Leis da física · no vácuo (300.000 km/s), e que substitui os conceitos de espaço e tempo...
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Leis da física CINEMÁTICA ANA MARIA TOFFOLETTO Bacharel e Licenciada em FÍSICA pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUCSP) Editora Clube de Autores
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Leis da física CINEMÁTICA
ANA MARIA TOFFOLETTO Bacharel e Licenciada em FÍSICA pela
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUCSP)
Editora Clube de Autores
2
Prefácio
O propósito deste livro é apresentar os conteúdos de Mecânica
Cinemática de forma acessível ao leitor sem, contudo, perder o
rigor necessário ao entendimento das Ciências da Natureza, no que
diz respeito à parte da Física. Procura fazê-lo tendo em vista o foco
na contemporaneidade, levando em conta situações do dia a dia.
Apresenta ferramentas matemáticas que irão colaborar para o
pleno entendimento e assimilação do conteúdo.
Nos primeiros capítulos, tratou-se a Cinemática de forma escalar
(com grandezas físicas como velocidade e aceleração assumindo
esse caráter). Após a introdução do assunto Vetores, foi introduzida
a Cinemática Vetorial. Assim, assuntos diversos entre os quais
“Lançamento Horizontal e Oblíquo”, onde o caráter vetorial é
essencial, foram explicados tendo em vista o viés vetorial.
Em capítulos finais foi feito um adendo com as ferramentas
matemáticas importantes e necessárias ao curso de Cinemática,
entre as quais “Potências de Dez”, “Sistema Internacional de
Unidades”, “Medidas”, “Algarismos Significativos” e “Funções”,
entre outras.
Espero que o livro seja útil a todos que precisem e se interessem
pelo assunto.
A autora
3
ÍNDICE CAPÍTULO 1 ........................................................................................................................... 7
DEFINIÇÃO DE FÍSICA ................................................................................................... 7
DIVISÕES DA FÍSICA ...................................................................................................... 7
MECÂNICA CINEMÁTICA ............................................................................................. 7
CAPÍTULO 2 ......................................................................................................................... 12
FENÔMENO NATURAL ................................................................................................. 12
GRANDEZA FÍSICA ....................................................................................................... 12
MÉTODO EM FÍSICA ..................................................................................................... 12
CAPÍTULO 3 ......................................................................................................................... 13
MECÂNICA CINEMÁTICA ........................................................................................... 13
REFERENCIAL ................................................................................................................ 13
CAPÍTULO 4 ......................................................................................................................... 14
PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA ........................................................................ 14
CAPÍTULO 5 ......................................................................................................................... 15
POSIÇÃO DE UM CORPO ............................................................................................. 15
CAPÍTULO 6 ......................................................................................................................... 16
POSIÇÃO DE UM PONTO MATERIAL ...................................................................... 16
CAPÍTULO 7 ......................................................................................................................... 19
TRAJETÓRIA ................................................................................................................... 19
CAPÍTULO 8 ......................................................................................................................... 20
ESPAÇO ............................................................................................................................. 20
CAPÍTULO 9 ......................................................................................................................... 25
TEMPO .............................................................................................................................. 25
INSTANTE ........................................................................................................................ 25
INTERVALO DE TEMPO .............................................................................................. 25
CAPÍTULO 10 ....................................................................................................................... 27
VARIAÇÃO DE ESPAÇO DE UM MÓVEL ................................................................. 27
DISTÂNCIA PERCORRIDA .......................................................................................... 27
CAPÍTULO 11 ....................................................................................................................... 31
FUNÇÃO HORÁRIA DE ESPAÇO ................................................................................ 31
CAPÍTULO 12 ....................................................................................................................... 33
VELOCIDADE ESCALAR .............................................................................................. 33
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ............................................................................... 33
VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA ................................................................ 33
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CAPÍTULO 13 ....................................................................................................................... 39
MOVIMENTO UNIFORME ........................................................................................... 39
FUNÇÃO HORÁRIA DO M.U. (PRIMEIRA PARTE) ................................................ 39
CAPÍTULO 14 ....................................................................................................................... 44
DESCREVENDO UM MOVIMENTO ........................................................................... 44
FUNÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO NO M.U. (SEGUNDA PARTE) ......................... 44
CAPÍTULO 15 ....................................................................................................................... 49
CONCEITO DE ACELERAÇÃO ESCALAR ............................................................... 49
CONCEITO DE ACELERAÇÃO MÉDIA .................................................................... 49
CONCEITO DE ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA ................................. 49
CAPÍTULO 16 ....................................................................................................................... 52
MOVIMENTO ACELERADO ........................................................................................ 52
MOVIMENTO RETARDADO ........................................................................................ 52
CAPÍTULO 17 ....................................................................................................................... 55
GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME .............................................................. 55
CAPÍTULO 18 ....................................................................................................................... 59
MOVIMENTO VARIADO .............................................................................................. 59
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO ......................................................... 59
CAPÍTULO 19 ....................................................................................................................... 62
FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE NO MUV ................................................... 62
CAPÍTULO 20 ....................................................................................................................... 65
FUNÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO NO MUV .............................................................. 65
CAPÍTULO 21 ....................................................................................................................... 67
PROPRIEDADE DO GRÁFICO DA VELOCIDADE ESCALAR EM FUNÇÃO DO
TEMPO .............................................................................................................................. 67
EQUAÇÃO DE TORRICELLI PARA O MUV ............................................................. 67
CAPÍTULO 22 ....................................................................................................................... 70
GRÁFICOS DO MUV ...................................................................................................... 70
CAPÍTULO 23 ....................................................................................................................... 77
MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO: QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO NA
VERTICAL (PARA BAIXO E PARA CIMA) ............................................................... 77
CAPÍTULO 24 ....................................................................................................................... 84
LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA ................................................................. 84
GRÁFICOS DO LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA .................................... 84
CAPÍTULO 25 ....................................................................................................................... 90
VETORES .......................................................................................................................... 90
5
GRAND E ZA S ESCA LAR E S E VETOR IA IS ........................................................................ 90
CAPÍTULOS 26 E 27 ............................................................................................................ 96
OPERAÇÃO COM GRANDEZAS VETORIAIS .......................................................... 96
INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 96
ADIÇÃO DE DOIS VETORES ....................................................................................... 96
REGRA DO POLÍGONO ................................................................................................ 96
REGRA DO PARALELOGRAMO................................................................................. 96
OBSERVAÇÕES ............................................................................................................... 96
OPERA ÇÕ E S CO M GR AN DE ZA S VETOR IA I S ................................................................. 96
CAPÍTULO 28 ..................................................................................................................... 103
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES ............................................................................... 103
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR ......................................... 103
DECO M PO SI ÇÃO DE U M VET OR E M EI XO S ORTO GO NAI S ........................................ 103
CAPÍTULO 29 ..................................................................................................................... 105
LANÇAMENTO NÃO-VERTICAL: LANÇAMENTO .............................................. 105
HORIZONTAL (PARTE UM) ...................................................................................... 105
CAPÍTULO 30 ..................................................................................................................... 112
LANÇAMENTO NÃO-VERTICAL: LANÇAMENTO OBLÍQUO (PARTE DOIS)
CAPÍTULO 31 ..................................................................................................................... 122
CINEMÁTICA VETORIAL .......................................................................................... 122
OBSERVAÇÕES: ............................................................................................................. 124
CAPÍTULO 32 ..................................................................................................................... 138
CINEMÁTICA ANGULAR ........................................................................................... 138
MOVIMENTOS CIRCULARES ................................................................................... 138
CAPÍTULO 33 ..................................................................................................................... 147
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) ...................................................... 147
CAPÍTULO 34 ..................................................................................................................... 158
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS ........................................................................... 158
CAPÍTULO 35 ..................................................................................................................... 165
ADENDO: FERRAMENTAS MATEMÁTICAS ......................................................... 165
SISTEMA INTERNACIONAL ..................................................................................... 165
SISTEMA MÉTRICO DE UNIDADES ........................................................................ 165
CAPÍTULO 36 ..................................................................................................................... 168
DEFINIÇÃO DE MEDIDA ............................................................................................ 168
SISTEMAS DE MEDIDA .............................................................................................. 168
CONVERSÃO ENTRE MEDIDAS E PREFIXOS USADOS ..................................... 168
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CAPÍTULO 37 ..................................................................................................................... 174
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ............................................................................. 174
CAPÍTULO 38 ..................................................................................................................... 180
NOTAÇÃO CIENTÍFICA: POTÊNCIAS DE DEZ .................................................... 180
EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 180
Exercícios: ....................................................................................................................... 183
CAPÍTULO 39 ..................................................................................................................... 187
FUNÇÃO LINEAR ......................................................................................................... 187
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ................................................................................ 187
FUNÇ ÃO L I NEAR ............................................................................................................... 187
FUNÇ ÃO DO 1° G RAU ...................................................................................................... 187
CAPÍTULO 40 ..................................................................................................................... 188
EXERCÍCIOS DE CINEMÁTICA RESOLVIDOS .................................................... 188
Exercícios de Física Cinemática Resolvidos................................................................... 188
RESOLUÇÕES .................................................................................................................... 200
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CAPÍTULO 1
DEFINIÇÃO DE FÍSICA
DIVISÕES DA FÍSICA
MECÂNICA CINEMÁTICA
Física: é uma palavra grega que significa Natureza. Então, estudar
Física significa estudar a natureza. Para maior facilidade, vamos dividir o estudo da Física em partes: Física Clássica: Mecânica Óptica Termologia Onda Acústica Eletromagnetismo Física Moderna: Relatividade Mecânica Quântica Radioatividade
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A Física é a ciência que estuda a natureza; daí o nome ciência natural. Ela estuda vários fenômenos naturais. Fenômeno natural: tudo o que acontece na natureza, mesmo que nada tenha de extraordinário. O simples secar de uma roupa no varal é um fenômeno natural; uma fruta desprendendo-se de uma árvore é, também, um fenômeno natural. A Física estuda os fenômenos naturais que admitem um modelo matemático. Além deste estudo da Física e de suas partes, devemos ter conhecimento de algumas ferramentas que nos auxiliarão a entender esta Ciência tão fascinante. Estes conhecimentos são: Medidas Relembrando Sistema Métrico Decimal Sistema Internacional de Unidades Algarismos Significativos Potências de Dez - Ordem de Grandeza Método em Física Funções e Gráficos
Divisões da Física O estudo da Física é dividido em partes, para maior facilidade. São elas: Mecânica, Óptica, Termologia, Acústica, Ondulatória, Eletromagnetismo e mais recentemente, além do estudo desta Física, chamada de Física Clássica, há ainda o estudo da Física Moderna, cujas partes são: Relatividade, Mecânica Quântica e Radioatividade.
Mecânica: Parte da Física que estuda o movimento dos corpos
em geral. Estudar um movimento é descrevê-lo e descobrir suas causas. Mas é estudar qual tipo de movimento? Todo tipo de movimento: movimento dos planetas, da formiguinha, de pessoas.
Óptica: Parte da Física que estuda o comportamento da luz nas
mais diversas situações.
Termologia ou Termofísica: Parte da Física
que estuda os fenômenos associados ao calor.
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Acústica: Parte responsável pelo estudo da formação,
propagação e das propriedades das ondas sonoras, em outras palavras, é o estudo do som.
Ondulatória: Parte que estuda os fenômenos que envolvem
ondas.
Eletromagnetismo: Parte que estuda os Fenômenos
Elétricos (Eletrodinâmica e Eletrostática) e Magnéticos.
Relatividade: Parte da Física Moderna que descreve os
movimentos com velocidades próximas à velocidade–limite, que é a da luz no vácuo (300.000 km/s), e que substitui os conceitos de espaço e tempo absolutos de Newton.
Mecânica Quântica: Parte da Física Moderna que
tenta explicar tudo o que ocorre no mundo das partículas atômicas e subatômicas. Os conceitos de posição, velocidade e energia não mais seguem as regras estabelecidas pelas leis de Newton.
Radioatividade: Parte da Física Moderna que estuda as
radiações eletromagnéticas de uma frequência determinada.
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Mecânica: Dissemos que estudamos a Física em partes para
facilidade deste estudo. A primeira parte é a Mecânica, como vimos. Acontece que a Mecânica também se divide em partes, ou ramos, para facilidade de seu estudo. A Tabela abaixo nos mostra esta divisão.
DIVISÕES DA MECÂNICA
A) CINEMÁTICA
B) DINÂMICA
Mecânica C) ESTÁTICA
D) HIDROSTÁTICA
E) GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
CINEMÁTICA: Parte da Mecânica que estuda os Movimentos sem
se preocupar com as causas desses Movimentos. Veremos, posteriormente, que a causa do Movimento dos objetos e corpos são as forças. Mas a Cinemática se preocupa apenas em descrever os Movimentos, suas Velocidades, Acelerações, sem se ocupar com o que causou esse Movimento. A próxima tabela lista todos os tópicos que estudaremos em Cinemática, aproveitando para, inicialmente, definirmos conceitos importantes, como Fenômeno Natural, Grandeza Física e Método em Física, conceitos esses utilizados em todas as partes a serem estudadas em Física (não só em Cinemática).
Fenômeno Natural
Grandeza Física
Método em Física
Mecânica Cinemática
Referencial ou Ponto de Referência
Posição de um Móvel
Trajetória Retilínea
Origem dos Espaços
Orientação da Trajetória
Posição e Espaço na Trajetória
Medidas
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Algarismos Significativos
Potências de Dez/ Notação Científica
Função Linear e Função do Primeiro Grau
Grandezas Escalares e Vetoriais
Velocidade Escalar Média
Velocidade Escalar Instantânea
Movimento Progressivo
Movimento Retrógrado
Movimento Uniforme
Gráficos do M. U.
Aceleração
Movimento Acelerado
Movimento Retardado
Movimento Uniformemente Acelerado
Gráficos do M. U. V.
Vetores
Velocidade e Aceleração Vetoriais
Movimento Circular Uniforme
Lançamento Horizontal
Lançamento Vertical
Lançamento Oblíquo
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CAPÍTULO 2
FENÔMENO NATURAL
GRANDEZA FÍSICA
MÉTODO EM FÍSICA
FENÔMENO NATURAL : recordando, é tudo o que acontece na natureza, mesmo
que nada tenha de extraordinário. O simples secar de uma roupa no varal é um fenômeno natural...
GRANDEZA FÍSICA: é tudo o que pode ser medido por um instrumento.
Exemplo: massa, volume, potência, velocidade.... Medir uma grandeza é
associar a ela um número, comparando-a a uma unidade de medida: L= 5 U
←unidade; neste exemplo o cinco é a medida e o U é a unidade de
referência. De modo geral, os fenômenos físicos admitem um modelo matemático: relação matemática entre grandezas físicas.
MÉTODO EM FÍSICA: A tecnologia de que dispomos hoje é o resultado
de milhares de anos observando a natureza, descobrindo suas leis e sabendo como utilizá-la. Isto nada mais é que do que um método usado para um determinado fim, ou seja, observamos a natureza e descobrimos suas leis e como utilizá-las para resolvermos problemas práticos, facilitarmos nossas tarefas, ou apenas por buscarmos explicações sobre o universo que nos cerca. A seguir apresentamos o que se chama de Método Experimental em Física, ou seja, o método de apreensão do conhecimento da Física: a) Observação dos fenômenos inúmeras vezes, destacando os fatos notáveis; b) Medição das principais grandezas presentes no fenômeno (com essas medidas procuramos alguma relação existente no fenômeno, tentando descobrir alguma lei ou princípio que o rege); c) Indução ou conclusão de leis que regem esse fenômeno. Muitas vezes repetimos o fenômeno em Laboratório em condições consideradas ideais em relação às condições reais de sua ocorrência.
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CAPÍTULO 3
MECÂNICA CINEMÁTICA
REFERENCIAL
Referencial ou Ponto de Referência
Para explicar o que é o Referencial, vamos usar um exemplo. Imagine uma pessoa sentada no interior de um ônibus que anda vagarosamente por uma rua. Esta pessoa está em Movimento ou em Repouso? PENSE.
Ela estará em Movimento em relação, por exemplo, à paisagem, à rua, à calçada e à superfície terrestre. Ou seja, se utilizarmos como REFERENCIAL a paisagem, a rua, a calçada ou a superfície terrestre. Neste caso, variou a posição entre a pessoa e os objetos citados e, por isso, podemos dizer que ela está em Movimento. MAS a pessoa estará em Repouso se escolhermos outro REFERENCIAL. Estará em Repouso em relação às paredes do ônibus, ao teto do ônibus, à lâmpada do ônibus. Estes são os REFERENCIAIS. Não variou, neste caso, a posição entre estes objetos e a pessoa. Então, dizemos que Referencial ou Ponto de Referência ou, ainda, Sistema de Referência é o corpo em relação ao qual se considera o Movimento ou o Repouso de outros corpos. Se variar a posição de um corpo no decurso do tempo, em relação a um dado referencial, diremos que ele está em movimento, caso contrário, em repouso. Note que os conceitos de movimento e repouso dependem do referencial adotado. Veja a seguir outros exemplos: a. Considere um carro em uma rua e um poste. O velocímetro do carro marca 100 km/h. Se o referencial for a superfície terrestre, o poste estará em repouso e o motorista estará em movimento a 100 km/h. Se o referencial for o carro, o motorista estará em repouso e o poste estará em movimento a 100 km/h. b. Considere um avião em pleno voo e um passageiro dormindo em uma poltrona. Se o referencial for o avião, o passageiro estará em repouso, e, se o referencial for a superfície terrestre, o passageiro estará em movimento.
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CAPÍTULO 4
PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA
Quando estudamos o movimento de um corpo, suas dimensões (seu tamanho) podem ser relevantes ou não no equacionamento do movimento. Isto posto, definimos:
Ponto Material é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas no estudo
do fenômeno. Neste livro estudaremos apenas a Cinemática do ponto material: vamos nos restringir ao estudo dos corpos rígidos de dimensões desprezíveis em relação aos referenciais adotados, ou seja, só estudaremos os movimentos de pontos materiais. Desta forma, para um dado referencial, será possível definir com precisão a posição do móvel em cada instante e a trajetória por ele descrita. O fato de considerar qualquer corpo como ponto material, é uma forma de obter a precisão nas medidas pois, caso fosse considerado como corpo extenso (corpo cujas dimensões não podem ser desprezadas pois modificam o resultado), suas dimensões influenciariam no fenômeno estudado e seu estudo seria muito complicado, exigindo uma matemática bastante avançada, o que foge ao objetivo deste estudo. Então, todo corpo mencionado neste livro, salvo menção em contrário, será tratado como ponto material.
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CAPÍTULO 5
POSIÇÃO DE UM CORPO
POSIÇÃO DE UM CORPO
Posição de um corpo é a localização deste corpo em relação a
um referencial.
Na linguagem da Física, dar a Posição de um corpo é informar
o lugar em que ele se encontra.
Por exemplo, a posição de um veículo em uma estrada
pode ser determinada pelo marco quilométrico, que é a
distância, medida sobre a estrada, até um ponto
preestabelecido, chamado marco zero. Percebemos,
então, que um corpo só pode ser localizado em relação
a outro, tomado como referencial. No exemplo, o
referencial é o marco zero. Neste caso, podemos localizar o corpo
utilizando apenas uma medida. Há casos em que só uma medida
não é suficiente para localizar o corpo, como, por exemplo, o caso
de querermos localizar um avião: necessitamos, para isso, de três
medidas, ou coordenadas. Ainda, podemos localizar um corpo de
vários modos, cada um específico para uma situação. O modo de
localizar uma pessoa na multidão pode não ser conveniente para
localizar um barco no mar. De forma geral, se um corpo se move
no espaço, no plano ou numa reta, será localizado de diferentes
modos. No entanto, em todos esses casos há algo em comum: um
corpo só pode ser localizado em relação a um outro, tomado
como referência.
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CAPÍTULO 6
POSIÇÃO DE UM PONTO MATERIAL
A seguir, vamos dar um tratamento matemático e geométrico à definição de Posição e Ponto
de Referência, vistos nos capítulos anteiores.
POSIÇÃO DE UM PONTO MATERIAL é a localização deste ponto em
relação a um referencial.
Na linguagem da Física, dar a Posição de um ponto material é informar
o lugar em que ele se encontra.
A determinação da posição de um ponto material P é feita em relação a determinados corpos que recebem, como já vimos, o nome de referenciais ou sistemas de referência. Assim, para localizarmos um ponto, em relação a um referencial, é necessário conhecermos distâncias de P aos pontos do referencial. Um modo de localizar o ponto P é fixar no referencial um sistema cartesiano triortogonal (sistema constituído de três eixos perpendiculares dois a dois e com uma origem comum) caso o ponto esteja no espaço, ou um sistema cartesiano constituído de dois eixos perpendiculares, caso o ponto esteja num plano ou, ainda, apenas uma coordenada cartesiana, caso em que o ponto se localiza em uma reta. Ou seja: Se um ponto material estiver situado no espaço, no plano ou numa reta, será localizado de diferentes modos. Se estiver sempre em uma reta, sua posição ficará determinada por uma única medida algébrica x; se estiver sempre em um plano, a sua posição será determinada por um par de coordenadas (x; y) e, se este ponto material puder estar em qualquer posição do espaço, sua posição só ficará determinada por um terno (x; y; z) de coordenadas. A seguir ilustramos cada caso. Imagine, inicialmente, um ponto material P situado sempre em uma reta. Sua posição ficará determinada, para um dado referencial, que no caso é o ponto O, pela medida algébrica x do segmento OP, sendo O um ponto fixo pertencente à reta. O P
x
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A medida x é chamada coordenada do ponto P e o ponto fixo O é denominado origem das coordenadas. O referencial está situado no ponto O (origem).
Imagine, agora, que o ponto material P está sempre em um plano. A sua posição será definida, para um dado referencial, por um par de coordenadas (x; y). Origem do sistema cartesiano Por uma questão de lógica, vamos colocar o referencial situado na origem do sistema cartesiano. O conjunto de dois eixos perpendiculares, usado para se definir a posição do ponto material no plano, é denominado sistema cartesiano e as coordenadas (x; y) do ponto material são denominadas coordenadas cartesianas de posição. Finalmente, se um ponto material P puder estar em qualquer lugar do espaço, sua posição só ficará determinada, para um dado referencial, por um terno (x; y; z) de coordenadas. Origem do sistema cartesiano
P (X; Y)
P (x; y; z)
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O conjunto de três eixos perpendiculares entre si, usado para se definir a posição do ponto material no espaço, é denominado sistema cartesiano triortogonal e as coordenadas (x; y; z) do ponto material são as coordenadas cartesianas que definem a posição do ponto material. Em outras palavras, o sistema cartesiano triortogonal deve ser fixado em um local, em relação ao qual pretendemos estudar a posição do ponto material. E este local é chamado de ponto de referência ou referencial. É usual chamarmos x de abscissa, y de ordenada e z de cota ou altura. O referencial está situado na origem do sistema cartesiano.
REPOUSO E MOVIMENTO DO PONTO MATERIAL/PONTO DE REFERÊNCIA
Vimos anteriormente que o corpo em relação ao qual se considera o movimento ou repouso dos corpos é denominado ponto de referência. Um ponto material está em repouso, para um dado referencial, quando sua posição permanece invariável, isto é, as três coordenadas (x, y, z), medidas neste referencial, permanecem constantes no decurso do tempo. Um ponto material está em movimento, para um dado referencial, quando sua posição varia no decurso do tempo, isto é, pelo menos uma das suas coordenadas cartesianas está variando.
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CAPÍTULO 7
TRAJETÓRIA
A ideia de trajetória é a de percurso, caminho que o corpo percorre, trajeto de um corpo.
Quando um ponto material se movimenta em relação a determinado referencial, ele
ocupa diferentes pontos à medida que o tempo passa, descrevendo, assim, uma linha
que pode ser reta ou curva. Então, trajetória de um ponto material é a linha que ele
descreve em relação a um referencial. Caso o ponto material esteja em repouso, sua
trajetória reduz-se a um ponto.
A trajetória vai depender do referencial adotado: se um parafuso está caindo do teto de
um ônibus, em relação ao ônibus terá trajetória retilínea vertical, mas em relação à Terra
terá outro tipo de trajetória, a parabólica, que é o resultado da composição de dois
movimentos: queda vertical pela ação da gravidade e movimento horizontal
acompanhando o ônibus.
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CAPÍTULO 8
ESPAÇO
Por meio de coordenadas cartesianas, aprendemos a determinar uma posição genérica de um ponto material. Considere uma borboleta pousada em uma parede. A sua posição em relação à parede pode ser dada pelas coordenadas lidas em um sistema de eixos cartesianos ortogonais associados à parede. A borboleta pode movimentar-se livremente pela parede e até mesmo sair dela. Não sabemos de antemão qual a trajetória que ela vai seguir, mas, se ela se movimentar no plano da parede, sempre poderemos dar a sua posição por meio de uma abscissa x e de uma ordenada y. Já quando a trajetória a ser descrita por uma partícula for conhecida de antemão e tivermos acesso a ela, poderemos dar a posição da partícula em relação à própria trajetória, dispensando o sistema de eixos: a posição de um ponto material que está sobre uma linha conhecida pode ser determinada por uma única medida, que, na Física, é denominado ESPAÇO. Vejamos agora como localizar o ponto material ao longo de sua trajetória. Isto é feito, como mencionamos, por uma única coordenada (ou abscissa), que é denominada espaço (ou abscissa linear). A seguir mostraremos como isto é feito.
Origem dos Espaços, Orientação da Trajetória, Posição e
Espaço Imagine uma trajetória retilínea como a dada abaixo. Vamos definir para ela um começo, ou seja, uma origem:
0 (ORIGEM)
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Vamos adotar, por convenção, ou seja, por uma combinação prévia,
o sentido positivo para a direita (poderia ser para a esquerda, mas
escolheremos para a direita).
0 (ORIGEM) ()
A seguir, numeraremos a trajetória e imaginaremos um objeto, que em Física costuma ser denominado, como vimos, móvel ou corpo, nosso ponto material, nessa trajetória.
... -3 -2 - 1 1 2 3...
0 (ORIGEM) () m
DECRESCE CRESCE
Repare que a trajetória está numerada numa escala dada em metros (m) e que o móvel está duas unidades à direita da origem. Dizemos que está na posição 2 m. Se o móvel estivesse duas unidades à esquerda da origem, diríamos que sua posição é -2 m. Depois destas etapas executadas acima (origem, sentido e numeração de uma trajetória e Posição de um ponto material na mesma, já podemos definir, na prática, o conceito de Espaço. ESPAÇO DE UM CORPO A posição de um móvel que está sobre uma linha conhecida pode ser determinada por uma única medida que, na Física, é chamada ESPAÇO OU ABCISSA. O espaço (s) de um ponto P, é um número cujo valor absoluto é a distância da origem O até P. Quanto ao sinal, convencionou-se que s > 0 ou s < 0, conforme o sentido de O para P seja, respectivamente, o mesmo ou o contrário da orientação da trajetória.
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Observe a figura a seguir, na qual veremos outro exemplo:
Note que a trajetória, apesar de não retilínea, obedece aos mesmos padrões da trajetória reta. Note, também, que a escala é dada em metros e que ela está orientada para a direita. Bem, vamos encontrar as Posições, nesta trajetória. Veja a primeira bolinha à esquerda; repare que ela está duas unidades à esquerda da origem. Dizemos que está na posição -2 m. Já a bolinha central está na posição 0m; finalmente, a bolinha à direita está na posição +2 m. A origem é nosso referencial. Note que temos nas posições a letra s, que indica o espaço de cada uma delas.
Observação - Alguns autores usam, para a definição de espaço, outra
letra em sua notação: ao invés de s (space), poderemos encontrar a
letra d (distância) ou a letra e (espaço). Então, quando dizemos que
algo está em uma posição determinada, queremos dizer que este
algo fica a uma distância determinada de um referencial adotado,
distância esta que é definida por um número denominado espaço.
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Então, qual a diferença entre posição e espaço de um móvel (corpo)? Resumidamente, podemos dizer que a diferença entre posição e espaço é que a posição é a localização do móvel em relação a um ponto de referência e o espaço é uma medida, ou seja, é a distância da origem até o ponto em que o móvel se encontra. Em outras palavras: a posição apenas nos mostra onde o móvel está localizado e o espaço nos fornece a distância do móvel à origem.
Agora, suponha que um móvel estivesse se deslocando numa
trajetória qualquer, como a dada abaixo. Qual seria a sua posição no
instante considerado?
... -3 -2 -1 1 2 3...
0 (ORIGEM) () m
DECRESCE CRESCE
Isso mesmo, sua posição seria -3 m no instante considerado. Perceba que se queremos saber a localização e o espaço de um móvel em movimento sobre uma trajetória, devemos fornecer o instante em que queremos obter a informação, pois como ele está em movimento, sua posição e espaço variam com o tempo. E isto nos remete a outro conceito importante em Física Cinemática: o conceito de tempo (t), o qual veremos no próximo capítulo.
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Abaixo, segue um resumo dos conceitos vistos em Cinemática e
suas definições.
RESUMINDO, OS CONCEITOS DE REFERENCIAL, POSIÇÃO
E ESPAÇO PODEM SER DADOS COMO SE SEGUE
Posição
Referencial
Espaço
• (P) Localização do corpo em relação a um referencial adotado. Obs: corpo (ponto material)
• (O) Corpo adotado como referência
• (s) Valor numérico que dá a distância do corpo até o referencial adotado
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CAPÍTULO 9
TEMPO
INSTANTE
INTERVALO DE TEMPO
Os conceitos de tempo e instante são intuitivos. Associamos o
tempo à sucessão de acontecimentos. Sentimos o tempo, por
exemplo, no crescimento das pessoas: bebê, adolescente, adulto.
Medimos esse tempo através das repetições, por exemplo,
contando o número de voltas do ponteiro do relógio. O instante ao
qual associamos tempo zero (t = 0) recebe o nome de origem dos
tempos.
INTERVALO DE TEMPO OU VARIAÇÃO DE TEMPO
Se um determinado fenômeno tem início num determinado
instante (que chamaremos de t0) e termina num outro instante (que
chamaremos de t1), dizemos que o fenômeno ocorreu num
INTERVALO DE TEMPO dado matematicamente por:
Δt = t1 – t0
A expressão acima é lida da seguinte forma:
delta t é igual a t1 menos t0
ou
variação de tempo é igual a t1 menos t0
ou, ainda,
intervalo de tempo é igual a t1 menos t0
Observação: O intervalo de tempo também é chamado de variação
de tempo, significando a mesma coisa. Também, a letra grega delta
(Δ) pode ser lida como variação de algo. Toda vez que esta letra
estiver antes de uma grandeza, significará variação de algo.
26
Veja abaixo o exemplo sobre Intervalo de Tempo:
Uma pessoa vai ao cinema. Quando inicia o filme, ela olha seu
relógio e ele marca 18 h 12 min. Quando acaba o filme, ela torna a
olhar o relógio e, desta vez, ele marca 20 h 25 min. Na saída,
alguém pergunta para ela qual a duração do filme.
Ela responderá que durou 2 horas e 13 minutos.
Ou seja, o intervalo de tempo de duração do filme foi de 2 h e 13
min. Ou, também, a variação de tempo do filme foi de 2 h e 13 min.
Matematicamente, temos, para esta situação:
O instante inicial do filme é t0 = 18 h 12 min e o instante final é
t1 = 20 h 25 min e, portanto, a variação de tempo ou intervalo de
tempo do filme, é dada por:
Δt = t 1 – t0 = 20 h 25 min – 18 h 12 min = 2 h 13 min
Em outras palavras, o intervalo de tempo de um fenômeno é dado
pela diferença entre o instante final e o instante inicial de
ocorrência deste fenômeno. Este é um conceito simples e bastante
utilizado em Cinemática.
Observação: Quando utilizamos o relógio, o zero corresponde ao
começo do dia. Quando utilizamos o cronômetro inicialmente
zerado, o zero corresponde ao início do estudo do movimento. A
diferença é apenas do instante que se convenciona chamar de zero.
No caso do nosso estudo em questão, como estamos interessados
no movimento de móveis, e não
na rotação da Terra, a indicação
do cronômetro, que denominamos
tempo de movimento, é mais útil.
27
CAPÍTULO 10
VARIAÇÃO DE ESPAÇO DE UM MÓVEL
DISTÂNCIA PERCORRIDA
Já vimos o conceito de Espaço de um móvel (distância da origem
da trajetória até o ponto em que o móvel se encontra nesta
trajetória) e, agora, vamos estudar o conceito de Variação de
Espaço.
Primeiro apresentaremos sua definição e, após, daremos exemplos.
VARIAÇÃO DE ESPAÇO: denomina-se variação de espaço a
seguinte diferença: Δs = sfinal - sinicial (lê-se: variação de espaço é
igual a espaço final menos espaço inicial. Também poderemos
encontrar a seguinte notação para a variação de espaço:
Δs = s2 – s1, sempre mostrando a diferença entre um espaço
posterior e um espaço anterior quaisquer.
A variação de espaço pode ser positiva (s2 > s1), negativa (s2 < s1)
ou nula (s2 = s1), isto é, o móvel retorna à posição inicial. Usual,
também, é a expressão s1 – s0. Vejamos um exemplo.
Consideremos uma trajetória qualquer, no caso retilínea, como a
da figura abaixo, e um móvel se deslocando nesta trajetória, desde
o instante t = 0 s.
Repare que são dados vários instantes de tempo: t = 0 s, t = 1 s,
t = 2 s e t = 3 s. Para t = 0 s temos o espaço s = - 2 m, ou seja,
quando se começa a contar o tempo, hora inicial em que se olha o
relógio ou o cronômetro, o móvel está à esquerda da origem da trajetória e à distância de 2 metros dessa origem, ocupando a posição de – 2 m.
28
Para t = 1 s temos s = 0 m, ou seja, quando passa 1 segundo da
hora em que se começou a contar o tempo, o móvel está na posição
0 m e espaço 0 m (distância de 0 m da origem da trajetória, ou seja,
ocupa, neste instante, a origem da trajetória); para t = 2 s temos
s = 3 m estando, neste instante, à direita e a 3 metros da origem da
trajetória e, finalmente, para t = 3 s temos s = 6 metros, ou seja, o
móvel está na posição 6 m e está a 6 metros de distância da origem
e à direita. Para encontrar a variação de espaço entre dois
momentos quaisquer, por exemplo, entre os instantes t = 1 s e
t = 3 s, utilizaremos nossa equação vista: Δs = s final – s inicial
Sabemos que em t = 1 s (instante anterior) o espaço s é 0 m e que
no instante t = 3 s (instante posterior) o espaço é 6 m. Assim, temos:
Δs = s final – s inicial = 6 – 0 = 6 m
Portanto, a variação de espaço foi de 6 m entre os instantes
considerados.
Podemos encontrar a variação de espaço entre quaisquer instantes
que quisermos, bastando, para isso, termos os dados necessários e
encontrarmos a diferença entre os espaços posterior e anterior.
Vamos a mais um exemplo.
Consideremos no esquema abaixo, por exemplo, os instantes
t = 2 s (instante anterior) e t = 3 s (instante posterior). Para t = 2 s
temos s = 3 m e para t = 3 s temos s = 6 m. A variação de espaço
desses instantes é dada por: Δs = 6 – 3 = 3 m.
Agora, repare o que significa a variação de espaço não apenas
matematicamente, mas em seu conteúdo pleno.
s inicial = 3 m
s final = 6 m
Δs = 3 m
29
Observe que o trecho de 3 m em Δs é a variação de espaço
procurada.
A seguir, vamos responder algumas questões importantes.
Utilizaremos a figura já vista.
- Qual é o espaço inicial do móvel? O espaço inicial corresponde
ao instante em que t = 0 s, ou seja, o instante em que se começa a
contar o tempo e o espaço inicial é, portanto, s =- 2 m.
- Qual o espaço final do móvel? Na figura o espaço final é s = 6 m.
-Qual a variação de espaço entre eles? A variação de espaço entre
eles é dada por: Δs = 6 – (- 2) = 8 m.
-Supondo que o móvel retorna do trecho de 6 m para o de 3 m,
qual a variação de espaço nesse trecho? A variação de espaço nesse
trecho é dada por: Δ s = 3 - 6 = - 3 m.
-Consideremos, por exemplo, os instantes t = 1 s (instante anterior)
e t = 3 s (instante posterior). Para t = 1 s temos s = 0 m e para
t = 3 s temos s = 6 m. Qual é a variação de espaço entre esses
instantes?
A variação de espaço entre esses instantes é dada por:
Δs = 6 – 0 = 6 m.
-Consideremos, por exemplo, em outro exemplo, os instantes t = 1
s (instante de 1 s após começar a contar o tempo em meu relógio
ou cronômetro) e t = 5 s. Para t = 1 s tenho s = 14 m, ou seja, o
móvel está a 14 m da origem da trajetória, e para t = 5 s temos
s = 8 m. Qual é a variação de espaço entre esses instantes?
A variação de espaço entre esses instantes é dada por:
Δs = 8 – 14 = -6 m.
-Ainda, neste exemplo, qual o espaço inicial e qual o espaço final?
O espaço inicial é s = 14 m e o espaço final é s = 8 m.
30
DISTÂNCIA PERCORRIDA Distância percorrida é uma grandeza de utilidade prática que informa quanto a partícula efetivamente percorreu entre dois instantes, devendo ser calculada em valor absoluto. Há vezes em que a distância percorrida tem o mesmo valor da variação de espaço, porém, em outras situações, apresenta valor diferente, como vamos ver a seguir. É preciso considerar dois casos:
A) A PARTÍCULA DESLOCA-SE SEMPRE NO MESMO SENTIDO Neste caso, a distância percorrida é igual ao módulo (valor) da variação de espaço.
B) A PARTÍCULA INVERTE O SENTIDO DO MOVIMENTO Nesse caso, a distância percorrida é calculada somando-se os módulos das variações de espaço em cada sentido, isto é, o Δs na ida com o Δs na volta, ambos tomados em módulo.
ABAIXO TEMOS A TRAJETÓRIA CURVILÍNEA DE UM PONTO MATERIAL P QUE OCUPA DUAS
POSIÇÕES EM DOIS INSTANTES QUAISQUER. PERCEBA A DIFERENÇA ENTRE A DISTÂNCIA
PERCORRIDA PELO PONTO E A SUA VARIAÇÃO DE ESPAÇO.
Variação de espaço
Distância percorrida
31
CAPÍTULO 11
FUNÇÃO HORÁRIA DE ESPAÇO
Chama-se função horária do espaço toda expressão que permite obter o
valor do espaço num instante qualquer do movimento. Se, por exemplo,
é dado que os espaços de uma partícula variam com o tempo conforme
a expressão:
s = 2t + 10
válida no Sistema Internacional de unidades ( SI), podemos calcular o
espaço em qualquer instante do movimento.
Por exemplo:
para t = 0 → s = 2(0) + 10 → s = 10 m ;
para t = 1 s → s = 2(1) + 10 → s = 12 m ;
para t = 2 s → s = 2(2) + 10 → s = 14 m.
Essa expressão é a função horária do espaço para o movimento da
partícula.
Observe que essa função nos permite determinar também em que
instante o espaço assume um determinado valor. Se quisermos saber,
por exemplo, o instante em que o espaço vale 60 m, faremos:
s = 60 m → 60 = 2t + 10 → t = 25 s.
Outros exemplos:
a) s = 20 – 5 t (para s em metros e t em segundos)
t = 0 → s = 20 m
t = 1 s → s = 15 m
t = 2 s → s = 10 m
t = 3 s → s = 5 m
t= 4 s → s = 0
Neste exemplo, os espaços do móvel decrescem com o tempo. O móvel
caminha em sentido contrário ao da orientação positiva da trajetória.
32
b) s = 2 + 4t – t2 (SI)
t = 0 → s = 2 m
t = 1 s → s = 5 m
t = 2 s → s = 6 m
t = 3 s → s = 5 m
t = 4 s → s = 2 m
Note, nesse caso, que o espaço do móvel cresce e a seguir decresce
com o tempo, significando que o móvel caminha num sentido e depois
retorna.
Nos capítulos em que definiremos Movimento Uniforme e
Movimento Uniformemente Variado, voltaremos a falar em função
horária do espaço, aprofundando seu conhecimento. Por hora, é
importante sabermos o que é e para que serve a função.
33
CAPÍTULO 12
VELOCIDADE ESCALAR
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
Conceito de Velocidade Escalar Consideremos um automóvel viajando de São Paulo ao Rio de
Janeiro. Estando o carro em movimento, sua posição varia no
decurso do tempo. Esta mudança de posição pode ser lenta ou
rápida. Para medirmos a rapidez com que a posição varia, criou-
se o conceito de velocidade escalar. Como a posição ao longo da
trajetória é definida pela grandeza física espaço (s), concluímos que
a velocidade escalar mede a rapidez com que o espaço varia.
Velocidade escalar é uma medida da rapidez com que a
posição (ou espaço) varia. Como exemplo, suponha dois carros
em sentidos opostos, numa rodovia, ambos a 60 km/h. O que
caminha a favor da trajetória tem a velocidade escalar efetiva de
60 km/h e o que caminha em sentido oposto, -60 km/h.
Conceito de Velocidade Escalar Média Retomemos o exemplo do automóvel viajando de São Paulo para
o Rio de Janeiro. Durante a viagem, certamente sua velocidade não
se manteve sempre constante. Surge, então, a ideia de se definir
uma velocidade escalar média para o trajeto considerado.
Assim, se os 400 km que separam São Paulo do Rio de Janeiro
forem percorridos em 5,0 horas, concluímos que, em média, o
automóvel percorreu 80 km em cada hora. Isso significa que,
embora a velocidade escalar do móvel seja variável, ele teve uma
velocidade escalar média de 80 km por hora.
Velocidade escalar média é a velocidade escalar constante que
o móvel deveria ter, durante todo o percurso, em um
movimento fictício, para fazer o mesmo trajeto, no mesmo
tempo gasto no movimento real.
34
Agora, vamos definir o que é velocidade escalar média,
matematicamente.
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA: é a grandeza física que é
obtida dividindo-se a variação de espaço (Δs) pela variação de
tempo (Δt):
vm = Δs
Δt
EXEMPLO
Suponhamos três atletas, que chamaremos de A, B e C, participando
de uma corrida de 100 metros. O atleta A percorre os 100 metros em 20 segundos. O atleta B
percorre os mesmos 100 metros em 10 segundos. Já o atleta C faz o
mesmo percurso em 16 segundos. Qual dos atletas ganhará a corrida?
Resposta: O atleta B ganhará a corrida, pois percorrerá os 100 metros
em menor tempo. Em outras palavras, o atleta B foi o mais rápido, ou
seja, o que teve maior velocidade escalar.
Vamos calcular a velocidade escalar média de cada um dos atletas
do exemplo visto, lembrando que a variação de espaço nos três
casos é Δs = 100 m (pois o espaço final menos o espaço inicial é
dado por: Δs =100 m – 0 m).
Atleta A: vm = Δs = 100
Δt 20
Ou seja, o atleta A teve uma variação de espaço de 100 metros por
20 segundos, grandeza esta chamada de velocidade escalar média;
efetuando os cálculos, encontramos uma velocidade escalar média
de 5 metros por segundo: v = Δs = 100 = 5 m = 5 m/s
Δt 20 s
35
Atleta B: vm = Δs = 100 = 10 m = 10 m/s
Δt 10 s
Atleta C: vm = Δs = 100 = 6,25 m = 6,25 m/s
Δt 16 s
Com relação às unidades de medida de velocidade, notamos que
elas sempre correspondem a um quociente de uma unidade de
espaço por uma unidade de tempo.
Assim, no SI, temos que a unidade de velocidade é o metro por
segundo.
Frequentemente, usamos também a unidade quilômetro por hora
(km/h) e vale a seguinte relação entre m e km:
s h
1 km = 1 000 m 1 km = 1 m ou 1 m = 3,6 km
h 3 600 s h 3,6 s h
Portanto cada 1 m corresponde a 3,6 km. Por isso, ao passar de
s h
m/s para km/h multiplica-se por 3,6 e, inversamente, de km/h
para m/s, divide-se por 3,6.
Quando o movimento se dá no sentido da trajetória, a velocidade
escalar média é positiva, pois, nesse caso, também é positiva a
variação de espaço Δs. Diz-se, então, que o movimento é
progressivo, pois os espaços crescem com o tempo.
Já quando o movimento se dá em sentido oposto ao da trajetória,
a velocidade escalar média é negativa, pois agora Δs é negativo.
Diz-se, então, que o movimento é retrógrado, uma vez que os
espaços decrescem com o tempo.
36
Velocidade Escalar Instantânea
É a velocidade em cada instante e é indicada, por exemplo, pelo
velocímetro de um automóvel. Não devemos confundí-la com a
velocidade escalar média.
A velocidade escalar média nos dá uma ideia geral do movimento.
Para sabermos o que ocorreu a cada instante, definimos a
velocidade escalar instantânea. Quando se considera um tempo
infinitamente curto, a velocidade escalar média passa a ser
chamada de velocidade escalar instantânea.
No exemplo visto, dos três atletas, sabemos que o atleta B foi o
mais veloz, mas isso não significa que foi o mais rápido o tempo
todo; de fato, ele pode ter acelerado em determinado momento e,
em outro, percorrido o trecho mais lentamente, mas em média teve
a maior velocidade.
Outro exemplo: A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de
400 km. Vamos supor que gastamos um tempo de 5 horas numa
viagem de São Paulo ao Rio. Qual foi a nossa velocidade escalar
média?
Calculemos:
vm = Δs = 400 = 80 km
Δt 5 h
Em média, percorremos 80 km em cada hora. Será que o
velocímetro marcou 80 km/h o tempo todo?
Em certo instante paramos para tomar um café. Em outro,
aceleramos para a ultrapassagem de um caminhão, atingindo
100 km/h. Em média mantivemos 80 km/h, apenas em média.
Para o cálculo da velocidade escalar média só nos interessam os
valores final e inicial.
Como já foi dito, se quisermos saber a velocidade a cada instante,
devemos encontrar a velocidade escalar instantânea.
Como também dissemos anteriormente, quando se considera um
tempo infinitamente curto, a velocidade escalar média passa a ser
chamada de velocidade escalar instantânea.
Ela é usada para sabermos o que aconteceu em cada instante.
37
Pode ser entendida como uma velocidade escalar média para um
intervalo de tempo Δt muito pequeno, isto é, Δt tendendo a zero
(Δt → 0), ou seja, tfinal tendendo a tinicial (tfinal → tinicial), ou, ainda,
t2 → t1.
Quando Δt tende a zero, Δs também tende a zero, mas o quociente
Δs tende a um valor limite que é a velocidade escalar instantânea. Δt
Portanto, a velocidade escalar instantânea é o limite da velocidade
escalar média quando o intervalo de tempo considerado tender a
zero.
Em linguagem matemática, a velocidade escalar instantânea é
dada por:
v = lim vm = lim Δs
Δt → 0 Δt → 0 Δt
Lê-se: velocidade escalar instantânea é igual ao limite da
velocidade escalar média quando delta t tende a zero que é igual ao
limite da variação de espaço pela variação de tempo quando esse
limite (delta t) tende a zero.
Aqui um parêntese: a palavra escalar (em velocidade escalar
média e velocidade escalar instantânea) mostra que estamos
dando às grandezas vistas, velocidade média e instantânea, um
tratamento ainda simplificado, pois, posteriormente veremos o
conceito de velocidade vetorial média e velocidade vetorial
instantânea, momento em que diferenciaremos os dois conceitos
(escalar e vetorial). Por hora, saiba que a velocidade escalar,
tanto média quanto instantânea, não leva em conta a direção e o
sentido do movimento estudado, mas, apenas, módulo, o que é o
mesmo que valor. Quando estivermos falando de velocidade
vetorial média e instantânea, levaremos em conta a direção e o
sentido do movimento.
38
O limite de Δs quando Δt tende a zero recebe o nome de derivada
Δt
do espaço em relação ao tempo e indica-se por ds.
dt
Assim: v = ds
dt
Lê-se: velocidade escalar instantânea é igual à derivada de ds sobre
dt.
RESUMINDO:
Uma última observação importante: veja a figura a seguir. Note que a velocidade é negativa.
Isto significa que o móvel caminha contra a orientação positiva da trajetória, mas não significa
que a velocidade está diminuindo. É apenas a Indicação de que o móvel vai em direção oposta
à da orientação da trajetória.
Quando entrarmos no estudo das Funções Horárias, nos próximos
capítulos, daremos exemplos de como lidar com estas fórmulas
matemáticas de limite e derivada. Por enquanto, saiba que elas existem e
fazem parte do conhecimento de velocidade escalar instantânea.
39
CAPÍTULO 13
MOVIMENTO UNIFORME
FUNÇÃO HORÁRIA DO M.U. (PRIMEIRA PARTE)
Movimento Uniforme
É um tipo de movimento em que a velocidade escalar é sempre a
mesma, constante, não muda à medida que o tempo passa:
v = constante
Suponha que a indicação do velocímetro de um veículo seja
mantida constante no valor 90 km/h durante uma viagem de três
horas. Esse veículo vai se deslocar 90 km na primeira hora, 90 km
na segunda hora e 90 km na terceira hora de viagem. Seu
deslocamento será de 270 km nas três horas de viagem, de 180 km
em duas horas, de 45 km a cada meia hora, e assim sucessivamente.
Observe que o quociente do deslocamento pelo tempo é constante:
90 km = 180 km = 270 km = 45 = 90 km/h
1 h 2 h 3 h 1 h
2
Esse veículo apresenta movimento uniforme, pois sua velocidade
é constante: ele apresenta deslocamentos iguais em intervalos de
tempos iguais. Em intervalos de tempo diferentes, os
deslocamentos são proporcionais ao tempo.
Outro exemplo: se dissermos que um corpo está em movimento
uniforme, com velocidade escalar média de 80 km por hora (80
km/h), sabemos que ele realmente vai apresentar, o tempo todo,
esta velocidade; ele, então, percorrerá 80 km a cada hora.
Se pisar no acelerador não estará mais em M.U. (Movimento
Uniforme). Se diminuir a velocidade, também não estará mais em
M.U.
Raramente um corpo realiza movimento uniforme.
40
Exemplos de movimento uniforme: ponteiro do relógio, escada
rolante, CD no aparelho de som, etc.
Em todo movimento uniforme o móvel, ou corpo, percorre
espaços iguais em tempos iguais.
A Tabela a seguir nos fornece os tempos e os espaços de um móvel
em M.U.
t (s)
0 1 2 3 4 5
s (m)
3 6 9 12 15 18
Calcule a velocidade escalar média:
De 0 a 1 s: vm = Δ s = 6 – 3 = 3 = 3 m/s Δt 1 – 0 1 De 0 a 2 s: vm = 9 – 3 = 6 = 3 m/s 2 – 0 2 De 2 a 5 s: vm = 18 – 9 = 9 = 3 m/s 5 – 2 3
Observamos que vm = 3 m/s = constante (cte.). O movimento é
uniforme.
41
Função Horária do Espaço no M.U.
Vamos imaginar uma trajetória qualquer, definindo para ela uma
origem e uma orientação positiva, no caso, para a direita.
Vamos supor, ainda, que um móvel se desloque ao longo da
trajetória e que ele esteja em M.U. (v = constante).
Num determinado instante começo a contar o tempo.
Então t1= 0 é a hora que ligo o cronômetro do meu relógio.
Nesse instante, observo que o móvel está numa posição qualquer
P1. O espaço do móvel neste ponto, vou indicar por s1 e denominá-
lo espaço inicial.
Após, consideremos que P2 é a posição da partícula (móvel), no
instante genérico t2 ≠ 0, e s2 é o seu espaço neste ponto.
Observe esta situação no esquema a seguir.
t1 = 0 (ligo o cronômetro/ tempo inicial) t2 ≠ 0
P1/s1 P2 /s2
Como a velocidade escalar instantânea do M.U. é constante, ela é
igual à velocidade escalar média. Então, no M.U. temos:
v = vm = Δs Δt
42
De acordo com a figura:
Δt = t2 – t1 e Δs = s2 – s1
portanto,
v = vm = Δs = s2 – s1 →
Δt t2 – t1
v = s2 – s1, pois t1 = 0 → s2 – s1 = v.t2 →
t 2 - 0
s2 = s1 + v.t2
Perceba que temos uma equação em que o espaço posterior é
igual ao espaço anterior (espaço inicial, quando t = 0) mais a
velocidade escalar constante multiplicada pelo tempo posterior.
Agora, generalizando para quaisquer situações, podemos
reescrever a função acima como se segue:
s = s0 + v.t
Espaço posterior Espaço anterior Tempo posterior (Espaço inicial, quanto t = 0)
43
A denominação equação horária, que também é utilizada para
traduzir a função vista, é imprópria, pois o termo equação refere-
se a uma igualdade que só é verdadeira para um número finito
de valores variáveis
Exemplos de funções horárias:
a) s = 8,0 + 3,0t (tem h e s em km), onde s0 = 8,0km e v = 3,0km/h; b) s = 3,0 – 2,0t (SI), onde s0 = 3,0m e v = 2,0m/s; repare que, quando se coloca SI após a função, os termos estarão nas unidades do Sistema Internacional de Unidades; c) s =10 + 5t (SI), onde s0 = 10 m e v = 5m/s; d) s = 60 – 8t (SI), onde s0 = 60m e v = -8m/s e) s = 9t (SI), onde s0 = 0 e v = 9 m/s; f) s = 8 (SI), onde s0 = 8m e v = 0.
A expressão acima denomina-se FUNÇÃO HORÁRIA OU EQUAÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO NO MOVIMENTO UNIFORME. Ela caracteriza o movimento uniforme. É uma função do primeiro grau em t, e fornece os espaços do móvel em função do tempo (a cada valor de t obtêm-se, em correspondência, um valor de s), s = f(t). Essa função é uma lei que governa a relação entre o espaço e o tempo do Movimento Uniforme. Em um exercício, quando se pede a função horária do espaço do M.U., deve-se substituir apenas os valores numéricos de s0 e v na função.
No Capítulo 11, definimos o que é função horária do espaço, e dissemos
que o conceito seria aprofundado posteriormente, nos capítulos sobre
movimentos uniforme e uniformemente variado, com está sendo feito
agora. Volte ao capítulo 11 e reveja o conteúdo dado.
44
CAPÍTULO 14
DESCREVENDO UM MOVIMENTO
FUNÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO NO M.U.
(SEGUNDA PARTE)
Na Física, entendemos que descrever um movimento é dar a
posição de um corpo em cada instante. Para isso, podemos
empregar tabelas, gráficos ou funções. O movimento de um avião,
por exemplo, em relação à sua ponte de comando pode ser descrito
indicando-se em uma tabela as coordenadas x, y e z em instantes
sucessivos.
HORA (relógio)
HORA (cronômetro)
x
(km)
y
(km)
z
(km)
2 h
0
10
40
3
2 h 1 min 40 s
1 min 40 s
8
30
2,5
2 h 3 min 20 s
3 min 20 s
6
20
2
2 h 5 min
5 min
32
10
1,5
No caso de o corpo estar se movimentando sobre uma trajetória
conhecida, sua posição pode ser determinada pelo espaço em cada
instante. Portanto, nesse caso, é possível descrever o movimento
por uma tabela do espaço em função do tempo.
Suponha, como exemplo, que seja anotada a hora em que um carro
passa em cada marco quilométrico de uma estada e que os
resultados obtidos sejam os indicados na tabela a seguir.
Também, o tempo será dado em segundos pois o emprego das
unidades hora, minuto e segundo, ao mesmo tempo, poderia causar
dificuldades nos cálculos.
45
Indicação
do relógio
(h; min; s)
Indicação do
cronômetro
(min; s)
Marco
quilométrico
(km)
t
(s)
8 h 30 min 0 21 0
8 h 4 min 1 min 22 60
8 h 6 min 3 min 24 180
8 h 11 min 8 min 30 480
8 h 12 min 9 min 31 540
8 h 20 min 17 min 38 1.020
8 h 22 min 12 s 19 min 12 s 40 1.152
A partir da tabela, construímos um gráfico de espaço (s), que é o
marco quilométrico, em função do tempo (t). O espaço é medido
em quilômetros (km) e o tempo, em segundos (s). Até aqui
concluímos que um movimento pode ser descrito com tabelas ou
com gráficos.
Gráfico do espaço em função do tempo
Marco →
quilométrico
(km)
↑
Tempo de viagem (s)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
46
Função Horária do Espaço (Segunda parte)
Imagine que tenhamos um carro deslocando-se em uma rodovia e
suponha, também, que anotemos os espaços e seus respectivos
tempos:
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s(m) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
A partir da tabela, construímos o gráfico de s em função de t.
s(m)
Δs
t(s)
s = 10 m é o espaço inicial
Δt
Como o gráfico obtido é uma reta, s é uma função do primeiro grau
em t.
Então, podemos escrever:
s = 10 + kt
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
47
A constante k é o quociente da variação de s pela variação de t:
k = Δs = 45 – 20 = 25 = 5
Δt 7 – 2 5
Assim, obtemos a expressão que relaciona s e t:
s = 10 + 5t (s em m e t em s)
A expressão s = 10 + 5t relaciona o espaço com o tempo e é
denominada função horária dos espaços do movimento. Com ela, é
possível localizar o corpo em cada instante.
Os exemplos apresentados nos levam à seguinte conclusão:
Quando um corpo se movimenta em uma trajetória conhecida,
sua posição em cada instante pode ser determinada pelo
espaço. Podemos saber o espaço em cada instante por uma
tabela que relacione o espaço com o tempo, ou pelo gráfico do
espaço em função do tempo, ou por uma expressão matemática,
denominada função horária dos espaços do movimento, que
permite obter s para cada valor de t.
Observamos que a função horária dos espaços foi deduzida de duas
formas, uma apresentada no Capítulo 13, e a outra vista acima.
Podemos usar ambas as formas em exercícios, dependendo do
que for fornecido como dado.
48
EXEMPLOS DE VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
No capítulo sobre velocidade escalar instantânea, dissemos que
daríamos, posteriormente, exemplos, quando explicássemos o que
era função horária. Então, a seguir vamos dar estes exemplos.
Lembre-se que foi dito, também, que a velocidade escalar
instantânea é a derivada do espaço s = f(t) em relação ao tempo
(v = ds/dt).
São dadas as funções horárias de espaço de primeiro, segundo e
terceiro graus abaixo. Elas são funções polinomiais do tipo:
s = atn + bt + c e, para funções assim, temos que v = ds/dt =
natn-1 + b, onde v é a velocidade escalar instantânea.
Vamos encontrar a velocidade escalar instantânea para cada uma
delas. Veja abaixo os exemplos.
a) s = 4t + 3t2 (s em m, t em s)
v = ds = 1.4.t(1-1) + 2.3t(2-1)
dt
v = 4 + 6t
b) s = 4 t3 (s em m, t em s)
v = ds = 3.4t3-1
dt
v = 12 t2
c) s = - 3t + 6t2 (s em m, t sem)
s = -1.3t(1-1) + 2.6t(2-1)
s = -3 + 12 t
49
CAPÍTULO 15
CONCEITO DE ACELERAÇÃO ESCALAR
CONCEITO DE ACELERAÇÃO MÉDIA
CONCEITO DE ACELERAÇÃO ESCALAR
INSTANTÂNEA
Conceito de Aceleração escalar
Durante um movimento, a velocidade escalar do móvel pode variar
no decurso do tempo. A mudança de velocidade escalar pode ser
lenta ou rápida. Para medirmos a rapidez com que a velocidade
escalar está variando, usamos o conceito de aceleração escalar.
A aceleração escalar mede a rapidez com que a velocidade
escalar varia.
O conceito de velocidade escalar diz respeito não apenas aos casos
em que o corpo ganha velocidade, mas também aos casos em que
ele perde velocidade.
Conceito e definição de Aceleração escalar média e
instantânea
Consideremos um automóvel. Seu velocímetro indica, em um
certo instante, uma velocidade de 30 km/h. Se após 1 segundo a
indicação do velocímetro passar para 35 km/h, podemos dizer que
a velocidade do automóvel variou de 5 km/h em 1 segundo. Em
outras palavras, dizemos que o carro recebeu uma aceleração. O
conceito de aceleração está sempre relacionado com uma
mudança na velocidade.
Outro exemplo: Considere um automóvel movendo-se numa
rodovia, sempre no sentido dos espaços crescentes, isto é, no
sentido da orientação da trajetória. Suponha que às 12 horas e 45
minutos seu velocímetro indique 20 km/h (velocidade escalar
instantânea) e que às 12 horas e 50 minutos indique 100 km/k
50
(velocidade escalar instantânea). O primeiro fato a ser notado é que
a velocidade escalar instantânea do automóvel variou entre as duas
leituras do velocímetro. Entre a primeira leitura e a segunda leitura,
temos um intervalo de tempo de 5 minutos. Durante esses 5
minutos, a velocidade escalar instantânea variou de 20 km/h para
100 km/h, ou seja, variou de 80 km/h. Então, temos uma variação
de velocidade instantânea de 80 km/h em 5 minutos. Isso significa
que, em média, a velocidade escalar instantânea variou 16 km/h em
cada minuto. Essa grandeza é a aceleração escalar média, que
simbolizamos por am.
Assim, define-se:
Aceleração escalar média entre dois instantes é a variação de
velocidade escalar instantânea ocorrida, em média, por unidade de
tempo:
am = Δs
Δt
Quando dizemos que a aceleração escalar média do automóvel
citado é de 16 km/h por minuto, isto não significa que a velocidade
escalar instantânea tenha, necessariamente, variado 16 km/h em
cada minuto. Pode ser que, em algum minuto, a variação tenha sido
maior que 16 km/h e, em outro, tenha sido menor. O que sabemos
é que, em média, a variação foi de 16 km/h, em cada minuto.
Se o intervalo de tempo considerado tender a zero (Δt → 0), a
aceleração escalar média tende para um valor que é denominado
aceleração escalar instantânea.
Assim, definimos:
Aceleração escalar instantânea (a) é o limite da aceleração
escalar média (a) quando o intervalo de tempo considerado (Δt)
tende a zero.
a = lim am
Δt→0
Lembrando que am = Δv, podemos escrever:
Δt
51
a = lim Δv
Δt → 0 Δt
A aceleração escalar instantânea é a derivada da velocidade
escalar instantânea v = f(t) em relação ao tempo.
a = dv
dt
EXEMPLOS:
A) s = 8,0 + 3,0t (t em h; s em km)
v = ds = 3,0km/h
dt
a = dv = 0
dt
B) s = 3,0 – 2,0t + 1,0t2 (Sistema CGS: cm, g, s)
v = ds = -2,0 + 2,0t
dt
a = dv = 2,0cm/s2
dt
OBSERVAÇÃO: DERIVAR UMA GRANDEZA EM RELAÇÃO AO TEMPO
SIGNIFICA MEDIR A RAPIDEZ COM QUE ESSA GRANDEZA ESTÁ
VARIANDO. ASSIM: A VELOCIDADE ESCALAR É A RAPIDEZ COM QUE A
POSIÇÃO (ESPAÇO) VARIA.
A ACELERAÇÃO ESCALAR É A RAPIDEZ COM QUE A VELOCIDADE
ESCALAR VARIA.
Com relação às unidades de medida da aceleração, note que elas
são sempre quocientes de uma unidade de velocidade por uma de
tempo. No SI, temos o m/s2 (metro por segundo ao quadrado).
52
CAPÍTULO 16
MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO RETARDADO
Movimento Acelerado
O movimento de uma partícula é dito variado quando sua
velocidade escalar instantânea varia no decorrer do tempo. Se, em
certo intervalo de tempo, a partícula mover-se cada vez mais
rapidamente, isto é, se o módulo (valor) de sua velocidade escalar
instantânea for sempre crescente, seu movimento variado será do
tipo acelerado. Assim, o movimento de um automóvel, cujo
velocímetro aumenta sempre, é dito acelerado.
Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade
escalar instantânea é sempre crescente com o passar do tempo.
Movimento Retardado
Se uma partícula se mover cada vez mais lentamente durante um
certo intervalo de tempo, isto é, se o módulo de sua velocidade
escalar instantânea for sempre decrescente, seu movimento variado
será do tipo retardado.
53
É o caso do movimento de um automóvel cujo velocímetro fornece
os valores presentes na figura a seguir.
Um movimento é retardado quando o módulo da velocidade
escalar instantânea é sempre decrescente com o passar do
tempo.
OBSERVAÇÃO:
Um movimento é denominado acelerado progressivo, quando o
móvel, além de ter o módulo de sua velocidade aumentando com o
tempo, caminha a favor da orientação positiva da trajetória.
Caso contrário, ou seja, quando o móvel caminha contra a
orientação positiva da trajetória, será chamado acelerado
retrógrado.
54
Da mesma maneira, um movimento é denominado retardado
progressivo se o móvel, além de ter seu módulo diminuindo à
medida que o tempo passa, estiver se movendo a favor da
orientação positiva da trajetória. Caso contrário, será chamado
movimento retardado retrógrado.
Finalmente, num movimento acelerado, a velocidade escalar e a
aceleração escalar têm o mesmo sinal, isto é, ambas são positivas
ou ambas são negativas, como mostra o esquema a seguir.
Num movimento retardado, a velocidade escalar e a aceleração
escalar têm sinais contrários, como mostra o esquema a seguir.
55
CAPÍTULO 17
GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME
Gráficos do Movimento Uniforme
No Movimento Uniforme, a função horária do espaço é do
primeiro grau em t. Deste modo num diagrama cartesiano o gráfico
de s em função de t é uma reta inclinada em relação aos eixos.
No movimento progressivo (v > 0), o espaço cresce com o tempo
e no movimento retrógrado (v < 0), o espaço decresce com o tempo.
A ordenada do ponto onde a reta corta o eixo dos s é o espaço inicial
s0.
Sendo a velocidade escalar constante, isto é, a mesma em qualquer
instante, concluímos que o gráfico de v em função de t é uma reta
paralela ao eixo dos t. Esta pode estar acima do eixo dos t (v >0)
ou abaixo (v < 0).
56
EXEMPLO DE GRÁFICO DO ESPAÇO EM FUNÇÃO DO TEMPO
s(m)
Δs
t(s)
s0 é o espaço inicial
Δt
Observações: A PARTIR DO GRÁFICO DO ESPAÇO EM FUNÇÃO DO TEMPO, PODEMOS DETERMINAR s0 E v. O ESPAÇO INICIAL É O VALOR DE s PARA t = 0. O VALOR DA VELOCIDADE PODE SER OBTIDO TOMANDO- -SE DOIS PONTOS QUAISQUER E CALCULANDO-SE O QUOCIENTE Δs/Δt.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
57
PROPRIEDADE DO GRÁFICO DO ESPAÇO EM FUNÇÃO DO TEMPO
Na figura a seguir podemos perceber que, no gráfico do espaço
em função do tempo, a tangente do ângulo α indicado nesta
figura é uma medida da velocidade escalar.
Observe na figura que tg α = Δs = v > 0 (v é maior que zero, isto
Δt
porque o movimento é progressivo; caso o movimento fosse
retrógrado, encontraríamos um valor de v menor que zero para os
instantes considerados).
PROPRIEDADE DO GRÁFICO DA VELOCIDADE ESCALAR EM FUNÇÃO DO
TEMPO
Considere o gráfico da velocidade escalar v em função do tempo t
num movimento uniforme. Vamos escolher dois instantes
quaisquer t1 e t2 e calcular a área A que eles determinam entre o
eixo dos tempos e o gráfico:
ÁREA A
58
A região destacada no gráfico é um retângulo cuja base representa
o intervalo de tempo Δt entre t1 e t2 e a altura representa a
velocidade escalar.
Lembrando que a área de um retângulo é determinada
multiplicando-se a medida de sua base pela medida de sua altura,
temos:
A = Δt v (I)
Como v = Δs, temos que: Δs = Δt v (II)
Δt
Comparando (I) e (II), concluímos que:
A = Δs
Assim, temos que:
No gráfico da velocidade escalar v em função do tempo t, a
área entre o gráfico e o eixo dos tempos, calculada entre os
instantes t1 e t2, expressa a variação de
espaço entre t1 e t2.
Área = Δs = s2 – s1
Ainda, vamos mostrar um último gráfico, o da aceleração escalar
em função do tempo para o MU. Como já vimos, no movimento
uniforme a velocidade escalar é constante e diferente de zero.
Consequentemente, nesse movimento, a aceleração escalar é
constante, porém igual a zero.
Assim, para qualquer movimento uniforme, a aceleração é
representada graficamente como mostrado abaixo:
Num movimento uniforme, a aceleração escalar é constantemente
nula, pois não há variação de velocidade escalar.
59
CAPÍTULO 18
MOVIMENTO VARIADO
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Movimento Variado
Os movimentos são classificados em uniformes, que possuem
velocidade constante, e movimentos variados, cuja velocidade
varia com o tempo. Os movimentos de velocidade variável são os
mais comuns na natureza. Em geral, uma pessoa andando, um
automóvel se deslocando, têm velocidades variáveis.
No movimento uniforme a velocidade calculada em qualquer
intervalo de tempo é sempre igual à velocidade em qualquer
instante. Isto não ocorre no movimento variado.
Nos movimentos variados devemos distinguir duas velocidades. A
velocidade média definida num intervalo de tempo e a velocidade
instantânea em uma posição particular.
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Já estudamos que o movimento variado é aquele em que a
velocidade do móvel varia no decurso do tempo (v ≠ cte.).
Mas o que significa dizer que um movimento é uniformemente
variado? Significa que a velocidade varia uniformemente.
Suponhamos que uma pessoa esteja observando o velocímetro de
um automóvel, em movimento retilíneo, em intervalos de tempo
sucessivos de 1 segundo, e que obtenha os seguintes resultados:
Primeira observação: v = 30 km/h
Segunda observação: v = 35 km/h
Terceira observação: v = 50 km/h
Quarta observação: v = 52 km/h
60
Vemos que a velocidade aumenta a cada segundo, mas não
uniformemente e, ao calcularmos a variação da velocidade (Δv),
como faremos a seguir, notaremos que ela não é constante e,
portanto, a aceleração também não é constante:
Variação de velocidade entre a primeira e a segunda observações:
Δv = 35 – 30 = 5 km/h → a = Δv/Δt = 5/1 = 5 km/h2
Variação de velocidade entre a segunda e a terceira observações:
Δv = 50 – 35 = 15 km/h → a = 15/1 = 15 km/h2
Variação de velocidade entre a terceira e a quarta observações:
Δv = 52 – 50 = 2 km/h → a = 2/1 = 2 km/h2
Vemos, realmente, que a variação de velocidade e a aceleração não
são constantes.
Entretanto, em outras observações do velocímetro, poderíamos
obter os seguintes resultados:
Primeira observação: v = 30 km/h
Segunda observação: v = 35 km/h
Terceira observação: v = 40 km/h
Quarta observação: v = 45 km/h
Percebemos que a velocidade aumenta a cada segundo e que ela
aumenta uniformemente.
Neste caso, a variação de velocidade a cada segundo é
constante, isto é, a velocidade aumenta uniformemente e, portanto,
61
a aceleração, que é o quociente entre a variação de velocidade pela
variação de tempo, também é constante:
Variação de velocidade entre a primeira e a segunda observações:
Δv = 35 – 30 = 5 km/h → a = Δv/Δt = 5/1 = 5 km/h2
Variação de velocidade entre a segunda e a terceira observações:
Δv = 40 – 35 = 5 km/h → a = 5/1 = 5 km/h2
Variação de velocidade entre a terceira e a quarta observações:
Δv = 45 – 40 = 5 km/h → a = 5/1 = 5 km/h2
Um movimento como este em que a aceleração é constante é
denominado Movimento Uniformemente Variado (MRUV).
Na prática, isso equivale a pisar no acelerador do carro com
uniformidade, isto é, sem dar trancos.
Observação: O movimento acima pode ser chamado, sem prejuízo
de seu entendimento, de movimento retilíneo uniformemente
variado, pois a trajetória é retilínea. De forma geral, basta dizer que
é um movimento uniformemente variado, sem especificar o tipo de
trajetória, mas nada impede que ela seja mencionada.
62
CAPÍTULO 19
FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE NO MUV
Suponha que um corpo, a uma velocidade de 2 m/s, adquira uma
aceleração escalar constante de 0,2 m/s2.
A velocidade desse corpo vai aumentar a um ritmo constante de
0,2 m/s a cada segundo. Chamando de t = 0 o instante em que sua
velocidade é de 2,0 m/s, podemos calcular a velocidade do corpo
em cada segundo, como mostrado na tabela a seguir.
t(s) 0 1 2 3 4 5 t qualquer
v(m/s) 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 v = ?
É conveniente usar uma expressão que permita calcular a
velocidade v num instante t qualquer.
1). Se a aceleração escalar é constante: a = Δv = 0,2 m/s2
Δt
2). Então: Δv = 0,2 Δt
3). Escolhendo o intervalo de 0 a t: Δt = t – 0 = t
4). Nesse intervalo a velocidade varia
de 2,0 m/s até v: Δv = v – 2
5). Substituindo (3) e (4) em (2) v – 2 = 0,2 t
Logo: v = 2 + 0,2 t
63
v = 2 + 2,0 t é a expressão procurada, pois permite calcular v a
cada instante. A partir da tabela, podemos construir o gráfico da
velocidade em função do tempo, obtendo uma reta. Isso já podia
ser previsto por dois motivos: em primeiro lugar, porque a
expressão que relaciona a velocidade com o tempo é do primeiro
grau. Em segundo, por que, como já foi mostrado, se a aceleração
escalar é constante, o gráfico da velocidade em função do tempo é
uma reta.
O gráfico obtido será do tipo esquematizado a seguir, onde
v0 = 2 m/s e a = 0,2 m/s2
Se no instante em que a velocidade do corpo é 2,0 m/s, a aceleração
adquirida pelo corpo é -0,2 m/s2, a velocidade diminui a um ritmo
constante de 0,2 m/s a cada segundo, o qual nos leva à tabela que
se segue.
t(s) 0 1 2 3 4 5 ... t qualquer
v(m/s) 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 ... v = ?
64
Uma dedução análoga à anterior permite escrever a expressão da
velocidade em função do tempo para esse movimento: v = 2 – 0,2t.
O gráfico da velocidade em função do tempo é do tipo esboçado a
seguir.
Generalizando, podemos escrever que, em um MUV:
a velocidade pode ser calculada em um instante t
qualquer pela expressão v = v0 + at, que é denominada
FUNÇÃO OU EQUAÇÃO HORÁRIA DA
VELOCIDADE DO MUV;
o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta
não paralela ao eixo t ;
é do primeiro grau em t e fornece a velocidade em
função de t ; v0 e a são constantes e, a cada valor de t,
corresponde um valor de v0 ;
em um exercício, quando se pede a função horária da
velocidade, deve-se substituir somente os valores
numéricos de a e v0 na função.
65
CAPÍTULO 20
FUNÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO NO MUV
A partir do gráfico da velocidade do MUV pode-se demonstrar a
FUNÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO NO MUV. Esta função nos
fornece o espaço do móvel em qualquer instante que se queira saber
sua localização. Veremos que é uma função do segundo grau em t.
A área sombreada (trapézio) é dada numericamente por:
A = (v + v0).t
2
Mas v = v0 + at, donde:
A = (v0 + at + v0) .t = v0 t + at2
2 2
Como a área mede numericamente a variação de espaço, conforme
vimos no Capítulo 17, vem:
s – s0 = v0t + 1at2
2
Portanto, teremos que:
66
s = s0 + v0t + 1at2
2
Espaço inicial Velocidade inicial Aceleração (constante)
A função acima é denominada FUNÇÃO (ou EQUAÇÃO)
HORÁRIA DO ESPAÇO NO MUV. Ela é do segundo grau em
t, como havíamos mencionado.
As variáveis s e t se correspondem; a cada valor de t obtemos, em
correspondência, um valor de s.
Também, s0, v0 e a são constantes.
EXEMPLOS:
67
CAPÍTULO 21
PROPRIEDADE DO GRÁFICO DA VELOCIDADE
ESCALAR EM FUNÇÃO DO TEMPO
EQUAÇÃO DE TORRICELLI PARA O MUV
A). No gráfico da velocidade escalar (v) em função do tempo (t), a
área A compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos, de um
instante t1 até um instante t2, expressa a variação de espaço Δs entre
esses instantes.
ÁREA A
A = Δs = s2 – s1
Apesar de essa propriedade ter sido demonstrada para o caso
partícula do movimento uniforme, ela é válida para qualquer
movimento.
68
B). Outra propriedade bastante útil do movimento uniformemente
variado é a seguinte: a velocidade escalar média entre dois
instantes t1 e t2 é a média aritmética entre as velocidades
escalares v1 e v2 nesses instantes.
Para provar essa propriedade, vamos
usar o gráfico anterior, lembrando que a
área de um trapézio é dada por:
A = (base maior + base menor) . altura.
2
Então:
Δs = A = (v2 + v1) . (t2 – t1)
2
Como vm = Δs, temos:
Δt
(v2 + v1) . (t2 – t1)
2
vm =
t2 – t1
vm = v1 + v2
2
69
Equação de Torricelli para o MUV
Dadas as equações do MUV, há muitos casos em que interessa
relacionarmos a velocidade v com o espaço s, sem que seja
conhecido o tempo t do movimento.
Sabemos que no MUV: s = s0 +v0t +1at2 (1)
2
v = v0 + at (2)
a = constante ≠ 0 (3)
Elevando a equação (2) ao quadrado, vem:
v2 = v02 + 2v0at + a2t2
v2 = v02 + 2a(v0t + 1at2)
2
Mas v0t + 1at2 = s – s0 (Observe a equação1)
2
Portanto: v2 = v02 + 2aΔs
A equação acima dispensa o uso da grandeza tempo e é
denominada EQUAÇÃO DE TORRICELLI PARA O MUV.
70
CAPÍTULO 22
GRÁFICOS DO MUV
A) Gráfico do espaço em função do tempo
A função horária de espaço de um movimento uniformemente
variado é:
s = s0 + v0t + 1at2
2
Por ser do segundo grau em t, graficamente essa função é uma
parábola de concavidade voltada para cima, quando a
aceleração escalar é positiva (a > 0) e o coeficiente a do termo
do segundo grau é positivo, ou uma parábola de concavidade
voltada para baixo, quando a aceleração escalar é negativa
(a < 0) e o coeficiente a do termo do segundo grau é negativo.
Observemos no esquema abaixo as duas situações.
Vale a pena lembrar que no instante t = 0 o móvel tem espaço inicial
s = s0 e que esse ponto é representado sobre o eixo das ordenadas
(veja nas figuras a seguir). Observemos também o ponto M, vértice
de cada uma das parábolas. Na figura à esquerda ele corresponde
ao espaço mínimo e, na figura à direita, ao espaço máximo. Sua
abcissa é t = t1.
71
Analisemos, a seguir, o tipo de movimento em cada trecho dos
gráficos: antes do instante t1 e depois dele.
Consideremos a figura abaixo, onde a aceleração é positiva
(a > 0): para t < t1 o espaço é decrescente e, portanto, a velocidade
escalar é negativa; para t > t1 o espaço é crescente e, portanto, a
velocidade escalar é positiva. Logo, no instante t = t1 a velocidade
escalar é nula e o móvel inverte o sentido do movimento.
s decrescente s crescente
(v < 0) (v > 0)
v = 0
Consideremos, agora, a figura a seguir, onde a aceleração é
negativa (a <0): para t < t1 o espaço é crescente e a velocidade
escalar é positiva; para t > t1 o espaço é decrescente e a velocidade
escalar é negativa. Logo, no instante t = t1 a velocidade escalar é
nula e o móvel inverte o sentido do movimento.
v = 0
s crescente (v > 0) s decrescente (v < 0)
72
Veja nos próximos esquemas os dois casos: aceleração positiva, ou
seja, a > 0 e concavidade voltada para cima e aceleração negativa,
ou seja, a < 0 e concavidade voltada para baixo.
Comparando-se os sinais da velocidade escalar e da aceleração
escalar, concluímos que o movimento é retardado até o vértice
(pois v e a têm sinais contrários), e acelerado após o vértice (pois
v e a têm o mesmo sinal), tanto para o caso em que a aceleração é
positiva, quanto para o caso em que a aceleração é negativa. A
velocidade escalar v muda de sinal, mas a aceleração escalar a
permanece constante e positiva na primeira figura e, constante e
negativa, na segunda.
B) Gráfico da velocidade em função do tempo
A função (equação) horária da velocidade de um MUV é:
v = v + at
Por ser uma função do primeiro grau em t, sua representação
gráfica é uma reta inclinada (oblíqua) aos eixos. Essa função pode
ser crescente ou decrescente conforme o coeficiente de t seja
positivo ou negativo, conforme poderemos observar a seguir.
Na figura à esquerda a aceleração escalar é positiva e, na figura à
direita, negativa.
73
t1 t1
(a > 0) (a < 0)
O instante t1 corresponde a v = 0, velocidade nula, ou seja, o móvel
muda de sentido. Observemos, também, que no instante t = 0,
temos v = v0 (velocidade escalar inicial).
Podemos analisar, ainda, num gráfico de v = f(t) se o movimento
é acelerado ou retardado e progressivo ou retrógrado.
74
O valor da velocidade escalar é negativo do instante inicial até o
instante t1: portanto nesse intervalo o movimento é retrógrado.
Além disso, a aceleração e a velocidade têm sinais opostos e,
portanto, nesse trecho o movimento é retardado.
Da mesma maneira, o valor da velocidade escalar é positivo do
instante t1 em diante: portanto nesse intervalo o movimento é
progressivo; a aceleração e a velocidade têm mesmo sinal, sendo,
então, um movimento acelerado.
O gráfico da velocidade em função do tempo, v = f(t), fornece,
ainda, a aceleração escalar e a variação de espaço Δs no intervalo
de tempo. Observe as figuras a seguir. Na primeira figura, a
tangente do ângulo θ indica a aceleração escalar. Já na segunda
figura, a área A fornece a variação de espaço Δs no intervalo de
tempo.
Sabemos que a tangente de
um ângulo θ é dada por:
tg θ = cateto oposto
/cateto adjacente.
Observando o gráfico,
percebemos que o cateto
oposto ao ângulo θ é Δv e
cateto adjacente ao mesmo
ângulo é Δt. Logo, a tg do
ângulo dado indica a
aceleração escalar (pois a =
Δv/Δt).
Observe na figura ao lado
que temos um trapézio e
sua área A é dada por:
A = v + v0.Δt
2
Porém: v + v0 = vm = Δs
2 Δt
Logo: A = vm.Δt = Δs
Portanto: A = Δs
75
Portanto, no gráfico da aceleração escalar em função do tempo, a
área entre o gráfico e o eixo dos tempos, calculadas entre dois
instantes, expressa a variação da velocidade escalar entre esses
instantes.
C) Gráfico da aceleração escalar em função do tempo
Finalmente, recordemos que no MUV a aceleração escalar é
constante. Logo, o seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos
tempos. Esta pode vir acima ou abaixo deste, conforme a
aceleração escalar seja positiva ou negativa, respectivamente.
Ainda, o gráfico da aceleração escalar em função do tempo, nos
fornece a variação da velocidade escalar. Observe na figura a seguir
(gráfico da aceleração em função do tempo).
76
A área sob o gráfico
mede a variação da
velocidade escalar.
De fato:
A = a. (t2 – t1) =
= Δv. (t2 – t1) = Δv
Δt
Portanto: A = Δv
Observação: O fato de a aceleração escalar ser constante (não nula)
implica que a aceleração escalar média também seja constante
(para qualquer intervalo de tempo) e igual à aceleração escalar
instantânea.
RESUMO DOS GRÁFICOS DO MUV
77
CAPÍTULO 23
MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO: QUEDA
LIVRE E LANÇAMENTO NA VERTICAL (PARA
BAIXO E PARA CIMA)
Queda livre
O grande filósofo Aristóteles, aproximadamente 300 anos antes de
Cristo, acreditava que abandonando corpos leves e pesados de uma
mesma altura, seus tempos de queda não seriam iguais: os corpos
mais pesados alcançariam o solo antes dos mais leves. A crença
nesta afirmação perdurou durante quase dois mil anos, sem que se
tivesse procurado verificar a sua veracidade através de medidas
cuidadosas. Isto ocorreu em virtude da grande influência do
pensamento aristotélico em várias áreas do conhecimento. Um
estudo mais minucioso do movimento de queda dos corpos só veio
a ser realizado pelo grande físico Galileu Galilei, no século XVII.
Galileu é considerado o introdutor do método experimental na
Física, acreditando que qualquer afirmativa relacionada com um
fenômeno deveria estar fundamentada em experiências e em
observações cuidadosas. Este método de estudo dos fenômenos da
natureza não era adotado até então e, por isso mesmo, várias
conclusões de Galileu entraram em choque com os conhecimentos
aristotélicos. Estudando a queda dos corpos através de experiências
e medidas precisas, Galileu chegou à seguinte conclusão:
Abandonados de uma mesma altura, um corpo leve e um corpo
pesado caem simultaneamente, atingindo o chão no mesmo
instante, contrariamente ao que pensava Aristóteles.
Embora não haja comprovação de que essa experiência tenha sido
realizada, tornou-se famosa a versão de que Galileu, subindo ao
alto da torre de Pisa, cidade italiana onde nasceu, deixou cair, no
mesmo instante e de um mesmo nível, dois corpos esféricos de
volumes e massas diferentes.
78
Contrariando as expectativas dos acadêmicos aristotélicos, que
apostavam na vitória do mais pesado, os corpos chegaram juntos.
Há historiadores da ciência que afirmam que a famosa experiência
de Pisa jamais ocorreu. Ela teria sido um experimento mental e não
um ruidoso espetáculo público.
Porém, como você já deve ter visto muitas vezes, ao deixarmos
cair, de uma mesma altura, uma pedra e uma pena, a pedra cai mais
depressa, como afirmava Aristóteles.
Por causa disso, pensamos que os corpos mais pesados caem mais
depressa que os mais leve. Entretanto, podemos mostrar que isto
se dá porque o ar exerce um efeito retardador na queda de
qualquer objeto e que este efeito exerce maior influência sobre
o movimento da pena do que sobre o movimento da pedra.
De fato, se deixarmos cair a pedra e a pena dentro de um tubo, do
qual se retirou o ar (foi feito vácuo), tubo este conhecido como
Tubo de Newton, verificamos que os dois objetos caem
simultaneamente, como afirmava Galileu.
Assim, podemos verificar que uma pedra e uma pena, largadas da
mesma altura, levam o mesmo tempo para cair, se não houver
resistência do ar.
O movimento vertical de um corpo próximo ao solo é chamado
de queda livre quando o corpo é abandonado no vácuo ou se
considera desprezível a ação do ar.
79
Aceleração da Gravidade (g)
A experiência descrita acima mostra que todos os corpos,
independentemente de sua massa ou forma, quando em queda livre
caem com a mesma aceleração g.
O movimento de queda livre é acelerado. Quando abandonamos
um objeto de uma certa altura, podemos verificar que, ao cair, sua
velocidade cresce (seu movimento é acelerado). Com suas
experiências, Galileu conseguiu verificar que o movimento é
uniformemente acelerado, isto é, durante a queda o corpo cai com
aceleração constante, isto é, quando o corpo está em queda livre,
sua velocidade aumenta de 9,8 m/s em cada 1 s.
A aceleração g, denominada aceleração da gravidade, é sempre
vertical e dirigida para o centro da Terra. O valor da aceleração da
gravidade varia de ponto para ponto na superfície da Terra e
diminui com a altitude, mas para objetos situados próximo à
superfície da Terra, ela pode ser considerada constante. Seu valor
médio ao nível do mar é 9,8 m/s2.
Para facilitar os cálculos,
usaremos, muitas vezes, o valor
aproximado g = 10 m/s2.
Portanto, neste caso, a
velocidade aumenta 10 m/s em
cada 1 segundo.
Em resumo: se não houvesse a resistência do ar, todos os
corpos, de qualquer peso ou forma, abandonados da mesma
altura, nas proximidades da superfície da Terra, levariam o
mesmo tempo para atingir o solo. Esse movimento é conhecido
como queda livre. A trajetória é retilínea, vertical, e a
aceleração é a mesma: a aceleração da gravidade cujo valor é
9,8 m/s2.
A rigor, o movimento da queda livre não existe na prática porque
não é possível evitar a influência do ar. É possível obtê-lo em
laboratório no dispositivo conhecido como tubo de Newton, já
mencionado. No entanto, pode-se considerar, com boa
aproximação, como sendo queda livre o movimento de pequenos
80
objetos, como, por exemplo, uma esfera maciça, caindo de baixa
altura. Na prática, se um corpo tem tamanho pequeno, sua queda
no ar, num percurso também pequeno, pode ser considerada queda
livre, pois a resistência do ar é desprezível.
A afirmativa de Galileu só seria válida para os corpos em queda
no vácuo, entretanto, observamos que a resistência do ar só
retarda sensivelmente certos corpos, como uma pena, um
pedaço de algodão ou uma folha de papel, sendo desprezível
para outros, mais pesados, como uma pedra, uma esfera de
metal ou até mesmo um pedaço de madeira. Então, para estes
últimos, a queda do ar ocorre, praticamente, como se os corpos
estivessem caindo no vácuo, isto é, abandonados de uma mesma
altura, no ar, estes corpos caem simultaneamente, como afirmava
Galileu.
Outro exemplo: abandonando-se de uma mesma altura uma folha
de papel e um caderno, verifica-se que a folha de papel demora
mais tempo para chegar ao solo. Isso se deve ao fato de que a
resistência do ar no caderno pode ser desprezada, enquanto na folha
o mesmo não acontece. Se a experiência fosse realizada em
ambiente no qual todo ar tivesse sido extraído, os dois chegariam
juntos ao solo, em queda livre.
Lançamento na vertical
Como já dissemos, o movimento vertical de um corpo próximo ao
solo é chamado de queda livre quando o corpo é abandonado no
vácuo ou se considera desprezível a ação do ar. O estudo do
movimento de queda livre é idêntico ao de um lançamento na
vertical, o qual só difere da queda livre por apresentar uma
velocidade inicial v0. O lançamento na vertical pode ser um
lançamento vertical para baixo ou um lançamento vertical para
cima. Todos esses movimentos são descritos pelas mesmas
funções horárias. No próximo capítulo definiremos o lançamento
vertical para cima e, neste capítulo, toda vez que nos referirmos à
queda livre, estaremos estendendo este estudo para o lançamento
vertical para baixo (diferindo da queda livre apenas por apresentar
velocidade inicial).
81
Equacionamento:
Como vimos, no movimento de queda livre, a trajetória é retilínea
e a aceleração constante. Trata-se, portanto de um MRUV e, como
tal, as funções matemáticas que o descrevem são as deste tipo de
movimento, sendo válidas, portanto para todo o estudo da queda de
corpos no vácuo ou em locais em que se possa desprezar a
resistência do ar:
Função Horária do Espaço no MRUV: s = s0 + v0t + 1gt2.
2
Função Horária da Velocidade no MRUV: v = v0 + gt.
Chamando-se o espaço de h, pois ele representa a altura
instantânea do corpo e fazendo-se as devidas substituições, vem:
h = h0 + v0t + 1 gt2 (Função Horária do Espaço no MRUV)
2
v = v0 + gt (Função Horária da Velocidade no MRUV)
A Equação de Torricelli também pode ser usada:
v2 = v02 + 2gΔh
Repare que substituímos a letra a pela letra g para a grandeza
aceleração, por se tratar da aceleração da gravidade. Repare,
também, que essas funções horárias são válidas para o lançamento
vertical para baixo, que é um movimento semelhante à queda livre,
diferindo, como já dissemos, apenas por apresentar velocidade
inicial de lançamento.
82
Vamos agora estudar o tempo de queda e a velocidade de
chegada ao chão.
TEMPO DE QUEDA
Consideremos o caso particular em que o corpo é abandonado do
repouso, de uma altura H acima do solo em um local em que a
aceleração da gravidade tem módulo igual a g e o efeito do ar é
desprezível. O tempo de queda é calculado por meio da função
horária dos espaços do movimento uniformemente variado.
Δs = v0t + 1gt2
2
H = 0 + 1gt2
2
(tQ)2 = 2H
g
VELOCIDADE DE CHEGADA AO CHÃO
Para obter o módulo da velocidade com que o corpo atinge o solo,
devemos utilizar a Equação de Torricelli:
v2 = v02 + 2gΔs
v2 = 2gH
TEMPO DE
QUEDA
VELOCIDADE
DE QUEDA
83
Gráficos da Queda Livre e do Lançamento Vertical
para baixo
O gráfico do espaço é um arco de parábola de concavidade voltada
para cima, pois a aceleração g > 0 ; o da velocidade escalar é uma
reta oblíqua ao eixo do tempo e o da aceleração escalar é uma reta
paralela ao eixo do tempo (pois trata-se de uma função constante).
84
CAPÍTULO 24
LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA
GRÁFICOS DO LANÇAMENTO VERTICAL PARA
CIMA
Lançamento Vertical para cima
Um corpo lançado verticalmente para cima no vácuo ou no ar,
quando a resistência do ar é desprezível, realiza, durante a subida,
um movimento retilíneo uniformemente retardado (o módulo de
sua velocidade diminui no decorrer do tempo).
De fato, na queda livre, o módulo da velocidade escalar do corpo
aumenta: o movimento é acelerado. No lançamento vertical para
cima o módulo da velocidade escalar diminui na subida: o
movimento é retardado.
À medida que o corpo lançado verticalmente para cima sobe, sua
velocidade escalar decresce em módulo até se anular na altura
máxima. Aí, o móvel muda de sentido e desce em movimento
acelerado.
Estudemos os sinais da velocidade escalar e da aceleração escalar
segundo convenções algébricas. Para isso orientemos a trajetória
para cima (veja na figura a seguir, o primeiro quadro). Segundo
85
essa orientação, a velocidade escalar é positiva na subida e negativa
na descida (veja segundo quadro da figura a seguir). Na subida, o
movimento é retardado e a aceleração escalar é negativa, pois v e
a devem ter sinais contrários (terceiro quadro da mesma figura). Na
descida, o movimento é acelerado e a aceleração escalar continua
negativa, pois v e a devem ter o mesmo sinal (quarto quadro).
Desse modo, orientando a trajetória para cima, no percurso
subida-descida muda apenas o sinal da velocidade escalar. A
aceleração escalar é negativa, independentemente de o corpo
subir ou descer: a = -g.
Ainda, na subida o movimento é progressivo pois a velocidade
aumenta e, na descida, é retrógrado.
Baseando-se na próxima figura e utilizando o mesmo raciocínio,
concluímos: orientando a trajetória para baixo, a velocidade
escalar muda de sinal, mas a aceleração escalar é positiva,
independentemente de o corpo subir ou descer: a = +g. E agora o
movimento é regressivo na subida e progressivo na descida.
86
Assim, num lançamento na vertical e numa queda livre, o sinal da
aceleração escalar só é determinado pela orientação da trajetória e
não depende do fato de o corpo estar subindo ou descendo. Subir
ou descer está apenas associado ao sinal da velocidade escalar.
Portanto:
Orientando-se a trajetória para cima: a = -g
Orientando-se a trajetória para baixo: a = +g
As funções do MUV descrevem o lançamento na vertical e a queda
livre.
a = g
g é constante
87
Chamando-se o espaço de h, pois ele representa a altura
instantânea do corpo e fazendo-se as devidas substituições, vem:
h = h0 + v0t + 1 gt2 (Função Horária do Espaço no MRUV)
2
v = v0 + gt (Função Horária da Velocidade no MRUV)
A Equação de Torricelli também pode ser usada:
v2 = v02 + 2gΔh
Observemos que o sinal referente à aceleração pode ser
negativo ou positivo, dependendo da orientação da trajetória.
Exemplo: Observe a figura a seguir, na qual orientamos a
trajetória para cima. No pico da trajetória tem-se v = 0 (é nula a
velocidade escalar) e a altura do móvel torna-se máxima
(indicaremos por H).
H (ALTURA MÁXIMA)
O sinal referente à aceleração será, neste exemplo, negativo.
88
Propriedades do Lançamento vertical para cima
1). Quando um corpo é lançado verticalmente para cima, a
velocidade com que ele passa por um ponto qualquer da trajetória,
na subida, tem o mesmo módulo da velocidade com que ele passa
pelo mesmo ponto, na descida.
Essa propriedade pode ser demonstrada a partir da equação de
Torricelli, considerando v1 a velocidade inicial e v2 a final:
v22 = v1
2 + 2gΔs
Como Δs = 0, vem:
v22 = v1
2 → v2 = v1
2). O intervalo de tempo decorrido na subida é igual ao decorrido
na descida, até o ponto de onde ele foi lançado: o intervalo de
tempo decorrido entre as passagens por dois pontos A e B da
trajetória é o mesmo na subida e na descida.
Na subida de A até B, podemos escrever:
a = ΔvAB → a = vB– vA
ΔtAB ΔtAB
ΔtAB = vB– vA (I)
a
Na Descida de B até A, temos:
a = ΔvBA → a = - vA– (-vB)
ΔtBA ΔtBA
ΔtBA = vB– vA (II)
a
89
Comparando as expressões (I) e (II), concluímos que o intervalo
de tempo para a partícula subir de A até B é igual ao intervalo de
tempo para ela descer de B até A, ou seja:
ΔtAB = ΔtBA
Dessa propriedade, concluímos também que, quando um corpo é
atirado para cima, o intervalo de tempo decorrido até ele atingir a
altura máxima é o mesmo que decorre, em seguida, para voltar ao
ponto de lançamento.
Gráficos do Lançamento Vertical para cima
O gráfico horário do espaço é um arco de parábola, de concavidade
para baixo, pois a 0; a velocidade escalar é uma reta e a função é
decrescente pelo mesmo motivo. O da aceleração é uma reta
paralela ao eixo dos tempos.
Funções Horárias do Lançamento Vertical
para cima; os sinais da aceleração (positivo ou
negativo) dependem da orientação da trajetória:
para cima temos g negativo e, para baixo,
positivo.
90
CAPÍTULO 25
VETORES
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS Vamos supor que alguém diga que vai chegar às 5 horas e 30 minutos ou que a temperatura da sala é de 20°C. Em relação às grandezas tempo e temperatura, essas informações são completas, não deixam dúvida. Grandezas desse tipo ficam perfeitamente definidas pelo valor numérico e unidade – são grandezas escalares. Além do tempo e da temperatura, são exemplos de grandezas escalares o comprimento, a área, o volume, a massa, a densidade, a potência, a pressão, a tensão elétrica, a energia e a carga elétrica, dentre outras. Observe a figura a seguir.
•
O ponto representa um barquinho visto de cima, navegando num lago de águas tranquilas. Se o barco se deslocar 5 km, para onde irá?
Ao lado, temos uma ilustração composta de três blocos, sobre uma superfície horizontal. Aplica-se a eles uma força de 100 N. O que acontece? Os blocos serão comprimidos contra a mesa? Vão se deslocar para a direita? Ou para a esquerda?
Embora o valor numérico e a unidade das grandezas tenham sido dados – deslocamento de 5 km e força de 100 N – não há como responder às perguntas formuladas. Só poderíamos determinar a posição final do barco, ou o possível efeito da força sobre o corpo, se soubéssemos a direção e o sentido do deslocamento ou da força. Grandezas como deslocamento e força, cuja especificação completa exige a direção e o sentido em que atuam, são grandezas
91
vetoriais. Outros exemplos são a velocidade, a aceleração, a quantidade de movimento, o impulso, o vetor campo elétrico e o vetor indução magnética, dentre outras grandezas vetoriais.
Há, portanto, dois tipos de grandezas físicas. As grandezas escalares que ficam perfeitamente definidas com o valor numérico e a unidade, como o tempo e a temperatura, e as grandezas vetoriais, que necessitam ainda da especificação da direção e sentido em que atuam, como deslocamento e força.
Representação das Grandezas Vetoriais
Para representar grandezas escalares basta indicar sua intensidade, ou seja, o seu valor numérico e a unidade de medida correspondente. Alguns exemplos: 2 kg (massa), 25s (tempo), 8 kg/m3 (densidade), 0,5 A (corrente elétrica).
Para representar grandezas vetoriais é necessário indicar, além da intensidade, a direção e o sentido da grandeza. Essa indicação é feita usando-se um vetor. O Vetor é um ente matemático imaginário, que nos dá as características completas da grandeza que estamos estudando. Observe a ilustração abaixo.
..................................................................................... ................................... s
O vetor pode ser representado pelo segmento de reta orientado cujo tamanho, ou comprimento, (parte laranja), indica o módulo e é proporcional à intensidade da grandeza; a reta suporte do segmento (reta s, que contém o vetor) indica a direção e a seta indica o sentido.
Direção e Sentido
A orientação espacial de uma grandeza vetorial é dada pela direção e pelo sentido. Uma reta define uma direção? Qualquer reta paralela a ela possui a mesma direção. Logo um feixe de retas paralelas apresenta uma única direção. Uma rua ou um rio, caso sejam retilíneos, definem direções. Podemos falar em direções da Rua Santa Ifigênia, do rio Amazonas ou da ferrovia Norte-Sul. Claro que, nesses casos, estaríamos indicando apenas uma direção aproximada, pois uma rua, um rio e uma ferrovia não são perfeitamente retilíneos. A cada direção correspondem dois sentidos possíveis. Podemos percorrer uma reta vertical em dois sentidos: para cima ou para baixo. À direção horizontal correspondem os sentidos para a direita e para a esquerda. Uma rua pode ser percorrida em dois sentidos diferentes; podemos subir ou descer um rio.
92
Para entender o que significa e como se representam a direção e o sentido de uma grandeza, observe as figuras a seguir. Direção da reta:
Retas paralelas apresentam a mesma direção:
A cada direção correspondem dois sentidos possíveis:
Vetores de mesma direção e sentido:
Vetores de mesma direção e sentidos opostos:
93
Vemos, então, que vetores de mesma direção são paralelos entre si, mas isso não garante que tenham o mesmo sentido. Muitas vezes, é difícil descrever com palavras, e com exatidão, uma direção e um sentido. Por isso, é comum o emprego de figuras e/ou de um ângulo com uma direção conhecida. Veremos mais sobre isso em exercícios.
Notação de Grandezas Vetoriais
Foi proposto que as notações das grandezas vetoriais fossem feitas com uma letra qualquer, grega ou latina, maiúscula ou minúscula, sobre a qual se coloca uma pequena seta. A notação de um vetor é feita geralmente se utilizando a letra sobreposta pela seta. No exemplo ao lado temos vários vetores e sua notação, que consiste na letra com uma setinha acima dela. Outra notação também comum é obtida nomeando-se com letras maiúsculas as extremidades do segmento orientado que representa o vetor. Observe o vetor a seguir. A a B Nessa notação, faz-se sempre a letra que nomeia a ponta aguçada da seta menos a letra que nomeia a extremidade oposta (ou origem): a = B – A.
Muitas vezes estamos interessados apenas no módulo ou na intensidade de uma grandeza vetorial. Quando alguém diz que a velocidade máxima permitida numa estrada é de 80 km/h, ou que um cabo de aço pode exercer força de até 100 000 N, por exemplo, não existe a preocupação nem a necessidade de indicar a direção e o sentido dessas grandezas. Por isso, muitas vezes nos referimos apenas ao módulo da grandeza vetorial. Nesse caso, a notação é feita apenas com o símbolo: F, v, a, E.
94
A notação de uma grandeza vetorial com suas quatro características – módulo, direção, sentido e sinal – é indicada com o acréscimo, como vimos, de uma seta sobre o símbolo que a representa, como, por exemplo F, v, a e E.
f f = 5,0 N
A notação f significa vetor f e aparece quando nos referimos ao seu módulo, direção e sentido. Quando estamos interessados apenas no módulo do vetor, ele é indicado sem a seta.
A indicação algébrica de um vetor é feita da seguinte forma: v = OP = P-O.
Para que o vetor fique caracterizado é preciso conhecer, como mencionamos algumas vezes, seu módulo ou intensidade, sua direção e seu sentido. O módulo de um vetor é a medida do comprimento da flecha que o representa. Vejamos num exemplo, agora.
Consideremos o vetor v abaixo:
v
............O.................................................................P......................... r
uuuuuu
O vetor v tem:
Módulo |v| = v = 6u
Direção da reta r
Sentido de O para P
95
Observe que, no exemplo, o módulo de v é igual a 6 unidades de medida (6u).
Se a unidade de medida for o centímetro, o vetor v terá módulo 6 cm; se for o metro, o módulo será 6 m etc.
Ao escrevemos a letra v sem a seta sobre ela, estamos indicando o módulo do vetor, isto é, v = 6u.
Observações importantes:
Sendo G uma grandeza vetorial qualquer, devemos ter os seguintes cuidados:
O símbolo G não pode ser igualado a um número. G deve ser escrito por um número, direção e sentido. O símbolo G pode ser igualado a número acompanhado de unidade. Os símbolos G e G têm significados diferentes.
G1 = G2 as duas grandezas apresentam a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido.
G1 = G2 as duas grandezas apresentam a mesma intensidade.
96
CAPÍTULOS 26 E 27
OPERAÇÃO COM GRANDEZAS VETORIAIS
INTRODUÇÃO
ADIÇÃO DE DOIS VETORES
REGRA DO POLÍGONO
REGRA DO PARALELOGRAMO
OBSERVAÇÕES
OPERAÇÕES COM GRANDEZAS VETORIAIS Introdução
Algumas grandezas simplesmente se adicionam aritmeticamente, por exemplo, 3 kg + 4 kg = 7 kg, mas a adição de duas velocidades de 3 m/s e 4 m/s nem sempre é 7 m/s; o resultado vai depender da direção dos movimentos que possuem essas velocidades.
Se os movimentos forem perpendiculares o resultado é 5 m/s, obtido por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras. Consideremos um automóvel que se desloca de A para B e, em seguida, de B para C. B C b
a c
A
Esses deslocamentos estão representados na figura pelos vetores a e b. O efeito final destes dois deslocamentos combinados é levar o carro de A para C. Evidentemente, o vetor c, traçado de A para C, representa um deslocamento equivalente ao efeito combinado de a e b. Dizemos, então, que o vetor c é a soma ou resultante dos vetores a e b e escrevemos: c = a + b
97
Adição de dois Vetores
Podemos encontrar a soma ou resultante gráfica de dois vetores de algumas formas possíveis. A seguir, apresentaremos duas dessas formas: regra do polígono e regra do paralelogramo.
Regra do Polígono: Fazemos com que a origem do segundo vetor a ser somado coincida coma extremidade do primeiro vetor. O vetor que vai da origem do primeiro à extremidade do último é o vetor soma s ou resultante R.
a b
a b
s
Observações: 1). Caso tenhamos que adicionar mais de dois vetores, por exemplo, três, quatro, cinco, procedemos da mesma maneira. Juntamos a extremidade do primeiro à origem do segundo, a extremidade do segundo à origem do terceiro e assim sucessivamente, de modo que o vetor resultante seja obtido juntando-se a origem do primeiro à extremidade do último, ou seja, a origem de um vetor vai coincidir com a ponta “aguçada” do outro. Na construção da figura, devemos preservar as características de cada vetor: módulo, direção e sentido. O que se obtém é uma linha segmentada, denominada linha poligonal. 2). Ainda, uma importante observação é que se os vetores forem somados em outra sequência, por exemplo, juntando a extremidade do quarto vetor à origem do primeiro, a extremidade do primeiro à origem do terceiro, etc., desde que se preservem as características de cada vetor, a soma será sempre a mesma, ou seja, vale a propriedade comutativa. Veja, no exemplo a seguir, em que são dados quatro vetores. Vamos somá-los, inicialmente, na sequência a + b + c + d e, após, vamos somá-los na sequência d + a + c + b, observando que o vetor resultante obtido graficamente será o mesmo em ambos os casos.
d a
b c
98
a R
b
c d
d
a
R c
b
Podemos ver, então que, caso quiséssemos somar os vetores acima de outra forma, não alteraríamos o resultado, desde que respeitando as intensidades, direções e sentidos de cada vetor.
3). Finalmente, se a linha poligonal dos vetores parcelas for fechada, então o vetor soma será nulo, como ocorre no caso da soma dos vetores da figura abaixo.
c a c
b b
a
s = a + b + c = 0
99
Regra do Paralelogramo: Fazemos com que as origens dos dois vetores coincidam. Completamos o paralelogramo, o que é o mesmo que dizer que traçamos, para cada um dos vetores apresentados, uma paralela e completamos o paralelogramo. O vetor soma ou resultante é representado pela diagonal traçada a partir da origem comum dos vetores deslocados.
a a
b R
b
Quanto ao módulo (ou intensidade), veremos, a seguir, como encontrá-lo, e os casos possíveis.
Para encontrar o módulo do vetor soma ou resultante, vale a relação: R2 = |a |2 + | b|2 + 2|a|. |b|cosØ, sendo o cosseno do ângulo teta em
questão, o ângulo entre o vetor a e o vetor b. Vamos aplicar a relação acima em cada um dos possíveis casos de adição de vetores.
1). a e b têm a mesma direção e o mesmo sentido Nesse caso, Ø = 0°; então, cos Ø = 1.
a
b
s
s2 = a2 + b2 + 2a.b s2 = (a +b)2
s = a + b, ou seja, vetores de mesma direção e sentido somam-se.
100
2). a e b têm a mesma direção e sentidos opostos.
Neste caso, Ø = 180°; então, cos Ø = -1.
b a a b
s
s = a – b, ou seja, vetores de mesma direção e sentidos opostos subtraem-se, prevalecendo o sentido do vetor de maior intensidade.
3). a e b são perpendiculares entre si.
Neste caso, Ø = 90°; então, cos Ø = 0.
b
s
a
s2 = a2 + b2
4). Finalmente, a e b formam ângulos quaisquer entre si, diferentes de 90°.
a s
b
Neste caso, aplica-se a fórmula citada inicialmente: s2 = a2 + b2 + 2ab.cos
101
Subtração de dois vetores
Consideremos os dois vetores a e b indicados na figura abaixo.
A O b B
a
O
Queremos obter o vetor diferença entre: a e b (d = a – b).
Já vimos que podemos somar dois vetores usando a regra do polígono ou a regra do paralelogramo. Na subtração também podemos utilizá-las. Veja.
Subtração usando a regra do paralelogramo:
Admita que os segmentos orientados a e b tenham origens coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja Ø. A a O b B Colocando esses dois vetores a partir de uma origem comum, podemos encontrar o vetor diferença graficamente, fazendo a dição de um com o oposto do outro. A seguir, somamos, graficamente, através da regra do paralelogramo. Observe. A d a B O - b
Ainda, podemos fazer a subtração, colocando os dois vetores novamente a partir de uma origem comum, e obter o vetor diferença assim: d = a –b, e resolvendo temos:
d = (A – O) – (B – O) d = A – O – B + O
102
d = A - B
origem
extremidade
A
a d
O b B
Ou seja, os vetores foram subtraídos da forma: d = a – b, tendo a extremidade do vetor a se encontrando com a extremidade do vetor diferença d.
Se os vetores tivessem sido subtraídos da forma d = b – a, seria a extremidade de b a se encontrar com a extremidade de d.
Subtração utilizando a regra do polígono
Vamos considerar, novamente, os mesmos dois vetores a e b dados.
A
a b
O O B
Vamos subtrair um do outro usando a seguinte estratégia: somamos um ao oposto do outro usando a regra do polígono, e, a seguir, somamos usando a mesma regra. Veja.
- b A
B a
d O
As características do vetor d são:
Intensidade: d2 = a2 + b - 2ab cos Ø
Direção: da reta AB
Sentido: de B para A
103
CAPÍTULO 28
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR EM EIXOS ORTOGONAIS Da mesma forma que podemos compor dois vetores obtendo um terceiro (resultante), podemos decompor um vetor em dois outros, cuja soma vetorial é o vetor original. Essa decomposição, neste momento, será feita apenas em direções perpendiculares. Assim, suponha um vetor v num plano S:
v
o s
Pela origem O do vetor v, tracemos duas retas x e y, perpendiculares entre si. O ângulo Ø é o ângulo formado entre o vetor v e o eixo x. Assim como, o ângulo α é o ângulo formado entre o vetor v e o eixo y.
y
𝛂 v
θ x
104
Fazendo a projeção ortogonal de v sobre as retas x e y, podemos obter as
componentes vx e vy do vetor v, ou projeções ortogonais de v sobre os eixos x e
y.
y
vy
α v
θ
x
vx
Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo do ângulo Ø, temos:
sen Ø = vy vy = v sen Ø v
cos Ø = vx vx = v cos Ø v
e
sen ∝ = vx vx = v sen ∝ v
cos ∝ = vy vy = v cos ∝ v
vx projeção ortogonal do vetor v em x
vy projeção ortogonal do vetor v em y
105
CAPÍTULO 29
LANÇAMENTO NÃO-VERTICAL: LANÇAMENTO
HORIZONTAL (PARTE UM)
Conforme vimos no capítulo anterior, uma partícula abandonada
de uma certa altura, ou lançada verticalmente, tem movimento
uniformemente acelerado (supondo ausência do ar e proximidade
da Terra) com aceleração que é a da gravidade e cujo módulo é
simbolizado por g. Neste capítulo consideraremos a aceleração da
gravidade como grandeza vetorial, ou seja, apresentando módulo
(valor), direção e sentido, sendo simbolizada por g.
Podemos verificar que o vetor g tem direção vertical e sentido para
baixo.
Ao estudarmos o lançamento não vertical, suporemos que a região
onde ocorre o movimento é suficientemente pequena para que
possamos desprezar a curvatura da Terra e, assim, supor que o solo
é plano e horizontal. Com isso, poderemos admitir que g tem o
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, em todos os
pontos da região.
Para facilitar a exposição, separaremos o lançamento não vertical
em dois casos: lançamento horizontal e lançamento oblíquo.
Ainda, costuma-se denominar de lançamento de projéteis
qualquer movimento sob a ação da gravidade não vertical em que
a resistência do ar seja desprezível.
Lançamento Horizontal
Em seus estudos sobre o movimento de projéteis, Galileu percebeu
que se tratava de uma situação complexa, pelo fato de o projétil se
deslocar ao mesmo tempo para frente e para baixo.
Uma primeira pergunta é: de que maneira esses dois movimentos
(para frente e para baixo) se influenciam mutuamente?
A resposta a essa pergunta é surpreendente: não se influenciam.
Consideremos uma partícula lançada de um ponto próximo da
superfície da Terra, com velocidade inicial v0 de direção horizontal.
106
Desprezando os efeitos do ar, sua trajetória será curva, semelhante à
trajetória da figura a seguir. Para facilitar o estudo do movimento,
adotemos um sistema cartesiano ortogonal Oxy, com o eixo Ox de mesmo
sentido de v0 e o eixo Oy na direção vertical, orientado para baixo.
Seja P a posição da partícula num instante qualquer após o
lançamento (mas antes de atingir o solo). Sendo v a velocidade da
partícula nesse instante, façamos a decomposição de v nas direções
de Ox e Oy, obtendo as velocidades componentes vx e vy.
P
107
No instante do lançamento, a velocidade é horizontal (v0). Como
nenhuma força horizontal age sobre a partícula, ela tende, na
direção horizontal, a manter constante essa velocidade.
A resultante das forças que agem na direção vertical é o peso, pois
só essa força age nessa direção, portanto, a aceleração da gravidade
g, que tem direção vertical e sentido para baixo, faz com que a
componente vy seja variável. Além disso, a componente vertical da
velocidade inicial é nula: v0y = 0
Na figura a seguir, temos uma partícula em várias posições com a
mesma velocidade horizontal, mas com a velocidade vertical
variando, sendo inicialmente, nula, e aumentando à medida que a
partícula cai.
vy vx
De tudo o que dissemos, concluímos que o movimento dessa
partícula pode ser imaginado como sendo a resultante da
composição de dois movimentos retilíneos e ortogonais: um
movimento horizontal uniforme, de velocidade constante v0 e um
movimento vertical uniformemente variado, de aceleração
constante g e velocidade inicial v0y = 0.
Sabe-se que a composição de dois movimentos, um retilíneo
uniforme e outro retilíneo uniformemente variado, resulta em uma
108
trajetória parabólica. Assim, concluímos que a trajetória da
partícula que estamos analisando é um arco de parábola.
Ainda, supondo que o solo seja horizontal, a distância x da figura
abaixo (distância entre a reta vertical r que passa pela partícula no
ponto de lançamento e o ponto onde ela atinge o solo) costuma ser
chamada de alcance horizontal ou, simplesmente, alcance da
partícula.
r
As funções (equações) do Lançamento Horizontal
As funções que serão deduzidas são válidas para um corpo (ou
partícula) lançado horizontalmente com velocidade inicial v0,
desprezando-se a resistência do ar. Vamos adotar um sistema
cartesiano ortogonal (Oxy); a origem no ponto de lançamento; eixo
x na direção horizontal e sentido de v0 e eixo y na direção vertical
e sentido para baixo.
109
A). Determinação da Velocidade da partícula
No instante do lançamento, a velocidade é horizontal (v0). Como
nenhuma força age sobre o corpo, ele tende, na direção horizontal,
a manter constante o valor (módulo) dessa velocidade:
vx = v0
Ou, de outra forma, temos, nessa direção: v0 = v0x = v1x = v2x = ...=
constante.
Como a aceleração é nula, o movimento parcial na direção
horizontal é do tipo retilíneo uniforme (MRU).
No instante do lançamento o valor da componente vertical da
velocidade é zero: v0y = 0. A resultante das foças que agem na
direção vertical é o peso, pois só essa força age nessa direção.
Concluímos que a aceleração vertical para baixo é, em módulo,
igual a g e, portanto, o movimento parcial na direção vertical é do
tipo retilíneo uniformemente variado (MRUV), com aceleração
constante, de módulo (valor) igual a g.
Também, temos, nessa direção: v0y ≠ v1y ≠ v2y ≠ ... ≠ constante
v0y = 0; vy ≠ constante; g é constante.
Do exposto, concluímos que o valor da velocidade vY, em um
instante qualquer, pode ser calculada pela fórmula do MUV:
v = v0 + at
vy = 0 + gt
vy = gt
Como vx e vy são perpendiculares entre si, o módulo de v pode
ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
v2 = vx 2 + vy2
110
B). Determinação do espaço e da posição do corpo (partícula)
Como vimos, na direção horizontal o movimento é retilíneo
uniforme. Portanto, a função horária do movimento segue a forma
geral:
s = s0 + vt → x = x0 +vx t
mas vx = v0 , portanto, x = 0 + v0t → x = v0t
Na direção vertical o movimento é retilíneo uniformemente
variado com aceleração de valor igual a g. Portanto, a função
horária do espaço segue a expressão geral:
s = s0 + v0t + 1at2
2
y = 0 + 0t + 1gt2
2
y = 1gt2
2
C). Equação da trajetória
Vamos deduzir uma fórmula que forneça y em função de x.
De x = v0t → t = x
v0
Substituindo t = x em y = 1gt2, vem:
v0 2
y = 1 g x2
2 v02
111
A fórmula obtida denomina-se equação ou função da trajetória;
como ela é do segundo grau em x, a trajetória do corpo lançado
horizontalmente é uma curva parabólica, como já havíamos
observado.
D). Da equação de Torricelli, vem:
vy2 = 2gΔy
112
CAPÍTULO 30
LANÇAMENTO NÃO-VERTICAL: LANÇAMENTO
OBLÍQUO (PARTE DOIS)
Considere um corpo sendo lançado com velocidade v0 numa
direção que forma com a horizontal um ângulo θ. Desprezada a
resistência do ar, o móvel fica sob a ação exclusiva de seu peso e
sujeito apenas, portanto, à aceleração da gravidade. A trajetória
descrita em relação à Terra é uma parábola, conforme a figura a
seguir.
v0
θ
O ângulo θ (teta) costuma ser chamado de ângulo de lançamento
ou ângulo de elevação. Para estudar o movimento, vamos adotar
um sistema cartesiano ortogonal Oxy, com os eixos Ox e Oy:
Ox – eixo horizontal, orientado para a direita
Oy – eixo vertical, orientado para cima.
Observe isto na figura abaixo.
113
Quando o corpo passa por um ponto qualquer de sua trajetória, é
sempre possível considerar sua velocidade v decomposta em suas
componentes, vx (horizontal) e vy (vertical). Isto nos permite
analisar o movimento do corpo como uma composição de dois
movimentos: um movimento horizontal, ao longo de Ox (com
velocidade vx) e um movimento vertical, ao longo de Oy (com
velocidade vy).
Na direção horizontal o corpo realiza um movimento retilíneo e
uniforme com velocidade igual a v0x. De fato, sendo o peso a única
força que atua no corpo a qual, como sabemos, é uma força vertical,
dirigida para baixo, ela não influencia na direção horizontal.
Assim, a velocidade na direção horizontal é sempre constante e o
movimento é uniforme: v0x = v1x = v2x = ... = cte.
Na direção vertical o corpo realiza um MRUV com velocidade
inicial igual a v0y e aceleração de valor igual ao da aceleração g da
gravidade (g constante) e orientada para baixo. Em outras palavras,
a componente vy da velocidade v do corpo tem módulo variável:
diminui uniformemente enquanto o corpo sobe, anula-se no ponto
mais alto da trajetória e aumenta uniformemente enquanto o corpo
desce.
114
Para o lançamento oblíquo, damos as seguintes definições:
Ângulo de tiro ou ângulo de elevação ou, ainda, ângulo de
lançamento (θ): é o ângulo formado por v0 com a direção
horizontal;
Vértice da trajetória (V): é o ponto mais alto da trajetória;
Alcance horizontal (a ou A): é a distância entre o ponto de
lançamento e o ponto onde a partícula atinge o solo;
Flecha ou altura máxima (H ou hmax): é a altura máxima atingida
pela partícula (corpo).
Observação: De modo geral, em dois pontos da trajetória que
estejam no mesmo nível horizontal, as velocidades são iguais em
módulo. Veja isto na próxima figura, onde os pontos P e Q estão
no mesmo nível horizontal e, por isso, apresentam a mesma
velocidade: a componente vx tem sempre o mesmo valor e a
componente vy tem o mesmo valor em módulo. Como a velocidade
é a soma das componentes horizontal e vertical da velocidade,
teremos que ela será a mesma para dois pontos no mesmo nível
horizontal.
P Q
115
Equações do Movimento no Lançamento Oblíquo
Para obtermos as equações do movimento, adotemos um sistema
de coordenadas Oxy, com o eixo Ox horizontal e o eixo Oy,
vertical, como mostra a figura abaixo.
Decompondo a velocidade v0 obtemos
v0x = v0. cosθ e v0y = v0.senθ
Na direção horizontal temos movimento uniforme. Mas como
sabemos, a equação horária do espaço no MU é do tipo:
s = s0 + vt
Assim, x = 0 + v0xt
ou, x = (v0.cosθ)t
116
Na direção vertical temos movimento uniformemente variado de
aceleração escalar a = -g (pois o eixo foi orientado para cima).
Como sabemos, as equações horárias do espaço e da velocidade
escalar de um movimento uniformemente variado são dos tipos:
s = s0 + v0t + 1 at2 e v = v0 + at
2
Assim,
y = 0 + v0yt – 1 gt2 e vy = v0y – gt
2
ou, y = (v0 senθ)t – 1 gt2 e vy = v0y senθ – gt
2
Ainda, a velocidade do corpo é sempre dada pela soma das
componentes vx e vy:
v = vx + vy
Observe na figura anterior, que a velocidade v é sempre tangente
à trajetória. No ponto mais alto, como a velocidade vertical é nula
(vy = 0), a velocidade v é igual à componente horizontal vx: v = vx.
Nesse ponto, a velocidade v tem, portanto, o módulo mínimo.
117
Cálculo dos tempos de subida (ts), de descida (td) e total (T)
Vamos calcular agora o intervalo de tempo decorrido desde o
instante do lançamento até o instante em que o corpo atinge a altura
máxima (tempo de subida: ts).
Para isso, lembre-se de que no ponto mais alto a velocidade vy tem
módulo igual a zero. Assim, usando a função horária da velocidade
escalar segundo Oy, temos:
vy = v0y – gt
Quando t = ts, temos que vy = 0:
0 = v0y – gts
ts = v0y = v0.senθ
g g
O intervalo de tempo decorrido desde o instante em que o corpo
atinge o ponto de altura máxima até o instante em que retorna ao
mesmo nível horizontal do lançamento (tempo de descida: td) é
igual ao tempo de subida:
td = v0.senθ
g
Chamamos de tempo total (T) o intervalo de tempo decorrido entre
o instante de lançamento e o instante de retorno ao nível horizontal
de lançamento:
T = ts + td → T = 2v0.senθ
g
118
Cálculo da Altura Máxima (hmáx)
Temos que a altura máxima em relação ao plano horizontal de
lançamento pode ser determinada lembrando que hmáx é o valor de
Δy, quando vy se anula.
Usando a equação de Torricelli segundo Oy, obtemos:
vy2 = v0y
2 – 2gΔy
02 = v0y2 – 2ghmáx
hmáx = v0y2 = v0
2.sen2θ
2g 2g
hmáx = v02.sen2θ
2g
hmáx
119
Cálculo do Alcance Horizontal (A)
Chamamos de Alcance Horizontal ou simplesmente Alcance a
grandeza A correspondente ao deslocamento horizontal do corpo,
desde o instante da partida até o instante em que retorna ao nível
horizontal do lançamento.
É fácil perceber que A é o valor de Δx no instante correspondente
ao tempo total (T).
Por meio da função horária do espaço segundo Ox, obtemos:
x = x0 + vxt ou Δx = vxt
Fazendo t = T = 2v0.senθ, temos Δx = A:
g
A = vx 2v0.senθ = v0.cosθ 2v0.senθ
g g
A = v02 2senθ.cosθ
g
Da trigonometria, sabe-se que 2senθ.cosθ = sen2θ.
Então, a expressão anterior pode ser escrita da seguinte maneira:
A = v02.sen2θ
g
Alcance A
120
Condição de Máximo Alcance Horizontal
Suponhamos que um corpo deva ser lançado de modo a se obter o
maior alcance horizontal (A) possível, com v0 e g fixados. Qual
deve ser o ângulo de lançamento?
Vamos aplicar a expressão A = v02.sen2θ, vista acima, para o caso
g
de as grandezas v0 e g serem constantes e a única variável ser θ.
Isto acontece, por exemplo, numa mangueira de jardim: desde que
não se mexa na torneira, a velocidade de saída da água e g são
constantes.
Para o alcance A ser máximo, é necessário que sen2θ seja máximo,
isto é, igual a 1.
Assim:
sen2θ = 1 → 2θ = 90o → θ = 45o
Então, podemos escrever que:
Para valores determinados de velocidade inicial e da aceleração da
gravidade, o máximo alcance horizontal é obtido com ângulo de
lançamento igual a 45o.
De fato, o alcance máximo é
Amáx = v02
g
e ocorre quando sen2θ = 1, isto é, 2θ = 90o ou θ = 45o.
121
Propriedade
Considere dois lançamentos com velocidades iniciais iguais em
módulo (mesmo v0), realizados num mesmo local (mesmo g).
Sejam θ1 e θ2 os ângulos de lançamento correspondentes.
Determinemos a relação entre θ1 e θ2, para que os alcances
horizontais A1 e A2 sejam iguais:
A1 = A2 → v022senθ1.cosθ1 = v0
22senθ2.cosθ2 →
g g
senθ1.cosθ1 = senθ2.cosθ2
Como θ1 e θ2 são ângulos agudos, esta última igualdade só é válida
quando θ1 + θ2 = 90o, pois aí senθ2 = cosθ1 e cosθ2 = senθ1.
Então, podemos escrever que:
Para valores fixados de v0 e g, objetos lançados com ângulos de
lançamento complementares têm alcances horizontais iguais.
122
CAPÍTULO 31
CINEMÁTICA VETORIAL
Vetor Posição
Seja um móvel deslocando-se ao longo de uma trajetória qualquer
com origem O. Considere, ainda, um sistema cartesiano nessa
origem, e P a posição do móvel no instante t.
Podemos localizar esse móvel na trajetória usando um vetor p (ou,
também, vetor r) com origem em O e extremidade na posição P
ocupada pelo móvel no instante t. O vetor p é chamado vetor
posição e tem módulo, direção e sentido.
p = P – O (ou r = P – O)
Deslocamento Vetorial (ou Vetor Deslocamento)
Considere uma partícula em movimento com relação a um
referencial cartesiano Oxy. Na figura a seguir, estão indicadas a
trajetória descrita pela partícula, bem como as posições P1 e P2
ocupadas por ela, respectivamente, nos instantes t1 e t2. Note que
os vetores r1 e r2 são os vetores-posição correspondente a P1 e P2.
123
Os vetores-posição “apontam” a posição da partícula em cada
ponto da trajetória. Sua origem está sempre na origem O do
referencial e sua extremidade (ou ponta) aguçada coincide com o
ponto em que a partícula se encontra no ponto considerado.
Definimos o deslocamento vetorial d ou, também, Δr, no percurso
de P1 a P2 por meio da subtração vetorial:
Δr = r2 – r1
O deslocamento vetorial (ou vetor deslocamento) sempre
conecta duas posições na trajetória. Sua origem coincide com o
ponto de partida da partícula e sua extremidade (ou ponta)
aguçada, com o ponto de chegada.
124
OBSERVAÇÕES:
Na Cinemática Escalar determinamos a posição de uma partícula
pelo seu espaço s; na Cinemática Vetorial determinamos a posição
dessa mesma partícula através do seu vetor posição r (ou p).
Sejam s1 e s2 os espaços da partícula nos instantes t1 e t2,
respectivamente (com t2 > t1), e sejam r1 e r2 os vetores-posição da
partícula nos mesmos instantes. Na Cinemática Vetorial definimos
o vetor deslocamento ou deslocamento vetorial da partícula entre
os instantes t1 e t2 por:
Δr = r2 – r1 ou d = r2 – r1
Assim, observe a figura a seguir.
s2
s1
r1
O r2
Portanto, o deslocamento vetorial d (ou Δr) será sempre igual
(trajetória retilínea) ou menor (trajetória qualquer, não retilínea)
que o deslocamento escalar Δs. O módulo do vetor deslocamento
vetorial nunca excede o módulo do deslocamento escalar.
125
Ainda, a variação de espaço ou deslocamento escalar Δs é medido
ao longo da trajetória e, portanto, depende da forma da trajetória.
O deslocamento vetorial (d ou Δr) não depende da forma da
trajetória, interessando apenas a posição inicial P1 e a posição final
P2.
O deslocamento escalar depende da forma da trajetória.
O deslocamento vetorial independe da forma da trajetória.
Finalmente, podemos usar várias notações para cada uma das
grandezas definidas. Dependendo do autor, teremos:
Vetor posição: p ou r
Deslocamento vetorial ou vetor deslocamento: Δr ou d
Fórmula do deslocamento vetorial ou vetor deslocamento:
Δr = r2 – r1 ou d = r2 – r1 ou Δr = p2 – p1 ou d = p2 – p1
Velocidade Vetorial Média
Em Cinemática Escalar definimos a velocidade escalar média por:
vm = Δs
Δt
Em Cinemática Vetorial definimos a velocidade vetorial média vm
por:
vm = d (ou Δr)
Δt
Como Δt > 0, o vetor vm deve ter a mesma direção e o mesmo
sentido de d, desde que d ≠ 0.
126
Vimos que o deslocamento escalar (Δs) é maior ou igual ao
deslocamento vetorial (d) num mesmo intervalo de tempo e,
portanto, a velocidade escalar média (vm) é maior ou igual à
velocidade vetorial média (vm), já que a velocidade média, tanto
escalar quanto vetorial, é obtida pela razão entre o deslocamento e
o tempo:
vm ≥ vm
Velocidade Vetorial Instantânea
Na Cinemática Escalar definimos a velocidade escalar instantânea
(v) por:
v = lim Δs
Δt→ 0 Δt
Agora definiremos a velocidade vetorial instantânea (v) por:
v = lim d (ou Δr)
Δt→ 0 Δt
Assim, se quisermos calcular a velocidade vetorial instantânea da
partícula quando essa passa por um ponto P1, devemos tomar um
outro ponto P2 da trajetória, determinar o deslocamento entre P1 e
P2 e fazer P2 tender a P1. Mas é fácil perceber que quando isso
ocorre (figura a seguir) a direção de d aproxima-se da direção da
reta tangente à trajetória no ponto P1. O sentido será o mesmo do
movimento.
127
Após definirmos o conceito de velocidade vetorial instantânea,
vamos estudá-la mais pormenorizadamente a seguir.
Características da Velocidade Vetorial Instantânea
DIREÇÃO
Considere o movimento de um móvel deslocando-se do ponto P1
para o ponto P2, sobre a trajetória curva da figura.
P1 (t1)
P2 (t2)
128
Quanto mais próximo o ponto P2 estiver do ponto P1, mais o vetor
Δr (ou d) tende a ficar tangente à trajetória pelo ponto P1 (observe
a figura a seguir). Portanto, para t tendendo a zero (o instante t2 é
praticamente igual ao instante t1), o vetor velocidade vetorial média
é denominado vetor velocidade instantânea e indicado por v.
v = lim vm
Δt→ 0
Observe neste outro esquema da figura a seguir, que a velocidade
vetorial média tem direção dada pela reta P1P2, que é secante à
trajetória. À medida que P2 tende a P1, a reta secante tende para a
reta tangente à trajetória em P1. E assim a velocidade vetorial média
se converte na velocidade vetorial instantânea.
Após estas considerações, podemos observar que a direção da
velocidade vetorial instantânea, em um determinado instante, é
dada pela tangente à trajetória no ponto considerado.
A velocidade vetorial instantânea tem direção sempre tangente
à trajetória, caso o movimento seja curvilíneo; se o movimento
for retilíneo, a direção será sempre a da própria trajetória.
129
MÓDULO
Para Δt → 0 (lê-se delta t tendendo a zero), teremos Δs = d
Assim:
lim Δs = lim Δr (ou d)
Δt→ 0 Δt Δt→ 0 Δt
ou v = v isto é,
o módulo da velocidade vetorial instantânea é igual ao módulo
da velocidade escalar instantânea.
SENTIDO
O sentido da velocidade vetorial instantânea é o sentido do
movimento.
130
Resumindo: A Velocidade Vetorial Instantânea v de um móvel ou
partícula, num instante t, tem as características a seguir.
MÓDULO: sempre igual ao módulo da velocidade escalar num
instante t. Em símbolos: v = v.
DIREÇÃO: se o movimento é retilíneo, a velocidade tem a
direção da trajetória; se o movimento for curvilíneo, a velocidade
tem, em cada ponto, direção tangente à trajetória.
SENTIDO: do movimento.
Instante t, móvel ocupa a posição P; apresenta velocidade vetorial
instantânea com as características acima descritas.
Trajetória
P v
Instante t
Esfera
Observação
Lembre-se que um vetor varia quando variar qualquer um dos
elementos (módulo, direção, sentido). Daí, a velocidade vetorial
varia quando variar um desses elementos. Desse modo, se um
móvel descreve uma curva, sua velocidade já está variando, pois
em cada ponto da curva existe uma tangente, e portanto, em cada
ponto a velocidade vetorial possui uma direção. Assim, a
velocidade vetorial varia, num movimento curvilíneo
independentemente do tipo de movimento (uniforme, MUV...).
131
TRAJETÓRIA CURVA VARIAÇÃO DA DIREÇÃO
DA VELOCIDADE VETORIAL
Nos movimentos uniformes a velocidade vetorial tem módulo
constante, pois a velocidade escalar é constante.
Nos movimentos variados o módulo da velocidade vetorial varia.
MOVIMENTO VARIADO VARIAÇÃO DO MÓDULO
DA VELOCIDADE VETORIAL
Alguns casos particulares
a.) Movimento Retilíneo Uniforme
Como a trajetória é retilínea, a velocidade vetorial terá sempre a
mesma direção. Como o movimento é uniforme, a velocidade
vetorial terá sempre o mesmo módulo e sentido. Podemos então
dizer que, nesse caso, a velocidade vetorial é constante.
b.) Movimento circular e uniforme
Como a trajetória é circular, a direção da velocidade vetorial não
é constante; mas como o movimento é uniforme, o módulo da
velocidade é constante. Podemos então dizer que, nesse caso, a
velocidade vetorial é variável, pois muda a direção da velocidade
embora o módulo fique constante.
132
c.) Movimento retilíneo uniformemente acelerado
Pelo fato de a trajetória ser retilínea, a direção da velocidade
vetorial é constante. Como o movimento é acelerado, o módulo da
velocidade vetorial aumenta sempre e o sentido se mantém
constante.
d.) Movimento retilíneo uniformemente retardado
Como a trajetória é retilínea, a direção da velocidade vetorial se
mantém constante. O movimento sendo retardado, o módulo de v
diminui. O sentido fica constante.
e.) Movimento circular uniformemente acelerado
Neste caso variam tanto o módulo como a direção da velocidade.
Aceleração Vetorial Média
Consideremos uma partícula que tem velocidade vetorial v1 no
instante t1 e velocidade vetorial v2 no instante t2 (com t2 > t1). A
aceleração vetorial média da partícula (am) entre os instantes t1 e t2
é definida por:
am = Δv = v2 – v1
Δ t t2 – t1
133
Aceleração Vetorial Instantânea
Na Cinemática Escalar definimos a aceleração escalar instantânea
por:
a = lim Δv
Δt → 0 Δt
Definiremos agora a aceleração vetorial instantânea (a) por:
a = lim Δv
Δt → 0 Δt
Quando estudamos os movimentos variados, definimos a
aceleração escalar, que mede a variação da velocidade escalar no
decurso do tempo. De modo análogo, variando a velocidade
vetorial v há aceleração vetorial a.
Quando falamos em velocidade vetorial estamos nos referindo à
velocidade vetorial instantânea, mesmo que se omita a palavra
“instantânea”. O mesmo ocorre com a aceleração vetorial
instantânea.
A velocidade vetorial instantânea v pode variar em módulo e em
direção. Por esse motivo a aceleração vetorial a é decomposta em
duas acelerações componentes: aceleração tangencial at, que indica
a variação do módulo de v e a aceleração centrípeta acp, que indica
a variação da direção de v. Eventualmente pode ocorrer variação
do sentido do movimento, porém a variação do sentido do
movimento só ocorre se também variar o módulo.
A aceleração tangencial at possui as seguintes características:
134
MÓDULO: igual ao módulo da aceleração escalar.
DIREÇÃO: tangente à trajetória.
SENTIDO: o mesmo de v se o movimento for acelerado e oposto
ao de v se o movimento for retardado.
De fato, nos movimentos acelerados a
aceleração tangencial tem o mesmo
sentido da velocidade vetorial, mas
nos movimentos retardados, a
aceleração tangencial tem sentido
oposto ao da velocidade vetorial. Veja
os dois casos na figura.
Nos movimentos uniformes o módulo da velocidade vetorial não
varia e, portanto, a aceleração tangencial é nula. A aceleração
tangencial só comparece em movimentos variados e independe
do tipo de trajetória (retilínea ou curvilínea).
A aceleração centrípeta possui as seguintes características:
MÓDULO: é dado pela expressão: acp = v2, onde v é a velocidade
R
escalar do móvel e R é o raio de curvatura da trajetória.
DIREÇÃO: perpendicular à
velocidade vetorial em cada
ponto.
SENTIDO: orientado para o
centro de curvatura da
trajetória.
135
Nos movimentos retilíneos a direção da velocidade vetorial não
varia e a aceleração centrípeta é nula. A aceleração centrípeta só
comparece em movimentos de trajetórias curvas e independe do
tipo de movimento (uniforma ou variado). A aceleração centrípeta
é também denominada aceleração normal ou aceleração radial.
A soma vetorial at + acp define a aceleração vetorial a do
movimento:
a = at + acp
Alguns casos particulares
I.) MRU: Movimento retilíneo e uniforme
A velocidade vetorial é constante, isto é, tem módulo, direção e
sentido constantes. Portanto a aceleração vetorial é nula: a
velocidade vetorial não varia em módulo, pois o movimento é
uniforme (portanto at = 0), e não varia em direção, pois a trajetória
é reta (portanto acp = 0).
136
II.) MCU: Movimento circular e uniforme
Como o movimento é uniforme, a aceleração escalar é nula (a = 0)
e portanto a aceleração tangencial também é nula: at = 0. Porém, a
trajetória é curva e assim temos acp ≠ 0. Neste caso, a aceleração
centrípeta coincide com a aceleração vetorial instantânea: acp = a.
Sabemos que o módulo da aceleração centrípeta é dado por:
acp = v2/R; já que o movimento é circular e uniforme, os valores de
R e v são constantes e assim acp é constante, isto
é, o módulo da aceleração centrípeta é
constante. Porém, como a direção de acp é
variável, podemos dizer que a aceleração
vetorial é variável.
III.) MRUV: Movimento retilíneo uniformemente variado
A velocidade vetorial varia em módulo, pois o movimento é
variado e portanto a aceleração tangencial não é nula. A aceleração
centrípeta é nula pois a trajetória é reta. Como no MUV a
aceleração escalar é constante, decorre que a aceleração tangencial
tem módulo constante, direção constante e sentido de v se o
movimento for acelerado e oposto ao de v se o movimento for
retardado.
137
IV.) MCUV: Movimento circular uniformemente acelerado
Sendo movimento uniformemente acelerado, a aceleração escalar
a é constante e não-nula; assim, a aceleração tangencial (cujo
módulo é igual ao módulo de a) é não nula e tem módulo constante.
Porém, a direção da aceleração tangencial varia e então podemos
dizer que at é variável. Como o movimento é acelerado, o módulo
da velocidade é variável e, portanto, o módulo da aceleração
centrípeta também é variável (pois acp = v2/R). Assim, a aceleração
centrípeta varia em módulo e direção.
138
CAPÍTULO 32
CINEMÁTICA ANGULAR
MOVIMENTOS CIRCULARES
O enfoque angular
O estudo descritivo dos movimentos foi feito, até aqui, por meio
das grandezas escalares espaço (s), velocidade escalar média (vm)
e instantânea (v) e aceleração escalar média (am) e instantânea (a).
Podemos chamar todas essas grandezas de lineares, pois suas
definições provêm, direta ou indiretamente, de medidas de
comprimento. Assim, podemos dizer espaço linear, velocidade
escalar linear (média ou instantânea) e aceleração escalar linear
(média ou instantânea).
Quando, porém, estudamos movimentos circulares, torna-se útil
acrescentar as definições das grandezas escalares angulares, isto
é, grandezas escalares definidas, direta ou indiretamente, a partir
da medida de ângulos. Veja o exemplo a seguir.
Observe a figura.
Ponto A (vA) vA > vB
Ponto B (vB)
139
Imagine que os dois círculos da figura acima girem no sentido anti-
horário. Se a figura como um todo gira um ângulo qualquer, o
ponto na posição superior (A) descreve um arco maior do que o
ponto na posição inferior (B), embora pertençam ao mesmo raio.
Como o intervalo de tempo Δt é o mesmo para ambos os pontos,
conclui-se que a velocidade de giro depende da sua distância ao
centro de rotação: a velocidade no ponto superior (vA) é maior que
a velocidade do ponto inferior (vB). Como se vê, a velocidade do
ponto não serve para caracterizar o movimento circular pois, para
o mesmo ângulo descrito, cada um de seus pontos pode ter
velocidade diferente.
Note bem, a velocidade escalar linear v é a velocidade do ponto
que descreve a circunferência, enquanto a velocidade escalar
angular ω é a velocidade com que o ângulo é descrito pelo raio
dessa circunferência. A velocidade angular não depende do raio. A
velocidade escalar linear v varia com o raio; quanto maior for o
raio, maior será a velocidade escalar v. Se os pontos A e B
pertencem ao mesmo raio, temos vB > vA por que o ponto B de
maior raio percorre espaço maior que o ponto A no mesmo
intervalo de tempo. Já para a velocidade escalar angular temos que:
ωB = ωA, por que os pontos A e B descrevem o mesmo ângulo no
mesmo intervalo de tempo.
Isto posto, perceba que se torna necessário relacionar o movimento
circular de um móvel com o ângulo descrito no intervalo de tempo
correspondente. Por essa razão, definem-se as grandezas angulares.
140
Observação:
Quando partículas ou
móveis descrevem
trajetórias circulares
podemos determinar suas
posições através de
ângulos centrais φ (lê-se fi)
em lugar do espaço s (arco
OP) medido na própria
trajetória. O arco relaciona-se com o ângulo pela
seguinte expressão: s = φ.R
Grandezas Angulares
Espaço Angular e Variação de Espaço Angular
P P0 O
Após justificarmos a necessidade
das definições de grandezas
angulares vamos, agora, conhecer
e analisar estas grandezas.
Para isto, vamos considerar um
móvel realizando movimento
circular. Na figura ao lado seja P0
a posição inicial de um móvel (no
instante t = 0) que realiza um
movimento circular e P a posição
final (no instante posterior t).
arco s arco s0
(espaço final) (espaço inicial)
141
Adotando a origem O e o sentido anti-horário como positivo,
temos:
s0: espaço inicial (arco s0)
s : espaço final (arco s)
Sendo a trajetória circular, aos espaços inicial e final
correspondem ângulos centrais φ0 e φ, denominados,
respectivamente, espaço angular inicial e espaço angular final.
Logicamente, à variação de espaço Δs vai corresponder a variação
de espaço angular Δφ:
Δs = s – s0
Δφ = φ - φ0
Medidas de ângulos
Interessa-nos expressar a medida de um ângulo em graus e,
principalmente, em radianos.
Um grau (o) é o ângulo correspondente a 1 do ângulo de uma
360
volta completa de uma circunferência.
Um radiano (rad) é a medida do ângulo
central que determina na circunferência um
arco cujo comprimento (s) é igual ao raio
(R): s= R. Veja a regra de três simples para
descobrir quanto vale um ângulo qualquer em
radianos: 1 rad R
φ rad s
Daí, vem: s = φ.R
Um radiano corresponde a 57,3o aproximadamente.
142
Outra forma de se obter a mesma relação: da definição de radiano,
temos que um ângulo central qualquer φ fica determinado, em
radianos, pelo quociente do comprimento do arco que ele
“enxerga” pelo raio da circunferência.
Assim, por exemplo, se o raio R da circunferência for igual a 10
cm e o comprimento s for igual a 30 cm, teremos:
φ = s = 30 cm → φ = 3 rad
R 10 cm
Observe que a unidade radiano não tem nenhuma dimensão física,
uma vez que corresponde ao quociente de um comprimento por
outro comprimento. Poderíamos até escrever φ = 3 em vez de
φ = 3 rad. No entanto, esse procedimento não é conveniente, pois
é mais importante que fique
evidenciado o critério adotado
para determinar o ângulo.
φ = s (φ em rad)
R
Portanto, o arco s relaciona-se
com o ângulo φ em radianos por:
φ = s → s = φ.R
R
143
O espaço s é o espaço que determina a posição P na trajetória
do móvel; o ângulo φ também localiza a posição P e por isso é
chamado, como já vimos, de espaço angular φ.
O espaço s é chamado espaço linear para diferenciar do espaço
angular φ. De modo análogo às definições de velocidade escalar e
aceleração escalar, definimos velocidade angular ω (letra grega
ômega minúscula) e aceleração angular γ (letra grega gama
maiúscula). As grandezas angulares φ, ω e γ compõem a velocidade
angular, em contraposição às grandezas lineares já estudadas s, v e
a, que compõem a cinemática linear.
Da relação básica s = φ.R (espaço linear = espaço angular
multiplicado pelo raio) surgem relações semelhantes para a
velocidade e aceleração:
v = ω.R e a = γ .R
144
Velocidade Escalar Média Angular
A velocidade com que o ângulo φ é descrito pelo raio da
circunferência denomina-se velocidade escalar média angular.
Alguns autores a chamam apenas de velocidade angular média.
Representando a velocidade escalar média angular por ωm temos:
ωm = Δφ
Δt
Observe que as definições de vm e ωm são semelhantes: a
velocidade média linear se refere à distância percorrida na unidade
de tempo, enquanto a velocidade média angular se refere ao ângulo
descrito na unidade de tempo.
A velocidade média angular nos fornece uma informação sobre a
rapidez com que um corpo está girando. De fato, quanto maior for
a velocidade média angular de um corpo, maior será o ângulo que
ele descreve por unidade de tempo, isto é, ele estará girando mais
rapidamente.
Relação entre as Velocidades Escalares Médias Angular e Linear
Vamos agora relacionar a velocidade escalar média angular (ωm)
com a velocidade escalar média linear.
Temos que: vm = Δs (I)
Δt
Vimos que s = φ.R e podemos escrever para a velocidade escalar
média a seguinte expressão:
145
Δs = Δφ.R (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos:
vm = R.Δφ = R.ωm → ωm = vm
Δt R
Assim, temos:
A velocidade escalar média angular (ωm) é igual à velocidade
escalar média linear (vm) dividida pelo raio (R) da
circunferência:
ωm = vm
R
Esta fórmula fornece a velocidade escalar média angular (ωm) em
função da velocidade escalar média linear (v) e do raio (R) da
circunferência.
Velocidade Escalar Instantânea Angular
A relação que acabamos de obter para as velocidades médias
também vale para as instantâneas. Se determinarmos a velocidade
média angular do corpo num intervalo de tempo infinitamente
pequeno, Δt → 0, vamos obter a velocidade instantânea angular
desse ponto, chamada de velocidade escalar instantânea angular
146
(ω), ou velocidade angular instantânea ou, ainda, chamada
simplesmente de velocidade angular.
Assim, temos:
A velocidade escalar instantânea angular (ω) é igual à
velocidade escalar instantânea linear (v) dividida pelo raio R
da circunferência:
ω = v
R
Esta fórmula fornece a velocidade escalar instantânea angular (ω)
em função da velocidade escalar instantânea linear (v) e do raio.
Observação: podemos chamar a velocidade escalar média
angular de velocidade média angular ou, ainda, de velocidade
angular média. Da mesma forma, podemos chamar a velocidade
escalar instantânea angular de velocidade instantânea angular
ou velocidade angular instantânea, ou, ainda, velocidade
angular. Cada autor tem sua preferência.
147
CAPÍTULO 33
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Movimento Circular Uniforme (MCU)
Dizemos que um ponto material que descreve uma trajetória
circular tem movimento circular uniforme (MCU) quando sua
velocidade escalar média angular for constante. Veja a figura a
seguir.
VELOCIDADE v (velocidade vetorial instantânea linear)
Enquanto o ponto P descreve uma
circunferência com velocidade v, o
segmento PC (raio) tem velocidade
angular ω.
Sendo constante, a velocidade escalar média angular (ωm) é igual
à velocidade escalar instantânea angular (ω) ou seja:
ω = ωm
148
Como ω é constante, conclui-se que a velocidade v, no movimento
circular uniforme, tem módulo constante (v = ω.R).
É importante notar que só o módulo de v é constante. A direção e
o sentido variam de ponto a ponto.
Período e Frequência/ Movimento Periódico
O movimento circular uniforme (MCU) é o movimento uniforme
realizado em trajetória circular, sendo um movimento periódico,
isto é, repete-se com as mesmas características em intervalos de
tempos iguais.
Vamos definir Período (T) e Frequência (f), grandezas que
comparecem em qualquer movimento periódico.
Período (T)
É o intervalo de tempo mínimo para o movimento repetir-se, com
as mesmas características. Para o movimento circular uniforme, é
o intervalo de tempo decorrido para que o móvel complete uma
volta. Assim, por exemplo, se o móvel completa uma volta em
0,2 s, seu período será: T = 0,2 s.
149
A velocidade angular pode ser relacionada facilmente com o
período. Sendo o movimento uniforme, a velocidade escalar média
angular e a velocidade escalar instantânea angular, em qualquer
instante, coincidem e serão representadas por ω. Ao realizar uma
volta, a variação de espaço Δφ equivale a 2π radianos e o intervalo
de tempo Δt é o período T:
Δφ = 2π rad Δt = T
Como a velocidade angular é ω = Δφ, vem:
Δt
ω = 2π
T
Para o exemplo numérico citado acima (T = 0,2 s) a velocidade
angular será:
ω = 2π ω = 10π rad/s
0,2
Logicamente, tendo em vista a relação entre a velocidade linear v
e a velocidade angular ω, teremos:
v = 2π → v = 2πR
R T T
Chegaríamos ao mesmo resultado considerando que a variação de
espaço Δs = 2πR (perímetro da circunferência) é realizado no
intervalo de tempo t = T.
150
Frequência (f)
Outra grandeza referente ao MCU é a frequência, simbolizada por
f.
Suponha, por exemplo, que uma partícula complete uma volta em
0,1s. Esse valor é o período (T) do movimento. Quantas voltas ela
completa na unidade de tempo, no caso, 1s? Efetuando o cálculo,
percebemos que ela completa 10 voltas por segundo.
Dizemos, então, que essa é a sua frequência (f):
f = 10 voltas/s
Relação entre período e frequência
Para relacionar a frequência com o período, lembre-se de que
f = n .
Δt
Se nessa expressão, fizermos Δt igual a um período (T), o número
de voltas (n) será igual a 1. Assim, teremos:
f = n = 1 → f = 1
Δt T T
Concluímos, então, que a frequência é igual ao inverso do período.
Note que isso já era esperado, pois, quanto mais tempo demora
uma volta (maior período), menos voltas são completadas na
unidade de tempo (menor frequência).
151
Vimos anteriormente que a velocidade angular podia ser expressa
na forma:
ω = 2π, e lembrando que f = 1, obtemos:
T T
ω = 2πf
Também vimos que a velocidade linear podia ser expressa na
forma:
v = 2πR, e lembrando que f = 1, obtemos:
T T
v = 2πRf
Aceleração Centrípeta
No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da
partícula permanece constante e, então, a partícula não possui
aceleração tangencial. Entretanto, como a direção do vetor
velocidade varia continuamente, a partícula possui uma aceleração
centrípeta acp. Na figura a seguir estão representados os vetores v e
acp em quatro posições diferentes da partícula. Observe que o vetor
acp tem direção do raio e aponta sempre para o centro da
circunferência.
152
Então, conforme vimos acima, a aceleração acp no MCU é sempre
perpendicular à velocidade v. Se não fosse, ela admitiria uma
componente tangencial at que atuaria ou aumentando ou
diminuindo o módulo de v. Como o módulo permanece constante,
a aceleração centrípeta acp é sempre perpendicular à velocidade v.
Sendo perpendicular a v, a aceleração a tem sempre a direção do
raio. Por essa razão, denomina-se aceleração centrípeta (acp).
Sabemos, portanto, que a direção da aceleração centrípeta é radial
(coincide com a direção do raio da circunferência em cada ponto)
e o sentido é orientado para o centro.
Pode-se deduzir que o módulo da aceleração centrípeta acp é:
acp = v2
R
Da expressão ω = v/R, pode-se obter a expressão da aceleração
centrípeta em função da velocidade angular:
acp = ω2R
153
Função Horária do espaço angular
Considere uma partícula em movimento circular uniforme (MCU).
Seja φ0 seu espaço angular inicial ou fase inicial, isto é, o espaço
angular ou fase no instante t0 = 0. Seja φ seu espaço angular ou fase
num instante t qualquer.
No MCU, a velocidade escalar média angular e a velocidade
escalar instantânea angular têm sempre o mesmo valor. Assim,
podemos escrever, no intervalo de t0 a t:
ω = Δφ = φ – φ0
Δt t – t0
ω = φ – φ0 → φ = φ0 + ωt
t
A expressão que acabamos de obter é a função horária do espaço
angular. Observe que ela é muito parecida com a função horária
do espaço linear, que, evidentemente continua válida e é dada por:
s = s0 + vt.
Notas:
1.) A função horária do espaço angular pode ser obtida a partir da
função horária do espaço linear, dividindo-se todos os termos desta
última pelo raio (R) da circunferência. De fato, sendo
s = s0 + vt e dividindo todos os termos por R:
s = s0 + v t, obtemos: φ = φ0 +ωt.
R R R
154
2.) No gráfico da velocidade escalar média angular em função do
tempo, a área A entre o gráfico e o eixo dos tempos, calculada entre
dois instantes, expressa o deslocamento angular Δφ entre esses
instantes. Observe que essa propriedade é análoga àquela já usada
no gráfico da velocidade escalar linear (v) em função do tempo, a
“área” fornece o deslocamento linear Δs.
Transmissão de movimento circular uniforme
Há duas maneiras básicas de transmitir movimento circular entre
duas rodas: por contato, figura 1, e por correia, figura 2.
No primeiro caso, a fim de evitar deslizamentos, utilizam-se
engrenagens cujos dentes se adaptam.
155
No segundo caso, também é possível o uso de engrenagens,
substituindo-se a correia por uma corrente cujos elos se adaptam
aos dentes da engrenagem, como ocorre nas bicicletas.
Observe que, na transmissão por contato, o sentido do movimento
é invertido, ao passo que na transmissão por correia o sentido do
movimento é conservado.
Em ambos os casos, as velocidades lineares dos pontos periféricos
das duas rodas, em cada instante, são iguais:
vA = vB
Considerando que vA = ωARA e vB = ωBRB, obtemos:
ωARA = ωBRB
156
Portanto, em cada instante, a velocidade angular é inversamente
proporcional ao raio da roda. Em outros termos, os pontos da roda
menor têm maior velocidade angular.
Caso os movimentos sejam uniformes, temos:
ωA = 2πfA e ωB = 2πfB
Na expressão anterior (ωARA = ωBRB):
2πfA.RA = 2πfB.RB → fA.RA = fB.RB
Assim, no caso de se transmitir um movimento circular uniforme,
a frequência é inversamente proporcional ao raio da roda.
Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
O movimento circular uniformemente variado não é periódico,
uma vez que, sendo a aceleração linear não-nula, cada volta é
realizada em intervalos de tempos diferentes, não se podendo
definir período ou frequência para esse movimento.
No MCUV a aceleração escalar média angular coincide com a
aceleração escalar instantânea angular, sendo indicada por γ.
Considere um móvel realizando um movimento circular
uniformemente variado. Seja P0 a posição do móvel no instante t =
0, caracterizada pelo espaço inicial s0 e pela velocidade inicial v0.
As equações horárias do espaço s e da velocidade v e a equação de
Torricelli são as seguintes:
s = s0 + v0t +1at2
2
157
v = v0 + at
v2 = v02 + 2aΔs
Considerando as grandezas angulares, sendo φ0 o espaço angular
inicial, ω0 a velocidade angular inicial e γ a aceleração angular,
podemos obter as respectivas equações angulares dividindo as
expressões anteriores pelo raio R da trajetória ou por R2, no caso
da última:
s = s0 + v0 t + a . t2 → φ = φ0 +ω0t +γt2
R R R R 2 2
v = v0 + a t → ω = ω0 + γt
R R R
v2 = v02 + 2.a. Δs → ω2 = ω0
2 + 2γΔφ
R2 R2 R R
158
CAPÍTULO 34
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
Introdução
Imagine a seguinte situação: uma pessoa quer ir de um piso a outro
em um Shopping, e utiliza, para isso, uma escada rolante.
Inicialmente esta pessoa está sendo levada pela escada rolante e sua
velocidade em relação a ela é nula. A escada rolante, por sua vez,
apresenta uma velocidade não-nula em relação ao piso. Suponha
que, instantes depois, a pessoa, com pressa, comece a se
movimentar, subir, os degraus, ao invés de apenas ser levada.
Note que agora ela está em movimento em relação à escada e a
escada está em movimento em relação ao piso. Neste caso, temos
a composição, junção, de dois movimentos, e um observador
veria se movimentar um corpo animado de duas velocidades.
Lembrando que a velocidade é uma grandeza vetorial, podemos
concluir que a velocidade observada para o corpo será a resultante
das velocidades que ele possui. Portanto, a pessoa no exemplo
citado, se deslocará com uma velocidade igual à soma vetorial da
velocidade dela em relação à escada rolante com a velocidade da
escada em relação ao piso.
159
Imagine agora outra situação: um rapaz está sentado dentro de um
ônibus em movimento. O ônibus apresenta uma velocidade em
relação ao solo. Quando o rapaz vai descer, ele se movimenta para
a porta de saída. Para uma pessoa que olha da calçada, ela perceberá
dois movimentos: o do rapaz em relação ao ônibus e do ônibus em
relação ao solo. Note que o seu movimento resultante depende das
duas velocidades que ele tem. Neste caso, como no exemplo
anterior, temos a composição (junção) de movimentos.
A seguir, vamos conhecer a equação que nos permite obter a
resultante dos movimentos que agem em relação a alguém ou a
alguma coisa.
Velocidade relativa, de arrasto (ou de arrastamento) e resultante
A equação da composição de movimentos, ou seja, a equação que
nos permite saber a velocidade resultante de um determinado
movimento, será dada por:
vresultante = vrelativa + varrasto
Vamos entender estas três parcelas da equação.
No exemplo dado, a velocidade relativa é a velocidade que a
pessoa tem em relação à escada rolante. A velocidade de arrasto
(ou de arrastamento) é a que a escada rolante tem em relação ao
piso. E finalmente, a velocidade resultante é a velocidade da
pessoa em relação ao piso, em outras palavras, é a resultante
(resultado) da soma das duas velocidades.
Uma forma de saber qual é, num exercício dado, a velocidade
relativa é perceber que ela depende do esforço do corpo, no caso,
a pessoa que é levada pela escada, e que, de repente se movimenta
em relação à escada, demandando agora um esforço.
160
A forma de perceber qual é a parcela da velocidade de arrasto é
perceber que esta velocidade não depende do esforço do corpo.
De fato, a pessoa não influi no movimento da escada em relação ao
piso.
Com relação ao outro exemplo, o do ônibus, temos que a
velocidade relativa é a velocidade que a pessoa tem em relação ao
ônibus e a velocidade de arrasto é a que o ônibus tem em relação
ao solo. Compondo estas duas velocidades encontraremos a
velocidade resultante (velocidade da pessoa em relação ao solo),
ou seja, a soma vetorial destas velocidades nos dará a velocidade
real que o corpo tem em relação a um observador.
Vamos aprofundar estes conhecimentos citando um terceiro
exemplo.
Considere um barco navegando em um rio. Sejam vrel a velocidade
relativa, velocidade do barco em relação às águas, e varr a
velocidade das águas em relação às margens.
vrel varr Correnteza
O barco tem, portanto, dois movimentos parciais: o movimento
relativo, provocado pelo motor em relação às águas, com
velocidade vrel, e o movimento de arrastamento, provocado pela
correnteza (pelas águas em relação às margens), com velocidade
varr.
161
Fazendo a composição desses movimentos, o barco apresentará
em relação às margens um movimento resultante com velocidade
vres. Essa velocidade resultante é dada pela soma vetorial de vrel
com varr, como mostra a figura a seguir.
vrel
vres
varr
vres = vrel + varr
Observe que o movimento provocado pelo motor do barco
(movimento relativo) é o que ele teria se o rio não tivesse o
movimento em relação às margens (a correnteza).
Observação:
Também podemos escrever a equação da composição de
movimentos (vresultante = vrelativa + varrasto) da seguinte forma:
v13 = v12 + v23
onde 1 é o arrastado (ou seja, o que faz esforço, ou senão, é apenas
levado, conduzido), 2 é o que arrasta (nos exemplos, a escada
rolante, o ônibus e as águas) e 3 é o referencial fixo (nos exemplos,
o piso, o solo e as margens do rio).
162
Portanto, temos que a velocidade resultante, velocidade do
arrastado em relação ao referencial fixo, é igual à soma das
velocidades do arrastado em relação ao que arrasta e a velocidade
do que arrasta em relação ao referencial fixo.
Casos particulares notáveis
Simbolizando por vres, vrel e varr os módulos de vres, vrel e varr,
respectivamente, temos, para o exemplo do barco:
1.) O barco “desce o rio” (navega a favor da correnteza)
vres = vrel + varr
Obs.: Na figura vc é a velocidade da correnteza (água em relação
às margens).
2.) O barco “sobe o rio” (navega contra a correnteza)
vres = vrel - varr
163
3.) O barco é dirigido perpendicularmente à correnteza
Teorema de Pitágoras:
v2res = v2
rel + v2arr
Independência das Velocidades
Pegando o exemplo 3 acima, em que o barco é dirigido
perpendicularmente à correnteza, notamos que a velocidade do
barco e a da correnteza são perpendiculares entre si. Isso significa
que a velocidade da correnteza não tem componente na direção do
barco e, portanto, a correnteza não terá nenhuma influência no
tempo que o barco gasta para atravessar o rio. Consequentemente,
haja correnteza ou não, o tempo de travessia será o mesmo, pois o
efeito da correnteza é unicamente de deslocar o barco rio abaixo.
Do mesmo modo, sendo nula a componente da velocidade do
barco na direção da correnteza, a velocidade do barco não terá
influência no seu movimento rio abaixo. Logo, as velocidades são
independentes.
Em outras palavras:
Quando um corpo está animado, simultaneamente, por dois
movimentos perpendiculares entre si, o deslocamento na direção
de um deles é determinado apenas pela velocidade naquela direção.
164
Essa independência de dois movimentos simultâneos e
perpendiculares foi observada, experimentalmente, por Galileu:
deixando um objeto A cair verticalmente, no mesmo instante,
lançando horizontalmente um objeto B, Galileu verificou que
ambos caem simultaneamente, gastando o mesmo tempo para
atingir o solo. O objeto A, em queda livre, tem apenas a velocidade
vertical vy. O objeto B está animado de dois movimentos
perpendiculares, possuindo, além da velocidade vy de queda, uma
velocidade horizontal vH, devida ao impulso do lançamento. Como
A e B gastam o mesmo tempo para cair, Galileu concluiu que a
velocidade vH não influi no movimento de queda do corpo B, isto
é, as velocidades vH e vy atuam, simultaneamente, sobre B,
independente uma da outra.
165
CAPÍTULO 35
ADENDO: FERRAMENTAS MATEMÁTICAS
SISTEMA INTERNACIONAL
SISTEMA MÉTRICO DE UNIDADES
A partir deste Capítulo vamos apresentar algumas ferramentas
matemáticas muito úteis para o desenvolvimento da Cinemática.
MEDIDAS: Desde o surgimento das civilizações, fazia-se necessário medir as coisas, como a altura de uma torre, a duração do ano, a extensão do Império. No início, foram usadas unidades baseadas em partes do corpo humano. Na Inglaterra, por exemplo, eram usadas as seguintes unidades de comprimento:
Jarda: definida como a distância do nariz do rei e a extremidade do seu polegar. (Observação-Atualmente, apesar de não ser mais usual, esta unidade é bem definida: 1 jarda = 91,44 cm)
Pé: correspondia ao comprimento do pé do rei. (Observação-Atualmente, apesar de não ser mais usual, esta unidade é bem definida: 1 pé = 30,48 cm)
Polegada: equivalia à largura do polegar do rei. (Observação-Atualmente, apesar de não ser mais usual, esta unidade é bem definida: 1 polegada = 2,54 cm).
Note o problema: quando o rei era substituído, as unidades mudavam! Este problema existia não só com as unidades de comprimento, mas também com as unidades de várias outras grandezas. A desvantagem desses sistemas estava, então, na imprecisão ao medir (na falta de rigor ao medir) e na arbitrariedade da escolha, faltando bom senso. Se um rei gordo usasse sua mão para medir as polegadas, o resultado seria diferente do obtido por um rei magro. Além disso, cada país definia suas próprias unidades de medida, e isso trazia dificuldades no intercâmbio entre eles. Como cada país fixava o seu próprio padrão, as transações comerciais e as trocas de informação científica entre esses países se tornavam muito difíceis. Discutir um problema utilizando unidades diferentes para uma mesma grandeza é tão difícil quanto discutir um assunto em que cada pessoa se expressa numa língua diferente. Podemos destacar ainda outra inconveniência das unidades antigas: seus múltiplos e submúltiplos não eram decimais, o que dificultava enormemente a realização das operações matemáticas com as medidas.
166
Processo de unificação das medidas -Para tentar unificar as medidas, o governo republicano francês pediu à Academia de Ciências da França, em 1789, que criasse um sistema baseado numa constante natural. Assim, foi criado o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL, constituído de três unidades básicas: metro (m), litro (l) e quilograma (kg). Metro (m): O metro já foi definido de vários modos diferentes e cada vez mais sofisticados. Inicialmente, foi definido tomando-se a Terra como base para a escolha da unidade de comprimento: foi definido como um décimo milionésimo (1/107) do arco que vai do polo Norte ao equador. Em 1889, foi construído um modelo de padrão de comprimento que passou a ser um padrão internacional, adotado por todos os países: uma barra de platina-irídio sobre a qual foram feitas duas marcas. A distância entre essas duas marcas corresponde ao metro padrão, à temperatura de 0° C. Atualmente, o metro é definido de modo muito mais preciso: 1 metro é o comprimento percorrido pela luz no vácuo durante 1/299792458 de segundo. Litro (l): Unidade escolhida para medir volumes. Definida como “o volume de um decímetro cúbico”. Apesar de não ser mais considerado uma unidade de base, o litro permanece bastante usado na prática, como medida de capacidade para líquidos. Quilograma (kg): Unidade escolhida para medir massa. Definida como “a massa de um litro de água na temperatura de 4,44°C”. Para torná-lo visível, construiu-se em 1799 um cilindro de platina iridiada, de diâmetro e altura iguais a 39 centímetros. Ainda, sobre o sistema métrico decimal adotado, os prefixos dos múltiplos e submúltiplos foram escolhidos de modo racional, usando-se prefixos gregos e latinos (quilo = 103, mili = 10⁻3, deca = 10, deci = 10⁻1 etc.).
-O Brasil aderiu à chamada convenção do metro em 20 de maio de 1875, quando 17 países apoiavam a proposta. Nessa convenção criou-se o Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), situado próximo de Paris, com a missão de assegurar a unificação mundial das medidas físicas.
-A partir de 1889, foram sancionados novos protótipos internacionais para o metro e o quilograma. Essas duas grandezas, além do tempo, medido em segundos (s), constituíram a base do novo sistema de unidades.
-Em 1946, foi acrescentada uma unidade de base de natureza elétrica: o ampère (A). -Uma pesquisa mundial do BIPM, em 1954, introduziu mais duas unidades de base ao sistema: o kelvin (k) que é a medida de temperatura padrão, e a candela (cd), que é a medida da intensidade luminosa padrão.
167
Sistema Internacional de Unidades (SI)
-O sistema, então com seis unidades de base, recebeu o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI) em 1960, durante a 11ₐ Conferência de Pesos e Medidas, também realizada em Paris, e assim, o Sistema Métrico foi reestruturado. O SI é ainda baseado no Sistema Métrico Decimal, mas suas unidades são definidas de maneira mais rigorosa e atualizada.
-Em 1971, o mol (mol) foi introduzido como unidade de base para medir a quantidade de matéria, elevando o número de unidades de base para sete.
Vale lembrar que as definições de unidades de base estão sendo constantemente atualizadas, de acordo com as novas exigências tecnológicas e científicas. O Brasil adotou o SI em 1962. Em 1988, o Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (Conmetro) ratificou a adoção do SI no país e tornou seu uso obrigatório em todo o território nacional.
TABELA DAS UNIDADES DE BASE DO SI:
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma Kg
Tempo Segundo s
Intensidade Corrente Elétrica
Ampère A
Temperatura Termodinâmica
Kelvin K
Quantidade de matéria
Mol Mol
Intensidade Luminosa
Candela cd
168
CAPÍTULO 36
DEFINIÇÃO DE MEDIDA
SISTEMAS DE MEDIDA
CONVERSÃO ENTRE MEDIDAS E PREFIXOS
USADOS
Medir uma grandeza física significa encontrar um número que indique quantas vezes ela contém uma unidade de medida.
Outros Sistemas de Medida
O SI é também denominado MKS, em que as letras M, K e S correspondem às iniciais de três unidades do SI:
Comprimento Massa Tempo
MKS m kg s
Existem ainda dois outros sistemas, o CGS e o MkgfS.
Comprimento Massa Tempo
CGS cm g s MKgfS m u.t.m. s
Observação: u.t.m. = unidade técnica de massa
O ideal é usarmos apenas as unidades de SI, mas é comum o emprego, em algumas situações, das unidades dos sistemas CGS e MKgfS.
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CONVERSÃO ENTRE AS MEDIDAS E PREFIXOS USADOS
Você já se perguntou por que usamos tantas unidades para medir o comprimento de algo? A unidade oficial para medir o comprimento, como já vimos, de acordo com o SI, é o metro. Mas muitas vezes usamos outras unidades, como o quilômetro, o milímetro, o centímetro etc. Estes são os múltiplos e submúltiplos do metro. São usados por que muitas vezes não é cômodo medir nessa unidade (metro) comprimentos muito maiores ou menores que ele. Por exemplo, é mais adequado: -medir o comprimento de um palito de fósforo em centímetros que em metros; -medir a espessura de um vidro de janela em milímetros que em metros; -dar a distância entre duas cidades em quilômetros que em metros. O centi, o mili e o quilo são palavras antepostas a uma unidade de medida e são chamados prefixos. Cada prefixo corresponde a uma potência de dez. A seguir, vamos apresentar um método bastante interessante de converter uma unidade de medida em outra. Explicaremos o método passo a passo. Inicialmente, vamos construir uma Tabela contendo sete divisões e preenchendo-a como mostrado abaixo: Inicialmente, vamos construir uma Tabela contendo sete divisões e preenchendo-a como mostrado abaixo: Kilo Hecto Deca deci centi mili
K H da d c m
CRESCE DECRESCE
OBSERVAÇÃO: ESSA TABELA SERÁ SEMPRE COLOCADA DESTA FORMA, OU SEJA, SUA ESTRUTURA INICIAL É ESTA ACIMA, E DEPOIS, DE ACORDO COM A UNIDADE QUE QUISERMOS TRANSFORMAR, FAREMOS OS AJUSTES NECESSÁRIOS. A segunda observação a fazer é que lidamos com o sistema métrico decimal, e que na parte escrita decresce a unidade vai diminuir dez vezes na casa deci, cem vezes na casa centi e mil vezes na casa mili; em outras palavras, na casa deci teremos a unidade se transformando em um décimo da inicial, na casa centi a unidade diminui um centésimo da inicial e na casa mili a unidade diminui um milésimo da inicial. Já na parte escrita cresce a unidade vai aumentar dez vezes na casa deca (se o seu time ganhar dez vezes, ele será deca campeão!), cem vezes na casa hecto e mil vezes na casa quilo. Esta Tabela deve ser feita sempre que você quiser converter as unidades. Você verá, nos exemplos, que ela será muito útil e fácil de ser aplicada.
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Vamos aos exemplos.
Converta as unidades abaixo de acordo com o que se pede:
A) 0,00000053 km =.........................................................mm
B) 0,00234cm =.................................................................dam
Para resolver, vamos retornar à nossa tabela, preenchendo-a com a letra m da
nossa unidade de medida: Kilo Hecto Deca deci centi mili
Km Hm dam m dm cm mm
CRESCE DECRESCE
a) Para transformarmos nossa unidade de km para mm, no exercício a, teremos que deslocar a unidade de km para mm; então, teremos que fazer a unidade “andar” seis casas à direita, segundo a nossa tabela dada, e deslocaremos a vírgula, então, seis casas à direita, ou, em outras palavras a unidade se transforma, percorrendo seis casas decimais:
0,00000053km =
(Obs.: Lê-se o número acima assim: o primeiro zero depois da vírgula lê-se décimo; o segundo lê-se centésimo; o terceiro: milésimo; o quarto: décimo de milésimo; o quinto lê-se centésimo de milésimo e o sexto: milionésimo; o sétimo lê-se 5 décimos de milionésimos, o 3 lê-se 3 centésimos de milionésimos. Então, o número todo será lido dessa forma: “ Cinquenta e três centésimos de milionésimos”).
Resolvendo, vem:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,53 km = 0,53 mm, ou seja, a resposta é 0,53 mm
b) Em b, temos que transformar a unidade de centímetro para decâmetro, e, de acordo com nossa tabela, teremos que fazer a unidade “andar” três casas à esquerda. Portanto, a vírgula se deslocara três casas à esquerda:
0,00234 cm = 0, 00, 2, 3,4 cm = 0,234 dam
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Agora veremos mais exemplos, só que de transformação de unidades de massa; e para isso, no lugar de m na região central, colocaremos o g, símbolo de medida de grama. O grama não é a unidade de medida padrão do SI, que é o kg, mas para nossa transformação, é o grama que terá que ser colocado no lugar do metro. Então, vejamos:
Converta as unidades abaixo conforme se pede:
A) 0,0000000000026 cg (centigrama) =..........................................kg
B) 0,000935 hg (hectograma) =.......................................................mg
Então, novamente lançaremos mão de nossa Tabela, e, na parte central preencheremos com a letra g; e nos outros quadrados, preencheremos cada uma das partes com o g como complemento:
Kilo Hecto Deca deci centi mili
Kg Hg dag g dg cg mg
CRESCE DECRESCE
0,0000000,0, 0, 0, 2,6 cg = 0,00026 kg
b) Para transformar a unidade de hectograma para miligrama, teremos que fazê-la “andar” cinco casas à direita, e a resposta será 93,5 mg, que fica como exercício para você fazer.
Agora faremos a conversão de unidades com o expoente quadrado ou cúbico, como nos exemplos abaixo. Converter as unidades conforme se pede: A) 12 dam2 (decâmetros quadrados) = .....................................mm2 (milímetros quadrados) B) 0,014 cm3 (centímetros cúbicos) = ................................hm3 (hectômetros
cúbicos)
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Note que agora a unidade central será o m2 (metro quadrado) no exercício a, e será o metro cúbico no exercício b, portanto, quando a unidade mudar de casa, ao invés da vírgula “andar” uma casa, vai se deslocar, agora, duas casas ou três casas, conforme o expoente seja dois ou três, a cada transformação.
E a Tabela ficará, para o metro quadrado, como a tabela abaixo:
Kilo Hecto Deca deci centi mili
Km2 Hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
CRESCE DECRESCE
E, para o metro cúbico, ficará como esta outra Tabela abaixo:
Kilo Hecto Deca deci centi mili
Km3 Hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
CRESCE DECRESCE
Vamos resolver a questão a:
12 dam2 =
Para transformar a unidade de dam2 para mm2, percebemos que haverá quatro transformações necessárias, mas agora com cada casa valendo por duas (já que o expoente agora é dois), ou seja, na transformação a vírgula se desloca duas vezes a cada casa, totalizando oito casas decimais e, portanto, a vírgula se desloca oito casas, no caso, à direita.
Então, teremos:
12 dam2 = 12, 00, 00, 00, 00 = 1.200.000.000mm2
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Vamos resolver, agora, a questão b: 0,014 cm3 = Para transformarmos a unidade de cm3 para hm3, devemos fazer quatro transformações, como podemos ver em nossa Tabela acima. Como nossa unidade central, o m3, tem o expoente elevado a três, devemos deslocar a vírgula três vezes a cada transformação, ou seja, a cada casa “andada”. Como são quatro as transformações, nossa vírgula se desloca doze vezes; sendo assim, teremos: 0,014 cm3 = 0,000. 000.000.000.014 hm3
Observação:
Valor Nome Quantidade de casas (decimais)
10-1 Décimo 1
10-2 Centésimo 2
10-3 Milésimo 3
10-4 Décimo de milésimo 4
10-5 Centésimo de milésimo 5
10-6 Milionésimo ...
10-7 Décimo de milionésimo
10-8 Centésimo de milionésimo
10-9 Bilionésimo
10-10 Décimo de bilionésimo 10
10−11 Centésimo de bilionésimo 11
10-12 Trilionésimo 12
10-13 Décimo de trilionésimo 13
10-14 Centésimo de trilionésimo 14
10-15 Quatrilhonésimo 15
10-16 Décimo de quatrilhonésimo ...
10-17 Centésimo de quatrilhonésim
10-18 Quintilhonésimo
10-19 Décimo de quintilhonésimo
10-20 Centésimo de quintilhonésimo
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CAPÍTULO 37
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Qual a diferença entre os números 2 2,0 e 2,00? .
O número 2,00 é o mais preciso.
Para explicarmos o que é algarismo significativo, usaremos exemplos. Imagine uma régua, como a da figura a seguir, com a precisão em cm, ou seja, sua graduação é dada em cm ou, de outra forma, sua menor subdivisão é o centímetro, e suponha que será usada para medir um comprimento qualquer, como o da linha abaixo:
Note que podemos afirmar ser a medida maior que 4 cm e menor que 5 cm, por que, efetivamente, temos essa medida ultrapassando 4 cm. Imagine que uma pessoa olhando diga que a linha mede 4,5 cm. Já outra pessoa diga que é 4,6 cm, e, uma terceira pessoa, ache que a medida é 4,7 cm. Então, observamos que o que se tem certeza é o número 4, e o outro número é duvidoso, é avaliado, é “chutado”, como se diz comumente. O mesmo ocorre com esta outra régua, à direita,
também graduada em cm: podemos dizer que o
objeto mede 4 cm e “alguma coisa”, e essa medida
pode ser 4,6 cm ou 4,7 cm ou 4,8 cm e
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Observando a régua abaixo, responda no que ela difere, em termos de medida, das outras já vistas. Você pode perceber que ela é mais precisa que as anteriores, isto porque é graduada em mm. O que se tem certeza é que a medida é maior que quatro e menor que 5. Observando mais atentamente, vemos que ela fica entre 4,6 e 4,7. Alguém poderia dizer que o tamanho do objeto é 4,65, outro diria que é 4,66 etc. Observe que temos, neste caso, dois algarismos certos, confiáveis, o 4 e o 6, e um duvidoso, “chutado”, incerto. Para encontrar este número duvidoso, temos que dividir mentalmente o espaço dos mm entre 4,6 e 4,7 em dez, e chegar a um valor avaliado, incerto. Finalmente, observe as réguas abaixo. Cada conjunto apresenta a graduação em cm e em mm, respectivamente. Note que a segunda régua de cada exemplo será mais precisa do que a primeira.
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De posse destes conhecimentos já podemos definir o que são os algarismos significativos numa medida.
Algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro, somente o primeiro, duvidoso. No resultado de uma medida devem figurar somente os algarismos significativos. Esta maneira de proceder é adotada convencionalmente entre os físicos, os químicos e, em geral, por todas as pessoas que realizam medidas. Então, devemos apresentar o resultado apenas com algarismos significativos. Esta convenção é adotada na medida de comprimentos, massas, temperaturas, forças etc. Percebemos que o número de algarismos significativos depende do instrumento utilizado. Quanto mais preciso o instrumento, como no caso da segunda régua em relação à primeira, maior o número de algarismos significativos. Ainda, se alguém dissesse, olhando o da régua abaixo, que a medida vale 4,6689 isto seria um grande absurdo, por que, com o instrumento utilizado é impossível conseguir perceber esta precisão.
Existe um instrumento chamado paquímetro que poderia fornecer a precisão maior do que a dada pela régua:
Paquímetro digital
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Paquímetro Analógico
Mas o que nos interessa é apresentar o conceito de algarismo significativo. Uma importante observação será dada através desse exemplo: Transformemos a medida l = 4,75 cm em quilômetros. Obteremos: l = 0000475 km. Se inicialmente a medida dada em cm apresentava três algarismos significativos, agora, expressa em km, com quantos ficou? Como a precisão da medida não foi alterada, pois nenhum outro instrumento foi usado para obtê-la, a quantidade de algarismos significativos continua igual a três. Os zeros à esquerda do 4 servem apenas para posicionar a vírgula que traduz a nova unidade em que a medida de l está dada. Assim, os zeros que precedem o 4 não são algarismos significativos. Zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não constituem algarismos significativos. Já os zeros à direita do primeiro algarismo diferente de zero constituem algarismos significativos, desde que enquadrados na definição apresentada. Ainda, observe os exemplos a seguir:
10,4 3 algarismos significativos
2003 4 algarismos significativos
2,54. 103 3 algarismos significativos
2,30. 1016 3 algarismos significativos
370,0 4 algarismos significativos
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Operações com Algarismos Significativos Adição e Subtração Suponha que se deseje adicionar as seguintes parcelas:
2.807,5 0,0648 83,645 525,35 Para que o resultado da adição contenha apenas algarismos significativos, você deve, inicialmente, observar qual (ou quais) das parcelas possui o menor número de casas decimais. Em nosso exemplo, esta parcela é 2.807,5, que possui apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida como está. As demais parcelas deverão ser modificadas, de modo a ficar com o mesmo número de casas decimais que a primeira escolhida, abandonando-se nelas tantos algarismos quantos forem necessários. Assim, na parcela 0,0648 devemos abandonar os algarismos 6, 4 e 8. Ao abandonarmos algarismos em um número, o último algarismo mantido deverá ser acrescido de uma unidade se o algarismo abandonado for superior a 5 (regra de arredondamento). Então, a parcela citada 0,0648 deverá ser escrita como 0,1.
Na parcela 83,645 devemos abandonar os algarismos 4 e 5. Quando o primeiro algarismo abandonado for inferior a 5, o último algarismo mantido permanecerá invariável; logo, a parcela 83,645 fica reduzida a 83,6.
Finalmente, na parcela 523,35 devemos abandonar o algarismo 5. Quando o algarismo abandonado for exatamente igual a 5, será indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido. De qualquer maneira, as respostas diferirão, em geral, apenas no último algarismo e isto não tem importância, pois ele é um algarismo incerto. Podemos, então, escrever a parcela 523,35 indiferentemente como 523,3 ou 523, 4.
Vejamos como efetuaremos a adição:
2.807,5 permanece inalterada............................ 2.807,5 0,6480 passa a ser escrita................................... 0,1 83,645 passa a ser escrita................................... 83,6 523,4 passa a ser escrita................................... 523,4 ------------------- 3.414,6 (RESULTADO) Na subtração deve-se seguir o mesmo procedimento.
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Multiplicação e Divisão Suponha que desejemos, por exemplo, multiplicar 3,67 por 2,3. Realizando normalmente a operação, encontramos:
3,67 2,3 = 8,441 Entretanto, procedendo desta maneira, aparecem, no produto, algarismos que não são significativos. Para evitar isto, devemos observar a seguinte regra: verificar qual o fator que possui o menor número de algarismos significativos e, no resultado, manter apenas um número de algarismos igual ao deste fator. Assim, no exemplo anterior, como o fator que possui o menor número de algarismos significativos é 2,3, devemos manter, no resultado, apenas dois algarismos, isto é, o resultado deve ser escrito da seguinte maneira:
3,67 2,3 = 8,4
Na aplicação, desta regra, ao abandonarmos algarismos no produto, devemos seguir o critério de arredondamento que analisamos ao estudar a adição. Procedimento análogo deve ser seguido ao efetuarmos uma divisão.
Ainda, quando realizamos uma mudança de unidades, devemos tomar cuidado para não escrever zeros que não sejam significativos. Por exemplo, suponha que queiramos expressar, em gramas, uma medida de 7,3 kg. Observe que esta medida possui dois algarismos significativos, sendo duvidoso o algarismo 3. Se escrevêssemos 7,3 kg = 7.300 gramas estaríamos dando a ideia errônea de que o 3 é um algarismo correto, sendo o último zero acrescentado o algarismo duvidoso. Para evitar esse erro de interpretação, lançamos mão da notação de potência de 10 e escrevemos
7,3 kg = 7,3 103 gramas
Desta maneira, a mudança de unidades foi feita e continuamos a indicar que o 3 é o algarismo duvidoso.
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CAPÍTULO 38
NOTAÇÃO CIENTÍFICA: POTÊNCIAS DE DEZ
EXERCÍCIOS
Notação Científica: Potências de Dez
Como você já sabe a unidade oficial para medir comprimentos é o metro. Entretanto, não é cômodo medir nessa unidade comprimentos muito maiores ou muito menores que ele. Por isso, é necessário aprender a lidar com múltiplos e submúltiplos do metro. Por exemplo, é mais adequado:
Medir o comprimento de um palito de fósforo em centímetros que em metros;
Medir a espessura de um vidro de janela em milímetros que em metros;
Dar a distância entre duas cidades em quilômetros que em metros.
Com relação à massa de um corpo, o problema se repete. O grama (g) é uma unidade usada para medir massa. Nem sempre, porém, é adequado usar essa unidade:
Não é comum pedir 3.000 gramas de carne ao açougueiro; em vez disso, pedimos 3 quilogramas;
Na composição do comprimido de um medicamento, é mais adequado, de forma geral, usar o miligrama que o grama.
Note que, nos exemplos dados até aqui, aparecem as palavras centi, mili e quilo, acompanhando unidades de comprimento, massa, tempo, dentre outras, assim, obtemos múltiplos ou submúltiplos dessas unidades.
Ainda, se nos disserem que uma dada célula tem cerca de dois quatrilhões de átomos (2.000.000.000.000.000.000), ou que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 5 milionésimos (0, 000.000.005), dificilmente seremos capazes de assimilar estas ideias.
Isso ocorre por que estes números estão afastados dos valores que os nossos sentidos estão acostumados a perceber. Estão fora do nosso quadro de referências. No estudo da Física, encontramos, frequentemente, grandezas como estas, que são expressas por números muito grandes ou muito pequenos, pois a Física lida com o mundo microscópico e macroscópico.
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A apresentação escrita ou oral destes números, da maneira como foram descritos acima, é muito incomoda e trabalhosa. Para contornar o problema, é usual apresentar estes números em forma de
potências de dez, como veremos a seguir. Este novo tipo de notação, além de
ser mais compacto, nos permite uma rápida comparação destes números entre
si e facilita a realização de operações com eles.
COMO ESCREVER OS NÚMEROS NA NOTAÇÃO DE POTÊNCIA DE DEZ
Consideremos um número qualquer, por exemplo, o número 842. Ele poderá ser expresso da seguinte forma:
842 = 8,42 100 = 8,42 102 Observe que o número 842 foi expresso como sendo o produto de 8,42 por uma potência de dez (no caso, 102). Tomemos, agora, outro número, por exemplo, 0,0037. Podemos escrever:
0,0037 = 3,7 = 3,7 = 3,7 10-3
1.000 103
Novamente, temos um número expresso pelo produto de um número entre 1 e 10 (no caso, 3,7) por uma potência de dez (no caso, 10-3).
Baseando-se nestes exemplos, chegamos à seguinte conclusão:
UM NÚMERO QUALQUER PODE SER EXPRESSO COMO O PRODUTO DE UM NÚMERO COMPREENDIDO ENTRE 1 E 10 POR UMA POTÊNCIA DE DEZ ADEQUADA. Esta é a forma de se escrever um número na notação de potência de dez, também chamada de Notação científica. REGRA PRÁTICA PARA SE OBTER A POTÊNCIA DE DEZ ADEQUADA:
a) Colocar o número 62.300 na notação de potência de dez. Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda; este número nos fornece o expoente de dez positivo.
Assim: 62.300 = 6,32 104
(Quatro casas)
b) Colocar o número 0,00002 em forma de potência de dez. Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada à direita; este número nos fornece o expoente de 10 negativo.
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Assim: 0,00002 = 2 10-5
Portanto, o número de átomos citado na célula (dois quatrilhões) pode ser
escrito do seguinte modo: 2 1015.
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DE DEZ
Você pode perceber facilmente que seria trabalhoso e complicado
efetuar operações com os números muito grandes ou muito pequenos,
quando escritos de forma comum.
Quando estes números são escritos na notação de potências de dez,
estas operações tornam-se bem mais simples, seguindo as leis
estabelecidas pela Álgebra, para as operações com potências.
Os exemplos a seguir ajudarão a recordar estas leis.
0,0021 30.000.000 = (2,1 10-3).(3 107) = (2,1 3).(10-3 107) = = 6,3 104
7,28 105 = 7,28 105 = 1,82 10-3
4 108 4 108
(5 10-3)3 = 53 (10-3)3 = 125 10-9
Como 125 = 1,25 102, vem: 125 10-9 = 1,25 102 10-9 = 1,25 10-7
Veja este último exemplo:
√2,5 105 = √25 104 = √25 √104 = 5 102
Observação:
Quando estivermos tratando da Adição ou Subtração, devemos ter o cuidado de, antes de efetuar a operação, expressar os números com os quais estamos lidando na mesma potência de dez.
Considere os seguintes exemplos:
a) 6,5 103 – 3,2 103 Neste caso, como os números já estão expressos na mesma potência de dez, poderemos efetuar a operação diretamente como se segue:
6,5 103 – 3,2 103 = (6,5 – 3,2) 103 = 3,3 103
183
b) 4,23 107 + 1,3 106 Devemos, inicialmente, expressar as parcelas em uma mesma potência de dez.
Isso pode ser feito escrevendo a primeira parcela como uma potência de 106 da seguinte maneira:
4,23 107 + 1,3 106 = 42,3 106 + 1,3 106 = (42,3 + 1,3) 106 =
43,6 106 = 4,36 107.
O cálculo pode ser feito de outra maneira, expressando a segunda parcela
como potência de 107.
Teremos:
4,23 107 + 0,13 107 = (4,23 +0,13) 107 = 4,36 107 .
EXERCÍCIOS: 1. Cite duas vantagens de escrever números na notação de potência de dez.
2. Complete as igualdades seguintes conforme o modelo. Modelo: cem = 100 = 102 a) mil = b) cem mil = c) um milhão = d) um centésimo = e) um décimo de milésimo = f) um milionésimo = 3. Complete as igualdades conforme o modelo.
Modelo: 3,4 105 = 340.000
a) 2 103 =
b) 1,2 106 =
c) 7,5 10-2 =
d) 8 10-5 =
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4. Usando a regra pratica vista, dê a resposta em potência de dez: a) 382 = b) 21.200 = c) 62.000.000 = d) 0,042 = e) 0,75 = f) 0,000069
5. Dados os números 3 10-6 e 7 10-6, qual deles é o maior? 6. Coloque as potências de dez seguintes em ordem crescente de seus valores:
4 10-5 ; 2 10-2 ; 8 10-7
7. Efetue as operações indicadas:
a) 102 105 =
b) 1015 10-11 =
c) 2 10-6 4 10-2 = d) 1010: 104 = e) 1015: 10-11 =
f) 4,8 10-3: 1,2 104 = g) (102)3 =
h) (2 10-5)2 =
i) √16 10-6 8. Efetue as operações indicadas:
a) 5,7 10-4 + 2,4 10-4 =
b) 6,4 107 – 8,1 107 = 9. Efetue:
a) 1,28 105 + 4 103 =
b) 7,54 108 – 3,7 107 = 10. A massa da Terra é 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg . Escreva este número em potência de dez.
185
11. Explique como números grandes podem ser escritos de forma compacta. 12. Como proceder para: a) multiplicar potências de mesma base? b) dividir potências de mesma base? c) elevar uma potência a outra? d) extrair a raiz quadrada de uma potência? e) subtrair potências? 13. Usando a notação de potência de dez, expressar: a) uma área de 2 km2 em cm2; b) um volume de 5 cm3 em m3; c) um volume de 4 l em mm3; d) uma massa de 8 g em kg. 14. Determine o resultado da seguinte expressão:
105 102 √10-6 (104)2
15. Assinale o resultado da operação seguinte:
103 (102)3 √10-6 10-5 a) 1011 b) 108 c) 10 d) 10-2 e) 10-3
16. Dadas as potências abaixo, é correto concluir que:
a) 8 102 5 104 102 6 10-5 2 10-2
b) 5 104 8 102 102 2 10-2 6 10-5
c) 5 104 8 102 6 10-5 2 10-2 102
d) 8 104 6 10-5 5 104 2 10-2 102
e) 6 10-5 5 104 8 102 2 10-2 102
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17. Das igualdades abaixo, assinale a que não for correta: a) 108 + 107 = 1015 b) 108 : 104 = 104
c) 1015 + 1015 = 2 1015
d) 3,4 107 – 3 106 = 3,1 107
e) 108 107 = 1015
18. Escreva em notação científica os seguintes números: a) 157.000 b) 0,0000038 c) 290.106 d) 0,008. 10-2
19. (SANTA CASA - SP) Em qual das opções abaixo se colocam corretamente, em ordem decrescente, as unidades de comprimento apresentadas:
a) km, m, m, mm, cm
b) km, m, mm, m, cm
c) m, km, mm, m, cm
d) km, m, cm, mm, m
e) mm, m, km, m, cm 20. Uma estrada mede 425 km. Qual comprimento em metros? a) 4,25. 102
b) 4,25. 103 c) 4,25. 104 d) 4,25. 105 e) 4,25. 106
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CAPÍTULO 39
FUNÇÃO LINEAR
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
FUNÇÃO L INEAR Sejam duas grandezas, x e y, ligadas por uma relação de dependência; indicaremos também por x e y as medidas dessas grandezas. Se para valores
correspondentes de x e y valer a relação y = k.x, sendo k uma constante positiva
que não depende nem de x nem de y, dizemos que a grandeza y é proporcional à grandeza x. Sendo assim, o quociente de y por x é uma constante, desde que x e y sejam diferentes de zero. K é denominada constante de proporcionalidade. Ela pode depender de inúmeros fatores, menos de x e y. O gráfico de y em função de x é uma reta PASSANDO pela origem, e dizemos que a função que relaciona x com y é uma função linear. A constante de proporcionalidade pode ser tirada
diretamente do gráfico: k= y: x
FUNÇÃO DO 1° GRAU Uma grandeza y é função do 1° grau de outra grandeza
x se puder ser escrita da forma y= b + kx com k (k ≠ 0) e
b constantes, que não dependem nem de x nem de y, chamados constantes da função. Se y é uma função de x de 1° grau, o gráfico de y em função de x é uma reta. Observe que a função linear é um caso particular da função de 1 ° grau, na qual a constante b é nula. Também, o quociente Δy = k é constante, sempre. Δx
Uma observação importante: ambas as funções vistas acima são diretamente proporcionais.
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CAPÍTULO 40
EXERCÍCIOS DE CINEMÁTICA RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS DE FÍSICA CINEMÁTICA RESOLVIDOS
1) Um espetáculo musical tem início exatamente às 21 h 15 min 25 s e termina às 23 h 38 min e 15 s. Determine a duração deste espetáculo. 2) Um carro de passeio percorre 30 km em 20 min. Determine sua velocidade escalar média nesse percurso. 3) No exercício anterior, qual teria sido a velocidade escalar média do carro, se durante o percurso, tivesse parado 10 min para o abastecimento de combustível? 4) Entre 1,2 s e 3,2 s, o espaço de um móvel varia de 1,3 m e 1,7 m. Qual é a velocidade média desse móvel no intervalo de tempo dado? 5) Um carro percorre uma estrada passando pelo km 30 às 10h e 15 min e pelo km 20 às 10h e 30 min. Qual foi a velocidade média do carro no intervalo de tempo dado? Dê a resposta em km/h e em m/s. 6) A figura representa os instantes e as posições ocupadas por uma partícula em movimento uniforme. Determine o espaço inicial, a velocidade e a função horária do espaço. t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s s = 2 cm s = 5 cm s = 8 cm s = 11 cm 7) A figura representa os instantes e as posições ocupadas por um móvel em movimento uniforme. Determine o espaço inicial, a velocidade e a função horária do espaço. t = 8 s t = 0 t = 6 s t = 2 s t = 4 s s = 12 cm S = -4 cm s = 0 S = 4 cm s= 8 cm
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8)Os espaços de um móvel variam com o tempo de acordo com a tabela:
T(S) 0 1 2 3 4 5 6 7
S(M) -4 -3 0 5 12 21 32 45
Determine:
a) o espaço inicial; b) os espaços do móvel nos instantes 1 s e 6s; c) a variação do espaço entre os instantes 3 s e 7 s.
9) Um móvel percorre um trajeto ABC, de tal modo que no trecho AB = 10 m apresenta velocidade escalar média v1 = 10 m/s e no trecho BC = 15 m apresenta velocidade escalar média v2 = 5 m/s. Determine a velocidade escalar média do móvel em todo o percurso.
• • • A B C 10) A velocidade escalar média de um móvel durante a metade de um percurso é 30 km/h e esse mesmo móvel tem a velocidade escalar média de 10 km/h na metade restante desse percurso. Determine a velocidade escalar média do móvel no percurso total. 11) Uma carreta de 100 metros de comprimento demora 30 segundos para atravessar uma ponte de 500 metros de extensão. Determine a velocidade escalar média da carreta no percurso. 12) Dois carros com velocidade de 8 m/s e 12 m/s percorrem a mesma distância D. Se um deles gasta 4 s mais que o outro, calcule: a) os tempos gastos para percorrer a distância D. b) a distância D. 13) Dois móveis percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades constantes v1
= 10 m/s e v2 =6 m/s. Em certo instante a distância que os separa vale 18 m. Calcule desde esse instante: a) o tempo gasto até o encontro. b) os espaços percorridos até o encontro. 14) Um automóvel sai de São Paulo às 10 horas e chega ao Rio de Janeiro às 17 horas depois de percorrer 420 quilômetros. Qual foi a velocidade escalar média desse automóvel?
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15) Um avião que vai de Brasília a Recife decola às 7 h e aterrissa às 9 h e 30 min. Sabendo-se que a velocidade escalar média do avião é de 910 km/h, qual o espaço percorrido por esse avião? 16) O ruído de um trovão é ouvido num local 2,0 s depois que o relâmpago é visto. Supondo que a velocidade do som no ar seja 330 m/s, qual a distância desse local ao ponto atingido pelo raio? 17) Sabendo-se que a velocidade da luz no ar é de aproximadamente 300.000 km/s, a partir de que distância a propagação da luz não pode mais ser considerada instantânea? 18) A distância entre duas cidades é de 48 km. Um carro percorre a metade do percurso com velocidade escalar média de 60 km/h, e a segunda metade com velocidade escalar média de 80 km/h. Qual a velocidade média ao longo de todo o percurso? 19) Determine a relação entre km/h e m/s. Em seguida, efetue as transformações: a) 72 km/h em m/s b) 5,0 m/s em km/h 20) Uma carreta de 30,0 m de comprimento atravessa uma ponte de 70,0 m de comprimento com velocidade constante de 72,0 km/h (20,0 m/s). Determine: a) o intervalo de tempo gasto para a carreta atravessar completamente a ponte; b) qual seria esse intervalo de tempo se a ponte tivesse 2000 m de comprimento; c) em qual das situações anteriores a carreta poderia ser considerada um ponto material. 21) Nas estradas próximas às estações canavieiras, são comuns placas de sinalização advertindo o motorista sobre o perigo de ultrapassar os “treminhões”, carretas com dois ou mais reboques utilizados no transporte da cana. Suponha que uma caminhonete de 5,0 m de comprimento, com velocidade constante de 90 km/h (25 m/s), ultrapasse um “treminhão” de 45 m de comprimento com velocidade de 36 km/h (10 m/s). Qual o tempo gasto nessa ultrapassagem quando os veículos estão se movendo: a) no mesmo sentido; b) em sentidos opostos. 22) O movimento retilíneo de um móvel é descrito pela tabela abaixo, onde a linha t (s) representa os instantes em segundos e a linha x (m) as posições em metros ocupadas pelo móvel nesses instantes:
t (s) 0 2,0 4,0 6,0 8,0
x (m) 10 30 40 40 20
Determine o deslocamento e a velocidade média desse móvel nos intervalos de tempo: a) de 0 a 2,0 s; c) de 4,0 a 6,0 s; b) de 2,0 a 4,0 s; d) de 6,0 a 8,0 s.
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23) O gráfico abaixo descreve o movimento retilíneo de um ponto material; x (m) são suas posições em metros e t (s) os instantes correspondentes em segundos. Determine: a) as posições do ponto material nos instantes t = 0 s; t = 10 s; t = 20 s; t = 30 s e t = 40 s b) as velocidades médias nos intervalos de tempo: de 0 a 10 s; de 10 a 20 s; de 20 a 30 s e de 30 a 40 s.
x(m)
300
200
100
10 20 30 40 t (s) 24) O espaço de um móvel varia com o tempo conforme o gráfico dado. Determine: a) o espaço inicial e a velocidade. b) a função horária do espaço. s (m) 9
3
4 t (s) 25) A equação horaria do espaço de um móvel é s = -20 + 20.t, para s em metros e t em segundos. Determine: a) o espaço inicial; b) os espaços do móvel nos instantes 1 s e 4s; c) a variação de espaço entre os instantes 1 s e 4 s; d) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços. 26) A equação horaria do espaço de um móvel é s = 5 + 4.t2, para s metros e t em segundos. Determine a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 3 s.
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27) Um ônibus percorre um trajeto de 30 km em 40 min. Qual a velocidade escaler média do ônibus? 28) A distância, por estrada de rodagem, entre Cuiabá e Salvador é de 3 400,8 km. Um ônibus demora dois dias e quatro horas desde sua saída de Cuiabá até sua chegada a Salvador, incluindo dez horas de parada para refeições, abastecimento etc. Qual a velocidade escalar média desse ônibus, durante os dois dias e quatro horas de viagem? 29) Um automóvel vai de uma cidade A para outra cidade B, distantes 100 km, em 2 h. A seguir desloca-se da cidade B para outra cidade C, distantes 140 km, em 3 h. Calcule a velocidade média do automóvel no percurso de A a C. 30) Um automóvel percorre a distância entre São Paulo e Jundiaí (60 km) com velocidade escalar média de 40 km/h; entre Jundiaí e Campinas (30 km) com velocidade escalar média de 60 km/h. Qual a velocidade escalar média do automóvel entre São Paulo e Campinas? 31) Um móvel percorre metade de um percurso com velocidade escalar média de 60 km/h e, imediatamente a seguir, a outra metade com velocidade escalar média de 40 km/h. Calcule a velocidade escalar média no percurso todo. 32) Em 6 minutos um móvel descreveu a trajetória desenhada abaixo. Qual foi sua velocidade escalar média entre os pontos A e B? km 5 B 1
A C
1 2 3 4 5 km
33) É dada a equação horária do espaço de um móvel: s = 8 – 3t + 6t2, para s em metros
e t em segundos. Determine:
a) a equação horária da velocidade; b)a velocidade escalar no instante 3 s; c) o instante no qual a velocidade escalar é nula. 34) A equação horária do espaço de um móvel é s = 5 + 6. t3 (SI). Determine a velocidade escalar no instante t = 2 s. 35) Considere a figura abaixo. Os dois móveis A e B possuem velocidades de valores absolutos 10 m/s e 15 m/s, respectivamente. Os sentidos dos seus movimentos estão indicados na figura.
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a) Classifique os movimentos de A e B em progressivo ou retrógrado. b) Dê as velocidades escalares de A e B.
A B
36) Um ponto material move-se obedecendo à seguinte equação horária do espaço: s = 5 + 6t – t2 (SI). Determine: a) para que valores de t o movimento é progressivo; b) para que valores de t o movimento é retrógrado. 37) A equação horaria do espaço de um móvel é s = 8 – 2 t, para s e t em unidades de SI. a) Determine o espaço inicial e a velocidade escalar do movimento. b) Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado. c) Qual o espaço do móvel no instante t = 3 s? d) Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços? e) O que se pode dizer a respeito da trajetória do móvel?
38) Um móvel realiza movimento uniforme. Sabe-se que no instante t = 0, o espaço do móvel é – 10 m. Escreva a equação horária do espaço, sabendo que a velocidade escalar tem valor absoluto 15 m/s. Considerar os casos: a) o movimento é progressivo; b) o movimento é retrógrado. 39) As figuras representam as posições, no instante t = 0, de duas partículas A e B, em movimento uniforme. Os sentidos dos movimentos também estão indicados na figura. A e B possuem velocidades escalares de valor absoluto 10 m/s e 20 m/s, respectivamente. Determine suas equações horárias do espaço, referidas à trajetória orientada.
A B + 0 10 20 30 40 s(m) 0 10 20 30 40 s (m) 40) Um móvel em movimento uniforme possui espaço s1 = 12 m no instante t1 = 2,0 s e espaço s2 = 21 m no instante t2 = 5,0 s. Qual a equação horária do espaço do móvel? 41) Dois móveis A e B percorrem a mesma trajetória e seus espaços são medidos a partir da mesma origem escolhida na trajetória. Suas equações horarias são: sA = 10 + 60t e sB
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= 80 – 10 t, para t em horas e sA e sB em quilômetros. Determine o instante e a posição de encontro.
42) A figura representa as posições de dois moveis A e B no instante t = 0. Os móveis A e B possuem movimentos uniformes cujas velocidades escalares têm valores absolutos 15 m/s e 10 m/s, respectivamente. Depois de quanto tempo A alcança B? 15 m/s 10 m/s
250 m 43) A figura representa as posições de dois móveis A e B no instante t = 0. Os móveis A e B possuem movimentos uniformes cujas velocidades escalares têm valores absolutos 15 m/s e 10 m/s, respectivamente. Depois de quanto tempo A e B vão se encontrar? A 15m/s 10m/s B 2
44) Um trem de 200 m de comprimento, com velocidade constante de 72 km/h, atravessa um túnel de comprimento de 300 m. Quanto tempo demora a travessia?
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200 m 300 m
20 m/s
TúneL
Início da travessia 20 m/s 300 m
Término da travessia v = 20 m/s +
O( Origem) 500 m 45) Dois trens A e B de 200 m de comprimento cada, correm em linhas paralelas com velocidades escalares de valores absolutos 50 km/h e 30 km/h, no mesmo sentido. A figura mostra o instante em que o trem A começa a ultrapassar o trem B. Depois de quanto tempo terminará a ultrapassagem? 50 km/h 30 km/h
46) Dois trens A e B de 200 m de comprimento cada correm em linhas paralelas com velocidades escalares de valores absolutos 50 km/h e 30 km/h, em sentidos opostos. Quanto tempo decorrera desde o instante em que começam a se cruzar até o instante em que terminam o cruzamento? 47) Dois pontos materiais A e B percorrem a mesma trajetória, no mesmo sentido, com movimentos uniformes. O móvel A parte no instante t = 0 com velocidade escalar
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6,0 m/s, o móvel B parte do mesmo ponto, 2,0 s depois, com velocidade escalar 10 m/s. Depois de quanto tempo, após a partida de A, os móveis se encontrarão? 48) Um indivíduo dispara um projétil com velocidade de 200 m/s sobre um alvo. Ele ouve o impacto do projétil no alvo, 2,7 s depois do disparo. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual a distância do indivíduo ao alvo? 49) De duas localidades A e B ligadas por uma estrada reta de 5,0 km de comprimento, partem simultaneamente dois trens, um ao encontro do outro, com velocidades escalares de valor absoluto iguais a 5,0 km/h. No instante da partida, uma vespa, que estava pousada na parte dianteira de um dos trens, parte voando em linha reta, ao encontro do outro trem, com velocidade escalar de valor absoluto 8,0 km/h. Ao encontrar o outro trem, a vespa volta imediatamente, encontrando o primeiro trem e rapidamente retorna, mantendo constante o valor absoluto de sua velocidade escalar. E assim prossegue nesse vaivém até que os dois trens se encontram. Qual a distância que a vespa percorreu? 50) Um móvel realiza movimento uniforme. Sabe-se que no instante t1 = 1, 0 s o espaço do móvel é s1 = 10 m e, no instante t2 = 4,0 s é s2 = 25 m.
a) Construa o gráfico do espaço s em função do tempo t. b) Determine a velocidade escalar e o espaço inicial. c) Escreva a equação horaria do espaço.
51) Construa os gráficos do espaço em função do tempo e da velocidade escalar em função do tempo, nos casos: a) s = - 6 + 2 t (SI) b) s = 8 – 4 t (SI)
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52) Dois móveis A e B percorrem a mesma trajetória e seus espaços, medidos a partir da
mesma origem, variam com o tempo seguindo os diagramas abaixo:
s (m) 3 móvel A móvel B 1 1 2 3 t (s) a) Classifique os movimentos de A e B em progressivo ou retrógrado. b) Determine através do gráfico o instante e a posição do encontro. 53) Os espaços de um móvel que se desloca sempre no mesmo sentido, medidos em sua trajetória são: s1 = 50 m, no instante t1 = 1 e s2 = 250 m, no instante posterior t2 = 3 s.
Note que os índices 1 e 2 em t e s indicam apenas: 1 instante e espaço anterior e
2 instante e espaço posterior. Determine a velocidade escalar média do móvel nesse intervalo de tempo e classifique seu movimento dizendo se é progressivo ou retrógrado. 54) Um móvel tem movimento de sentido constante e percorre espaços iguais em intervalos de tempos iguais, estando seus espaços indicados na tabela anexa. Determine sua velocidade escalar média no intervalo de tempo: A) de 1 s a 2 s ; B) de 1 s a 5 s ; Classifique o movimento.
t(s) 1 2 3 4 5
s(m) 120 80 40 0 -40
55) É dada a função horária s =20 – 4 t (t h, s km), que descreve o movimento de um ponto material num determinado referencial. Os espaços são medidos numa trajetória a partir de um marco zero. Os instantes t são lidos num cronômetro. Determine: A) o espaço inicial e a velocidade escalar; B) o tipo de movimento e se o mesmo é progressivo ou retrógrado; C) o espaço do móvel quando t = 2 h; D) o instante quando o móvel está na posição cujo espaço é igual a 8 km; E) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços (marco zero).
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56) No instante t = 0 s um móvel se encontra a + 15 m do marco zero, estando animado de movimento uniforme de velocidade escalar 5 m/s em valor absoluto. Determine a função horária do movimento:
a) admitindo-o progressivo; b) admitindo-o retrógrado. 57) Duas estações A e B estão separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetória. Pela
estação A passa um trem P, no sentido de A para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os dois trens P e Q têm movimentos uniformes com velocidades de valores absolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente. Determine:
A) o instante do encontro; B) a posição do encontro.
58) Enquanto o professor escreve na lousa: a) o giz está em repouso ou em movimento em relação à lousa? b) a lousa está em repouso ou em movimento em relação ao chão? c) a lousa está em repouso ou em movimento em relação ao giz? 59) Considere três veículos A, B e C. Se A está em movimento em relação a B, e B está em movimento em relação a C: a) é possível que A esteja em movimento em relação a C? b) podemos garantir que A está em movimento em relação a C?
60) Na figura, temos uma trajetória orientada, onde O é a origem dos espaços. Uma partícula entra em movimento no instante t0 e avança no sentido da trajetória até o instante t2, quando para. Em seguida, passa a mover-se em sentido contrário ao da trajetória, passando pelo ponto de partida no instante t4, pela origem dos espaços no instante t5 e parando no instante t6. O t0
-20 -10 0 10 20 t6 t5
t4 t3
t1 t2
30 40 50 60 s(m)
Para essa partícula, quanto valem os espaços s0, s1, s2, s3, s4, s5 e s6 respectivamente nos instantes t1,t2, t3, t4 ,t5 , e t6 ?
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61) Um automóvel parte do km 12 de uma rodovia e desloca-se sempre no mesmo sentido até o km 90. Aí chegando, retorna pela mesma rodovia até o km 20. Calcule, para esse automóvel, a variação de espaço (Δs) e a distância percorrida (d): a) na ida; b) na volta; c) na ida e na volta juntas. 62) Um motociclista partiu do km 10 de uma rodovia às 8 horas da manhã (t1) e chegou ao km 250 às 12 horas (t2). Imediatamente, ele iniciou a viagem de volta, retornado ao km 10 às 14 horas (t3). Calcule a velocidade escalar média do motociclista entre os instantes: a) t1 e t2; b) t2 e t3; c) t1 e t3. 63) Um pequeno objeto descreve uma trajetória orientada. Seus espaços (s) variam com o tempo (t) conforma a função s =2 t3 + 8 t, valida no SI. Determine a velocidade escalar média desse objeto no intervalo de tempo de 0 a 2 s. 64) Sobre uma reta orientada, são dados ordenadamente os pontos A, B e C, tais que AB = BC = d. A B C d d Um ponto material move-se nessa reta com velocidade escalar média v1 de A a B e com velocidade escalar média v2 de B a C. Determine a velocidade escalar média desse ponto material de A a C. 65) Dê os seguintes valores em unidades do SI: a) 7 km f) 85 cm b) 5 min g) 600 g c) 8 h h) 4 t d) 580 cm i) 3 200 g e) 15 000 mm 66) Escreva os seguintes valores em unidades do SI: a) 2 km2 d) 12 000 mm2
b) 0,08 km2 e) 150 dm2
c) 9 000 cm2 f) 10 cm2
67) Efetue as seguintes conversões: a) 50 dm em metros cúbicos; b) 700 cm em metros cúbicos; c) 10 cm em litros (lembrando que 1 l equivale a 1 dm). 68) Qual a capacidade, em metros cúbicos, de um recipiente de 300 l?
200
69) Um carrinho se movimenta do ponto A para o ponto C, e depois para D, descrevendo a trajetória da figura. D A B C
-80 -30 0 40 100 s (m) a) Qual a posição inicial do carrinho? E a final? b) Qual o deslocamento escalar efetuado pelo carrinho? c) Quantos metros ele percorreu no total?
70) Um ponto material, que se movimenta em relação a um determinado referencial e sobre uma trajetória retilínea, tem posições em função do tempo indicadas na tabela. a) Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado. b) Dê sua posição inicial. c) Dê o deslocamento do ponto no intervalo de tempo 1 s a 5 s. d) Calcule a velocidade média no intervalo do item anterior.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
s (m) 5 8 11 14 17 20 23 26 29
RESOLUÇÕES 1) A duração do espetáculo corresponde ao intervalo de tempo Δt = t2 - t1, em que t1 é o instante do início e t2 é o instante do término. Para calcular essa diferença, devemos iniciar a subtração pela coluna dos segundos de modo que sempre o valor do instante final em cada coluna seja maior que o instante inicial. No caso, na coluna dos segundos, temos 15 s para t2 e 25 s para t1. Como 15 s é menor que 25 s, passamos 1 min (60 s) da coluna dos minutos para a coluna dos segundos. Assim, teremos: 23 h 37 min 75 s (t2)
- 21 h 15 min 25 s (t1)
2 h 22 min 50 s
Portanto, o intervalo de tempo correspondente à duração do espetáculo vale:
Δt = 2 h 22 min 50 s
Se quisermos dar a resposta em segundos, devemos lembrar que 1 h = 3.600 s e 1 min
= 60 s. Portanto:
Δt = (2 3.600) + (22 60) + 50
Δt = 7.200 + 1.320 + 50
Δt = 8.570 s
201
2) A variação do espaço do carro foi Δs = 30 km e o intervalo de tempo foi Δt = 20 min = 20 . 1 h = 1 h. 60 3
Assim, a velocidade escalar média será: vm = Δs Vm = 30 Δt 1 3
vm = 90 km/h
3) A variação de espaço continua sendo de 30 km, mas no intervalo de tempo temos que
acrescentar a permanência no posto de abastecimento, que foi de 10 minutos:
Δt = 20 + 10 Δt = 30 min Δt = 30. 1 h = 1h 60 2 A velocidade escalar média será então:
Vm = Δs vm = 30 vm = 60 km/h
Δt 1 2
4) t1 = 1,2 s e t 2 = 3,2 s s1 = 1,3 m e s 2 =1,7 s Então: vm = Δs = s2 - s1 = 1,7 – 1,3 = 0,4 Δt t2 – t1 3,2 – 1,2 2
vm = 0,2 m/s
5) Como o carro vai do km 30 ao km 20, ele está percorrendo a trajetória no sentido dos espaços decrescentes (movimento retrógrado). Pata t1 = 10h e 15 min, o espaço é: s1 = 30 km Para t2 = 10h e 30 min, o espaço é: s2 = 20 km Calculamos, então, a variação de tempo:
Δt = t2 – t1 = 10 h e 30 min - 10 h e 15 min = 15 min
Para dar a resposta em km/h, vamos transformar 15 min em horas, através de uma regra de três: 60 min 1 h 60. X = 15 x = 0,25 h Δt = 0,25 h 15 min x Calculamos, agora, a variação de espaço:
202
Δs = s2 – s1 = 20 km – 30 km = -10 km Então:
Vm = Δs = -10 km vm = -40 km/h
Δt 0,25 h Para dar a resposta em m/s, temos que dividir por 3,6:
-40 km/h = -40 m/s = -11,1 m/s
3,6 6) Espaço inicial é o espaço no instante t = 0 s, logo, de acordo com a figura:
s0 = 2 cm
A partícula percorre 3 cm em cada segundo, logo a sua velocidade é:
V = Δs = 5 – 2 = 3 v = 3 cm/s
Δt 1 – 0 A função horaria do espaço é obtida substituindo-se s0 = 2 e v = 3 em
s = s0 + v.t: s = 2 + 3. t
s0 v
7) No instante t = 0, s = 12 cm. O espaço inicial vale então: s0 = 12 cm
O móvel percorre 4 cm em cada 2 s, no sentido dos espaços decrescentes, logo a sua velocidade é:
v = Δs = 8 – 12 = -2 v = -2 cm/s
Δt 2 – 0 A função horaria é obtida substituindo-se s0 = 12 e v = -2 em s = s0 + v.t:
s = 12 – 2.t
8) a) O espaço inicial s0 é o espaço do móvel no instante t = 0. Da tabela: s0 = -4 m
b) Da tabela tiramos para t = 1 s, s = -3 m e para t = 6 s, s = 32 m
c) Para t1 = 3 s, vem s1 = 5 m e para t2 = 7 s, s2 = 45 m. Sendo Δs = s2 – s1, vem:
Δs = 45 – 5 Δs = 40 m
9) Devemos calcular os intervalos de tempo que o móvel gasta para percorrer cada um dos trechos: AB: v1 = AB Δt1 = AB = 10 Δt1 = 1 s Δt1 V1 10 BC: v2 = BC Δt2 = BC = 15 Δt2 = 3 s Δt2 v2 5
203
Portanto, a variação de espaço total e o intervalo de tempo total valem, respectivamente: Δs = AB + BC = 10 + 15 Δs = 25 m Δt = Δt1+ Δt2 = 1 + 3 Δt2 = 4 s Assim, a velocidade escalar média do móvel em todo o percurso vale:
Vm = Δs vm = 25 vm = 6,25 m/s
Δt 4 10) Chamemos 2d a distância total do percurso e d a metade do percurso. Seja Δt1 o intervalo de tempo gasto pelo móvel na primeira metade e Δt2 o intervalo na segunda metade. Na primeira metade a velocidade escalar média é 30 km/h. 30 = d Δt1 = d Δt1 30
Na segunda metade a velocidade escalar média é 10 km/h: 10 = d Δt2 = d Δt2 10 O intervalo de tempo total gasto no percurso AB (AB = 2d) é :
Δt = Δt1+ Δt2 = d + d = 4d
30 10 30
A velocidade escalar média procurada é:
Vm =Δs = 2d = 230 vm = 15 km/h
Δt 4d/30 4 11) (t1) (t2)
A A ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ lC lp
O desenho mostra a posição da carreta em dois instantes distintos: t1, quando inicia a travessia da ponte e t2, quando termina essa travessia. Observe que no intervalo de tempo Δt = t2 – t1 qualquer ponto da carreta (destacamos o ponto A na traseira) percorre a distância Δs = lC + lP, onde lC = 100 m é o comprimento da carreta e lP = 500 m é o comprimento da ponte.
204
Assim, a carreta percorre Δs = 100 m+ 500 m = 600 m no intervalo de tempo Δt = 30 s. Portanto, sua velocidade escalar média no percurso vale:
vm = Δs = 600 vm = 20 m/s
Δt 30 Em quilômetros por hora:
vm =20 3,6 v = 72 km/h
12) Se o mais rápido (v2 = 12 m/ s) gasta um tempo t2 para cobrir a mesma distância D,
o mais lento vai gastar mais tempo. De acordo com o enunciado do problema, o tempo
do mais lento será: t1 = t2 + 4
Para o carro de velocidade v1 = 8 m/s, temos: s1 = D e t1 = t2 + 4 Substituindo s1 e t1 em s = v.t, chegamos a: D= 8. (t2 + 4) (1) Para o carro de velocidade v2 = 12 m/s, temos: s2 = D e t = t2 Como s = v.t D = 12. t2 (2) De (1) e (2), obtemos: 12 . t2 = 8.(t2 + 4) 12 . t2 = 8 . t2 + 32 4. t2 = 32
t2 = 8 s
Agora, obtemos t1: t1 = t2 + 4 t1 = 8 + 4
t1 = 12 s
b) Para o cálculo de D, basta substituir t2 = 8 s na equação (2): D = 12. t2 D = 12 . 8
D = 96 m
13) a) Fixando a origem dos espaços num ponto que poderemos chamar, por exemplo de A, para ambos os móveis, temos: a) v1 = 10 m/s v 2 = 6 m/s encontro A B C 18 m s1 = s01 + v1 . t s2 = s02 + v2. t s1 = 0 + 10 . t s2 = 18 + 6. t
205
No ponto de encontro, os espaços são iguais (s2 =s1), então: 18 + 6. t = 0 + 10. t 18 = 4. t
t =4,5 s
b) Espaço percorrido é o módulo da distância realmente percorrida pelo móvel. O espaço percorrido pelo móvel (1) é a distância AC da figura anterior. Como AC = s1 e s1 =10. t, para t = 4,5 s, temos:
S1 = 10. 4,5 s1 = 45 m
O espaço percorrido pelo móvel (2) é a distância BC, que vale: 45 m – 18 m = 27 m
BC = 27
14) São dados Δs = 420 km t0 = 10 h e t = 17 h vm = Δs, da definição de velocidade escalar média, então: Δt Vm = 420 vm = 420 vm = 60 km/h 17- 10 7,0 15) vm = Δs Δs = vm . Δt Δt Δt = 9 h e 30 min - 7 h Δt = 9,5 h – 7 h Δt = 2,5 h Como vm = 910 km /h, temos: Δs = vm. Δt Δs = 910 . 2,5 Δs = 2.275 km Observação: Poderíamos arredondar o valor obtido do espaço, para Δs = 2.300 km, pois as parcelas em questão apresentam apenas dois algarismos significativos. 16) Supondo que a luz se propague instantaneamente (o que nessa situação é valido) e sendo Δt = 2,0 s e vm = vsom = 330 m/ s, vem:
vm = Δs Δs = vm . Δt Δs = 330. 2,0 Δs = 660 m
Δt 17) Um critério para deixar de considerar a propagação da luz instantânea é a precisão do cronômetro utilizado. Vamos supor que o cronômetro disponível seja capaz de medir até um milésimo de segundo. Nesse caso, as distâncias que a luz gasta para percorrer em um intervalo de tempo de 0,0001 s, ou mais, podem ser consideradas por que podem ser medidas. Sendo a velocidade de propagação da luz vLUZ = 3000.000 km /s, basta fazer Δt = 0,001 s e calcular o espaço percorrido pela luz no ar nesse instante de tempo. Assim: vm = Δs Δs = vm . Δt Δs = vluz. Δt Δs = 300.000 km/s . 0,001 s Δt
Δs = 300 km
Observação: Este não é o único critério. O objetivo da medida e as condições em que ela é feita também devem ser levados em consideração – nem sempre há interesse em
206
utilizar a precisão máxima do instrumento de medida ou nem sempre é possível utilizá-la. Numa cronometragem manual o tempo de reação do cronometrista é um fator limitador na precisão da medida. 18) Seja Δt o intervalo de tempo correspondente ao percurso Δs = 48 km. Chamando Δt1 e Δt2 os intervalos de tempo em cada metade do percurso, temos: Δt = Δt1 + Δt2 Da definição de velocidade média, podemos obter o valor de Δt: vm = Δs Δt = Δs Δt vm
Aplicando esta última expressão a cada metade do percurso, temos: Primeira metade: Δs = 24 km, vm1 = 60 km/h Δt1 = 24 Δt1 =0,40 h 60 Segunda metade: Δs = 24 km, vm2 = 80 km/ hΔt2 = 24 Δt2 = 0,30 h 80 Portanto a velocidade média em todo o percurso (Δs = 48 km) é:
vm = Δs vm = Δs vm = 48 vm = 48 vm = 69 km/h
Δt Δt1+ Δt2 0,40 + 0,30 0,70 Observação: A velocidade escalar média obtida, 69 km/h, não é igual à média das velocidades do carro, que é 70 km/h. 19) Sabemos que: 1,0 km/h = 1,0 km = 1000 m = 1,0 m/s 1,0 h 3600 s 3,6 Portanto: 1,0 km/h = 1,0 m/s e 1,0 m/s = 3,6 km/h 3,6 Efetuando as transformações, temos:
a) 72 km/h = 72. 1,0 m/s 72 km/h = 20 m/s 3,6
b) 5,0 m/s = 5,0 (3,6 km/h) = 18 km/h
20) Para que a carreta atravesse completamente a ponte, é preciso que ela percorra a distância Δs igual à soma do comprimento da ponte (Δsponte) e o da própria carreta (Δscarreta). Portanto: Δs = Δsponte + Δscarreta Δs =70,0 + 30,0 Δs = 100 m Sendo vm = Δs Δt = Δs, onde vm = 20,0 m, obtemos Δt Δvm
Δt = 100 Δt = 5,00 s
20,0
207
b) Neste caso a solução é idêntica à do item anterior, sendo o comprimento da ponte Δsponte = 2000 m. Portanto: Δs = Δsponte + Δscarreta Δs = 2000 + 30 Δs = 2030 m Sendo vm = Δs Δt = Δs, onde vm = 20,0 m/s, obtemos: Δt vm
Δt = 2030 Δt = 102 s
20 c) O primeiro critério para decidir se um corpo é, ou não, um ponto material é o número de algarismos significativos utilizados. Observe que, se tivéssemos utilizado apenas dois algarismos, o comprimento da carreta “desapareceria” na soma 2000 + 30 = 2000. Só a partir de 50 m ela deixaria de ser um ponto material, pois pelas regras de arredondamento teríamos 2000 + 50 = 2100 Utilizando-se três algarismos significativos, como no enunciado, a carreta não pode ser considerada um ponto material. Isso fica claro na solução do problema- o intervalo de tempo obtido (102 s) é diferente daquele que seria obtido se o comprimento da carreta fosse desprezado, que seria de 100 s. 21) a) A soma do comprimento dos veículos é dada por: 5,0 + 45 = 50 m. O intervalo de tempo da ultrapassagem é igual em ambos os veículos. Sendo vcaminhonete = 25 m/s a velocidade da caminhonete e vtreminhão = 10 m/s e lembrando que vm = Δs Δs = vm. Δt, temos: Δt
Δscaminhonete = vcaminhone te. Δt Δscamihonete =25. Δt (I)
Δstreminhão = vtreminhão . Δt Δstreminhão =10 t (II)
Mas, observe que durante a ultrapassagem, a diferença entre o espaço percorrido pela caminhonete e o espaço percorrido pelo treminhão é igual à soma dos comprimentos de ambos os veículos, como podemos observar na figura abaixo.
208
Situação inicial Δscaminhonete
Situação final Δstreminhão
Temos, então, que: Δscaminhonete - Δstreminhão = comprimento da caminhonete + comprimento do treminhão = 50 m (III) Ou, substituindo na equação (III) acima as equações que tínhamos encontrado em (I) e (II), vem:
25 Δt - 10 Δt = 50 15 Δt = 50 Δt = 3,3 s
b) Agora a soma dos espaços percorridos pela caminhonete e pelo treminhão é igual à soma dos comprimentos de ambos os veículos. Portanto:
Δscaminhonete + Δstreminhão = 5,0 + 45 Δscaminhonete + Δstreminhão = 50 m (I) Por raciocínio análogo ao item anterior, temos: Δscaminhonete = 25 Δt e Δstreminhão = 10 Δt
Substituindo esses valores na relação (I), obtemos:
25 Δt + 10 Δt = 50 35 Δt = 50 Δt = 1,4 s
22) Para calcularmos o deslocamento, usamos a expressão: Δx = xfinal – xinicial
Para o tempo, usamos Δt = tfinal – tinicial
Para o cálculo da velocidade média, usamos a expressão: vm = Δx Δt Portanto, observando a tabela, teremos que:
209
a) de 0 a 2,0 s o deslocamento é dado por: Δx = xfinal –xinicial = 30-10 = 20 m, para o
tempo, obteremos Δt = tfinal – tinicial = 2,0 – 0 =2,0 s e, finalmente, para a velocidade média
teremos: vm = Δx = 30 -10 = 20 = 10 m/s
Δt 2,0 2,0
b) b) de 2,0 a 4,0 s o deslocamento será: Δx = 40 –30 = 10 m, o tempo, como no caso
anterior, será de 2,0 s, pois Δt = 4,0 – 2,0 =2,0 s e a velocidade média é vm = 5,0 m
c) de 4,0 a 6,0 s teremos que: Δx = 0 m, Δt = 2,0 s e vm = 0 m/s
d) de 6,0 a 8,0 s teremos que: Δx = -20 m, Δt = 2,0 s e vm = -10 m
Observação: O sinal da velocidade média é sempre o mesmo do deslocamento e, da mesma forma, quando negativo, indica que o sentido da velocidade média é oposto ao referencial. 23) a) Trata-se de uma leitura direta do gráfico, cujos resultados podem ser colocados na tabela abaixo:
t (s) 0 10 20 30 40 x (m) 0 100 300 200 100
b) Basta aplicar a definição de velocidade média (vm = Δx/Δt) a cada intervalo de tempo, e teremos os seguintes valores para ela:
De 0 a 10 s vm = 10 m/s
De 10 a 20 s vm = 20 m/s
De 20 a 30 s vm = -10 m/s
De 30 a 40 s vm = - 10 m/s
24) a) Através do gráfico: para t = 0 s =3, isto é: s0 = 3 m para t = 4 s =9 m
Então: v = Δs =9 –3 = 1,5v = 1,5 m/s
Δt 4 -0 b )Substituindo s0 = 3 e v = 1,5 em s = s0 + v.t, temos:
s = 3 + 1,5. t
25) a) Fazendo t = 0 na equação horaria do espaço, tiramos o espaço inicial s0 =-20 m
210
b) Para t1 = 1 s, temos s1 = -20 + 10.1 s1 = -10 m
Para t2 = 4 s, temos s2 = -20 + 10.4 s2 = 20 m
c) Δs = s2 – s1 Δs = 20 –(-10)
Δs = 30 m
d) No instante em que o móvel passa pela origem dos espaços, temos s = 0. Portanto
0 = -20 + 10.t 10.t = 20 t = 2 s
26) Devemos, inicialmente, determinar os espaços do móvel nos instantes dados:
t1 = 1 s s1 = 5 + 4. 12 s1 = 9 m
t2 = 3 s s2 = 5 + 4. 32 s2 = 41 m
De Δs = s2 – s1, vem: Δs = 41 – 9
Δs = 32 m
A velocidade escalar média é dada por: vm = Δs. Sendo Δs = 32 m e Δt = t2 – t1, Δt = 2 s, Δt vem:
vm = 32 vm = 16 m/s
2 27) Sendo Δs = 30 km e Δt = 40 min = 2 h, vem: 3
Vm = Δs e vm = 30 vm = 45 km/h
Δt 2 3 28) Para o cálculo da velocidade escalar média, devemos considerar o tempo total de viagem, incluindo as paradas. Assim temos: Δt = 2 dias 4 horas = 52 h Sendo Δs = 3 400,8 km, resulta:
Vm = Δs, vm = 3 400,8 vm = 65,4 km/h
Δt 52 29) A variação total de espaço, da cidade A até a cidade C, é Δs = 100 + 140, portanto, Δs = 240 km. O intervalo de tempo total de percurso é Δt = 2 + 3, Δt = 5 h.
Sendo vm = Δs, vem: vm = 240 vm = 48 km/ h
Δt 5
211
30) De São Paulo a Campinas a variação de espaço total é Δs = 60 + 30, portanto, Δs = 90 km. O intervalo de tempo total (Δt) é a soma dos intervalos de tempo despendidos de São Paulo a Jundiaí (Δt1) e de Jundiaí a Campinas (Δt2): Δt1 = Δs1 Δt1 = 60 Δt1 = 1,5 h vm1 40 Δt2 = Δs2 Δt2 = 30 Δt2 = 0,5 h Vm2 60 Δt = Δt1 + Δt2 Δt = 1,5 + 0,5 Δt = 2 h
De vm = Δs, vem: v = 90 v = 45 km/h
Δt 2 31) As variações de espaço nos dois trechos do percurso são iguais e vamos indica-las por d. Assim, a variação total de espaço será Δs = 2d. O intervalo de tempo no primeiro trecho é Δt1 = d = d e no segundo trecho, Δt2 = d = d. vm1 60 vm2 40 O intervalo de tempo total é dado por: Δt = Δt1 + Δt2 Δt = d + d = 2d + 3d
60 40 120
Δt = 5d 120
De vm = Δs, vem: vm = 2d vm = 48 km/h
Δt 5d 120
32) A variação de espaço (Δs) entre A e B é a soma das variações de espaço entre A e C (ΔsAC) e entre C e B (ΔsCB). Da figura dada concluímos que ΔsAC = 2 km e ΔsCB = 5km. Este último resultado decorre da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo CBD: (ΔsCB)2 = 32 + 42 = 25 ΔsCB = 5 km Desse modo: Δs = ΔsAC + ΔsCB
Δs = 2 + 5 = 7 km Sendo Δt = 6 min = 1 h, vem: vm = Δs vm = 7 10 Δt 1 10
vm = 70 km/h
33) A derivada de s em relação ao tempo nos fornece v:
212
a) s = 8 – 3 t + - t2 v = ds = 0 – 1 . 3 . t1-1 + 2 . 6 t2 – 1
dt
v = -3 + 2 t (v em m/ s e t em s)
b) Na expressão anterior devemos fazer t = 3 s: v = -3 + 12 . 3
v = 33 m/ s
c) Fazendo v = 0 na equação horária da velocidade, tiramos t: v = -3 + 12 t 0 = -3 + 12 t
t = 0,25 s
34) Inicialmente, deriva-se s obtendo-se a equação horária da velocidade. A seguir, substitui-se t por 2 s: s = 5 + 6 t2 v = ds = 0 + 3 . 6. t3-1 dt v = 18.t2 (SI)
Para t = 2 s v = 18.22 v = 72 m/s
35) a) O móvel A caminha em sentido contrário ao da orientação positiva da trajetória e portanto o seu movimento é retrogrado. B caminha no sentido da orientação positiva da trajetória, logo seu movimento é progressivo. b) A velocidade escalar de A é negativa pois seu movimento é retrogrado e a de B é positiva pois seu movimento é progressivo:
vA = -10 m/s e vB = +15 m/s
36) a) Devemos inicialmente determinar a equação horária da velocidade: s = 5 + 6 t – t2
v = ds = 0 + 1 . 6 . tt -1 – 2 . 1 . t2-1 dt v = 6 – 2 t (SI) Para que o movimento seja progressivo devemos ter: v > 0 6 -2 t > 0 6 >2 t
t > 3 s
b) No movimento retrogrado temos: v < 0 6 – 2t < 0 6 < 2 t
t > 3 s
37) a) Comparando s = 8 – 2 t com s = s0 + vt concluímos que: s = 8 m e
213
v = -2 m/s. Observe que a velocidade escalar é constante e igual à velocidade escalar
média em qualquer intervalo de tempo. b) O movimento é retrogrado pois v < 0.
c) Para t = 3 s vem: s = 8 – 2 . 3 s = 2 m
d) No instante em que o móvel passa pela origem dos espaços, temos s = 0:
0 = 8 – 2 t 2 t = 8 t = 4 s
e) Como a equação horária do espaço é do primeiro grau em t, concluímos que o movimento é uniforme. Quanto à forma da trajetória nada podemos dizer. 38) O espaço do móvel no instante t = 0 é o espaço inicial s0. Assim s0 = -10 m. Se o movimento for progressivo, v = +15 m/s e se for retrógrado v = - 15 m/s. Assim, temos: a) s = s0 + v t
s = -10 + 15 t (SI)
b) s = s + v t
s = -10 – 15 t (SI)
39) Partícula A: da figura, tiramos: s0 = 20 m. Sendo o movimento de A progressivo, vem: v = + 10 m/s. Portanto: s = s0 + v t
s = 20 + 10 t (SI)
Partícula B: da figura, tiramos: s0 = 30 m. Sendo o movimento de B retrogrado, vem: v = -20 m/s Portanto: s = s0 + v t
s = 30 – 20t (SI)
40) Sendo o movimento uniforme, a equação horaria do espaço é s = s0 + v . t. Devemos então determinar s e v. Para isto vamos obter um sistema de duas equações: t1 = 2,0 s 12 = s0 + v . 2,0 (1) t1 = 5,0 s 21 = s0 + v . 5,0 (2) s1 = 12 m s2 = 21 m
De (1) e (2) resulta: s0 = 6,0 m e v = 3,0 m/s. Assim: s = s0 + v t s = 6,0 + 3,0 t (SI)
41) No instante do encontro os espaços dos moveis devem ser iguais: sA = sB
10 + 60 t = 80 – 10 t 70 t = 70
t = 1,0 h instante de encontro
214
Para determinarmos a posição de encontro, basta substituirmos t = 1,0 h nas equações horárias de A e B:
SA = 10 + 60 t sA = 10 + 60 . 1,0
sA = 70 km
Confirmando: sB = 80 – 10 t sB = 80 – 10 t
sB = 70 km
42) Vamos, inicialmente, determinar as equações horárias do espaço de A e B. Para isto devemos adotar uma origem dos espaços O e orientar a trajetória. Vamos adotar como origem dos espaços a posição inicial de A e orientar a trajetória de A para B. Deste modo: sOA = 0, sOB = 250 m, vA =+15 m/s e vB = +10 m/s. Equações horárias: sA= sOA + vA . t A t = 0 B sA = 0 + 15 . t (SI) vA = + 15 m/s vB = 10 m/s + sB = sOB + vB . t O (Origem) 250 sB = 250 + 10 . t (SI) No encontro, temos: sA = sB
15 . t = 250 + 10 . t (15 – 10) t = 250 5,0 . t = 250
t = 50 s
Este exercício pode ser resolvido por velocidade relativa: os moveis A e B caminham no mesmo sentido e possuem velocidades escalares de valores absolutos 15 m/s e 10 m/s em relação a um certo referencial. É fácil notar, então, que o móvel A possui, em relação ao móvel B, uma velocidade escalar de valor absoluto 5,0 m/s (15 m/s – 10 m/s). Tudo se passa como se o móvel B estivesse parado e o móvel A tivesse que andar 250 m com velocidade de 5,0 m/s. De srel = s0 +vrel . t e adotando-se s0 = 0 (ver figura), vem:
250 = 0 + 5,0 . t t = 5,0 s
Generalizando, podemos dizer que quando dois moveis A e B caminham no mesmo sentido, a velocidade escalar de A em relação a B (ou de B em relação a A) tem valor absoluto igual à diferença entre os valores absolutos de suas velocidades escalares.
215
43) Vamos adotar como origem dos espaços O a posição inicial de A e orientar a trajetória de A para B. Deste modo: sOA = 0, sOB = 250 m, vA = +15 m/s e vB = -10 m/s. t = 0 A vA = +15 m/s vB = -10 m/s B + s (m) O ( Origem) 250 Equações horárias: sA = sOA + vA . t
sA = 0 + 15 . t (SI) sB = sOB + vB . t sB = 250 –10 . t (SI) No encontro, temos: sA = sB
15 t = 250 – 10 . t (15 + 10) t = 250
t = 10 s
Este exercício pode, também, ser resolvido por velocidade relativa: os moveis A e B caminham em sentidos opostos e possuem velocidades escalares de valores absolutos 15 m/s e 10 m/s em relação a um certo referencial. O móvel A possui, em relação ao móvel B, uma velocidade escalar de valor absoluto (15 m/s + 10 m/s), ou seja, 25 m/s. Tudo se passa como se o móvel B estivesse parado e o móvel A tivesse que andar 250 m com velocidade de 25 m/s. De srel = s0 + vrel . t e adotando s0 = 0 (ver figura), vem: 250 = 0 + 25 . t
t = 10 s
Generalizando, podemos dizer que: quando dois moveis A e B caminham em sentidos opostos, a velocidade escalar de A em relação a B (ou de B em relação a A) tem valor absoluto igual à soma dos valores absolutos de suas velocidades escalares. 44) Observe que na figura, entre o início e o fim da travessia, cada trem percorre 200 + 300 = 500 m, com velocidade escalar constante v = 72 km/h = 20 m/s. Portanto, cada ponto do trem realiza movimento uniforme: s = s0 + v.t Adotando s0 = 0 (ver figura), vem: 500 = 0 + 20 t
t = 25 s
216
45) Vamos resolver este exercício por velocidade relativa. A velocidade escalar de A em relação a B tem valor absoluto: vREL = 50 – 30 vREL = 20 km/h vrel = 20 km/h
Início da ultrapassagem 200 m 200 m
vrel = 20 km/h
Término da ultrapassagem 400 m 20 km/h Origem Assim cada ponto do trem A, percorre 200 m + 200 m = 400 m =0,400 km com velocidade relativa de 20 km/h. De srel = s0 + vrel . t e adotando s0 = 0 (ver figura), vem:
0,400 = 0 + 20 . t t = 0,400 h 20 t = 0,400 . 3600 s 20
t = 72 s
46) A velocidade escalar de A em relação a B tem valor absoluto: Vrel = 50 + 30
217
Vrel = 80 km/h Vrel = 80 km/h 200 m 200 m
400 m
80 km/h +
O( Origem)
Cada ponto A percorre 400 m = 0,400 km, com velocidade relativa de 80 km/h.
De srel = s0 + vrel . t e adotando s0 = 0 (ver figura), vem: 0,400 = 0 + 80 . t t = 0,400 h 80 t = 0,400 . 3600 s 80
t = 18 s
47) Vamos adotar o ponto de partida dos móveis como origem dos espaços e orientar a trajetória no sentido dos movimentos. Assim, temos: sOA = 0, sOB = 0, VA = + 6,0 m/s e vB = + 10 m/s. Equação horária de A: sA= sOA + vA . t sA = 0 + 6,0 . t (SI)
218
Equação horária de B: sB = sOB + vB . (t – 2,0) sB =0 + 10 . (t -2,0) (SI), com t ≥ 2,0 s A origem dos tempos (t = 0) foi adotada no instante em que o móvel A parte. Assim, como o móvel B partiu 2,0 s depois, em sua equação horária comparece a variável (t – 2,0) e na equação horária de A comparece a variável t. No encontro, temos: sA = sB
6,0 t = 10 (t – 2,0) 6,0 t = 10 t – 20
t = 5,0 s
Portanto, o encontro ocorre 5,0 s após a partida de A e 3,0 s após a partida de B. 48) som ALVO vP = 200 m/s vs = 340 m/s projétil d d Seja Δt1 o intervalo de tempo que o projetil leva para atingir o alvo e Δt2 o intervalo de tempo que o som leva para ir do alvo ao observador. Temos: Δt1 + Δt2 = 2,7 s (1) Sendo vP = Δs1 = d, vem: Δt1 = d = d Δt1 Δt1 vP 200 Analogamente, Δt2 = d = d vs 340 Em (1) temos: d + d = 2,7 200 340
219
17d + 10d = 2,7 3400 27 d = 2,7 3400
d = 340 m
49) Vamos determinar, inicialmente, o tempo que os dois trens demoram para se encontrar. A velocidade escalar de um trem em relação ao outro tem valor absoluto: vrel = 5,0 + 5,0 vrel = 10 km/h De srel = s0 + vrel . t, vem : 5,0 = 0 + 10 . t t = 0,50 h Durante t = 0,50 ha vespa moveu-se com velocidade escalar constante, de valor absoluto 8,0 km/h percorrendo a distância d tal que: d = v. t d = 8,0 . 0,50
d = 4,0 km
50) a) O gráfico de s em função de t no movimento uniforme é uma reta oblíqua aos eixos. Portanto, basta determinar dois pontos: (t1 = 1,0 s; s1 = 10 m) e (t2 = 4,0 s; s2 = 25 m). s (m) 30 20 10 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 t (s) b) Sendo o movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea coincide com a velocidade escalar média: v = Δs = s2 - s1 = 25 – 10 Δt t2 – t1 4,0 – 1,0
v = 5,0 m/s
220
Do gráfico obtido no item a) notamos que no instante t = 0 o espaço do móvel é 5,0 m, isto é, s0 = 5,0 m.
c) s = s0 + v . t s = 5,0 + 5,0 . t (SI)
51) a)Como o movimento é uniforme, o gráfico de s em função de t é uma reta oblíqua. Basta obtermos dois pontos: t = 0 s = - 6 m (ponto A) t = 3 s s = 0 (ponto B) Assim, temos: 4 2 B 0 1 2 3 4 5 -2
- 6 A
Comparando s = -6 + 2 t com s = s0 + v . t, vem: v = + 2 m/s (constante). Assim o gráfico v em função de t é uma reta paralela ao eixo do t e acima deste. s (m) 2 1 2 3 4 5 t (s) Note que o movimento é progressivo: s cresce com t e v é positivo.
221
b) s = 8 – 4 t (SI) t = 0 s = 8 m (ponto A) t = 2 s s = 0 (ponto B) s (m) 8 6 4 2
t (s) 1 2 3 v (m/s) s = 8 – 4 t v = - 4 m/s t (s) s = s0 + v t 0 -4 Note que o movimento é retrogrado: s decresce com t e v é negativo. 52) a) O espaço do móvel A decresce com o tempo e o movimento é retrógrado. O espaço de B cresce com o tempo e seu movimento é progressivo. b) No encontro, os espaços de A e de B são iguais, correspondendo ao ponto de intersecção das retas dadas. Assim o instante de encontro é t = 2 s se este ocorre na posição cujo espaço é sA = sB = 1 m.
53) Observe que o móvel está caminhando a favor da orientação positiva da trajetória.
t1 = 1 s s2 = 50 m
t2 = 3 s s2 = 250 m
222
vm =Δs = s2 – s1 = 250 – 50 Δt t2 – t1 3 – 1 + 50 +250 (+) vm = 200 2 0 (t1) (t2) s(m)
vm = 100 m/s
A velocidade escalar média no intervalo de tempo considerado é + 100 m/s positiva, e o móvel caminhou a favor da orientação positiva da trajetória. Seus espaços crescem no decurso do tempo e o movimento é progressivo. 54) A) de 1 s a 2 s
t1 = 1 s ( anterior) s1 = + 120 m t2 = 2 s ( posterior) s2 = + 80 m 5 s 4 s -80 -40 2 s 1s 0 +40 + +80 + 120 s (m) vm = Δs = s2 – s1 = (+ 80) – (+120) = -40
12 Δt t2 – t1 2 -1 1 vm = - 40 m/s
12
B) de 1 s a 5 s
t1 = 1 s (anterior) s1 = + 120 m
t2 = 5 s (posterior) s2 = - 40 m vm = Δs = (-40) – (+ 120) = - 160
15 Δt 5 – 1 4 vm = - 40 m/s As duas velocidades escalares médias são iguais. Se você calculasse em qualquer outro intervalo de tempo da tabela, obteria o mesmo resultado, pois esse móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. Observe que a velocidade escalar média é negativa e o móvel caminhou em sentido contrário à orientação positiva da trajetória. Seus espaços decrescem no decurso do tempo. Portanto, trata-se de um movimento uniforma retrógrado. 55) A e B) O movimento é uniforme, pois sua função horaria tem o tipo:
223
s = s0 + v t s = 20 – 4 t
onde s0 = 20 km (no instante inicial o móvel está a 20 km do marco zero da trajetória e
v = - 4 km/ h, constante com o tempo; seu sinal negativo significa que o movimento é
retrógrado, isto é, o móvel caminha no sentido contrário ao da orientação da trajetória, aproximando-se do marco zero.
C) Substituindo-se t = 2 h em s = 20 – 4 t, vem s = 20 – 4 2 = 20 – 8 s = 12 km
D) Substituindo – se s = 8 km em s = 20 – 4 t, vem 8 = 20 – 4 t ou 4 t = 20 – 8
t = 3 h
E) O móvel passa pela origem dos espaços quando seu espaço é nulo.
Em s = 20 – 4 t, temos 0 = 20 – 4 t t = 5 h
Observações: 1) Pelo exercício, observe que t e s não têm valores fixos. Em Matemática, t e s são
chamados variáveis da função. 2) O espaço s só localiza o móvel; não fornece nem o sentido nem a distância
percorrida. 56) Se o movimento é uniforme, sua função horária obedece à expressão s = s0 + v t, onde s0 = 15 m e v pode ser + 5 m/s se progressivo ou – 5 m/s se retrógrado. Portanto, teremos: A 0 15
A) sA = 15 + 5 t t s s m s (m) 0 15
B) sB = 15 – 5 t t s s m s (m) B 57) 0 +200 km v > 0 v < 0 P Q A 200 km B + Convém adotar:
1) origem dos espaços: estação A (marco zero).
224
2) orientação da trajetória: de A para B os marcos são positivos (note que o espaço da estação B é + 200 km);
3) origem dos tempos t = 0 h: instante simultâneo das passagens de P por A, e de Q por B (note que nesse instante os moveis estão em suas posições iniciais).
4) funções horárias do tipo s = s0 + v t, pois os movimentos são uniformes. Observe que com a orientação de trajetória de A para B, P tem movimento progressivo (v > 0), e Q retrógrado (v < 0). P s = s0 + v t Q s = s0 + v t s0 = 0 v = + 70 km/h s0 = + 200 km v = - 30 km/h
sP = 0 + 70 t t h sQ = 200 – 30 t t h
s km s km
5) encontro : no instante do encontro os moveis têm o mesmo espaço (s =s )
independentemente de quando cada qual percorreu. sP = sQ
0 + 70 t = 200 – 30 t 70 t + 30 t = 200 100 t = 200
t = 2 h (instante do encontro)
Substituindo-se t = 2 h em qualquer uma das funções horárias, obtemos a posição do encontro
t = 2 h sP = 70 t = 70 2 sP = 140 km
Para confirmar: sQ = 200 – 30 t = 200 -30 2 s = 140 km
O encontro ocorre a 140 km da origem dos espaços (estação A). Então, as respostas são: A) 2 h após as passagens de P e Q pelas estações A e B B) 140 km da estação A.
58) Enquanto o professor está escrevendo, o giz muda de posição em relação à lousa, estando, portanto, em movimento em relação a ela. b) A lousa não muda de posição em relação ao chão, estando, portanto, em repouso em relação a ele. c) Os conceitos de movimento e de repouso são simétricos, isto é, se um corpo está em movimento (ou repouso) em relação a outro, este também está em movimento (ou repouso) em relação ao primeiro. Assim, a lousa está em movimento em relação ao giz. De fato, se houver um inseto pousado no giz, por exemplo, o inseto verá a lousa passando por ele. 59) a) É possível. Confirmemos isso por meio do seguinte exemplo: Os veículos A, B e C movem-se no mesmo sentido sobre retas paralelas, com A a 30 km/h, B a 20 km/h e C a 50 km/h. O veículo A corre mais que o veículo B. Então, A está em movimento em relação a B. O veículo B corre menos que o veículo C. Então, B também está em movimento em relação a C. O veículo A corre menos que o C. Então, A também está em movimento em relação a C.
225
b) Não podemos. E isso pode ser constatado por meio do exemplo a seguir, em que consideramos novamente três veículos A, B e C movendo-se no mesmo sentido sobre retas paralelas, com A a 30 km/h, B a 20 km/h e C a 30 km/h. O veículo A corre mais que o B. Então, A está em movimento em relação a B. O veículo B corre menos que o C. Então, B está em movimento em relação a C. O veículo A corre tanto quanto C, e, por isso, A está em repouso em relação a C. 60) Observando que o espaço informa a posição da partícula em relação à origem dos espaços e não necessariamente quanto ela percorreu, temos:
Em t0: s0 = 20 m Em t4 : s4 = 20 m
Em t1: s1 = 40 m Em t5: s5 = 0
Em t2: s2 = 60 m Em t6: s6 = -20 m
Em t3: s3 = 30 m
Nota: Não importa quanto a partícula percorreu, nem o sentido em que ela se move: o espaço informa onde ela está. 61)a) Na ida, do km 12 ao km 90, temos:
Δs = sfinal – sinicial = 90 – 12 Δs = 78 km
d = Δs d = 78 km
b) Na volta, do km 90 ao km 20, temos:
Δs = sfinal – sinicial = 20 – 90 Δs = - 70 km
d = Δs d = 70 km
c) No movimento de ida e volta, temos:
Δs = sfinal – sinicial = 20 – 12 Δs = 8 km
d = dida + dvolta = 78 + 70 Δs =148 km
62) a) Entre t1 e t2 , temos:
Δs = s2 – s1 = 250 – 10 Δs = 240 km
Δt = t2 – t1 = 12 – 8 Δt = 4 h Então:
vm = Δs = 240 vm = 60 km/h
Δt 4 Note que esta velocidade resultou positiva, pois o movimento ocorreu no sentido da trajetória.
a) Entre t2 e t3, temos:
Δs = s3 – s2 = 10 – 250 Δs = - 240 km
Δt = t3 – t2 = 14 – 12 Δt = 2 h Então :
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vm = Δs = - 240 vm = -120 km/h
Δt 2 Observe que essa velocidade resultou negativa, pois o movimento ocorreu em sentido contrário ao da trajetória. b) Entre t1 e t3, temos:
Δs = s3 – s1 =10 – 10 Δs = 0
Δt = t3 – t1 = 14 – 8 Δt = 6 h Assim:
vm = Δs = 0 vm = 0
Δt 6 Nota: Esse resultado costuma decepcionar as pessoas que esperam da Física uma utilidade prática. De fato, não é esse cálculo que interessa fazer na prática, mas sim outro, que é o quociente da distância percorrida realmente pelo motociclista (480 km: 240 km na ida e mais 240 km na volta) pelo intervalo de tempo (6 h). Entretanto, o tratamento matemático que estamos dedicando ao estudo do movimento é útil e facilita a resolução de muitos problemas reais. Convém dizer, ainda, que este resultado estranho do ponto de vista prático, é normal do ponto de vista matemático: uma grandeza que é positiva, durante um intervalo de tempo e negativa num outro intervalo pode ter valor médio nulo no intervalo de tempo total. 63) Nos instantes t1 = 0 e t2 = 2 s, temos:
s1 = 2 . 03 + 8 . 0 s1 = 0
s2 = 2 . 23 + 8 . 2 s2 = 32 m Portanto:
Δs = s2 – s1 = 32 - 0 Δs =32 m
Δt = t2 – t1 = 2 – 0 Δt = 2 s Finalmente:
vm = Δs = 32 vm = 16 m/s
Δt 2
64) De A e B, temos:
v1 = ΔsAB = d ΔtAB = d ΔtAB ΔtAB v1
De B a C, temos:
v2 = ΔsBC = d ΔtBC = d ΔtBC ΔtBC v2
No percurso total de A a C, temos: vm = ΔsAC = 2d = 2d ΔtAC ΔtAB + ΔtBC d + d
v1 v2
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Assim, obtemos a resposta: vm = 2 v1 v2
V1 + v2
Nota: Na situação estudada neste exercício, a velocidade escalar média não é
v1 + v2 , como se poderia supor. Além disso, ela não depende das distâncias d. 2 65) a) 7 000 m f) 0,85 m b) 300 s g) 0,6 kg c) 28 800 s h) 4 000 kg d) 5,80 m i) 3,2 kg e) 15 m 66) a) 2 000 000 m2 d) 0,012 m2
b) 80 000 m2 e) 1,5 m2
c) 0,9 m2 f) 0, 01 m2
67) a) 0, 05 m3
b) 7 . 10 m-4 m3
c) 0,01 l 68) 0,3 m3
69) a) Se o carrinho parte do ponto A, sua posição inicial é si = -30 m. A posição final é indicada pela abcissa do ponto D, que é igual a sf = -80 m. b) O deslocamento é dado pela diferença entre as posições final e inicial.
Δs = sf – si Δs = - 80 – (- 30) Δs = -50 m O deslocamento foi no sentido contrário ao sentido positivo da trajetória. Em módulo: Δs = 50 m. c) A distância total percorrida (espaço percorrido) é dada por:
d = AC + CD d = 100 – (30) + -80 – 100 d = 310
FIM
