José Natário 5 de Setembro de 2007sanjos/estagio/estagio2005/Text… · inercial é...

A Geometria da Relatividade

José Natário

5 de Setembro de 2007

2 José Natário

Conteúdo

1 Tranformações de Lorentz 4

1.1 Relatividade do conceito de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Referenciais. Referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Transformações de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Fórmula de adição de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Fórmula de adição de velocidades relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Dilatação do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Dedução das fórmulas das transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Fórmulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Geometria de Minkowski 18

2.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Diagramas de espaço-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Intervalo entre acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Paradoxo dos Gémeos generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Mais dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


2.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Geometria Não Euclidiana 35

3.1 Coordenadas curviĺıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 A esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Outros mapas da esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Outras geometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Gravidade 46

4.1 Lei da Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Órbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


4.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A Geometria da Relatividade 3

5 Relatividade Geral 535.1 Prinćıpio da Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Desvio gravitacional para o vermelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Espaço-tempo curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Fórmulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.6 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 A Solução de Schwarzschild 606.1 A solução de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2 Observadores estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Desvio para o vermelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4 Curvatura do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.5 Órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.6 Raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.7 Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.8 Fórmulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.10 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Cosmologia 817.1 Desvio para o vermelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 Lei de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3 Modelos FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4 Lei de Hubble nos modelos FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.5 Desvio para o vermelho nos modelos FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.6 Equações de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.7 Fórmulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.9 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8 Matemática e F́ısica 1008.1 Matemática para a Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2 F́ısica Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9 Dados astronómicos 102

4 José Natário

1 Tranformações de Lorentz

1.1 Relatividade do conceito de movimento

O movimento é relativo. Pode pensar que está parado. E está: parado em relação à superf́ıcie daTerra. Mas a Terra gira. À nossa latitude, rodamos a cerca de 1300 quilómetros por hora (maisrápido que a velocidade do som). Além disso, a Terra move-se em torno do Sol, a cerca de 30quilómetros por segundo, e o Sol em torno do centro da Galáxia, a cerca de 220 quilómetros porsegundo. Portanto está a mover-se a 1300 quilómetros por hora em relação ao centro da Terra,a 30 quilómetros por segundo em relação ao Sol, e a 220 quilómetros por segundo em relação aocentro da Galáxia.

Figura 1: A Terra – parada ou em movimento?

1.2 Referenciais. Referenciais inerciais

Para estudar um movimento é necessário fixar primeiro aquilo a que se chama um referencial.Um referencial é simplesmente um sistema de eixos coordenados em relação ao qual se podemindicar as coordenadas de qualquer ponto do espaço. Muitas vezes está associado a um objectosólido (a Terra, por exemplo), mas tal não é estritamente necessário.

Quando dissemos que nos estamos a mover a 1300 quilómetros por hora em relação ao centroda Terra, não fomos inteiramente rigorosos. O que na realidade quisémos dizer foi que nos estamosa mover com esta velocidade no referencial centrado no centro da Terra mas que não roda. Estereferencial é (aproximadamente) aquilo a que se chama um referencial inercial. Um referencialinercial é simplesmente um referencial no qual vale a lei da inércia: qualquer part́ıcula sobre aqual não actuam forças move-se com velocidade constante (em direcção e sentido). O referencialligado à superf́ıcie da Terra não é inercial devido à rotação da Terra, que faz com que a lei dainércia não se verifique exactamente (isto revela-se em certas experiências, como a do pêndulode Foucault1). No entanto, este referencial pode ser considerado um referencial inercial na maiorparte das situações do dia-a-dia. Na verdade, o referencial ligado ao centro da Terra (sem rodar)não é também exactamente inercial (apesar de ser uma melhor aproximação a um referencialinercial que o referencial ligado à superf́ıcie da Terra), devido ao movimento da Terra em tornodo Sol. Por ordem de melhor aproximação, são aproximadamente inerciais os referenciais ligadosà superf́ıcie da Terra, ao centro da Terra (sem rodar), ao Sol (sem rodar) e ao centro da Galáxia

1Jean Foucault (1819–1868), f́ısico francês.


(também sem rodar). Em termos práticos, “não rodar” significa “não rodar em relação às estrelasdistantes”. A sugestão de que a matéria do Universo no seu conjunto determina de alguma formaos referenciais de inércia chama-se o prinćıpio de Mach2.

O grande debate do século XVI entre o geocentrismo e o heliocentrismo era na realidade umaquestão acerca de referenciais. Ambas as partes tinham razão neste debate: é tão correcto dizerque a Terra gira em torno do Sol como dizer que o Sol gira em torno da Terra. No primeirocaso estamos a ver as coisas no referencial ligado ao Sol, enquanto que no segundo estamos ausar o referencial ligado à superf́ıcie da Terra. No entanto, o referencial ligado ao Sol é (maisaproximadamente) inercial, pelo que a descrição do movimento relativo da Terra e do Sol é bemmais simples neste referencial.

1.3 Transformações de Galileu

Se S é um referencial inercial, qualquer outro referencial S′ com eixos paralelos aos de S e que semova em relação ao S com velocidade constante é também um referencial inercial. Suponhamosque S′ se move em relação a S ao longo do eixo dos xx com velocidade constante v, e que os doisreferenciais coincidem para t = 0. Se no instante t um dado ponto P tem coordenadas (x, y, z)em S, deve ser claro da Figura 2 que as coordenadas (x′, y′, z′) do mesmo ponto em S′ serãodadas por

x′ = x − vty′ = y

z′ = z

S S′

y y′

z z′

x′vt

P

Figura 2: Transformação de Galileu.

A estas equações devemos juntar

t′ = t

2Ernst Mach (1838–1916), f́ısico e filósofo austŕıaco.

6 José Natário

ou seja: o tempo medido no referencial S′ coincide com o tempo medido no referencial S. Estafórmula parece tão evidente que quase não valeria a pena escrevê-la (e de facto durante muitotempo ninguém a escreveu). Veremos em breve que na verdade está errada: por incŕıvel quepareça, o tempo medido nos dois referenciais não coincide exactamente.

Diz-se que as fórmulas acima definem uma transformação de Galileu3 (que não é mais queuma mudança de referencial inercial). A transformação inversa é muito simples:

t = t′

x = x′ + vt′

y = y′

z = z′

Por outras palavras, basta mudar o sinal de v. Isto é o que seria de esperar, uma vez que S semove em relação a S′ com velocidade −v.

Figura 3: Galileu Galilei.

1.4 Fórmula de adição de velocidades

As transformações de Galileu têm como consequência a fórmula de adição de velocidades.Suponhamos que o ponto P está em movimento. Para simplificar, consideraremos apenas o casoem que P se move ao longo do eixo dos xx. Seja u a velocidade instantânea de P no referencialS. Quer isto dizer que se num intervalo de tempo muito pequeno ∆t = t2 − t1, compreendidoentre os instantes t1 e t2 (medidos em S), o ponto P se move de ∆x = x2 − x1 entre os pontosde abcissas x1 e x2 (medidas em S), então

∆x

∆t= u.

Em S′, o ponto P mover-se-á de ∆x′ entre os pontos de abcissas x′1 e x′2 no intervalo de tempo

∆t′ compreendido entre os instantes t′1 e t′2. Os valores de t

′1, t

′2, x

′1, x

′2 estão relacionados com

3Galileu Galilei (1564 – 1642), astrónomo, f́ısico e filósofo italiano.


os valores de t1, t2, x1, x2 pelas fórmulas da transformação de Galileu:

t′1 = t1

t′2 = t2

x′1 = x1 − vt1x′2 = x2 − vt2

Portanto{

∆t′ = ∆t

∆x′ = ∆x − v∆t

Logo, a velocidade instantânea de P em S′ é

u′ =∆x′

∆t′=

∆x − v∆t∆t

=∆x

∆t− v = u − v.

Por outras palavras, a velocidade u de P em S é simplesmente a soma da velocidade u′ de P emS′ com a velocidade v de S′ em relação e S.

1.5 Transformações de Lorentz

Foi com grande surpresa que Michelson4 e Morley5 descobriram, em 1887, que a velocidade daluz é a mesma em todos os referenciais inerciais. Isto viola flagrantemente a lei de adição develocidades, de acordo com a qual qualquer objecto ou sinal está parado no referencial inercialque se desloca com a mesma velocidade.

Figura 4: Michelson, Morley, Lorentz, Poincaré e Einstein.

Foi Einstein6 quem primeiro compreendeu que isto significava que as fórmulas das trans-formações de Galileu não podiam estar completamente correctas, e que teriam que ser substitui-das pelas fórmulas das transformações de Lorentz (já anteriormente deduzidas por Lorentz7 ePoincaré8, que no entanto não lhes tinham dado a interpretação correcta):

{

t′ = γ(

t − vxc2

)

x′ = γ(x − vt)4Albert Michelson (1852 – 1931), f́ısico americano, prémio Nobel da F́ısica (1907).5Edward Morley (1838 – 1923), qúımico americano.6Albert Einstein (1879 – 1955), f́ısico alemão, prémio Nobel da F́ısica (1921).7Hendrik Lorentz (1853 – 1928), f́ısico holandês, prémio Nobel da F́ısica (1902)8Henri Poincaré (1854 – 1912), matemático francês.

8 José Natário

onde c representa a velocidade da luz (cerca de 300000 quilómetros por segundo) e

γ =1

√

1 − v2c2

.

A Teoria da Relatividade Restrita, descoberta por Einstein em 1905, resume-se a explorar asconsequências destas transformações.

As velocidades com que habitualmente lidamos são muito inferiores à velocidade da luz, |v| ≪c. Portanto em situações usuais γ é praticamente igual a 1. Da mesma forma, vx

c2é praticamente

zero. Portanto para a maior parte das aplicações do dia-a-dia as fórmulas das transformaçõesde Lorentz reduzem-se às fórmulas das transformações de Galileu. É só quando as velocidadesenvolvidas se tornam comparáveis à velocidade da luz que aquelas se tornam importantes.

É fácil verificar que as transformações inversas se obtêm (como seria de esperar) substituindov por −v:

{

t = γ(

t′ + vx′

c2

)

x = γ(x′ + vt′)

1.6 Fórmula de adição de velocidades relativista

Note-se que as fórmulas das tranformações de Lorentz requerem que |v| < c: dados dois refe-renciais inerciais, a velocidade de um deles em relação ao outro tem que ser inferior àvelocidade da luz. Portanto nunca é posśıvel que um sinal luminoso esteja parado num dadoreferencial inercial. Mais geralmente, as transformações de Lorentz implicam que a velocidadeda luz é a mesma em todos os referenciais inerciais. Para verificar este facto, necessitamos dafórmula de adição de velocidades relativista. Mais uma vez supomos que o ponto P se movecom velocidade instantânea u em S, deslocando-se de ∆x (medido em S) num intervalo detempo ∆t (também medido em S). Então o deslocamento ∆x′ medido em S′ e o correspondenteintervalo de tempo ∆t′ medido no mesmo referencial são dados por

{

∆t′ = γ(

∆t − v∆xc2

)

∆x′ = γ(∆x − v∆t)

Consequentemente, a velocidade instantânea de P em S′ é

u′ =∆x′

∆t′=

∆x − v∆t∆t − v∆x

c2

=u − v1 − uv

c2

No caso particular em que u = c obtemos

u′ =c − v1 − v

c

= cc − vc − v = c.

Por outro lado, se u = −c vem

u′ =−c − v1 + v

c

= −cc + vc + v

= −c.

Portanto, sempre que P se move à velocidade da luz em S, move-se à velocidade da luz em S′.


1.7 Dilatação do tempo

Uma das consequências mais contra-intuitivas das transformações de Lorentz é a observação deque o intervalo tempo medido entre dois acontecimentos depende do referencial em que é medido.Consideremos por exemplo que um observador em repouso no referencial S′ (∆x′ = 0) mede umintervalo de tempo ∆t′. Então o correspondente intervalo de tempo medido no referencial S é

∆t = γ

(

∆t′ +v∆x′

c2

)

= γ∆t′ > ∆t′

(já que γ > 1 sempre que v 6= 0). Este fenómeno é conhecido como a dilatação do tempo.

1.8 Dedução das fórmulas das transformações de Lorentz

Apresentamos aqui uma dedução das fórmulas das transformações de Lorentz devida a Einstein.Einstein partiu dos dois seguintes postulados:

1. Prinćıpio da Relatividade: Quaisquer dois referenciais inerciais são equivalentes.

2. Prinćıpio da Invariância da Velocidade da Luz: A velocidade da luz é a mesma em todosos referenciais inerciais.

Uma vez que as transformações de Galileu não são compat́ıveis com o segundo postulado, nãopodemos esperar que a fórmula “óbvia” x′ = x − vt funcione. Suponhamos no entanto que x′ éproporcional a x − vt, isto é,

x′ = γ(x − vt)para alguma constante γ (a determinar). Uma vez que S se move em relação a S′ com velocidade−v, o primeiro postulado obriga a que a que uma fórmula análoga funcione para a transformaçãoinversa:

x = γ(x′ + vt′).

Resolvendo em ordem a t′ obtemos

t′ =x

vγ− x

′

v.

Usando a fórmula acima para x′ vem

t′ =

(

1

γ− γ)

x

v+ γt.

Vamos agora usar o segundo postulado. Consideremos um sinal luminoso que se propaga ao longodo eixo dos xx (no sentido positivo) em S, passando por x = 0 no instante t = 0. A posiçãodo sinal no instante t será então dada por x = ct. Por outro lado, de acordo com o segundopostulado, o sinal deve encontrar-se no ponto x′ = ct′ em S′. Logo

c =x′

t′=

γ(x − vt)(

1γ− γ)

xv

+ γt=

xt− v

(

1

γ2− 1)

xvt

+ 1=

c − v(

1

γ2− 1)

cv

+ 1

donde se conclui que(

1

γ2− 1)

c

v+ 1 = 1 − v

c⇔ 1

γ2= 1 − v

2

c2⇔ γ = ± 1√

1 − v2c2

.

10 José Natário

Uma vez que devemos ter γ = 1 para v = 0, conclúımos que devemos escolher o sinal positivo.Sendo

1

γ− γ = γ

(

1

γ2− 1)

= γ

(

1 − v2

c2− 1)

= −γ v2

c2,

obtemos finalmente{

t′ = γ(

t − vxc2

)

x′ = γ(x − vt)com

γ =1

√

1 − v2c2

.

1.9 Fórmulas importantes

• Transformações de Lorentz:{

t′ = γ(

t − vxc2

)

x′ = γ(x − vt)ou

{

t = γ(

t′ + vx′

c2

)

x = γ(x′ + vt′)com γ =

1√

1 − v2c2

• Adição de velocidades:

u′ =u − v1 − uv

c2ou u =

u′ + v

1 + u′v

c2

• Dilatação do tempo:

∆t′ =∆t

γ= ∆t

√

1 − v2

c2

1.10 Exerćıcios

1. Mostre que à latitude de Lisboa (cerca de 39o) a velocidade de rotação da Terra é de aproxi-madamente 1300 quilómetros por hora. (Raio da Terra: cerca de 6400 quilómetros). Mostreque esta velocidade é superior à velocidade do som (cerca de 340 metros por segundo).

2. Mostre que a velocidade da Terra em relação ao Sol é de cerca de 30 quilómetros porsegundo. (Distância da Terra ao Sol: cerca de 8, 3 minutos-luz).

3. A metralhadora instalada na cauda de um bombardeiro que voa a 900 quilómetros por horadispara balas também a 900 quilómetros por hora, na direcção oposta à do voo. O queacontece às balas?

4. Um rapaz atira uma bola de ténis a 50 quilómetros por hora na direcção de um combóio quese aproxima a 100 quilómetros por hora. Assumindo que a colisão é perfeitamente elástica,a que velocidade é devolvida a bola?

5. Relatividade da simultaneidade: A nave espacial Enterprise voa a 80% da velocidadeda luz em relação à Terra. Exactamente a meio da nave existe uma lâmpada. Portanto,quando a lâmpada é acesa, a luz atinge a proa e a popa da nave exactamente ao mesmotempo (para um observador a bordo). E para um observador na Terra?


Figura 5: A Enterprise voa a 80% da velocidade da luz em relação à Terra.

6. Verifique que a fórmula para as transformações de Lorentz inversas está correcta.

7. Contracção do espaço: Considere uma régua de comprimento l em repouso no referencialS′. A régua enconta-se orientada ao longo do eixo dos x′x′, de modo que as extremidadesda régua satisfazem x′ = 0, x′ = l′ para todo o t′. Escreva as equações que descrevemo movimento das extremidades da régua no referencial S, e mostre que neste referencial ocomprimento da régua é

l =l′

γ< l′.

8. Verifique que a fórmula de adição de velocidades relativista pode ser escrita (como seria deesperar) na forma

u =u′ + v

1 + u′v

c2

.

9. Um foguetão que voa na direcção da Terra a 50% da velocidade da luz dispara um ḿıssil,cuja velocidade em relação ao foguetão é também de 50% da velocidade da luz. Qual avelocidade do ḿıssil em relação à Terra quando este é disparado

(a) Para a frente?

(b) Para trás?

10. Dois foguetões voam a 50% da velocidade da luz em relação à Terra, mas em direcçõesopostas. Qual é a velocidade de um dos foguetões em relação ao outro?

11. A fórmula da dilatação do tempo pode ser directamente deduzida do facto da velocidadeda luz ser a mesma em qualquer referencial de inércia usando um relógio de luz (Figura6): consideremos, no referencial S′, um sinal luminoso que se propaga entre um laser L eum detector D ao longo do eixo dos y′y′. Se o sinal demora um intervalo de tempo ∆t′

(medido em S′) no trajecto, então a distância (medida em S′) entre L e D é ∆y′ = c∆t′.Por outro lado, em S o detector D move-se ao longo do eixo dos xx com velocidade v.Portanto, no intervalo de tempo ∆t (medido em S) entre a emissão e a detecção do laser,o detector desloca-se de v∆t ao longo do eixo dos xx. Supondo que a distância ∆y medidaem S entre o laser e o detector é a mesma que em S′, ∆y = ∆y′, deduza a fórmula dadilatação do tempo.

12 José Natário

xx′

yy′

∆y∆y′

v∆t

L L

DD

raio luminosoraio luminoso

Figura 6: Relógio de luz.

12. Aproximações úteis: Mostre que se |ε| ≪ 1 então:

(a)1

1 + ε≃ 1 − ε;

(b)√

1 + ε ≃ 1 + ε2.

13. Em 1971, a fórmula da dilatação do tempo foi confirmada experimentalmente comparandodois relógios atómicos muito precisos. Um dos relógios foi mantido em repouso à superf́ıcieda Terra, enquanto que o outro foi transportado de avião ao longo do paralelo de latitude39o, a uma velocidade média de 900 quilómetros por hora.

(a) Qual foi a diferença nos valores indicados pelos dois relógios? Faz alguma diferença seo relógio está a voar para leste ou para oeste?

(b) Mostre que mesmo que o relógio atómico fosse transportado muito lentamente aolongo do paralelo, de modo a minimizar os efeitos da dilatação do tempo, os doisrelógios estariam sempre dessincronizados no final da viagem (efeito de Sagnac).

(Recorde que a Terra não é exactamente um referencial inercial, uma vez que está a rodar;

poderá ser-lhe útil usar a aproximação√

1 − v2c2

≃ 1− v22c2

, válida para velocidades v muito

inferiores a c).

14. Quando os raios cósmicos atingem a atmosfera da Terra produzem (entre outras) part́ıculaschamadas muões, tipicamente a uma altitude de 10 quilómetros. Estas part́ıculas elemen-tares são instáveis, desintegrando-se em cerca de 2, 2 × 10−6 segundos. No entanto, umagrande percentagem destes muões é detectada à superf́ıcie da Terra. Qual a velocidadeḿınima a que as part́ıculas detectadas se estão a mover?

15. Paradoxo dos Gémeos: Dois gémeos, a Alice e o Bernardo, separam-se no seu 20o ani-versário: enquanto a Alice fica na Terra (que constitui muito aproximadamente um refe-rencial inercial), o Bernardo parte a 80% da velocidade da luz na direcção do Planeta X,situado a 8 anos-luz da Terra, que alcança portanto 10 anos mais tarde (medidos no refe-rencial da Terra). Após uma curta estadia, o Bernardo regressa à Terra, novamente a 80%da velocidade da luz. Consequentemente, a Alice tem 40 anos quando revê o seu irmão.


(a) Que idade tem o Bernardo nesse reencontro?

(b) Como explica a assimetria nas idades dos gémeos? Afinal de contas, do ponto de vistado Bernardo, é ele quem está imóvel e é a Terra quem se afasta ou aproxima...

1.11 Soluções

1. O raio do paralelo que passa por Lisboa é de cerca de 6400 × cos(39o) ≃ 5000 quilómetros(veja a Figura 23), pelo que a sua circunferência mede aproximadamente 2π×5000 ≃ 31000quilómetros. Consequentemente, um ponto a esta latitude percorre 31000 quilómetros acada 24 horas, correspondendo a uma velocidade de cerca de 1300 quilómetros por hora.Esta velocidade é superior à velocidade do som, que é de aproximadamente 0, 34 × 3600 ≃1200 quilómetros por hora.

2. Um minuto-luz é a distância percorrida pela luz (à velocidade de 300000 quilómetros porsegundo) no decorrer de um minuto. A circunferência da órbita da Terra mede portanto2π × 8, 3 × 60 × 300000 quilómetros, e a Terra percorre esta distância no decorrer de umano, ou seja, 365 × 24 × 3600 segundos. Dividindo obtemos o resultado.

3. Pela fórmula de adição de velocidades (de Galileu, uma vez que as velocidades são muitoinferiores à da luz), a velocidade das balas subtrai-se à velocidade do avião, pelo que avelocidade das balas em relação à Terra é zero. Consequentemente, as balas caem a pique.

4. Relativamente ao combóio, a bola viaja a 50 + 100 = 150 quilómetros por hora, peloque é devolvida com a mesma velocidade. Portanto, do ponto de vista do rapaz a bola édevolvida a 150 + 100 = 250 quilómetros por hora. Este truque é muitas vezes utilizadopelas sondas espaciais, numa manobra a que se costuma chamar assistência gravitacional.Nesta manobra, a sonda faz o papel de bola de ténis e um planeta o papel de combóio.Claro que a sonda não colide elasticamente com o planeta: em vez disso, descreve umaórbita rasante, que, por conservação de energia, se comporta como uma colisão elástica.Isto permite à sonda aumentar consideravelmente a sua velocidade.

5. Do ponto de vista de um observador na Terra, a luz atinge primeiro a popa da nave, quese aproxima do ponto de emissão do sinal luminoso (ao passo que a proa se afasta desteponto). Quantitativamente, seja 2L o comprimento da Enterprise, e suponhamos que o sinalluminoso é emitido do ponto x′ = 0 no instante t′ = 0. Então o sinal luminoso alcança apopa (ponto x′ = −L) e a proa (ponto x′ = L) no instante t′ = L

c. Uma vez que v

c= 0, 8,

e portanto√

1 − v2c2

= 0, 6, as transformações de Lorentz dizem-nos que, no referencial da

Terra, a luz alcança a popa no instante

t =t′ + 0, 8x

′

c

0, 6=

Lc− 0, 8L

c

0, 6=

L

3c,

e a proa no instante

t =t′ + 0, 8x

′

c

0, 6=

Lc

+ 0, 8Lc

0, 6=

3L

c.

Do ponto de vista da Terra a luz demora então 9 vezes mais tempo a atingir a proa que aatingir a popa.

14 José Natário

6. Basta verificar que

γ

(

t′ +vx′

c2

)

= γ2(

t − vxc2

)

+ γ2v

c2(x − vt) = γ2

(

1 − v2

c2

)

t = t

e

γ(x′ + vt′) = γ2(x − vt) + vγ2(

t − vxc2

)

= γ2(

1 − v2

c2

)

x = x.

7. As extremidades da régua movem-se de acordo com as equações

x′ = 0 ⇔ γ(x − vt) = 0 ⇔ x = vt

e

x′ = l′ ⇔ γ(x − vt) = l′ ⇔ x = l′

γ+ vt.

Consequentemente, o comprimento da régua no referencial S é

l =l′

γ+ vt − vt = l

′

γ= l′

√

1 − v2

c2

(sempre menor que l′).

8. Basta ver que

u′ =u − v1 − uv

c2⇔ u − v = u′ − u

′uv

c2⇔(

1 +u′v

c2

)

u = u′ + v ⇔ u = u′ + v

1 + u′v

c2

.

9. Em ambos os casos a velocidade do foguetão em relação à Terra é v = 0, 5 c. Logo:

(a) Quando o ḿıssil é disparado para a frente, a velocidade do ḿıssil em relação ao foguetãoé u′ = 0, 5 c. Portanto a velocidade do ḿıssil em relação è Terra será

u =u′ + v

1 + u′v

c2

=0, 5 c + 0, 5 c

1 + 0, 5 × 0, 5 =c

1, 25= 0, 8 c.

(b) Quando o ḿıssil é disparado para trás, a velocidade do ḿıssil em relação ao foguetãoé u′ = −0, 5 c. Portanto a velocidade do ḿıssil em relação è Terra será

u =u′ + v

1 + u′v

c2

=−0, 5 c + 0, 5 c1 − 0, 5 × 0, 5 = 0.

10. O referencial do foguetão que se move da esquerda para a direita possui velocidade v = 0, 5 c.No referencial da Terra, o foguetão que se move da direita para a esquerda tem velocidadeu = −0, 5 c. Em relação ao primeiro foguetão a sua velocidade será então

u′ =u − v1 − uv

c2=

−0, 5 c − 0, 5 c1 + 0, 5 × 0, 5 = −

c

1, 25= −0, 8 c.


11. Pelo Teorema de Pitágoras, a distância percorrida pelo sinal luminos no referencial S é

c2∆t2 = v2∆t2 + ∆y2 = v2∆t2 + ∆y′2 = v2∆t2 + c2∆t′2.

Resolvendo em ordem a ∆t′ obtemos

∆t′ = ∆t

√

1 − v2

c2.

12. Se |ε| ≪ 1 então ε2 ≪ |ε| (por exemplo se ε = 0, 01 então ε2 = 0, 0001). Portanto comerro da ordem de ε2 (portanto desprezável) temos:

(a) (1 − ε)(1 + ε) = 1 − ε2 ≃ 1, donde 11+ε

≃ 1 − ε;

(b)(

1 + ε2

)2= 1 + ε + ε

2

4≃ 1 + ε, donde

√1 + ε ≃ 1 + ε

2.

Por exemplo,

(a) 11,01

= 0, 99009900... ≃ 0, 99 = 1 − 0, 01;

(b)√

1, 01 = 1, 00498756... ≃ 1, 005 = 1 + 0,012

.

13. Neste problema o facto do referencial à superf́ıcie da Terra não ser um referencial inercial(devido ao movimento de rotação da Terra) é relevante. Consequentemente, devemos usaro referencial inercial ligado ao centro da Terra. Como vimos na resolução do Exerćıcio 1,o comprimento do paralelo de latitude 39o é L = 31000 quilómetros. Consequentemente aviagem de avião demorou aproximandamente 31000

900≃ 31, 4 horas, ou seja, cerca de 124000

segundos.

(a) O relógio parado na superf́ıcie da Terra move-se, como vimos no Exerćıcio 1, a cercade 1300 quilómetros por hora no referencial do centro da Terra. Portanto quando oavião voa para leste está a mover-se a 1300 + 900 = 2200 quilómetros por hora nestereferencial, e quando voa para oeste está a mover-se a 1300 − 900 = 400 quilómetrospor hora. Deste modo, a diferença entre os valores indicados pelos dois relógios quandoo avião voou para oeste é

124000

(√

1 − 13002

(3600 × 300000)2 −√

1 − 22002

(3600 × 300000)2

)

segundos.

Usando a aproximação√

1 − v2c2

≃ 1 − v22c2

, obtemos para a diferença

124000 × 22002 − 13002

2 × (3600 × 300000)2 ≃ 170 × 10−9 segundos.

A diferença entre os valores indicados pelos dois relógios quando o avião voou paraoeste é

124000

(√

1 − 13002

(3600 × 300000)2 −√

1 − 4002

(3600 × 300000)2

)

segundos,

16 José Natário

ou seja, aproximadamente

124000 × 4002 − 13002

2 × (3600 × 300000)2 ≃ −80 × 10−9 segundos.

Portanto quando o relógio viajou para leste atrasou-se cerca de 170 nano-segundos emrelação ao relógio parado na superf́ıcie da Terra, e quando voou para oeste adiantou-secerca de 80 nano-segundos. Estas diferenças foram realmente medidas na experiência,juntamente com as correcções introduzidas pelo efeito do campo gravitacional (verExerćıcio 3 da Secção 5).

(b) Seja V ≃ 1300 quilómetros por hora a velocidade de rotação da Terra à latitude 39o, esuponhamos que o relógio é transportado a uma velocidade muito pequena v ao longodo paralelo. Então a viagem demorará um tempo L

v. Se o relógio é transportado para

leste, a dessincronização entre o relógio fixo e o relógio móvel será

L

v

√

1 − V2

c2− L

v

√

1 − (V + v)2

c2≃ L

v

(V + v)2 − V 22c2

=L

v

(2V + v)v

2c2≃ V L

c2,

ou seja,13003600

× 310003000002

≃ 120 × 10−9 segundos.Portanto o relógio móvel atrasar-se-á cerca de 120 nano-segundos em relação ao relógiofixo. Se o relógio for transportado para oeste, a dessincronizaçãp terá o mesmo valorabsoluto mas sinal oposto, isto é, o relógio móvel adiantar-se-á cerca de 120 nano-segundos em relação ao relógio fixo.

O sistema GPS de navegação por satélite depende do funcionamento de estaçõesem Terra seguem o movimento dos satélites com grande exactidão. Estas estaçõespossuem relógios atómicos muito precisos, que têm que estar sincronizados até aosnano-segundos. Para sincronizar os relógios é preciso levar em conta o efeito de Sagnac.

14. Se os muões se movem a uma velocidade de v quilómetros por segundo, demoram 10v

segundos a alcançar o solo no referencial da Terra. Para o muões, no entanto, o tempodecorrido é

10

v

√

1 − v2

c2,

devido à dilatação do tempo. Para os muões que alcançam o solo, este intervalo de tempotem que ser inferior a 2, 2 × 10−6 segundos:10

v

√

1 − v2

c2< 2, 2 × 10−6 ⇔ 100

v2

(

1 − v2

c2

)

< 4, 84 × 10−12 ⇔ 1v2

− 1c2

< 4, 84 × 10−14

⇔ c2

v2< 1 + 4, 4 × 10−3 ⇔ v

c>

1√

1 + 4, 4 × 10−3≃ 1

1 + 2, 2 × 10−3 ≃ 1 − 2, 2 × 10−3.

Portanto os muões detectados nom solo movem-se a pelo menos 99, 998% da velocidade daluz.

15. (a) Uma vez que para a Alice se passaram 20 anos, e que neste intevalo de tempo oBernardo se moveu a 80% da velocidade da luz, para o Bernardo passaram-se

20√

1 − 0, 82 = 20√

0, 36 = 20 × 0, 6 = 12 anos,pelo que o Bernardo terá 32 anos no reencontro.


(b) A assimetria nas idades dos gémeos deve-se ao facto de apenas a Alice permanecernum referencial inercial, já que o Bernardo tem que travar ao chegar ao Planeta X, edepois acelerar de novo para regressar à Terra. Apesar das velocidades serem conceitosrelativos, o facto de se ser um observador inercial ou um observador acelerado é umconceito absoluto.

18 José Natário

2 Geometria de Minkowski

2.1 Unidades

Uma vez que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, podemos sem ambiguidadeescolher unidades nas quais c = 1. Por exemplo, podemos medir o tempo em anos e as distânciasem anos-luz (um ano-luz é a distância percorrida pela luz no decurso de um ano, cerca de 9, 5×1012quilómetros). Alternativamente, podemos medir as distâncias em metros e o tempo em metros-luz(um metro-luz é o tempo gasto pela luz para percorrer 1 metro, cerca de 3, 3 nano-segundos).

2.2 Diagramas de espaço-tempo

Para formular geometricamente a Teoria da Relatividade Restrita, escolhemos um determinadoreferencial inercial S. Cada acontecimento pode ser especificado neste referencial indicando aposição x e o instante t em que ocorreu. Um diagrama de espaço-tempo consiste em representaros acontecimento como pontos no plano com coordenadas Cartesianas (t, x). Por razões históricas,costuma representar-se a coordenada t em ordenada.

O movimento de uma part́ıcula pode ser representado num diagrama de espaço-tempo indi-cando a sua posição x em cada instante t; obtemos deste modo uma linha, a que chamaremos ahistória da part́ıcula. Consideramos de seguida alguns exemplos (ver Figura 7):

x

t

(a) (b) (c)(d)

Figura 7: Diagrama de espaço-tempo contendo as histórias de: (a) Uma part́ıcula em repouso; (b)Uma part́ıcula com velocidade constante; (c) Um raio luminoso; (d) Uma part́ıcula com velocidadevariável.

(a) Se a part́ıcula se encontra em repouso no referencial S, então a sua posição x não varia comt: x = x0, onde x0 é uma constante. A história desta part́ıcula é portanto uma recta vertical.


(b) Se a part́ıcula se move com velocidade constante v, então a sua posição no instante t é dadapor x = x0+vt, onde x0 é uma constante (representando a posição da part́ıcula em t = 0). Ahistória desta part́ıcula é então uma linha recta de declive 1

v(já que a equação do movimento

da part́ıcula pode ser reescrita como t = 1v(x − x0)).

(c) Um sinal luminoso move-se com velocidade constante ±c = ±1, e portanto a sua posiçãono instante t é x = x0 ± t, onde x0 é uma constante (representando a posição do sinal emt = 0). A história do sinal é portanto uma linha recta de declive ±1.

(d) Se a part́ıcula se move com velocidade não constante, a sua história será uma linha curva.Como vimos, as fórmulas das transformações de Lorentz obrigam a que a velocidade dequalquer part́ıcula seja inferior a c = 1. Portanto se em cada acontecimento da história dapart́ıcula imaginarmos dois sinais luminosos a serem emitidos (rectas de declives ±1 passandonesse acontecimento), a história da part́ıcula nunca poderá intersectar as histórias dessessinais luminosos em qualquer outro ponto.

2.3 Intervalo entre acontecimentos

Para representarmos acontecimentos num diagrama de espaço-tempo temos que escolher umreferencial inercial S. É evidente que se escolhermos um referencial inercial diferente S′, a repre-sentação irá mudar, uma vez que as coodenadas (t′, x′) de um dado acontecimento em S′ nãocoincidem (em geral) com as coordenadas (t, x) do mesmo acontecimento em S.

A situação é análoga ao que acontece quando introduzimos coordenadas Cartesianas no planoEuclidiano. Para o fazermos, temos que fixar um sistema de eixos ortogonais S. No entanto, aescolha dos eixos não é única: por exemplo, podemos escolher um sistema de eixos S′ rodado deum ângulo α em relação a S (Figura 8). Se um dado ponto P tem coordenadas (x, y) em S, assuas coordenadas (x′, y′) em S′ não são em geral iguais. Na verdade, é posśıvel mostrar que setem

{

x′ = x cos α + y sen α

y′ = −x sen α + y cos α

As coordenadas do ponto P não têm portanto significado geométrico, uma vez que dependemda escolha do sistema de eixos. No entanto, a introdução de um sistema de eixos permite-noscalcular quantidades com significados geométrico, como por exemplo a distância entre dois pontos.Consideremos dois pontos, P1 e P2, com coordenadas (x1, y1) e (x2, y2) em S. As coordenadasdestes pontos em S′ serão (x′1, y

′1) e (x

′2, y

′2), com

x′1 = x1 cos α + y1 sen α

x′2 = x2 cos α + y2 sen α

y′1 = −x1 sen α + y1 cos αy′2 = −x2 sen α + y2 cos α

Se ∆x = x2 −x1, ∆y = y2 − y1, ∆x′ = x′2 −x′1 e ∆y′ = y′2 − y′1 representam as diferenças entreas coordenadas de P2 e P1 em cada um dos referenciais, temos

{

∆x′ = ∆x cos α + ∆y sen α

∆y′ = −∆x sen α + ∆y cos α

20 José Natário

SS′

x

x′

y

y′

P

α

Figura 8: Dois sistemas de eixos.

A distância ∆s entre P1 e P2 pode ser calculada em S a partir do Teorema de Pitágoras:

∆s2 = ∆x2 + ∆y2.

Em S′, esta distância é dada por

∆s2 = ∆x′2 + ∆y′2

Como esta distância é uma propriedade geométrica, não pode depender do sistema de eixos.De facto:

∆x′2 + ∆y′2 = (∆x cos α + ∆y sen α)2 + (−∆x senα + ∆y cos α)2

= ∆x2 cos2 α + ∆y2 sen2 α + 2∆x∆y sen α cos α + ∆x2 sen2 α + ∆y2 cos2 α − 2∆x∆y sen α cos α= ∆x2(sen2 α + cos2 α) + ∆y2(sen2 α + cos2 α)

= ∆x2 + ∆y2.

Por analogia, definimos a “distância” ∆τ entre dois acontecimentos P1 e P2 de coordenadas(t1, x1) e (t2, x2) em S mediante

∆τ2 = ∆t2 − ∆x2,

onde ∆t = t2 − t1 e ∆x = x2 − x1. Note-se que ∆τ não é a distância Euclidiana entre os doisacontecimentos no diagrama de espaço-tempo, por causa do sinal negativo. Note-se também quesó podemos definir distância entre acontecimentos tais que |∆x| ≤ |∆t|. Pares de acontecimentosnestas condições dizem-se causalmente relacionados, uma vez que só neste caso um deles podeser a causa do outro: a velocidade máxima de propagação de qualquer sinal é a da luz, e portanto∣

∣

∆x∆t

∣

∣ ≤ 1 ao longo da história de qualquer sinal. À “distância” ∆τ chama-se o intervalo entreos acontecimentos causalmente relacionados P1 e P2.


Surpreendentemente, o intervalo não depende do referencial inercial em que é calculado:

∆t′2 − ∆x′2 = γ2(∆t − v∆x)2 − γ2(∆x − v∆t)2

= γ2(∆t2 + v2∆x2 − 2v∆t∆x − ∆x2 − v2∆t2 + 2v∆t∆x)= γ2(1 − v2)∆t2 − γ2(1 − v2)∆x2

= ∆t2 − ∆x2

(onde usámos as fórmulas das transformações de Lorentz com c = 1.) Podemos portanto encarar aRelatividade Restrita como o estudo de uma geometria, diferente da habitual geometria Euclidiana,em que a distância entre dois pontos é substituida pelo intervalo entre dois acontecimentos. Aesta nova geometria chama-se a geometria de Minkowski9.

Figura 9: Hermann Minkowski.

Qual é o significado f́ısico do intervalo entre dois acontecimentos? Se ∆τ 6= 0, temos|∆x| < |∆t|. Portanto existe um observador com velocidade v constante que presencia os doisacontecimentos, já que

|v| =∣

∣

∣

∣

∆x

∆t

∣

∣

∣

∣

< 1.

No referencial S′ deste observador, os acontecimentos ocorrerão no mesmo ponto do espaço,∆x′ = 0. Portanto neste referencial

∆τ = |∆t′|.Conclúımos que o intervalo entre dois acontecimentos representa o tempo medido entreos acontecimentos por um observador inercial que presencia ambos os acontecimentos(desde que seja diferente de zero). Se ∆τ = 0, temos |∆x| = |∆t|, e portanto acontecimentosentre os quais o intervalo é zero são acontecimentos ao longo da história de um dadosinal luminoso.

2.4 Paradoxo dos Gémeos generalizado

O Paradoxo dos Gémeos refere-se à situação ilustrada pelo seguinte exerćıcio do caṕıtulo anterior:Dois gémeos, a Alice e o Bernardo, separam-se no seu 20o aniversário: enquanto a Alice fica na

9Hermann Minkowski (1864 – 1909), matemático alemão

22 José Natário

Terra (que constitui muito aproximadamente um referencial inercial), o Bernardo parte a 80% davelocidade da luz na direcção do Planeta X, situado a 8 anos-luz da Terra, que alcança portanto 10anos mais tarde (medidos no referencial da Terra). Após uma curta estadia, o Bernardo regressaà Terra, novamente a 80% da velocidade da luz. Consequentemente, a Alice tem 40 anos quandorevê o seu irmão. Que idade tem o Bernardo nesse reencontro?

t

xO

P

Q

Terra Planeta X

Figura 10: Diagrama de espaço-tempo para o Paradoxo dos Gémeos.

Usando a fórmula da dilatação do tempo, pode mostrar-se que o Bernardo tem apenas 32anos quando regressa à Terra. Vejamos como podemos chegar à mesma conclusão usando ageometria de Minkowski. Começamos por escolher um referencial inercial. A escolha mais simplesé o referencial da Terra. Neste referencial, a Terra está em repouso, e a sua história é portantouma recta vertical, por exemplo o eixo dos tt (x = 0). O Planeta X também se encontra emrepouso neste referencial, e a sua história será então a recta x = 8 (usando anos e anos-luz comounidades). Se escolhermos t = 0 para o instante da separação dos dois gémeos, esta separaçãoserá o acontecimento O com coordenadas (0, 0). Uma vez que no referencial da Terra o Bernardodemora 10 anos a chegar ao Planeta X, o acontecimento P em que o Bernardo chega ao Planeta Xtem coordenadas (10, 8). Finalmente, o reencontro dos dois gémeos é claramente o acontecimentoQ de coordenadas (20, 0) (Figura 10).

O tempo medido pelo Bernardo para a viagem de ida é então o intervalo OP entre os acon-tecimentos O e P , dado por

OP2

= 102 − 82 = 100 − 64 = 36,

ou seja, OP = 6. O tempo medido pelo Bernardo para a viagem de regresso é o intervalo PQentre os acontecimentos P e Q, dado por

PQ2

= (20 − 10)2 − (0 − 8)2 = 102 − 82 = 100 − 64 = 36,


ou seja, PQ = 6. Portanto, a viagem total demora OP +PQ = 6+6 = 12 anos para o Bernardo.

O facto do Bernardo ser mais novo no reencontro pode ser reformulado geometricamente comoa afirmação de que

OQ > OP + PQ,

ou seja: o intervalo correspondente ao lado OQ do triângulo OPQ é maior que a soma dosintervalos correspondentes aos outros dois lados.

Figura 11: A curva de comprimento ḿınimo entre dois pontos do plano é o segmento de recta. Omesmo diagrama pde ser usado para mostrar que a curva causal de comprimento máximo entredois acontecimentos é o segmento de recta.

Isto é exactamente o contrário do que se passa em geometria Euclidiana, onde o comprimentode um lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados(desigualdade triangular).

A desigualdade triangular pode ser usada para mostrar que a curva de comprimento ḿınimoentre dois pontos no plano Euclidiano é um segmento de recta. De facto, dada uma curva qualquerunindo dois pontos do plano, podemos aproximá-la por uma linha quebrada unindo pontos aolongo da curva (Figura 11). Aplicando sucessivamente a desigualdade triangular, é evidente que ocomprimento da linha quebrada é maior que o comprimento do segmento de recta que une os doispontos. Como podemos fazer o comprimento da linha quebrada ser tão próximo do comprimentoda curva quanto quisermos (aumentando o número de pontos ao longo da curva), conclúımos queo comprimento da curva é necessariamente maior que o comprimento do segmento de recta queune os dois pontos.

Podemos fazer um racioćınio análogo em geometria Minkowskiana, usando a desigualdade queresulta do paradoxo dos gémeos. Uma vez que só podemos calcular intervalos entre acontecimentoscausalmente relacionados, só podemos calcular “comprimentos” de curvas tais que quaisquer doispontos ao longo da curva estão causalmente relacionados. Curvas deste tipo chamam-se curvascausais. Como vimos, estas são exactamente as curvas que representam histórias de part́ıculas.

24 José Natário

O comprimento de uma curva causal deve então ser interpretado como o tempo medido pelapart́ıcula ao longo da sua história. A curva causal ser uma recta significa que a part́ıcula cujahistória ela representa não acelera em nenhum referencial inercial (part́ıcula livre). Podemosentão enunciar paradoxo dos gémeos generalizado: de todas as curvas causais que unem doisacontecimentos, a de comprimento máximo é o segmento de recta. Fisicamente, de todos osobservadores que presenciam dois dados acontecimentos, aquele que envelhece mais entre os doisacontecimentos é o que não acelera nunca.

2.5 Mais dimensões

Para simplificar, considerámos até agora apenas diagramas de espaço-tempo com duas dimensões(coordenadas (t, x)). No entanto, um diagrama de espaço-tempo completo possui quatro di-mensões, correspondentes às coordenadas (t, x, y, z) dos acontecimentos num dado referencialinercial. Neste caso, o intervalo entre acontecimentos causalmente relacionados será

∆τ2 = ∆t2 − ∆x2 − ∆y2 − ∆z2.

Infelizmente, não é fácil visualizar o espaço a 4 dimensões (apesar de do ponto de vista matemáticonão haver qualquer problema em trabalhar com espaços com qualquer número de dimensões –mesmo infinitas dimensões). Por esse motivo, consideraremos aqui apenas diagramas de espaço-tempo com no máximo 3 dimensões, correspondentes às coordenadas (t, x, y) nalgum referencialinercial. Isto permite-nos considerar part́ıculas e sinais luminosos que se movem no plano (x, y).O intervalo entre dois acontecimentos causalmente relacionados será dado por

∆τ2 = ∆t2 − ∆x2 − ∆y2.

Em relação aos diagramas bidimensionais, a principal diferença é que dado um determinado acon-tecimento (por exemplo a origem O), o conjunto de todos os acontecimentos cujo intervalo emrelação a O é zero (ou seja, todos os acontecimentos ao longo de sinais luminosos que passam porO) formam agora um cone, dito o cone de luz de O (Figura 12). A condição para uma curvaser causal é agora a de que esteja dentro do cone de luz de cada um dos seus pontos.

2.6 Fórmulas importantes

• Intervalo entre acontecimentos:

∆τ2 = ∆t2 − ∆x2

• Efeito de Doppler (nos Exerćıcios):

T ′ = T

√

1 + v

1 − v com T′ = T (1 + v) para |v| ≪ 1

2.7 Exerćıcios

1. Verifique que um ano-luz são cerca de 9, 5×1012 quilómetros, e que um metro-luz são cercade 3, 3 × 10−9 segundos.


t

x

y

O

curva causal

cone de luz futuro de O

Figura 12: Diagrama de espaço-tempo.

2. Problema de Lucas10: Nos finais do século XIX existia um serviço de carreira regularentre Le Havre e Nova Iorque realizado por transatlânticos. Todos os dias ao meio-dia(GMT) partia um transatlântico de Le Havre e outro de Nova Iorque. A viagem demoravaexactamente sete dias, pelo que as chegadas ocorriam também ao meio-dia (GMT). Assim,um transatlântico que partisse de Le Havre cruzava-se à partida com um que estava a chegarde Nova Iorque, e à chegada com um que partia para Le Havre nesse momento. Além destesdois, com quantos outros transatlânticos se cruzava o transatlântico oriundo de Le Havredurante a sua viagem? A que horas? Quantos transatlânticos ao todo eram necessáriospara assegurar o serviço?

3. Mostre que as coordenadas (x, y) e (x′, y′) do mesmo ponto P em dois sistemas de eixosS e S′ com S′ rodado de um ângulo α em relação a S satisfazem

{

x′ = x cos α + y sen α

y′ = −x senα + y cos α

4. Paradoxo dos Gémeos (outra vez): Recorde o enunciado do exerćıcio que ilustra oParadoxo dos Gémeos: Dois gémeos, Alice e Bernardo, separam-se no seu 20o aniversário:enquanto Alice fica na Terra (que constitui muito aproximadamente um referencial inercial),Bernardo parte a 80% da velocidade da luz na direcção de um planeta situado a 8 anos-luz da Terra, que alcança portanto 10 anos mais tarde (medidos no referencial da Terra).Após uma curta estadia, Bernardo regressa à Terra, novamente a 80% da velocidade daluz. Consequentemente, a Alice tem 40 anos anos quando revê o seu irmão. Como vimos,o Bernardo tem 32 anos no reencontro.

10François Lucas (1842 – 1891), matemático francês.

26 José Natário

(a) Represente estes acontecimentos no referencial inercial S′ em que o Bernardo estáparado durante a viagem de ida, e confirme as idades dos dois gémeos no reencontro.

(b) A mesma coisa para o referencial inercial S′′ em que o Bernardo está parado durantea viagem de regresso.

(c) Imagine agora que cada um dos gémeos possui um telescópio ultrapotente, com o qualvai observando o outro ao longo da viagem. O que é que cada um deles vê? Emparticular, quanto tempo passa para cada um deles quando vêem passar um ano parao seu gémeo?

5. Efeito de Doppler11: Use o diagrama de espaço-tempo na Figura 13 para mostrar que seum sinal luminoso tem peŕıodo T em S então o seu peŕıodo medido em S′ é

T ′ = T

√

1 + v

1 − v .

Mostre ainda que para velocidades muito inferiores à da luz, |v| ≪ 1, esta fórmula se reduza

T ′ = T (1 + v).

Este efeito permite medir a velocidade com que uma fonte de luz (e.g. uma estrela) seaproxima ou afasta da Terra.

t

x

x = vt

T

T ′

Figura 13: Efeito de Doppler.

6. Um espião Klingon consegue apropriar-se da mais recente nave espacial Terrestre, a Einstein,e fugir na direcção do seu planeta a 60% da velocidade da luz. Em desespero de causa,decide-se instalar um motor experimental na Enterprise que teoricamente lhe permitirá al-cançar 80% da velocidade da luz. A instalação demora 1 ano, mas o novo motor funcionana perfeição. A Enterprise parte no encalço do espião e captura-o algum tempo depois nodecorrer de uma emocionante batalha.

a) Quanto tempo decorre entre o roubo da Einstein e a sua captura

11Christian Doppler (1803 – 1853), matemático austŕıaco.


(i) de acordo com um observador no referencial (inercial) da Terra?

(ii) de acordo com o espião Klingon?

(iii) de acordo com os tripulantes da Enterprise?

b) Foi decidido que, caso a Enterprise fosse destrúıda, seria emitido da Terra um sinal derádio que accionaria o mecanismo secreto de auto-destruição da Einstein. Quanto tempoapós o roubo se poderá saber na Terra se o sinal deve ou não ser emitido?

c) Supondo que a velocidade máxima da Einstein é 60% da velocidade da luz, quando éque na Terra se teria confirmação da sua auto-destruição, caso o sinal fosse emitido?

Figura 14: A Enterprise captura o espião.

7. O ḿıssil mais rápido que a luz: Durante uma missão de vigilância no planeta dos pérfidosKlingons, a Enterprise descobre que estes se preparam para construir um ḿıssil mais rápidoque a luz para com ele atacarem o planeta dos benévolos Lmaquianos, situado a 12 anos-luz. Alarmado, o Capitão Kirk ordena que a Enterprise parta à velocidade máxima (12

13da

velocidade da luz) para o planeta ameaçado, ao mesmo tempo que um sinal de rádio é en-viado a prevenir os Lmaquianos do ataque iminente. Infelizmente, estas medidas revelam-seinfrut́ıferas: onze anos depois (no referencial de ambos os planetas) os Klingons completama construção do ḿıssil, que lançam de imediato a uma velocidade de 12 vezes a velocidadeda luz. Portanto o aviso, deslocando-se à velocidade da luz, chega em simultâneo com oḿıssil, doze anos depois do seu envio, e a Enterprise alcança as rúınas do planeta um anomais tarde.

a) Quanto tempo demora a viagem da Enterprise do ponto de vista dos seus tripulantes?

b) No referencial dos planetas, usando anos e anos-luz como unidades de tempo e espaço,sejam (0, 0) as coordenadas (t, x) do acontecimento em que a Enterprise descobre atrama, (11, 0) as coordenadas do lançamento do ḿıssil, (12, 12) as coordenadas dadestruição do planeta dos Lmaquianos e (13, 12) as coordenadas da chegada da Enterpriseàs rúınas do planeta. Calcule as coordenadas (t′, x′) dos mesmos acontecimentos noreferencial da Enterprise.

c) Desenhe um diagrama com as trajectórias da Enterprise, dos planetas, do aviso e doḿıssil no referencial t′Ox′ da Enterprise. Descreva o desenrolar dos acontecimentos doponto de vista dos observadores deste referencial.

28 José Natário

2.8 Soluções

1. Um ano-luz são cerca de

365 × 24 × 3600 × 300000 ≃ 9, 5 × 1012 quilómetros.

Um metro-luz são cerca de

0, 001

300000≃ 3, 3 × 10−9 segundos,

ou seja, cerca de 3, 3 nano-segundos.

2. A resolução do problema torna-se trivial quando se traçam as histórias dos transatlânticosnum diagrama de espaço-tempo (Figura 15). Assim, cada transatlântico cruzava-se com13 outros transatlânticos no alto mar, a cada meio-dia e meia-noite da viagem. Assumindoque cada transatlântico precisava de um dia no porto de chegada para se reabastecer (ecarregar) para a partida, o serviço podia ser assegurado por apenas 16 transatlânticos.

t

x

Le Havre Nova Iorque

Figura 15: Diagrama de espaço-tempo para o Problema de Lucas.


3. Com argumentos de trigonometria elementar, é fácil ver a partir da Figura 8 que

x′ =x

cos α+

y′

cos αsenα ⇔ x = x′ cos α − y′ sen α

e que

y =y′

cos α+

x

cos αsen α ⇔ y′ = y cos α − x sen α.

Substituindo a segunda equação na primeira vem

x = x′ cos α − y cos α sen α + x sen2 α ⇔ x′ cos α = x cos2 α + y cos α sen α,

donde

x′ = x cos α + y sen α.

4. No referencial S da Terra, sejam (0, 0) as coordenadas do acontecimento O correspondenteà partida do Bernardo. Então o acontecimento P em que o Bernardo chega ao PlanetaX tem coordenadas (10, 8), e o acontecimento Q em que o Bernardo chega à Terra temcoordenadas (20, 0).

(a) O referencial S′ em que o Bernardo está em repouso na viagem de ida move-se comvelocidade v = 0, 8 em relação a S. Consequentemente,

√1 − v2 = 0, 6, e portanto

as coordenadas (t′, x′) de um acontecimento em S′ relacionam-se com as coordenadas(t, x) de um acontecimento em S mediante as transformações de Lorentz

t′ =t − vx√1 − v2

=t − 0, 8x

0, 6e x′ =

x − vt√1 − v2

=x − 0, 8t

0, 6.

Logo, no referencial S′ o acontecimento O tem coordenadas (0, 0), o acontecimentoP tem coordenadas (6, 0) (como não podia deixar de ser), e o acontecimento Q temcoordenadas

(

1003

,−803

)

. Estes acontecimentos encontram-se representados na Figura16. Se calcularmos neste referencial o tempo medido pela Alice entre os acontecimentosO e Q obtemos

√

(

100

3

)2

−(

80

3

)2

=√

400 = 20 anos.

Do mesmo modo, o tempo medido pelo Bernardo entre os acontecimentos O e P éclaramente de 6 anos, e o tempo medido pelo Bernardo entre os acontecimentos P eQ é dado por

√

(

100

3− 6)2

−(

80

3

)2

=√

36 = 6 anos.

(b) O referencial S′′ em que o Bernardo está em repouso na viagem de regresso move-secom velocidade v = −0, 8 em relação a S. Consequentemente,

√1 − v2 = 0, 6, e

portanto as coordenadas (t′′, x′′) de um acontecimento em S′′ relacionam-se com ascoordenadas (t, x) de um acontecimento em S mediante as transformações de Lorentz

t′′ =t − vx√1 − v2

=t + 0, 8x

0, 6e x′′ =

x − vt√1 − v2

=x + 0, 8t

0, 6.

30 José Natário

tt

xx OO

P

P

QQ

S S′

Terra

Terra

Figura 16: Diagramas de espaço-tempo para o Paradoxo dos Gémeos nos referenciais S e S′.

Logo, no referencial S′′ o acontecimento O tem coordenadas (0, 0), o acontecimentoP tem coordenadas

(

823

, 803

)

, e o acontecimento Q tem coordenadas(

1003

, 803

)

. Es-tes acontecimentos encontram-se representados na Figura 16. Se calcularmos nestereferencial o tempo medido pela Alice entre os acontecimentos O e Q obtemos de novo

√

(

100

3

)2

−(

80

3

)2

=√

400 = 20 anos.

Do mesmo modo, o tempo medido pelo Bernardo entre os acontecimentos O e P édado por

√

(

82

3

)2

−(

80

3

)2

=√

36 = 6 anos.

Finalmente, e o tempo medido pelo Bernardo entre os acontecimentos P e Q é clara-mente de 100

3− 82

3= 18

3= 6 anos.

(c) No acontecimento P , o Bernardo está a receber a luz que deixou a Terra em t = 2,pelo que nos 6 que durou a viagem de ida o Bernardo viu apenas 2 anos da vida daAlice (Figura 17). Consequentemente, na viagem de ida o Bernardo viu através doseu telescópio ultrapotente a Alice a mover-se em câmara lenta, a um ritmo 3 vezesinferior ao normal. Nos 6 anos da viagem de regresso, o Bernardo vai ver os restantes18 anos que se passam para a Alice, pelo que a verá mover-se em acelerado, a umritmo 3 vezes superior ao normal.

Por outro lado, a luz emitida a partir do acontecimento P alcança a Alice em t = 18(Figura 17), pelo que ela passou 18 anos a ver os 6 anos da viagem de ida do Bernardo.Logo, ela viu o Bernardo mover-se em câmara lenta na viagem de ida, a um ritmo 3vezes inferior ao normal. Nos restantes dois anos, a Alice vai ver os 6 anos da viagemde regresso, pelo que verá o Bernardo mover-se em acelerado, a um ritmo 3 vezessuperior ao normal.


tt

xx OO

PP

QQ

TerraTerra Planeta XPlaneta X

Figura 17: Diagrama de espaço-tempo para o Paradoxo dos Gémeos.

5. Se o primeiro sinal luminoso é emitido no instante t = t0, a sua história é a recta deequação t = t0 + x. Logo, o observador em S

′ detecta o sinal luminoso no acontecimentode coordenadas

{

t = t0 + x

x = vt⇔

t =t0

1 − v

x =vt0

1 − v

Do mesmo modo, o segundo sinal luminoso é emitido no instante t = t0 + T , a sua históriaé a recta de equação t = t0 +T +x, e o sinal luminoso é detectado em S

′ no acontecimentode coordenadas

t =t0 + T

1 − v

x =v(t0 + T )

1 − v

Consequentemente, o intervalo de tempo medido em S′ entre a recepção dos dois sinais é

T ′ =

√

(

t0 + T

1 − v −t0

1 − v

)2

−(

v(t0 + T )

1 − v −vt0

1 − v

)2

=

√

T 2

(1 − v)2 −v2T 2

(1 − v)2

= T

√

1 − v2(1 − v)2 = T

√

(1 − v)(1 + v)(1 − v)2 = T

√

1 + v

1 − v .

32 José Natário

Se v = 0, 8, por exemplo, temos

√

1 + v

1 − v =√

1, 8

0, 2=

√9 = 3.

Isto é consistente com o que os gémeos do problema 4 vêem através do seu telescópiodurante a viagem de ida: cada ano do outro gémeo é observado ao longo de um peŕıodo detrês anos. Se v = −0, 8, por outro lado, temos

√

1 + v

1 − v =√

0, 2

1, 8=

√

1

9=

1

3.

De facto, na viagem de regresso cada um dos gémeos observa através do seu telescópio trêsanos do outro gémeo por ano.

Para |v| ≪ 1, podemos aplicar a fórmula

1

1 − v ≃ 1 + v

para obter a aproximação

T ′ = T

√

1 + v

1 − v ≃ T√

(1 + v)2 = T (1 + v).

6. (a) (i) Supomos que o roubo da Einstein é o acontecimento de coordenadas (0, 0) noreferencial S da Terra. Então a história da Einstein a partir desse acontecimento érepresentada pela recta x = 0, 6t. A Enterprise parte da Terra no acontecimento(1, 0), e a sua história a partir desse acontecimento é a recta x = 0, 8(t − 1).Portanto a Enterprise alcança a Einstein no acontecimento de coodenadas

{

x = 0, 6t

x = 0, 8(t − 1)⇔{

x = 0, 6t

0, 2t = 0, 8

{

t = 4

x = 2, 4

Do ponto de vista de um observador no referencial da Terra a Einstein é entãocapturada 4 anos após o roubo.

(ii) De acordo com o espião Klingon, o intervalo de tempo entre o roubo e a capturaé dado por

√

42 − 2, 42 = 3, 2 anos.

(iii) De acordo com os tripulantes da Enterprise, a perseguição demora

√

(4 − 1)2 − 2, 42 = 1, 8 anos,

pelo que eles medem 1 + 1, 8 = 2, 8 anos entre o roubo e a captura.

(b) Uma vez que a informação do desfecho da batalha se propagará no máximo à velocidadeda luz, só passados 4 + 2, 4 = 6, 4 anos é que se saberá na Terra se o sinal de auto-destruição deve ser enviado.


(c) O melhor caso posśıvel para a Einstein seria esta continuar a afastar-se da Terra a 60%da velocidade da luz, correspondendo à história x = 0, 6t. A história do sinal de rádioseria a recta t = 6, 4 + x. Consequentemente, a auto-destruição da Eintein ocorreriaobrigatoriamente antes do instante t dado por

{

x = 0, 6t

t = 6, 4 + x⇔{

x = 9, 6

t = 16

A luz deste acontecimento alcançaria a Terra em t = 16 + 9, 6 = 25, 6 anos. Portantoter-se-ia confirmação na Terra da auto-destruição da Einstein antes de 25, 6 anos apóso roubo.

7. No referencial S dos planetas, sejam (0, 0) as coordenadas do acontecimento O correspon-dente à descoberta da conspiração, (11, 0) as coordenadas do acontecimento L em que oḿıssil é lançado, (12, 12) as coordenadas do acontecimento D em que o planeta Lmac édestrúıdo, e (13, 12) as coordenadas do acontecimento C em que a Enterprise chega àsrúınas. Estes acontecimentos encontram-se representados na Figura 18.

t

x

t′

x′O

O

L L

D

D

C

C

S S′

Planeta Klingon Planeta Lmac

Enterprise

ḿıssil

sinal

Figura 18: Diagramas de espaço-tempo para o ḿıssil mais rápido que a luz.

(a) A duração da viagem para os tripulantes da Enterprise é simplesmente o intervalo OC,ou seja,

√

132 − 122 =√

25 = 5 anos.

(b) O referencial S′ da Enterprise move-se com velocidade v = 1213

em relação a S. Conse-

quentemente,√

1 − v2 = 513

, e portanto as coordenadas (t′, x′) de um acontecimento

34 José Natário

em S′ relacionam-se com as coordenadas (t, x) de um acontecimento em S medianteas transformações de Lorentz

t′ =t − vx√1 − v2

=13t − 12x

5e x′ =

x − vt√1 − v2

=13x − 12t

5.

Logo, no referencial S′ o acontecimento O tem coordenadas (0, 0), o acontecimentoL tem coordenadas (28, 6;−26, 4), o acontecimento D tem coordenadas (2, 4; 2, 4), eo acontecimento C tem coordenadas (5, 0) (como não podia deixar de ser).

(c) Estes acontecimentos encontram-se representados no referencial S′ da Enterprise naFigura 18. Em S′ a sequência de eventos é portanto surreal: o planeta Lmac explodesem razão; o ḿıssil mais rápido que a luz salta da explosão e viaja na direcção do planetaKlingon, onde uma réplica exacta está a ser constrúıda; os dois ḿısseis desaparecemem simultâneo no acontecimento L. Isto mostra os absurdos que podem ocorrer se sepermitem velocidades superiores à da luz.


3 Geometria Não Euclidiana

3.1 Coordenadas curviĺıneas

Para além das habituais coordenadas Cartesianas, existem muitas outras possibilidades de escolhade coordenadas no plano (ditas coordenadas curviĺıneas). Um exemplo que surge naturalmenteem muitas situações (e.g. radares) são as chamadas coordenadas polares (r, θ), em que cadaponto é identificado pela sua distância r à origem e pelo ângulo θ que o seu vector posição fazcom o eixo dos xx (Figura 19).

r

θ

x

y

P

Figura 19: Coordenadas polares.

Vimos que a distância ∆s entre dois pontos P1 e P2 do plano é dada em coodenadas Carte-sianas por

∆s2 = ∆x2 + ∆y2

Como calcular a distância em coordenadas polares? Começamos por observar que fixando θ efazendo variar r de ∆r percorremos uma distância ∆r ao longo de uma semi-recta com ińıciona origem (Figura 20). Do mesmo modo, fixando r e fazendo variar θ de ∆θ percorremos umadistância r∆θ ao longo da circunferência de centro na origem e raio r. Uma vez que a semi-rectaé perpendicular à circunferência, o Teorema de Pitágoras diz-nos que, se os pontos estão muitopróximos (de forma a que o pedaço percorrido ao longo da circunferência é quase recto), então adistância entre eles é aproximadamente dada por

∆s2 = ∆r2 + r2∆θ2

(a aproximação sendo tanto melhor quanto mais próximos os pontos estiverem).Esta fórmula permite-nos calcular o comprimento de curvas em coodenadas polares aproximando-

as por linhas quebradas. A distância entre dois pontos afastados pode ser calculada calculandosimplesmente o comprimento do segmento de recta que as une.

3.2 A esfera

A geometria Euclidiana ocupa-se do estudo da geometria do plano. No entanto, é muitas vezesútil estudar a geometria de outras superf́ıcies. Por exemplo, para planear viagens maŕıtimas ou

36 José Natário

∆r

r∆θ

P1

P2

Figura 20: Distância em coordenadas polares.

aéreas é necessário compreender a geometria da esfera.

Tal como no plano, a primeira coisa a fazer é escolher um sistema de coordenadas. Para tal,fixamos um ćırculo máximo a que chamamos o equador. Recorde que um ćırculo máximo ésimplesmente a intersecção da esfera com um plano que contém o centro da esfera. No casoda superf́ıcie da Terra, a escolha natural para o equador é o ćırculo máximo definido pelo planoperpendicular ao eixo de rotação. Os ćırculos resultantes da intersecção da esfera com planosparalelos ao plano do equador chamam-se paralelos. Note que os paralelos não são ćırculosmáximos. Os pontos de intersecção da esfera com a recta que passa pelo centro da esfera eé perpendicular ao plano do equador chamam-se os pólos. Os arcos de ćırculo máximo entreos pólos chamam-se meridianos. Dentre estes, escolhemos um a que chamaremos o meridianoprincipal. Ao contrário do equador, não existe nenhuma escolha natural para o meridiano principalno caso da Terra, tomando-se por convenção o meridiano que passa pelo observatório astronómicode Greenwich (Londres). Qualquer meridiano pode ser identificado pelo ângulo ϕ que faz como meridiano principal. A este ângulo chamamos a longitude do meridiano. Do mesmo modo,qualquer paralelo pode ser identificado pelo ângulo θ com o equador medido ao longo de qualquermeridiano. A este ângulo chamamos a latitude do paralelo. Qualquer ponto P da superf́ıcie daesfera pode ser especificado indicando o paralelo e o meridiano a que o ponto pertence (Figura21). Podemos então usar (θ, ϕ) como coordenadas na superf́ıcie da esfera.

Tomando −π2

≤ θ ≤ π2

e −π ≤ ϕ ≤ π, podemos então representar a esfera como umrectângulo no plano (Figura 22). Nesta representação, o eixo das abcissas corresponde ao equador,o eixo das ordenadas ao meridiano principal e, mais geralmente, segmentos horizontais representamparalelos e segmentos verticais representam meridianos. Diz-se então que o rectângulo é um mapa(ou uma carta) para a esfera.


θ

ϕ

P

pólo norte

pólo sul

equador

meridiano principal

Figura 21: Coordenadas na esfera.

Uma vez que a esfera é muito diferente de um rectângulo, não é de estranhar que o mapafornecido pelas coordenadas (θ, ϕ) não seja inteiramente fidedigno, representando certos pontosmais que uma vez. Nomeadamente, os segmentos ϕ = −π e ϕ = π representam o mesmo

θ

ϕ

π−π

π2

−π2

pólo norte

pólo sul

paralelo

meridiano

Figura 22: Mapa da esfera.

38 José Natário

meridiano, e os segmentos θ = π2

e θ = −π2

correspondem cada um a um só ponto (um dos pólos).Além disso, este mapa distorce as distâncias: por exemplo, todos os paralelos são representados porsegmentos com o mesmo comprimento, quando na realidade possuem comprimentos diferentes.Mais precisamente, sendo R o raio da esfera, é fácil ver que o raio do paralelo de latitude θ éR cos θ (Figura 23), e portanto o seu comprimento é 2πR cos θ.

θ

R

R cos θ

Figura 23: Raio de um paralelo.

Para calcular distâncias na esfera, começamos por observar que fixando ϕ e fazendo variar θde ∆θ percorremos uma distância R∆θ ao longo do meridiano de longitude ϕ (Figura 24). Domesmo modo, fixando θ e fazendo variar ϕ de ∆ϕ percorremos uma distância R cos θ∆ϕ ao longodo paralelo de latitude θ. Uma vez que os meridianos são ortogonais aos paralelos, o Teorema dePitágoras diz-nos que, se os pontos estão muito próximos (de forma a que os pedaços de curvaspercorridos são quase rectos), então a distância entre eles é aproximadamente dada por

∆s2 = R2∆θ2 + R2 cos2 θ∆ϕ2

(a aproximação sendo tanto melhor quanto mais próximos os pontos estiverem).À expressão para a distância ∆s2 entre dois pontos muito próximos numa dada superf́ıcie

chama-se a métrica dessa superf́ıcie. Por exemplo, vimos já que a métrica do plano se escreve∆s2 = ∆x2 + ∆y2 em coordenadas Cartesianas e ∆s2 = ∆r2 + r2∆θ2 em coordenadas polares.É importante frisar que apesar de estas duas expressões serem diferentes, elas contêm a mesmainformação: a distância entre dois pontos muito próximos dará o mesmo valor quer seja calculadoem coordenadas Cartesianas quer seja calculado em coordenadas polares. De mesmo modo, amétrica de uma esfera de raio R nas coordenadas (θ, ϕ) é dada por ∆s2 = R2∆θ2+R2 cos2 θ∆ϕ2.

3.3 Geodésicas

Agora que temos a expressão da métrica da esfera de raio R, gostaŕıamos de obter uma expressãopara a distância entre dois quaisquer pontos da esfera (não necessariamente próximos). Recorde-mos que no plano isto é feito calculando o comprimento do segmento de recta (ou seja, a curvade comprimento ḿınimo) que une os pontos. Precisamos portanto de identificar as geodésicas(isto é, as curvas de comprimento ḿınimo) da esfera. Estas curvas desempenharão na geometriada esfera o mesmo papel das linhas rectas na geometria do plano.


R∆θR cos θ∆ϕ

P1

P2

Figura 24: Distância na esfera.

Sejam então P e Q dois pontos da esfera. É sempre posśıvel escolher coordenadas (θ, ϕ)tais que P e Q estão no meridiano ϕ = 0. Consideremos uma curva qualquer unindo P a Q.Aproximamos esta curva por uma linha quebrada escolhendo pontos muito próximos

P0 = P,P1, P2, . . . , PN−1, PN = Q

ao longo da curva. Estes pontos terão coordenadas

(θ0, 0), (θ1, ϕ1), (θ2, ϕ2), . . . , (θN−1, ϕN−1), (θN , 0).

Chamando ∆si à distância entre Pi−1 e Pi (com i = 1, 2, . . . ,N), o comprimento da curva será

l = ∆s1 + ∆s2 + . . . + ∆sN .

De acordo com a expressão da métrica, teremos aproximadamente

∆s2i = R2(θi − θi−1)2 + R2 cos2 θi(ϕi − ϕi−1)2

40 José Natário

e portanto∆si ≥ R(θi − θi−1).

Conclúımos que

l ≥ R(θ1 − θ0 + θ2 − θ1 + . . . + θN − θN−1) = R(θN − θ0),que é exactamente o comprimento do arco de meridiano entre P e Q. Vemos então que a distânciaḿınima entre dois pontos da esfera é medida ao longo do menor arco de ćırculo máximo que osune. Por outras palavras, as geodésicas da esfera são os ćırculos máximos.

3.4 Curvatura

Agora que conhecemos as geodésicas da esfera podemos estudar a sua geometria, que é bastantediferente da geometria do plano. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo ésempre superior a π: na Figura 25 pode ver-se um triângulo na esfera com três ângulos rectos.

Figura 25: Triângulo esférico com três ângulos rectos e poĺıgono com 2 lados.

Dado um triângulo esférico, a diferença entre a soma dos ângulos internos e π chama-se oexcesso esférico. Por exemplo, para o triângulo da Figura 25 o excesso esférico é π

2. A curvatura

média de um triângulo esférico é a razão entre o excesso esférico e a área do triângulo. Recordandoque a área de uma esfera de raio R é de 4πR2, e notando que uma esfera completa é formadapor 8 triângulos iguais ao da Figura 25, conclúımos que a curvatura média desse triângulo é

π2

4πR2

8

=1

R2

A curvatura de uma superf́ıcie num ponto é simplesmente o valor da curvatura média de umtriângulo muito pequeno desenhado em torno desse ponto. Portanto a curvatura num dado pontomede o quanto que a geometria da superf́ıcie nesse ponto difere da geometria do plano. A esferatem a propriedade de ser uma superf́ıcie de curvatura constante: todos os triângulos possuem amesma curvatura média, e portanto a curvatura da esfera em qualquer ponto é 1

R2.

Uma consequência interessante do excesso esférico é que existem na esfera poĺıgonos comapenas dois lados (por exemplo poĺıgonos cujas arestas são meridianos, como se pode ver naFigura 25). A existência destes poĺıgonos é portanto um sinal da presença de curvatura.


3.5 Outros mapas da esfera

Tal como acontecia no plano, existem muitas escolhas posśıveis de coordenadas na esfera. Umapossibilidade é utilizar a chamada projecção ciĺındrica, que consiste em projectar cada ponto Pda esfera num ponto Q da superf́ıcie ciĺındrica tangente à esfera no equador, perpendicularmentea partir do eixo (Figura 26). A superf́ıcie ciĺındrica pode depois ser desenrolada num rectângulode altura 2R e comprimento 2πR. Escolhendo coordenadas Cartesianas (x, y) com origem nocentro neste rectângulo, vemos que o equador se projecta no eixo dos xx, os paralelos em rectashorizontais e os meridianos em rectas verticais. De forma semelhante ao que fizemos para ascoordenadas (θ, ϕ), pode mostrar-se que a métrica da esfera nestas coordenadas é

∆s2 =

(

1 − y2

R2

)

∆x2 +

(

1 − y2

R2

)−1∆y2.

N

PQ

Figura 26: Projecção ciĺındrica.

Esta expressão tem a particularidade de os coeficientes de ∆x2 e de ∆y2 serem inversos umdo outro. Pode mostrar-se que quando isto acontece a projecção preserva áreas, isto é, a área deuma dada figura na esfera é igual à área da sua representação no mapa.

Uma outra projecção famosa é a chamada projecção estereográfica, na qual cada pontoP da esfera é projectado num ponto Q do plano que contém o equador a partir do pólo norte(Figura 27). Escolhendo coordenadas Cartesianas (x, y) no plano com origem no centro da esfera,vemos que o equador se projecta na circunferência de raio R e centro na origem, os paralelosem ćırculos concêntricos e os meridianos em rectas que passam pela origem. A métrica da esferanestas coordenadas é

∆s2 = 4

(

1 +x2

R2+

y2

R2

)−2∆x2 + 4

(

1 +x2

R2+

y2

R2

)−2∆y2.

Esta expressão tem a particularidade de os coeficientes de ∆x2 e de ∆y2 serem iguais. Podemostrar-se que quando isto acontece a projecção preserva ângulos, isto é, o ângulo entre duas

42 José Natário

N

P

Q

Figura 27: Projecção estereográfica.

curvas na esfera é igual ao ângulo entre as suas representações no mapa (que se diz então ummapa conforme).

O mapa que usa a latitude e a longitude como coordenadas não preserva áreas nem é con-forme. Os planisférios usuais empregam a chamada projecção de Mercator12. Esta obtém-se daprojecção ciĺındrica deformando-a verticalmente até se tornar um mapa conforme (o que faz comque as linhas de rumo constante sejam representadas por linhas rectas no mapa).

3.6 Outras geometrias

A geometria da esfera é apenas um exemplo de uma geometria não Euclidiana. Para cada superf́ıciediferente teremos em geral uma geometria diferente, a maior parte das quais não possuirá curvaturaconstante. Muitas terão curvatura negativa, isto é, a soma dos ângulos internos de um triânguloserá inferior a π. Outras serão planas, ou seja, a soma dos ângulos internos de um triângulo seráigual a π. Exemplos destas últimas são, surpreendentemente, o cilindro e o cone. É por isso quepodemos enrolar uma folha de papel de modo a que esta forme um cilindro ou um cone, mas nãouma esfera.

Por analogia, podemos considerar espaços curvos com três ou mais de dimensões. Apesarde em geral ser imposśıvel visualizar estes espaços, tudo o que precisamos para estudar a suageometria é da expressão da métrica num qualquer sistema de coordenadas.

As ideias da geometria não Euclidiana foram desenvolvidas sobretudo por Gauss13 e Riemann14,que as generalizou para espaços com uma qualquer número de dimensões. Por essa razão, amétrica de uma superf́ıcie (ou mais geralmente de um espaço curvo com mais dimensões) chama-se habitualmente uma métrica Riemanniana.

12Gerardus Mercator (1512–1594), cartógrafo flamengo13Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matemático, f́ısico e astrónomo alemão.14Georg Bernhard Riemann (1826–1866), matemático alemão


Figura 28: Planisférios usando a projecção ciĺındrica e a projecção de Mercator.

3.7 Exerćıcios

1. Lisboa e Nova Iorque estão aproximadamente à mesma latitude (40o). No entanto, umavião que voe de Lisboa para Nova Iorque não parte de Lisboa na direcção oeste. Porquê?

2. Considere dois pontos na esfera à mesma latitude θ = π4

mas com longitudes diferindo deπ. Mostre que a distância entre os dois pontos é menor que o comprimento do arco deparalelo entre eles.

Figura 29: Gauss e Riemann.

44 José Natário

3. Indique se as afirmações seguintes são verdadeiras para a geometria do plano e para ageometria da esfera:

(a) Todas as geodésicas se intersectam.

(b) Se duas geodésicas distintas se intersectam, fazem-no num único ponto.

(c) Dada uma geodésica γ e um ponto p 6∈ γ, existe uma geodésica γ′ contendo p quenão intersecta γ (quinto postulado de Euclides).

(d) Dados dois pontos distintos, existe uma geodésica que os contém.

(e) Dados dois pontos distintos, existe uma única geodésica que os contém.

(f) Existem pontos tão afastados quanto se quiser.

(g) Todas as geodésicas são curvas fechadas.

(h) A soma dos ângulos internos de um triângulo é π.

(i) O peŕımetro de uma circunferência de raio r é 2πr.

(j) A área de um ćırculo de raio r é πr2.

4. Mostre que a curvatura média de um triângulo esférico em que um dos vértices é o pólonorte e os outros dois vértices estão no equador é 1

R2.

5. Qual é a relação entre a soma dos ângulos internos de um poĺıgono na esfera com 2 ladose a sua área?

6. Verifique que a projecção ciĺındrica preserva a área de triângulos esféricos em que um dosvértices é o pólo norte e os outros dois vértices estão no equador.

7. Mostre que nem a projecção estereográfica nem o mapa da esfera que utiliza como coorde-nadas a latitude e a longitude preservam áreas.

8. Mostre que nenhum mapa da esfera pode simultaneamente preservar áreas e ser conforme.

3.8 Soluções

1. Porque a distância mais curta entre Lisboa e Nova Iorque não se mede ao longo do paraleloque passa pelas duas cidades, mas sim ao longo do ćırculo máximo que as contém. Estećırculo é a intersecção da superf́ıcie da Terra com o plano definido por Lisboa, Nova Iorquee o centro da Terra. Portanto o caminho mais curto entre Lisboa e Nova Iorque é umacurva que segue inicialmente para noroeste.

2. Os dois pontos estão no mesmo meridiano, fazendo um ângulo de π2. A distância entre eles

é então πR2

. O raio do paralelo que os contém é R cos(

π4

)

=√

2R2

, e a diferença de latitudes

é π. O comprimento do arco de paralelo entre os dois pontos é então π√

2R2

> πR2

.

3. (a) Plano: falsa (existem rectas paralelas). Esfera: verdadeira.

(b) Plano: verdadeira. Esfera: falsa (intersectam-se sempre em dois pontos).

(c) Plano: verdadeira. Esfera: falsa.

(d) Plano: verdadeira. Esfera: verdadeira.

(e) Plano: verdadeira. Esfera: falsa (por exemplo qualquer meridiano contém os pólos).


(f) Plano: verdadeira. Esfera: falsa (a distância máxima entre dois

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