JUROS4.1
74
MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Paulo Neves
-
Upload
rejane-david -
Category
Documents
-
view
53 -
download
4
Transcript of JUROS4.1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Paulo Neves
Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou sistema, sem o prévio consentimento da Editora.
Unimarco Editora Av. Nazaré, 900 Tel. 274-5711
Sumário
Juros ........................................................................................01
Tipos de capitalizações ............................................................01
Fluxo de caixa .........................................................................03
Descontos ................................................................................09
Fórmula do desconto comercial ...............................................11
Equivalência de capitais ...........................................................14
Juros compostos ......................................................................16
Desconto composto ..................................................................21
Taxa nominal/Taxa efetiva ......................................................26
Série uniforme de pagamentos ou recebimentos ......................32
JUROS
Podemos definir juros como a remuneração pela aplicação de um capital, ou como um aluguel pelo empréstimo de dinheiro.
Como capital podemos definir qualquer importância em dinheiro, que se está disposto a investir.
Taxa de juros é o valor pago pelo empréstimo, ou recebido pelo investimento; sempre está relacionada com um período de tempo, a taxa de juros sempre é conceituada em termos de porcentagem, sendo que para seu cálculo a transformamos em número decimal, ou seja, dividimos por 100 seu valor em porcentagem.
TIPOS DE CAPITALIZAÇÕES
Existe primordialmente dois tipos de capitalização que são conceituados de Juros Simples e Juros Compostos.
Juros simples são aqueles que incidem sempre sobre o capital inicial, ou seja, se fizermos um empréstimo de R$ 100,00 sempre os juros vão incidir sobre os R$ 100,00. Por exemplo, se tomarmos emprestados R$ 100,00 a uma taxa de 10% a.m. durante o período de 6 meses, sua representação gráfica é desta forma:
CAPITAL JUROS TEMPO VALOR DOS JUROS CAPITAL +JUROS100,00 10% 0 0 100,00100,00 10% 1 10,00 110,00100,00 10% 2 20,00 120,00100,00 10% 3 30,00 130,00100,00 10% 4 40,00 140,00100,00 10% 5 50,00 150,00100,00 10% 6 60,00 160,00
1
Podemos notar pelo gráfico, que os juros simples crescem em uma razão linear, ou seja, cresce em uma razão de progressão aritmética, ou PA.
Para o cálculo de juros simples, temos necessidade de utilizar duas fórmulas que são as sequintes:
Para determinarmos o montante, ou seja, a somatória dos juros mais o capital inicial:
Fv = Pv + Pv.i.n
onde:
Fv = montante, ou valor futuro Pv = valor presente, ou capital inicial, ou valor atuali = taxa de juros *n = tempo *
* Taxa de juros e tempo devem sempre estar na mesma base, ou seja, na mesma unidade de tempo.
2
Para determinarmos os juros:
J = Pv.i.n.
onde:
J = jurosPv= valor presente, ou capital inicial, ou valor atuali = taxa de jurosn = tempo
FLUXO DE CAIXA
O fluxo de caixa é a representação gráfica do investimento ou do empréstimo, onde na sua reta horizontal representa o tempo, as retas verticais representa o investimento ou o empréstimo, sendo que as retas verticais para baixo da linha do tempo significa valores negativos, ou saída de caixa e suas retas verticais para cima da linha do tempo significa valores positivos, ou entrada de caixa.
3
Exemplo de resolução de exercício de juros simples
Determinar o montante de um empréstimo de R$ 5.000.000,00 a uma taxa de 15% a.m., emprestados durante 9 meses.
FLUXO DE CAIXA
Fv= Pv + Pv.i.n
Fv = 5.000,00 + 5.000,00 x 0,15 x 9Fv = 5.000,00 + 6.750,00Fv = 11.750,00 Determinar o juros simples de um empréstimo de R$ 6.000,00 a taxa de 240%
a.a. emprestados durante 19 meses
J = Pv.i.n.J = 6.000,00 x (2,40/12) x 19J = 6.000,00 x 0,20 x 19J = 22.800,00
Assim podemos afirmar que somente com as duas fórmulas podemos resolver qualquer problema que envolva juros simples.
4
EXERCÍCIOS
1) Aplicou-se hoje R$ 100.000,00 a taxa de 5% a.t. determinar:a) Montante no final de 4 anos.b) Montante no final de 1 ano e meio.
R a = 180.000,00 b= 130.000,00
2) Um capital de R$ 150.000,00, foi aplicado durante seis meses à taxa de juros simples de 10% a.s. Determinar o valor dos juros correspondentes ao empréstimo.
R = R$ 15.000,00
3) Qual o tempo necessário para que R$ 2.500,00 produza o montante de R$ 5.395,00, aplicado à taxa de juros simples de 8% a.a. com capitalizações anuais
R = 14 anos 5 meses e 21 dias.
4) Calcular os juros de 1% a.m. capitalizados mensalmente sobre o capital de R$ 5.000,00 aplicados durante 48 meses
R = R$ 2.400,00
5) Calcular o montante de um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante dois anos a taxa de 20% a.a. com capitalizações anuais.
R = R$ 2.800,00
6) Calcular os juros simples auferidos sobre um capital de R$ 3.000,00 aplicado a taxa de 15% a.s. durante dois anos com capitalizações semestrais.
5
R = R$ 1.800,00
7) Durante quanto tempo R$ 2.500,00 produzem R$ 1.200,00 de juros simples, aplicado a uma taxa de 12% a.s. com capitalizações semestrais
R = 4 semestres
8) Calcular os juros simples de um capital de R$ 4.000,00 aplicado à taxa de 2% a.m. durante 8 meses.
R = R$ 640,00
9) Qual o capital que aplicado a 3% a.t. durante um trimestre renderá juros simples de R$ 4.002,68?
R = R$ 133.422,67
10) Um capital esteve aplicado durante 6 semestres à taxa de 6% a.t. Os juros produzidos foram R$ 1.417,82. Calcular o capital.
R = R$ 1.969,19
11) Uma pessoa deposita R$ 1.000,00 no inicio do ano à taxa de 1% a.m. Determinar qual o montante do final de um ano.
R = R$ 1.120,00
12) Um capital de R$ 50.000,00, foi aplicado hoje a uma taxa de juros simples de 10% a.t. No final da aplicação será apurado um montante de R$ 130.000,00. Determine por quanto tempo este capital ficará aplicado
R = 16 trimestres
13) Em quanto tempo um investimento de R$ 30.000,00 ficará valendo R$ 60.000,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 24% a.a. ?
R = 50 meses
6
14) Qual o capital que aplicado durante 4 anos à taxa de 3% a.m. produz juros simples de R$ 3.600,00 ?
R = R$ 2.500,00
15) A que taxa deve-se aplicar o capital de R$ 6.000,00 para que em três meses produza o montante de R$ 6.400,00?
R = 2,22% a.m.
16) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.000,00 deve ser empregado à taxa de 2% a.m. para produzir o montante de R$ 3.500,00 ?
R = 3 anos 1 mes e 15 dias
17) Determinar o prazo que pela aplicação de um capital os juros simples auferidos sejam exatamente 3/4 do capital inicial aplicado à taxa de 2% a.m.
R = 3 anos 1 mes e 15 dias
18) A que taxa um capital duplica em quatro anos ?
R = 25% a.a.
19) Uma pessoa aplicou 1/3 de seu capital a taxa de juros simples a 20% a.a. e o restante a 15% a.a. No final de três anos os juros somaram R$ 3.000,00. Qual foi o capital empregado?
R = R$ 6.000,00
20) A terça parte de um capital foi aplicado a taxa de juros simples à 18% a.a. A quarta parte a 20% a.a. e o restante a 15% a.a. No final de três anos os juros simples somaram R$ 5.000,00. Qual foi o capital empregado ?
7
R = R$ 9.661,84
21) Uma pessoa dividiu seu capital em duas partes iguais, aplicando a primeira a 12% a.a. e a segunda a 15% a.a. No final de dois anos os juros da segunda cota excederam os da primeira em R$ 120,00. Qual o capital aplicado ?
R = R$ 4.000,00
22) Uma pessoa aplicou 2/3 de seu capital a 3% a.t. e o restante a 5% a.s. No final de três anos os juros da primeira aplicação excederam os da segunda em R$ 20.457,00. Qual foi o capital aplicado ?
R = R$ 146.121,43
23) Dois capitais aplicados à taxa de 2% a.m., durante doze meses produziram R$ 1.064,00 de juros simples. Calcular os capitais sabendo-se que os juros do primeiro excederam os do segundo em R$ 152,00.
R = R$ 2.533,33 e R$ 1.900,00
24) Um capital aplicado a juros simples durante quatro meses elevou-se a R$ 9.020,00. Se este capital tivesse sido aplicado durante dez meses, o montante produzido seria R$ 10.250,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples.
R = R$ 8.200,00 e 2,5% a.m.
25) Ao final de quanto tempo os capitais de R$ 1.800,00, aplicado a taxa de 18% a.a., e R$ 2.200,00, aplicado à taxa de 12% a.a., produzirão montantes iguais?
R = 6 anos e 8 meses
26) No princípio do ano foi aplicado um capital à 4,5% a.a. Depois de oito meses foi retirado o seu total e foi aplicado à 5% a.a. Assim no final de um ano foi produzido um total de juros simples de R$ 4.254,00. Qual foi o capital aplicado?
R = R$ 91.157,27
8
27) Um comerciante tinha um contrato de empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo máximo de um ano, a taxa de juros simples de 6% a.a. Depois de algum tempo encontra outra instituição financeira que consente emprestar a mesma importância à taxa de juros simples de 4,5% a.a. Então ele reembolsa o primeiro credor e dirige-se ao segundo. O total de juros simples pagos no ano foi de R$ 512,50. Pergunta-se por quanto tempo o comerciante dispôs da quantia recebida pelo primeiro credor?
R = 5 meses
28) Qual o valor a ser pago no final de cinco meses e dezoito dias , correspondente a um empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 17% a.s.?
R = R$ 144.832,40
29) Um investidor aplicou seu capital de R$ 20.000,00 à taxa de juros simples a 18% a.a. Depois de algum tempo a taxa foi aumentada para 24% a.a. Calcular o tempo que vigorou a taxa de 18% a.a., sabendo-se que no final de um ano os juros simples somaram R$ 4.000,00
R = 8 meses
30) Um capital aplicado a juros simples durante 3 anos e 9 meses, produziu o montante de R$ 16.510,98. Calcular esse capital, sabendo-se que durante os dois primeiros anos a taxa de juros foi de 10% a.s., passando depois para 6% a.t.
R = R$ 9.071,97
9
DESCONTOS
O conceito de desconto é a diferença entre um valor futuro, com o seu valor atual na data da operação. Dentro deste conceito o desconto está sempre associado a uma taxa e o tempo que este representa.
Existem três tipos de descontos: Comercial, ou bancário; Desconto Racional e Desconto Composto.
Desconto comercial ou bancário: aquele que é efetuado em razão de cálculos lineares, que é amplamente utilizado nos nossos meios financeiros.
Desconto Racional: aquele efetuado sobre o valor presente. Suas fórmulas de cálculo são DR = Pv x id x t ou DR = Fv x id x t
----------- 1+ id x t
ou DR = DC ---------- 1+ id x t
onde:
Pv = valor presente ou capital inicialDR = desconto racionalFv = montante ou valor futuroid = taxa de descontot = tempo de antecipaçãoDC = Desconto Comercial
Este tipo de desconto não é utilizado em nossos meios financeiros; por este motivo só mostramos as formulas de resolução, sem nos estendermos mais.
Desconto Composto: falaremos mais a seguir em juros compostos.
10
Desconto comercial, ou bancário, corresponde aos abatimentos calculados sobre o valor nominal do título.
O desconto comercial também conhecido por Desconto Bancário, ou desconto por fora, sendo que para calcularmos, basta aplicar uma proporcionalidade entre a taxa de desconto, o prazo de desconto e o próprio valor nominal.
O Desconto Comercial, corresponde aos juros simples calculados sobre o valor nominal.
FLUXO DE CAIXA DO DESCONTO COMERCIAL
FÓRMULA DO DESCONTO COMERCIAL
11
Dc = Fv x id x t
Dc = Fv x id x (n - t)
onde:
Dc = desconto ComercialFv = montante ou valor futuroid = taxa de descontot = tempo de antecipaçãon = tempo de vencimento
Exemplo:
Uma duplicata de R$ 450.000,00, cujo vencimento era para 15 meses foi resgatada 6 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 15% a.m. Calcular o desconto comercial.
FLUXO DE CAIXA
Dc = Fv x id x t
Dc = 450.000,00 x 0,15 x 6Dc = 405.000,00
Pv(x) = Fv - DcPv(x) = 450.000,00 - 405.000,00Pv(x) = 45.000,00
EXERCÍCIOS
12
31) Uma nota promissória de valor nominal de R$ 16.000,00 deve ser resgatada seis meses antes de seu vencimento à taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o valor do desconto comercial
R = R$ 3.840,00
32) Uma duplicata de R$ 8.000,00 deve ser resgatada antes de seu vencimento por um prazo de três meses à taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto comercial
R = R$ 960,00
33) Um título de R$ 5.000,00, foi resgatado quatro meses antes de seu vencimento por R$ 4.400,00. Calcular a taxa de desconto comercial empregada nesta operação financeira.
R = 3% a.m.
34) Calcular o desconto comercial de um título de R$ 8.000,00 à taxa de 1,5% a.m., resgatado cinco meses antes de seu vencimento .
R = R$ 600,00
35) Uma nota promissória de valor nominal de R$ 2.000,00, foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 1.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial empregada nesta operação financeira é de 15% a.a. Calcular o tempo de antecipação do pagamento
R = 20 meses
36) O valor atual de uma duplicata é igual a 3/4 do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto comercial, sabendo-se que oito meses antes de seu vencimento o pagamento foi efetuado.
R = 3,125% a.m.
37) O valor nominal de um título é igual a vinte vezes o valor de seu desconto comercial à taxa de 20% a.a. Calcular o tempo de antecipação do pagamento.
13
R = 3 meses
38) Uma duplicata de R$ 70.000,00, com vencimento para 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% a.m. Calcular o valor líquido entregue ao cliente, de acordo com o conceito de desconto comercial bancário
R = R$ 64.330,00
39) Uma pessoa aplicou seu capital de R$ 1.200,00 em letras de câmbio, para resgatar R$ 1.425,00 após 90 dias. Quando faltava 15 dias para o vencimento da letra de câmbio, descontou-a, com taxa de desconto comercial de 8% a.m., e depositou o valor apurado em uma conta de prazo fixo, com rendimento de 10% a.m. de juros simples, por 60 dias.
a) Qual foi seu rendimento (juros) considerando-se todas as operações ?b) Qual a taxa mensal de juros simples que corresponde ao rendimento total ?
R = a) R$ 441,60 b) 8,18% a.m.
40) Uma pessoa aplicou R$ 100.000,00 em Letras de Câmbio, que lhe renderiam 180% a.a. em um ano que seria a data de seu vencimento. Entretanto, dez meses após a aplicação o investidor resolve resgatar as Letras de Câmbio com desconto comercial de 15% a.m.
a) Quanto recebeu ao resgatá-lasb) A que taxa mensal de juros simples esteve empregado o capital durante os dez
meses
R = a) R$ 196.000,00 b) 9,6% a.m.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
14
Equivalência de Capitais em juros simples é muito utilizada no conceito de desconto de títulos ou duplicatas. Quando descontamos uma duplicada em um banco, ou fazemos um empréstimo e caucionamos este empréstimo com duplicatas, e por algum motivo temos necessidade de substituir esta duplicata, mas verificamos que não temos em nosso poder duplicatas no mesmo vencimento e com o mesmo valor nominal diferentes das que temos necessidade de substituir, aplica-se o conceito de equivalência de capitais.
A fórmula utilizada nesta substituição de duplicatas ou títulos é seguinte:
VA = VA1 + VA2 + VAn = VA1' + VA2' + VAn'onde:
VA1+VA2+VAn = VA1+VA2+VAn' substituído por Fv – Fv x id x t
Exemplo:
Temos que substituir três duplicatas no valor de R$ 5.000,00 cada uma vencíveis dentro de 30, 60 e 90 dias por uma outra de mesmo valor nominal com vencimento para 120 dias. Determinar este valor sabendo-se que a taxa de desconto comercial para esta operação é de 12% a.m.
FLUXO DE CAIXA
VA = VA1 + VA2 + VA3 = VA1'
VA1 = Fv - Fv x id x tVA1 = 5.000,00 - (5.000,00 x 0,12 x 1)VA1 = 5.000,00 - 600VA1 = 4.400,00
VA2 = Fv - Fv x id x t
15
VA2 = 5.000,00 - (5.000,00 x 0,12 x 2)VA2 = 5.000,00 - 1.200,00VA2 = 3.800,00
VA3 = Fv - Fv x id x tVA3 = 5.000,00 - (5.000,00 x 0,12 x 3)VA3 = 5.000,00 - 1.800,00VA3 = 3.200,00
VA1'= Fv - Fv x id x tVA1'= X - X . 0,12 . 4VA1'= X - 0,48xVA1'= 0,52x
VA = VA1 + VA2 + VA3 = VA1'VA = 4.400,00 + 3.800,00 + 3.200,00 = 0,52xVA = 11.400,00 = 0,52x
X = 11.400,00 -------------- 0,52
X = 21.923,08
EXERCÍCIOS
41) Um título de R$ 5.000,00 vencível em três meses, substituiu dois outros de mesmo valor nominal vencíveis, respectivamente dentro de cinco e oito meses. Calcular o
16
valor nominal dos títulos substituídos, sabendo-se que a taxa do desconto comercial é de 1,5% a.m.
R = R$ 2.645,43 cada um
42) Uma duplicata de valor nominal de R$ 10.000,00, com vencimento para noventa dias, foi substituída por duas duplicatas de mesmo valor nominal, vencíveis em 100 e 150 dias respectivamente. Calcular o valor nominal destas duplicatas, sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.m.
R = R$ 5.200,00
43) Hoje, uma pessoa devedora de um título de R$ 10.000,00 com vencimento para oito meses, pretende resgatar a dívida com um pagamento de R$ 6.000,00, no final de três meses, e o saldo no final de um ano. Empregando-se a taxa de desconto comercial de 2% a.m. Calcular o valor deste último pagamento
R = R$ 3.631,57
44) Com a finalidade de substituir uma duplicata de R$ 6.000,00, com vencimento para 30 dias, uma pessoa entrega ao credor, a importância de R$ 1.420,00 hoje e mais uma duplicata de R$ 5.000,00, com vencimento para 120 dias. Qual foi a taxa de desconto comercial empregada nesta operação financeira?
R = 3% a.m.
45) Um título vencível em um ano, de valor nominal de R$ 20.000,00 substituiu outros dois de R$ 8.000,00 cada um, vencíveis respectivamente dentro de seis e oito meses. Calcular a taxa de desconto comercial empregada nesta operação financeira.
R = 3,13% a.m.
46) Três títulos de R$ 1.200,00 cada um, vencíveis respectivamente dentro de 30, 60 e 90 dias, serão substituídos por dois títulos de R$ 2.500,00 cada um, vencíveis dentro de 120 e 150 dias respectivamente. Calcular a taxa de desconto comercial empregada nesta operação.
R = 9,15% a.m.
17
JUROS COMPOSTOS
Na capitalização composta os juros incidem sempre sobre o capital e este somado aos juros passados, assim podemos afirmar que a taxa varia exponencialmente em razão do tempo; assim o nosso crescimento é em uma progressão geométrica (PG.).
18
CAPITAL JUROS TEMPO VALOR JUROS CAPITAL + JUROS
100,00 10% 0 0 100,00100,00 10% 1 10,00 110,00110,00 10% 2 11,00 121,00121,00 10% 3 12,10 133,10133,10 10% 4 13,31 146,41146,41 10% 5 14,64 161,05161,05 10% 6 16,11 177,16
Assim notamos pelo gráfico que os juros compostos tem crescimento em curva onde afirmamos que o seu crescimento é através de uma PG. ou crescimento exponencial.
A fórmula de crescimento de juros compostos é a seguinte:
Fv= Pv.(1+i)n
19
onde:
Fv= Montante ou capital mais os juros ou valor futuroPv = Capital inicial ou Valor presentei = Taxa de juros *n = Tempo *
* Taxa de juros e tempo devem sempre estar na mesma base, ou seja, na mesma unidade de tempo
Assim nós também podemos chamar esta fórmula como Fator de Atualização de Capital, pois com ela, (1+i)n determinamos o fator ou coeficiente que determinamos um montante, ou um valor futuro, ou seja o capital acrescido de juros.
Exemplo
Qual o montante pela aplicação de um capital de R$ 100.000,00, aplicado durante 15 meses à uma taxa de 12% a.m.
FLUXO DE CAIXA
Fv = Pv x (1+i)n
Fv = 100.000,00 x (1+0,12)15 Fv = 100.000,00 x (5,473566)Fv = 547.356,58
20
EXERCÍCIOS
46) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00, que será quitado de uma só vez, no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 25% a.s. Calcular o valor a ser pago pela empresa
R = R$ 1.708.984,38
47) Um negociante adquiriu um imóvel por R$ 100.000,00 e pretende revendê-lo daqui a 20 meses. Qual o valor mínimo de venda aplicando-se a taxa de juros compostos de 24% a.m.
R = R$ 7.386.414,98
48) Qual o montante acumulado em 24 meses a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um principal de R$ 2.000,00
R = R$ 3.216,87
49) Quanto teremos daqui a 48 meses a uma taxa de juros compostos de 24% a.a., no regime de capitalização composta com uma aplicação de R$ 1.000,00
R = R$ 2.364,21
50) Qual o montante acumulado no final de 4 anos ao se aplicar R$ 100.000,00 hoje a uma taxa de 5,5% a.m.
R = R$ 1.306.526,02
51) Uma mercadoria custa a vista R$ 65.032,20 e pode ser financiada a 5% a.m. para pagamento em 180 dias. Pergunta-se qual o valor desta mercadoria financiada
R = R$ 87.149,3752) Um pai dedicado deposita R$ 1.000,00 em nome de seu filho em caderneta de
poupança que rende juros de 0,5% a.m. Quanto terá o feliz garoto depois de 4 anos
21
R= R$ 1.270,49
53) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 5% a.m. Deixou aplicado durante alguns anos, obtendo um montante de R$ 57.910,00. Quantos anos durou este investimento?
R = 3 anos
54) Dispondo de uma taxa de 3% a.m., de juros compostos, em quanto tempo dobraremos o capital?
R = 23 meses e catorze dias
55) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma Instituição Financeira é de 5%. Determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 25.525,63
R = 5 trimestres
56) Uma financeira empresta R 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,64, no final de 2 anos. Calcular os juros compostos mensais que é cobrado por esta financeira
R = 8% a.m.
57) Em que prazo uma aplicação de R$ 218.978,57, gera um montante de R$ 500.000,00 à taxa de 3,5% a.m. ?
R = 24 meses
22
58) A que taxa de juros compostos, um capital aplicado pode ser resgatado pelo dobro de seu valor no final de 35 meses
R = 2% a.m.
59) Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje R$ 1.000,00 para receber R$ 1.343.42, daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento, no regime de capitalização composta?
R = 3% a.m.
60) Uma pessoa aplica R$ 150.000,00 com resgate para dois anos, faz outro investimento de R$ 100.000,00 para resgate em três anos, a taxa de aplicação no regime composto é de 3% a.m. No final dos dois anos reaplica o primeiro investimento por mais um ano. Pergunta-se quanto recebeu no final dos três anos pelas aplicações?
R = R$ 724.569,57
DESCONTO COMPOSTO
O desconto composto também é um Fator de Atualização de Capital, onde são retirados os juros compostos de um determinado investimento, para encontrarmos
23
o Valor Presente do Investimento, ou seja, onde os juros são sacados de um Montante através de uma taxa de juros e um determinado tempo.
Vejamos pelo gráfico como se comporta o desconto composto
MONTANTE DESC. TEMPO VR.DESCONTO MONT. - DESC.
100,00 10% 0 0 100,00100,00 10% 1 10,00 90,00 90,00 10% 2 9,00 81,00 81,00 10% 3 8,10 72,90 72,90 10% 4 7,29 65,61 65,61 10% 5 6,56 59,05 59,05 10% 6 5,90 53,14
Notamos que pelo gráfico o desconto composto se comporta em curva, assim análisamos que se trata de uma equação exponencial, cuja fórmula é a seguinte:
{1/(1+i)n}
Para determinarmos o valor presente de um montante, ou seja, atualizar o valor futuro ou montante, utilizamos a seguinte formula:
Pv = Fv x {1/(1+i)n }
onde:
24
Pv = valor presente, ou valor atual
Fv = valor futuro, ou montante, ou valor presente + juros
i = taxa de juros *
n = tempo *
* i e n sempre deverão estar na mesma base, ou seja, na mesma unidade de tempo
Exemplo
Determinar o valor atual de um empréstimo de R$ 100.000,00, restagado 60 dias antes do prazo à uma taxa de desconto composto de 8% a.m.
FLUXO DE CAIXA
Pv = Fv x 1/ (1+i)n
Pv = 100.000,00 x {1/(1+0,08)2 }
Pv = 100.000,00 x {1/(1,166400}
25
Pv = 100.000,00 x {0,857339}
Pv = 85.733,88
EXERCÍCIOS
61) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 100.000,00, no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 8 meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 15% a.m., determine o seu valor presente
R = R$ 32.690,18
62) No final de dois anos o Sr. Procópio deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00, referente ao valor de um empréstimo contraido hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 3,5% a.m. Pergunta-se qual o valor do empréstimo ?
R = R$ 87.591,43
63) Qual o capital que aplicado a juros compostos de 2% a.m., durante dois anos e meio, produz o montante de R$ 250.000,00 ?
R = R$ 138.017,72
64) A que taxa de juros compostos devemos aplicar um capital de R$ 100.000,00, para obtermos o montante de R$ 144.000,00 em 2 meses ?
R = 20% a.m.
65) Qual o principal que deve ser aplicado hoje, para termos um acumulado de R$ 1.000,00 daqui a 12 meses no regime de juros compostos a uma taxa de 3% a.m. ?
R = R$ 701,38
66) Qual o valor atual de uma letra de câmbio que tem o valor de resgate de R$ 10.000,00 e um prazo de vencimento de 48 meses a uma taxa pré-fixada de 25% a.a.
26
R = R$ 4.096,00
67) Um comerciante adquiriu uma mercadoria, para pagamento da seguinte forma: R$ 10.000,00 com vencimento para 90 dias após a compra; R$ 20.000,00 com vencimento para 150 dias após a compra. Qual o preço a vista da mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 3% a.m.
R = R$ 26.403,60
68) Um noivo comprou uma geladeira nas seguintes condições: R$ 10.000,00 para pagamento em 30 dias; R$ 60.000,00 para pagamento em 90 dias; e R$ 80.000,00 para pagamento em 150 dias. Sabendo-se que a loja cobra 3% a.m. de juros compostos, pergunta-se qual o valor a vista da geladeira ?
R = R$ 133.625,94
69) Um automóvel é financiado da seguinte maneira: R$ 150.000,00 no ato da compra; R$ 100.000,00 para pagamento em 60 dias; R$ 200.000,00 para pagamento em 90 dias; e R$ 300.000,00 para pagamento em 120 dias, a taxa de juros compostos é de 1% a.d. Pergunta-se qual o valor a vista do automóvel ?
R = R$ 377.621,63
70) Uma pessoa recebeu em duas aplicações as seguintes importâncias; R$ 150.125,12, cujo tempo de aplicação foi de 6 meses; e a outra aplicação rendeu R$ 180.215,20 e seu tempo de aplicação foi de 3 meses, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.m. Pergunta-se qual a somatória os valores aplicados ?
R = R$ 204.331,68
71) Qual o tempo de aplicação de um montante de R$ 17.512,20, com valor atual de R$ 9.680,74, com taxa de juros compostos de 2,5% a.m.
R = 24 meses
27
72) Qual a taxa de juros compostos, para um financiamento em 18 meses, sendo o montante de R$ 295.125,00 e seu valor atual de R$ 14.992,35 ?
R = 18% a.m.
73) Qual a taxa de juros compostos, que irá receber uma pessoa, que obteve um montante de R$ 877.766,69, por um prazo de 15 meses, e fez uma aplicação de R$ 150.000,00
R = 12,5% a.m.
74) Uma pessoa tem as seguintes prestações: R$ 400.000,00 com vencimento para 2 meses; R$ 600.000,00 com vencimento para 5 meses; R$ 300.000,00 com vencimento para 7 meses; e R$ 500.000,00 com vencimento para 8 meses. Quer liquidar a dívida hoje. Sabendo-se que o credor aplica taxa de 32,5% a.m., para qualquer tipo de operação financeira. Pergunta-se qual o valor que a pessoa deverá pagar ?
R = R$ 469.228,96
75) Determinar a taxa de desconto composto, que uma pessoa obteve ao liquidar uma dívida de R$ 350.548,71, cujo tempo de antecipação foi de 12 meses e o valor presente de CR$ 5.000,00
R = 42,5% a.m.
TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA
Taxa nominal é aquela que o período de capitalização é diferente do tempo, este tipo de taxa é muito utilizada pelo marketing, pois pode aumentar a taxa ou diminuir, conforme for sua conveniência. Exemplo: aplique em determinado investimento que
28
remunera a 1.655% a.a., ou faça determinado financiamento que cobra taxa de 5% a.m. com capitalizações anuais.
Taxa efetiva é aquela que são efetuados todos os cálculos, o período de capitalização é a mesma base que a taxa, quando encontramos uma taxa nominal para efetuarmos cálculos é necessário transformarmos a taxa nominal em taxa efetiva, existindo para isto duas formulas:
ie = (1+i)n - 1
onde:
ie = taxa efetiva
i = taxa nominal
n = tempo
ou
ie = n ( )1i - 1
Exemplo
Determine a taxa efetiva de 5% a.m. com capitalizações anuais
im = 5%ia = ?
ia = (1+i)n - 1ia = (1+0,05)12 - 1ia = (1,7959) - 1ia = 0,7959 = 79,59% a.a.Como se trata de uma equação exponencial elevamos a taxa mensal a 12, porque
dentro de um ano temos 12 meses
Determine a taxa efetiva mensal de 1.655% a.a.
ia = 1.655%im ?
29
im = n ( )1i - 1
im = 12 ( , )1 16 55 - 1
im = (1,2697) - 1
im = 0,2697
= 26,97% a.m.
Neste caso utilizamos a raiz doze, por se tratar de uma equação exponencial, foi usado o seu inverso
EXERCÍCIOS
76) Dada a taxa de crescimento mensal de 1,6, determinar:a) taxa efetiva anual;b) taxa efetiva trimestral.
R = a) = 20,98% a.a. b = 4,88% a.t.
77) Dada a taxa de crescimento trimestral de 3,5%, determinar:a) taxa efetiva semestral;b) taxa efetiva anual.
R = a) 7,12% a.s. b = 14,75% a.a.
78) Dada a taxa de crescimento semestral de 6%, determinar:a) taxa efetiva anual;b) taxa efetiva diária.
R = a) = 12,36% a.a. b) = 0,0324% a.d.
79) Dada a taxa de crescimento bimestral de 2,8%, determinar:a) taxa efetiva semestral;b) taxa efetiva anual.
R = a) = 8,64% a.s. b) = 18,02% a.a.
30
80) Dada a taxa de crescimento mensal de 0,9%, determinar:a) taxa efetiva de crescimento anual;b) taxa efetiva de crescimento semestral;c) taxa efetiva de crescimento trimestral;d) taxa efetiva de crescimento diária.
R = a) = 11,35% a.a. b) = 5,52% a.s. c) = 2,72 a.t. d) = 0,0299% a.d.
81) Dada a taxa de crescimento mensal de 1,45%, determinar: a) taxa efetiva anual;b) taxa efetiva semestral;c) taxa efetiva trimestral;d) taxa efetiva quinzenal.
R = a) = 18,86% a.a. b = 9,02% a.s. c) = 4,41% a.t. d) = 0,722% a.q.
82) Dada a taxa de crescimento anual de 6%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva semestral;c) taxa efetiva trimestral.
R = a) = 0,486% a.m. b) = 2,95% a.s. c) = 1,46% a.t.
83) Dada a taxa de crescimento anual de 12%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva trimestral;c) taxa efetiva semestral.
R = a) = 0,95% a.m. c) = 2,87% a.t. c) = 5,83% a.s.
84) Dada a taxa de crescimento trimestral de 5%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva semestral;c) taxa efetiva anual.
R = a) = 1,64 b) = 10,25% a.s. c) = 21,55 a.a.
31
85) Dada a taxa de crescimento bimestral de 6%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva semestral;c) taxa efetiva trimestral.
R = a) 2,96% a.m. b) = 19,10% a.s. c) = 9,13% a.t.
86) Dada a taxa de crescimento bimestral de 4%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva trimestral;c) taxa efetiva semestral;d) taxa efetiva anual.
R = a) = 1,98% a.m. b) = 6,06% a.t. c) = 12,49% a.s. d) 26,53% a.a.
87) Dada a taxa de crescimento semestral de 8%, determinar: a) taxa efetiva mensal;
b) taxa efetiva trimestral;c) taxa efetiva anual.
R = a) = 1,29% a.m. b) = 3,92% a.t. c) = 16,64% a.a.
88) Dada a taxa de crescimento anual de 15,75%, determinar:a) taxa efetiva mensal; b) taxa efetiva trimestral;c) taxa efetiva semestral.
R = a) = 1,23% a.m. b) = 3,72% a.t. c) = 7,59% a.s.
89) Dada a taxa de crescimento anual de 17,90%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva trimestral;c) taxa efetiva semestral.
R = a) = 1,38% a.m. b) = 4,20% a.t. c) = 8,58% a.s.
32
90) Dada a taxa de crescimento semestral de 7,5%, determinar:a) taxa efetiva mensal;b) taxa efetiva trimestral;c) taxa efetiva anual.
R = a) = 1,21% a.m. b) = 3,68% a.t. c) = 15,56% a.a.
91) Dado o coeficiente de financiamento de um empréstimo pessoal, determinar a taxa cobrada pela financeira, mensal e anual.
Coeficiente : 0,143401Prazo : 12 meses
R = a) = 9,53% a.m. b) = 198,12% a.a.
92) Uma loja adota a seguinte tabela de financiamento:
Prazo Coeficiente 6 0,209213 8 0,180070 10 0,156232 12 0,157344 15 0,113833
Determinar o prazo de menor taxa de juros para o financiamento.
R = 6 meses
93) Dado o coeficiente de financiamento de 0,204545, para um financiamento de doze meses, determine a taxa de juros.
R = 17,50% a.m.
94) Dado o coeficiente de financiamento de 0,194231, para um financiamento de 10 meses, determine a taxa de juros.
R = 14,34% a.m.
33
95) Dado o coeficiente de 0,123141 para um financiamento de 18 meses, determine a taxa de juros.
R = 10,15% a.m.
96) Dado o coeficiente 0,325000, para um financiamento de 48 meses, determine a taxa de juros.
R = 32,50% a.m.
97) Dado o coeficiente de 0,450060, para um financiamento de 24 meses. Determine a taxa de juros.
R = 45% a.m.
98) Dado o coeficiente 0,255072, para um financiamento de 36 meses, determine a taxa de juros.
R = 25,5% a.m.
99) O gerente financeiro de uma instituição de crédito quer cobrar taxa de juros mensais de 37,85% a.m. para financiamentos, determine qual o coeficiente para os seguintes prazos:
a) 6 meses;b) 12 meses;c) 18 meses;d) 24 meses.
R = a) = 0,443070 b) = 0,386713 c) = 0,379675 d) = 0,378671
100) Determinar quais são os coeficientes para uma taxa de 5% a.m., para os seguintes prazos:
a) 8 meses;b) 15 meses;c) 21 meses;d) 35 meses.
R = a) = 0,154722 b) = 0,096342 c) = 0,077996 d) = 0,061072
34
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS
35
A série uniforme de pagamentos ou recebimentos, são prestações, que deverão ser pagas ou recebidas em um período de tempo. Sua simbologia, aqui adotada será "R".
Para utilizarmos o "Pmt" sempre deveremos respeitar três regras básicas que são:
1) Toda prestação ou recebimento deverá vencer um período após a compra ou o investimento, assim representado no fluxo de caixa.
2) Não pode haver interrupção de pagamentos ou recebimentos, assim representado no fluxo de caixa.
3) As prestações são constantes ou uniformes, como o nome da série, assim representadas no fluxo de caixa.
36
Para determinarmos uma série uniforme, a partir de um valor presente, assim, dado P achar R, utilizamos a seguinte formula:
Pmt = Pv x i(1+i)n
------------ (1+i)n - 1
onde:
Pmt = série uniforme
Pv = valor presente, ou valor atual
i = taxa de juros *
n = tempo *
* taxa de tempo sempre deverão estar na mesma base, isto é, na mesma unidade de tempo
QUANDO TRABALHAMOS COM "Pmt" EM HIPÓTESE ALGUMA PODEMOS MODIFICAR O N, POIS ESTARÍAMOS
ALTERANDO O NÚMERO DE PRESTAÇÕES.
Quando temos uma taxa nominal, e temos a necessidade de trabalhar com "R" então só podemos alterar a taxa, nunca o n, pois este representa o número de prestações.
37
Exemplo
Determinar o valor de 24 prestações mensais e iguais a uma taxa de 5% a.m. de um financiamento de R$ 50.000,00
FLUXO DE CAIXA
Pmt = Pv x i(1+i)n
------------- (1+i)n - 1
Pmt = 50.000,00 x 0,05(1+0,05)24
-------------------- (1+0,05)24 - 1
Pmt = 50.000,00 x (0,161255) -------------
(2,25100)
Pmt = 50.000,00 x 0,072471
Pmt = 3.623,55
Toda série uniforme é constituida de duas partes, sendo uma juros e a outra amortização do capital, assim podemos afirmar que Pmt = J + A.
onde Pmt = série uniforme J = Juros A = Amortização do Capital
A partir da informação que Pmt = J + A, podemos montar uma tabela, com o sequinte exemplo:
38
Determinar a Tabela Price, para um financiamento de R$ 1.500,00, em seis prestações mensais e iguais a taxa de juros de 10% a.m.
Fluxo de Caixa
Pmt =
0 1 2 3 4 5 6
1.500,00
Pmt= Pv x F(P-R) i=10% n=6
Pmt = 1.500,00 x (0,229607)
Pmt = 344,41
TABELA PRICE
N SDO.DEV. JUROS AMORT. PREST.0 1.500,00 0 0 01 1305,59 150,00 194,41 344,412 1.091,74 130,56 213,85 344,413 856,50 109,17 235,24 344,414 597,74 85,65 258,76 344,415 313,10 59,77 284,64 344,416 0 31,31 313,10 344,41
Notamos na Tabela Price que retirados os juros do saldo devedor e diminuindo-se do valor da prestação, temos o valor da amortização que será abatido do saldo devedor. É este que realmente se deve para o período sequinte. até chegarmos a última prestação quando o saldo devedor deverá ser zero.
Outra tabela que também temos é a SAC, ou seja Sistema de Amortização Constante, onde a amortização é a mesma para todos os períodos, sendo a amortização somados os juros, onde vamos obter o valor da prestação, seguindo o mesmo exemplo demostramos como é a tabela SAC
TABELA SAC
N SDO.DEV. JUROS AMORT. PREST.
39
0 1.500,00 0 0 01 1.250,00 150,00 250,00 400,002 1.000,00 125,00 250,00 375,003 750,00 100,00 250,00 350,004 500,00 75,00 250,00 325,005 250,00 50,00 250,00 300,006 0 25,00 250,00 275,00
Assim comparando a Tabela Price com a Tabela SAC, notamos que na Price o valor das prestações são constantes e na SAC são variados, porque neste sistema a amortização é constante. Notamos também que os valores das prestações na SAC, no início são maiores que a Price, passando posteriormente para valores menores.
Outro tipo de tabela que temos é a MIXTA, ou seja, a média entre a Tabela Price e a Tabela SAC, seguindo o mesmo exemplo demonstramos como é a Tabela MIXTA:
N SDO.DEV. JUROS AMORT. PREST.0 1.500,00 0 0 01 1.277,79 150,00 222,21 372,212 1.045,86 127,78 231,93 359,713 803,24 104,59 242,62 374,214 548,86 80,32 254,38 334,705 281,54 54,89 267,32 322,216 0 28,15 281,55 309,70
A diferença que notamos quando o saldo devedor na quinta parcela é de R$ 281,54 e a amortização na sexta parcela é de R$ 281,55, se dá pelo fato de arredondamento de valores, sendo que na realizade o saldo devedor na sexta parcela é de R$ 0,01 positivo, podendo ser abatido do valor da última prestação.
Comparando as três tabelas, ou seja Price, SAC e Mixta, quando a prestação notamos que na Price o valor que inicia é menor permanecendo constante até o seu final; a SAC inicia com valor maior que a Price depois diminuindo os valores; a Mixta inicia com valor maior que a Price e menor que a SAC para posteriormente serem maiores, mas os juros e amortização do capital são os mesmos para os três tipos de tabela.
É errado pensar que quando fazemos um financiamento podemos multiplicar simplismente o valor das parcelas da série pelo número delas, ou seja 6 x R$ 344,41 que é igual a R$ 2.066,46, quando na realidade estaremos pagando R$ 2.657,34, porque a todo pagamento estaremos amortizando o capital, ou seja o investidor poderá reaplicar a amortização de capital que esta sendo feita pelo pagamento da prestação.
Então podemos afirmar que:
40
344,41
0 1 2 3 4 5 6
1.500,00
2.657,34
É igual a:
0 1 2 3 4 5 6
1.500,00
EXERCÍCIOS
101) Um veiculo custa a vista R$ 220.000,00, sendo 70% financiado em 12 prestações mensais e iguais, sabendo-se que a financeira cobra a taxa de 4,5% a.m., calcular o valor das prestações mensais, e determinar a tabela Price.
41
R = R$ 16.888,59
102) Um investimento de R$ 150.000,00, rende 5% a.m. de juros compostos será resgatado em 12 prestações mensais e iguais. Determinar o valor das prestações.
R = R$ 16.912,81
103) Determinar o valor de 18 prestações mensais e iguais, de um investimento de R$ 350.000,00, aplicado á taxa de 15,5% a.m.
R = R$ 58.631,85
104) Uma pessoa aplicou R$ 1.000.000,00 em uma instituição financeira que paga 13% a.a. de juros compostos, para retirar em 12 prestações anuais e iguais. Determinar o valor das prestações
R = R$ 168.986,08
105) Determinar a que taxa de juros compostos, um investimento de R$ 300.000,00, foi resgatado em 18 prestações mensais e iguais no valor de R$ 25.663,87.
R = 5% a.m.
106) Determinar o tempo que um investimento de R$ 480.000,00, foi resgatado em prestações anuais e iguais no valor de CR$ 163.052,73 a uma taxa de juros compostos de 13,50% a.a.
R = 4 anos
107) Em quantos pagamentos trimestrais de R$ 5.700,25 podemos liquidar um financiamento de R$ 50.000,00 a taxa de 46,41% a.a. ?
R = 22 trimestres
42
108) Um veículo é financiado em 36 prestações mensais e iguais à taxa de 4,5% a.m. Sabendo-se que o valor financiado é de R$ 245.000,00, calcular o valor das prestações.
R = R$ 13.868,42
109) Em quantas prestações anuais de R$ 20.000,00 poderei amortizar uma divida de R$ 48.711,40 à taxa de 2,211045% a.m. ?
R = 5
110) A que taxa devo aplicar mensalmente a quantia de R$ 2.500,00, para que eu tenha R$ 48.239,20 no final de 15 meses ?
R = 3,5% a.m.
111) Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações mensais e iguais . Sabendo-se que a primeira prestação vence no final do quarto mês e que a taxa de juros compostos cobrada é de 5% a.m., determinar o valor das prestações
R = R$ 6.530,48
112) Uma loja vende calculadoras por R$ 2.000,00 a vista, ou em quatro prestações de R$ 500,00 cada uma, sendo a primeira prestação paga no ato da compra. A loja anuncia que não cobra juros, mas concede desconto de 10% para pagamento a vista . Qual é a taxa de juros que a loja está cobrando ?
R = 7,51% a.m.
113) Uma pessoa faz um depósito de R$ 100.000,00 em uma conta especial remunerada, que paga juros compostos de 4% a.m. sobre o saldo credor. Graças a este investimento a pessoa fará 24 retiradas mensais e iguais, a partir do primeiro mês do depósito. Calcular o valor destas retiradas.
R = R$ 6.558,70
43
114) Um financiamento de R$ 500.000,00 deverá ser resgatado em 6 prestações trimestrais, determinar o valor das prestações trimestrais, sabendo-se que a financeira paga juros compostos de 5,071757% a.m.
R = R$ 135.694,94
115) Determinar a taxa anual de um investimento de R$ 495.000,00, que será retirado em 24 prestações mensais e iguais no valor de R$ 39.441,11
R = 101,22% a.a.
Para determinarmos um valor presente, ou atual partindo de uma série uniforme ou "R", devemos nos utilizar da seguinte formula
Pv = Pmt x (1+i)n - 1 -------------
i(l+i)n
onde:
Pv = valor presente, ou valor atual
Pmt = série uniforme de pagamentos
i = taxa de juros
n = tempo
Observamos que esta fórmula é o inverso da anterior, onde podemos concluir que também vamos obter o mesmo valor utilizando a fórmula anterior e dividindo o valor, ou seja:
Pv = Pmt / i(1+i)n
------------- (1+i)n - 1
Exemplo
44
Determinar o valor presente de um investimento de 5 parcelas mensais e iguais no valor de R$ 50.000,00, aplicados à taxa de 12% a.m.
FLUXO DE CAIXA
Pv = Pmt x (1+i)n -1 ------------ i(1+i)n
Pv = 50.000,00 x (1+0,12)5 - 1 -------------------- 0,12(1+0,12)5
Pv = 50.000,00 x 0,762342 ----------- 0,211481
Pv = 50.000,00 x 3,604776
Pv = 180.238,81
EXERCÍCIOS
116) Determinar o valor atual de um telefone financiado em 24 parcelas mensais e iguais no valor R$ 50.054,30, sabendo-se a taxa de juros compostos cobrada é de 3,5% a.m.
R = R$ 803.790,35
45
117) Sabendo-se que um compromisso pode ser liquidado em 12 prestações mensais e iguais no valor de R$ 2.500,00 cada uma e que a taxa cobrada de juros é de 5% a.m., calcular o valor líquido a ser entregue ao cliente.
R = R$ 22.158,13
118) Determinar a taxa de juros de um financiamento de 24 parcelas mensais e iguais no valor de R$ 50.729,63, sabendo-se que foi financiado o valor de R$ 700.000,00
R = 5% a.m.
119) Qual o tempo que um financiamento com prestações mensais e iguais no valor de R$ 90.917,45 onde foi concedido um empréstimo de R$ 755.000,00 e que a taxa de juros compostos cobrada é de 8,5% a.m. ?
R = 15 meses
120) Uma pessoa faz um investimento, que será resgatado em 15 prestações mensais e iguais no valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a financeira paga 8% de juros compostos ao mês e que o primeiro resgate será efetuado 6 meses após a aplicação, determinar qual o valor investido
R = R$ 174.763,12
Para determinarmos um valor futuro ou montante, a partir de uma série uniforme, devemos nos utilizar da seguinte fórmula:
Fv = Pmt x (1+i)n - 1 -------------
i
onde:
Fv= valor futuro ou montante
46
Pmt = série uniforme de pagamentos
i = taxa de juros *
n = tempo *
* Taxa e tempo devem estar na mesma base, ou seja, na mesma unidade de tempo.
Exemplo
Determinar o montante de 15 prestações mensais e iguais, no valor de R$ 25.000,00, aplicadas à taxa de 6% a.m.
FLUXO DE CAIXA
Fv =Fv x (1+ i)n - 1 --------------
i
Fv= 25.000,00 x (1+0,06)15 - 1 -------------------
0,06
47
Fv= 25.000,00 x 1,396558 -----------
0,06
Fv = 25.000,00 x 23,275970Fv = 581.899,25
EXERCÍCIOS
121) Calcular o montante correspondente a aplicação de 24 parcelas mensais de R$ 1.000,00 cada uma, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 3,5% a.m.
R = R$ 36.666,53
122) Calcular para as taxas de 2%; 3%; 4% e 5% a.m. quais os montantes obtidos no final de 4 anos de aplicação com prestações mensais de R$ 2.000,00.
R = a) R$ 158.707,04 b) R$ 208.816,79 c) R$ 278.526,41 d) R$ 376.050,79
123) Quanto devo aplicar mensalmente durante 15 meses a taxa de 3,5% a.m., para que eu tenha no final do décimo-quinto mês a importância de R$ 150.000,00 ?
R = R$ 7.773,76
124) Quanto devo aplicar hoje de uma só vez para que eu tenha no final de 50 meses o equivalente ao montante constituído por aplicações mensais de R$ 15.000,00 a taxa de 2% a.m.?
R = R$ 471.354,09
125) Quanto terei no final de 50 meses se aplicar R$ 100.000,00 por mes em um fundo de renda fixa à taxa de 2,5% a.m. ?
R = R$ 9.748.434,88
48
126) Quanto deverei aplicar mensalmente à taxa de 3% a.m., para ter um montante de R$ 20.000,00 no final do décimo-segundo mês ?
R = R$ 1.409,24
127) No final de quantos meses terei o montante de R$ 135.000,00, aplicando R$ 1.877,80 por mês a uma taxa de 2% a.m. ?
R = 45 meses
128) Quanto terei no final de 18 meses se aplicar R$ 200,00 por bimestre à taxa de 2,4695% a.m. ?
R = R$ 2.205,31
129) Quanto terei no final de 20 meses se aplicar alternadamente R$ 200,00 e R$ 400,00 por mês respectivamente a uma taxa de 2,5% a.m. ?
R = R$ 7.631,23
130) Calcular o montante no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas mensais de R$ 1.000,00 cada uma, sabendo-se que a taxa de juros é de 51,1069% a.a.
R = R$ 36.666,53
131) Determinar a que taxa de juros foi feita a aplicação de R$ 5.000,00 por mês que gerou um montante de R$ 595.381,83 no final de 4 anos.
R = 3,46% a.m.
49
132) Quanto terei no final de 30 meses, se aplicar R$ 500,00 por mês, durante 25 meses à taxa de 3,5% a.m.
R = R$ 23.130,11
133) Uma pessoa resolve aplicar R$ 1.000,00 por à taxa de 3% a.m., durante 18 meses. No final do sexto mês e do décimo segundo faz aplicações extras no valor de R$ 5.000,00 cada uma. Qual o valor do montante global ?
R = R$ 36.513,50
134) O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que o valor de cada parcela é de R$ 3.500,00 e que a taxa de juros é de 4% a.m., calcular o valor da prestação única com vencimento no décimo mês, que poderia substituir o plano.
R = R$ 70. 409,51
135) Um cliente aplica R$ 100.000,00 em letras de câmbio. Sabendo-se que o rendimento líquido oferecido pela financeira é de 10% a.t., e que a última letra de câmbio vence a 900 dias da data da aquisição, a penúltima a 810 dias e assim sucessivamente até a primeira, cujo vencimento se dá a 90 dias da data da aplicação, calcular o montante a ser resgatado
R = R$ 1.753.116,71
136) Uma pessoa aplica R$ 2.000,00 no final de cada mês, durante 30 meses. Além dessas parcelas mensais, esta pessoa aplica 3 parcelas extras no valor de R$ 12.000,00 cada uma. A primeira no final do décimo mês, a segunda no final do vigésimo mês e a terceira no final do trigésimo mês. Calcular o montante, sabendo-se que a taxa de juros considerada é de 2,5% a.m.
R = R$ 134.829,82
137) Uma mercadoria custa a vista R$ 10.000,00, sendo também financiada a taxa de juros de 5% a.m. da seguinte forma: 12 prestações mensais iguais de R$ 800,00 e mais uma prestação junto com a última. Calcular o valor desta parcela.
50
R = R$ 5.222,44
138) Uma instituição financeira paga 46,41% a.a. para aplicações programadas. Calcular o montante que será obtido no final de 6 aplicações trimestrais de R$ 10.000,00 cada uma.
R = R$ 77.156,10
Para determinarmos uma série uniforme, partindo-se de um valor futuro ou montante, devemos nos utilizar da seguinte fórmula:
Pmt = Fv x i -------------
(1+i)n - 1
onde:
Pmt = Série uniforme
Fv = Valor futuro ou montante
i = Taxa de juros *
n = Tempo *
* taxa e tempo devem estar na mesma base, ou seja, na mesma unidade de tempo
Exemplo
Determinar qual o valor de 15 prestações mensais e iguais tendo um valor futuro de R$ 425.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 5,5% a.m.
FLUXO DE CAIXA
51
Pmt = Fv x i -------------
(1+i)n - 1
Pmt = 425.000,00 x 0,055 -------------------- (1+0,055)15 - 1
Pmt = 425.000,00 x 0,055 ------------- 1,232476
Pmt = 425.000,00 x 0,044626Pmt= 18.965,88
EXERCÍCIOS
139) Qual o valor que se deve depositar mensalmente para obtermos um montante de R$ 650.000,00, no final de 24 meses aplicados à uma taxa de juros compostos de 5% a.m. ?
R = R$ 14.606,09
140) Uma dívida, cujo o montante é de R$ 359.456,98, deverá ser resgatada em 12 prestações mensais e iguais, sabendo-se que o credor cobra 6,5% a.m. de juros compostos, determinar o valor das prestações mensais
R = R$ 20.693,28
52
141) Determinar a prazo de um empréstimo, cujo valor futuro foi de R$ 300.000,00 e foi resgatado por prestações mensais e iguais no valor de R$ 11.486,17 a uma taxa de 7,5% a.m.
R = 15 meses
142) Determinar a taxa de um empréstimo cujo valor futuro foi de R$ 458.152,28 e foi resgatado por 6 prestações anuais de R$ 55.747,87.
R = 12,5% a.a.
143) Um montante de R$ 400.000,00, no final de 30 meses, gerou a retirada de 12 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira retirada 30 dias após a aplicação. Determinar o valor das prestações, sabendo-se que foi aplicado a 8,75% a.m.
R = R$ 4.453,86
144) Para uma pessoa obter um valor futuro de R$ 750.000,00, quantas prestações mensais e iguais no valor de R$ 24.557,77, aplicadas à taxa de 9,5% a.m. deve efetuar ?
R = 15
EXERCÍCIOS DE SÉRIE UNIFORME
145) Uma TV é financiada em 12 parcelas mensais, sendo as 6 primeiras no valor de R$ 3.000,00 e as 6 restantes no valor de R$ 5.000,00 cada uma. A taxa de juros cobrada pela financira é de 3,5% a.m. Qual o valor a vista da TV ?
R = R$ 37.659,57
53
146) Qual o valor atual de um financiamento de 18 prestações mensais a taxa de 4% a.m., sendo as 9 primeiras no valor de R$ 4.000,00 e as 9 restantes no valor de R$ 3.000,00 ?
R = R$ 45.413,23
147) Um liquificador é vendido no seguinte plano: 12 prestações mensais, sendo que nos meses pares as parcelas são de R$ 10.000,00 e nos meses impares as parcelas são de R$ 20.000,00. A taxa de juros cobrada é de 3% a.m. Calcular o preço a vista.
R = R$ 150.375,00
148) Um aparelho de som é financiado em um ano da seguinte forma: As 5 primeiras prestações são de R$ 10.000,00, a sexta prestação no valor de R$ 20.000,00, da sétima a décima primeira no valor de R$ 10.000,00 cada uma e a última no valor de R$ 20.000,00. Calcular o valor a vista, sabendo-se que a loja cobra 2% a.m. de juros compostos.
R = R$ 122.518,04
149) Um investidor aplica no período de janeiro a abril a quantia de R$ 10.000,00, em um banco que paga 4% a.m. de juros compostos, sobre o saldo credor. A partir de agosto fará 5 retiradas mensais encerrado sua conta. Calcular o valor das retiradas.
R = R$ 10.719,04
150) Calcular o montante no final do oitavo mes, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais e consecultivas à taxa de 2,25% a.m., sendo as 4 primeiras parcelas no valor de R$ 12.000,00 e as quatro restantes no valor de CR$ 18.000,00 cada uma. Sabendo-se que a primeira parcela é depositada hoje.
R = R$ 131.628,63
54
BIBLIOGRAFIA
55
AYRES, F. Jr. Matemática Financeira. Coleção Sahum. 1981.
DE FRANCISCO, W. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas. 1985.
GITIMAN, L. Jr.Princípios de Administração Financeira. Harba Editora Harper e Row do Brasil Ltda. 1978.
HIRSCHFELD, . Engenharia Economica e Análise de Custos. São Paulo, Atlas. 1989.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J.M. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas. 1986.
PLATO, R.A. ; XAVIER, D. F. Matemática Financeira. São Paulo, Nobel. 1983.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira. São Paulo, LTC. 1986.
SOBRINHO, J. D.V. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas. 1982.
VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas. 1989.
56
