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Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico

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Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógicos

Os circuitos lógicos correspondem (executam) expressões booleanas, as quais representam problemas no

mundo real.

Porém, os circuitos gerados por tabelas verdade muitas vezes admitem simplificações, o que reduz o

número de portas lógicas; essa redução diminui o grau de dificuldade na montagem e custo do sistema

digital,


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Constantes, Variáveis e Expressões

➢ Existem apenas duas constantes booleanas:

• 0 (zero) 1 (um)

➢ Uma variável booleana é representada por letra e pode assumir apenas dois valores (0 ou 1)

• Exemplos: A, B, C

➢ Uma expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas

e seu resultado assume apenas dois valores (0 ou 1)

• Exemplos:

S = A.B

S = A+B.C


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Postulados & Propriedades

➢ Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a partir dos quais são estabelecidas várias propriedades

➢ Existem várias propriedades da negação (complemento, inversor), adição (porta E) e soma (porta OU)

➢ Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas

➢ Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a equivalência


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Postulados

➢ Complemento

▪ Se 𝐴 = 0 então ҧ𝐴 = 1

▪ Se 𝐴 = 1 então ҧ𝐴 = 0

➢ Notações alternativas

▪ ҧ𝐴 = 𝐴′

▪ ҧ𝐴 = ¬ 𝐴

▪ 𝐵 . 𝐶 = (𝐵. 𝐶)′

➢ Adição

▪ 0 + 0 = 0

▪ 0 + 1 = 1

▪ 1 + 0 = 1

▪ 1 + 1 = 1

➢ Multiplicação

▪ 0 . 0 = 0

▪ 0 . 1 = 0

▪ 1 . 0 = 0

▪ 1 . 1 = 1


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Propriedades

Propriedade Complemento Adição Multiplicação

Identidade ҧ𝐴 = 𝐴

𝐴 + 0 = 1

𝐴 + 1 = 𝐴

𝐴 + 𝐴 = 𝐴

𝐴 + ҧ𝐴 = 1

𝐴 . 0 = 0

𝐴 . 1 = 𝐴

𝐴 . 𝐴 = 𝐴

𝐴 . ҧ𝐴 = 0

Comutação 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝐴 . 𝐵 = 𝐵 . 𝐴

Associativa 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶

Distributiva 𝐴 + 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 . (𝐴 + 𝐶) 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶


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Propriedades

➢ Absorção

▪ 𝐴 + (𝐴 . 𝐵) = 𝐴

▪ 𝐴 . (𝐴 + 𝐵) = 𝐴

➢ Outras Identidades

▪ 𝐴 + ҧ𝐴 . 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

▪ 𝐴 + 𝐵 . 𝐴 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 . 𝐶

➢ De Morgan

▪ (𝐴 . 𝐵)′ = ҧ𝐴 + ത𝐵

▪ 𝐴 + 𝐵 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵

➢ De Morgan se estende para n variáveis

▪ 𝐴 . 𝐵.…𝑛 ′ = ҧ𝐴 + ത𝐵 +⋯+ ത𝑛

▪ 𝐴 + 𝐵 +⋯+ 𝑛 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵 . … . ത𝑛


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Propriedades

Propriedade Complemento Adição Multiplicação

Identidade ҧ𝐴 = 𝐴

𝐴 + 0 = 1

𝐴 + 1 = 𝐴

𝐴 + 𝐴 = 𝐴

𝐴 + ҧ𝐴 = 1

𝐴 . 0 = 0

𝐴 . 1 = 𝐴

𝐴 . 𝐴 = 𝐴

𝐴 . ҧ𝐴 = 0

Comutação 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝐴 . 𝐵 = 𝐵 . 𝐴

Associativa 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶

= 𝐴 . 𝐵 . 𝐶

Distributiva 𝐴 + 𝐵 . 𝐶

= 𝐴 + 𝐵 . (𝐴 + 𝐶)

𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶

➢ Absorção

▪ 𝐴 + (𝐴 . 𝐵) = 𝐴

▪ 𝐴 . (𝐴 + 𝐵) = 𝐴

➢ Outras Identidades

▪ 𝐴 + ҧ𝐴 . 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

▪ 𝐴 + 𝐵 . 𝐴 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 . 𝐶

➢ De Morgan

▪ (𝐴 . 𝐵)′ = ҧ𝐴 + ത𝐵

▪ 𝐴 + 𝐵 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵

➢ De Morgan se estende para n variáveis

▪ 𝐴 . 𝐵.…𝑛 ′ = ҧ𝐴 + ത𝐵 +⋯+ ത𝑛

▪ 𝐴 + 𝐵 +⋯+ 𝑛 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵 .… . ത𝑛


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Exemplo 1:


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Exemplo 2:


10

Exemplo 3:


11

Exemplo 4:


12

Exemplo 5:


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Simplificação de Expressões Booleanas

➢ Usando a álgebra booleana é possível simplificar expressões

➢ Como cada circuito corresponde a uma expressão, simplificações de expressões significam em

simplificações de circuitos

➢ Há duas formas para simplificar expressões

• Fatoração

• Mapas de Veitch-Karnaugh


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Fatoração

Consiste na aplicação dos postulados e propriedades da álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a

expressão

Exemplo:


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Fatoração

Portanto, A.B.C + A.C’ + A.B’ = A

Essa expressão mostra a importância da simplificação de

expressões e a consequente minimização do circuito, sendo o

resultado final igual ao da variável A

Circuito antes da simplificação

Circuito após simplificação

Simplificações de Expressões Boolenas

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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis

No mapa encontramos todas as possibilidades assumidas entre as variáveis A e B

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

(𝑎) (𝑏) (𝑐) (𝑑)

𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 1

𝑏 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 0 ҧ𝐴 = 1 .

𝑐 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 = 0 ത𝐵 = 1 .

𝑐 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 = 1.


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Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades:

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

Caso 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3


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No caso 0, temos: A = 0 ( ҧ𝐴 = 1) e B = 0 ( ത𝐵 = 1). A região do

diagrama que mostra esta condição é a da intersecção das

regiões onde ҧ𝐴 = 1 e ത𝐵 = 1 :

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

Esta região também pode ser chamadade região ҧ𝐴 ത𝐵.

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

Caso 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3


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No caso 1, temos: A = 0 ( ҧ𝐴 = 1) e B = 1. A região do diagrama

que mostra esta condição é a da intersecção das regiões

onde ҧ𝐴 = 1 e 𝐵 = 1 :

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

Esta região também pode ser chamadade região ҧ𝐴𝐵.

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

Caso 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3


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No caso 2, temos: A = 1 e B = 0 ( ത𝐵 = 1) . A região do diagrama

que mostra esta condição é a da intersecção das regiões onde 𝐴

= 1 e ത𝐵 = 1 :

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

Esta região também pode ser chamadade região 𝐴 ത𝐵.

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

Caso 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3


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No caso 3, temos: A = 1 e B = 1. A região do diagrama que

mostra esta condição é a da intersecção das regiões onde A = 1

e B = 1) :

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

Esta região também pode ser chamadade região 𝐴𝐵.

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

Caso 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3


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Podemos distribuir, então, as 4 possibilidades neste diagrama, da seguinte forma:

Caso 0ҧ𝐴 ത𝐵

0 0


0 1


1 0


1 1

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴


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A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis. Vamos colocar seus resultados no diagrama de

Veitch-Karnaugh.

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Caso 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3


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Passando para o mapa os casos da tabela da verdade.


0 0


0 1


1 0


1 1

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

1

ത𝐵 𝐵

ҧ𝐴

𝐴

0

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➢ Quadra:

Conjunto de 4 regiões, onde S é igual a 1. No diagrama de 2 variáveis, é o agrupamento máximo,

proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1. Assim sendo, a expressão final simplificada obtida

é S = 1.


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Conjunto de 2 regiões onde S é 1, que tem um lado em comum, são vizinhos. As figuras mostram exemplos

de 2 pares agrupados e suas respectivas expressões, dentro os 4 possíveis em 2 variáveis:

➢ Pares:


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Regiões onde S é 1, sem vizinhança para grupamentos. São os próprios casos de entrada, sem

simplificação. A figura exemplifica 2 termos isolados, sem possibilidade de agrupamento.

➢ Termos Isolados:


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Exemplo 1, efetuando o agrupamento

Escrevemos a expressão de cada par, ou seja a região que o parocupa no diagrama.

➢ O par 1 ocupa a região onde A é igual a 1, então, suaexpressão será Par 1 = A.

➢ O par 2 ocupa a região onde A é igual a 1, então, suaexpressão será Par 2 = B.

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Para obter a expressão simplificada. basta, agruparmos os

termos obtidos nos agrupamentos:

S = Par 1 + Par 2 ∴ S = A + B


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Exemplo 2, vamos simplificar o circuito que executa a tabela da verdade a seguir:

Obtendo a expressão diretamente da tabela, temos:

Transportando a tabela para o diagrama.

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

As expressões dos pares:

𝑃𝑎𝑟 1 = ҧ𝐴

𝑃𝑎𝑟 2 = ത𝐵

𝑆 = ҧ𝐴 + ത𝐵


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Exemplo 2, vamos simplificar o circuito que executa a tabela da verdade a seguir:

Notamos que a tabela verdade é a de uma porta NE. Aplicando o teorema de De Morgan à expressão, após

a simplificação, encontramos a expressão de uma porta NE

➢ De Morgan

▪ (𝐴 . 𝐵)′ = ҧ𝐴 + ത𝐵

▪ 𝐴 + 𝐵 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵

𝑆 = ҧ𝐴 + ത𝐵 𝑆 = 𝐴𝐵

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No mapa, encontramos todas as possibilidades assumidas entre asvariveis A, B e C. Regiões do mapa de Veitch-Karnaugh.

Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis


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33

Neste diagrama, também temos uma região para cada caso da tabela da verdade. A tabelA e a figura

mostram os casos para 3 variáveis e as respectivas localizações no mapa.


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Vamos analisar a localização somente de uma das possibilidades, visto que as outras são de maneira

análoga. Assim sendo, vamos localizar no diagrama o caso 3:

No diagrama, será a intersecção das regiões que:


𝐴 = 0 ҧ𝐴 = 1 , 𝐵 = 1 𝑒 𝐶 = 1

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A figura mostra esta localização no diagrama, para a colocação do respectivo caso de entrada da coluna S.


𝐴 = 0 ҧ𝐴 = 1 , 𝐵 = 1 𝑒 𝐶 = 1


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Exemplo:

Tabela da verdade:

Expressão extraída da tabela da verdade:

Transpondo a tabela para o diagrama, temos:


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Os agrupamentos possíveis:

a) Oitava:

Agrupamento máximo, onde todas as localidades valem 1:


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b) Quadras:

Quadras são agrupamentos de 4 regiões S é igual a 1, adjacentes ou em sequência:


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b) Pares:

A figura apresenta como exemplo 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis:

Logisim


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b) Temos isolados:

Na figura, exemplos de termos isolados que são os casos de entrada sem simplificação.


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Exemplo 02:

Primeiramente agrupamos a quadra e logo após um par:

A expressão final minimizada será:


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Exemplo 03:

Dado a tabela da verdade, minimize o circuito

Transpondo para o diagrama, temos:

A expressão minimizada será:


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Exemplo 03:

Poderíamos também ter agrupado de outra maneira, conforme mostra a figura

Transpondo para o diagrama, temos:

A expressão minimizada será:


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Exemplo 03:

As duas expressões, aparentemente deferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade,

fato este comprovado, levantando-se as respectivas tabelas da verdade.


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O diagrama para 4 variáveis:


46



47



48

Tabela da verdade e diagrama


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Vamos analisar a colocação de uma das possibilidades.

Da intersecção dessas regiões, obtemos 𝐴𝐵𝐶𝐷 a região , que é o caso 8.


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Exemplo 04:

Expressão de S, extraída da tabela da verdade:

Transpondo a tabela para o diagrama, temos:


51

Exemplo 04:

Para efetuarmos a simplificação, seguimos o mesmo processo para os diagramas de 3 variáveis, somente

que neste caso, o principal agrupamento será a oitava.

Devemos ressaltar aqui, que no diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, ou seja, podemos

formar oitavas, quadras e pares com os temos localizados nos lados extremos apostos.


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Exemplo 04:

a) Exemplos de pares:


53

Exemplo 04:

a) Exemplos de quadras:


54

Exemplo 04:

a) Exemplos de oitavas:


55

Exemplo 05:

Somando as expressões, teremos a expressão final minimizada:


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Exemplo 06:

Minimizar o circuito que executa a tabela.

Transpondo a tabela da verdade para o diagrama, temos:


57

Exemplo 06:

Minimizar o circuito que executa a tabela.

No diagrama, temos: 2 quadras, 1 par e 1 termo isolado.


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Exemplo 07:

Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas

de Veitch-Kamaugh.


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Exemplo 08:


de Veitch-Kamaugh.


60

Exemplo 09:


de Veitch-Kamaugh.


61

Exemplo 10:


de Veitch-Kamaugh.


62

Exemplo 10:


de Veitch-Kamaugh.


63

Exemplo 10:


de Veitch-Kamaugh.

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