Insper Competição Imperfeita e Teoria dos Jogos Adhemar Villani Jr

Leilão de primeiro preço com lances selados

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Cenário de competição assumido

• Um objeto indivisível vai para leilão com dois potenciais compradores: i = 1, 2

• As avaliações privadas v1 e v2 dos jogadores são independentemente extraídas de uma distribuição uniforme no intervalo contínuo [0,1] – Cada jogador sabe a sua avaliação sorteada, mas conhece

apenas a distribuição da avaliação do oponente • Os lances não-negativos b1 e b2 são feitos

simultaneamente; quem der o maior lance leva o objeto pagando seu lance – O payoff do vencedor i é vi - bi

– O payoff do perdedor é zero – Desempates são resolvidos no cara-ou-coroa

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Estratégias dos compradores

• O espaço de estratégias para cada comprador é o de todas as funções bi tais que:

bi: [0,1] R+

• No caso, cada comprador escolherá uma “função lance”, tendo como argumento a sua própria avaliação: bi(vi)

Tipos (avaliações)

Ações (lances)

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Equilíbrio de Nash Bayesiano

• Funções b1ENB(v1) e b2

ENB(v2) tais que:

Para cada v1 ∈ [0,1]:

b1ENB(v1) ∈ argmax b1≥0 𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓1 𝑏1, 𝑏2

𝐸𝑁𝐵 𝑣2 ; 𝑣1 . 1. 𝑑𝑣21

0

Para cada v2 ∈ [0,1]:

b2ENB(v2) ∈ argmax b2≥0 𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓2 𝑏2, 𝑏1

𝐸𝑁𝐵 𝑣1 ; 𝑣2 . 1. 𝑑𝑣11

0

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Equilíbrio de Nash Bayesiano: “chute” educado

• É razoável supor que b1ENB(.) e b2

ENB(.) sejam funções estritamente crescentes; nesse caso:

bi> bjENB(vj) ↔ bj

-1 ENB(bi)> vj

• Portanto: bi

ENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓𝑖 𝑏𝑖 , 𝑏𝑗𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑗 ; 𝑣𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗

1

0

biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗

𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

0+

50%. 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 + 50%. 0 . 1. 𝑑𝑣𝑗𝑏𝑗

−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

+ 0.1. 𝑑𝑣𝑗1

𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

i vence

i perde empate

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Equilíbrio de Nash Bayesiano: “chute” educado

• Continuando...

biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗

𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

0

biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗

𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

0

biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 𝑏𝑗

−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

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Equilíbrio de Nash Bayesiano simétrico e diferenciável

• Vamos procurar o ENB onde exista:

– Simetria: b1ENB(.) = b2

ENB(.) = bENB(.)

– Diferenciabilidade na função bENB(.)

• Então: biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 𝑏𝑗

−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

CPO:−𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖

𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑏𝑗

−1′ 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 = 0

−𝑏−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 − 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑏−1′ 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 = 0

Usando diferenciabilidade

Usando simetria

= −𝑣𝑖 =1/𝑏′ 𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖

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Equilíbrio de Nash Bayesiano simétrico e diferenciável

• Rearranjando: 𝑣𝑖 = 𝑏′ 𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑣𝑖 + 𝑏 𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖

𝑣𝑖2

2+ 𝑘 = 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑣𝑖

𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 =𝑣𝑖2

Integrando ambos os lados

k=0 pela equação acima com vi=0