−∞ e q é convexa em ( )1,+∞ .

Solução (b). Para encontrar os intervalos no qual o gráfico da função seja

convexo e côncavo, deve-se estudar o sinal da derivada segunda.


( ) 22'

1xp xx

=+

e

( )( )

( )

2

22

2 1''

1

xp x

x

−=

+

Como a expressão ( )221 0x+ > , a distribuição de sinais da 2ª

derivada é dada pela distribuição de sinais da expressão ( )22 1 x− , que é dado

por:

Daí, p é côncava em ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ e p é convexa em ( )1,1− .



182

Definição 4.1.4. Se f for contínua em um intervalo aberto contendo 0x e se o

gráfico de f muda de convexo para côncavo, e vise-versa, em 0x , diz-se,

então, que f tem um ponto de inflexão em 0x e chama-se o par ( )( )0 0,x f x

do gráfico de f um ponto de inflexão de f .

Figura 4.5

Exemplo Resolvido 4.1.5. Considere a função ( ) 21

4F x

x=

+, então, verifique

se a função apresenta pontos de inflexão.

Solução. Tem-se que a função é definida para todo x R∈ . As derivadas

primeira e segunda são dadas, respectivamente por:

( )( )22

2'4

xF xx

−=

+

e

( )( )

2

32

6 8''4

xF xx

−=

+



183

Os pontos de inflexão são encontrados através do estudo do sinal da

função ''F . Como a expressão ( )324 0x+ > , então o sinal de ''F é igual ao

sinal da expressão 26 8x − , que é dado por:

Como ocorre a mudança de sinal de ''F em 2 3

3x=− e em

2 33

x= , tem-se que a função F apresenta os seguintes pontos de inflexão:

2 3 3,3 16

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

e 2 3 3,

3 16⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo Resolvido 4.1.6. Seja a função ( )2−= xh x e , então, determine

intervalos abertos nos quais:

(a) h é crescente e decrescente.

(b) h é côncava para cima e côncava para baixo.

Solução (a). A função derivada primeira é dada por:

( )2

' 2 −=− xh x xe

Devido ao fato de 2

0xe− > e, então o sinal da função 'h é igual ao

sinal da expressão 2x− , que é dado por:

Daí tem-se que a função h é crescente no intervalo ( ),0−∞ e é

decrescente no intervalo ( )0,+∞ .



184

Solução (b). A função derivada segunda é dada por:

( ) ( ) 22'' 4 2 xh x x e−= −

Devido ao fato de 2

0xe− > e, então o sinal da função ''h é igual ao

sinal da expressão 24 2x − , que é dado por:

Daí a função h é côncava no intervalo 1 1,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

e convexa no

intervalo 1 1, ,2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.



185

4.2 Extremos relativos

Definição 4.2.1. Uma função f se diz ter um máximo relativo em 0x se

houver um intervalo aberto contendo 0x , no qual ( )0f x é o maior valor, isto é,

( ) ( )0f x f x≥ para todo x no intervalo. Analogamente, se diz que f tem um

mínimo relativo em 0x se houver um intervalo aberto contendo 0x , no qual

( )0f x é o menor valor, isto é, ( ) ( )0f x f x≤ para todo x no intervalo. Quando

f tiver um máximo ou um mínimo relativo em 0x , se diz que f tem um

extremo relativo em 0x .

Figura 4.6



186

Os gráficos (a) e (b) da figura 4.6 apresentam um máximo relativo

em 0x , porém, em (a), como é um ponto de pico, tem-se que ( )0'f x∃ e em (b)

tem-se que ( )0' 0f x = . De modo análogo, os gráficos (c) e (d) da figura 4.6

apresentam um mínimo relativo em 0x , porém, em (c), como é um ponto de

pico, tem-se que ( )0'f x∃ e em (d) tem-se que ( )0' 0f x = .

Teorema 4.2.1. Se uma função f tiver extremos relativos, então eles ocorrem

ou em pontos onde ( )' 0f x = ou em pontos de não-diferenciabilidade.

Os pontos onde a derivada primeira é nula, ou seja, ( )' 0f x = , e os

pontos onde não existe a derivada primeira, são chamados de pontos críticos

de f . Os pontos no quais ( )' 0f x = podem, ainda, ser chamados de pontos

críticos estacionários.

Corolário 4.2.1.1. Os extremos relativos de uma função se houver, ocorrem

em pontos críticos.

O teorema 4.2.1 diz que se uma função tiver extremos relativos eles

precisam ocorrer em pontos críticos e não que se ela tiver pontos críticos, estes

são extremos relativos. Então, todo extremo relativo é ponto crítico e não o

contrário.

Teorema 4.2.2 (Teste da Derivada Primeira). Suponha f contínua em um

ponto crítico 0x .

(a) Se ( )' 0f x > em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de 0x e

( )' 0f x < em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x , então f tem

um máximo relativo em 0x .



187

(b) Se ( )' 0f x < em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de 0x e

( )' 0f x > em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x , então f tem

um mínimo relativo em 0x .

(c) Se ( )'f x tiver o mesmo sinal em um intervalo aberto ampliando-se à

esquerda de 0x e, em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x , então

f não tem extremos relativos em 0x .

Exemplo Resolvido 4.2.1. Encontre os extremos relativos.

(a) ( ) 2 2 3= − −p x x x (b) ( ) 3 23 9 11= − − +q x x x x

Solução (a). A derivada primeira é dada por:

( )' 2 2p x x= −

Como a função é polinomial, então, não há pontos de não

diferenciabilidade. Logo os pontos críticos são encontrados resolvendo a

equação ( )' 0p x = . Isto é, resolvendo:

2 2 0x − =

tem-se 1x= . Então a função p apresenta um ponto crítico estacionário em

1x= .

A distribuição de sinais da função derivada é dada por:

Aplicando o teste da derivada primeira, tem-se que, como o sinal da

derivada primeira muda de negativo para positivo em 1x= , a função p

apresenta um mínimo relativo em 1x= . Ou seja, a função apresenta um valor

mínimo dado por ( )1 4p = .



188

Solução (b). A derivada primeira é dada por:

( ) 2' 3 6 9q x x x= − −

Como a função é polinomial, então, não há pontos de não

diferenciabilidade. Logo os pontos críticos são encontrados resolvendo a

equação ( )' 0q x = . Isto é, resolvendo:

23 6 9 0x x− − =

tem-se 1 1x =− e 2 3x = . Então a função q apresenta pontos críticos

estacionários em 1 1x =− e 2 3x = .

A distribuição de sinais da função derivada é dada por:

O sinal da derivada primeira muda de positivo para negativo em

1 1x =− , logo a função q apresenta um máximo relativo em 1 1x =− , dado por

( )1 16q − = . Analogamente, como o sinal da derivada primeira muda de

negativo para positivo em 2 3x = , então q tem um mínimo relativo em 2 3x = ,

dado por ( )3 16q =− .

Exemplo Resolvido 4.2.2. Encontre os pontos críticos da função

( ) 4 34 1f x x x= + − e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou

nenhum dos dois.

Solução. Como a função é polinomial, então os pontos críticos são dados pelos

zeros da derivada primeira. Isto é deve-se resolver a equação ( )' 0f x = .

Tem-se que a derivada primeira é dada por:

( ) 3 2' 4 12f x x x= +



189

Resolvendo a equação ( )' 0f x = , então:

3 24 12 0x x+ =

que pode ser simplificada para a forma:

( )24 3 0x x + =

As raízes desta equação são 1 0x = , com multiplicidade dois, e

2 3x =− . Como 24 0x > , então, a distribuição de sinais da derivada primeira é

igual ao da expressão 3x + que é dado por:

Como o sinal de 'f muda de negativo para positivo em 3x=− , tem-

se que f apresenta um mínimo relativo em 3x=− que é dado por

( )3 28f − =− . Em 0x= não ocorre uma mudança de sinal, logo, pode-se

concluir que a função f não apresenta extremo relativo neste ponto.

Exemplo Resolvido 4.2.3. Seja a função ( ) 3 4312 3g x x x= − , então,

determine os pontos críticos e classifique-os em máximo relativo, mínimo

relativo ou nenhum dos dois.

Solução. Inicialmente, encontram-se os pontos críticos. A função pode ser

escrita da forma:

( ) 1 3 4 312 3g x x x= −

cuja derivada é dada por:

( ) ( )2 3 1 32 3

4 1' 4 4

xg x x x

x− −

= − =



190

A função g apresenta dois pontos críticos; em 1x= , um ponto

crítico estacionário, pois ( )' 1 0g = , e em 0x= , um ponto crítico de não

diferenciabilidade, pois ( )' 0g∃ .

A distribuição de sinal da função 'g é dada por:

Como o sinal de 'g muda de positivo para negativo em 1x= , então

g apresenta máximo relativo em neste ponto, dado por ( )1 9g = . Em 0x=

como o sinal de 'g não muda, então não há extremos relativo neste ponto.

Figura 4.7

Se a função apresenta um mínimo relativo em um ponto crítico

estacionário 0x , então o gráfico da função é convexo, como mostrado na figura

4.7 (a), então, pode-se concluir que em um intervalo aberto contendo 0x , tem-

se ( )'' 0f x < e conseqüente ( )0'' 0f x < .



191

Analogamente, se a função apresenta um máximo relativo em um

ponto crítico estacionário 0x , então o gráfico da função é côncavo, como

mostrado na figura 4.7 (b), então, pode-se concluir que em um intervalo aberto

contendo 0x , tem-se ( )'' 0f x > e conseqüente ( )0'' 0f x > .

Da análise da figura 4.7 pode-se concluir que para determinar se um

ponto crítico estacionário é um extremo relativo, basta analisar o sinal da

derivada segunda neste ponto, como mostra o teorema 4.2.2.

Teorema 4.2.2 (Teste da Derivada Segunda). Suponha que f seja duas

vezes diferenciável em um ponto crítico estacionário 0x .

(a) Se ( )0'' 0f x > , então f tem em 0x um mínimo relativo.

(b) Se ( )0'' 0f x < , então f tem em 0x um máximo relativo.

(c) Se ( )0'' 0f x = , então o teste é inconclusivo.

O que o teorema 4.2.2 parte (c) afirma é que se ( )0'' 0f x = , então, o

ponto 0x pode ser um máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

Se ocorrer este caso deve-se, então, utilizar o teorema 4.2.1 para determinar

se o ponto é ou não um extremo relativo.

Exemplo Resolvido 4.2.4. Seja a função ( )22 xh x x e−= , então, encontre os

pontos críticos e classifique-os.

Solução. A função derivada primeira é dada por:

( ) ( ) 23' 2 2 xh x x x e−= −

Resolvendo a equação

( ) ( ) 22' 2 1 0xh x x x e−= − =



192

obtem-se as seguintes soluções: 1 1x =− , 2 0x = e 3 1x = , que são os pontos

críticos da função h .

A função derivada segunda é dada por:

( ) ( ) 24 2'' 4 12 2 xh x x x e−= − +

Aplicando o teste da derivada,

i) para 1x=− , tem-se ( ) 6'' 1 0he

− =− < . Daí pode-se concluir que h tem um

máximo relativo em 1x=− , dado por ( ) 11he

− = .

ii) para 0x= , tem-se ( )'' 0 2 0h = > . Daí pode-se concluir que h tem um mínimo

relativo em 0x= , dado por ( )0 0h = .

iii) para 1x= , tem-se ( ) 6'' 1 0he

=− < . Daí pode-se concluir que h tem um

máximo relativo em 1x= , dado por ( ) 11he

= .

Exemplo Resolvido 4.2.5. Encontre os extremos relativos para a função

:g R R→ dada por ( ) 4 21 1 14 2 4

g x x x= − + .

Solução. A derivada primeira é dada por:

( ) 3'g x x x= −

Resolvendo a equação:

( ) 3' 0g x x x= − =

obtem-se a seguintes soluções: 1 1x =− , 2 0x = e 3 1x = , que são os pontos

críticos da função g .



193

A derivada segunda é dada por:

( ) 2'' 3 1g x x= −

Agora, aplica-se o teste da derivada segunda nos pontos críticos,

i) para 1x=− , tem-se ( )'' 1 2 0g − = > . Daí pode-se concluir que g tem um

mínimo relativo em 1x=− , dado por ( )1 0g − = .

ii) para 0x= , tem-se ( )'' 0 1 0g =− < . Daí pode-se concluir que g tem um

máximo relativo em 0x= , dado por ( )0 0g = .

iii) para 1x= , tem-se ( )'' 1 2 0g = > . Daí pode-se concluir que g tem um mínimo

relativo em 1x= , dado por ( )1 0g = .



194

4.3 Extremos absolutos e gráficos

Definição 4.3.1. Diz-se que uma função f tem um máximo absoluto em 0x

de um intervalo I , se ( )0f x for o maior valor de f em I ; isto é,

( ) ( )0f x f x≥ para todo x em I . Analogamente, se diz que uma função f tem

um mínimo absoluto em 0x de um intervalo I , se ( )0f x for o menor valor de

f em I ; isto é, ( ) ( )0f x f x≤ para todo x em I . Se f tiver em 0x qualquer

um dos dois, máximo absoluto ou mínimo absoluto, diz-se que f tem em

0x I∈ um extremo absoluto.

Teorema 4.3.1 (Teorema do Valor Extremo ou Teorema de Weierstrass).

Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito [ ],a b , então f

tem ambos um máximo e um mínimo absolutos em [ ],a b .

Exemplo Resolvido 4.3.1. Seja a função [ ]: 1,3f R→ dada por ( ) 3 4f x x= − ,

então, determine os extremos absolutos.

Solução. A função é polinomial, então, ela obedece às hipóteses do teorema

4.3.1. Daí pode-se concluir que há um máximo e um mínimo absolutos em

[ ]1,3 .

A função f é estritamente crescente, pois, ( ) 2' 3 0f x x= ≥ . Logo, os

extremos absolutos devem ocorrer nos extremos do intervalo [ ]1,3 . Então,

calculando as imagens dos extremos tem-se:

( )1 3f =−

e

( )3 23f =



195

Daí pode-se concluir que f assume um mínimo absoluto em 1x= ,

dado por ( )1 3f =− , e assume um máximo absoluto em 1x= , dado

por ( )3 23f = .

Pode-se confirmar este resultado através do gráfico da função

apresentado na figura 4.8. Isto é para este domínio fechado [ ]1,3 , a imagem é

o intervalo fechado [ ]3,23− .

Figura 4.8

Teorema 4.3.2. Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto ( ),a b ,

então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de f .

Exemplo Resolvido 4.3.2. Encontre os extremos absolutos da função

( ) 3 23 1g x x x= − + no intervalo [ ]2,5− .

Solução. Inicialmente deve-se verificar se neste intervalo há extremos relativos.



196

( ) 2' 3 6g x x x= −

Resolvendo

23 6 0x x− =

obtém-se os pontos críticos, 0x= e 2x= .

Agora se estuda o sinal da função 'g para classificar os pontos

críticos.

Então, pode-se concluir que a função g assume um valor máximo

relativo em 0x= e um valor mínimo relativo em 2x= . Agora como a função é

crescente em [ ] [ ]2,0 2,5− ∪ e decrescente em [ ]0,2 , determinam-se as

imagens dos extremos do intervalo, além dos pontos críticos.

Tem-se que ( )2 19g − =− , ( )0 1g = , ( )2 3g =− e ( )5 51g = .

Analisando as imagens dos pontos, pode-se concluir que o máximo absoluto

ocorre em 5x= e é dado por ( )5 51g = e o mínimo absoluto ocorre em 2x =−

e é dado por ( )2 19g − =− .

Teorema 4.3.3. Seja f uma função contínua em ( ),−∞ +∞ .

(a) Se ( )limx

f x→−∞

=+∞ e ( )limx

f x→+∞

=+∞ , então f tem um mínimo absoluto,

porém nenhum máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ .

(b) Se ( )limx

f x→−∞

=−∞ e ( )limx

f x→+∞

=−∞ , então f tem um máximo absoluto,

porém nenhum mínimo absoluto em ( ),−∞ +∞ .

(c) Se ( )limx

f x→−∞

=−∞ e ( )limx

f x→+∞

=+∞ , então f não tem nem mínimo

absoluto, nem máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ .



197

(d) Se ( )limx

f x→−∞

=+∞ e ( )limx

f x→+∞

=−∞ , então f não tem nem mínimo

absoluto, nem máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ .

Figura 4.9

Figura 4.10



198

Exemplo Resolvido 4.3.3. Prove que a função ( ) 2 41 12 4

h x x x= − possui

máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ . Onde ocorre esse máximo?

Solução. Para verifica se a função apresenta extremos absolutos, basta

determinarem os limites infinitos, isto é:

( ) 2 41 1lim lim2 4x x

h x x x→−∞ →−∞

⎛ ⎞= − =−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

e

( ) 2 41 1lim lim2 4x x

h x x x→+∞ →+∞

⎛ ⎞= − =−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo, como ( )limx

h x→−∞

=−∞ e ( )limx

h x→+∞

=−∞ , então h apresenta

um máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ . Este máximo absoluto precisa ocorrer em

um ponto crítico de h .

Os pontos críticos são determinados pelos zeros da função derivada,

isto é:

( ) 3' 0h x x x= − =

obtendo 1x=− , 0x= e 1x= , como pontos críticos.

A derivada segunda é dada por:

( ) 2'' 1 3h x x= −

então, aplicando o teste da 2ª derivada, tem-se:

i) para 1x=− tem-se ( )'' 1 2 0h − =− < , então, ocorre um máximo relativo em

1x=− dado por ( ) 114

h − = .

ii) para 0x= tem-se ( )'' 0 1 0h = > , então, ocorre um mínimo relativo em 0x=

dado por ( )0 0h = .



199

iii) para 1x = tem-se ( )'' 1 2 0h =− < , então, ocorre um máximo relativo em 1x=

dado por ( ) 114

h = .

Daí pode-se concluir que o valor máximo que a função assume é 14

e ocorre nos pontos onde 1x=− e 1x= .

Teorema 4.3.4. Seja f uma função contínua em um intervalo aberto ( ),a b .

(a) Se ( )limx a

f x+→

=+∞ e ( )limx b

f x−→

=+∞ , então f tem um mínimo absoluto,

porém nenhum máximo absoluto em ( ),a b .

(b) Se ( )limx a

f x+→

=−∞ e ( )limx b

f x−→

=−∞ , então f tem um máximo absoluto,

porém nenhum mínimo absoluto em ( ),a b .

(c) Se ( )limx a

f x+→

=−∞ e ( )limx b

f x−→

=+∞ , então f não tem nem mínimo

absoluto, nem máximo absoluto em ( ),a b .

(d) Se ( )limx a

f x+→

=+∞ e ( )limx b

f x−→

=−∞ , então f não tem nem mínimo

absoluto, nem máximo absoluto em ( ),a b .

Nas figuras 4.11 e 4.12 pode-se ver claramente as quatro situações

apresentadas no teorema 4.3.4. Nestes quatro casos as retas x a= e x b= são

as assíntotas verticais do gráfico da função ( )y f x= .



200

Figura 4.11

Figura 4.12



201

Teorema 4.3.5. Suponha f contínua e tem exatamente um extremo relativo

em um intervalo I , digamos em 0x .

(a) Se f tiver um mínimo relativo em 0x , então ( )0f x é o mínimo absoluto de

f em I .

(b) Se f tiver um máximo relativo em 0x , então ( )0f x é o máximo absoluto

de f em I .

Para se esboçar o gráfico de uma função devem-se seguir os

seguintes passos listados abaixo:

1) Determinar o domínio da função;

2) Intervalos de crescimento e decrescimento;

3) Intervalos de concavidade e convexidade;

4) Pontos críticos e de inflexão;

5) Extremos relativos;

6) Limites infinitos e assíntotas verticais;

7) Limites no infinito e assíntotas horizontais;

8) Fazer um esboço do gráfico.

Exemplo Resolvido 4.3.4. Seja :F R R→ dada por ( ) 3 23 9 6F x x x x= − − + ,

então, esboce o seu gráfico.

Solução. O domínio da função é dado por: ( )D F R= . Em seguida determinam-

se determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, e os intervalos

onde a função seja côncava e convexa.


( ) 2' 3 6 9F x x x= − −



202

e

( )'' 6 6F x x= −

Os sinais das derivadas, primeira e segunda, são dados,


e

Os pontos críticos da função ocorrem em 1x= − e 3x= , enquanto

que ocorre um ponto de inflexão em 1x= . De acordo com as informações

dadas pelos sinais das derivadas, primeira e segunda, pode-se construir a

tabela 4.1.

Tabela 4.1

x ( )F x ( )'F x ( )''F x Conclusão

1x<− + − F é crescente e côncava

1x=− 11 0 12− Máximo relativo

1 1x− < < − − F é decrescente e côncava

1x= 5− 0 Ponto de inflexão

1 3x< < − + F é decrescente e convexa

3x= 21− 0 12 Mínimo relativo

3x> + + F é crescente e convexa



203

Como a função é polinomial não há assíntotas verticais e

horizontais. Deve-se, no entanto, determinar os limites no infinito. Logo,

( ) ( )3 2lim lim 3 9 6x x

F x x x x→+∞ →+∞

= − − + =+∞

e

( ) ( )3 2lim lim 3 9 6x x

F x x x x→−∞ →−∞

= − − + =−∞

de onde pode-se concluir que não há nenhum extremo absoluto.

O gráfico da função é apresentado na figura 4.13.

Figura 4.13

Exemplo Resolvido 4.3.5. Seja :f R R→ dada por ( )2

2 1xf x

x=

−, então,

esboce o seu gráfico.



204

Solução. O domínio da função é dado por: ( ) { }/ 1D f x R x= ∈ ≠ ± . Como a

função é racional, então, inicialmente devem-se determinar os pontos que

zeram o denominador. Isto significa resolver a equação 2 1 0x − = , que tem

como soluções 1 1x =− e 2 1x = . Neste caso, estes pontos são dito pontos de

descontinuidades infinitas.


( )( )22

2'1

xf xx

−=

−

e

( )( )

2

32

6 2''1

xf xx

+=

−



e

De onde se pode concluir que a função apresenta apenas um ponto

crítico, em 0x= , porém não apresenta pontos de inflexão.

Os limites infinitos ocorrem nas proximidades para 1x=− e 1x= , e

são dados por:

( )2

21 1lim lim

1x x

xf xx− −→− →−

= =+∞−

e ( )2

21 1lim lim

1x x

xf xx+ +→− →−

= =−∞−

e



205

( )2

21 1lim lim

1x x

xf xx− −→ →

= =−∞−

e ( )2

21 1lim lim

1x x

xf xx+ +→ →

= =+∞−

onde as retas 1x=− e 1x= são chamadas de assíntotas verticais do gráfico.

Os limites no infinito são dados por:

( )2

2lim lim 11x x

xf xx→−∞ →−∞

= =−

e

( )2

2lim lim 11x x

xf xx→+∞ →+∞

= =−

de onde pode-se concluir que a reta 1y= é a assíntota horizontal do gráfico.

De acordo com as informações dadas pelas derivadas, primeira e

segunda, pode-se construir a tabela 4.2.

Tabela 4.2

x ( )f x ( )'f x ( )''f x Conclusão

1x<− + + f é crescente e convexa

1x=− ∃ ∃ ∃ Descontinuidade infinita

1 0x− < < + − f é crescente e côncava

0x= 0 0 2− Máximo relativo

1 3x< < − − f é decrescente e côncava

1x= ∃ ∃ ∃ Descontinuidade infinita

3x> _ + f é decrescente e convexa



206

O gráfico é, então, apresentado na figura 4.14.

Figura 4.14

Exemplo Resolvido 4.3.6. Esboce o gráfico da função ( ) xg x xe= .

Solução. A função é um produto entre as funções x e xe , que são definidas em

toda parte, logo, pode-se concluir que o domínio da função é dada por:

( )D g R= .


( ) ( )' 1 xg x x e= +

e

( ) ( )'' 2 xg x x e= +





207

e

A função apresenta um ponto crítico em 1x= − e apresenta um

ponto de inflexão em 2x=− . De acordo com as informações dadas pelos

sinais das derivadas, primeira e segunda, pode-se construir a tabela 4.3.

Tabela 4.3

A função é um produto entre uma função polinomial e uma função

exponencial, logo não há assíntotas verticais. Em seguida devem-se

determinar os limites no infinito,

( )lim lim lim limx x

x x x xg x xe x e

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+∞ +∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= = =+∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠1424314243

e

( )0

lim lim lim limx x

x x x xg x xe x e

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

−∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠1424314243

x ( )g x ( )'g x ( )''g x Conclusão

1x<− − − g é decrescente e côncava

2x=− 22 e− 0 Ponto de inflexão

2 1x− < <− − + f é decrescente e convexa

1x=− 1 e− 0 1 e Mínimo relativo

1x >− + + f é crescente e convexa



208

neste caso deve-se escrever este limite da forma indeterminada ∞ ∞ :

[ ] 1lim lim lim lim 0xx xx x x xx

d xx dx ede eedx

− −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞−= = =− =

−⎡ ⎤⎣ ⎦

Neste caso, tem-se que a reta 0y= é uma assíntota horizontal do

gráfico da função. Em seguida tem-se o gráfico da função apresentado na

figura 4.15.

Figura 4.15

Ao analisar o gráfico apresentado na figura 4.15 pode-se chegar a

conclusão que a função apresenta um valor mínimo absoluto de 1e

− que ocorre

em 1x=− .



209

Teorema 4.3.6 (Teorema de Rolle). Seja f diferenciável em ( ),a b e contínua

em [ ],a b . Se ( ) ( )f a f b= , então há pelo menos um ponto c em ( ),a b , tal que

( )' 0f c = .

Figura 4.16

Este teorema afirma que se o gráfico de uma função cruza qualquer

reta horizontal em dois pontos, a e b , então necessariamente deve existir

entre eles pelo menos um ponto no qual a reta tangente é horizontal, como

mostrado na figura 4.16.

Teorema 4.3.7 (Teorema do Valor Médio). Seja f diferenciável em ( ),a b e

contínua em [ ],a b , então existe pelo menos um ponto c em ( ),a b , tal que:

( ) ( ) ( )'f b f a

f cb a−

=−

(4.1)



210

O teorema do valor médio afirma, geometricamente, que se uma

função f for contínua em [ ],a b e diferenciável em ( ),a b , então existe pelo

menos um c em ( ),a b tal que a reta tangente à curva ( )y f x= em x c= é

paralela à reta secante que passa pelos pontos ( )( ),a f a e ( )( ),b f b , como

mostra a figura 4.17.

.

Figura 4.17

De acordo com a figura 4.17 a reta t é paralela à reta s, logo tem a

mesma inclinação, isto é t sm m= . Como ( )'tm f c= e ( ) ( )

sf b f a

mb a−

=−

, então,

pode-se chegar à conclusão que ( ) ( ) ( )'f b f a

f cb a−

=−

.



211

4.4 Problemas de Otimização

Os métodos estudados nos tópicos 4.1, 4.2 e 4.3 para encontrar

valores extremos têm muitas aplicações práticas em várias áreas do dia-a-dia.

Um empresário quer minimizar os custos e maximizar os lucros. Um dono de

uma transportadora quer minimizar o tempo de transporte de um produto. O

princípio de Fermat na óptica estabelece que um feixe de luz segue o caminho

que leva o menor tempo. Nesta seção resolvem-se os problemas tais como

maximizar as áreas, os volumes e os lucros e minimizar as distâncias, o tempo

e os custos.

Nestes problemas práticos, tem-se como maior desafio a conversão

do problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo uma

função que deve ser maximizada ou minimizada.

Os problemas aplicados de otimização incidem nas seguintes

categorias:

1) Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função

contínua, em um intervalo finito fechado.

2) Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função

contínua, em um intervalo infinito ou finito, mas não fechado.

O Teorema do Valor Extremo (Teorema 4.3.1) garante que o

problema do tipo 1 tem solução e esta solução pode ser obtida através da

análise dos valores da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Por outro lado os problemas do tipo 2 podem ou não ter solução. Logo parte do

trabalho em problemas de otimização é determinar se, realmente, estes

problemas têm solução. Se a função for contínua e tiver exatamente um

extremo relativo no intervalo, então o Teorema 4.3.5 garante a existência de

uma solução e fornece um método para calculá-la.

Exemplo Resolvido 4.4.1. Ache as dimensões de um retângulo de perímetro

de 1000 m , cuja área é a maior possível.



212

Solução. Sejam:

x = comprimento do retângulo (m)

y = largura do retângulo (m)

A = área do retângulo (m2)

como mostrado na figura 4.18.

Figura 4.18

Então:

( ),A x y xy=

Como o perímetro do retângulo é 1000 m , as variáveis x e y estão

relacionadas pela equação:

2 2 1000x y+ =

ou

500y x= −

Logo a função área pode ser escrita em função apenas da variável

x , da seguinte forma:

( ) ( ) 2500 500A x x x x x= − = −



213

Devido ao fato de x representar um comprimento, este não pode ser

negativo e como os dois lados de comprimento x não podem ter um

comprimento que ultrapasse o perímetro de 1000 m , então a variável x está

restrita ao intervalo:

0 500x≤ ≤

Como ( )A x é uma função contínua em [ ]0,500 , então, o máximo

ocorre ou nos extremos deste intervalo ou em um ponto estacionário.

500 2dA xdx

= −

Equacionando-se 0dAdx

= , obtem-se:

500 2 0x− =

ou

250x=

que é um ponto crítico estacionário.

Para analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da

derivada primeira, onde é necessário se estudar o sinal desta derivada. A

distribuição de sinais de dAdx

é dada por:

de onde pode-se concluir que 250x= é um máximo relativo e

consequentemente um máximo absoluto.

Se 250x= implica que 250y= . Então, o retângulo de perímetro

1000 m com maior área é um quadrado de lado 250 m .



214

Exemplo Resolvido 4.4.2. Encontre dois números positivos cuja soma seja 60

e o produto entre o quadrado do primeiro com o segundo seja o máximo

possível.

Solução. Sejam dois números positivos x e y cuja soma é 60 , então:

60x y+ =

O produto do quadrado do primeiro, x , com o segundo, y , pode ser

escrito como uma função:

( ) 2,P x y x y=

As variáveis x e y se relacionam da seguinte forma:

60y x= −

Daí a função P pode ser escrita em função apenas da variável x ,

( ) ( )2 2 360 60P x x x x x= − = −

Devido ao fato de x representar um número real positivo, este não

pode ser negativo e a soma entre eles não pode ultrapassar 60 , logo a variável

x está restrita ao intervalo:

0 60x≤ ≤

Como ( )P x é uma função contínua em [ ]0,60 , então, o máximo

ocorre ou nos extremos deste intervalo ou em um ponto estacionário.

2120 3dP x xdx

= −

Equacionando-se 0dPdx

= , obtem-se:

2120 3 0x x− =

ou

1 0x = e 2 40x =



215

que são os pontos críticos da função.

Para analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da


distribuição de sinais de dPdx

é dada por:

de onde pode-se concluir que 40x= é um máximo relativo e


Então os números reais cujo produto entre o quadrado de um com

outro são dados por: 40x= e 20y= .

Exemplo Resolvido 4.4.3. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de

óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fabricar a

lata.

Solução. Sejam:

r = raio da base e da tampa do cilindro (cm)

h = altura do cilindro (cm)

como mostrado na figura 4.19.

Então, a área da superfície é dada por:

( ) 2, 2 2SA r h r rhπ π= +



216

Figura 4.19

Como o volume do cilindro é 1 litro, que é igual a 31000 cm , as

variáveis r e h estão relacionadas pela equação:

2 1000r hπ =

ou

21000h

rπ=

Daí a função área de superfície pode ser escrita em função apenas

da variável r , da seguinte forma:

( ) 2 22

1000 20002 2 2SA r r r rrr

π π ππ

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Devido ao fato de r representar a medida do raio, este não pode ser

negativo e nem zero, então, tem-se:

0r >

Como ( )SA r é uma função contínua para 0r > , então, o mínimo

ocorre em um ponto estacionário. Daí,

( )3

2 22000 4 20004SdA rr r

dr r rππ −

= − =



217

Equacionando-se 0SdAdr

= , obtem-se:

220004 0rr

π − =

ou

3 500rπ

=

que é um ponto crítico estacionário.

Para se analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da


distribuição se sinais de SdAdr

é dada por:

de onde pode-se concluir que 3 500rπ

= é um mínimo relativo e

consequentemente um mínimo absoluto.

Se 3 500rπ

= implica que 3 5002 2h rπ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Então, o cilindro que

minimizara a área superficial tem raio da base e da tampa igual a 3 500π

e uma

altura igual a 3 5002π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Exemplo resolvido 4.4.4. Ache um ponto na curva 2y x= o qual esteja mais

próximo do ponto ( )0,18 .



218

Solução. A distância L entre ( )0,18 e um ponto ( ),x y arbitrário na curva

2y x= , como mostrado na figura 4.20, é dada por:

( ) ( )2 20 18L x y= − + −

Como ( ),x y está na curva, x e y satisfazem 2y x= , assim,

( )24 18L y y= + −

Não há restrições para y , logo este exemplo se reduz a encontrar

um valor de y em ( ),−∞ +∞ para o qual a distância L seja mínima, desde que

este valor exista.

Figura 4.20

Para problemas de distância L tem-se que o seu máximo ou mínimo

ocorre no mesmo ponto em que ocorre no seu quadrado 2L . Logo o valor

mínimo de L e o valor mínimo de:

( )22 4 18P L y y= = + −



219

ocorrem no mesmo valor de y .

A função ( )24 18P y y= + − é contínua para todo y real, logo o

mínimo absoluto deve ocorrer em um ponto crítico estacionário.

( )3 34 2 18 4 2 36dP y y y ydy

= + − = + −

Equacionando-se 0dPdy

= tem-se:

34 2 36 0y y+ − =

ou de uma forma equivalente

32 18 0y y+ − =

A expressão acima pode ser escrita como:

( )( )22 2 4 9 0y y y− + + =

e como as soluções da equação

22 4 9 0y y+ + =

são números complexos, então, a única solução real é 2y= . Deste modo

2y= é um ponto crítico da função P .

Em termos de simplificação deve-se usar o teste da derivada

segunda para verificar a natureza deste ponto crítico. A derivada segunda é

dada por:

22

2 12 2d P ydy

= +

daí,

( ) ( )2

22 2 12 2 2 50 0d P

dy= + = >

o que mostra que em 2y= ocorre um mínimo relativo para P e

consequentemente para L .



220

Como só ocorre um extremo relativo em ( ),−∞ +∞ , então pelo

teorema 4.3.5, este mínimo relativo é um mínimo absoluto de L .

Deste modo pode-se afirma que o ponto sobre a curva 2y x= mais

próximo de ( )0,18 é o ponto( ) ( ), 4,2x y = .

Exemplo Resolvido 4.4.5. Mostre que o quadrado tem a maior área dentre

todos os retângulos inscritos numa dada circunferência 2 2 2x y r+ = .

Solução. Seja (ver figura 4.21)

2x = comprimento do retângulo inscrito na circunferência

2y = largura do retângulo inscrito na circunferência

então a área é dada por:

( ) ( )( ), 2 2 4A x y x y xy= =

Figura 4.21



221

As variáveis x e y relacionam-se da seguinte forma:

2 2 2x y r+ =

ou

2 2y r x=± −

Em termos de simplificação considera-se 0x> e 0y> , logo,

2 2y r x= −

e a área do retângulo pode ser escrita como:

( ) 2 24A x x r x= −

onde 0 x r< ≤ .

Tem-se:

2 2 22 2

2 2 2 2

4 4 84dA x r xr xdx r x r x

−= − − =

− −

Equacionando-se 0dAdx

= , obtém-se:

2 2

2 2

4 8 0r x

r x

−=

−

ou

2 24 8 0r x− =

cujas soluções são dadas por: 12

2x r=− e 2

22

x r= .

Como 0x> , descarta-se a solução negativa, então se considera

apenas o ponto crítico 22

2x r= .

Para se analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da

derivada primeira, onde é necessário se estudar o sinal desta derivada.



222

A distribuição de sinais de dAdx

é dada por:

de onde pode-se concluir que 2

2x r= é um máximo relativo e


Se 2

2x r= então:

2 2 22 22 2 2

2 2 2 22 2r r ry r r r r

⎛ ⎞= − = − = = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

de onde pode-se concluir que o retângulo com maior área inscrito na

circunferência é um quadrado.

Estes problemas de otimização também podem ser aplicados na

economia ou na indústria. Neste caso as três funções de importância são:

• ( )C x = função custo, isto é, o custo total da produção de x unidades

de um produto, durante certo período de tempo;

• ( )R x = função rendimento, isto é, o rendimento total da venda de x

unidades de um produto, durante certo período de tempo;

• ( )L x = função lucro, isto é, o lucro total na venda de x unidades de

um produto, durante certo período de tempo.



223

Tem-se que se todas as unidades produzidas forem vendidas, então,

estas funções relacionam-se da seguinte forma:

( ) ( ) ( )L x R x C x= − (4.1)

isto é, o lucro é igual ao rendimento menos o custo.

A função custo ( )C x da produção de x unidades de um produto

pode ser expresso como uma soma:

( ) ( )C x a M x= + (4.2)

onde é a uma constante chamada de despesas gerais e a função ( )M x é

chamada de custo de manufatura.

As despesas gerais, como aluguel e seguro, não dependem de x e

mesmo que não haja produção devem ser pagas. Porém, o custo de

manufatura, como o custo da matéria prima e o custo do trabalho, depende da

quantidade de artigos manufaturados. Através de hipóteses simplificadoras

pode-se escrever ( )M x como:

( ) 2M x bx cx= + (4.3)

onde b e c são constante. Substituindo a equação 4.3 na equação 4.2 obtém-

se:

( ) 2C x a bx cx= + + (4.4)

Se uma fábrica conseguir vender toda a sua produção a p unidades

monetárias cada, então, a função rendimento ( )R x pode ser escrita como:

( )R x px= (4.5)



224

Substituindo as equações 4.4 e 4.5 na equação 4.1, então, pode-se

escrever a função lucro ( )L x da seguinte forma:

( ) ( )2L x px a bx cx= − + + (4.5)

A variável x na equação 4.5, dependendo de alguns fatores tais

como a quantidade de empregados, maquinário disponível, condições

econômicas e competição, irá satisfazer:

0 x φ≤ ≤ (4.5)

onde φ é uma limitação superior sobre a quantidade de artigos que um

fabricante é capaz de produzir e vender.

Exemplo Resolvido 4.4.6. Um produto farmacêutico é fabricado por uma firma

farmacêutica e vendido a um preço de $100,00R a unidade. O custo total para

a produção de x unidades é de:

( ) 2100.000 40 0,0025C x x x= + +

e a produção máxima for de 40.000 unidades durante um período de tempo

especificado. Quantas unidades devem ser fabricadas e vendidas neste

período de tempo para se obter o lucro máximo?

Solução. Como o rendimento total na venda de x unidades é ( ) 100R x x= ,

então, o lucro ( )L x sobre x unidades será:

( ) ( ) ( ) ( )2100 100.000 40 0,0025L x R x C x x x x= − = − + +

( ) 2100.000 60 0,0025L x x x=− + −

Como a produção máxima é de 40.000 unidades, x deve estar no

intervalo [ ]0,40.000 .



225

Como ( )A x é uma função contínua em [ ]0,40.000 , então, o máximo

ocorre ou nos extremos deste intervalo ou em um ponto crítico estacionário.

Daí tem-se:

60 0,005dL xdx

= −

Equacionando-se 0dLdx

= , obtém-se:

60 0,005 0x− =

ou

24.000x=

que é um ponto crítico estacionário da função ( )L x .

Para analisar a natureza deste ponto crítico pode-se usar o teste da

derivada primeira através do sinal desta derivada. O sinal de dLdx

é dado por:

de onde pode-se concluir que em 24.000x= ocorre um máximo relativo, e é

também um máximo absoluto.

Então, para a firma obter um lucro máximo deve ser produzida e

vendida 24.000 unidades.



226


01) A função ( )2 6y x x= − é crescente no intervalo:

a) ( )0,4 b) ( ) ( ),0 2,−∞ ∪ +∞ c) ( )0,2

d) ( ) ( ),0 4,−∞ ∪ +∞ e) ( )2,4

02) A função real de variável real definida por 3 22 9 24 6y x x x= + − + é

decrescente em:

a) 0x> b) 1 4x− < < c) 4 1x− < <

d) 4x<− e) 1x>

03) A função ( ) 4 21 2 74

f x x x= − + é decrescente no intervalo:

a) ( ) ( ), 2 0,2−∞ − ∪ b) ( ) ( )2,0 2,− ∪ +∞ c) ( ),−∞ +∞

d) ( ) ( ),0 2,−∞ ∪ +∞ e) ( )2,2−

04) A função 2 xy x e−= é crescente no intervalo:

a) ( )2,− +∞ b) ( ),0−∞ c) ( )0,2

d) ( )2,0− e) ( )2,+∞

05) Seja a função ( ) 4 21 1 3 712 6 2

g x x x x= − + + , então, g é convexa no

intervalo:

a) ( )0,1 b) ( )1,+∞ c) ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪

d) ( ) ( ), 1 0,−∞ − ∪ +∞ e) ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞



227

06) Seja a função ( ) 2 1xf x

x=

+, então, o intervalo em que a função é convexa

é dado por:

a) ( )3, 3− b) ( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞ c) ( ) ( ), 3 0, 3−∞ − ∪

d) ( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞ e) ( ) ( ), 3 3,−∞ − ∪ +∞

07) A abscissa do ponto de máximo relativo de ( ) 3 23 9 2f x x x x= − − + é:

a) 1− b) 3− c) 0 d) 3 e) 1

08) A função 3 35 21 15 2

y x x= − tem um mínimo relativo no ponto de abscissa:

a) 1− b) 2 c) 1 d) 0 e) 2−

09) A função ( )22 xP x x e−= apresenta um valor mínimo absoluto no ponto de

abscissa igual a:

a) 1− b) 1 c) e d) 0 e) e−

10) Seja a função ( ) 1f x xx

= + para 0x> . Qual o valor mínimo que ela

assume?

a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3

11) Qual o valor mínimo da função 3 3

4

x xe ey−+

= ?

a) 1− b) 14

c) 0 d) 34

e) 12

12) Qual o número pertencente ao intervalo 1 3,2 2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

tal que a sua soma com o

seu recíproco é a menor possível?

a) 1− b) 1 c) 12

d) 0 e) 34



228

13) Se ( ),x y satisfaz a equação 3 4 12x y+ = , então o valor mínimo da

expressão 2 2x y+ é:

a) 12 b) 3 c) 45

d) 4 e) 125

14) Qual é a abscissa do ponto sobre a reta 4 7y x= + que está mais próximo

da origem?

a) 2817

− b) 1417

− c) 5617

−

d) 734

− e) 1534

−

15) Qual é a abscissa do ponto sobre a reta 6 9x y+ = que está mais próximo

do ponto ( )3,1− ?

a) 1537

b) 5

37 c)

4537

d) 3537

e) 1

37

16) Um terreno retangular deve ser cercado de duas maneiras distintas. Dois

lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa $3,00R o metro,

enquanto que os dois lados restantes recebem uma cerca que custa $2,00R o

metro. Quais as dimensões do terreno com área máxima que pode ser cercada

com $6.000,00R .

a) 500 500m m× b) 250 750m m× c) 500 250m m×

d) 750 750m m× e) 500 750m m×



229

17) O recipiente com a forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter

um volume de 32.000 cm . O custo da base e da tampa é o dobro do custo dos

lados. As dimensões que minimizarão o custo são dadas por:

a) 5 5 80cm cm cm× × b) 20 20 5cm cm cm× × c) 10 10 20cm cm cm× ×

d) 4 4 125m m m× × e) 8 8 31,25m m m× ×

18) Se 21.200 cm de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com

uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

a) 31.000 cm b) 35.000 cm c) 310.000 cm

d) 34.000 cm e) 32.000 cm

19) Uma indústria química vende certo tipo de ácido a granel a um preço de

$100,00R por unidade. O custo de produção em reais para x unidades é dado

por ( ) 2100.000 50 0,001C x x x= + + . Quantas unidades deste ácido devem ser

produzidas e vendidas para se obter o lucro máximo?

a) 20.000 b) 25.000 c) 30.000

d) 35.000 e) 40.000

20) Em uma firma tem-se que x unidades de seu produto são vendidas

diariamente a p reais a unidade, onde 1.000x p= − . Sabendo que o custo

total de produção é ( ) 3.000 20C x x= + , então, qual é o preço unitário a ser

cobrado para obter o lucro máximo?

a) $490,00R b) $1.000,00R c) $510,00R

d) $500,00R e) $700,00R



230

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS


01) a 02) d 03) e 04) a 05) b

06) b 07) d 08) a 09) b 10) d

11) e 12) c 13) c 14) b 15) d

16) e 17) a 18) a 19) b 20) c


01) b 02) d 03) e 04) c 05) a

06) b 07) a 08) b 09) e 10) e

11) b 12) c 13) b 14) d 15) e

16) e 17) a 18) d 19) c 20) a


01) e 02) d 03) c 04) a 05) e

06) b 07) c 08) a 09) a 10) c

11) e 12) b 13) a 14) b 15) a

16) c 17) d 18) d 19) e 20) b


01) d 02) c 03) a 04) c 05) e

06) b 07) a 08) c 09) d 10) b

11) e 12) b 13) e 14) a 15) c

16) e 17) c 18) e 19) b 20) c



231

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, volume 1, Editora Bookman,

2000.

[2] DEMIDOVITCH, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática,

McGraw-Hill, 1993.

[3] GUIDORIZZI, H.L., Um curso de cálculo, volume 1, Editora LTC, 2007.

[4] IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N. J., Fundamentos de

matemática elementar, Editora Atual, 2005.

[5] SALAS, S. L., Calculo, volume 1, L.T.C., 2005.

[6] STEWART, J., Cálculo, volume 1, Editora Thomson Pioneira, 2005.

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