CAP 2 – REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS CELULARES

 

texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995)

Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y).

 

2.1. Elemento e Rede

 

rede múltiplos elementos conectados entre si

(exs: genética, neurologia, imunologia, informática, etc)

 

simplificações para o tratamento matemático:

* a variável tempo é discretizada

* o estado de todo o sistema num dado tempo depende do estado de todo o sistema no tempo anterior

* cada elemento pode assumir um número limitado de estados (discretizados) possíveis

mesmo com essas simplificações, o comportamento da rede pode apresentar uma enorme complexidade !

 

para cada elemento:

uma ou mais ENTRADAS

uma REGRA

uma única SAÍDA [ fig. 2.1 ]

representação gráfica:

elementos: NODOS

( círculos cheios A, B, C, etc )

entradas e saídas: ARESTAS

(setas conectam os nodos aos pares)

[fig. 2.2 ] e [fig. 2.3 ]

descrição completa da rede:

lista das regras de saída para cada elemento

regras: funções específicas fA ( ); fB ( ); etc

ex [fig. 2.3]:

A t +1 = fA ( A t )

B t +1 = fB ( A t , C t )

C t +1 = fC ( A t , B t )

2.2. Variável, Função e Rede Booleana

 

caso mais simples: duas saídas possíveis

* esquematicamente ON e OFF ( variável Booleana )

representação das duas saídas: 0 e 1

 

* essencial para circuitos digitais e arquitetura computacional

fundamentos: George Boole (1815-1864)

 

regra que determina a saída dadas as entradas: função booleana

conhecer o ESTADO da rede num dado tempo:

* especificar se cada elemento está ON ou OFF

notação para o estado da rede no tempo i:

 

ex rede booleana de três elementos A, B, C

(011)

significa

A i = 0 ; B i = 1 ; C i = 1

 

se houverem N elementos:

* existem 2N estados possíveis para a rede

 

“CONDIÇÃO INICIAL” :

* estado da rede no tempo t = 0

REDE DE ELEMENTOS COM ENTRADA ÚNICA

só 4 funções possíveis para cada elemento:

ENTRADA NOME DA FUNÇÃO(0) (1)

0 1 IDENTITY1 0 INVERSION0 0 ZERO1 1 ONE

só 3 tipos de configuração conectiva:

fileira - laço fechado - laço com fileiras

 

fileira

dinâmica muito simples ( pouco interesse )

ex: A B C D etc

A não tem entrada valor constante = A 0

B 1 depende só de A 0 estabiliza na 1a iteração

C 2 depende só de B 1 estabiliza na 2a iteração, etc...

 

fileira com N elementos:

* o estado final é sempre estacionário

* todos os nodos dependem do valor inicial do primeiro

* o transiente dura N-1 iterações [fig. 2.4]

laço fechado

dinâmica mais rica (ciclos) [fig. 2.5]

 

funções possíveis para os nodos:

IDENTITY ou INVERSION

( nodo ONE ou ZERO o laço se torna fileira! )

 

analogia só para fins didáticos:

“BRIGADA DE BALDES” ( bucket brigade )

* corrente de pessoas passando baldes d’água

(B) (C) (D) (E) (F)

fonte (A) (G) fogo

(L) (K) (J) (I) (H)

 

B, C, D, E, F:

recebem um balde cheio e entregam cheio

H, I, J, K, L:

recebem um balde vazio e entregam vazio

A: recebe um balde vazio e entrega cheio

G: recebe um balde cheio e entrega vazio

 

variável booleana: balde cheio (1) ou vazio (0)

variável booleana: balde cheio (1) ou vazio (0)

 

* evolução dos estados da rede:

000000000000

100000000000

110000000000

... (transiente)

111111000000

111111000000 (estado estacionário)

nodo A : função ONE

nodo G: função ZERO

demais nodos: função IDENTITY

o exemplo não caracteriza um laço fechado !

extrapolando...

dado um laço fechado com N elementos (entrada única)

alguns nodos IDENTITY e outros INVERSION

* qualquer condição inicial vem a se repetir

(no mínimo, depois de 2N iterações)

* sempre há formação de ciclos periódicos

(caso particular: estados estacionários)

* não ocorrem transientes (a condição inicial faz parte do ciclo)

* é possível calcular o número total de ciclos

laço “frustrado”:

número ímpar de nodos INVERSION

laço “não-frustrado”:

número par de nodos INVERSION

laço fechado com fileiras

[fig. 2.6]

efeito de uma fileira anexada ao laço fechado:

não afeta as propriedades dinâmicas do laço

 EXERCÍCIO:

(fazer o levantamento dos ciclos possíveis)

 

(a) rede não-frustrada com N=3 [fig 2.7]

 

solução: atribui uma condição inicial arbitrária

ex: A0 = 1 ; B0 = 1 ; C0 = 1 (111) em t=0

 

1a iteração: A0 = 1 B1 = 0

B0 = 1 C1 = 0

C0 = 1 A1 = 1 (100) em t=1

 

2a iteração: A1 = 1 B2 = 0

B1 = 0 C2 = 1

C1 = 0 A2 = 0 (001) em t=2

3a iteração: A2 = 0 B3 = 1

B2 = 0 C3 = 1

C2 = 1 A3 = 1 (111) em t=3 

* caracteriza um ciclo em 3 passos (=N)

(111) (100) (001) (111) ...  

atribui então outra condição inicial

(diferente dos 3 estados do ciclo já obtido)

ex: A0 = 1 ; B0 = 0 ; C0 = 1 (101) em t=0

1a iteração: A0 = 1 B1 = 0

B0 = 0 C1 = 1

C0 = 1 A1 = 1 (101) em t=1

* caracteriza um estado estacionário

(101) (101) ...

testando as condições iniciais restantes:

* ciclo em 3 passos

(000) (011) (110) (000) ...

* estado estacionário

(010) (010) ...

 

(b) rede frustrada com N=3 [fig. 2.8]

 

mesmo procedimento: resultam apenas  

 

* ciclo em 6 passos (=2N)

(111) (101) (100) (000)

(010) (011) (111) ...

 

* ciclo em 2 passos

(110) (001) (110) ...

APLICAÇÃO SIMPLES (GENÉTICA) 

“expressão mutuamente bloqueada” (par de genes)

ex: proteínas envolvidas no mecanismo de invasão do vírus bacteriófago lambda na E. coli

* modelo: rede booleana de 1 entrada com N=2

A B

(INVERSION) (INVERSION)

A0 = 1 : proteína A sendo produzida

B0 = 1 : proteína B sendo produzida

 

condição inicial (10)

1a iteração (10)... um estado estacionário

condição inicial (01)

1a iteração (01)... outro estado estacionário

* o modelo ainda permite um ciclo em 2 passos:

(11) (00) (11) ...

(a ausência de uma favorece a presença da outra)

 

ELEMENTOS COM ENTRADA MÚLTIPLA

(maior número de configurações conectivas e funções booleanas)

alta complexidade! [fig. 2.9]

* 1 entrada: (0) ou (1) 21 estados de entrada

* 2 entradas: (00), (01), (10) ou (11) 22

* 3 entradas: (000), (001), (010), etc 23

* K entradas 2 K estados de entrada

cada estado de entrada gera uma saída (0 ou 1)

número de combinações possíveis nas saídas:K22

(número de funções booleanas com K entradas)

 

ex: 2 entradas 4 estados 16 funções booleanas [tab 2.1]

DINÂMICA DA REDE BOOLEANA

ex: N = 5 ; K = 2 ; função NOR [fig. 2.10]

(00): 1

(10): 0

(01): 0

(11): 0

arbitrando uma condição inicial (entre as 25=32)

A0 = 0; B0 = 0; C0 = 1; D0 = 1; E0 = 1

1a iteração:

A1 = 0; B1 = 0; C1 = 1; D1 = 0; E1 = 0

2a iteração:

A2 = 1; B2 = 1; C2 = 1; D2 = 0; E2 = 0, etc...

dinâmica da rede:

 

(00111) (00100) (11100) etc...

representação gráfica da dinâmica:

saída 1: círculo cheio ()

saída 0: ponto (.)

 

ex: a condição inicial

(00111)

é representada pela linha . .

os estados sucessivos

(00100)

(11100)

 etc

são representados por novas linhas

(de cima para baixo) . .

. . . .

. .

etc 

formam-se padrões geométricos . .

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. .

 

* caracteriza um ciclo em 10 passos [fig. 2.11]

* “tabela da verdade” para cada estado possível da rede:

relaciona o resultado da iteração subseqüente [tab. 2.2]

para maior N possibilidade de ciclos muito longos

APLICAÇÃO (REDES NEURAIS)

circuito motor das patas de uma salamandra [figs. pg 70]

 

padrão periódico para cada pata:

4 músculos sucessivamente ativados (1 ou 0)

 

ativação do neurônio responsável pelo músculo:

sempre que não for inibido por outro neurônio

estabelece as conexões da rede

monta a “tabela da verdade”

verifica o padrão periódico

2.3. Funções Booleanas em Bioquímica

mecanismos de ativação e inibição de enzimas

modeláveis por funções booleanas

[fig. 2.12] (IDENTITY) e [fig. 2.13] (INVERSE) 

1o exemplo ( E. coli ):

enzima: -galactosidase

indutor: lactose

combina com o repressor e impede sua ligação com o gene

transcrição evitada ou permitida 

montagem da tabela da verdade:

A t (indutor) R t (repressor) E t+1 (enzima)1 1 11 0 10 1 00 0 1

identificação da função booleana associada:

IMPLICATION [tab. 2.1]

2o exemplo:

enzima: triptophan-sintetase

co-repressor: triptophan

combina com o repressor e permite sua ligação com o gene

 

montagem da tabela da verdade:

identificação da função booleana associada:

NAND [tab. 2.1]

 

seria viável construir computadores químicos?

R t (repressor) I t (co-repressor) E t+1 (enzima)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

2.4. Rede Booleana Aleatória

 

modelamento de expressão de genes [ S. Kauffman, 1960s ]

 

* processo aleatório usado só para a montagem das conexões

 

rede booleana:

1) arbitra valores de N e de K

2) para cada um dos N nodos:

a) seleciona as K conexões de entrada

b) seleciona a função booleana para saída

 

* montadas as conexões de rede:

a dinâmica passa a ser determinística [fig. 2.14]

 

resultados obtidos por Kauffman:

 

* número de ciclos ou pontos fixos

 

* ciclos com durações muito diferentes

 

* tempo de duração média dos ciclos N 0.3 [fig. 2.15]

 

* transiente tempo do ciclo mais longo

 

* perturbação num nodo: sistema muda de ciclo

N

2.5. Autômato Celular

 

* rede de elementos idênticos

* acoplados em arranjo regular no espaço

* condições de contorno periódicas

unidimensional (anel) [fig. 2.16]

bidimensional (toro) [fig. 2.17]

n-dimensional (n-toro)

 

AUTÔMATO CELULAR BOOLEANO

* caso particular de rede booleana

* algoritmos simples geram padrões complexos

ex [fig. 2.16]

entradas: K = 3

tipos de entrada: 23 = 8

funções booleanas possíveis: 28 = 256

fazendo:

 

* N = 15

* estado inicial tomado aleatoriamente

 

representação gráfica:

“regra 10” [fig. 2.18]

“regra 45” [fig. 2.19]

 

* N = 50

 

“regra 90” [fig. 2.20]

padrão geométrico: concha conus “Oliva porphyria”

[fig. 2.21]

http://www.gastropods.com/9/Shell_179.html

 “Jogo da Vida” [J. Conway, 1970s ] 

* autômato celular booleano bidimensional

* entradas do nodo: ele mesmo + 8 vizinhos ( K = 9 )

                           

regra:

(a) se o estado do nodo é 1 em t

se 2 ou 3 nodos vizinhos forem 1 em t

o nodo permanece 1 em t+1

se a situação for qualquer outra em t

o nodo muda para 0 em t+1

 

(b) se o estado do nodo é 0 em t

se exatamente 3 nodos vizinhos forem 1 em t

o nodo muda para 1 em t+1

se a situação for qualquer outra em t

o nodo permanece 0 em t+1

* justificativa: interação entre organismos vivos

poucos vizinhos auto-sustentação insuficiente

muitos vizinhos superpopulação

 

resultados do Jogo da Vida

* são caracterizados:

pontos fixos de vários tipos [fig. 2.22]

 

ciclos periódicos de durações diferentes

 

estados transientes

AUTÔMATO CELULAR NÃO-BOOLEANO

( ou “rede de mapas acoplados” )

 

elementos não-booleanos

* valores de saída:

dados por uma função não-booleana

 

a variável pode ser contínua

* espaço discretizado (sítios)

* tempo discretizado (iterações)

 

ex: processo de difusão unidimensional

* coeficiente de difusão D

* concentração no sítio [m] para a iteração t+1:

 

ct+1[m] = D( ct [m-1]+ct [m+1] ) + ( 1-2D ) ct[m]

* condição inicial: em t=0 apenas um dos sítios com c 0

* representação gráfica: [fig. 2.24]

 

exemplos de aplicação

gradações de coloração em seres vivos

fluxo de fluidos

estrutura do córtex visual

sincronização de grupos de vagalumes, etc

http://mainline.brynmawr.edu/~pgeer/SummerInstitute/Fireflies.html

MEIO EXCITÁVEL

* permite a propagação de ondas de atividade 

* interação não-linear entre ondas propagadas

(não vale o princípio da superposição) 

* os sítios ficam temporariamente refratários

(não se encontram excitados, nem excitáveis)

fica caracterizado um tempo refratário 

* pode apresentar padrões altamente complexos 

exemplos:

incêndio em uma floresta

reações químicas auto-catalíticas

[fig. 2.25]

http://www.ipr.umd.edu/~wlosert/phys715/

ondas de excitação cardíaca

agregação de mixomicetos (slime molds), etc

* num caso bidimensional se torna possível:

ondas com diversos padrões geométricos

ondas que morrem ao atingir as extremidades

ondas que se aniquilam mutuamente [fig. 2.26]

propagação de onda em circuito fechado

propagação de ondas espirais [fig. 2.27]

modelamento por um autômato celular

* 3 estados possíveis para um nodo

Q: quiescente mas excitável ; E: excitado ; R: refratário

regra simples para qualquer nodo A (com vizinhos B, C, etc)

se A t = Q

se B t = E (um ou mais vizinhos)

A t+1 =E

nas outras situações

A t+1 = Q

se A t = E

A t+1 = R

se A t = R

A t+1 = Q

 

* comportamento padrão de cada nodo:

quiescente excitado refratário quiescente

 

* comportamento global do meio:

estacionário, periódico ou caótico

 

* tratamento formal dos problemas:

autômato celular

2.6. Algoritmo Genético

simulação simplificada da evolução biológica

 

características preservadas:

* população de genótipos

* replicação com mutação

* seleção guiada pelo fenótipo

* recombinação (distingue de outros algoritmos de otimização)

 

evolução estrutural:

* alteração das regras em um autômato celular

 

“genoma” do autômato celular:

* seqüência binária da saída da função booleana

que é a mesma para todos os nodos (células)!

“mutação de ponto” :

um dígito é escolhido aleatoriamente e trocado

 

“mutação de recombinação” :

é substituído um trecho da cadeia de dígitos

 

falta ainda um critério para a seleção

para cada autômato celular da população

[ N. Packard, 1988]

são estabelecidas aleatoriamente:

* a regra booleana

* a condição inicial (repetidas vezes)

registra-se em t=0: se a maioria dos nodos está ON ou OFF

é selecionado para a próxima geração se:

* convergir para um estado estacionário

* com todos os nodos ON ou todos OFF

* e coincidindo com a maioria em t=0

* maior aptidão: menos iterações necessárias

 

funciona como uma tarefa computacional

se for capaz, é selecionado

são feitas cópias para a segunda geração

ocorrem trocas aleatórias na regra

em cada geração: mesmo procedimento

 

resultados:

[fig. 2.28] ; [fig. 2.29] ; [fig. 2.30]