ISOMETRIAS

Autor: Cláudia Rita Carneiro

Para que serve a Matemática?

É uma pergunta que os alunos constantemente fazem aos professores desta

disciplina. Nem sempre é fácil explicar qual a utilidade e a aplicabilidade de

alguns dos conteúdos estudados, mas todos eles, sim todos eles, são necessários

ao nosso quotidiano, mesmo que não nos apercebamos disso.

As isometrias são notórias no nosso dia a dia, em situações tão simples e normais

que nem damos por elas.

Mas o que é uma isometria?

Onde nos deparamos com elas?

Como elas facilitam o nosso dia a dia?

Pretende-se que no final deste trabalho:

Identifiques e descrevas uma isometria, dada uma figura e a sua imagem;

Compreendas as noções de simetria de reflexão e de rotação;

Identifiques simetrias em situações do dia a dia;

Identifiques isometrias em situações do dia a dia.

Para atingires os objetivos propostos, vais ver algumas informações sobre este

tema, depois vais registar e identificar, através de fotos ou vídeos, algumas

isometrias com que te deparas no teu dia a dia.

Terás ainda acesso a alguns exercícios, para consolidares os teus

conhecimentos.

Isometria é uma transformação geométrica que preserva

distâncias, transformando uma figura noutra figura congruente, ou

seja, noutra geometricamente igual.

Clica na figura ao lado para teres mais informação

acerca de figuras congruentes.

Existem quatro tipos de isometrias no plano:

Rotação;

Translação;

Reflexão;

Reflexão deslizante.

REFLEXÃO

A reflexão é uma isometria que surge

bastantes vezes no teu dia a dia.

Sempre que estás a ver a tua imagem

refletida num espelho, é um exemplo de

reflexão.

Num passeio pelas calçadas

portuguesas, uma figura pode dar

origem a outra através de uma reflexão.

Pode-se imaginar o eixo de reflexão.

Uma reflexão de eixo r transforma qualquer figura do plano noutra

congruente, tal que o eixo de reflexão r é a mediatriz de qualquer segmento de

reta que une um ponto à sua imagem.

A reflexão é a única isometria que inverte a figura.

Clica na imagem anterior para veres paisagens, nas quais poderás identificar

reflexões.

ROTAÇÃO

A rotação consiste em rodar uma figura em torno de um ponto fixo.

As velas de um moinho movem-se através de

um movimento de rotação, bem como uma

roda gigante.

Uma rotação de centro O e amplitude

, transforma uma figura noutra

congruente, tal que a distância de

qualquer ponto da figura original ao

centro da rotação, é igual à distância da

imagem desse ponto ao centro da rotação.

Se a figura roda no sentido dos ponteiros do relógio, diz-se que roda no

sentido negativo.

Se a figura roda no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, diz-se que

roda no sentido positivo.

TRANSLAÇÃO

A translação consiste em descolar uma figura numa determinada direção,

sentido e comprimento.

Podes identificar um movimento de

translação, quando um elétrico ou um

elevador se deslocam.

Um vetor é definido por uma direção, um sentido e um

comprimento.

A translação associada ao vetor u desloca uma figura na

direção, no sentido e o comprimento do vetor u .

Vetores simétricos têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos

opostos.

Uma translação pode estar associada à adição de vetores. O vetor soma tem a origem do primeiro vetor e a

extremidade do segundo.

A soma de dois vetores simétricos é o vetor nulo.

Clica na figura ao lado, para resolveres exercícios sobre

vetores e isometrias.

REFLEXÃO DESLIZANTE

A reflexão deslizante é composta por duas isometrias, uma reflexão e uma

translação.

Os seguintes frisos são exemplos de reflexões deslizantes.

Assim, uma reflexão deslizante é a composição de uma reflexão de eixo s com

uma translação associada a um vetor, com direção paralela a s.

Clica sobre a figura anterior para teres acesso a mais informações sobre frisos.

Observa as figuras seguintes.

A figura original F1 é transformada na figura F2 por uma isometria.

Reflexão

Rotação

Reflexão Deslizante

Translação

SIMETRIAS

Simetria de uma figura é uma transformação que deixa a figura

globalmente invariante.

Significa que alguns ou todos os pontos da figura

podem mudar de posição, mas a figura, como um

todo, fica invariante.

Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos.

Simetria de reflexão (ou simetria axial)

Simetria de rotação (ou simetria rotacional)

Simetria de translação

Simetria de reflexão deslizante

Vamos estudar apenas os dois primeiros casos de simetrias, Simetria de

reflexão ou simetria axial e Simetria de rotação ou simetria rotacional.

SIMETRIA DE REFLEXÃO OU SIMETRIA AXIAL

Como reconhecer uma simetria de reflexão?

Painel de azulejos

Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se

sobreponham exatamente;

Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo que a

junção da parte refletida com a não refletida, seja exatamente igual à figura

toda;

…

SIMETRIA DE ROTAÇÃO OU SIMETRIA ROTACIONAL

Uma figura tem simetria rotacional se existe, pelo menos, uma rotação com

amplitude superior a 0º e inferior a 360º que a deixa globalmente invariante.

Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um

ângulo de 360º.

Como reconhecer uma simetria rotacional?

Se conseguirmos girar a figura em torno de um

ponto fixo, de modo a que a imagem resultante,

através da rotação, coincida com a figura original.

A figura anterior tem quatro simetrias rotacionais. Ora vejamos,

A figura anterior tem quatro simetrias rotacionais de centro C e amplitudes

90º, 180º, 270º e 360º, ou seja, tem simetria de rotação de ordem 4.

O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a figura roda.

A amplitude do ângulo da simetria rotacional é a amplitude do ângulo

orientado que descreve o “movimento” da figura.

As Rosáceas são exemplos de figuras usadas nas artes decorativas, que têm

simetrias axial e/ou rotacionais.

Clica em cada uma das imagens para teres acesso a alguns exercícios.

Clica na figura seguinte para assistires a um pequeno filme, intitulado

“Reinventar a roda”.

Ao longo do filme, procura identificar isometrias e simetrias pois são notórias

a sua presença.

Apresentam-se agora algumas situações do dia a dia, que os alunos indicaram

na aula, como sendo casos de isometrias do plano e/ou casos de simetrias.

As grades deste gradeamento da escola, podem ser obtidas

através de movimentos de translação. Assim como, o

padrão desta calçada.

Os candeeiros poderiam ser colocados, um a partir de outro, através de uma

translação. E as árvores do outro lado da estrada?

As árvores não, porque não são congruentes.

Clica fotografia ao lado para teres acesso a

um vídeo onde podes observar simetria

rotacional de uma roda de água.

Se estiveres atento, podes ainda ver quatro

arcos, que poderão ser obtidos por reflexão ou

translação.

Clica na figura ao lado para veres o movimento de

uma passadeira rolante, identificado como um

movimento de translação.