13/04/2023 1

LEI DOS SENOS E O CÁLCULO DO RAIO DA TERRA

Lossian Miranda1, Oannes de Oliveira Miranda2 1 CEFET-PI/Coordenação de Matemática e

Física/lossian@oi.com.br2 Instituto Antoine de Lavoisier

-Teresina-PI/zoannes@hotmail.com

13/04/2023 2

ResumoSupondo que a Terra seja esférica e, usando os

conceitos básicos da trigonometria do plano, mostramos o modelo teórico que possibilita o cálculo do raio terrestre. Revisitamos a grande experiência de Eratóstenes e usamos a lei dos senos para calcular a distância de um observador até a linha do horizonte.

13/04/2023 3

Exclusivamente a partir do cálculo de um ângulo vertical e dois ângulos horizontais, na prática feitos com auxílio de teodolito, nossos resultados teóricos nos permitem encontrar o valor do raio da Terra, independentemente do cálculo da altura em que se encontra o observador juntamente com o teodolito.

Palavras-chave: Raio da Terra, lei dos senos, teodolito.

13/04/2023 4

Introdução

Apesar de já se terem passado mais de dois mil anos desde que Eratóstenes realizou a experiência do cálculo do raio da Terra, inicialmente usando a proporcionalidade direta existente entre o comprimento de arco determinado por dois pontos de um meridiano e o valor dos ângulos por eles determinados, os experimentos relativos a este importante problema continuam a fascinar a Humanidade, e são sempre muito atuais, tendo em conta o fato de que nosso planeta encontra-se em constante mutação, e as correções para o raio terrestre em cada ponto são de grande importância para a indústria da navegação aérea e das telecomunicações.

13/04/2023 5

No entanto, nosso objetivo ao abordarmos a questão é o de simplesmente levar aos alunos do ensino médio a mais extraordinária aplicação da trigonometria já planejada pelo homem. É uma experiência que mostra ao aluno a matemática como ação concreta na construção da história do Mundo e dos homens.

13/04/2023 6

O raio da Terra como função da posição de um ponto no horizonteEntenderemos como horizonte uma curva

imaginária, relativa à visão de um observador, a qual corresponde à fronteira entre o céu e a terra, ou entre o céu e o mar. Caso a Terra fosse uma perfeita esfera, o horizonte seria uma calota esférica. Chamaremos linha de visada do horizonte à semi-reta que vai do observador (mais precisamente da luneta de observação do observador postada em um teodolito, ou qualquer outro meio de observação), até um ponto do horizonte.

13/04/2023 7

A união de todas as linhas de visada do horizonte corresponde a um cone com vértice no ponto de referência da observação. Todas as linhas de visada do horizonte são tangentes à superfície terrestre, e o centro da Terra, o ponto de referência da observação e o ponto de tangência (intersecção da linha de visada com a superfície da Terra), determinam um plano que passa pelo centro da Terra, estando a linha de visada, contida neste plano (veja figuras 01 e 02). Em nossa exposição, consideraremos a Terra como sendo uma perfeita esfera, hipótese razoável dentro de um grau de muita precisão, para as grandes distâncias que iremos procurar.

13/04/2023 8

13/04/2023 9

Sejam: a) O, o centro da Terra; b) A, o ponto de referência do observador (na

prática, local que corresponde ao centro da “mesa” de um teodolito);

c) C, ponto de intersecção da superfície da Terra com o segmento ;

d) B, um ponto qualquer escolhido no horizonte relativo ao observador postado, juntamente com seu teodolito (ou outro qualquer meio de observação de distâncias e ângulos, o qual chamaremos de agora em diante, simplesmente por teodolito);

13/04/2023 10

e) D, projeção ortogonal de B sobre o segmento

f) 2, o ângulo entre os segmentos concorrentes

g) 1, o ângulo entre os segmentos concorrentes

h) r, o comprimento do segmento correspondente ao raio da Terra.

e OB.OA

e AB.OA

OA

OB

13/04/2023 11

 

13/04/2023 12

13/04/2023 13

13/04/2023 14

O teodolito e o cálculo da distância até o horizonte

A distância AB do observador até o horizonte pode ser calculada com o auxílio das medidas de ângulo feitas por um teodolito e conveniente uso da lei dos senos.

13/04/2023 15

13/04/2023 16

13/04/2023 17

Bibliografia

Lima, Elon Lages - Meu Professor de matemática e outras. Histórias - SBM - 1991.