Mini Curso:∗ Simetrias e GruposCristalograficos†

Celso M. DoriaUFSC - Depto. de Matematica

Fev/2012

Figura 1: Homem Vitruviano, quadro de Leonardo da Vinci

∗Escola de Verao 2012- UFAM†parcialmente financiado por FAPESC 2568/2010-2

1

1 Introducao

No plano R2, considere o produto interno euclideano < ., . >: R2 × R2 → R

u = (u1, u2),

v = (v1, v2), ⇒ < u, v >= u1v1 + u2v2 (1)

Definicao 1.0.1. O espaco euclideano E2 e o espaco R2 munido com ametrica euclideana;

E2 = (R2, < ., . >);

onde para cada p ∈ E2, < ., . >: TpE2 × TpE2 → E2 e o produto interno (1)

O produto interno permite-nos definir

1. o comprimento de um vetor u ∈ R2;

| u |=√< u, u >

2. angulo entre vetores dois vetores u, v ∈ R2; seja θ a medida do angulo∠(u, v)

θ = arcos

(< u, v >

| u || v |

)

2

p, q ∈ E2; seja

Ω(p, q) = γ : [0, 1]→ E2 | γ ∈ C0, γ(0) = p, γ(1) = q

Seja γ : [a, b]→ E2, γ = γ(t), uma curva diferenciavel e γ′(t) o vetor tangenteno instante t.

O comprimento de γ e

L : Ω(p, q)→ R, L(γ) =

∫ b

a

| γ, | ds.

Definicao

1. A distancia euclidena entre os pontos p, q ∈ E2 e

dE2(p, q) = minγ∈Ω(p,q)

L(γ).

2. uma curva ligando p a q e uma geodesica se

L(γ) = d(p, q).

3

Proposicao 1.0.2. Sejam p e q pontos em E2. A geodesica ligando p a qdescreve uma reta. Alem disto,

dE2(p, q) =| q − p |. (2)

Demonstracao. Seja α : [0, 1]→ E2 uma curva ligando p = α(0) a q = α(1).Assim,

q − p =

∫ 1

0

α,(t)dt.

Seja u ∈ E2 um vetor unitario qualquer. Desta forma,

< q − p, u >=

∫ 1

0

< α,(t), u > dt ≤∫ 1

0

| α,(t) | dt

tomando u = q−p|q−p| , entao | q − p |≤ L(α) e | q − p |≤ dE2(p, q).

Uma aplicacao f : E2 → E2 e uma isometria se, ∀p ∈ E2, ∀u, v ∈ TpE2,

< dfp.u, dfp.v >=< u, v >

• dfp : TpE2 → Tf(p)E2, aplicacao diferencial de f

4

2 Isometrias de E2

2.1 Rotacoes

Definicao 2.1.1. Uma rotacao de angulo θ com centro na origem e umatransformacao linear Rθ : E2 → E2 que satisfaz as seguintes propriedade:para quaisquer θ ∈ R e u, v ∈ E2

< Rθ.u, Rθ.v >=< u, v >, det(Rθ) = 1

Decorrem da definicao as seguintes propriedades de uma rotacao:

1. Rθ(0) = 0 para todo θ ∈ R.

2. Rθ.Rtθ = Rt

θ.Rθ = I,

3. na base canonica β = (1, 0), (0, 1), a matriz que representa Rθ e

[Rθ]β =

(cosθ −senθsenθ cosθ

).

• para quaisquer θ, φ ∈ R, valem as identidades

Rθ Rφ = Rθ+φ, R−1θ = R−θ. (3)

⇒ SO2 = Rθ | θ ∈ R e um grupo abeliano

5

Proposicao 2.1.2. Para todo θ ∈ R, a rotacao Rθ e uma isometria de E2.

Demonstracao.

Rθ(x, y) = (cosθ.x+ senθ.y,−senθ.x+ cosθ.y).

Portanto, (dRθ)(x,y) : T(x,y)E2 → TRθ(x,y)E2 e dada por

(dRθ)(x,y).v = Rθ.v,

da onde

< (dRθ)(x,y).u, (dRθ)(x,y).v >=< Rθ.u, Rθ.v >=< u, v > .

2.2 Reflexoes

a reflexao sobre o eixo-x definida por

rx(x, y) = (x,−y)

Desta forma, rx : E2 → E2 e uma transformacao linear tal que r2x = idE2 e

cuja matriz, em relacao a base canonica, e

[rx]β =

(1 00 −1

).

para qualquer θ ∈ R,

Rθrx = rxR−θ.

6

Seja l ⊂ E2 a reta y = tg(θ) passando pela origem. A reflexao em relacao al e a transformacao linear rl : E2 → E2,

rl = Rθ rx R−1θ .

Segue que

rl = Rθ.rx.R−θ = R2θ.rx. (4)

a matriz de rl na base canonica e

[rl]β =

(cos2θ sen2θsen2θ −cos2θ

). (5)

Seja l uma reta passando pela origem em E2 . Entao;

1. Se p ∈ l, entao rl(p) = p.

2. r2l = idE2

3. rl : E2 → E2 linear satisfaz

< rl.u, rl.v >=< u, v >, ∀u, v ∈ E2

Portanto, rl : E2 → E2 e uma isometria.

7

Proposicao 2.2.1. Sejam l, r retas em E2 passando pela origem que formamangulos α, β com o eixo-x, respectivamente. Entao,

rl rs = R2(α−β), rs rl = R−2(α−β).

Demonstracao.

rl rs = Rα rx R−α Rβ rx R−β = Rα rx Rβ−α rx R−β =

= Rα r2x Rα−β R−β = R2(α−β)

Analogamente, rs rl = R−2(α−β).

O grupo ortogonal e o conjunto

O2 = A ∈M2(R) | A.At = At.A = I

munido com a operacao de multiplicacao de matrizes.

Lema 2.2.2. Seja A ∈ O2. Entao, ha duas possibilidades;

(i) A = Rθ, A ∈ SO2 e det(A) = 1

(ii) A = Rθ rx, A /∈ SO2 e det(A) = −1.

Corolario 2.2.3. O grupo O2 e gerado por reflexoes.

8

2.3 Translacoes

Seja b ∈ R2. Uma translacao e uma transformacao Tb : E2 → E2 definidapela expressao

Tb(x) = x+ b, b = T (0). (6)

As translacoes satisfazem a seguintes propriedades;

1. Para todo b ∈ E2, Tb : E2 → E2 e uma isometria.

2. Se b 6= 0 entao as transformacoes Tb : E2 → E2 nao sao lineares.

3. Se b 6= 0, entao para todo x ∈ E2 Tb(x) 6= x.

4. Sejam b1, b2 ∈ E2, entao

Tb1 Tb2 = Tb2 Tb1 = Tb1+b2 .

5. Para todo b ∈ E2, T−1b = T−b.

6. T = Tb | b ∈ E2; (T , ) ' R2

A composicao de isometrias e uma isometria; sejam A ∈ O2 e b ∈ E2,considere TA,b : E2 → E2 a isometria

TA,b(u) = Tb(Au) = Au+ b.

9

Exemplos:

1. reflexao sobre uma reta afim;Se l = (x, y) ∈ E2 | y = tg(θ)x − x0tg(θ) e a reta com inclinacao θpassando pelo ponto (x0, 0), entao

rl(u) = rxR−2θ︸ ︷︷ ︸A

(u)− 2x0.tg(θ)

1 + tg2(θ)(−tg(θ), 1)︸ ︷︷ ︸b

⇒ rl = TA,b, (7)

2. Rotacao com centro em P0 = (x0, y0); v0 = ~OP0;

RP0θ (u) = Rθ︸︷︷︸

A

(u) + v0 −Rθ(v0)︸ ︷︷ ︸b

⇒ RP0θ = TA,b. (8)

Proposicao 2.3.1. Sejam l, s retas em E2 e rl, rs as respectivas reflexoes.Entao,

1. Se l//s, entao rl rs = Tb e rs rl = T−b, onde b ∈ E2 e um vetorortogonal as retas l, s e | b |= 2dist(l, s)

2. Se l, s sao concorrentes em P , entao rs rl = RP2θ e rl rs = RP

−2θ saorotacoes com centro em P e θ ∈ R e o angulo formado por l e s.

Figura 2: l e s paralelas Figura 3: l e s concorrentes

10

Teorema 2.3.2. Se T : E2 → E2 e uma isometria, entao, existem A ∈ O2 eb ∈ E2 tais que, para todo x ∈ E2,

T (x) = Ax+ b (T = TA,b)

Corolario 2.3.3. O grupo Isom(E2) goza das seguintes propriedades ao fi-xarmos a origem em E2;

1. O grupo Isom(E2) e gerado pelas reflexoes.

2. Isom(E2) = R2 oO2.

Demonstracao. considere sobre R2 ×O2 o seguinte produto (semi-direto)

(a,A).(b, B) = (a+ Ab,AB)

1. o produto e associativo,

2. o elemento neutro do produto e (0, I).

3. o elemento inverso de um elemento (a,A) e (−A−1a,A−1).

R2 oO2 e um grupo,

l uma reta e TA,b uma isometria, entao, TA,b(l) e uma reta.

11

3 Grupos Cristalograficos 2-D

Um subgrupo G < isom(E2) age

discreto︷ ︸︸ ︷descontinuamente sobre E2 se, para todo

conjunto compacto K ⊂ E2,

G(K) ∩K e um conjunto finito de pontos.

3.1 Subgrupos Discretos de O2

Proposicao 3.1.1. Se θ ∈ 2π(R\Q), entao G =< Rθ > e infinito.

Demonstracao. Por absurdo, suponhamos que G e finito ⇒ existe k ∈ N tq.Rkθ = I. Isto implica na existencia de n ∈ N tal que

k.θ = 2πn ⇒ θ = 2πn

k⇒ θ ∈ 2πQ,

Consequentemente, G tem que ser infinito.

Proposicao 3.1.2. Se θ ∈ 2π(R\Q), entao A orbita de qualquer elementox0 ∈ S1 e densa em S1.

12

Exemplos: Grupo Diedral Dn

1. Simetrias de um Triangulo Equilatero D3.

uma simetria T e representada pela imagem dos seus vertices

T =

(A B C

T (A) T (B) T (C)

). (9)

As rotacoes centradas no ponto O com angulos 0, 2π3

e 4π3

definem assimetrias

I =

(A B CA B C

), R 2π

3=

(A B CB C A

), R 4π

3=

(A B CC A B

),

As reflexoes sobre as bissetrizes AD, BE e CF definem as simetrias

rAD =

(A B CA C B

), rBE =

(A B CC B A

), rCF =

(A B CB A C

),

Figura 4: D3

As simetrias do 4ABC definem o conjunto de transformacoes

D3 =

(A B CA B C

),

(A B CB C A

),

(A B CC A B

),

(A B CA B C

),

(A B CC B A

),

(A B CB A C

)13

A operacao de composicao de transformacoes induz uma operacao sobreo conjunto D3, conforme ilustra os exemplos abaixos;

rAD R 2π3

=

(A B CA C B

)(A B CB C A

)=

(A B CC B A

)= rBE,

R 4π3R 2π

3=

(A B CC A B

)(A B CB C A

)=

(A B CA B C

)= I,

A tabela abaixo representa o elemento (x y); x na 1a-coluna e y na1a-linha ;

I R 2π3

R 4π3

rAD rBE rCDI I R 2π

3R 4π

3rAD rBE rCF

R 2π3

R 2π3

R 4π3

I rCF rAD rBER 4π

3R 4π

3I R 2π

3rBE rCF rAD

rAD rAD rBE rCF I R 2π3

R 4π3

rBE rBE rCF rAD R 4π3

I R 2π3

rCF rCF rAD rBE R 2π3

R 4π3

I

Tabela 1: tabela de D3.

(D3, ) e um grupo finito nao abeliano.

14

Figura 5: D4 Figura 6: D5

Sejam l1, l2 duas retas;(i) o angulo entre elas e θ,(ii) as reflexes sobre elas sejam r1, r2 (respect.)r2 r1 = R2θ. O grupo G =< r1, r2 > age descontinuamente se

∃ p, q ∈ N tal que θ =p

qπ

Teorema 3.1.3. Se G < O2 age descontinuamente sobre E2, entao G eisomorfo a Zk ou a Dk.

15

3.2 Subgrupos Discretos de TUma translacao e o produto de duas reflexoes sobre retas paralelas.

Proposicao 3.2.1. Seja G < T um subgrupo agindo descontinuamente sobreE2. Entao, ocorre uma das possibilidades abaixo;

1. G ' Z e existe v ∈ E2 tal que G =< Tv >.

2. G ' Z⊕ Z e existem u, v ∈ E2 tal que G =< Tu, Tv >.

Figura 7: T = Z Figura 8: T Z

Figura 9: T ' Z⊕ Z

16

3.3 Subgrupos de Isom(E2) = T oO2 que agem descon-tinuamente sobre E2

G < Isom(E2)

OG, isotropia da origem

TG, translacoes puras

Ao fixarmos a origem em E2 obtemos a sequencia exata

• OG e o subgrupo de SO2 isomorfo ao grupo de isotropia da origem,

• TG e o subgrupo de translacoes puras de G.

0 −→ TG −→ G −→ OG −→ 1,

Classes de grupos discretos:

• Tipo I: Se TG ' Z

1. OG = e,2. OG ' Zn3. OG ' Dn

• Tipo II: Se TG ' Z⊕ Z

1. OG = e2. OG ' Zn3. OG ' Dn

17

GRUPOS CRISTALOGRAFICOS

Figura 10: Mosaicos de Alhambra, Espanha

18

As proposicoes a seguir sao importantes para a classificacao dos grupos queagem descontinuamente sobre E2;

Proposicao 3.3.1. Sejam lb ⊂ E2 a reta definida pela equacao vetorialr(t) = tu1 + u0, u1 e unitario e u0 = r(0). Se rl e Tv ∈ G, entao existe umvetor w tal que [Tv, rl] = T2w.

w = v− < v, u1 > u1

Corolario 3.3.2. Se < v, u1 >6= 0 (nao forem ortogonais) na proposicaoanterior, entao G e do tipo II.

Proposicao 3.3.3. Seja P ∈ E2 um ponto qualquer e suponhamos que arotacao RP

θ : E2 → E2, de centro em P e angulo θ, pertence a G. Se Q eum ponto na orbita de P , entao a rotacao RQ

θ : E2 → E2 com centro em Q eangulo θ tambem pertence a G.

Proposicao 3.3.4. Se RPθ e Tv pertencem a G, entao G contem a translacao

Tw, onde w = v −RPθ (v).

Corolario 3.3.5. Se o grupo G contem a isometrias RPθ (θ 6= π) e Tv, entao

G e um grupo do tipo II.

Proposicao 3.3.6. Sejam u0 = OP e v0 = OQ. Se RPθ , R

Qφ ∈ G, entao G e

um grupo do tipo II, pois [RPθ , R

Qφ ] : E2 → E2 e igual a translacao Tw0, onde

w0 = (Rθ +Rφ −Rθ+φ − I) (v0 − u0). (10)

19

4 Grupos Triangulares

4ABC e formado pelos segmentos l1 = AB, l2 = BC e l3 = CA.

vertices: A = l1 ∩ l3, B = l1 ∩ l2 e C = l2 ∩ l3

medida dos angulos internos: A = α, B = β e C = γ

notacao: 4ABC 4(α, β, γ);.

Sejam r1, r2, r3 as reflexoes sobre os lados l1, l2, l3, respectivamente.

Questao Sobre que condicoes o grupo G =< r1, r2, r3 > age descontinua-mente sobre E2 ?

Observe que

(i) os vertices do triangulo sao centros de rotacao: RA2α, R

B2β, R

C2γ ∈ G.

(ii) para que a acao das rotacoes seja descontınua os angulos internos dotriangulo devem ser da forma

π

m,π

n,π

pm, n, p ∈ N.

(iii) A soma dos angulos internos de um triangulo euclideano e π, ou seja,

1

m+

1

n+

1

p= 1. (11)

Proposicao 4.0.7. As unicas solucoes (m,n, p) ∈ N × N × N da equacao(11) sao as triplas

(2,4,4), (2,3,6) e (3,3,3)

.

20

Uma abordagem geometricao angulo interno de um polıgono regular de n-lados mede π n−2

n. Para azulejar

o plano com este polıgono deve existir k ∈ N tal que

k.

(n− 2

n

)= 2.

as unicas solucoes sao

(i) n = 3 (triangulo equilatero) e k = 6,

(ii) n = 4 (quadrado) e k = 4,

(iii) n = 6 (hexagono) e k = 3.

Figura 11: triangulo equilatero Figura 12: quadrado

Figura 13: pentagono Figura 14: hexagono

Ao considerarmos as retas bissetrizes obtemos uma decomposicao do inte-rior do polıgono em triangulos congruentes. No caso do triangulo equilatero,

21

o triangulo obtido e o 4(2, 3, 6); no quadrado e o triangulo 4(4, 4, 2); e nohexagono e o triangulo 4(3, 3, 3). Reciprocamente, o cada polıgono poderser construıdo a partir destes triangulos.

Definicao 4.0.8. Dados (m,n, p) ∈ N×N×N, G(m,n, p) =< r1, r2, r3 > eum grupos triangular euclideano quando a tripla (m,n, p) e uma solucao daequacao (11).

Portanto, existem apenas tres grupos triangulares euclideanos

G(2, 4, 4), G(2, 3, 6), G(3, 3, 3).

Todos os grupos que agem descontinuamente sobre E2 sao subgrupos de al-gum destes subgrupos triangulares; isto porque sao todos gerados por re-flexoes ou produtos delas.

1. G0 =< r1r2, r1r3, r2r3 > e um subgrupo de ındice 2 deG =< r1, r2, r3 >.

2. Considere o triangulo 4(2, 3, 6). Ao fixarmos a origem no vertice comangulo interno π/2 obtemos a sequencia exata

0 −→ Z⊕ Z −→ G −→ Z2 −→ 1.

Se a origem nos outros vertices teriamos uma das seguintes sequenciasexatas;

0 −→ Z⊕ Z −→ G −→ Z3 −→ 1

0 −→ Z⊕ Z −→ G −→ Z6 −→ 1

22

3. LEMBREM-SE ! Os comutadores [RA2α, R

B2β], [RB

2β, RC2γ] e [RC

2γ, RA2α] sao

translacoes;

u0 = OA e v0 = OB; entao existe w0 tal que

Tw0 = [RA2α, R

B2β] : E2 → E2

w0 = (R2α +R2β −R−2γ − I) (v0 − u0).(12)

Seja 4(m,n, p) um triangulo onde m ≤ n ≤ p e 1m

+ 1n

+ 1p

= 1.Considere a matriz

M(m,n) = R 2πm

+R 2πn−R 2π(m+n)

mn

− I (13)

Usando as identidades trigonometricas

M(m,n) = 4.sen(π

m)sen(

π

n)Rπ(p−1)

p

. (14)

Os comutadores [RA2α, R

B2β], [RB

2β, RC2γ] e [RC

2γ, RA2α] geram as translacoes na

direcao dos vetores decorrentes dos comutadores das rotacoes centradas nosvertices do triangulo4(M,n, p), conforme a proposicao 3.3.6. Para este fim,consideramos a tabela 2 abaixo;

m n M(m,n)

2 3 2√

3.R 5π6

2 6 2.R 2π3

3 6√

3.Rπ2

2 4 4√2.R 3π

4

4 4 2.Rπ2

3 3 3.R 2π3

Tabela 2: R(m,n)

Tambem vamos fixar os seguintes elementos: Sejam A, B e C os verticesdo triangulo 4(m,n, p), assim como mostra a figura ??. Consideramos osseguintes vetores

23

u0 = OA, v0 = OB, w0 = OC,

eAB = v0 − u0, eBC = w0 − v0, eCA = u0 − w0.

1 - 4(2, 3, 6): Sejam

ν1 = 2√

3.R 5π6

(eAB), ν2 = 2.R 2π3

(eAC), ν3 =√

3.Rπ2(eBC)

Ao aplicarmos os dados na tabela 2, segue que

[RAπ , R

B2π3

] = Tν1 , [RAπ , R

Cπ3] = Tν2 , [RB

2π3, RC

π3] = Tν3 . (15)

Se os vertices de 4(2, 3, 6) sao A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (0,√

3),entao

ν1 = (−3,√

3), ν2 = (3,√

3), ν3 = −ν2.

2 - 4(2, 4, 4): Da mesma maneira,

ν1 =4√2.R 3π

4(eAB), ν2 =

4√2.R 3π

4(eAC), ν3 = 2.Rπ

2(eBC),

da onde,

[RAπ , R

Bπ2] = Tν1 , [RA

π , RCπ2] = Tν2 , [RB

π2, RC

π2] = Tν3 . (16)

Se os vertices de 4(2, 4, 4) sao A = (1/2, 1/2), B = (0, 0) e C = (1, 0),entao

ν1 = (2, 0), ν2 = (0,−2), ν3 = −ν2.

24

3 - 4(3, 3, 3): Analogamente,

ν1 = 3.R 2π3

(eAB), ν2 = 3.R 2π3

(eAC), ν3 = 3.R 2π3

(eBC)

obtemos

[RA2π3, RB

2π3

] = Tν1 , [RA2π3, RC

2π3

] = Tν2 , [RB2π3, RC

2π3

] = Tν3 . (17)

Se os vertices de4(3, 3, 3) sao A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (1/2,√

3/2),entao

ν1 = 3.(−1

2,

√3

2), ν2 = 3(−1

2,−√

3

2), ν3 = −ν2.

Segue da discussao acima que os vetores ν1, ν2, ν3 sao linearmente depen-dentes sobre Z; isto implica que o retıculo gerado por um par deles independedo par escolhido.

4.1 Classificacao dos Subgrupos Discretos de Isom(E2)

Agora, aplicaremos os resultados obtidos para classificarmos os subgruposdiscretos G de Isom(E2). Vamos considerar os seguintes casos: (1) G0

quando TG = 0, (2) GI e do tipo I; TG ' Z e (3) GII e do tipo II;TG ' Z ⊕ Z. A cada grupo G agindo discontinuamente sobre E2 temos,associada a G, a regiao fundamental PG.

1. TG = 0. Sejam l1 e l2 retas que formam um angulo θ entre si e sejamr1, r2 : E2 → E2 as respectivas reflexoes. Segue que r1r2 = R2θ;

(a) Go =< r1, r2 >=< r1, R2θ >' Dk

(b) Go =< r1r2 >=< R2θ >' Zk

Os grupos acima sao subgrupos de O2 e tem ordem finita.

25

2. TG = Z, G e do tipo I.Todos os grupos nesta categoria tem ordem infinita. Sejam l1, l2 e l3retas distintas tais que l1 ‖ l2 e l1 ⊥ l3 (considere l3 como sendo oeixo-x). Sejam ri : E2 → E2, i ∈ 1, 2, 3 as respectivas reflexoes. Sel1 ∩ l3 = P e l2 ∩ l3 = Q, segue que

r1r3 = RPπ , r2r3 = RQ

π , r1r2 = T2u.

A transformacao M2u;3 = r3T2u e denominada reflexao por desliza-mento. Decorre de r3(u) = u que r3T2u = T2ur3 e M2

2u;3 = T4u. Consi-deramos as seguintes possibilidades;

(a) GI1 =< r1, r2 >=< r1, T2u >,

(b) GI2 =< r1r2 >=< T2u >' Z, (age livremente)

(c) GI3 =< r1, r2, r3 >,

Abaixo esta a tabela produto dos geradores de GI3:

I r1 r2 r3

I I r1 r2 r3

r1 r1 I T2u RPπ

r2 r2 T−2u I RQπ

r3 r3 RPπ RQ

π I

Tabela 3: tabela dos geradores de GI3

(d) GI4 =< r1r2, r3 >=< T2u, r3 >;

I T2u r3

I I T2u r3

T2u T2u T4u G2u;3

r3 r3 G2u;3 I

Tabela 4: tabela dos geradores de GI4

26

I M2u;3

I I M2u;3

M2u;3 M2u;3 T4u

Tabela 5: tabela dos geradores de GI5

(e) GI5 =< r1r2r3 >=< M2u;3 >.

GI5 ' Z e age livremente sobre E2;

(f) GI6 =< r1r3, r2r3 >=< RP

π , RQπ >;

De acordo com a proposicao 3.3.6, GI6 e do tipo I;

[RPπ , R

Qπ ] = T4v0 , onde v0 = PQ.

I RPπ RQ

π

I I RPπ RQ

π

RPπ RP

π I RPπ .R

Qπ

RQπ RQ

π RQπ .R

Pπ I

Tabela 6: tabela dos geradores de GI6

(g) GI7 =< RP

π , Tu >;

I RPπ Tu

I I RPπ Tu

RPπ RP

π I RPπ .Tu

Tu Tu Tu.RPπ T2u

Tabela 7: tabela dos geradores de GI7

Por exaustao, temos o seguinte resultado;

Teorema 4.1.1. Os grupos GIi , i = 1, . . . , 7 sao, a menos de isomor-

fismos, os unicos grupos do tipo I.

3. TG = Z⊕ Z, G e do tipo II.

27

(a) Grupos gerados pelas reflexoes sobre os lados do triangulo4(2, 3, 6)(figura ??).

Sejam l1, l2, l3 os lados de 4(2, 3, 6) e r1, r2, r3 as respectivas re-flexoes. Considere que os vertices de 4(2, 3, 6) sejam

A = l1 ∩ l3, B = l1 ∩ l2, C = l2 ∩ l3,

cujos angulos internos medem

A = ](l1, l3) =π

2, B = ](l1, l2) =

π

6C = ](l2, l3) =

π

3.

Desta maneira, as seguintes rotacoes resultam da composicao dasreflexoes r1, r2, r3;

r3r1 = RAπ , r1r2 = RB

π3, r1r3 = RC

2π3.

Como visto na equacao 15,

[RAπ , R

B2π3

] = Tν1 , [RAπ , R

Cπ3] = Tν2 , [RB

2π3, RC

π3] = Tν3 .

Ha tambem as reflexoes por deslizamento Ki,νj = riTνj , onde 1 ≤i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3. A seguir, vamos descrever os subgrupos do tipoII apresentando um conjunto de geradores e, em alguns casos, atabela operacional deles.

(a.1) GII1 =< r1, r2, r3 >

(a.2) GII2 =< RA

π , RB2π3

, RCπ3>;

(a.3) GII3 =< [RA

π , RB2π3

], [RAπ , R

Cπ3] >=< Tν1 , Tν2 >;

(a.4) GII4 =< r1, [R

Aπ , R

B2π3

] >=< r1, Tν1 >; a classe de isomor-

fismo independe da escolha da reflexao ri, i = 1, 2, 3 e daescolha da translacao. Observamos que o lado l1 e a direcaode ν1 nao sao perpendiculares.

28

I r1 r2 r3

I I r1 r2 r3

r1 r1 I RAπ RC

2π3

r2 r2 RAπ I RB

5π3

r3 r3 RC4π3

RBπ3

I

Tabela 8: tabela dos geradores de GII1

I RAπ RB

2π3

RCπ3

I I RAπ RB

2π3

RCπ3

RAπ RA

π I RAπR

B2π3

RAπR

Cπ3

RB2π3

RB2π3

RB2π3

RAπ RB

4π3

RB2π3

RCπ3

RCπ3

RCπ3

RCπ3RAπ RC

π3RB

2π3

RCπ3

Tabela 9: tabela dos geradores de GII2

(a.5) GII5 =< RB

2π3

, [RAπ , R

B2π3

] >=< RB2π3

, Tν1 >;

(a.6) GII6 =< RC

π3, [RA

π , RB2π3

] >=< RCπ3, Tν1 >;

(a.7) GII7 =< [RA

π , RB2π3

], Ki;νj >=< Tν1 , Ki;νj >;

(a.8) GII8 =< RA

π , Ki;νj >;

(a.9) GII9 =< RB

2π3

, Ki;νj >;

(a.10) GII10 =< RC

π3, Ki,νj >;

(a.11) GII11 =< Ki,νj , Kk,νl >;

a classe de isomorfismo deste grupo independe da escolha dastransformacoes de deslizamento e refleao usadas, desde ambassejam distintas.

Nos casos acima, havendo um centro de rotacao, a classe de iso-morfismo depende do angulo de rotacao.

29

(b) Grupos obtidos pela reflexao sobre os lados do triangulo 4(3, 3, 3)(figura ??).

Sejam l1, l2, l3 os lados de 4(3, 3, 3) e r1, r2, r3 as respectivas re-flexoes. Consideramos

A = ](l3, l1) =π

3, B = ](l1, l2) =

π

3C = ](l2, l3) =

π

3.

De maneira analoga ao caso do triangulo 4((2, 3, 6), as seguintesisometrias sao obtidas pela composicao das reflexoes r1, r2, r3;

rotacoes: r1r2 = RAπ3, r3r2 = RB

π3, r1r3 = RC

π3.

translacoes: Tν1 = [RAπ3, RB

π3], Tν2 = [RA

π3, RC

2π3

].

reflexoes-deslizamento: Ki,νj = riTνj , i = 1, 2 e j = 1, 2.

Dentre os grupos discretos obtidos a partir do grupo triangular4(3, 3, 3), somente os grupos abaixo acrescentam novas classes deisomorfismo a lista grupos;

(b.1) GII12 =< RA

2π3

, RB2π3

, RC2π3

>;

(b.2) GII13 =< RA

2π3

, [RA2π3

, RB2π3

] >=< RB2π3

, Tν1 >;

(b.3) GII14 =< RA

2π3

, Ki;νj >.

(c) Grupos obtidos pela reflexao sobre os lados do triangulo4(2, 4, 4).(figura ??)

Sejam l1, l2, l3 os lados de 4(2, 4, 4) e r1, r2, r3 as respectivas re-flexoes. Considere que os angulos internos medem

A = ](l1, l2) =π

2, B = ](l2, l3) =

π

4C = ](l3, l1) =

π

4.

Como anteriormente, temos as seguintes isometrias:

rotacoes: r1r3 = RAπ , r2r3 = RB

π2

e r3r1 = RCπ2,

translacoes: Tν1 = [RAπ , R

Bπ2] e Tν2 = [RA

π , RCπ2],

reflexoes-deslizamento: K1;νj = ri1Tνj , onde i = 1, 2 e j = 1, 2.

30

Os grupos abaixo somam-se as listas dos grupos (a.1)-(a.11) e(b.1)-(b.3);

(c.1) GII15 =< RA

π , RBπ2, RC

π2>;

(c.2) GII16 =< RB

π2, [RA

π , RBπ2] >=< RB

π2, Tν1 >;

(c.3) GII17 =< RB

π2, Ki;νj >;

Por exaustao, chegamos ao seguinte resultado;

Teorema 4.1.2. Os grupos GIIi , i = 1, . . . , 17 sao, a menos de isomorfismos,

os unicos grupos do tipo II.

4.2 Superfıcies e Orbitais Euclideanos

Definicao 4.2.1. Se G e um grupo agindo discretamente sobre a superfıcieX, a regiao fundamental associada a acao de G e o conjunto fechado P ⊂ Xtal que

1. X =⋃g∈G g.P,

2. int(P) ∩ g.int(P) = ∅, (int(P)=interior de P).

A acao de G restrita ao bordo ∂P = P − int(P) possue pontos quepertencem a uma mesma orbita, o que induz uma relacao de equivalenciasobre P ;

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G tal que y = g.x.

Definicao 4.2.2. Seja X uma superfıcie e G um grupo agindo descontinua-mente sobre X. Se a acao nao e livre dizemos que X/G e um orbital .

Definicao 4.2.3. Seja X uma superfıcie compacta. A caracterıstica de Eulerde uma triangulacao T e

χ(X, T ) = VT − AT + FT . (18)

31

χ(X) = d.(VT − AT + FT )−n∑i=1

ki.(νi − 1).

χ(X) = d

[VT − AT + FT −

n∑i=1

(1− 1

νi

)]= d.χ(X/G)

32